Ordenação dos números inteiros

Introdu¸cão
A Adi¸cão e a Multiplica¸cão
Ordena¸cão dos Números Inteiros
Princ´ıpio da boa ordena¸cão
Aritmética - MA14
OS NÚMEROS INTEIROS
Aline de Lima Guedes Machado
PROFMAT - IME/UERJ
Universidade do Estado do Rio de Janeiro
aline.guedes@ime.uerj.br
04 de agosto de 2017
1 / 29

Introdu¸cão
Sumário
1 Introdu¸cão
2 A Adi¸cão e a Multiplica¸cão
Propriedades
Anel
3 Ordena¸cão dos Números Inteiros
Outros axiomas
Caracteriza¸cão dos Números Inteiros
Rela¸cão menor do que
Dom´ınio de integridade
Rela¸cão de ordem
4 Princ´ıpio da boa ordena¸cão
PBO: axioma exclusivo dos Números Inteiros
Indu¸cão Matemática
2 / 29

Introdu¸cão
Sumário
1 Introdu¸cão
Propriedades
Anel
Outros axiomas
3 / 29

Introdu¸cão
Os números inteiros
Conceito originado do conceito mais antigo de número natural:
objetivava resolver problemas de contagem;
Considerados esporadicamente desde a antiguidade;
Necessidade de considerar os inteiros relativos a partir das ati-
vidades mercantis (Europa, final da Idade Média: séculos XIV-
XV);
Rafael Bombelli (1526-1572) no livro l’Algebra: enuncia regras
operatórias com os números inteiros:
Mais por mais dá mais; mais por menos dá menos.
Final do século XIX, no¸cão de número baseada em conceitos
da teoria de conjuntos.
4 / 29

Introdu¸cão
Nesse curso, não pretendemos descrever a evolu¸cão do conceito de
número inteiro: vamos estudar as suas propriedades!
Ponto de partida:
Conjunto dos números inteiros:
Z = {... − 3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...}
juntamente com as opera¸cões:
Adi¸cão: (a, b) −→ a + b
Multiplica¸cão:(a, b) −→ a · b (ou a × b ou ab)
Subconjunto de Z em destaque: o conjunto dos números natu-
rais: N = {1, 2, 3, ...}.
5 / 29

Introdu¸cão
Abordagem axiomática
A partir de uma lista razoavelmente pequena de propriedades
básicas dos números inteiros e das suas opera¸cões, mostrar
como podem ser obtidas as demais propriedades;
Essas propriedades são chamadas de axiomas;
Os axiomas são considerados como verdades e não são
demonstrados.
6 / 29

Introdu¸cão
Propriedades
Anel
Sumário
1 Introdu¸cão
Propriedades
Anel
Outros axiomas
7 / 29

Introdu¸cão
Propriedades
Anel
A Adi¸cão e a Multiplica¸cão - Axiomas
Axiomas (propriedades) das opera¸cões de adi¸cão e
multiplica¸cão em Z :
1 A adi¸cão e a multiplica¸cão são bem definidas, isto é,
∀a, b, a , b ∈ Z:
se a = a e ”b = b , então a + b = a + b e a · b = a · b
(permite somar ou multiplicar ambos os lados por um mesmo número)
2 A adi¸cão e a multiplica¸cão são comutativas, isto é, ∀a, b ∈ Z:
a + b = b + a e a · b = b · a
3 A adi¸cão e a multiplica¸cão são associativas, isto é, ∀a, b, c ∈ Z :
(a + b) + c = a + (b + c) e (a · b) · c = a · (b · c)
4 A adi¸cão e a multiplica¸cão possuem elementos neutros, isto é,
∀a ∈ Z: a + 0 = a e a · 1 = a
5 A adi¸cão possui elemento simétrico, isto é, ∀a ∈ Z:
existe b(= −a) tal que a + b = 0
6 A multiplica¸cão é distributiva com rela¸cão à adi¸cão,
isto é, ∀a, b, c ∈ Z: a · (b + c) = a · b + a · c
8 / 29

Introdu¸cão
Propriedades
Anel
A Adi¸cão e a Multiplica¸cão - Anel
Alguns conjuntos - diferentes dos inteiros - munidos de
opera¸cões de adi¸cão e multiplica¸cão possuem os
aximomas 1 a 6;
Esses conjuntos, juntamente com as suas opera¸cões, estão
sujeitos às leis da aritmética;
Na terminologia moderna: chama-se anel;
Os números racionais, os números reais e os números
complexos, com suas respectivas opera¸cões de adi¸cão e
multiplica¸cão, são anéis.
Só esses 6 axiomas não caracterizam os números inteiros,
já que outros conjuntos também essas propriedades básicas;
Veremos outros axiomas que diferenciam o conjunto dos
números inteiros desses outros conjuntos.
9 / 29

Introdu¸cão
Propriedades
Anel
Propriedades e defini¸cões importantes
Propriedade 1
a · 0 = 0 ∀a ∈ Z
Propriedade 2
A adi¸cão é compat´ıvel e cancelativa com respeito a igualdade:
∀a, b, c ∈ Z, a = b ⇔ a + c = b + c
Defini¸cão da subtra¸cão
Dados dois números inteiros a e b, define-se o número b menos a,
denotado por b − a, como sendo
b − a = b + (−a)
b − a: resultado da subtra¸cão de a de b.
10 / 29

Introdu¸cão
Propriedades
Anel
Exerc´ıcios
1) Mostrar que os elementros neutros aditivo e multiplicativos são
únicos.
2) Mostrar que o elemento simétrico é único.
3) Demonstrar algumas propriedades dos inteiros. ∀a, b ∈ Z:
a) a + b = 0 ⇒ b = −a e a = −b
b)−(−a) = a
11 / 29

Introdu¸cão
Outros axiomas
Sumário
1 Introdu¸cão
Propriedades
Anel
Outros axiomas
12 / 29

Introdu¸cão
Outros axiomas
Outros axiomas dos Números Inteiros
7 Fechamento de N: O conjunto N é fechado para a adi¸cão e
para a multiplica¸cão, ou seja, ∀ a, b ∈ N, tem-se que
a + b ∈ N e a · b ∈ N.
8 Tricotomia: Dados a, b ∈ Z, uma, e apenas uma, das
seguintes propriedades é verificada:
i)a = b; ii)b − a ∈ N iii) − (b − a) = a − b ∈ N
Defini¸cão: Diz-se que a é menor que b (a<b) toda vez que ii
for verificada.
Outra forma de escrever a tricotomia:
i)a = b; ii)a < b iii)b < a
OBS: A rela¸cão < não é uma rela¸cão de ordem pois
não é reflexiva!
13 / 29

Introdu¸cão
Outros axiomas
Defini¸cão: Diz-se que a é maior que b (a>b) quando a − b ∈ N.
Como a − 0 = a, segue-se que a > 0 ⇔ a ∈ N.
Assim, temos:
N = {n ∈ Z; n > 0}.
−N = {n ∈ Z; n < 0}.
onde (−N) é o conjunto dos simétricos dos elementos de N.
Dessa forma, o conjunto dos números inteiros pode ser
particionado em três subconjuntos:
Z = N ∪ {0} ∪ (−N)
14 / 29

Introdu¸cão
Outros axiomas
Rela¸cão ”menor do que”
Propriedades da rela¸cão menor do que:
1 Transitiva: ∀a, b, c ∈ Z, a < b e b < c ⇒ a < c
2 A adi¸cão é compat´ıvel e cancelativa com respeito à rela¸cão
menor do que: ∀a, b, c ∈ Z, a < b ⇔ a + c < b + c
3 A multiplica¸cão é compat´ıvel e cancelativa com respeito à
rela¸cão menor do que: ∀a, b ∈ Z e c ∈ N, a < b ⇔ ac < bc
15 / 29

Introdu¸cão
Outros axiomas
Propriedade da rela¸cão de igualdade:
A multiplica¸cão é compat´ıvel e cancelativa com respeito à
igualdade: ∀a, b ∈ Z, ∀c ∈ Z − {0}, a = b ⇔ ac = bc
Dom´ınios de integridade
Desta propriedade, segue-se que Z é um dom´ınio de integridade:
são conjuntos que são anéis e que não possuem divisores de zero.
Para ilustrar:
Se a e b são inteiros tais que ab = 0, então a = 0 ou b = 0.
Exerc´ıcio 4)
Mostrar que ∀a, b ∈ Z − {0}, tem-se ab = 0.
16 / 29

Introdu¸cão
Outros axiomas
Ordena¸cão dos inteiros
OBS: A rela¸cão < não é uma rela¸cão de ordem pois não é reflexiva!
Diremos que a é menor ou igual do que b, ou que b é maior ou
igual do que a, escrevendo a ≤ b ou b ≥ a, se a < b ou a = b.
OBS: a ≤ b se e somente se b − a ∈ N ∪ {0}
Propriedades da rela¸cão de ordem
1) Reflexiva: ∀a ∈ Z, a ≤ a
2) Antissimétrica: ∀a, b ∈ Z, a ≤ b e b ≤ a ⇒ a = b
3) Transitiva: ∀a, b, c ∈ Z, a ≤ b e b ≤ c ⇒ a ≤ c
17 / 29

Introdu¸cão
Sumário
1 Introdu¸cão
Propriedades
Anel
Outros axiomas
18 / 29

Introdu¸cão
As propriedades já citadas não são exclusivas dos Números Inteiros,
outros conjuntos (Racionais, Reais) também as possuem.
Propriedade adicional exclusiva dos Números Inteiros: Princ´ıpio da
boa ordena¸cão.
Conjunto limitado
Um subconjunto S de Z é limitado inferiormente, se existir
c ∈ Z (c é cota inferior) tal que c ≤ x para todo x ∈ S. Diremos
que a ∈ S é um menor elemento de S se a ≤ x para todo x ∈ S.
OBS: O conjunto vazio, apesar de não possuir nenhum elemento, é
limitado inferiormente, tendo qualquer número como cota inferior.
19 / 29

Introdu¸cão
Último axioma: Princ´ıpio da boa ordena¸cão
Resultado: Um menor elemento de S, se existir, é único!
9 Principio da Boa Ordena¸cão: Se S é um subconjunto não
vazio de Z e limitado inferiormente, então S possui um
menor elemento.
Esse é o axioma (9) que faltava para caracterizar o conjunto dos
Números Inteiros!
Em particular, como qualquer subconjunto de N é limitado inferi-
ormente (por 1), tempos que todo subconjunto não vazio de N
possui um menor elemento.
20 / 29

Introdu¸cão
Diferen¸cas entre o conjunto dos Números Inteiros e os demais con-
juntos, com rela¸cão ao PBO:
PBO - axioma exclusivo dos Números Inteiros
Tanto os Números Racionais como os Números Reais possuem
subconjuntos que são limitados inferiormente, mas não possuem
um menor elemento!
Exemplo: Intervalo (0,1).
21 / 29

Introdu¸cão
Propriedades dos Números Inteiros que decorrem do PBO
:
Não existe nenhum número inteiro n tal que 0 < n < 1.
Dado um número inteiro n qualquer, não existe nenhum
número inteiro m tal que n < m < n + 1.
Sejam a, b ∈ Z. Se ab = 1, então a = b ± 1.
Sejam a, b ∈ Z, com b = 0. Então existe n ∈ Z tal que nb>a.
22 / 29

Introdu¸cão
Princ´ıpio de Indu¸cão Matemática
Uma das mais importantes consequências do Princ´ıpio da Boa
Ordena¸cão (PBO):
Teorema: Princ´ıpio de Indu¸cão Matemática
Sejam S um subconjunto de Z e a ∈ Z tais que:
i) a ∈ S
ii) S é fechado com respeito à opera¸cão de“somar 1”a seus
elementos, ou seja,
∀n, n ∈ S ⇒ n + 1 ∈ S.
Então, {x ∈ Z; x ≥ a} ⊂ S.
23 / 29

Introdu¸cão
Defini¸cão: senten¸ca aberta
Uma senten¸ca aberta em n é uma frase de conteúdo
matemático onde figura a letra n como palavra e que se torna
uma senten¸ca verdadeira ou falsa quando n é substitu´ıdo por um
número inteiro bem determinado.
Teorema: Prova por Indu¸cão Matemática
Seja a ∈ Z e seja p(n) uma senten¸ca aberta em n. Suponha que:
i) p(a) é verdadeira
ii) ∀n ≥ a, p(n) verdadeira ⇒ p(n + 1) verdadeira.
Então, p(n) é verdadeira para todo n ≥ a.
24 / 29

Introdu¸cão
O principio da Indu¸cão Matemática admite uma variante, chamada
de Princ´ıpio da Indu¸cão Completa ou Segunda Forma do Prin-
c´ıpio da Indu¸cão ou ainda Indu¸cão Forte.
Teorema: Prova por Indu¸cão Completa
Seja p(n) uma senten¸ca aberta em n tal que:
i) p(a) é verdadeira
ii) ∀n, p(a), p(a + 1)..., p(n) verdadeira ⇒ p(n + 1) verdadeira.
Então, p(n) é verdadeira para todo n ≥ a.
OBS: Esses princ´ıpios são equivalentes.
25 / 29

Introdu¸cão
Princ´ıpio de Indu¸cão Matemática - Exemplo
A expressão f (x) = x2 + x + 41 gera número primo ∀x ∈ Z?
f(0)=41 é primo
f(1)=43 é primo
f(2)=47 é primo
f(3)=53 é primo
f(4)=61 é primo
f(5)=71 é primo
...
f(10)=151 é primo
f(39)= 1601 é primo
Mas,
f(40)=40*40+40+41=40(40+1)+41=40*41+41=41(40+1)=
=41*41=1681 é composto, logo não é primo.
26 / 29

Introdu¸cão
Princ´ıpio de Indu¸cão Matemática - Exerc´ıcios
5) Escada infinita: Suponha que se possa alcan¸car o 1o e o 2o de
graus de uma escada infinita e que uma vez estando em um
degrau, podemos alcan¸car dois degraus acima (um pulo). Quero
provar que posso alcan¸car qualquer degrau dessa escada.
6) Mostrar que todo número inteiro n, n>1, pode ser decomposto
em produto de primos.
7) Mostrar que qualquer número inteiro n, n>12, pode ser escrito
como soma de números 4 e 5.
27 / 29

Introdu¸cão
Aplica¸cões de Indu¸cão Matemática
Progressão Aritmética (PA) de ordem n
Define-se uma PA de ordem n como sendo uma sequência, que
não constitua uma PA, mas que as diferen¸cas dos seus termos
gerem uma PA de ordem n-1. Dando continuidade ao processo,
chegamos a uma PA de ordem 3, que gera uma PA de ordem 2,
que por fim, gera uma PA (processo em cadeia).
Uma sequência aritmética de ordem n é uma sequência em que a
fórmula que a define (polinômio caracter´ıstico) é uma fun¸cão
polinomial de grau n.
28 / 29

Introdu¸cão
Aplica¸cões de Indu¸cão Matemática
Progressão Aritmética (PA) de ordem n
É poss´ıvel obter tanto a fórmula fechada para o cálculo do termo
geral da sequência quanto a fórmula que calcula a soma dos n
primeiros termos da sequência.
De modo geral, temos:
PA ⇒ · polinômio caracter´ıstico (an): grau 1
· soma: polinômio de grau 2
PA de 2a ordem ⇒ · polinômio caracter´ıstico (an): grau 2
· soma: polinômio de grau 3
PA de na ordem ⇒ · polinômio caracter´ıstico (an): grau n
· soma: polinômio de grau n+1
29 / 29

Ordenação dos números inteiros

Recomendados

Recomendados

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados

Mais procurados (20)

Semelhante a Ordenação dos números inteiros

Semelhante a Ordenação dos números inteiros (20)

Último

Último (20)

Ordenação dos números inteiros