1) O documento discute os números naturais, incluindo sua definição, contagem e propriedades como adição, multiplicação e ordem. 2) É apresentada a lista de axiomas de Peano para definir os números naturais de forma recursiva usando o conceito de sucessor de um número. 3) As noções de cardinalidade e infinitude de conjuntos são explicadas, com a distinção entre conjuntos finitos e infinitos.

1. Sum´ario
N ´UMEROS NATURAIS
Luciana Santos da Silva Martino
PROFMAT - Col´egio Pedro II
06 de marc¸o de 2015

2. Introduc¸ ˜ao N´umeros Ordinais Adic¸ ˜ao, multiplicac¸ ˜ao e ordem N´umeros Naturais e Contagem
Sum´ario
1 Introduc¸ ˜ao
2 N´umeros Ordinais
3 Adic¸ ˜ao, multiplicac¸ ˜ao e ordem
4 N´umeros Naturais e Contagem

3. Introduc¸ ˜ao N´umeros Ordinais Adic¸ ˜ao, multiplicac¸ ˜ao e ordem N´umeros Naturais e Contagem
Outline
1 Introduc¸ ˜ao
2 N´umeros Ordinais
3 Adic¸ ˜ao, multiplicac¸ ˜ao e ordem
4 N´umeros Naturais e Contagem

4. Introduc¸ ˜ao N´umeros Ordinais Adic¸ ˜ao, multiplicac¸ ˜ao e ordem N´umeros Naturais e Contagem
N´umeros Naturais
Processo de contagem: duas etapas
Sequˆencia de palavras (um, dois, trˆes, ...), sem atribuir
significado a elas;
Estabelecimento de uma correspondˆencia entre os
elementos de um conjunto e estas palavras que
chamamos de n´umeros.
N˜ao importa como fac¸amos a correspondˆencia, o n´umero final
´e sempre o mesmo - o n´umero de elementos do conjunto

5. Introduc¸ ˜ao N´umeros Ordinais Adic¸ ˜ao, multiplicac¸ ˜ao e ordem N´umeros Naturais e Contagem
Outline
1 Introduc¸ ˜ao
2 N´umeros Ordinais
3 Adic¸ ˜ao, multiplicac¸ ˜ao e ordem
4 N´umeros Naturais e Contagem

6. Introduc¸ ˜ao N´umeros Ordinais Adic¸ ˜ao, multiplicac¸ ˜ao e ordem N´umeros Naturais e Contagem
N´umeros Ordinais
Descrever matematicamente a estrutura do conjunto dos n´umeros naturais,
no sentido de n´umeros ordinais
Os n´umeros naturais arrumados, organizados, ordenados numa sequˆencia
crescente estabelece a base matem´atica para definir os ordinais relativos
Giuseppe Peano (1858-1932): lista de axiomas,
baseada na noc¸ ˜ao de sucessor de um n´umero
natural

7. Introduc¸ ˜ao N´umeros Ordinais Adic¸ ˜ao, multiplicac¸ ˜ao e ordem N´umeros Naturais e Contagem
Os Axiomas de Peano
1 Todo n´umero natural tem um ´unico sucessor, que tamb´em
´e um n´umero natural.
2 N´umeros naturais diferentes tem sucessores diferentes.
3 Existe um ´unico n´umero natural, designado por 1, que n˜ao
´e sucessor de nenhum outro.
4 Seja X um conjunto de n´umeros naturais (isto ´e X ⊂ N).
Se 1 ∈ X e se, al´em disso, o sucessor de cada elemento
de X ainda pertence a X, ent˜ao X = N.
A noc¸ ˜ao de sucessor de um n´umero natural est´a intimamente relacionada `a
ideia de adic¸ ˜ao: tomar o sucessor ´e equivalente a somar uma unidade

8. Introduc¸ ˜ao N´umeros Ordinais Adic¸ ˜ao, multiplicac¸ ˜ao e ordem N´umeros Naturais e Contagem
Os Axiomas de Peano
1 Todo n´umero natural n tem um sucessor, representado po
n + 1.
2 Se m + 1 = n + 1, ent˜ao m = n.
3 Existe um ´unico n´umero natural, designado por 1, tal que
n + 1 = 1, para todo n ∈ N.
4 Seja X um conjunto de n´umeros naturais (isto ´e X ⊂ N).
Se 1 ∈ X e se, al´em disso, n + 1 ∈ X, para cada n ∈ X,
ent˜ao X = N.
O terceiro axioma estabelece 1 como sendo o ´unico n´umero natural que n˜ao
´e sucessor de nenhum outro e que, portanto, representa o “ponto de partida”
do conjunto N = {1, 2, 3, ...}

9. Introduc¸ ˜ao N´umeros Ordinais Adic¸ ˜ao, multiplicac¸ ˜ao e ordem N´umeros Naturais e Contagem
O Axioma da Induc¸ ˜ao
Seja X um conjunto de n´umeros naturais (isto ´e X ⊂ N). Se
1 ∈ X e se, al´em disso, n + 1 ∈ X, para cada n ∈ X, ent˜ao
X = N
Mecanismo para garantir que um dado subconjunto X de N
inclui, na verdade, todos os elementos de N.
Definic¸ ˜oes e provas por induc¸ ˜ao ou recorrˆencia.

10. Introduc¸ ˜ao N´umeros Ordinais Adic¸ ˜ao, multiplicac¸ ˜ao e ordem N´umeros Naturais e Contagem
O Axioma da Induc¸ ˜ao, usando a linguagem de
propriedades
: Uma propriedade P(n) relativa ao n´umero natural n ´e
v´alida para todos os valores naturais de N
Basta mostrar que 1 ∈ X e que o sucessor de cada elemento
de X tamb´em est´a em X.
i) P(1) ´e v´alida;
ii) Para todo n ∈ N, a validez de P(n) implica na validez de
P(n + 1).
⇒ A propriedade P(n) ´e v´alida para todos os valores de n.

11. Introduc¸ ˜ao N´umeros Ordinais Adic¸ ˜ao, multiplicac¸ ˜ao e ordem N´umeros Naturais e Contagem
Princ´ıpio da Induc¸ ˜ao Finita ou Induc¸ ˜ao Matem´atica
Seja P(n) uma propriedade relativa ao n´umero natural n.
Suponhamos que
i) P(1) ´e v´alida;
ii) Para todo n ∈ N, a validez de P(n) implica na validez de
P(n + 1).
Ent˜ao, P(n) ´e v´alida para todos os valores de n.

12. Introduc¸ ˜ao N´umeros Ordinais Adic¸ ˜ao, multiplicac¸ ˜ao e ordem N´umeros Naturais e Contagem
Exemplos e Exerc´ıcio
Exemplo 1: 1 + 3 + 5 + ... + (2n − 1) = n2
Exerc´ıcio 1.2 (p´ag.8): 1 + 22 + 32 + ... + n2 = n(n+1)(2n+1)
6
Exemplo 2: 1 + 3 + ... + (2n − 1) = n2 + 1 ?

13. Introduc¸ ˜ao N´umeros Ordinais Adic¸ ˜ao, multiplicac¸ ˜ao e ordem N´umeros Naturais e Contagem
Outline
1 Introduc¸ ˜ao
2 N´umeros Ordinais
3 Adic¸ ˜ao, multiplicac¸ ˜ao e ordem
4 N´umeros Naturais e Contagem

14. Introduc¸ ˜ao N´umeros Ordinais Adic¸ ˜ao, multiplicac¸ ˜ao e ordem N´umeros Naturais e Contagem
Definic¸ ˜ao por induc¸ ˜ao ou recorrˆencia
Seja a(n) um atributo relativo ao n´umero natural n.
Se definimos a(1) e estabelecemos como a(n + 1) pode ser
obtido a partir de a(n), para n ∈ N arbitr´ario, o Axioma da
Induc¸ ˜ao garante que o atributo a(n) estar´a definido para cada
n ∈ N.
Definic¸ ˜oes constru´ıdas dessa forma s˜ao chamadas definic¸ ˜oes
por induc¸ ˜ao ou recorrˆencia

15. Introduc¸ ˜ao N´umeros Ordinais Adic¸ ˜ao, multiplicac¸ ˜ao e ordem N´umeros Naturais e Contagem
Adic¸ ˜ao e multiplicac¸ ˜ao
Adic¸ ˜ao
Definic¸ ˜ao:
i) m + 1 ´e definido como o sucessor de m
ii) m + (n + 1) ´e definido como o sucessor de m + n, ou seja, como (m + n) + 1
Ideia intuitiva de que o valor de m + n ´e obtido acrescentando-se n vezes uma unidade
a m
Multiplicac¸ ˜ao
Definic¸ ˜ao:
i) m.1 = m
ii) m.(n + 1) = m.n + m
Propriedade distributiva da multiplicac¸ ˜ao em relac¸ ˜ao `a adic¸ ˜ao
Para quaisquer n´umeros naturais m, n e p, vale (m + n).p = m.p + n.p

16. Introduc¸ ˜ao N´umeros Ordinais Adic¸ ˜ao, multiplicac¸ ˜ao e ordem N´umeros Naturais e Contagem
Ordem
Noc¸ ˜ao de ordem
Definic¸ ˜ao:
Sejam m e n n´umeros naturais. Dizemos que m < n quando existe um n´umero natural
p tal que m + p = n
Propriedades usuais da ordem
Teorema:
a) Se m < n e n < p, ent˜ao m < p
b) Dados m, n ∈ N, vale uma, e somente uma, das alternativas: m = n, m < n ou
n < m
c) Se m < n ent˜ao, para qualquer p ∈ N, tem-se m + p < n + p e mp < np
Propriedade da Boa Ordenac¸ ˜ao
Todo subconjunto n˜ao vazio X ⊂ N possui um menor elemento. Isso significa que
existe um elemento n0 ∈ X que ´e menor que todos os demais elementos de X

17. Introduc¸ ˜ao N´umeros Ordinais Adic¸ ˜ao, multiplicac¸ ˜ao e ordem N´umeros Naturais e Contagem
Exerc´ıcios
Exerc´ıcio 1.4 (p´ag.9): Usando induc¸ ˜ao e a propriedade
associativa da adic¸ ˜ao, demonstre a lei do corte: Se m, n e p
s˜ao n´umeros naturais tais que m + p = n + p, ent˜ao m = n
Sugest˜ao: use induc¸ ˜ao em p, notando que o caso base da
induc¸ ˜ao ´e o segundo axioma de Peano
Exerc´ıcio 1.5 (p´ag.9):: Demonstre a propriedade transitiva da
ordem: Se Se m, n e p s˜ao n´umeros naturais tais que m < n e
n < p, ent˜ao m < p

18. Introduc¸ ˜ao N´umeros Ordinais Adic¸ ˜ao, multiplicac¸ ˜ao e ordem N´umeros Naturais e Contagem
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1 Introduc¸ ˜ao
2 N´umeros Ordinais
3 Adic¸ ˜ao, multiplicac¸ ˜ao e ordem
4 N´umeros Naturais e Contagem

19. Introduc¸ ˜ao N´umeros Ordinais Adic¸ ˜ao, multiplicac¸ ˜ao e ordem N´umeros Naturais e Contagem
N´umeros Cardinais
Definic¸ ˜ao:
Contar um conjunto X significa estabelecer uma correspondˆencia
biun´ıvoca entre os elementos de X e os de um subconjunto de N da
forma In = {x ∈ N|x ≤ n} = {1, 2, ..., n}. Quando ´e poss´ıvel
estabelecer tal correspondˆencia biun´ıvoca, dizemos que X ´e um
conjunto finito e que n ´e o n´umero cardinal ou o n´umero de
elementos de X
Um conjunto X ´e finito quando ´e vazio ou quando existe, para algum
n ∈ N, uma bijec¸ ˜ao
ϕ : In → X

20. Introduc¸ ˜ao N´umeros Ordinais Adic¸ ˜ao, multiplicac¸ ˜ao e ordem N´umeros Naturais e Contagem
Propriedades B´asicas da Contagem
Teorema:
a) O resultado da contagem (ou seja, o n´umero cardinal de X) ´e
sempre o mesmo, n˜ao importando a contagem que seja feita
b) Todo subconjunto Y de um conjunto finito X ´e finito e
n(Y) ≤ n(X). Tem-se n(Y) = n(X) somente quando Y = X
Definic¸ ˜ao: Um conjunto ´e infinito quando n˜ao ´e finito
Exemplo: N ´e infinto

21. Introduc¸ ˜ao N´umeros Ordinais Adic¸ ˜ao, multiplicac¸ ˜ao e ordem N´umeros Naturais e Contagem
Um conjunto pode ser “mais infinito” do que outro
Georg Cantor (1845-1918): Em conjuntos
infinitos a relac¸ ˜ao “estar contido em” n˜ao
significa “ser menor que” (O Paradoxo da
Reflexividade)
Definic¸ ˜ao:
Dizemos que dois conjuntos X e Y tˆem a
mesma cardinalidade quando ´e poss´ıvel
estabelecer uma correspondˆencia biun´ıvoca
entre X e Y (isto ´e, existe uma func¸ ˜ao bijetiva
f : X → Y)
Exemplo: O conjunto N dos n´umeros naturais e
P = {2n|n ∈ N} dos n´umeros pares tˆem a
mesma cardinalidade

22. Introduc¸ ˜ao N´umeros Ordinais Adic¸ ˜ao, multiplicac¸ ˜ao e ordem N´umeros Naturais e Contagem
Quando n˜ao ´e poss´ıvel obter uma bijec¸ ˜ao entre
dois conjuntos infinitos
Exemplo: Seja C o conjunto de todas as sequˆencias infinitas
em que todos os termos s˜ao iguais a 0 ou 1. N˜ao ´e poss´ıvel
estabelecer uma bijac¸ ˜ao entre N e C
O conjunto C ´e um exemplo de um conjunto n˜ao enumer´avel
Definic¸ ˜ao: Um conjunto X diz-se enumer´avel quando ´e finito
ou quando existe uma bijec¸ ˜ao f : N → X. No segundo caso, X
diz-se infinito enumer´avel

23. Introduc¸ ˜ao N´umeros Ordinais Adic¸ ˜ao, multiplicac¸ ˜ao e ordem N´umeros Naturais e Contagem
Definic¸ ˜ao:
Uma func¸ ˜ao de dom´ınio igual a N ´e chamada de sequˆencia
Conjuntos infinitos e conjuntos enumer´aveis podem ser
caracterizados em termos das propriedades das sequˆencias
de elementos destes conjuntos:
Um conjunto X ´e infinito se, e somente se, ´e poss´ıvel
construir uma sequˆencia (a1, a2, a3, ...) em que os termos
s˜ao elementos distintos de X (ou seja, quando h´a uma
func¸ ˜ao injetiva de N em X)
Um conjunto infinito X ´e enumer´avel se, e somente se, ´e
poss´ıvel construir uma sequˆencia (a1, a2, a3, ...) incluindo
todos os elementos de X (ou seja, quando h´a uma func¸ ˜ao
sobrejetiva de N em X)

24. Introduc¸ ˜ao N´umeros Ordinais Adic¸ ˜ao, multiplicac¸ ˜ao e ordem N´umeros Naturais e Contagem
Exerc´ıcios
Exerc´ıcio 1.7 (p´ag.13): Prove, por induc¸ ˜ao, que um conjunto
com n elementos possui 2n subconjuntos
Exerc´ıcio 1.11 (p´ag.13): Diga se ´e finito ou infinito,
justificando:
o conjunto de todos os n´umeros primos
Exerc´ıcio 1.13 (p´ag.14): Considere o conjunto N2 de todos os
pares ordenados de n´umeros naturais. Encontre uma
sequˆencia que inclua todos os elementos de N2, mostrando
assim que N2 ´e enumer´avel. Isto mostra que o conjunto dos
n´umeros racionais tamb´em ´e enumer´avel. Por quˆe?