Apostila Matemática Básica

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Apostila de Matemática Básica
Esta apostila tem por finalidade auxiliar os
alunos matriculados na disciplina
“Matemática Básica – Nivelamento” do Curso
de Licenciatura em Matemática do Campus
Universitário de Sinop. Nela, estão inseridos
os principais conceitos matemáticos em nível
básico, sendo requisitos necessários para a
compreensão de conteúdos que serão
abordados em outras disciplinas do curso.
Nela, as definições matemáticas aparecem
de forma clara e objetiva, além de apresentar
exemplos e vários exercícios para a fixação
dos conceitos.
Profa. Ms. Luciana M. Elias de Assis
Sumário
Aula 1 ............................................................ 2
Exercícios Aula 1 ......................................... 6
Links videoaulas : Aula 1................................ 9
Aula 2 ............................................................ 12
Exercícios Aula 2 ......................................... 15
Aula 3 ............................................................ 19
Exercícios Aula 3 ......................................... 27
Aula 4 ............................................................ 33
Exercícios Aula 4 ......................................... 36
Links videoaulas : Aula 4............................... 36
Aula 5 ............................................................ 37
Exercícios Aula 5 ......................................... 41
Aula 6 .................................................... 44
Exercícios Aula 6 ................................. 46
Links videoaulas : Aula 6........................ 49
Aula 7 .................................................... 50
Exercícios Aula 7 ................................. 52
Aula 8 ..................................................... 55
Exercícios Aula 8 ................................. 57
Links videoaulas : Aula 8......................... 60
Aula 9 .................................................... 61
Exercícios Aula 9 .................................. 64
Aula 10 .................................................. 68
Exercícios Aula 10................................... 69
Links videoaulas : Aula 10....................... 71
Aula 11 ................................................... 72
Exercícios Aula 11 ................................ 74
Links videoaulas : Aula 11...................... 77

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AULA 1
Conjuntos Numéricos
1. Conjunto dos Números Naturais
Os números naturais são usados para
indicar uma contagem, uma ordem ou um
código. A sequência dos números naturais
é: 0, 1, 2, 3, ..., e o conjunto que representa
esta sequência de números é denotado por:
= {0,1, 2, 3, 4, 5, 6, }
Conjunto dos Números Inteiros
Com o passar dos tempos os números
naturais tornaram-se insuficientes para a
resolução de todos os problemas
matemáticos e, na busca de suprir essas
necessidades, foi criado o conjunto dos
números inteiros, que é composto pelos
números naturais (inteiros positivos e o zero)
e os números inteiros negativos.
O conjunto dos números naturais é denotado
por:
= { -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, }
Podemos representar os números inteiros em
uma reta numérica. Veja:
Módulo, ou valor absoluto de um número
inteiro
Podemos determinar na reta numérica, a
distância de qualquer ponto em relação à
origem (representada pelo zero).
Assim, a distância entre qualquer ponto e a
origem da reta numérica é chamanda de
valor absoluto ou módulo de um número
associado a esse ponto.
Por exemplo: o valor absoluto do número +4
é 4 (a distância do ponto 4 à origem é 4).
Da mesma forma, o módulo de -3 é 3 (a
distância do ponto -3 à origem é 3)
Notação de módulo: |-a| = a
Conjunto dos Números Racionais
Os números racionais são todos os
números que podem ser colocados na forma
de fração, com o numerador e
denominador , ou seja, o conjunto
dos números racionais é a união do
conjunto dos números inteiros com as
frações positivas e negativas.
Pode ser representado por:
= {x | x = }
Exemplos: , ,
Conjunto dos Números Irracionais
Os números irracionais são decimais
infinitas não periódicas, ou seja, são números
que não podem ser escrito na forma de
fração.
Exemplos: Os números abaixo têm uma
representação decimal não periódica com
infinitas ordens decimais.
= 1,41421356
= 1,73205080
= 3,14155926

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Conjunto dos Números Reais
O conjunto dos números reais é a união
entre o conjunto dos números racionais com
o conjunto dos números irracionais.
Pode ser representado por:
= = {x | x é racional ou irracional}
Diagrama geral
De onde temos:
e
Resumo das notações utilizadas para os
conjuntos numéricos
conjunto dos números naturais:
conjunto dos números naturais com exceção
do zero:
conjunto dos números inteiros:
conjunto dos números inteiros não nulos:
conjunto dos números inteiros não negativos:
conjunto dos números inteiros positivos:
conjunto dos números inteiros não positivos:
conjunto dos números inteiros negativos:
conjunto dos números racionais:
conjunto dos números racionais não nulos:
conjunto dos números racionais não
negativos:
conjunto dos números racionais positivos:
conjunto dos números racionais não
positivos:
conjunto dos números racionais negativos:
conjunto dos números reais:
conjunto dos números reais não nulos:
conjunto dos números reais não negativos:
conjunto dos números reais positivos:
conjunto dos números reais não positivos:
conjunto dos números reais negativos:
Intervalos reais
São subconjuntos definidos por
desigualdades. Para observarmos os
diferentes tipos de intervalos reais,
consideramos os números reais a e b, tal que
a < b.

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 Intervalo fechado:
ou
a b
 Intervalo aberto:
ou
a b
 Intervalo fechado à esquerda e aberto à
direita:
ou
a b
 Intervalo aberto à esquerda e fechado à
direita:
ou
a b
 Intervalo ilimitado à esquerda e fechado à
direita:
ou
a
 Intervalo ilimitado à esquerda e aberto à
direita:
ou
a
 Intervalo fechado à esquerda e ilimitado à
direita:
ou
a
 Intervalo aberto à esquerda e ilimitado à
direita:
ou
a
OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS
Estudaremos agora, as quatro operações
possíveis no conjunto dos números naturais.
Praticamente, toda a matemática é
construída a partir dessas operações: adição,
subtração, multiplicação e divisão.
Adição de Números Naturais
A primeira operação fundamental na
matemática é a adição. Onde esta operação
esta ligada a ideia de juntar, acrescentar
algo.
Exemplo:
Propriedades da Adição
 Fechamento: A adição no conjunto dos
números naturais é fechada, pois a soma
de dois números naturais resulta em um
número natural.
a + b = c, onde a, b, c
Exemplo: 19 + 3 = 22
 Associativa: A adição no conjunto dos
números naturais é associativa, pois na
adição de três ou mais parcelas de
números naturais quaisquer, é possível

5
associar de quaisquer modos, conforme
ilustrado a seguir.
(a + b) + c = a + (b + c)
Exemplo: (2 + 6) + 1= 9 = 2 + (6 +1)
 Elemento Neutro: No conjunto dos
números naturais, existe o elemento
neutro que é o zero, pois tomando um
número natural qualquer e somando com
o elemento neutro (zero), o resultado
será o próprio número natural. Assim,
a + 0 = a
Exemplo: 5 + 0 = 5
 Comutativa: No conjunto dos números
naturais, a adição é comutativa, pois a
ordem das parcelas não altera a soma.
Assim:
a + b = b + a
Exemplo: 6 + 10 = 16 = 10 + 6
Subtração de Números Naturais
A subtração é o ato ou efeito de subtrair
algo, ou seja, tirar ou diminuir alguma
coisa. O resultado obtido através dessa
operação e denominado diferença.
Exemplo:
Diante da operação de subtração, são
retiradas algumas propriedades.
 O conjunto não é fechado em relação à
operação de subtração, pois 4 – 5 não
pertence a .
 O conjunto não possui elemento
neutro, em relação à operação de
subtração:
6 – 0 = 6 Entretanto: 0 – 6 6
Logo: 0 – 6 6 – 0
 A subtração no conjunto não admite a
propriedade comutativa, pois: 4 – 5 5 -
4.
 A subtração no conjunto não aceita a
propriedade associativa, pois (10 – 4) – 2
10 – (4 -2)
Multiplicação de Números Naturais
É a operação que tem por finalidade
adicionar o primeiro número denominado
multiplicador ou parcela, tantas vezes
quantas são as unidades do segundo número
denominado multiplicador.
Exemplo: 4 vezes 9 é somar o número 9
quatro vezes:
O resultado da multiplicação é
denominado produto e os números dados
que geram o produto, são chamados fatores.
Usamos x ou •, para representar a
multiplicação.
Propriedades da Multiplicação
 Fechamento: A multiplicação é fechada
no conjunto dos números naturais , pois
realizando o produto de dois ou mais
números naturais, o resultado estará em
.

6
 Associativa: Na multiplicação, podemos
associar 3 ou mais fatores de modos
diferentes. Assim,
(a b) c = a (b c)
Por exemplo:
(3 4) 5 = 3 (4 5) = 60
 Elemento Neutro: No conjunto dos
números naturais existe um elemento
neutro para a multiplicação que é 1.
Qualquer que seja o número natural n,
tem-se que: 1 n = n 1 = n
Por exemplo: 1 7 = 7 1 = 7
 Comutativa: Quando multiplicamos dois
números naturais quaisquer, a ordem dos
fatores não altera o produto, Assim,
a b = b a
Por exemplo: 3 4 = 4 3 = 12
 Distributiva: Multiplicando um número
natural pela soma de dois números
naturais, é o mesmo que multiplicar o
fator, por cada uma das parcelas e a
seguir adicionar as resultados obtidos.
Assim,
a (p + q) = a p + a q
Por exemplo: 6 (5 + 3) = 6 5 + 6 3 = 48
Divisão de Números Naturais
Dados dois números naturais, às vezes
necessitamos saber quantas vezes o
segundo está contido no primeiro. O primeiro
número que é o maior é denominado
dividendo e o outro número que é menor é o
divisor. O resultado da divisão é chamado
quociente. Se multiplicarmos o divisor pelo
quociente obteremos o dividendo.
No conjunto dos números naturais, a divisão
não é fechada, pois nem sempre é possível
obter um número natural como resultado na
divisão de outros dois números naturais.
Por exemplo: 8 3 = 2,66 Logo 2,66 não
pertence ao conjunto .
Relação essencial numa divisão de
números naturais
1. Em uma divisão exata de números
naturais, o divisor deve ser menor que o
dividendo.
Por exemplo: 35 : 7 = 5
2. Em uma divisão exata de números
naturais, o dividendo é produto do divisor
pelo quociente.
Por exemplo: 35 = 5 x 7
3. A divisão de um número natural n por
zero não é possível pois, se
admitíssemos que o quociente fosse q,
então poderíamos escrever:
n 0 = q
e isso significaria que: n = 0 x q = 0
o que não é correto! Assim, a divisão de n
por 0 não tem sentido ou ainda é dita
impossível.
EXERCÍCIOS – Aula 1
01) Pensei em dois números pares cuja soma
é 184. Um deles é o dobro do outro mais
4 unidades. Em que números pensei?

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02) A diferença entre dois números é 103.
Quais podem ser esses números? (tente
encontrar pelo menos 5)
03) Um fazendeiro tem 1394 vacas. Se
vender 484 delas para seu compadre,
ambos ficarão com a mesma quantidade
de vacas. Quantas vacas o compadre
possui?
04) Responda: Quantas unidades há em 43
dúzias de bananas? Quantos dias há em
50 meses? (considere um mês com 30
dias)
05) Em um trem com 8 vagões de
passageiros, cada vagão tem 28
poltronas de dois lugares cada uma.
Além disso, permite-se que, em cada
vagão, até 20 pessoas possam viajar em
pé. Qual é a lotação máxima permitida
nesse trem?
06) Compare e escreva igualdades aplicando
a propriedade distributiva da
multiplicação em relação à adição (ou à
subtração):
a) 6.(10 + 5) =
b) 4.(8 – 7 ) =
c) 5.(a + 8) =
d) 3.4 + 3. 7 =
07) Em uma semana, Juca vendeu 65 caixas
completas de picolés e 8 picolés avulsos.
Cada caixa completa contém uma dúzia
de picolés.
a) Quantos picolés ele vendeu nessa
semana?
b) Se sua cota semanal de vendas é de
80 caixas completas, quantos picolés
faltam para ele atingi-la?
08) Marcos pensou em um número e, em
seguida, dividiu-o por 8. A divisão foi
exata e o quociente foi 15. Em qual
número ele pensou?
09) Numa divisão, o quociente é 18, o resto é
7 e o divisor é 45. Calcule o dividendo.
10) Uma loja de produtos de limpeza possui
em seu estoque 130 caixas de
detergente. Cada caixa contém duas
dúzias de frascos. Um cliente fez uma
encomenda de 1200 frascos. Quantas
caixas restaram no estoque dessa loja?
11) Célia e Maria colecionam papéis de carta.
Célia tem o triplo da quantidade de
papéis de Maria. As duas juntas possuem
244 papéis de carta. Quanto tem cada
uma?
12) Três amigos brincavam de adivinhar
quantas figurinhas havia na coleção de
Anne. Seus palpites foram 294, 363 e
356. Um deles errou por 33 figurinhas,
outro errou por 36 e outro por 29,
quantas figurinhas Anne tem?
a) 323 b) 261 c) 352 d) 327
e) 341
13) A professora Daniela deseja presentear
os 22 alunos da sua classe com lápis e
canetas. Ela dispõe de 49 lápis e 32
canetas. Sabendo que nenhum aluno
ficou sem receber presentes e que todos
os presentes foram distribuídos, o que
podemos afirmar com certeza?
(a) Algum aluno ficou sem lápis.
(b) Todos os alunos receberam pelo
menos duas canetas.
(c) Algum aluno recebeu mais de três
itens.
(d) Nenhum aluno recebeu 10 lápis.
(e) todos receberam o mesmo número
de itens.
14) Uma cidade ainda não tem iluminação
elétrica, portanto, nas casas usam-se
velas à noite. Na casa da Joana, usa-se
uma vela por noite, sem queimá-la
totalmente, e com quatro desses tocos
de velas, Joana fabrica uma nova vela.
Durante quantas noites Joana poderá
iluminar sua casa dispondo de 39 velas?
(a) 10 (b) 48 (c) 51 (d) 39 (e) 50
15) Responda:
a) Qual é o menor número natural?
b) Existe o maior número natural?
c) Quantos números naturais existem? É
possível responder?
16) Responda:
a) Existe o menor número inteiro?

8
b) Quais os números naturais entre -3 e 5?
c) Quais os números inteiros entre -5 e 5?
17) Pedro pensou em um número inteiro.
Multiplicou o valor absoluto por 10 e
obteve 250. Em que número Pedro
pensou?
18) O antecessor de -100 é:
a) 99
b) 101
c) -99
19) Complete usando ou um número:
a) -20 ___ ; b) 67 ___ ; c) -22 ___
20) O que ocorre com os módulos de dois
números opostos ou simétricos?
21) Responda:
a) Qual é o valor de –(-35)?
b) Qual é o oposto do oposto de -86?
22) Qual é o valor destas expressões?
a) |+27| + |+35| =
b) |-81| + |-35| =
c) |-13| - |-15| =
d) |-21| - |+35| =
23) As letras m e n representam números
inteiros. Se m = |-49| e n = |+66|, então:
a) Qual é o valor de m? E o valor de n?
b) Qual é o valor da expressão m – n?
24) Responda:
a) Que número está mais distante da
origem: -900 ou -1000?
b) Que número está mais próximo da
origem: -60 ou 200? Qual deles é o
maior?
25) Calcule:
a) (+12) + (-8) =
b) (-25) + (-3) =
c) (+ 34) – (-56) =
d) (-320) – (-320) =
e) (+2) . (-3) =
f) (-4) . (-3) =
26) As letras a, b, x e y represntam números
naturais.
a) Se o produto (x.y) é 30, então qual é o
valor de 2.(x.y)?
b) Se a soma (a + b) é 10, então qual é o
valor de 7.(a + b)?
c) Se a diferença (x – y) é 50, então qual é
o valor de 6.(x – y)?
27) O produto de dois números é 40.
a) Multiplicando-se um dos fatores por 3,
qual será o novo produto?
b) Multiplicando-se os dois fatores por 3,
qual será o novo produto?
c) Multiplicando-se um dos fatores por 2 e o
outro por 5, qual será o novo produto?
28) A soma de dois números é 80.
Multiplicando-se cada um desses
números por 6, qual será a nova soma?
29) Considere que as letras a e b
representam números naturais e que a +
b = 45 Responda:
a) Qual é o valor de (a + b) + 100?
b) Qual é o valor de (a + b) - 100?
30) Quatro números naturais são
consecutivos. Um deles é 99. Nessa
situação podemos afirmar que a soma
desses números:
a) Pode ser maior que 400.
b) É sempre maior que 400
c) É sempre menor que 400.
d) Nenhuma das anteriores é verdadeira.
31) Nesta figura, as letras x, y e z
representam números naturais. Podemos
afirmar que:
y 402 x 1000 z
a) x, y e z são escritos com 4 algarismos.
b) y< x < 1000
c) x < y < z
d) x + y + 402 = z
32) Luis tem uma coleção de bolinhas de
gude. Ontem ele ganhou 24 bolinhas
novas de seu primo e ficou com 150.

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Desse modo, podemos afirmar que, antes
de ganhar esse presente de seu primo,
Luís tinha:
a) 124 bolinhas
b) 125 bolinhas
c) 174 bolinhas
33) As letras a e b representam números
naturais e a+b=500. Então, podemos
afirmar que (a + b) 20 é igual a:
a) 5000 20; b) 25; c) 2500; d) 250
34) Represente cada conjunto escrevendo
seus elementos entre chaves.
a)
b)
c)
d)
35) Represente geometricamente:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
36) Escreva o intervalo correspondente a
cada representação geométrica:
a)
-3 4
b)
10
c)
2 11
d)
-15 0
e)
-23 -5
Gabarito:
1) 60 e 124
2) 176 e 73; 183 e 80, etc
3) 426 vacas
4) 516; 1500 dias
5) 608 pessoas
6) –
7) 788; 172
8) 120
9) 817
10)80 caixas
11)Célia: 183 e Maria:61
12)327
13)c
14)48
15)a) 0; b) não; c) infinitos; não
16)a) não; b) 0,1,2,3,4,5; c) -5,-4,...,5
17)-25 ou 25
18)-99
19)a) ; b) ; c)
20)são iguais
21)a) 35; b) -86;
22)a) 62; b) 116; c) -2; d) -14
23)a) 49;66 b) -17
24)a) -1000 e b) -60;200
25)a) 4; b) -28; c) 90; d) 0; e) -6; d) 12
26)a) 60; b) 70; c) 300
27)a) 120; b) 360; c) 400
28)480
29)a)145; b)
30)a
31)b
32)c
33)b
34)–; 35) –
36)a) [3,4], b) ]- ,10]; c) ]2,11]; d) ]-15,
0[;e) [-23, -5[;
Links videoaulas: aula 1
Videoaula 1 – Conjuntos Numéricos
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/conjuntos-numericos

10
Videoaula 2 – Conjuntos Numéricos 1
gues/conjuntos-numericos-1
Videoaula 3 – Adição Básica
gues/adicao-basica
Videoaula 4 – Adição nível 2
gues/adicao-nivel-2-video-1
Videoaula 5 – Soma nível 2
gues/soma-nivel-2-video-21
gues/soma-nivel-31
gues/soma-nivel-41
Videoaula 8 – Somando números negativos
gues/somando-numeros-negativos
Videoaula 9 – subtração, método alternativo
mental
gues/subtracao-metodo-alternativo-mental
Videoaula 10 – subtração Básica
gues/subtracao-basica
Videoaula 11 – subtração nível 2
gues/subtracao-nivel-2
Videoaula 14 – Método de multiplicação por
grades
gues/metodo-de-multiplicacao-por-grades1
Videoaula 15 – Multiplicação Básica
gues/multiplicacao-basica1
Videoaula 16 – Multiplicação nível 2 -
tabuadas
gues/multiplicacao-nivel-2-tabuadas
Videoaula 17 – Multiplicação nível 3 –
tabuadas 10, 11 e 12
gues/multiplicacao-nivel-3-tabuadas-do-10-
11-e-121
Videoaula 18 – Multiplicação nível 4 – dois
dígitos vezes um digito
gues/multiplicacao-nivel-4-dois-digitos-vezes-
um-digito1
Videoaula 19 – Multiplicação nível 5 – dois
dígitos vezes dois dígitos
gues/multiplicacao-nivel-5-dois-digitos-vezes-
dois-digitos1
Videoaula 20 – Multiplicação nível 6 –
múltiplos dígitos
gues/multiplicacao-nivel-6-multiplos-digitos1
Videoaula 21 – Multiplicação nível 7 – mais
exemplos
gues/multiplicacao-nivel-7-mais-exemplos1
Videoaula 22 – multiplicação (porque
negativo vezes negativo da positivo)
gues/por-que-negativo-vezes-negativo-da-
positivo
Videoaula 23 – divisão básica
gues/divisao-basica1
Videoaula 24 – divisão entre números
racionais
gues/divisao-de-numeros-racionais
Videoaula 25 – divisão nível 2
gues/divisao-nivel-21

11
Videoaula 28 – divisão parcial de quociente
gues/divisao-parcial-de-quociente
Videoaula 29 – propriedade inversa da
adição
gues/propriedade-inversa-da-adicao
Videoaula 30 – propriedade inversa da
multiplicação
gues/propriedade-inversa-da-multiplicacao
Videoaula 31 – propriedade do 1
gues/propriedades-do-numero-1
Videoaula 32 – propriedade do 1 – segundo
exemplo
gues/propriedades-do-numero-1-segundo-
exemplo
Videoaula 33 – propriedade associativa da
adição
gues/propriedade-associativa-da-adicao
Videoaula 34 – propriedade associativa da
multiplicação
gues/propriedade-associativa-da-
multiplicacao
Videoaula 35 – propriedade comutativa da
adição
gues/propriedade-comutativa-da-adicao
Videoaula 36 – propriedade comutativa da
multiplicação
gues/propriedade-comutativa-da-
multiplicacao
Videoaula 37 – a propriedade distributiva
gues/a-propriedade-distributiva
Videoaula 38 – propriedade distributiva –
exemplo 1
gues/propriedade-distributiva-exemplo-1
Videoaula 39 – propriedade do zero
gues/propriedade-do-zero

12
Aula 2
CÁLCULO DE EXPRESSÕES NUMÉRICAS
Para calcular corretamente qualquer
expressão numérica, é necessário obedecer
algumas prioridades. Então, devemos ter em
mente que devemos fazer os cálculos na
seguinte ordem:
1. parênteses( ), colchetes [ ] e chaves{ }
2. potência e raiz
3. multiplicação e divisão
4. soma e subtração
Obs.:
i) Sinais nas operações de multiplicação e
divisão de números reais:
x + -
+ + -
- - +
ii) Na soma e subtração entre números reais
prevalece o sinal do maior.
Exemplos:
a) 15 + (-4) 3 – 10 =
=15 – 12 – 10 =
=-7
b) 5² + – [ 20 : (-4) + 3] =
=25 + 3 – [(-5) + 3] =
=25 + 3 – [-2] =
=25 + 3 + 2 =
=30
c) 2 + {3 – [1 + (2 – 5 + 4)] + 8} =
=2 + {3 – [1 + 1] +8} =
=2 + {3 – 2 + 8} =
=2 + 9 =
=11
d) 36 + 2{25 + [18 – (5 – 2)3]} =
=36 + 2{25 + [18 – (3)3]} =
=36 +2{25 + [18 – 9]} =
=36 +2{25 + 9} =
=36 + 2 34 =
=36 + 68 =
=104
e) [(5² - 6 2²)3 + (13 – 7)² : 3] :5 =
=[(25 – 6 4)3 + 6² : 3] :5 =
=[(25 – 24)3 + 36 :3] :5 =
=[1 3 + 12] :5 =
=[3 + 12] : 5 =
=15 : 5 = 3
Introdução à aritmética dos Números
Números Primos
Chamamos de número primo qualquer
número natural n>1 que tenha apenas dois
divisores diferentes: 1 e ele próprio.
Os números que têm mais de dois
divisores são chamados de números
compostos.
Exemplos:
a) 23 é um número primo. Seus únicos
divisores são: 1 e 23.
b) 42 é um número composto. Além de ser
divisível por 1 e 42, é também divisível por 2,
3, 6, 7, 14 e 21.
Reconhecendo números primos
Crivo de Eratóstenes
O Crivo de Eratóstenes foi um dos primeiros
métodos conhecidos para se encontrar
números primos, que consiste em organizar
os números inteiros positivos a partir do
número 2, em ordem crescente, numa tabela
composta por números de 2 a n, e remover
os múltiplos de cada primo determinado.

13
Logo, aparecerão nessa sequência números
que não serão múltiplos dos anteriores e,
portanto, não serão removidos da tabela.
Estes números serão os números primos
procurados.
Inicialmente, colocamos na tabela, uma
sequência de inteiros positivos numerados de
2 a 100 conforme segue:
Aplica-se o conceito de número primo para o
inteiro positivo 2. Sabendo-se que o número
2 é um número primo, marca-se na tabela
todos os números que sejam múltiplos de 2;
O primeiro número da sequência que
aparecer sem estar marcado será um
número primo, que neste caso, é o número 3.
Em seguida, marca-se todos os números que
sejam múltiplos de 3;
O próximo número que aparecer sem estar
marcado, que neste caso, é o número 5, será
o nosso terceiro número primo da sequência
numérica da tabela.
Seguindo este raciocínio um número finito de
vezes, é possível ao final determinar todos os
números primos p compreendidos entre 2 e
100 da tabela acima.
Obs: é possível ainda, criar uma sequência
de números primos acima de 100 a partir do
crivo de Eratóstenes.
Além disso, para saber se um número é
primo, podemos utilizar o seguinte algoritmo:
1º) Dado um número natural n, calcule .
Se a raiz for exata, significa que temos um
número quadrado perfeito e, portanto
composto. Se a raiz quadrada não for exata,
pegue somente a parte inteira do número
obtido.
2º) Divida n por todos os naturais maiores do
que 1 até chegar ao número obtido a partir
do calculo da raiz quadrada de n.
3º) Se n não for divisível por nenhum dos
números da sequência iniciada em 2 e
terminada no maior número inteiro menor do
que , dizemos que este número n é primo.
Caso exista algum divisor nessa sequência,
então n será composto.
Por exemplo: Verifique se n=1167 é primo.
1º)
2º) Seja 34 o maior natural menor do que
3º) Dividindo 1167 por 2, 3, 4, 5, 6, ...., 34
temos que 3 é um divisor de 1167.
Portanto,1167 não é um número primo, pois
389 x 3 = 1167
Decomposição em fatores primos
Um número composto pode ser
decomposto em fatores primos. sendo
utilizado o método das divisões sucessivas.
Exemplo:

14
630 = 2 x x 5 x 7
Números primos entre si
Dois números são denominados primos
entre si, quando o único divisor comum entre
os dois é o número 1.
Exemplo: Determine os divisores comuns
de 15 e 16
D(15) = {1, 3, 5, 15}
D(16) = {1, 2, 4, 8, 16}
Portanto o único divisor comum de 15 e 16 é
1.
Máximo divisor comum (m.d.c)
O máximo divisor comum de dois ou mais
números, na forma fatorada, é o maior divisor
comum entre eles.
Cálculo do m.d.c.
 Um dos modos de calcular o m.d.c de
dois ou mais números consiste em utilizar
a decomposição desses números em
fatores primos.
1º) Decompor os números em fatores primos;
2º) Realizar o produto dos fatores primos
comuns (os fatores primos comuns são
considerados com o menor expoente).
Exemplo:
Acompanhe o calculo do m.d.c entre 84 e 90:
84 = 2 x 2 x 3 x 7 = 36 =
90 = 2 x 3 x 3 x 5 = 90 =
O m.d.c é o produto dos fatores primos
comuns com menor expoente (neste caso, os
expoentes são iguais nos dois números,
então, basta pegar o fator primo de qualquer
um dos números) . Portanto, m.d.c (84,90) =
2 x 3 = 6
O m.d.c de dois ou mais números, quando
fatorados, é o produto dos fatores comuns a
eles, cada um elevado ao menor expoente.
 Calculo do m.d.c pelo processo das
divisões sucessivas.
Neste processo efetuamos sucessivas
divisões utilizando o algoritmo da divisão, até
chegar a uma divisão exata. O último resto
não nulo das sucessivas divisões será o
m.d.c. procurado.
Exemplo: Calcule m.d.c (48,30)
1. Dividimos o número maior pelo número
menor;
48 30 = 1 (com resto 18)
2. Realize uma nova divisão entre o divisor
30 com o resto 18 obtido.
Repita este processo até que o resto seja
zero.
Assim:
dividendo = quociente x divisor + resto
48 = 1 x 30 + 18
30 = 1 x 18 + 12
18 = 1 x 12 + 6
12 = 2 x 6 + 0
3. O último resto não nulo obtido a partir das
sucessivas divisões feitas acima
corresponde ao número 6. Portanto,
m.d.c (48,30) = 6
Mínimo múltiplo comum (m.m.c)
O mínimo múltiplo comum de dois ou mais
números naturais é o menor dos múltiplos
comuns a eles, diferentes de zero.
Ou ainda:
O mínimo múltiplo comum de dois ou mais
números escritos na forma fatorada, é o
produto dos fatores comuns e não comuns
desses números. Os fatores comuns são
considerados com o maior expoente.

15
Cálculo do m.m.c
Para calcular o m.m.c de dois ou mais
números podemos usar:
 Decomposição simultânea em fatores
primos.
Exemplo:
Calcular o m.m.c entre 18,25 e 30.
m.m.c (18,25,30) = =
= 450
 Decompondo cada número
separadamente.
1º) decompor em fatores primos cada
número;
2º) multiplicar os fatores primos comuns e
não comuns e, entre os fatores comuns,
escolher aquele que apresenta maior
expoente.
Exemplo:
18 = 2 x 32
30 = 2 x 3 x 5
25 = 52
Então, mmc (18,25,30) = 2 x 32
x 52
= 450
01) Três crianças com idades acima de um
ano estão brincando em um pátio. Sabe-se
que o produto das idades delas é igual a 105.
Qual é a idade da mais velha? Justifique sua
resposta.
02) Dentre os números abaixo, existe um que
é o resultado da multiplicação do número
quatro com certo número primo. Qual é este
número?
a) 252 b) 84 c) 200 d) 204 e) 124
03) O professor de Matemática disse que
tinha uma certa quantidade de dinheiro que
era divisível por 5, por 6 e por 7. É claro que
essa quantidade pode ser zero. Mas, se ela
não for nula, qual é o seu menor valor?
04) Em uma mercearia o proprietário deseja
estocar 72 garrafas de água, 48 de suco e 36
de mel em caixas com o maior número
possível de garrafas, sem misturá-las e sem
que sobre ou falte garrafa. Qual deve ser a
quantidade de garrafas por caixa?
05) Pense em um número natural e em seu
dobro. Diga qual é o mmc dos dois e dê um
exemplo.
06) Indique se é verdadeira (V) ou falsa (F)
cada uma das seguintes afirmações:
a) Todos os números pares são múltiplos de
dois.
b) Qualquer número é divisor de si próprio.
c) Todos os múltiplos de três são números
ímpares.
d) O número um é múltiplo de todos os
números naturais.
e) O conjunto dos múltiplos de sete, é um
conjunto infinito.
f) Um é divisor de qualquer número
g) Qualquer número é múltiplo de si próprio

16
07) Paulo está doente. O médico receitou-lhe
um comprimido de 6 em 6 horas e uma
colher de xarope de 4 em 4 horas. Seu pai
deu-lhe um comprimido e uma colher de
xarope à zero hora (meia noite). Qual é o
primeiro horário em que Paulo voltará a
tomar comprimido e xarope ao mesmo
tempo?
08) Uma escada tem 30 degraus. Rubinho
está subindo essa escada de 3 em 3 degraus
e Felício de 2 em 2 degraus. Responda:
a) Algum deles vai pisar no 15º degrau?
b) Algum deles vai pisar no 23º degrau?
c) Algum deles vai pisar no 18º degrau?
d) Em quais degraus os dois irão pisar
juntos?
09) Daniel escreveu a lista, em ordem
crescente, de todos os números inteiros de 1
a 100 que são múltiplos de 7 ou tem o
algarismo 7. Os três primeiro números da
lista são 7, 14 e 17. Quantos números possui
essa lista?
a) 28; b) 29; c) 30; d) 31; e) 32
10) De que forma explícita podemos escrever
o conjunto de todos os múltiplos de um
número natural n?
11) Quantos elementos possui e como é
escrito o conjunto dos múltiplos do elemento
0?
12) Para obter os divisores de um número
natural a, basta saber quais os elementos
que, multiplicados entre si, têm por resultado
o número a. Com base nessa afirmação,
obtenha o conjunto de divisores de cada um
dos números: 13, 18, 25, 32 e 60.
13) Conhecendo um método para identificar
os números primos, verifique quais dos
seguintes números são primos:
a) 49; b) 37; c) 12; d) 11
14) Qual é o menor número primo com dois
algarismos?
15) Qual é o menor número primo com dois
algarismos diferentes?
16) Exiba todos os números primos
existentes entre 10 e 20?
17) Decompondo o número 192 em fatores
primos encontramos:
a) três fatores 2
b) cinco fatores 2
c) seis fatores 2
d) dois fatores 3
e) um fator 3
18) Usando a decomposição em fatores
primos calcule:
a) mdc ( 28, 70 )
b) mmc ( 49, 15 )
c) mmc ( 32, 56 )
d) mmc ( 48, 72 )
e) mmc ( 28, 70 )
f) mmc ( 12, 14, 16 )
g) mdc ( 60, 46 )
h) mdc ( 64, 80, 52 )
19) Indique, dentre estas opções, aquela que
apresenta todas as informações corretas:
a) 12 é múltiplo de 2,3 e de 9;
b) 2, 3 e 7 são divisores de 7;
c) 2,3 e 6 são divisores de 12;
d) 12 é múltiplo de 24 e 39.
20) Determine apenas o sinal de cada
produto:
a) (-5).(+2).(-2).(+3).(-3)
b) (-1).(+3).(-7).(+2).(+5)
c) (-27).(+118).(+76).(-17).(+125)
21) Qual é o quociente da divisão de -204
pelo oposto de -12?
22) Observe este produto: (+14).(-65) = -910
a) Qual é o valor do quociente (-910) (-65)?
b) Qual é o valor do quociente (-910) (+14)?
23) Calcule mentalmente e anote o resultado:
a) (-18) (+6) =
b) (-35) (-5) =
c) (+70) (+7) =
d) (-49) (+7) =
24) Decomponha -60 em um produto de dois
números inteiros. Apresente no mínimo três
respostas diferentes.
25) O produto de dois números inteiros é
900. Um deles é -25, qual é o outro?
26) Calcule o quociente do oposto do oposto
de -768 por -16.

17
27) A letra n representa um número inteiro.
Descubra o valor de n nesta igualdade: n +
(- 25) = - 8
28) O dobro de um número inteiro é igual a
-150. Descubra que número é esse.
29) Resolva as expressões numéricas:
a) (12 + 37) 5 =
b) 5 + 2 4 – 9 : 3 =
c) 507 – (123 : 3) =
d) [100 + (6² - 23) 7] =
e) 80 – 5(57 – 18) : (9 + 4)7 =
f) {[ + (50 : 5) – (- 3)] + 45} =
g) 91 + 5823 : 647 =
h) 6(10000 + 100 + 1) – 6(3 7 13
37) =
i) [(1 + 2) : 3 + 4] : 5 + 6 =
j) 25 + {3³ : 9 + [3² 5 – 3(2³ - 5)]}
k) (-2)³ + (-3)² - 25 =
l) 24 6 + {[89 – 30 7] (5 + 8) 6}=
m) [30 (9 – 6)] + [30 : (9 + 6)]=
n) 5(8 + 15 – 7 + 23 +3) =
o) {20 + [12 + 3(6 – 2) – 8] 7} =
p) 3(5 +3) – [(12 + 4²) : 2] =
30) Dividindo 100 por 9, o resto encontrado é
diferente de zero. De acordo com essas
informações, responda.
a) Qual o resto da divisão de 100 por 9?
b) 100 é múltiplo de 9?
c) Qual o primeiro múltiplo de 9 antes e
após 100?
31) Um livro tem 190 páginas. Li 78 e quero
termina-lo em 4 dias, lendo o mesmo
número de páginas em cada dia. Quantas
páginas lerei por dia?
32) Uma quitanda recebeu uma remessa de
25 caixas de ovos. Cada caixa contém 10
dúzias. Quantas cartelas, com 30 ovos
cada uma podem ser formadas com essa
quantidade?
33) Ao final de um dia de trabalho de três
garçons, um deles contou 24 reais de
gorjeta, o segundo 57 reais e o terceiro
recebeu 39 reais. Como eles sempre
dividem a gorjeta por igual, quantos reais
cada um recebeu nesse dia?
34) Resova:
a) 2 + 3 x 5 : 4 – 3 =
b) 30 . 2 + 5 – (12 : 3) + 5 . 4 =
c) 4.(5 + 4 . 4) – 2.(8 – 3) . 12 : 4 =
35) Coloque V (verdadeiro) ou F (falso).
a) ( ) 1000 = 7 x 142 + 4.
b) ( ) 200 é múltiplo de 8.
c) ( ) 169 = 13 x 13.
d) ( )12 x 12 = 144.
35) Resolva as expressões numéricas:
a) (125 + 85) · 16 =
b) 621 − (50 ÷ 5) =
c) 5 + 3 · 2 − 6 ÷ 2 =
d) (3 · 3 + 4 · 4 + 5 · 5) − 24 ÷ 3 ÷ 4 =
e) (10 + 5) · 2 − (5 + 5) ÷ 2 =
f) (6 · 3 + 2 · 2 + 5 · 0) + 12 ÷ 3 =
g) 2 · {[20 · (3 + 4) − 5 · (1 + 3)] − 3} =
h) 1000 − [(2 · 4 − 6) + (2 + 6 · 4)] =
i) [6+(9÷3)·(2+2+42)·170·(40÷8−3)]÷1−2 =
j) 24 · 6 + {[89 − 30 · 7] · (5 + 8) · 6} =
k) 2 · [−3 + (5 − 6)] =
l) [−(−3) − 5 − (+1)] · [10 ÷ (−5)] =
m) 60 + 2 · {[4 · (6 + 2) − 10] + 12} =
n) [(4 + 16 · 2) · 5 − 10] · 100 =
o) {10 + [5 · (4 + 2 · 5) − 8] · 2} − 100 =
p) 80 − 5 · (28 − 6 · 4) + 6 − 3 · 4 =
q) 4 · (10 + 20 + 15 + 30) =
r) (10 · 6 + 12 · 4 + 5 · 8) − 40 =
s) [6 · (3 · 4−2 · 5)−4]+3 · (4−2)−(10÷2) =
t) 67 + {50 · [70 ÷ (27 + 8) + 18 ÷ 2] + 21} =
u) [30 · (9 − 6)] + [30 ÷ (9 + 6)] =
v) 58 − [20 − (3 · 4 − 2) ÷ 5] =
w) 40 + 2 · [20 − (6 + 4 · 7) ÷ 2] =
36) Escreva a expressão numérica associada
às operações indicadas:
a) Adicionei 10 com 18 e multipliquei o
resultado por 2.
b) Adicionei 10 com 8 e dividi o resultado por
2.
c) Subtraí 20 de 50 e multipliquei a diferença
por 3.
d) Subtraí 20 de 50 e dividi a diferença por 5.
37) Apresente uma expressão numérica que
resolva o problema a seguir:

18
O Álbum de figurinhas de Giuliano contém 10
folhas com espaço para 6 figurinhas, 12
folhas para 4 figurinhas e 5 folhas para 8
figurinhas. Se Giuliano já colou 40 figurinhas,
quantas ainda faltam para completar o
álbum?
38) Numa divisão, o quociente é 12, o divisor
vale 15 e o resto, o maior possível.
a) Qual o resto?
b) Qual o dividendo?
39) Carlos dividiu 1000 por 12 e encontrou
resto diferente de zero. De acordo com essa
informação, responda.
a) 1000 é múltiplo de 12?
b) Qual é o resto da divisão de 1000 por 12?
c) Qual o primeiro múltiplo de 12 após 1000?
Links de videoaulas – aula 2:
Videoaula 01 –introdução a ordem das
operações
gues/introducao-a-ordem-das-operacoes
Videoaula 02 –ordem das operações
gues/ordem-das-operacoes
Videoaula 03 –ordem das operações 1
gues/ordem-das-operacoes-1
Videoaula 04 – exemplo mais complexo
sobre a ordem das operações
gues/exemplo-mais-complexo-sobre-ordem-
das-operacoes
Videoaula 05 – números primos
gues/numeros-primos
Videoaula 06 – o Teorema Fundamental da
Aritmética
gues/o-teorema-fundamental-da-aritmetica
Videoaula 07 – reconhecendo números
primos
gues/reconhecendo-numeros-primos
Videoaula 08 – encontrando os divisores de
um número
gues/encontrando-os-divisores-de-um-
numero
Videoaula 09 – divisores comuns - exercícios
gues/divisores-comuns-exercicios
Videoaula 10 – máximo divisor comum (mdc)
www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/
maximo-divisor-comum-mdc
Videoaula 11 – encontrando denominadores
comuns
gues/encontrando-denominadores-comuns
Videoaula 12 – mínimo múltiplo comum
(mmc)
gues/minimo-multiplo-comum1
Videoaula 13 – testes de divisibilidade por 2,
3, 4, 5,6,9 e 10
gues/testes-de-divisibilidade-para-2-3-4-5-6-
9-10

19
Aula 3
Representações Decimais
Frações Decimais
São frações em que o denominador é uma
potência de 10.
Exemplos:
Toda fração decimal pode ser escrita na
forma decimal (escrita numérica com
vírgula)
Para uma melhor compreensão vamos ver
como funciona o nosso sistema de
numeração.
O sistema de numeração decimal é
posicional, isto é, o valor do algarismo
depende da posição que ele ocupa no
numeral conforme segue.
.... Unidades de Milhar centena
dezena Unidade ....
Cada posição da esquerda para a direita
corresponde a um grupo 10 vezes menor que
o anterior.
Por exemplo: Numeral descrito com
potências positivas de 10:
Se prosseguirmos com o mesmo padrão,
criando ordens à direita da unidade, teremos:
.... Unidades , Décimos Centésimos
Milésimos ....
Assim:
 Registramos a décima parte da unidade
como 0,1, que é a forma decimal de .
 A centésima parte da unidade
corresponde a 0,01:
 A milésima parte da unidade corresponde
a 0,001:
Assim, se continuarmos uma casa a direita
da casa das unidades, ela deve representar
uma quantidade 10 vezes menor, ou seja,
representar o “décimo”.
Por exemplo: usamos as décimas partes da
unidade, , que são
potências negativas de 10, para representar
as frações.
Exemplo:
Transformando uma fração decimal na
forma decimal finita
Coloca-se uma vírgula para
separar a parte inteira da parte
fracionária

20
A representação decimal de um número
racional consiste em escrever o numerador e
separar à direita da vírgula, tantas casas
quantos são os zeros do denominador.
Exemplos:
a)
b)
c)
OBS: Quando a quantidade de algarismos do
numerador não é suficiente para colocar a
vírgula, acrescentamos zero à esquerda do
número.
Exemplos:
a)
b)
Fique atento....
A fração pode ser escrita na forma mais
simples, como: , onde 1 representa
a parte inteira e 27 representa a parte
decimal.
Esta notação subentende que a fração
pode se decomposta na seguinte forma:
Transformando um número na forma
decimal finita em uma fração decimal
Para obter um número racional a partir de
sua representação decimal basta escrever
uma fração em que:
• O numerador é o número decimal sem a
vírgula.
• O denominador é o número 1 seguido de
tantos zeros quantos forem os algarismos do
número decimal depois da vírgula.
Exemplos:
a)
b)
c)
OBS: O número de casas depois da vírgula é
igual ao número de zeros do denominador.
Propriedades:
Zeros após o último algarismo
significativo: Um número decimal não se
altera quando se acrescenta ou se retira um
ou mais zeros à direita do último algarismo
não nulo de sua parte decimal.
Exemplos:
a) 0,5 = 0,50 = 0,500 = 0,5000
b) 1,002 = 1,0020 = 1,00200
Multiplicação por uma potência de 10:
Para multiplicar um número decimal por 10,
por 100, por 1000, basta deslocar a vírgula
para a direita uma, duas, ou três casas
decimais.
Exemplos:
a) 7,4 x 10 = 74
b) 7,4 x 100 = 740
c) 7,4 x 1000 = 7400
Divisão por uma potência de 10: Para
dividir um número decimal por 10, 100, 1000,

21
etc, basta deslocar a vírgula para a esquerda
uma, duas, três, .... casas decimais.
Exemplos:
a) 247,5 10 = 24,75
b) 247,5 100 = 2,475
c) 247,5 1000 = 0,2475
Leitura dos números com representação
decimal
Exemplos:
0,6 = seis décimos
0,37 = trinta e sete centésimos
0,189 = cento e oitenta e nove milésimos
3,7 = três inteiros e sete décimos
13,45 = treze inteiros e quarenta e cinco
centésimos
130,824 = cento e trinta inteiros e oitocentos
e vinte e quatro milésimos
Comparação entre números na forma
decimal
Para compararmos dois números escritos na
forma decimal, primeiro comparamos as
partes inteiras. O maior número será aquele
que tiver a maior parte inteira.
Exemplo: 2,12 >1,98
Se as partes inteiras forem iguais,
comparamos as ordens dos décimos. Se
estas forem iguais, comparamos as ordens
dos centésimos e assim por diante, até
encontrarmos a ordem que seja ocupada por
algarismos diferentes. O maior número será
aquele que tiver o algarismo dessa ordem
com maior valor.
Exemplo: 1,34 <1,39 pois
u d c
1, 3 4
1, 3 9
iguais iguais 9>4
Obs: Para compararmos números racionais
ou racionais na forma decimal que são
negativos, basta compararmos os valores
absolutos dos números.
Valor absoluto ou módulo de um número é
a distância do ponto que o representa até a
origem.
Exemplo: Determine o módulo de - 3.
O módulo de -3 é 3, pois -3 está a 3 unidades
de distância do ponto de abscissa zero.
Notação: |-3| = 3
Exemplo: Determine qual número é menor:
?
Como os números são negativos,
comparamos os módulos. O número que
possui maior módulo é o menor deles.
Observe que: e .
Assim, e e
> . Logo, .

22
Operações com números na forma
decimal
Adição de números na forma decimal
Para adicionar números na forma decimal
basta realizar os seguintes passos:
- iguale o número de casas decimais dos
números a serem somados, acrescentando
zeros. Dessa forma, as vírgulas ficarão
alinhadas;
- depois some milésimos, centésimos,
décimos, unidades e coloque todas as
vírgulas alinhadas.
Exemplos:
a) 0,3 + 0,81= 1,11
0,30
+ 0,81
---------
1,11
b) 1,42 + 2,03 = 3,45
1,42
+ 2,03
--------
3,45
c) 7,4 + 1,23 + 3,122= 11,752
7,400
+ 1,230
3,122
----------
11,752
Subtração de números na forma decimal
A subtração de números na forma decimal é
efetuada de maneira análoga a adição.
Exemplos:
a) 4,4 - 1,21=3,19
4,40
- 1,21
--------
3,19
b) 9,1 - 4,323=4,777
9,100
- 4,323
--------
4,777
Multiplicação de números na forma
decimal
Para compreender como a multiplicação
entre números na forma decimal, vejamos
um exemplo:
Uma torneira despeja 13,4 litros de água por
minuto em um tanque. Mantendo a mesma
vazão, quantos litros de água essa torneira
despejará em 17 minutos?
Solução: Podemos resolver este problema de
duas maneiras diferentes:
1ª maneira: transformando os decimais em
frações
2ª maneira: multiplicando 13,4 por 10,
calculando 17x134 e dividindo o resultado
por 10.
Em 17 minutos, a torneira despejará 227,8
litros de água.

23
Exemplo: 4,21 x 2,1= 8,841
Divisão de números na forma decimal
Na divisão de números a forma decimal, o
dividendo e o divisor devem ter o mesmo
número de casas decimais. Devemos igualá-
las antes de começar a divisão.
Por exemplo: Faça a divisão de 42,5 por 5.
Para realizar a divisão entre esses números,
temos 2 opções:
1ª) transformar os números que estão na
forma decimal em uma fração.
Feito isso, basta dividir 425 por cinquenta.
2ª) Utilizar o algoritmo da divisão.
Neste caso, como 42,5 tem uma casa
decimal e o divisor não tem nenhuma,
igualamos as casas decimais escrevendo o
divisor 5 como 5,0.
Exemplos:
a) 7,2 3,51 =
Observe que o número de casas decimais é
o mesmo, pois 7,2=7,20. Para efetuar a
divisão, basta eliminar as vírgulas de ambos
os números e e dividi-los normalmente.
b) 11,7 2,34
O número de casas decimais é o mesmo,
pois 11,7=11,70. Para efetuar a divisão,
basta eliminar as vírgulas de ambos os
números e dividi-los normalmente.
c) 23 7 =
Observe que após dividir 23 por 7, o resto
desta divisão é 2. Assim, como 2 é menor do
que 7, temos que adicionar um zero em 2 e,
dessa forma, acrescentamos uma vírgula no
quociente. Além disso, a divisão não é
exata, ou seja, o número 3,2 é um número
que representa um quociente aproximado por
falta, até o décimo. Podemos continuar a
divisão obtendo mais casas decimais para o
número 3,2.
Frações
Fração pode ser entendida como sendo um
número que exprime uma ou mais partes
iguais em que foi dividida uma unidade ou
um inteiro.

24
Assim, por exemplo, se tivermos uma pizza
inteira e a dividirmos em quatro partes iguais,
cada parte representará uma fração (um
quarto) da pizza.
Então, uma fração significa dividir algo em
partes iguais. Assim: indica , sendo a
e b números naturais, e . O número a
representa o numerador e o número b
representa o denominador.
Exemplo:
Considerando fração
Temos que a unidade foi dividida em quatro
partes. Conforme a figura:
1/4 1/4
1/4 1/4
A parte sombreada indica uma parte da
figura, que representa
Leitura de frações
Metade (um meio)
Quatro quintos
Três sétimos
Dois doze avos
Frações equivalentes
Duas ou mais frações que representam a
mesma quantidade de uma grandeza são
chamadas frações equivalentes.
Exemplo:
Luiz e Otávio ganharam barras de chocolate
do mesmo tamanho. Luiz dividiu seu
chocolate em 6 partes iguais e comeu 4
delas. Otávio preferiu dividir o seu em três
partes iguais e comeu 2 partes. Quem comeu
mais chocolates?
Solução:
Observamos que os dois comeram
quantidades iguais:
Otávio comeu do chocolate e Luiz comeu
do chocolate conforme ilustrado a seguir:
As frações e representam a mesma parte
da unidade e, por isso, são frações
equivalentes.
Indicamos assim: =
Como reconhecer frações equivalentes?
Para saber se e , por exemplo, são
equivalentes, precedemos da seguinte
maneira:
1º Multiplicamos o numerador da primeira
fração pelo denominador da segunda fração:

25
2º Multiplicamos o denominador da primeira
fração pelo numerador da segunda fração:
3º Comparamos os resultados obtidos. Se
obtermos dois produtos iguais, as frações
são equivalentes:
9 x 8 = 72 = 12 x 6
Portanto concluímos que: =
OBS:
- Duas frações que possuem a mesma forma
irredutível são equivalentes.
- Quando multiplicamos ou dividimos os
termos de uma fração por um mesmo
número natural, diferente de zero, obtemos
uma fração equivalente à fração inicial.
Simplificação de frações
Simplificar frações é o mesmo que escrevê-la
em uma forma mais simples, para que a
mesma se torne mais fácil de ser
manipulada.
A simplificação pode ser feita através dos
processos de divisão sucessiva ou pela
fatoração.
1) A divisão sucessiva corresponde a dividir
o numerador e o denominador pelo
mesmo número.
Exemplo:
2) A fatoração corresponde em obter o
máximo divisor comum entre o
numerador e o denominador e dividir
ambos por esse valor.
Exemplo: Simplifique .
Como m.d.c. (36,60) = 12, então:
Tipos de Frações
Fração propria: é aquela em que o
numerador é menor que o denominador.
Ex.: (1 2 )
Fração impropria: é aquela em que o
numerador é maior ou igual que o
denominador.
Exemplo:
a) ( 9 5 )
b) ( 2 = 2 )
Propriedades das Frações
Uma fração não se altera, quando se
multiplica seus dois termos pelo mesmo
número, sendo ele diferente de zero, ou
mesmo, fazendo a divisão dessa fração pelo
mesmo divisor comum.
Exemplos:
a)
b)
Uma fração é alterada quando é adicionado
ou subtraido um valor igual tanto do
numerador quanto do denominador.
Exemplos:
a)
b)
Operações fundamentais com frações
Adição: Há dois casos possiveis:
1º) Frações com denominadores iguais.

26
Neste caso, somamos os numeradores e
conservamos o valor do denominador.
Exemplos:
a)
b)
2º) Frações com denominadores diferentes.
Neste caso, reduzimos as frações ao mesmo
denominador comum e, em seguida
procedemos como no caso anterior.
Para reduzir duas ou mais frações ao mesmo
denominador comum, procedemos do
seguinte modo:
-Calculamos o mmc dos denominadores.
Esse mmc será o menor denominador
comum.
-Dividimos o denominador comum pelo
denominador de cada fração e multiplicamos
o resultado pelo numerador dessa fração.
Exemplo: Reduza as frações , ao
mesmo denominador comum.
Como mmc(3,5,6)=30 então:
Logo temos que: =
Exemplo: Usando a redução ao mesmo
denominador comum, calcule:
a) =
Como mmc (4,2) = 4, então,
Subtração: Procede-se de maneira análoga
à adição.
Por exemplo:
1º) Frações com denominadores iguais.
Exemplo:
2º) Frações com denominadores diferentes.
Exemplo:
Como mmc (2,6) = 6, então:
Multiplicação: O produto de duas ou mais
frações resulta em uma fração cujo
numerador é a multiplicação dos
numeradores das frações a serem
multiplicadas e o denominador é a
multiplicação dos denominadores das frações
a serem multiplicadas.
Exemplos:
a)
b)
Inverso Multiplicativo:
Toda fração (número racional) diferente de
zero possui um inverso multiplicativo.
Exemplo: é o inverso de , pois:
Para que um número seja o inverso
multiplicativo de outro número, o produto
entre eles deverá ser igual a 1.

27
Divisão: Para que haja a divisão entre
frações, multiplicamos a primeira fração pelo
inverso da segunda fração.
Exemplo:
a)
As frações e a reta numérica
As frações podem ser representadas
geometricamente na reta numerada.
Sejamos um exemplo: Obtenha a
representação geométrica das frações
.
Quando os números estão na forma
fracionária, dividimos o segmento de reta que
representa a unidade de referência em partes
iguais, conforme o denominador da fração:
Dividimos a unidade em 2 partes iguais
Representando esses três números em uma
mesma reta numerada, teremos:
01) Escreva por extenso, os seguintes
números decimais:
a) 4, 4
b) 0, 25
c) 3, 456
d) 2, 034
e) 15, 200
f) 25, 63
g) 65, 354
h) 78, 1234
i) 321, 225
j) 154, 890
k) 759, 1233
l) 564, 2000
m) 410, 6
n) 11, 312
o) 0, 005
02) Efetue as adições e subtrações:
a) 12, 48 + 19 =
b) 12, 5 + 0, 07 =
c) 12, 8 + 3, 27 =
d) 31, 3 + 29, 7 =
e) 107, 03 + 32, 7 =
f) 83, 92 + 16, 08 =
g) 275, 04 + 129, 3 =
h) 94, 28 + 36, 571 =
i) 189, 76 + 183, 24 =
j) 13, 273 + 2, 48 =
k) 85, 3 − 23, 1 =
l) 97, 42 − 31, 3 =

28
m) 250, 03 − 117, 4 =
n) 431, 2 − 148, 13 =
o) 400 − 23, 72 =
p) 1050, 37 − 673, 89 =
q) 3 − 1, 07 =
r) 98 − 39, 73 =
s) 43, 87 − 17 =
t) 193 − 15, 03 =
03) Efetue as multiplicações e divisões:
a) 200 × 0, 3 =
b) 130 × 1, 27 =
c) 93, 4 × 5 =
d) 208, 06 × 3, 15 =
e) 0, 3 × 0, 7 =
f) 112, 21 × 3, 12 =
g) 12, 1 × 4, 3 =
h) 243, 5 × 2, 53 =
i) 357 × 0, 5 =
j) 793 × 0, 07 =
k) 3 ÷ 2 =
l) 21 ÷ 2 =
m) 7 ÷ 50 =
n) 9, 6 ÷ 3, 2 =
o) 4064 ÷ 3, 2 =
p) 1, 5 ÷ 2 =
q) 4, 8 ÷ 30 =
r) 1, 776 ÷ 4, 8 =
s) 7, 502 ÷ 12, 4 =
t) 0, 906 ÷ 3 =
u) 50, 20 ÷ 5 =
v) 21, 73 ÷ 1, 06 =
w) 35, 28 ÷ 9, 8 =
04) Efetue as expressões:
a) 18 − (7, 4 − 3, 5 + 2) =
b) 18 − (7, 4 − 3, 5 + 2) · 2 =
c) 5 · [18 − (7, 4 − 3, 5 + 2) · 2] =
d) 5 · [18 − (7, 4 − 3, 5 + 2) · 2] − 12, 33 =
e) 3 − (0, 7 + 0, 4) · 2 =
f) 1, 5 · 2 − (2 − 0, 5 · 2) =
g) 1 − (0, 7 + 0, 3 · 0, 7) =
05) Efetue:
a) 36, 9 x 721 =
b) 36, 9 x 7, 21 =
c) 0, 369 x 7, 21 =
d) 3, 69 x 7, 21 =
e) 3, 69 x 0, 721 =
f) 0, 369 x 0, 721 =
g) 1, 2 0, 08 =
h) 3, 2 x 0, 25 =
i) 0, 15 x 0, 12 =
j) 123, 45679 x 0, 9 =
06) Se um número racional está na forma
fracionária e um outro está na forma decimal,
é possível compará-los, escrevendo, por
exemplo, a fração na forma decimal. Pode-
se, também, escrever o número decimal na
forma fracionária e efetuar a comparação
com o número que está na forma fracionária.
Qual é o maior número: 0,815 ou ?
07) Compare os números a seguir, colocando
<, > ou =
a)
b)
c)
08) Represente as frações na forma decimal:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
09) Converta os números que estão forma
decimal para a forma de fração irredutível:
a) 0,4
b) 1,2
c) 0,065
d) 3,75
e) 0,125
f) 0,025
10) Paulo Pintou de uma figura que
representa um inteiro. Represente na forma
decimal a parte não pintada.
11) Identifique os decimais equivalentes a
1,2:
a) 102; b) 1,20; c) 1,200; d) 1,0020
12) Coloque uma vírgula no número 25314
de modo a obter:
a) um número menor que 3
b) um número maior que 100
c) um número maior que 2500 e menor que
2600.

29
13) Pensei em um número, adicionei 0,73 e
obtive 1,27. Em que número pensei?
14) Um reservatório de água tem um
vazamento e perde 0,15 litro por hora.
Supondo que o vazamento continue no
mesmo ritmo e que o reservatório continue
recebendo água, responda:
a) quantos litros esse reservatório perderá
em 27 horas?
b) quantos litros esse reservatório perderá
em uma semana?
15) Simplifique as frações:
a)
b)
c)
d)
16) Calcule:
a) =
b) =
c) =
d) =
e) =
f) =
g) =
h) =
i) =
17) Em julho de 1969, os astronautas
americanos Armstrong e Aldrin foram os
primeiros homens a pisar na Lua, lá
permanecendo cerca de 21 horas. Mais
tarde, o segundo grupo que pisou na Lua
permaneceu cerca de uma vez e meia o
tempo dos primeiros. Quantas horas o
segundo grupo permaneceu na Lua?
18) Responda:
a) Quantos dias correspondem a da
semana?
b) Quantos dias correspondem a do mês?
c) Quantas horas correspondem a do dia?
d) Quantos minutos correspondem a de
hora?
e) Quantos anos correspondem a de
século?
19) Qual é o quociente?
a) 28,5 0,15
b) 0,625
c) 10,24 3,2
d) 3,408 0,04
e) 1,743 24,9
(resolva este exercício utilizando a divisão
pelo método da chave e também resolva-o
convertendo os decimais em fração para
fazer divisão entre frações)
20) Cálcule o quociente aproximado com
uma casa decimal após a vírgula.
a) 38
b) 138
c) 267 45
21) A parede de uma cozinha tem 5,7 m de
comprimento. Ela será revestida com
azulejos de 0,15 m por 0,15 m. quantos
azulejos inteiros poderão ser colocados em
casa fila?
22) Nesta igualdade n 0,07 = 2, a letra n
representa um número racional. Qual é o
valor de n?
23) Determine qual número é menor:
23) Transforme as frações mistas a seguir
em frações impróprias:
a)
b)

30
c)
24) Converta cada fração decimal em
número decimal.
a)
3
10 =
b)
5
100 =
c)
7
1000 =
d)
56
10 =
e)
43
1000 =
f)
1234
10 =
g)
51005
100 =
h)
57803
100 =
25) Coloque os números racionais em ordem
crescente:
____<____<____<_____<____<____
Links videoaulas – aula 3
Videoaula 1 – valor posicional 1
gues/valor-posicional-1
Videoaula 4 – aproximando números inteiros
1
gues/aproximando-numeros-inteiros-1
2
3
Videoaula 7 – aproximando valores decimais
gues/aproximando-valores-decimais
Videoaula 8 – comparando decimais
gues/comparando-decimais
Videoaula 9 – pontos em uma reta numérica
gues/pontos-em-uma-reta-numerica
Videoaula 10 – posição dos valores decimais
gues/posicao-dos-valores-decimais
Videoaula 11 – posição dos valores decimais
2
gues/posicao-dos-valores-decimais-2
Videoaula 12 – convertendo decimais para
frações 1 – exemplo 1
gues/convertendo-decimais-para-fracoes-1-
exemplo-1
exemplo-2
exemplo-3
exemplo-1

31
exemplo-2
Videoaula 17 – convertendo frações em
decimais
gues/convertendo-fracoes-em-decimais
Videoaula 18 – convertendo frações para
decimais (exemplo 1)
gues/convertendo-fracoes-para-decimais-
exemplo-1
Videoaula 19 – convertendo frações para
decimais (exemplo 2)
gues/convertendo-fracoes-para-decimais-
exemplo-2
Videoaula 20 – decimais e frações
gues/decimais-e-fracoes
Videoaula 21 – decimais na reta numérica
gues/decimais-na-reta-numerica
Videoaula 22 – ordenando expressões
numéricas
gues/ordenando-expressoes-numericas1
Videoaula 23 – dividindo decimais
gues/dividindo-decimais
Videoaula 24 – dividindo decimais 2.1
gues/dividindo-numeros-decimais-21
Videoaula 25 – multiplicando decimais
gues/multiplicacao-nivel-8-multiplicando-
decimais1
Videoaula 26 – multiplicando decimais por
potências de 10
gues/multiplicando-numeros-decimais-por-
potencias-de-10
Videoaula 27 – somando números reais -
aplicação
gues/somando-numeros-reais-aplicacao
Videoaula 28– subtraindo problemas com
decimais
gues/subtraindo-problemas-com-decimais
Videoaula 29 – frações próprias e impróprias
gues/fracoes-proprias-e-improprias
Videoaula 30 –frações equivalentes
gues/fracoes-equivalentes
Videoaula 31 – exemplo de frações
equivalentes
gues/exemplo-de-fracoes-equivalentes
Videoaula 32 – numerador e denominador de
uma fração
gues/numerador-e-denominador-de-uma-
fracao
Videoaula 33 – adição de números racionais
gues/adicao-de-numeros-racionais
Videoaula 34 – alterar um numero misto para
uma fração impropria
gues/alterar-um-numero-misto-para-uma-
fracao-impropria
Videoaula 35 – adicionando e subtraindo
números mistos -exemplo 1
gues/adicionando-e-subtraindo-numeros-
mistos-05-exemplo-1
números mistos – exemplo 2
mistos-05-exemplo-2
números mistos 1 – exemplo 1
mistos-1-exemplo-1

32
números mistos 1 – exemplo 2
mistos-1-exemplo-2
Videoaula 39 – comparando frações
gues/comparando-fracoes
Videoaula 40 – comparando frações 2
gues/comparando-fracoes-2
Videoaula 41 – comparando frações
impróprias e números mistos
gues/comparando-fracoes-improprias-e-
numeros-mistos
Videoaula 42 – convertendo números mistos
em frações impróprias
gues/convertendo-numeros-mistos-em-
fracoes-improprias
Videoaula 43 –transformando uma fração
imprópria para um número misto
gues/transformando-uma-fracao-impropria-
para-um-numero-misto
Videoaula 44 – dividindo frações
gues/dividindo-fracoes
Videoaula 45 – dividindo números mistos
gues/dividindo-numeros-mistos
Videoaula 46 – dividindo números mistos e
frações
gues/dividindo-numeros-mistos-e-fracoes
Videoaula 47 – exemplo de divisão de
frações
gues/exemplo-de-divisao-de-fracoes
Videoaula 48 – problema prático de divisão
de frações
gues/problema-pratico-de-divisao-de-fracoes
Videoaula 49 – problema prático de
multiplicação de frações
gues/problema-pratico-de-multiplicacao-de-
fracoes
Videoaula 50 – somando números mistos
com denominadores diferentes
gues/somando-numeros-mistos-com-
denominadores-diferentes
Videoaula 51 – somando e subtraindo
frações com denominadores diferentes
gues/somando-fracoes-com-denominadores-
diferentes
Videoaula 52 – somando frações com sinais
diferentes
gues/somando-fracoes-com-sinais-diferentes
Videoaula 53 – problema de expoentes
envolvendo quocientes
gues/propriedades-do-expoente-envolvendo-
quocientes
Videoaula 54 – subtraindo frações
gues/subtraindo-fracoes

33
Aula 4
Dízimas Periódicas
Veremos agora, que todo número racional
pode ser representado por uma fração
decimal finita ou por uma fração decimal
infinita periódica.
Para obter a forma decimal de uma fração,
temos 3 possibilidades:
1. Representação ou forma decimal finita de
uma fração;
2. Representação decimal infinita de uma
fração – DÍZIMA PERIÓDICA SIMPLES
fração ordinária – DÍZIMA PERIÓDICA
COMPOSTA
1. Representação ou forma decimal finita
de uma fração.
Uma fração ordinária e irredutível
(número racional), terá uma representação
decimal finita, quando seu denominador
contiver apenas os fatores primos 2, 5 ou 2 e
5. Neste caso, o número de casas decimais,
será dado pelo maior expoente dos fatores 2
ou 5.
Exemplo:
a) Represente a fração na forma decimal.
A fração se converterá em uma fração cujo
denominador é formado por uma potência de
10, pois 25 = 52
. Sua forma decimal terá 2
casas decimais já que o expoente do fator 5
é 2. Para tanto, basta multiplicar o numerador
e o denominador por 22
.
b) Represente a fração na forma decimal.
c) Represente a fração na forma decimal.
4) Represente a fração na forma decimal.
A fração se converterá em uma fração
cujo denominador é formado por uma
potência de 10, pois 125 = 53
. Sua
representação decimal terá 3 casas decimais
já que o expoente do fator 5 é 3, ou seja,
Caso Geral
, onde, a, b, m, n e são inteiros.
Exercício: Obtenha a representação decimal
da fração ordinária .
fração – DÍZIMA PERIÓDICA SIMPLES
Uma fração ordinária e irredutível se
transformará numa dízima periódica
simples quando seu denominador
apresentar apenas fatores primos diferentes
de 2 e 5 ou de 2 ou de 5, ou seja, sua forma
decimal será infinita possuindo um grupo de
algarismos que se repetem indefinidamente.
Exemplos:

34
a) , converteu-se em um dízima
periódica simples, já que 11 é o único fator
primo do denominador e é diferente de 2 e 5.
Uma notação conveniente e usual para
indicar uma dízima periódica consiste usar
uma barra sobre a parte que se repete. Por
exemplo: .
b) Represente a fração na forma decimal.
Inicialmente, vamos dividir 1 por 3.
Observe que o processo de divisão não
termina. Sempre teremos um resto diferente
de zero, ou seja, resto 1 e sempre menor que
o divisor 3.
Observe que:
( é a fração geratriz dessa dízima).
Veja a seguir!
Determinando a fração geratriz da dízima
periódica simples
A geratriz de uma dízima periódica simples é
a fração cujo numerador é o período (parte
que se repete) e cujo denominador é formado
por tantos “noves” quantos forem os
algarismos do período. Se a dízima possuir
parte inteira, ela deve ser incluída na frente
dessa fração, formando um número misto.
Voltando ao exemplo dado: 0,333..., vamos
justificar porque a geratriz é .
Seja a equação dada por:
x = 0,333... (1)
Multiplicando a equação (1) por 10 obtemos
a equação:
10x = 3,333.... (2)
Subtraindo a equação (2) da equação (1)
obtemos:
10x = 3,333....
- x = 0,333....
--------------------------
9x = 3,000...
Assim,
Resumindo....
Coloca-se o período no numerador da fração
e, para cada algarismo dele, coloca-se um
algarismo 9 no denominador.
Exemplo: 0,4444...
Período 4 e (1 algarismo)
0,444... =
Exemplo: 0,313131...
Período é 31 e possui 2 algarismos.
Então: 0,3131....=
fração ordinária – DÍZIMA PERIÓDICA
COMPOSTA
Uma fração ordinária e irredutível se
transformará em uma dízima periódica

35
composta quando seu denominador, além
dos outros fatores primos 2, 5 ou 2 e 5,
possuir outros fatores primos quaisquer.
Exemplo:
a) é uma dízima periódica
composta, pois além dos fatores 2 e 5, tem o
fator 3.
Determinando a fração geratriz da dízima
composta
A geratriz de uma dízima periódica composta
é a fração cujo numerador é o anteperíodo,
acrescido do período e diminuído do
anteperíodo e cujo denominador, é formado
por tantos “noves” quanto forem os
algarismos do período, acrescido de tantos
“zeros” quantos forem os algarismos do ante-
período.
Se a dizima possuir parte inteira, ela deve ser
incluída à frente dessa fração formando um
número misto.
Exemplos:
a) Calcule a fração geratriz de 0,03666.....
Observe que o anteperíodo dessa dízima é
03 (possui 2 algarismos) e o período é 6
(possui 1 algarismo).
b) Calcule a fração geratriz de 2,14272727....
Observe que 2,14 é a representação decimal
finita do número racional procurado. Agora, o
número 0,002727... é a representação
decimal periódica infinita, cujo período é 27,
ou seja, possui 2 casas decimais. Assim,
.
Portanto,
Resumindo...
Para cada algarismo do período se coloca
um algarismo 9 no denominador. Mas, para
cada algarismo do antiperíodo se coloca um
algarismo zero, também no denominador.No
caso do numerador, faz-se a seguinte conta:
(parte inteira com antiperíodo e período) –
(parte inteira com antiperíodo).
Exemplo: 0,27777....
Fique atento....
Todo número real ou é racional, ou é
irracional.
Quando um número real é um número
racional, sua representação decimal ou
forma decimal pode ser finita ou infinita
periódica.

36
Quando um número real não é um número
racional, será neste caso um número
irracional e sua forma decimal será infinita
e não periódica. Por exemplo:
01) Determine a fração geratriz de cada número
decimal abaixo.
a) 0,525252 ... =
b) 0,666 ... =
c) 0,32444 ... =
d) 5,241241241 ... =
e) 0,48121121121 ... =
f) 34,212121 ... =
g) 5,131131131 ... =
h) 0,643777 ... =
02) Assinale as sentenças com v
(verdadeiras) ou f (falsas):
a)
b)
c)
d)
e)
04) Classifique os numerais abaixo em
racionais ou irracionais:
a) 0,2222222.... ______________
b) 12,5 _____________________
c) 2,3434...__________________
d) 0,54789 ... ________________
e) 2,4458___________________
f) 0,444444... _______________
g) ______________________
h) ____________________
05) Obtenha as frações geratrizes das
dízimas a seguir:
a) 0,777... =
b) 0,444... =
c) 0,1818... =
d) 2,333 ... =
e) =
f) =
g) =
06) O resultado da expressão 0,555... + +
3,777... é igual a:
a) 4; b) 20/3; c) 56/9; d) 69
07) Calcule a dízima periódica e diga se ela é
simples ou composta:
a) 5/9
b) 7/3
c) 1029/180
d) 1/36
e) 5/11
f) 1/3
08) O número 0,1357911 ... foi obtido
colocando-se sucessivamente a sequência
de números ímpares positivos, a partir do 1.
Esse número é um racional ou um irracional?
Por quê?
09) Entre as afirmações a seguir, qual é a
verdadeira?
a) toda dízima periódica é um número
irracional.
b) todo número inteiro é natural.
c) todo número racional é real.

37
d) todo número real é irracional.
Links de videoaulas – aula 4
Não possui videoaulas

38
POTENCIAÇÃO
Potência de expoentes naturais
Definição: Dado certo número real, e um
número natural n, chama-se potência de grau
n do número e denota-se por o produto
de n fatores iguais a .
Exemplos:
24
= 2 x 2 x 2 x 2 = 16 ( dois a quarta
potência)
63
= 6 x 6 x 6 = 216 ( seis ao cubo)
Alguns casos particulares:
1. Expoente igual a 1: qualquer número com
expoente igual a 1, tem como resultado o
número base.
Exemplos:
(2)1
= 2
(3/5)1
= 3/5
(100)1
= 100
2. Expoente igual a 0: a potência de
qualquer número real não nulo a com
expoente 0, tem como resultado o
número 1.
Exemplos:
(8)0
= 1; (1/3)0
= 1; (30)0
= 1
De um modo geral, tomando o número real
temos que pois:
Propriedades da potenciação
 Produto de potência de mesma base:
Na operação de multiplicação entre
potências de mesma base, o produto é
igual à potência que se obtém
conservando-se a base e somando-se os
expoentes.
Exemplos:
a)
3x3x3 3x3
3 vezes 2 vezes
5 vezes
b) 15
x 17
= 15 + 7
= 112
= 1
c) 5 x 52
= 51 + 2
= 5
 Divisão de potencia de mesma base:
Na operação de divisão de potências de
mesma base, o quociente é igual a
potencia que se obtém conservando-se a
base e subtraindo-se os expoentes.
Aula 5

39
Exemplos:
a) 55
52
= 55 – 2
= 53
, pois:
b) 1010
104
= 1010 – 4
= 106
c) 34
3 = 34 – 1
= 33
 Potência de Potência: Podemos elevar
uma potência a outra potência. Para
efetuar este cálculo conserva-se a base e
multiplicam-se os expoentes.
Exemplos:
a) (34
)2
= 38
, pois 34
34
= 34 + 4
=
32 x 4
b) (62
)5
= 610
, pois 62
62
62
62
62
=
=62 + 2 + 2 + 2 + 2
= 65 x 2
c) (23
)3
= 29
, pois 23
23
23
= 23 x 3
 Potência de um produto: Para se
efetuar a operação de potência de um
produto, basta elevar cada fator a esta
potência.
Exemplos:
a) (2 5)7
= 27
57
b) (42
53
75
)4
= 48
512
720
c) ( 3
=
 Potência de Fração: Para calcular a
potência de uma fração, eleva-se o
numerador e o denominador da fração a
essa potência.
= , b 0
Exemplos:
a) =
b) = ; y 0
c) ; y 0
 Potência com expoente negativo
Toda e qualquer potência que tenha
expoente negativo é equivalente a uma
fração a qual o numerador é 1 e o
denominador é a mesma potência com
expoente positivo.
Exemplos:
a) = =
b) = =
c) = =
Observação: as propriedades aplicadas
aos expoentes naturais, também são
validas para os expoentes negativos.
 Potência de 10: Todas as potências de
10 têm a função de simplificar e

40
padronizar o registro de números e ainda,
facilitar o cálculo de várias expressões.
Para isso utilizaremos as seguintes
técnicas:
1. Se o expoente for positivo na potência
( n 0), escreve-se à direita do 1
tantos zeros quantas forem as unidades
do expoente.
Exemplos:
a) 104
= 10000
b) 107
= 10000000
c) 108
= 100000000
2. Se o expoente for negativo na potência
( n 0), escreve-se à esquerda do 1
tantos zeros quantas forem as unidades
do expoente, colocando uma vírgula
depois do primeiro zero.
Exemplos:
a) 10-4
= 0,0001
Observe que:
b) = 0,00001
c) = 0,0000000001
3. Decompondo números em potências de
10: Existem dois casos de decomposição
de números em potência de 10.
 Se o número for maior que 1.
Exemplos:
a) 100 = 1 x 100 = 1 x
b) 5000 = 5 x 1000 = 5 x
c) 20000 =2 x 10000 = 2 x
 Se o número for menor que 1.
Exemplos:
a) 0,002 = 2 x 0,001 = 2 x
b) 0,0006 = 6 x 0,0001 = 6 x
c) 0,00003 = 3 x 0,00001 = 3 x
Potência de números relativos:
Caso o expoente seja par o resultado dará
sempre positivo.
Exemplo:
a) = 4
b) = 4
Caso o expoente seja ímpar, o resultado
trará sempre o sinal da base da potência.
Exemplos:
a) = 27
b) =
Obs: , pois = e
= . A diferença é que na primeira
potência apenas o número 2 esta elevado ao
quadrado, enquanto que na segunda, o sinal
e o número 2 estão elevados ao quadrado,
tornando o resultado positivo.
RADICIAÇÃO
A radiciação é a operação inversa a
potenciação. De um modo geral podemos
escrevê-la:
Onde para temos que:
O número é chamado radicando,
O número é chamado índice do radical,

41
O número b é a raiz,
é o radical.
Exemplos:
= 2 pois = 16
= 2 pois = 8
Expoentes fracionários
*
,
Exemplos:
Propriedade de radiciação
, pois
, pois
, pois
Exemplos:
a)
b) = 1
c)
Propriedades de operações para
radiciação
;
;
;
;
;
Exemplos:
a)
b)
c)
d)
Fatoração na radiciação
Fatorar um número é achar uma
multiplicação de números que resulte ao
número a ser fatorado.
Agora aplicaremos este conceito para a
radiciação.
Tomando :
Temos que =
Portanto: =
Racionalização na radiciação
Consiste em eliminar radicais do
denominador em uma fração.
 Denominador igual a : neste caso o
fator de racionalização é . Para
eliminar este fator do denominador de
uma fração, basta multiplicar o

42
numerador e o denominador da fração
por este fator.
Exemplo:
a)
b)
 Quando o denominador de uma fração é
do tipo: ,
, para eliminar
os radicais do denominador basta
multiplicar o numerador e o denominador
da fração pelo conjugado do
denominador.
Exemplos:
a)
01) Calcule as potências:
a)
b) 15
=
c) 03
=
d) 34
=
e) (-3)4
=
f) (-2)3
=
g) h) 45
42
=
i) 23
. 53
=
j) 122
.62
=
k) (-2)2
.(-3)2
.(4)2
=
l) (23
.5.33
)2
=
m) 55
55
=
n)
o) =
p) =
q)
r) 20-1
=
s) (32
.4-2
)1
=
t) 53
57
=
u) 203-1
. 2-1
=
v) 0-19
=
01) Represente e efetue quando necessário,
os números a seguir, utilizando potências
de 10.
a) 200 =
b) 5.300.000.000 =
c) 10.000 =
d) 0,01 =
e) 0,002 =
f) 0,00000032 =
g) (20.000 x 35.000) / 100 =
02) Verdadeiro ou falso:
a) 1,345 = 1345 x 10-3
b) 2 x 10-4
= 0,002
c) 23 x 10-2
= 0,23
d) 33
. 35
= 98
e) 73
75
= 7-5
. 73
f) 5-3
. 53
= 1
g) (10000.315000000.150-2
)/30000.10000
= 7/15
03) Efetue:
a)
b)
c)
Exercícios - Aula 5

43
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
04) Racionalize o denominador das frações a
seguir:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
05) Expresse os números a seguir na forma
de radical:
a)
b)
c)
d)
e)
06) Simplifique os radicais:
a)
b)
c)
d)
e)
07) Calcule o valor das expressões:
a) =
b)
c)
08) A letra a representa o produto:
a) Qual é o valor de a?
b) Qual é o dobro de a?
c) Qual é o valor do quadrado de a?
d) Qual é o valor da quarta parte de a?
09) Claudio calculou o cubo de e o dividiu
por . Que resultado obteve?
10) Calcule a raiz quadrada da soma do
quadrado de e o quíntuplo de .
11) Qual é o valor de ?
12) Calcule o valor das expressões:
a)
b)

44
c) O valor de é igual ao valor
de ?
13) Calcule as potências:
a) (0,1)2
b) (2,3)3
c) (18,95)0
14) Calcule o valor de (0,5)2
e (0,5)3
. Qual
deles é maior?
15) Calcule:
a) O quadrado de 6,2
b) O quadrado de 3,1
c) A soma do quadrado de 6,2 com o
quadrado de 3,1
16) Carlos calculou o cubo de 2,8 e o dividiu
por 1,6. Que resultado ele obteve?
17) Qual é o valor da expressão: (4,3)2
–
2.1,8 ?
18) Calcule:
a) ; b)
19) Obtenha os resultados destas
expressões numéricas:
a)
b)
c)
20) Determine o valor das expressões a
seguir:
a)
b)
c)
21) Qual é o valor de (-5)-3
?
22) Como escrever usando fatores primos
e expoente inteiro negativo?
23) Mário obteve estas notas nas provas de
Matemática de certo bimestre: 6,5; 7,0;
5,0; 8,5; 6,0. Calcule a média aritmética
dessas notas.
24) Transforme em uma potência de
base 5.
25) O quociente entre dois números é 14.
Qual é o valor do quociente de seus
quadrados?
26) Transforme as expressões a seguir em
um produto de potências:
a)
b) (a3
b2
c)-3
27) Transforme cada potência em um produto
de potências de bases iguais:
a) 10n-2
b) 8-n+6
28) Analise cada uma das igualdades e
indique as que estão corretas. Reescreva
as incorretas, de modo que sejam
verdadeiras:
a)
b)
c)
d)
29) Escreva com todos os dígitos, o resultado
de 3,42 . 10-4
.
30) Um número em notação científica é o
produto de um número escrito entre 1 e
10 (incluindo e excluindo 10) por uma
potência de base 10. Sabendo disso,
escreva os números a seguir usando
notação científica:
a) 7500000000
b) 0,0000192
31) Escreva com todos os algarismos, os
números cujas notações cinetíficas são:
a) 1,06 . 108
; b) 5,024 . 10-6
32) é um número:
a) Real; b) racional; c) inteiro; d) natural
33) Simplificando a expressão
, obtém-se um
número:
a) Compreendido entre -2 e 0
b) Compreendido entre -1 e 2
c) Compreendido entre 2 3
d) Maior do que 3.

45
Links videoaulas – aula 5
Videoaula 01 – entendendo os expoentes
gues/entendendo-os-expoentes1
Videoaula 02 – entendendo os expoentes 2
gues/entendendo-os-expoentes-2
Videoaula 03 – expoente nível 1
gues/expoentes-nivel-1
Videoaula 04 – expoentes positivos e
negativos
gues/expoentes-positivos-e-negativos
Videoaula 05 – entendendo a raiz quadrada
gues/entendendo-a-raiz-quadrada
Videoaula 06 – regras de potência parte 1
gues/regras-de-potencia-parte-1
Videoaula 07 – regras de potência parte 2
gues/regras-de-potencia-parte-2

46
AULA 6
Expressões Algébricas
São expressões matemáticas que envolvem
números, letras e as operações indicadas
entre eles. As letras são as variáveis de uma
expressão algébrica e podem representar
qualquer número real.
Exemplos:
a) 10ax + 4b
b) ax2
+ bx + c
c) 7a
Valor numérico de uma expressão
algébrica
É o resultado que obtemos quando
atribuímos às letras dessa expressão valores
numéricos e efetuamos as operações nela
indicadas.
Exemplo: A expressão 20t representa a
quantidade de parafusos produzidos em t
horas. Determine quanto parafusos são
produzidos em 4 horas.
Substituindo t por 4 na expressão 20t
obtemos a quantidade de parafusos
produzidos em 4 horas. Assim, 20t=20.4=80
parafusos.
Monômio
São expressões algébricas que representam
um produto de números reais por uma parte
literal formada por letras e seus expoentes,
que devem ser números naturais.
Exemplo:
Forma reduzida e monômios semelhantes
Podemos escrever o monômio 6.a.(-3).x2
em
uma forma reduzida sendo dada por
-18ax2
.
Além disso, dois ou mais monômios são
chamados semelhantes quando têm partes
literais iguais.
Exemplo: 2a2
b e -5a2
b são monômios
semelhantes.
Operações entre monômios
Adição e Subtração entre monômios
A soma ou a diferença de dois monômios
semelhantes é um monômio com:
 Coeficiente igual à soma algébrica dos
coeficientes;
 Parte literal igual à desses monômios.
Exemplos:
a) 3x2
y3
+ 5 x2
y3
= (3 + 5) x2
y3
= 8 x2
y3
b) 39x5
y4
− 25 x5
y4
= (39 − 25)x5
y4
=14x5
y4
Multiplicação e Divisão entre monômios
Multiplicação entre monômios
A multiplicação entre dois ou mais monômios
é um monômio com:
 Coeficiente igual ao produto dos
coeficientes desses monômios;
 Parte literal igual ao produto das partes
literais desses monômios.
Exemplo:
(2ax2
).(5a3
xy) = (-2.5).a.a3
.x2
.x.y=
= -10.a1+3
.x2+1
.y =
= -10a4
x3
y
Divisão entre monômios
A divisão ou quociente entre dois monômios
com divisor diferente de zero, tem:
 Coeficiente igual ao quociente entre os
coeficientes desses monômios;

47
 Parte literal igual ao quociente entre as
partes literais desses monômios.
Exemplo:
Potência de um monômio
A potência de um monômio é um monômio
com:
 Coeficiente igual à potência do
coeficiente desse monômio;
 Parte literal igual à potência da parte
literal desse monômio.
Exemplo:
Simplificação de expressões algébricas
Podemos simplificar as expressões
algébricas que envolvem operações
procedendo da mesma forma que em
expressões numéricas. Efetuamos primeiro
às potências, em seguida calculamos os
produtos e o quocientes e, finalmente, as
somas algébricas, reduzindo os termos
semelhantes.
Exemplo: Simplifique a expressão algébrica
Binômios Trinômios e Polinômios
Binômio: é uma soma algébrica de dois
monômios. Exemplo: ax + b
Trinômio: é uma soma algébrica de três
monômios. Exemplo: ax2
+ bx + c
Polinômio: é uma soma algébrica de
monômios.
Obs: Monômios também podem ser
chamados de polinômios.
Grau de um polinômio (não nulo) com uma
variável é o maior expoente da variável que
tem coeficiente diferente de zero.
Exemplo:O grau do polinômio 6t2
+ 20t -3 é 2,
pois é o maior expoente de t com coeficiente
diferente de zero.
Operações entre polinômios
Adição e subtração de polinômios
Para somar ou subtrair polinômios,
colocamos termo semelhante abaixo de
termo semelhante e efetuamos a adição ou
subtração. Veja os exemplos a seguir:
a) (a + 4ab) + (9a - 6ab - 6) =
=10ª – 2ab – 6
a + 4ab
+ 9a – 6ab – 6
----------------------
10a – 2ab – 6
b) (8x3
+ 6x2
– 7) – (7x2
– 5) =
= 8x3
- x2
– 2
Para calcular a diferença, eliminamos os
parênteses trocando os sinais de 7x2
– 5. Em
seguida, efetuamos a adição entre os
polinômios.
8x3
+ 6x2
– 7
+ - 7x2
+ 5 é o oposto 7x2
– 5.
----------------------
8x3
- x2
– 2
Multiplicação e divisão de polinômios
Calculamos o produto de dois polinômios
multiplicando cada termo de um deles por
todos os termos do outro e reduzindo os
termos semelhantes.
Exemplo: Determine o produto:

48
Dividimos um polinômio por um monômio,
não nulo, dividindo cada termo desse
polinômio por esse monômio.
Exemplo: Faça a divisão de 36x6
– 12x5
por
6x2
.
(36x6
– 12x5
) 6x2
=
Dividimos um polinômio por outro
polinômio, não nulo, de maneira semelhante
ao utilizado para os números.
Em geral, em uma divisão de polinômios
podemos escrever uma relação entre
multiplicação e divisão: quociente x divisor +
resto = dividendo.
Por exemplo: Na divisão de (6x3
– 5x2
– 17x
– 1) por (x-2):
Temos:
Exemplo:
Para calcular o quociente e o resto da divisão
entre x4
+ 4x3
+ 4x2
+ 9 por x2
+ x – 1,
escrevemos os polinômios na forma
completa e na ordem decrescente dos
expoentes dos monômios.
Inicialmente, dividimos o termo de maior grau
do dividendo pelo termo de maior grau do
divisor.
Em seguida, calculamos x2
. (x2
+ x – 1) e
subtraímos o resultado do dividendo. ... ou
adicionamos o oposto a ele.
Faremos este processo, até que o resto da
divisão resulte em um polinômio cujo grau é
menor do que o grau do divisor. Assim:
01)Escreva cada frase a seguir usando
uma expressão algébrica:
a) A soma do quadrado de um número x
com um número y.
b) O quociente entre o quadrado de um
número a e o quadrado de um
número b, diferente de zero, nessa
ordem.
c) O quadrado da diferença entre um
número x e um número y, nessa
ordem.
02)Determine o valor numérico da
expressão a2
+ 2ª + 3 para a = - 5
03)Qual é o valor numérico da expressão
algébrica: para y = 4?
04)Determine o valor de x para o qual
não existe o valor numérico destas
expressões algébricas:

49
a) ; b) ; c)
05)Para quais valores de x o valor
numérico da expressão
não é um número real?
a) x = 0; b) x = 4; c) x = 6,4 d) x = 10
Determine o valor numérico dessa
expressão algébrica quando ele for um
número real.
06)Os monômios e são
semelhantes? Justifique sua resposta.
07)Quando um monômio é nulo?
08)Calcule a soma e a diferença, na
ordem dada, entre estes monômios:
a) -5x2
e -7x2
b) –ay3
e 10ay3
c) e
d) e
e) e
09)Qual é o monômio que na forma
reduzida corresponde a:
?
10)Calcule estas somas algébricas:
a)
b)
11)Qual é o monômio que multiplicado
por 20x3
y tem como produto -18x4
y2
?
12)Calcule os produtos:
a)
b)
c)
13)Efetue as operações e simplifique as
expressões algébricas:
a) (3y2
) - y2
+ 3y2
b)
c)
14)Qual é o quadrado de – 11ª2
b3
?
15)Calcule as potências:
a) (-3x2
y3
)3
b) (0,2y2
z)5
c)
d) 0,3ay4
)2
e) 1,2ª4
b2
)2
f)
16)Simplifique as expressões algébricas:
a)
b)
c)
17)Qual é o resultado de
?
18)Considere a expressão algébrica
(5y+4y)2
- (5y – 4y)2
e responda:
a) Ela é um monômio? Qual?
b) Qual é o valor numérico da expressão
para y = -3?
19)O valor numérico da expressão a3
–
3a2
. x2
. y2
, em que a = 10, x = 3 e y
= 1, é igual a: _____
20)Um polinômio que possui monômios
semelhantes pode ser escrito na
forma reduzida, ou seja, com um
número menor de termos. Em posse
dessa informação, determine a forma
reduzida dos polinômios:
a)
b)

50
21)Qual é o valor numérico do polinômio
y4
– y2
+ 1 para y = -1/2
22)Qual é o valor numérico do polinômio
para y = - 4
23)Calcule o valor de y para o qual o
valor numérico do polinômio 5y – 7 é
13.
24)Para qual valor de a o valor numérico
do binômio é igual a zero?
25)Quais são os valores de m e n para
que o polinômio (m – 2)y3
+ (2n – 1)y2
seja nulo?
26)Obtenha a soma de (-25ª + 7ab) com
(-4ab + 16a)
27)Calcule (32a – 40b – 18c) – (27a –
18c – 27b)
28)Calcule A – B, sendo A = -3m2
+ 20m
+ 14 e B = 14 + 31m – 10m2
29)Calcule a soma de com
30)Que polinômio adicionado a 8a3
+
14a2
– 9 resulta em –a3
+ a2
– 2ª + 6 ?
31)A soma de dois polinômios é igual a
. Um deles é
. Qual é o outro
polinômio?
32)Considere os polinômios A = x2
–
2xy+ 4y2
e B = -2x2
+ 2xy + 4y2
.
a) Qual é o resultado de (A – B)?
b) Qual é o valor numérico de (A –
B) para x = 1 e y = ¼ ?
c) Que expressão algébrica se
obtém para –(A - B)?
d) Relacione o valor numérico de
–(A – B) para x = 1 e y = ¼ com o
valor de (A – B) obtido no item b.
33)Que monômio deve ser adicionado a
7a4
– 4a2
– 12a + 19 para se obter um
trinômio do 2º grau?
34)Qual é o produto do monômio -13ab2
pelo polinômio (-2ª + 5b – 3a2
b – 6)?
35)Considere P = e Q =
a) Qual é o produto de P por Q?
b) Qual é o valor numérico de P.q
para m = - 2 e n = 0?
36)Calcule o produto dos seguintes
polinômios:
a) (x + 3).(x + 3)
b) (5a + 1).(5a + 2)
c) (y + 4).(y2
+ 3y)
d) (12x + 30).(x/6 + 1/3)
e) (x + 1/3).(9x + 15)
f) (x + 2).(x2
– 2x + 4)
g) (12x2
+ 6x – 3).(2x – 1)
h) (7y2
+ 2y + 2).(10y2
+ 4y – 4)
37)Sabendo que P = 9a2
– 3ª, M = 3ª + 1
e R = 9a2
+ 1, responda:
a) Qual é o polinômio P.M.R ?
b) Qual é o polinômio ?
38)Dados os polinômios A = x – 1, B = x2
+ x e C = x, determine os polinômios:
a) A.B
b) B.C
c) A.a ou A2
d) A.B – B.C + A.C
39)Calcule o produto dos polinômios e
reduza os termos semelhantes:
a) a.(2a + b + 2) + b.(- a – b+ 12) –
12.(a + b- 1)
b) (3x - 2).(2x + 3) – 6x.(x + 1)
40)Se A = x.(3x – 1) e B = (x + 5).(3x – 2)
determine os polinômios:
a) A – B
b) – 13.(A – B)
41)Que polinômio é o resultado da
divisão de 36x2
– 12x5
por 6x2
?

51
42)O produto de um polinômio pelo
monômio é .
Qual é esse polinômio?
43)Determine o quociente da divisão de
81a5
– 21a2
por 3a2
.
44)Calcule o quociente e o resto de (24x2
– 28x – 10) (-3x + 2)
45)Qual o quociente e qual o resto da
divisão de 22x3
– 6x4
– 12 + 35x por –
x + 4?
46)Considere os polinômios A = 63x3
–
62x2
+ 51x – 20 e B = - 9x + 5.
Responda:
a) Qual é o quociente da divisão do
polinômio A pelo polinômio B?
b) Qual é o valor numérico desse
quociente para x = -2?
c) O polinômio A é divisível pelo
polinômio B? Por quê?
47)A divisão de um polinômio P por (-3x
+ 1) é exata e tem quociente igual a (-
9x2
– 3x + 4). Determine o polinômio
P.
48)O polinômio A é divisível pelo
polinômio B = -6x – 2, e o quociente
da divisão de A por B é (x2
– 3x + 1).
Qual é o polinômio A?
49)Calcule o quociente e o resto de
50)Calcule:
a)
b)
c)
Links videoaulas: aula 6
Videoaula 1 – o que é uma variável?
gues/o-que-e-uma-variavel
Videoaula 2 – propriedades exponenciais – 2
gues/propriedades-exponenciais-2
Videoaula 8 – fatoração por agrupamento e
fatorar completamente
gues/fatoracao-por-agrupamento-e-fatorar-
completamente
polinômios 1
gues/somando-e-subtraindo-polinomios-1
polinômios 2
polinômios 3
Videoaula 12 – adicionando e subtraindo o
mesmo valor de ambos os lados
gues/adicionando-e-subtraindo-o-mesmo-
valor-de-ambos-os-lados
Videoaula 13 – dividindo monômios
gues/dividindo-monomios
Videoaula 14 – multiplicando e dividindo
monômios 1

52
gues/multiplicando-e-dividindo-monomios-1
Videoaula 15 – multiplicando e dividindo
monômios 3
gues/multiplicando-e-dividindo-monomios-3
Videoaula 16 – multiplicando monômios por
polinômios
gues/multiplicando-monomios-por-polinomios

53
Aula 7
Produtos Notáveis
Alguns produtos, resultados da multiplicação
de binômio por binômio, são chamados de
produtos notáveis, por suas frequentes
aplicações nos cálculos algébricos.
Vejamos alguns deles:
Quadrado da soma de dois termos
O quadrado da soma de dois termos é igual
ao quadrado do primeiro termo, mais duas
vezes o produto do primeiro termo pelo
segundo e mais o quadrado do segundo
termo.
As letras a e b representam termos que
podem ser usados para expressar as
medidas dos lados de um quadrado.
O polinômio que representa essa área pode
ser determinado usando-se áreas de
quadrados e retângulos. Veja a figura a
seguir:
Podemos também, desenvolver (a+b)2
efetuando o produto de (a+b).(a+b) usando a
propriedade distributiva da multiplicação em
relação à soma algébrica:
(a+b).(a+b)= a(a+b) + b(a+b) =
= a2
+ ab + ba + b2
=
= a2
+ 2ab + b2
Obs: a2
+ 2ab + b2
também é chamado de
trinômio quadrado perfeito, porque é igual
ao quadrado de a+b.
Exemplo: Calcule
OBSERVAÇÃO:
-Um trinômio de 2º grau é quadrado perfeito
quando dois dos seus termos são quadrados
perfeitos.
Por exemplo: O trinômio x2
+ 5x + 6 não é um
trinômio quadrado perfeito porque não tem
dois termos que sejam quadrados perfeitos.
OBSERVAÇÃO:
- Para fatorar um trinômio qualquer ax2
+ bx
+ c na forma (x + m).(x + n) basta existirem
dois números cuja soma é b e cujo produto é
c.
Exemplo: O trinômio x2
+ 5x + 6 não é um
trinômio quadrado perfeito, entretanto
podemos fatorá-lo na forma (x + m)(x + n).
Para este exemplo, temos que:
3 + 2 = 5
3.2 = 6
Onde 5 = b e 6 = c.
Observe a figura geométrica:
Completando esta figura com retângulos
obtemos:

54
Assim, a área do retângulo maior é dada por:
x2
+ 3x + 2x + 3.2 = x2
+ 5x + 6
Ou, podemos também escrever:
Que é a forma fatorada do trinômio dado.
Assim, x2
+ 5x + 6 = (x + 3).(x + 2)
Exemplo: Deterrmine a forma fatorada do
trinômio x2
– 7x + 12.
A forma fatorada deste trinômio é dada por
(x + m).(x + n), onde:
m + n = - 7 e m.n 12
Para encontrar os valores de m e n, vamos
elaborar uma tabela onde listamos dois
números cujo produto seja 12 e cuja soma
seja -7:
m n m.n m + n
-1 -12 12 -13
1 12 12 13
-2 -6 12 -8
2 6 12 8
-3 -4 12 -7
3 4 12 7
Logo, dentre os valores listados na tabela,
temos que m = -3 e n = -4 ou m = -4 e n = -3.
Portanto, x2
– 7x + 12 = (x - 3).(x - 4)
Quadrado da diferença de dois termos
O quadrado da diferença de dois termos é
igual ao quadrado do primeiro termo, menos
duas vezes o produto do primeiro termo pelo
segundo e mais o quadrado do segundo
termo.
Algebricamente:
Exemplo:
(2x – 5)2
= (2x)2
– 2.(2x).(5) + (5)2
=
= 4x2
– 20x + 25
Produto da soma pela diferença de dois
termos
O produto da soma de dois termos pela
diferença desses mesmos termos é igual ao
quadrado do primeiro termo menos o
quadrado do segundo.
Assim,
Exemplo:
(x + 2).(x - 2) = x(x – 2) + 2(x - 2) =
= x2
– 2x + 2x – 4 =
= (x)2
- (2)2
= x2
– 4
Diferença de dois quadrados

55
a2
– b2
= (a + b).(a - b)
Exemplo:
x2
– 4 = (x + 2).(x - 2)
Cubo da soma de dois termos
O cubo da soma de dois termos é igual ao
cubo do primeiro termo, mais três vezes o
produto do quadrado do primeiro termo pelo
segundo, mais três vezes o produto do
primeiro termo pelo quadrado do segundo e
mais o cubo do segundo termo.
Exemplo:
(2x + 3)3
=
= (2x)3
+ 3. (2x)2
.(3) + 3.(2x).(3)2
+ (3)3
=
= 8x3
+ 36x2
+ 54x + 27
Cubo da diferença de dois termos
O cubo da diferença de dois termos é igual
ao cubo do primeiro termo, menos três vezes
o produto do quadrado do primeiro termo
pelo segundo, mais três vezes o produto do
primeiro termo pelo quadrado do segundo e
menos o cubo do segundo termo.
(a – b)3
=
= (a – b).(a – b)2
=
= (a – b).(a2
– 2ab + b2
) =
= a3
– 2a2
b + ab2
- a2
b + 2ab2
– b3
=
= a3
– 3a2
b + 3ab2
– b3
Exemplo:
(3x – 1)3
=
= (3x)3
– 3.(3x)2
.(1) + 3.(3x).(1)2
– (1)3
= 27x3
+ 27x2
+ 9x + 1.
Diferença de dois cubos
a3
– b3
= (a - b).(a2
+ ab + b2
)
Exemplo:
x3
- 27 = (x – 3).(x2
+ x.3 + 32
)
Soma de dois cubos
a3
+ b3
= (a + b).(a2
- ab + b2
)
Exemplo:
x3
+ 8 = (x + 2).(x2
- x.2 + 22
)
01)Analise cada uma das igualdades e
indique as que estão corretas.
Reescreva as incorretas, de modo eu
sejam verdadeiras:
a)
b)
c)
d)
e)

56
f)
02)Que polinômio obtemos quando
efetuamos as potências e os produtos
e reduzimos os termos semelhantes
da expressão (2 + a)2
– 2a.(2 – 2a) ?
03)Represente o polinômio (x – 3)2
– 3.(3
– 2x) na forma reduzida.
04)Desenvolva os produtos notáveis e
obtenha a forma reduzida de (2n + 9)2
– (2n – 1)2
05)Qual monômio deve ser adicionado
ao binômio 4a2
+ 4ab2
para obter (2a
+ b2
)2
?
06)Que monômio deve ser adicionado ao
binômio (a4
– a3
) para obter (a2
- a)2
?
07)Que monômio deve ser subtraído do
binômio x4
+ 9y2
para obter (x2
– 3y)2
?
08)Que monômio deve ser subtraído do
trinômio x2
– 2xy + 4y2
para que ele
seja o quadrado de (x – 2y)?
09)Se a.b = 96 e a2
+ b2
= 208,
responda:
a) Quais são os valores de a e b?
b) Qual é o quadrado da soma
desses números?
10)Sabendo que m2
+ n2
= 52 e m.n =
24, responda:
a) Que expressão algébrica
corresponde a (m – n)2
?
b) Qual é o valor dessa expressão?
11)Dados A = 3x – 1 e B = 3x + 1,
calcule:
a) A2
– B2
b) (A – B)2
12)Calcule o produto de
13)Represente esta expressão em uma
forma reduzida. (am2
– m3
)2
– (a2
m4
+
m6
) + am2
.(1 + m3
)2
14)Que expressão se deve adicionar a
(a2
+ b4
) para se obter o quadrado de
(a – b2
) ?
15)Se A = 2m2
– m e B = m2
– 5m, qual
é o resultado da diferença A2
– B2
?
16)Qual o quociente de (2a + y2
).(2ª – y2
)
por 4a2
– y4
, para 4a2
y4
?
17)Calcule o valor de m2
– n2
, sendo: m +
n = 22 e m – n = -2
18)A soma de dois números a e b é igual
a-9 e a diferença entre esses
números é 15. Qual o valor de a2
– b2
?
19)Observe esta expressão: [3 + (x-y)] .
[3 – (x-y)]. Desenvolvendo o produto,
que polinômio se obtém?
20)O produto de dois binômios é x2
– 6x
– 27, dos quais um é igual a x +3.
Determine o outro.
21)Efetue as operações indicadas na
expressão (a + c)3
– a.(a + c)2
– c.(a –
c)2
representando-a na forma
reduzida.
22)Se P = x3
– 3x2
– 2 e Q = 3x + 1, a
expressão P + Q é igual a (x – 2)3
ou
igual a (x – 1)3
?
23)Efetue as operações utilizando os
produtos notáveis:
a) [(a + b)+ c].[(a+ b) - c]
b) (x - y + z).(x – y – z)
24)Efetue os produtos notáveis e reduza
os termos semelhantes da expressão:
25)Qual é a forma reduzida da expressão
algébrica (x + 3y)2
+ (3x – y)2
?

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