Aula sobre conjuntos numéricos (pptx com animação)

1. Conjuntos Numéricos
2
1) Definição:
São conjuntos em que todos os
seus elementos são números
2) Conjunto dos Naturais ():
1º conjunto numérico conhecido
pela humanidade
Associado às ideias de:
- Contagem: Nº’s cardinais
- Ordenação: Nº’s ordinais
I - Conjunto dos Naturais não-nulos ():
ou
0
2
1
3
4
5
II - Processo de contagem:
Estabelecer uma relação de 1 para 1
entre dois conjuntos
Exemplo:
𝑷 ℕ∗
𝒗 𝟏
𝒈
𝒑
𝒅

2. “Deus criou os números naturais.
O resto é obra dos homens”
Leopold Kronecker
2) Conjunto dos Inteiros ():
“Zahl” “Número” em alemão
Introdução dos números negativos
Associado à ideia de oposição
Exemplos:
- Dinheiro: Ter (+) ou estar devendo (-)
- Deslocamento: p/ frente (+) ou p/ trás (-)
- Carga elétrica: próton (+) ou elétron (-)
I - Números positivos e
negativos:
Negativos Positivos
DICA: Cuidado!
Zero NÃO é positivo, nem negativo
II - Subconjuntos notáveis de :
A) Inteiros não-negativos ():
B) Inteiros Positivos ():
C) Inteiros não-positivos ():
D) Inteiros negativos ():

3. III - Comparação entre números inteiros:
Menor Maior
é igual a
é maior do que
é menor do que
Tricotomia
DICA: Símbolos de comparação
Nº Maior Nº Menor
¿ Nº Maior
Nº Menor
¿
Número Mesmo número
Propriedade característica de}
a)R: Inteiros positivos:
São os inteiros maiores do que zero
b)R: Inteiros negativos:
São os inteiros menores do que zero

4. III - Comparação entre números inteiros:
Menor Maior
é igual a
é maior do que
é menor do que
Tricotomia
DICA: Símbolos de comparação
Nº Maior Nº Menor
¿ Nº Maior
Nº Menor
¿
Número Mesmo número
Propriedade característica de}
c)R: Inteiros não-negativos: ou𝒙=𝟎
ou
“Maior do que ou igual a”
𝒙 >𝟎

5. III - Comparação entre números inteiros:
Menor Maior
Propriedade característica de}
d)R: Inteiros não-positivos: ou𝒙=𝟎
ou
“Menor do que ou igual a”
𝒙 <𝟎
é igual a
é maior do que
é menor do que
Tricotomia
DICA: Símbolos de comparação
Nº Maior Nº Menor
¿ Nº Maior
Nº Menor
¿
Número Mesmo número

6. III - Comparação entre números inteiros:
Menor Maior
é igual a
é maior do que
é menor do que
Tricotomia
DICA: Símbolos de comparação
Nº Maior Nº Menor
¿ Nº Maior
Nº Menor
¿
Número Mesmo número
a) R:
(V)
b) R:
(V)
c) R:
(F)
d) R:
(V)
e) R:
ou
“Se pelo menos uma for
verdadeira, então é verdadeira”
(V)

7. III - Comparação entre números inteiros:
Menor Maior
é igual a
é maior do que
é menor do que
Tricotomia
DICA: Símbolos de comparação
Nº Maior Nº Menor
¿ Nº Maior
Nº Menor
¿
Número Mesmo número
f) R:
ou
(F)
g) R:
ou
(V)
(V)
(V)
(F)
(V)
(V)

8. III - Comparação entre números inteiros:
Menor Maior
é igual a
é maior do que
é menor do que
Tricotomia
DICA: Símbolos de comparação
Nº Maior Nº Menor
¿ Nº Maior
Nº Menor
¿
Número Mesmo número
(V)
h) R: 𝟐 𝟐
𝟐>𝟐ou
(V)
i) R: 𝟓 𝟓
𝟓<𝟓ou
(V)
(F)
(V)
(V)
(F)
(V)
(V)

9. Menor Maior
III - Comparação entre números inteiros: IV - Operações básicas em :
A) Adição ():
Exemplos:
Soma ou Total
é igual a
é maior do que
é menor do que
Tricotomia
DICA: Símbolos de comparação
Nº Maior Nº Menor
¿ Nº Maior
Nº Menor
¿
Número Mesmo número

10. III - Comparação entre números inteiros:
Menor Maior
IV - Operações básicas em :
A) Adição ():
Posição
inicial
Deslocamento
Posição
final
(): Direita
(): Esquerda
Exemplos:
Soma ou Total
é igual a
é maior do que
é menor do que
Tricotomia
DICA: Símbolos de comparação
Nº Maior Nº Menor
¿ Nº Maior
Nº Menor
¿
Número Mesmo número

11. ) Propriedades da adição:
Propriedade comutativa:
Menor Maior
Propriedade associativa:
¿ 𝒂+𝒃+𝒄
Exemplo:
−𝟑+¿
𝟎
Elemento neutro: Zero
) Algoritmo da adição:
“Passo a passo” p/ realizar operações
de adição com números maiores
Exemplos:
Exemplo:

12. B) Subtração ():
Diferença
Exemplos:
Menor Maior
Posição
final
Posição
inicial
Deslocamento

13. B) Subtração ():
Diferença
Exemplos:
Posição
final
Posição
inicial
Deslocamento
Menor Maior

14. B) Subtração ():
Diferença
Exemplos:
Posição
final
Posição
inicial
Deslocamento
𝟒
Menor Maior
) Regras de sinais:
+¿
) Colocar o “menos” em evidência:
) Distributiva do “menos”:
DICA: Cuidado!
NÃO há propriedade comutativa na
subtração
( )

15. ) Algoritmo da subtração:
Exemplos:
𝟗𝟖𝟒
𝟎
𝟎
𝟎
𝟗𝟖𝟒
𝟎
𝟗
𝟏 +𝟏𝟕=¿
+¿
( )
) Elementos opostos ou simétricos:
Menor Maior
O número oposto a é
Exemplos:
Qual o oposto ao número ?
R:
Qual o oposto ao número ?
R:
DICA: Importante!
Somar opostos:

16. ) Valor absoluto ou módulo:
a) Noção intuitiva:
“Transforma números negativos em
positivos”
Exemplos:
“Não faz nada com números que já
são positivos”
b) Definição:
Menor Maior
O módulo de um número inteiro é a
sua distância até o zero
Nº de deslocamentos
(Contagem)
DICA: Conclusão
se
se
Exemplo:
( )
(Usa-se )
Pergunta: Mas, e o zero?

17. ) Sucessor e antecessor:
a) Sucessor:
Menor Maior
O sucessor de um número é o que
vem imediatamente após ele
(Próximo)
Exemplo:
Qual o sucessor do número 2?
R:
Sucessor de
b) Antecessor:
O antecessor de um número é o
que vem imediatamente antes dele
(anterior)
Exemplo:
Qual o antecessor do número 2?
R:
Antecessor de +(−𝟏)
DICA: “Três números consecutivos”
São três números em sequência
Exemplo:
𝟏
𝟐
𝟑

18. C) Operação de multiplicação ( ou .):
Exemplos:
Fatores
Produto
𝟏𝟔
) Propriedades da multiplicação:
Propriedade comutativa:
“A ordem dos fatores NÃO altera o produto”
Propriedade associativa:
Multiplicar por zero:
Exemplo:
¿𝟎+𝟎+𝟎+𝟎+𝟎
Elemento neutro: Um
Exemplo:
¿𝟏+𝟏+𝟏+𝟏+𝟏
DICA: Regras de sinais
As mesmas da adição e subtração
().() ⇒ ()
().() ⇒ ()
().() ⇒ ()
().() ⇒ ()

19. Exemplos:
𝟑.(−𝟐)=¿
DICA: Multiplicar por
Exemplos:
Multiplicar um número por é o
equivalente a inverter o seu sinal
) Ordem de precedência:
Qual operação realizar primeiro?
Exemplo:
R: Primeiro se multiplica, para depois, então,
somar ou subtrair

20. Exemplos:
𝟑.(−𝟐)=¿
DICA: Multiplicar por
Exemplos:
Multiplicar um número por é o
equivalente a inverter o seu sinal
) Ordem de precedência:
Qual operação realizar primeiro?
Exemplo:
R: Primeiro se multiplica, para depois, então,
somar ou subtrair

21. Exemplos:
𝟑.(−𝟐)=¿
DICA: Multiplicar por
Exemplos:
Multiplicar um número por é o
equivalente a inverter o seu sinal
) Ordem de precedência:
Qual operação realizar primeiro?
Exemplo:
DICA: Inverter ordem de precedência
E quando é necessário somar ou
subtrair antes de se multiplicar?
R: Usa-se parênteses
𝟏𝟔
R: Primeiro se multiplica, para depois, então,
somar ou subtrair
Primeiro parênteses, depois multiplicação
e, por último, somar ou subtrair

22. ) Propriedade distributiva evidência:
Exemplos:
Distributiva
Colocar em
evidência
Distributiva
Colocar em
evidência

23. ) Propriedade distributiva evidência:
Exemplos:
Distributiva
Colocar em
evidência
𝟒.𝟗
𝟐.𝟖
− ( )
𝟔
𝟏𝟎𝟎𝟎−𝟐
¿𝟑𝟎𝟎𝟎

24. ) Propriedade distributiva evidência:
Exemplos:
Distributiva
Colocar em
evidência
a)R:
𝟏𝟎+𝟓
b)R:
𝟓𝟎−𝟏
c)R:
𝟏𝟎𝟎−𝟐
d)R:
𝟐𝟎𝟎−𝟏𝟎

25. DICA: Importante!
a) Colocar em evidência: Fator comum
𝟗.(−𝟐)
𝟗−𝟒
−𝟓.𝟑
−𝟓−𝟕
a)R:
b)R: 𝟓.𝟐 𝟓−𝟕
c)R: −𝟕.𝟖
d)R:
e)R:

26. DICA: Importante!
a) Colocar em evidência: Fator comum
𝟗.(−𝟐)
𝟗−𝟒
−𝟓.𝟑
b) Distributiva com 2 parênteses:
Exemplo:
𝟐+𝟏 𝟐+𝟏
𝟐+𝟏
(𝟐+𝟏).
−𝟓−𝟕

27. a)R:
(𝟓−𝟑) .
𝟓.𝟐 𝟑.𝟐 𝟑.𝟗
b)R:
(𝟔+𝟏).
𝟔.𝟒 𝟏.𝟒 𝟏.𝟕
c)R:
(−𝟑− 𝟏)
𝟓.𝟑 𝟐.𝟑 𝟐.𝟏
d)R:
(𝟑+𝟏).
𝟑.𝒂 𝟏.𝒂 𝟏.𝒃
e)R:
( 𝒂+𝒃) .
𝒂. 𝒄 𝒃.𝒄 𝒃. 𝒅

28. ) Algoritmo da multiplicação:
Exemplos:
¿𝟐𝟎 ¿𝟑𝟎
¿𝟐𝟎𝟎
𝟏𝟐.𝟏𝟎
𝟑𝟔
𝟑𝟔
𝟔𝟎
𝟔𝟎

29. ) Algoritmo da multiplicação:
Exemplos:
𝟐𝟓.𝟒𝟎
+𝟐𝟓.𝟐
𝟏𝟎
−
−
𝟒𝟖𝟕.𝟐𝟎
+¿ +¿
+¿ +¿

30. DICA: Fechamento em relação a uma
operação
Um conjunto é dito fechado em relação a
uma determinada operação,
Exemplos:
O conjunto é fechado em relação a adição?
O conjunto é fechado em relação a
subtração?
O conjunto é fechado em relação a
multiplicação?
O conjunto é fechado em relação a
subtração?
quando se
efetua essa operação com quaisquer
elementos desse conjuntoe o resultado
também é um elemento que pertence ao
conjunto
0
2
1
3 4
5
-1
-2
2,5
R: Sim
R: Sim
R: Sim
R:
𝟐−𝟑=¿
Não

31. ) Múltiplos inteiros:
a) Definição:
ℤ
−𝟐
−𝟏
𝟎
𝟏
Inteiros
Múltiplos
de
𝒂
𝟐
×
¿
Os múltiplos inteiros de um número
é o conjunto cujos elementos são
obtidos após multiplicar por todos os
números inteiros
𝒙=𝒏.𝒂
Exemplos:
Múltiplos inteiros do 2
ℤ
−𝟐
−𝟏
𝟎
𝟏
Inteiros
Múltiplos
do
𝟐
𝟐
×
¿ −𝟒
−𝟐
𝟒
…;−𝟒;−𝟐;𝟎;𝟐;𝟒;𝟔;𝟖;…}

32. Múltiplos inteiros do 3
ℤ
−𝟐
−𝟏
𝟎
𝟏
Inteiros
Múltiplos
do
𝟑
𝟐
×
¿ −𝟔
−𝟑
𝟔
…;−𝟔;−𝟑;𝟎;𝟑;𝟔;𝟗;…}
b) Múltiplos inteiros positivos:
ℤ+¿∗
¿
𝟏
𝟐
𝟑
𝟒
Inteiros
positivos
Múltiplos
de
𝒂
𝟓
×
¿
𝒙=𝒏.𝒂
Os múltiplos inteiros positivos de um
número é o conjunto cujos elementos são
obtidos após multiplicar por todos os
números inteiros positivos

33. DICA:Teorema de Eudoxius
“Princípio de Arquimedes”
Exemplo: Múltiplos inteiros do 5
ℤ
−𝟐
−𝟏
𝟎
𝟏
Inteiros
Múltiplos
do
𝟓
𝟐
×
¿ −𝟏𝟎
−𝟓
𝟏𝟎
…;−𝟏𝟎;−𝟓;𝟎;𝟓;𝟏𝟎;𝟏𝟓;…}
𝟑𝟖 𝟏𝟏
−𝟔−𝟏
- Se não for múltiplo de , ele se encontra
entre dois múltiplos consecutivos de
e
¿ 𝒃<¿
𝒏∈ℤ
Existe um único
¿ 𝒃<¿
) Paridade dos números inteiros:
ímpar
par
ímpar
par
ímpar
par
par
ímpar
par
ímpar
a) Pares:
…;−𝟒;−𝟐;𝟎;𝟐;𝟒;𝟔;𝟖;…}
…;−𝟒;−𝟐;𝟎;𝟐;𝟒;𝟔;𝟖;…}
Um número é chamado de par se e,
somente se, ele for múltiplo inteiro de 2
é par

34. b) Ímpares:
…;−𝟑;−𝟏;𝟏;𝟑;𝟓;𝟕;𝟗;…}
Um número é chamado de ímpar se
ele for inteiro e NÃO for múltiplo de 2
Í 𝒎𝒑𝒂𝒓𝒆𝒔=ℤ− 𝑴(𝟐)
Um número ímpar pode ser visto como
um sucessor ou antecessor de um número
par
é ímpar
DICA: Paridade Conjuntos
a) Relação de inclusão:
Pares
Ímpares
Pares e Ímpares
b) Interseção e união:
Os conjuntos dos pares e dos
ímpares são disjuntos
Pares Ímpares
e Pares Ímpares
c) Complementação:
Ímpares Pares
𝑷𝒂𝒓𝒆𝒔

35. R:
𝑴+¿(𝟐)¿ ¿{𝟎;𝟐;𝟒;𝟔;𝟖;𝟏𝟎;𝟏𝟐;𝟏𝟒;𝟏𝟔;𝟏𝟖;𝟐𝟎;𝟐𝟐;𝟐𝟒;𝟐𝟔;…}
𝑴+¿(𝟑)¿ ¿{𝟎;𝟑;𝟔;𝟗;𝟏𝟐;𝟏𝟓;𝟏𝟖;𝟐𝟏;𝟐𝟒;𝟐𝟕;𝟑𝟎;𝟑𝟑;𝟑𝟔;𝟑𝟗;𝟒𝟐;𝟒𝟓;𝟒𝟖;𝟓𝟏;𝟓𝟒;
¿ 𝒁+¿¿
𝑴+¿(𝟓)¿ ¿{𝟎;𝟓;𝟏𝟎;𝟏𝟓;𝟐𝟎;𝟐𝟓;𝟑𝟎;𝟑𝟓;𝟒𝟎;𝟒𝟓;𝟓𝟎;𝟓𝟓;𝟔𝟎;…}
Pares com os de final 5
Retirar os pares e os Nº’s com final 5 do conjunto B
;…}
𝟐;𝟒;𝟓;𝟔;𝟖;𝟏𝟎; 𝟏𝟐;
𝟏𝟒;
𝟏𝟓; 𝟏𝟔;
𝟏𝟖;
𝟐𝟎;
𝟐𝟐;
𝟐𝟒;
𝟐𝟓;
𝟐𝟔;…}
𝟓𝟕;𝟔𝟎;𝟔𝟑;𝟔𝟔;𝟔𝟗;𝟕𝟐;…}
𝟔𝟑 𝟔𝟗

36. …;−𝟐;𝟎;𝟐;𝟒;𝟔;𝟖;𝟏𝟎;𝟏𝟐…}
…;−𝟑;−𝟏;𝟏;𝟑;𝟓;𝟕;𝟗;…}
Se fosse uma questão teste
a)R:
Par
b)R:
Par
c)R:
Ímpar
Rascunho
a)R:
𝟐.𝟏+𝟐.𝟑
¿ 𝟐 .( )
c)R:
( )
¿ 𝟐 .( )

37. Rascunho
a)R:
𝟐.𝟏+𝟐.𝟑
¿ 𝟐 .( )
c)R:
( )
¿ 𝟐 .( )
é par
é ímpar
a)R:
e
¿ 𝟐 .( )
Como o conjunto é fechado em relação à
adição:
é par

38. é par
é ímpar
a)R:
e
¿ 𝟐 .( )
Como o conjunto é fechado em relação à
adição:
é par
b)R:
e
¿ 𝟐 .( )
Como o conjunto é fechado em relação à
adição:
é par

39. é par
é ímpar
a)R:
e
¿ 𝟐 .( )
Como o conjunto é fechado em relação à
adição:
é par
c)R:
e
( )
¿ 𝟐 .( )
Como o conjunto é fechado em relação à
adição:
é ímpar