Mat concordancia exercicios resolvidos

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Desenho, Geometria e Arquitetura On-Line Resumo. Maria Bernadete Barison apresenta exercícios resolvidos sobre
www.mat.uel.br/geometrica CONCORDÂNCIA em Desenho Geométrico. Geométrica vol.1 n.7c. 2005

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS – CONCORDÂNCIA

1. CONCORDAR TRÊS ARCOS DE CIRCUNFERÊNCIA DADOS COM
UMA SEMI-RETA RT DADA NO PONTO T.

Seja a semi-reta Tr. Levante por T uma perpendicular à semi-reta Tr.
Transporte com o compasso para a semi-reta Tr a partir de T o raio R1
encontrando assim o centro O1. Em seguida, coloque a ponta seca do compasso
no centro O1 e com abertura igual ao raio R1, trace o arco a partir do ponto T.

Repita este processo com os outros arcos.

2. COM UM ARCO DADO, CONCORDAR NO PONTO T UM OUTRO
ARCO, DE MESMO SENTIDO, PASSANDO PELO PONTO P DADO.

Seja o ponto T no arco de centro O1 e o ponto P fora do arco. Procura-se o
centro O2 do arco que concorda com o arco dado no ponto T e passe pelo ponto
P. Ligue o ponto T do arco de centro O1 ao ponto P. (corda do arco procurado).

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Em seguida, trace a mediatriz da corda TP (lugar geométrico do centro O1
procurado). Em seguida, ligue T a O1.

Prolongue TO1 até a intersecção com a mediatriz (lugar geométrico do centro O1
procurado). Na intersecção teremos o centro O2 procurado. Com a ponta seca
do compasso em O2 e abertura O2T ou O2P trace o arco.

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3. COM UM ARCO DADO, CONCORDAR NO PONTO T UM OUTRO
ARCO, DE SENTIDO CONTRÁRIO, PASSANDO PELO PONTO P
DADO.

Seja o ponto T no arco de centro O1 e o ponto P fora do arco. Procura-se o
centro O2 do arco que concorde com o arco dado no ponto T e passe por P.
Ligue o ponto T ao ponto P (corda do arco procurado).

Em seguida, ligue o ponto T ao ponto P (corda do arco procurado). Construa a
mediatriz da corda PT (lugar geométrico do centro O2 procurado).

Prolongue o raio O1T até intersectar com a mediatriz (lugar geométrico do
centro O2 procurado). Coloque aponta seca do compasso em O2 e com abertura
igual à O2T ou O2P trace o arco procurado.

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4. COM UMA SEMI-RETA RT DADA CONCORDAR UM ARCO DE
CIRCUNFERÊNCIA NO PONTO T, QUE PASSE PELO PONTO P
SITUADO FORA DA SEMI-RETA.

Seja o ponto T na semi-reta e o ponto P fora dela. Levante uma perpendicular à
semi-reta pelo ponto T (lugar geométrico do centro O procurado).

Ligue o ponto P ao ponto T construindo assim, a corda do arco procurado. Em
seguida, trace a mediatriz da corda TP (lugar geométrico do centro O
procurado).

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O centro O estará na interseção dos dois lugares geométricos. Coloque a ponta
seca do compasso no centro O e com abertura igual à OT ou OP trace o arco
que concorda com a semi-reta no ponto T e passa por P.

5. COM O ARCO DADO, CONCORDAR TRÊS ARCOS DE
CIRCUNFERÊNCIA QUE CONCORDEM RESPECTIVAMENTE NOS
PONTOS T, A, B, C.

Seja o ponto T no arco de centro O1 e os pontos A, B e C fora do arco. Ligue o
ponto T ao ponto A dado (corda do arco de centro O2).

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Ligue o ponto A ao ponto B. Ligue o ponto B ao ponto C.

Ligue o ponto T ao centro O1. Trace a mediatriz de TA (lugar geométrico do
centro O2).

Ligue TO1 até cruzar com a mediatriz (lugar geométrico de O2). Coloque a ponta
seca do compasso em O2 e com abertura O2T trace o arco TA.

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Trace a mediatriz da corda AB (lugar geométrico de O3). Ligue o centro O2 ao
ponto A e prolongue até cruzar com a mediatriz (lugar geométrico de O3)
encontrando assim o centro O3.

Coloque a ponta seca do compasso em O3 e com abertura O3A ou O3B trace o
arco AB. Ligue O3 ao ponto B.

Trace a mediatriz da corda BC (lugar geométrico de O4). O centro O4 está na
interseção da mediatriz com O3B. Coloque a ponta seca do compasso em O4 e
com abertura O4B ou O4C trace o arco BC.

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6. CONCORDAR DUAS SEMI-RETAS PARALELAS, CUJOS
EXTREMOS ESTÃO NUMA PERPENDICULAR COMUM.
(CONSTRUIR O ARCO ROMANO).

Sejam as duas semi-retas T1s e T2r. Para encontrar o centro O do arco que
concorda com as duas semi-retas nos pontos T1 e T2, primeiro ligue os pontos
T1 e T2 e depois trace a mediatriz. Coloque a ponta seca do compasso no centro
O e trace o arco T1T2.

7. CONCORDAR DUAS SEMI-RETAS PARALELAS DE ALTURAS
DIFERENTES (CONSTRUIR O ARCO BOTANTE).

Sejam as semi-retas T1s e T2r com tamanhos diferentes. Levante duas
perpendiculares em T1 e T2 com a mesma medida de um raio qualquer.

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Em seguida, trace circunferências tangentes às semi-retas nos pontos T1 e T2 e
as duas com o mesmo valor de raio. Ligue o ponto T1 ao centro O1 e prolongue
para o lado direito (lugar geométrico do centro O3 procurado).

Ligue os centros O1 e O2 dessas duas circunferências. Encontre a mediatriz m
(lugar geométrico do centro O3 procurado).

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A intersecção dos dois lugares geométricos será o centro O3 procurado. Ligue o
centro O3 ao centro O2. Prolongue o segmento O3O2 até a circunferência
encontrando assim o ponto T3. Coloque a ponta seca do compasso em O3 e com
abertura O3T3 trace o arco T1T3.

8. CONSTRUIR UM ARCO DE RAIO IGUAL A 2 CM QUE CONCORDE
COM AS RETAS R E S.

Sejam as retas r e s dadas e um raio igual a 2 cm. Primeiro trace duas retas
perpendiculares às retas r e s em qualquer lugar e marque com o compasso o
valor da medida do raio dado (2 cm).

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Em seguida, trace duas retas paralelas às retas r e s encontrando assim o
centro O do arco procurado. Mas, antes de traçar o arco de centro O, determine
os dois pontos de concordância T1 e T2.

Para determinar os pontos de concordância T1 e T2 basta levantar pelo centro O uma
perpendicular à reta r e outra à reta s. Assim temos o arco T1 T2 em concordância com
as retas r e s.

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9. CONCORDAR O ARCO DADO COM A RETA R NO PONTO T, POR
MEIO DE UM OUTRO ARCO.

Seja a reta r e o ponto T1 na circunferência de centro O1. Primeiro ligue o centro
O1 ao ponto T1.

Trace uma reta perpendicular à O1T1 por T1 (tangente comum). Trace a bissetriz
do ângulo formado entre a reta tangente e a reta r dada.

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Prolongue o raio O1T1 até intersectar com a bissetriz, encontrando assim o centro O2
do arco procurado. Antes de construir o arco, encontre o ponto T2 levantando uma
perpendicular à reta r por O2.

Coloque a ponta seca do compasso em O2 e com abertura O2T1 ou O2T2 trace o
arco. O arco T1T2 concorda com a circunferência e com a reta r.

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10. COM O ARCO DADO, CONCORDAR UMA RETA NO PONTO T.

Seja o ponto T no arco de centro O dado. Ligue o centro O ao ponto T.

Em seguida, trace uma reta perpendicular ao segmento OT que passando pelo
ponto T. A reta r concorda com o arco de centro O no ponto T.

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11. CONSTRUIR UMA OVAL REGULAR SENDO DADO O EIXO
MAIOR.

Seja o segmento AB o eixo maior da oval regular que se deseja construir.
Divida o segmento AB em três partes iguais encontrando os centros O1 e O2.

Coloque a ponta seca do compasso no centro O1 e trace uma circunferência de
raio O1A. Repita o processo em O2 utilizando o raio O2B. Marque os centros O3
e O4 na intersecção das duas circunferências traçadas. Ligue o centro O3 ao
centro O1 e prolongue para baixo até encontrar o ponto de tangência T1. Em
seguida, ligue o centro O3 ao centro O2 e prolongue para baixo até encontrar o
ponto de tangência T2.

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Ligue o centro O4 ao centro O1 e prolongue para cima até encontrar o ponto de
tangência T3. Em seguida, ligue o centro O4 ao centro O2 e prolongue para cima
até encontrar o ponto de tangência T4. Coloque a ponta seca do compasso no
centro O4 e com abertura O4T3 trace o arco T3T4.

Na seqüência, coloque a ponta seca do compasso no centro O3 e com abertura
O3T1 trace o arco T1T2. Temos então, o traçado da oval regular.

12. CONCORDAR DOIS ARCOS DE CIRCUNFERÊNCIA POR MEIO DE
UM ARCO DE RAIO 3 CM.

Sejam os arcos dados de centros O1 e O2 e o raio de um outro arco que se
deseja concordar com esses dois arcos dados. Marque o raio R1 e some-o ao
raio dado.

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Marque o raio R2 e some ao valor do raio dado. Coloque a ponta seca do
compasso no centro O1 e com abertura igual à soma d raio dado com R1 trace
um arco para o lado de cima e outro para o lado de baixo. Depois coloque a
ponta seca do compasso no centro O2 e com abertura igual à soma do raio dado
com R2 trace um arco para o lado de cima e outro arco para o lado de baixo.

Na intersecção dos quatro arcos traçados (dois a dois) têm-se os centros O3 e
O4 dos arcos que concordam com os arcos dados. Entretanto, para traçá-los é
necessário encontrar primeiro os quatro pontos de concordância: T1, T2, T3 e
T4. Para encontrá-los, ligue o centro O3 aos centros O1 e O2 e depois ligue o
centro O4 aos centros O1 e O2. Na intersecção destes segmentos com os arcos
teremos os pontos T1, T2, T3 e T4. Para finalizar, coloque a ponta seca do
compasso no centro O3 e com abertura igual ao raio dado (3 cm) trace o arco
iniciando no ponto T1 e terminando no ponto T2. Em seguida, coloque a ponta

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seca do compasso no centro O4 e com o mesmo valor de raio trace um arco
iniciando no ponto T3 e finalizando no ponto T4.

Apagando as linhas temos os arcos de raio dado em concordância com os arcos
de centros O1 e O2.

13. CONSTRUIR UMA OVAL IRREGULAR SENDO DADO O EIXO
MAIOR AB.

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Seja AB o eixo maior da oval irregular. Divida o segmento AB em quatro partes
iguais.

Marque o centro O1 da circunferência cujo diâmetro seja igual a ¾ do segmento
AB. Marque o centro O2 da circunferência cujo raio seja igual a ¼ de AB.

Construa a circunferência de centro O1 e diâmetro 3/4 de AB. Construa uma
segunda circunferência de centro O1 cujo diâmetro igual a ¼ de AB.

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Construa uma terceira circunferência de centro O2 e raio igual a ¼ de AB. Trace
o diâmetro vertical das circunferências de centro O1 encontrando assim os
pontos C e D.

Ligue os pontos C e D ao centro O2. Encontre a mediatriz de CO2. Prolongue o
segmento CD até cruzar com a mediatriz de CO2. Na interseção tem-se o centro
O3.

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O ponto O3 é o centro do arco T1T2. Ligue o centro O3 ao centro O2 e prolongue
até encontrar o ponto de concordância T2. Construa a mediatriz do segmento
DO2 e prolongue o segmento DC até cruzar com a mediatriz de DO2. Na
interseção tem-se o centro O4.

Ligue o centro O4 ao centro O2 e prolongue até encontrar o ponto de tangência
T4. Coloque a ponta seca do compasso em O4 e com abertura O4T3 ou O4T4
construa o arco T3T4.

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14. CONSTRUIR FALSAS ESPIRAIS DE DOIS, QUATRO E SEIS
CENTROS.

FALSA ESPIRAL DE DOIS CENTROS

Seja o segmento 1_2 dado. Prolongue o segmento 1_2 para os dois lados.
Coloque a ponta seca do compasso no ponto 1 e com abertura igual ao
segmento 1_2 trace um arco que corta a reta que passa pelo segmento 1_2 no
ponto A.

Em seguida, coloque a ponta seca do compasso no ponto 2 e com abertura
igual ao segmento A_2 trace outro arco que corta a mesma reta no ponto B.
Repita o processo colocando a ponta seca do compasso no ponto 1 e com
abertura igual ao segmento 1_B trace o arco BC. Repita o processo
sucessivamente.

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FALSA ESPIRAL DE QUATRO CENTROS

Seja o quadrado de vértices 1, 2, 3 e 4. Prolongue os lados do quadrado nas
seguintes direções: 2»1, 1»4, 4»3 e 3»2.

Em seguida, coloque a ponta seca do compasso no vértice 1 e com abertura
igual ao lado 14 do quadrado, trace o arco 4A. Depois, centre a ponta seca do
compasso no vértice 2 e com abertura igual ao segmento 2A trace o arco AB.

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Na seqüência coloque a ponta seca do compasso no vértice 3 e com abertura
igual ao segmento 3B trace o arco BC. Por último, coloque a ponta seca do
compasso no vértice 4 e com abertura 4C trace um arco até o prolongamento
do lado 1-4 do quadrado.

FALSA ESPIRAL DE SEIS CENTROS

Seja o hexágono de vértices 1, 2, 3, 4, 5 e 6. Prolongue os lados do hexágono
nas seguintes direções: 1»6, 6»5, 5»4, 4»3, 3»2 e 2»1.

Coloque a ponta seca do compasso no vértice 1 com abertura igual ao lado 1-6
e trace um arco a partir do vértice 6 até o prolongamento do lado 2-1,
encontrando o ponto A. Em seguida, coloque a ponta seca do compasso no
vértice 2 e com abertura igual ao segmento 2_A trace o arco AB. Na seqüência,
coloque a ponta do compasso no vértice 3 e com abertura igual ao segmento
3B trace o arco BC. Repita este procedimento até construir seis arcos cujos
centros são os vértices 1, 2, 3, 4, 5 e 6 do hexágono.

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15. CONCORDAR DUAS SEMI-RETAS PARALELAS DE SENTIDOS
OPOSTOS, POR MEIO DE DOIS ARCOS QUE ESTÃO EM
CONCORDÂNCIA.

A) OS EXTREMOS ESTÃO NA MESMA PERPENDICULAR.

Sejam as semi-retas T1r e T2s onde T1 e T2 são os dois pontos de concordância.
Ligue os pontos T1 e T2. Divida o segmento T1T2 em quatro partes iguais
encontrando os pontos A, M e B.

Coloque a ponta seca do compasso no ponto A e com abertura AT1 trace o arco
T1M. Coloque a ponta seca do compasso no ponto B e com abertura BT2 trace o
arco T2M. Ligue os pontos T1 e T2. Trace a mediatriz do segmento T1T2
encontrando o seu ponto médio M. Trace uma reta perpendicular à T1s por T1 e
outra perpendicular à T2r por T2.

B) OS EXTREMOS NÃO ESTÃO NA MESMA PERPENDICULAR

Sejam as semi-retas T1s e T2s onde T1 e T2 são os dois pontos de concordância.

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Para encontrar os centros O1 e O2 dos dois arcos em concordância trace a
mediatriz m1 do segmento MT2 (lugar geométrico de O2) e a mediatriz m2 do
segmento MT1 (lugar geométrico de O1). Marque o centro O1 no cruzamento de
m1 com MT1 e marque o centro O2 no cruzamento de m2 com MT2.

Centre a ponta seca do compasso em O1 e com abertura igual a O1T1 trace o arco T1M.
Centre aponta seca do compasso em O2 e com abertura igual a T2 trace o arco T2M.

16. CONCORDAR DUAS SEMI-RETAS CONVERGENTES DADAS NOS
PONTOS DADOS T1 E T2, POR MEIO DE DOIS ARCOS DE
CIRCUNFERÊNCIA.

Sejam as duas semi-retas convergentes T1r e T2s. Sejam as duas semi-retas
convergentes T1r e T2s. Levante uma perpendicular por T1 e transporte a
medida do raio do círculo que se deseja construir e marque o centro O1.

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Trace os dois círculos de centros O1 e O2 que são tangentes às semi-retas nos
pontos T1 e T2. Ligue os centros O1 e O2 e trace a mediatriz de O1O2
encontrando o ponto Médio M. Prolongue o segmento T1O1 até encontrar a
mediatriz m marcando ali o centro O3. Ligue O3 à O2 e prolongue até encontrar
com a circunferência de centro O2 marcando ali o ponto de tangência T3. Centre
a ponta seca do compasso em O3 e com abertura igual à O3 T1 e/ou O3T3 trace
o arco T1T3.

17. CONCORDAR DUAS SEMI-RETAS CONVERGENTES, NOS
PONTOS DADOS T1 E T2, DESIGUALMENTE, POR MEIO DE UM
ARCO DE PALABOLA.

Sejam as duas semi-retas T1r e T2s. Prolongue as duas semi-retas até se
encontrarem.

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Divida os segmentos prolongados num mesmo número de partes iguais (N=5).
Marque os pontos 1, 2, 3 e 4, no prolongamento da semi-reta T1r e os pontos
1', 2', 3' e 4'' no prolongamento da semi-reta T2s. Ligue os pontos T1-4', 1-3',
2-2', 3-1' e 4-T2.

O arco de parábola inicia no ponto T1 e passando pelos pontos de interseção
dos segmentos T1-4', 1-3', 2-2', 3-1' e 4-T2 e termina no ponto T2.

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18. CONSTRUIR A VOLUTA JÔNICA.

Seja o círculo de raio R o olho da voluta jônica. Prolongue o raio R para cima e
marque a partir do círculo a distância oito vezes a medida R. Marque o ponto A
no final da reta e Inscreva no olho da voluta um quadrado (que aprece ao lado
ampliado).

Divida o quadrado em quatro quadrados menores. Divida cada lado dos
quadrados em três partes iguais. Marque os pontos 1,2,3 e 4. Marque os pontos
5, 6, 7 e 8. Marque os pontos 9, 10, 11 e 12.

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Ligue os pontos 1 e 2 e prolongue. Ligue os pontos 2 e 3 e prolongue. Ligue os
pontos 3 e 4 e prolongue. Ligue os pontos 4 e 5 e prolongue. Ligue os pontos 5
e 6 e prolongue. Ligue os pontos 6 e 7 e prolongue. Ligue os pontos 7 e 8 e
prolongue. Ligue os pontos 8 e 9 e prolongue. Ligue os pontos 9 e 10 e
prolongue. Ligue os pontos 10 e 11 e prolongue.Ligue os pontos 11 e 12 e
prolongue.

Agora, coloque a ponta seca do compasso no ponto 1, e com abertura 1A trace
o arco AB. Em seguida, coloque a ponta seca do compasso no ponto 2 e com
abertura 2B trace o arco BC. Agora, coloque a ponta seca no ponto 3 e com
abertura 3C trace o arco CD. Coloque a ponta seca do compasso no ponto 4 e
com abertura 4D trace o arco DE. Coloque a ponta seca do compasso no ponto
5 e com abertura 5E trace o arco EF. Coloque a ponta seca do compasso no
ponto 6 e com abertura 6F trace o arco FG. Coloque a ponta seca do compasso
no ponto 7 e com abertura 7G trace o arco GH. Coloque a ponta seca do
compasso no ponto 8 e com abertura 8H trace o arco HI. Coloque a ponta seca
do compasso no ponto 9 e com abertura 9I trace o arco IJ. Coloque a ponta
seca do compasso no ponto 10 e com abertura 10J trace o arco JK. Coloque a
ponta seca do compasso no ponto 11 e com abertura 11K trace o arco KL.
Coloque a ponta seca do compasso no ponto 12 e com abertura 12L trace um
arco que encontra a circunferência do olho da voluta.

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19. CONSTRUIR A FALSA ELIPSE INSCRITA NO LOSANGO.

Seja o losango ABCD. Encontre as diagonais AC e BD do losango.

Encontre os pontos médios T1 e T2 de AB e BC. Ligue os pontos T1 e T2 ao ponto
D. Marque os pontos O1 e O2 onde os segmentos T1D e T2D cruzam com a
diagonal AC. Ligue B à O1 e O2 para encontrando T3 e T4 em AD e DC
respectivamente.

Centre a ponta seca do compasso em B e com abertura igual à BT3 e trace o
arco T3T4. Centre a ponta seca do compasso em D e com abertura igual à DT1 e
trace o arco T1T2. Centre a ponta seca do compasso em O1 e com abertura igual
à O1T1 e trace o arco T1T2. Centre a ponta seca do compasso em O2 e com
abertura igual à O2T2 e trace o arco T2T4.

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BIBLIOGRAFIA
BRAGA, Theodoro . Desenho Linear Geométrico. São Paulo : Ícone. 13° ed. 230 p.

MELLO E CUNHA, G. N. de. Curso de Desenho Geométrico e Elementar. São Paulo:
Livraria Francisco Alves, 460p, 1951.

RIVERA, Félix ; NEVES, Juarenze; GONÇALVES, Dinei (1986). Traçados em Desenho
Geométrico. Rio Grande: editora da Furg, 389 p.

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