Este documento apresenta instruções passo a passo para realizar diversos tipos de desenhos geométricos, incluindo: 1) Como encontrar o ponto médio e traçar a mediatriz de um segmento de reta; 2) Como traçar uma reta perpendicular a um segmento passando por um ponto dado; 3) Como redesenhar um triângulo em outra posição através da triangulação.

2. Universidade Federal de Alagoas – UFAL
Faculdade de Arquitetura e Urbanismo – FAU
Realizadores
Orientadoras
Patricia Hecktheuer
Suzann Flávia Cordeiro de Lima
Monitor
Daniel Aubert de Araujo Barros
Ilustrações
Daniel Aubert de Araujo Barros

3. Sumário
Apresentação.................................................................................................................01
Introdução......................................................................................................................01
Instrumentos..................................................................................................................02
1. Compasso........................................................................................................02
2. Esquadros.......................................................................................................03
3. Lapiseira.........................................................................................................04
Capítulo 1: Desenho Geométrico...................................................................................05
1. Ponto médio e mediatriz de um segmento de reta......................................05
2. Perpendicular de um segmento passando por ponto dado........................06
3. Triangulação...................................................................................................08
4. Retas paralelas...............................................................................................09
5. Como achar o centro de uma circunferência................................................10
6/7. Dividindo um segmento de reta/circunferência em x partes.....................11
8. Estrela regular.................................................................................................13
9. Polígono regular circunscrito numa circunferência dada.............................14
10. Concordância de arcos..................................................................................15
11. Concordância de segmentos de retas por um arco......................................17
12. Triângulos: exercícios resolvidos..................................................................19
Exercícios.............................................................................................................21
Capítulo 2: Vistas Ortográficas......................................................................................25
Exercícios............................................................................................................27
Capítulo 3: Geometria Descritiva (Projeção Mongeana).............................................30
1. Ponto na projeção mongeana........................................................................30
2. Reta e segmento de reta em épura...............................................................32
2.1 Tipos de reta......................................................................................33
3. Planos em épura.............................................................................................36
3.1 Tipos de plano...................................................................................37
4. Objetos tridimensionais em épura................................................................39
5. Planificação.....................................................................................................42
Exercícios...........................................................................................................46
Respostas dos exercícios..............................................................................................50
Capítulo 1............................................................................................................50
Capítulo 2............................................................................................................54
Capítulo 3............................................................................................................58

4. Apresentação
Esta apostila tem o objetivo de agregar todos os assuntos
abordados pela disciplina de Geometria Descritiva da FAU – UFAL, de
uma maneira didática, com passo a passos e exercícios. Atividades e
tutoriais feitos pelos professores e monitores já existiam à disposição
dos alunos, porém separados, e às vezes não eram arquivados. Com
esta publicação, todo o conteúdo da disciplina poderá ser acessado
pelos estudantes mais facilmente.
Introdução
Este documento está dividido em três capítulos: o primeiro
apresenta como utilizar os instrumentos (compasso, esquadros,
escalímetro, etc.) para representações e soluções geométricas; o
segundo trata-se das vistas ortográficas, como obtê-las de um sólido
geométrico e como representá-las; e o terceiro introduz o conceito e
aplicação das projeções mongeanas, por meio da épura.
1

5. Instrumentos
Antes de começar a fazer exercícios de geometria, o aluno deve
estar ciente de como usar os instrumentos, por isso aqui vão algumas
dicas:
1. Compasso
a) Deve-se segurar na haste superior para rotacioná-lo, sem encostar
nas “pernas”, pois isso pode modificar o raio da circunferência.
b) Quando for gerar a circunferência,
deite o compasso um pouco na direção
da rotação, como mostra a figura ao lado.
c) Se possível, use minas um pouco duras,
como HB ou 2H e mantenha-as apontadas, pois
são mais precisas do que as macias (B, 2B...), e
a geometria requer precisão.
2

6. 2. Esquadros
a) O jogo de esquadros permite desenhar retas paralelas...
b) ... retas concorrentes com ângulos de 30°, 45°, 60° e seus múltiplos.
O jogo de esquadro permite combinações que são muito úteis para o
desenho técnico. Porém, o capítulo 1 (Desenho Geométrico), mostrará
como desenhar retas paralelas, perpendiculares, dentre outras, sem o
posicionamento dos esquadros, e sim com o compasso; um método
com menos chances de erros de instrumento.
3

7. 3. Lapiseira
a) É aconselhado o uso de minas HB, pois não são tão macias ao ponto
de sujar muito o papel, e nem muito duras, o que dificulta a visibilidade
da linha e às vezes, se muito dura, pode até rasgar a folha.
b) Da mesma forma que o compasso, quando for desenhar um linha,
incline-a um pouco no sentido em que se está fazendo o traço, ou
mantenha-a em pé. Mas nunca incline-a no sentido contrário do
percurso do traço, pois pode quebrar a mina.
Também tente girar um pouco a lapiseira quando estiver
inclinada, para que o desgaste da mina seja uniforme.
c) Para melhor precisão dos traços, é aconselhado o uso de pontas 0.5
ou 0.3.
4

8. Capítulo 1
Desenho Geométrico
Este capítulo consiste de passo a passos de como solucionar
diversos problemas geométricos, por exemplo como achar a mediatriz
de um segmento de reta, ou como encontrar o centro de uma
circunferência. São métodos necessários para os demais assuntos dessa
matéria e até convenientes em qualquer desenho técnico.
1. Ponto médio e mediatriz de um segmento de reta.
Dado o segmento AB, coloque a ponta seca
do compasso em A ou B. Abra um raio maior
que a metade do segmento e trace um arco
acima e abaixo deste.
Obs.: Faça o arco com um linha fina, pois,
além de ser apenas uma linha de
construção, permite maior precisão no
desenho.
Faça o mesmo no outro ponto (com o mesmo raio de abertura do compasso). Ligue
as intersecções dos arcos com um esquadro e marque o ponto médio ou trace a
mediatriz.
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9. 2. Perpendicular de um segmento passando por ponto dado.
2.1 Ponto contido no segmento (duas maneiras)
a. Dado o segmento, prolongue-o a
partir do ponto escolhido (nesse caso
foi a extremidade B) para passar a
perpendicular.
b. Coloque a ponta seca do compasso
no ponto, abra qualquer raio e faça
um arco de cada lado, passando pelo
segmento.
c. Ponta seca nas intersecções dos
raios com o segmento, então, como
na mediatriz, abra um raio maior que
a metade do segmento (o segmento
de um arco ao outro) e marque um
arco acima e abaixo da reta.
d. Ligue as intersecções desses raios
por uma reta. Esta será a
perpendicular.
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10. Também pode ser feito da seguinte maneira:
Com um raio qualquer de abertura do compasso, faça os
seguintes arcos (mantendo sempre o mesmo raio).
e. Então é só ligar a última
intersecção de raios com a
extremidade do segmento de reta.
2.2 Ponto não contido no segmento.
b. Com a ponta seca em
C, abra o compasso até
a extremidade mais
próxima (B) e faça um
arco passando pelo
segmento. Se
necessário prolongue o
segmento.
c. Então faça como na
mediatriz: ponta seca
nas extremidades; raio
maior que a metade;
arcos abaixo.
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11. Perceba que o processo de achar
uma perpendicular a uma reta
sempre precisará do método que
acha a mediatriz, ou seja, é criado
um novo segmento cuja mediatriz
já será essa perpendicular.
3. Triangulação.
Necessária para redesenhar um mesmo triângulo em outra posição
(figura abaixo), ou outra figura plana se dividida em triângulos; o que
ajudará na Planificação (no capítulo 3).
b. Agora meça BC com o
compasso e passe o arco
a. Tendo o triângulo ABC, comece como na figura.
desenhando uma reta qualquer e
marcando um ponto (B). Então abra
um raio igual a um segmento que
contenha esse ponto (AB) e faça o
arco.
d. Termine o triângulo
ABC, que tem as
mesmas dimensões
daquele primeiro, porém
em outra posição.
c. Raio AC.
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12. 4. Retas paralelas
Para desenhar uma reta paralela a outra dada deve-se tentar imaginar
um retângulo, quadrado ou um paralelogramo (o último é mais usado)
entre elas, numa posição que dois lados opostos estejam contidos nas
retas como mostram as figuras abaixo. Assim o processo ficará mais
fácil de se entender.
b. Dado um segmento de
reta, ou uma reta,
coloque a ponta seca em
qualquer ponto do
segmento e faça um arco
qualquer (essa será a
medida de um lado do
paralelogramo).
c. Faça o mesmo em
outro ponto (nesse caso
foram escolhidas as
extremidades) com o
mesmo raio.
d. O raio desse arco
equivale à diagonal do
paralelogramo. O ponto
onde os arcos se
encontram corresponde
a um vértice do
paralelogramo
9

13. e. Abra o compasso com
um raio igual ao
segmento AB. Coloque a
ponta seca no vértice do
paralelogramo e marque
um arco como mostrado.
f. Ligue as intersecções
dos arcos. As retas
estarão paralelas.
5. Como achar o centro de uma circunferência
Apenas trace duas cordas quaisquer, não paralelas, e suas mediatrizes; a
intersecção destas será o centro da circunferência.
10

14. 6. Dividindo um segmento de reta em x partes.
O processo a seguir pode ser usado para dividi-lo em qualquer número
de partes.
a. Trace uma reta adjacente ao segmento, de b. Divida essa adjacente no número desejado
preferência com um ângulo agudo. de partes. A unidade não importa; pode ser
usado o escalímetro ou mesmo o compasso.
c. Ligue a última marcação com a d. Usando o jogo de esquadros, faça as
extremidade do segmento. marcações em AB de maneira que sejam
paralelas a essa última reta que liga a B,
partindo das marcações da adjacente (não é
necessário desenhar o tracejado).
7. Dividindo uma circunferência em x partes.
O processo a seguir pode ser usado para dividi-la em qualquer número
de partes.
a. Trace o diâmetro na circunferência. b. Como no item 6, divida o diâmetro no número de
partes requerido; nesse caso seis partes.
11

15. c. Com a ponta seca do compasso nessas d. Escolha as marcações ímpares ou pares
posições, abra um raio igual ao diâmetro e do diâmetro e transfira-as para a
marque os arcos. circunferência partindo das intersecções
dos arcos. (Não é necessário o tracejado).
e. Faça o mesmo partindo da outra f. Se as marcações forem ligadas, terá um
intersecção de arcos. A circunferência está polígono regular com o número de lados
dividida em seis partes iguais. igual ao de partes da circunferência, inscrito
nesta.
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16. 8. Estrela regular.
O processo a seguir pode ser usado para criar estrelas com qualquer
número de pontas, a partir de quatro.
a. A estrela deverá partir de uma b. Partindo de uma marcação, faça
circunferência dividida igualmente. O duas retas ligando a outros dois
número de pontas é equivalente ao pontos que não estejam ao lado desta.
número de partes desta. Esses segmentos devem ser
simétricos.
e. Ambas as estrelas acima têm 12 pontas, porém os lados foram feitos pulando
diferentes números de marcação. Na primeira, as marcações ligadas pularam
apenas uma; já na segunda foram pulados três pontos para ligar as pontas. Tanto
faz qual maneira será escolhida; o importante é manter a simetria.
13

17. 9. Polígono regular circunscrito numa circunferência dada.
a. Divida uma circunferência b. Faça uma perpendicular ao c. Trace pequenos segmentos
pelo número de lados do diâmetro passando em uma partindo das marcações até
polígono requerido. das extremidades. * encontrarem a perpendicular
(a reta deve passar pelo
centro). (Não é necessário
desenhar o tracejado).
d. Com o compasso, abra um e. Faça os mesmos pequenos
raio do centro até essa nova segmentos nas outras
intersecção com a marcações.
perpendicular e faça uma
circunferência. f. Ligue as intersecções dos
segmentos com a
circunferência maior.
g. Por fim, escureça a
circunferência de dentro para
enaltecer que o polígono está
circunscrito a ela.
* Para fazer desta maneira, que é mais fácil, divida a circunferência de modo que as
divisões dela não estejam na extremidade do diâmetro. Deixe pelo menos uma dessas
extremidades sem ser uma divisória da circunferência.
14

18. 10. Concordância de arcos.
Dado o arco, deve-se desenhar uma reta passando pelo centro e por uma
extremidade do arco. Nesta reta deve estar contido o centro do outro arco,
senão não estarão concordando, ou seja, se tangenciando.
Posicione a ponta seca em qualquer ponto da reta, sendo que depois da
extremidade, abra o raio até encontrar com B e faça o arco. Se for pedido um
raio específico para a circunferência deste arco, a distância de B até o novo
centro deve ter a medida do raio.
10.1 Concordar dois arcos passando por um ponto dado.
a. Dados o arco e o ponto, faça como no item anterior: trace uma reta
partindo de O e passando em B.
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19. b. O segmento BC é uma corda da circunferência do novo arco...
c. ... Portanto a intersecção de sua mediatriz com a reta prolongada consiste no
novo centro (ver item 5).
d. Com a ponta seca nessa intersecção, abra o raio até B e faça o arco.
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20. 11 Concordância de segmentos de retas por um arco.
11.1 Segmentos paralelos.
a. Dados dois segmentos de reta,
desenhe uma perpendicular
passando pelas extremidades
(estas devem estar na mesma
vertical senão o arco não
concordará).
b. Com a ponta seca no ponto médio
da perpendicular (ver item 1), abra o
raio até uma das extremidades (B ou
D) e faça o arco
11.2 Segmentos oblíquos ou ortogonais, sem raio dado.
b. Prolongue os segmentos até se
intersectarem.
c. Com a ponta seca na intersecção, d. Os segmentos deverão terminar
abra um raio qualquer e marque os nesses arcos.
dois arcos.
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21. e. Passe perpendiculares a cada f. Abra o raio do centro até B ou D e
segmento a partir de B e D. A faça o arco.
intersecção destas será o centro da
circunferência do arco.
11.3 Segmentos oblíquos ou ortogonais, com raio dado.
b. Prolongue os segmentos até se
intersectarem.
c. Faça uma perpendicular em cada d. Desenhe paralelas às semi-retas A
segmento, em qualquer posição e e C partindo das extremidades dessas
com a dimensão do raio pedido para perpendiculares.
a circunferência do arco.
18

22. e. Se passadas duas perpendiculares f. Com a ponta seca nessa posição
às semi-retas a partir desta faça o arco, concordando os
intersecção (centro da segmentos.
circunferência), encontraremos os
pontos B e D, que definem os
segmentos AB e CD.
12 Triângulos: exercícios resolvidos.
12.1 Faça o triângulo ABC de maneira que tenha altura 3cm, AB 5cm e o
ângulo  45°.
a. Comece aplicando os dados da b. Desenhe uma perpendicular a AB
questão. passando em A com 3 cm de altura.
c. Na extremidade dessa perpendicular, trace
uma paralela a AB até encontrar a reta
inclinada a 45°. Este é o ponto C. Feche o
triângulo.
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23. 12.2 Desenhe um triângulo isósceles com altura 2 cm e com um ângulo
de 120°.
a. Faça uma reta de 2 cm. b. Já que o triângulo é isósceles e tem um ângulo de
120°, sabemos que o vértice desse ângulo está numa
das extremidades da altura, pois os outro dois ângulos
serão equivalentes entre si e não pertencerão a essa
altura. Então posicione o esquadro de 60° fazendo duas
retas de 60° com a altura, uma pra cada lado, somando
os 120°.
d. Faça uma perpendicular à altura a
partir de sua outra extremidade,
fechando o triângulo.
12.3 Dados apenas os ângulos  60° e B 75° de um triângulo e AB igual a
3cm, construa-o.
a. Desenhe o segmento AB
com 3 cm.
b. Com o esquadro de 60°
transfira esse ângulo para
A, fazendo uma reta. c. Portanto use o esquadro
Nesta estará contido o de 45° para achar o último
ponto C. Já que a soma ponto (C), deslizando-o
dos ângulos internos de pela semi-reta A até que se
um triângulo é 180°, o posicione como mostra a
outro ângulo é 45°. imagem. Isso chama-se
enquadramento.
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24. Exercícios
1. Faça uma reta perpendicular ao segmento AB passando por B
2. Faça uma reta perpendicular ao segmento XY passando pelo centro
do triângulo. Lembrando: o centro do triângulo é achado com a
intersecção de suas bissetrizes (reta que divide o ângulo em duas partes
iguais).
3. Desenhe o triângulo ABC em outra posição.
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25. 4. Desenhe uma reta paralela ao segmento AB passando por C.
5. Faça uma reta paralela ao segmento XY passando pelo centro da
circunferência dada.
6. Divida o segmento abaixo em 13 partes.
7. Divida a circunferência abaixo em 10 partes.
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26. 8. Faça uma estrela de 14 lados.
9. Faça um polígono de 7 lados circunscrito a uma circunferência de raio
3 cm.
10. Faça uma estrela de 5 pontas circunscrita a uma circunferência de
raio 2 cm
11. Concorde o arco OAB com outro que contenha o ponto C.
12. Concorde 2 segmentos, cada um pertencendo a uma reta abaixo, por
um arco de circunferência .
13 Faça o mesmo que a questão anterior, porém usando uma
circunferência de raio 2 cm.
23

27. 14. Concorde o segmento abaixo com um arco de circunferência que
contenha o ponto C.
15. Faça o triângulo ABC de maneira que tenha altura (perpendicular a
AB) 4cm, AB 2cm e o ângulo  75°.
16. Desenhe um triângulo isósceles com altura 4 cm e com apenas um
ângulo de 45°.
17. Dados apenas os ângulos  30° e B 105° de um triângulo e AB igual a
3cm, construa-o.
24

28. Capítulo 2
Vistas Ortográficas
Trata-se da representação bidimensional de um objeto projetada
ortogonalmente em seis planos. Estes são posicionados ao redor do
objeto, formando um cubo, para assim serem obtidas as projeções.
Porém, esta imagem é apenas didática. A maneira correta de
representar as vistas é planificando esse cubo. Portanto as vistas dessa
pirâmide devem ficar assim:
As linhas tracejadas
compreendem as arestas
do cubo que envolve o
objeto. Porém, estas linhas
NÃO DEVEM ser
representadas, pois
qualquer reta em vistas
ortográficas representa
uma aresta ou um plano
ortogonal ao de projeção.
25

29. As distâncias entre as vistas
devem ser iguais, facilitando
a transferência de medidas;
como mostra a imagem: da
vista lateral direita para a
vista superior.
Note também que as linhas tracejadas
representam arestas. Porém estas
estão por trás de um plano do próprio
objeto, ou seja, são arestas
escondidas e devem ser
representadas tracejadas.
Exemplos de objetos com planos curvos:
Na vista lateral esquerda não aparecem
arestas ligando os planos porque estes
estão concordando, ou seja, estão se
tangenciando.
Já na vista superior aparece uma reta
que não está no sólido. Esta não é uma
aresta, mas sim o plano em S quando
está perpendicular à vista.
Para escolher a vista frontal (seja um objeto
com plano curvo ou não) sempre use os
seguintes requisitos: a que identifica mais
aquele objeto; a maior; e com menos arestas
escondidas.
Note que na posição em que o plano
curvo fica ortogonal a vista, surge uma
aresta; como a tracejada da VLE.
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30. Exercícios
1. Dadas as duas vistas ortográficas abaixo de um sólido, faça a vista
superior e a inferior do mesmo.
VF VLE
2. Dos seguintes sólidos, represente:
(Lembre-se de manter a proporção nas vistas)
a) todas as vistas. b) VF,VS, VLD.
c) VF, VS, VLD. d) VF, VS, VLE.
Obs.: Mesmo que alguns sólidos não venham com as medidas ao lado,
tente percebê-las para ajudar a manter a proporção.
27

31. e) VF, VS, VLD. f) VF, VS, VLE.
g) VF, VS, VLE. h) VF, VS, VLD.
i) apenas as vistas necessárias. j) VF, VS, VLE.
k) VF, VS, VLD. l) VF, VI, VLE.
28

32. m) VF, VS, VLD.
Dois pontos de vista do
mesmo sólido.
n) todas as vistas. o) VF, VS, VLD.
3. Identifique erros nas vistas ortográficas do sólido abaixo. Refaça as
vistas da maneira correta. Escala e unidade livres.
4. Faça todas as vistas do sólido abaixo.
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33. Capítulo 3
Geometria Descritiva (Projeção Mongeana)
Este assunto assemelha-se ao anterior, porém usaremos apenas
dois planos de projeção (às vezes será necessário um plano auxiliar) e
serão usadas coordenadas para os pontos projetados. Os planos de
projeção correspondem a um diedro. Existem quatro, mas a ABNT
adota apenas o primeiro (imagem abaixo), portanto usaremos apenas
este.
1 Ponto na projeção mongeana.
Já que os objetos estão no espaço, pertencem a um sistema
tridimensional, portanto serão usadas três coordenadas. São a Abscissa
(distância do ponto para π0), o Afastamento (distância do ponto para
π2), e a Cota (distância do ponto para π1). π0 é o plano auxiliar que
posiciona-se perpendicular ao vertical e ao horizontal, passando pela
origem (como mostra a imagem a seguir).
30

34. Mas como nas vistas ortográficas, a representação deve ser feita
em duas dimensões. Portanto o resultado é a planificação desse diedro,
e chama-se Épura.
As linha finas são apenas de
construção, mas mostram
como deve haver uma
correspondência entre as
projeções.
31

35. O resultado, sem todas
aquelas informações, deve
ficar assim. Porém quando
você fizer linhas de
construção não apague-as,
pois mostra quais os passos
usados para chegar naquele
resultado. E lembre-se que
devem ser linhas claras, pois
também usaremos retas em
épura, e elas não devem ser
confundidas.
2 Reta e segmento de reta em épura.
Segmento de reta é a simples ligação de dois pontos. Já a reta deve ser
representada como se fosse infinita, ou seja, não deve ter pontos
limitando-a.
Segmento de reta: Reta:
Perceba que a reta deve ser representada apenas por uma letra
minúscula.
32

36. 2.1 Tipos de reta.
Dependendo da posição da reta em relação aos planos de projeção, ela
receberá denominações diferentes. Existem sete tipos.
Reta frontal
A reta é paralela a π2,
oblíqua a π1 e π0.
Portanto está em Verdadeira Grandeza
em π2, e em Projeção Reduzida em π1
e π0.
Obs.:
Verdadeira Grandeza (VG) – Quando a projeção tem a mesma dimensão do objeto real.
Ocorre quando o objeto está paralelo àquele plano de projeção.
Projeção Reduzida (PR) – Quando a projeção é menor que o objeto real, porém não chega a
ser o mínimo, como um ponto. Ocorre quando o objeto está oblíquo àquele plano de
projeção.
Projeção Acumulada (PA) – Quando uma dimensão do objeto do objeto está resumida a um
ponto na projeção, ou seja, quando o objeto está ortogonal ao plano de projeção
Reta horizontal
A reta é paralela a π1,
oblíqua a π2 e π0.
Portanto está em Verdadeira Grandeza
em π1, e em Projeção Reduzida em π2
e π0.
33

37. Reta fronto-horizontal
A reta é paralela a π1 e π2,
e ortogonal a π0.
Portanto está em Verdadeira Grandeza
em π1 e π2, e em Projeção Acumulada
em π0.
Este símbolo é usado para mostrar que
dois ou mais pontos estão acumulados
no mesmo ponto de projeção.
Reta vertical
A reta é paralela a π0 e π2,
e ortogonal a π1.
Portanto está em Verdadeira Grandeza
em π0 e π2, e em Projeção Acumulada
em π1.
Reta de perfil
A reta é paralela a π0,
e oblíqua a π1 e π2.
Portanto está em Verdadeira Grandeza
em π0, e em Projeção Reduzida em π1
e π2.
34

38. Reta de topo
A reta é paralela a π1 e π0,
e ortogonal a π2.
Portanto está em Verdadeira Grandeza
em π1 e π0, e em Projeção Acumulada
em π2.
Reta oblíqua
A reta é oblíqua a π1, π0 e π2.
Portanto está em Projeção Reduzida
em π1, π0 e π2.
Tabela de posicionamento dos tipos de reta
Tipos de reta π1 π2 π0
Frontal PR VG PR
Horizontal VG PR PR
Fronto-Horizontal VG VG PA
Vertical PA VG VG
Perfil PR PR VG
Topo VG PA VG
Oblíqua PR PR PR
Legenda:
: oblíqua; : ortogonal; : paralela.
35

39. 3 Planos em épura
Um plano pode ser representado ou subentendido de diversas formas
em épura, não apenas por uma figura plana. Como:
Por três pontos não colineares Uma reta e um ponto
Uma figura plana Pelos traços do plano
Obs.: Traço de um plano é a reta gerada quando o plano intersecta os
planos de projeção
Este seria o plano desses
últimos traços:
36

40. 3.1 Tipos de planos. Como as retas, também existem sete.
Frontal
O plano é paralelo a π2,
e ortogonal a π0 e π1.
Portanto está em Verdadeira Grandeza
em π2, e em Projeção Acumulada em
π0 e π1.
Horizontal
O plano é paralelo a π1,
e ortogonal a π0 e π2.
Portanto está em Verdadeira Grandeza
em π1, e em Projeção Acumulada em
π0 e π2.
Perfil
O plano é paralelo a π0,
e ortogonal a π1 e π2.
Portanto está em Verdadeira Grandeza
em π0, e em Projeção Acumulada em
π1 e π2.
37

41. Vertical
O plano é ortogonal a π1,
e oblíquo a π0 e π2.
Portanto está em Projeção Acumulada
em π1, e em Projeção Reduzida em π0
e π2.
Rampa
O plano é ortogonal a π0,
e oblíquo a π1 e π2.
Portanto está em Projeção Acumulada
em π0, e em Projeção Reduzida em π1
e π2.
Topo
O plano é ortogonal a π2,
e oblíquo a π1 e π0.
Portanto está em Projeção Acumulada
em π2, e em Projeção Reduzida em π1
e π0.
38

42. Oblíquo
O plano é oblíquo a π1, π0 e π2.
Portanto está em Projeção Reduzida
em π1, π0 e π2.
Tabela de posicionamento dos tipos de plano
Tipos de plano π1 π2 π0
Frontal PA VG PA
Horizontal VG PA PA
Perfil PA PA VG
Vertical PA PR PR
Rampa PR PR PA
Topo PR PA PR
Oblíquo PR PR PR
4 Objetos tridimensionais em épura
Superfícies planas – Cubos, paralelepípedos, pirâmides.
Obs.: Perceba que, como nas vistas ortográficas, linhas tracejadas representam
segmentos de reta escondidos (atrás de um plano).
39

43. Superfícies de revolução – Cones, cilindros, esferas e troncos.
São aquelas formadas pela rotação de um plano ao longo de um
eixo, como mostram as figuras:
Cone
O cone é obtido pela rotação
de uma triângulo.
Quando o vértice pode ser definido,
como no cone, o objeto possui vértice
próprio.
Cilindro
O cilindro é obtido pela rotação
de uma retângulo/quadrado.
Quando o vértice está no infinito,
como no cilindro, o objeto possui
vértice impróprio.
Esfera
A esfera é obtida pela rotação
de um semi-círculo.
40

44. As retas finas nas épuras dessas superfícies representam as
geratrizes dos volumes (não é obrigatória sua representação nos
exercícios). Estas são as retas que ligam a diretriz ao vértice, formando
a superfície lateral do objeto. A diretriz por sua vez é a circunferência
que direciona as geratrizes, por isso possui esse nome (normalmente
corresponde à base do objeto).
O eixo da superfície é a reta que liga o centro de sua base ao
vértice. Percebe-se que nos últimos exemplos o eixo forma 90° com a
base, portanto são considerados de eixo reto.
Exemplo de superfície de eixo oblíquo.
Troncos - São superfícies de vértice próprio, porém chanfradas entre a
base e o vértice, de maneira que este último não se encoste à superfície.
Tronco de pirâmide. Tronco de cone.
41

45. 5 Planificação
Seu objetivo é posicionar todas as faces de uma superfície sobre um
mesmo plano, resultando numa figura inteiramente em verdadeira
grandeza. Portanto, dada a superfície, o primeiro passo é achar a
verdadeira grandeza de todas suas arestas, caso já não estejam em VG.
Para perceber se uma reta está
em VG em tal plano, digamos
π1, é necessário verificar em
um dos outros planos,
usaremos π2, se ela está
paralela a tal plano. No caso ao
lado perceba que em π2 a reta
está paralela a linha de terra,
portanto está paralela a π1 e
em VG no mesmo.
Ou então se ela estiver em PA
no outro plano (π2), e nesse
(π1) estiver representada como
um reta, com certeza esta
estará em VG.]
Obs.: o mesmo pode ser feito
para π0, porém ao invés de se
basear pela linha de terra deve-
se usar a reta perpendicular a
esta que passa pela origem,
sempre usada quando
necessário esse plano auxiliar.
Para facilitar: o único tipo de reta que
não possui VG em nenhum dos três
planos de projeção é a oblíqua.
Usaremos esse tronco de
pirâmide como exemplo de
planificação.
42

46. 1° Passo:
Como já foi dito, deve-se saber
quais segmentos de reta não
estão em VG. Portanto AD e CF.
Porém, nesse processo de
planificação, é usada a
triangulação para desenhar
cada face da superfície, como
veremos a frente, e este objeto
possui faces quadriláteras,
portanto deve-se usar a
diagonal de cada face
quadrilátera (formando
triângulos). O que significa que
se estas não estiverem em VG,
suas verdadeiras grandezas
também terão de ser achadas.
Por sorte, AD é igual a CF, e a diagonal BD é igual a EF. Assim só teremos de
achar a VG de uma de cada par.
2° Passo:
Deve-se achar a VG de cada segmento de reta oblíquo. A seqüência de imagens
mostra como fazê-lo.
AD foi escolhido. Passa-se uma reta
horizontal em um dos pontos, no caso
D (em π1 ou em π2).
43

47. Essa horizontal deve sair do ponto que A distância dessa intersecção ao ponto
foi rotacionado, nesse caso: A. D1 é a VG de AD.
3° Passo:
Depois de achadas todas as VGs, deve-se começar a fazer a planificação fora
da épura, de preferência em uma folha avulsa. A seqüência de imagens mostra
como montar, por triangulação, a superfície planificada.
Comece desenhando uma das faces. E continue face por face.
44

48. Continuando com a triangulação para achar cada face, obtém-se a
planificação completa.
Obs.: A posição das faces poderia ser diferente, se mantido o mesmo
método de triangulação usando somente as verdadeiras grandezas. Como assim:
A planificação continua correta, porém com outra configuração.
45

49. Exercícios
Para todas questões: Escala 1:1 / Un.: mm
1. Desenhe em épura uma superfície cuja diretriz é uma circunferência
de centro O (50;50;00), raio 20mm, contida no plano horizontal de
projeção. Sabe-se que uma de suas geratrizes é o segmento de reta
frontal definido por Z (30;50;00) e Y (30;50;25).
2. Planifique as seguintes superfícies desenhadas em épura.
a)Prisma de base hexagonal. b)Prisma de base triangular.
3. Represente, em épura, uma pirâmide de base quadrangular, sabe-se
que esta base pertence a um plano horizontal de cota 20mm.
4. Represente uma superfície com eixo oblíquo e de vértice impróprio
em épura. Sua diretriz deve ser uma circunferência.
5. Represente em épura uma superfície de vértice próprio cuja diretriz é
a circunferência de centro O (40;50;30).
6. Desenhe e planifique a superfície cúbica cujos vértices são:
A (60;60;10) B (60;20;10) C (20;20;10) D (20;60;10) E (60;60;50)
F (20;60;50) G (60;20;50) H (20;20;50)
7. Desenhe e planifique a superfície de base ABC e vértice V.
A (20;10;30) B (30;10;10) C (10;10;10) V (20;30;20)
8. Represente em épura um plano horizontal por 2 retas concorrentes.
9. Represente em épura um plano vertical por um segmento de reta e
um ponto não pertencente a este.
46

50. 10. Represente em épura um plano de perfil por segmentos de reta nele
contidos.
11. Represente em épura um plano frontal por três pontos não
colineares.
12. Planifique os seguintes poliedros:
a)
A (60;25;00) B (60;40;00) C (30;40;00) D (30;25;00) E (15;40;40) F (00;40;40)
G (00;10;40) H (15;10;40)
47

51. b) A (60;15;00) B (60;30;00)
C (30;15;00) D (30;30;00)
E (28;??;24) F (28;??;24)
G (??;??;20) H (??;??;20)
V (00;56;45)
c)
A (10,20,00) B (10,20,20)
C (18,12,00) D (18,12,20)
E (30,24,32) F (22,32,32)
G (40,34,22) H (32,42,22)
48

52. d)
A (30,05,20) B (30,05,00)
C (25,21,20) D (25,21,00)
E (40,15,00) F (35,7.5,20)
G (15,10,20) H (20,18,00)
I (20,??,00) J (15,15,20)
K (40,10,00) L (35,17,20)
13) QUAL dos seguintes segmentos de reta não pertence ao plano que
contém os demais segmentos?
AB: A(40;10;30) B(40;40;30)
CD: C(00;00;30) D(30;50;30)
EF: E(60;30;30) F(60;50;60)
GH: G(70;25;30) H(10;25;30)
14) Desenhe o resultado de um cubo cortado por um plano vertical, de
maneira que a parte que sobrar deste cubo seja a mais distante da
origem. O cubo tem abscissa 10mm, afastamento 20mm e cota 20mm,
suas faces tem 30mm x 30mm e são paralelas aos planos de projeção; o
plano vertical faz 45º com π2 e π0 e corta o cubo exatamente ao meio.
15) Desenhe um cone cuja base pertença a um plano de topo. O plano
faz 30º com π1e seu traço neste plano de projeção tem abscissa 60mm;
o cone tem altura 45mm, eixo reto, e sua base tem raio 15mm, e centro
com afastamento 30mm e cota sendo metade da cota do traço em π0.
49

53. Respostas dos exercícios
Capítulo 1
1.
2. 3.
4. 5.
6.
50

54. 7.
8.
Obs.: Apesar que a
estrela deva ter 14
pontas, estas podem ser
mais apontadas do que
nesta resposta.
9.
51

55. 10.
11.
12. 13.
52

56. 14.
15.
16.
17.
53

57. Capítulo 2
1.
2. a) b)
c) d)
54

58. e) f)
g) h)
i) j)
55

59. k) l)
m)
n)
o)
56

60. 3.
4.
57

61. Capítulo 3
1.
2. a) Planificação:
0
b) Planificação:
0
58

62. 3.
4.
5.
59

63. 6.
Obs.: desenho em reduzido.
60

64. 7.
Planificação:
8.
61

65. 9.
10.
11.
62

66. 12. a)
63

67. b)
c)
d)
64

68. 13. O segmento EF.
14.
65

69. 15.
66