1. O documento descreve as diferentes posições genéricas que uma reta pode assumir em relação aos planos de projeção, conhecidas como alfabeto da reta.
2. São descritas as seguintes posições da reta: horizontal, frontal, fronto-horizontal, de topo, vertical, oblíqua e de perfil.
3. Para cada posição da reta, é mostrada a sua representação em perspectiva e em projeções, indicando como se determinam as suas traçadas e projecções nos diferentes planos.
1) O documento resume os conceitos de geometria descritiva relacionados a sólidos, cones, cilindros e suas seções planas;
2) Inclui exemplos passo-a-passo de como determinar e projetar as figuras de seção de diferentes objetos geométricos;
3) Discutem-se os tipos de seção produzidos e como identificá-los dependendo da posição do plano secante.
1) O documento descreve diferentes tipos de planos utilizados na geometria descritiva, incluindo seus ângulos e orientações em relação aos eixos coordenados e ao referencial.
2) São definidos planos paralelos ou perpendiculares a um plano de projeção como plano frontal, horizontal ou de perfil.
3) Também são explicados planos como vertical, de topo, de rampa ou oblíquo de acordo com suas orientações nos sistemas de coordenadas ou referencial.
1) O rebatimento permite obter uma representação mais conveniente de um objeto, rotacionando-o em torno de um eixo para uma posição favorável.
2) O rebatimento de planos consiste na rotação de um plano em torno de uma reta até coincidir com outro plano.
3) O documento fornece exemplos de rebatimento de planos verticais e de topo para os planos de projeção, mostrando como obter as vistas auxiliares.
O documento apresenta um exercício de geometria descritiva sobre o rebatimento de um quadrado no plano de perfil. São dados os pontos A(1;2;1) e B(1;1;4,5) que definem o quadrado e é solicitado rebatê-lo no plano de perfil.
Exercício passo-a-passo rebatimento plano verticalJose H. Oliveira
O documento descreve um quadrado [ABCD] pertencente a um plano vertical projetante horizontal. O quadrado contém o ponto A(-1; 2; 1) e tem como centro o ponto O(-2; 3; 3,5).
Este documento fornece informações sobre os diferentes tipos de planos na geometria descritiva, incluindo planos paralelos, perpendiculares e oblíquos a um plano de projeção, e descreve suas propriedades em relação às coordenadas e ao referencial.
O documento classifica e descreve vários tipos de superfícies e sólidos geométricos. Apresenta uma classificação detalhada das superfícies em linhas, superfícies geométricas e irregulares, superfícies regradas planificáveis e empenadas, superfícies de revolução e não regradas. Também classifica sólidos geométricos em poliedros, corpos limitados por superfícies e compostos. Explica a representação diédrica de vários objetos geométricos como poliedros, superf
1) O documento descreve vários tipos de intersecções entre retas e planos, bem como entre dois planos;
2) As intersecções podem ocorrer entre elementos projectantes ou não projectantes, requerendo abordagens diferentes para determinar os pontos ou linhas de intersecção;
3) Planos auxiliares são utilizados para resolver situações não projectantes e obter as projecções das intersecções.
1) O documento resume os conceitos de geometria descritiva relacionados a sólidos, cones, cilindros e suas seções planas;
2) Inclui exemplos passo-a-passo de como determinar e projetar as figuras de seção de diferentes objetos geométricos;
3) Discutem-se os tipos de seção produzidos e como identificá-los dependendo da posição do plano secante.
1) O documento descreve diferentes tipos de planos utilizados na geometria descritiva, incluindo seus ângulos e orientações em relação aos eixos coordenados e ao referencial.
2) São definidos planos paralelos ou perpendiculares a um plano de projeção como plano frontal, horizontal ou de perfil.
3) Também são explicados planos como vertical, de topo, de rampa ou oblíquo de acordo com suas orientações nos sistemas de coordenadas ou referencial.
1) O rebatimento permite obter uma representação mais conveniente de um objeto, rotacionando-o em torno de um eixo para uma posição favorável.
2) O rebatimento de planos consiste na rotação de um plano em torno de uma reta até coincidir com outro plano.
3) O documento fornece exemplos de rebatimento de planos verticais e de topo para os planos de projeção, mostrando como obter as vistas auxiliares.
O documento apresenta um exercício de geometria descritiva sobre o rebatimento de um quadrado no plano de perfil. São dados os pontos A(1;2;1) e B(1;1;4,5) que definem o quadrado e é solicitado rebatê-lo no plano de perfil.
Exercício passo-a-passo rebatimento plano verticalJose H. Oliveira
O documento descreve um quadrado [ABCD] pertencente a um plano vertical projetante horizontal. O quadrado contém o ponto A(-1; 2; 1) e tem como centro o ponto O(-2; 3; 3,5).
Este documento fornece informações sobre os diferentes tipos de planos na geometria descritiva, incluindo planos paralelos, perpendiculares e oblíquos a um plano de projeção, e descreve suas propriedades em relação às coordenadas e ao referencial.
O documento classifica e descreve vários tipos de superfícies e sólidos geométricos. Apresenta uma classificação detalhada das superfícies em linhas, superfícies geométricas e irregulares, superfícies regradas planificáveis e empenadas, superfícies de revolução e não regradas. Também classifica sólidos geométricos em poliedros, corpos limitados por superfícies e compostos. Explica a representação diédrica de vários objetos geométricos como poliedros, superf
1) O documento descreve vários tipos de intersecções entre retas e planos, bem como entre dois planos;
2) As intersecções podem ocorrer entre elementos projectantes ou não projectantes, requerendo abordagens diferentes para determinar os pontos ou linhas de intersecção;
3) Planos auxiliares são utilizados para resolver situações não projectantes e obter as projecções das intersecções.
12 exercício sólidos exemplo piramide perfil-3_dJose H. Oliveira
O documento descreve duas pirâmides quadrangulares regulares: (1) uma com base ABCD e altura de 6cm, com vértices A(1;2;1) e B(1;1;4,5); (2) outra com vértices A3, B3, C3, D3.
O documento descreve os diferentes tipos de planos utilizados na geometria descritiva e suas relações com os sistemas de coordenadas e referenciais. Inclui planos paralelos, perpendiculares e oblíquos aos planos de projeção frontal, horizontal e de perfil, e define suas abreviações e propriedades geométricas essenciais.
El documento describe las fórmulas de tres cónicas: la elipse tiene dos semiejes y dos focos, la hipérbola tiene dos semiejes y dos focos reales y dos vértices imaginarios, y la parábola tiene un vértice y un foco con una ecuación que relaciona y al cuadrado y x.
1) O documento descreve os tipos de retas na geometria descritiva e suas características em relação aos planos de projeção.
2) São descritas retas paralelas, perpendiculares ou oblíquas aos planos horizontal, frontal e de perfil.
3) As retas podem ter coordenadas constantes ou variáveis em relação ao sistema de coordenadas cartesianas.
Este documento discute as posições relativas entre retas em geometria descritiva. As retas podem ser coplanares ou não coplanares. Retas coplanares podem ser paralelas ou concorrentes, enquanto retas não coplanares são chamadas de reversas. Vários exemplos ilustram como determinar se retas são coplanares ou não e, se coplanares, se são paralelas ou concorrentes com base em suas projeções.
Este documento descreve métodos auxiliares utilizados em geometria descritiva, incluindo mudança de planos, rotações e rebatimentos. A mudança de planos substitui um plano de projeção por outro para colocar elementos geométricos em posições mais convenientes. As rotações giram figuras em torno de eixos verticais ou de topo. Estes métodos auxiliares são usados para resolver problemas métricos e associados a retas de perfil.
O documento discute tópicos de Geometria Analítica, incluindo coordenadas cartesianas no plano, área de triângulos, condição de alinhamento de pontos, equação geral da reta e outros.
O documento discute a interseção de retas com sólidos geométricos como pirâmides, prisma e cubos. Ele fornece definições, métodos gerais e exemplos passo a passo para determinar os pontos de interseção de uma reta com esses sólidos tridimensionais.
Exercício passo-a-passo pirâmide em plano rampa - fácilJose H. Oliveira
O documento discute técnicas de representação de sólidos retos em planos de rampa através de projeções. Apresenta métodos para determinar a altura do sólido pela terceira projeção e inverter o rebatimento do plano de rampa usando o triângulo de rebatimento.
Questões sobre valor semântico das preposições aocpma.no.el.ne.ves
Este documento contém 8 questões sobre o valor semântico de preposições em português e suas respectivas soluções comentadas. Cada questão apresenta um contexto linguístico e pede para identificar o significado da preposição utilizada ou a relação semântica expressa.
O documento descreve os tipos de retas na geometria descritiva e suas características. Apresenta retas paralelas ou perpendiculares aos eixos e planos de projeção, como retas horizontais, frontais e de perfil. Também descreve retas oblíquas aos planos de projeção e suas variáveis geométricas de afastamento, cota e abcissa.
posición de la recta en el espacio, tipos de rectas, cómo se representa gráficamente una recta, su distancia de dos puntos a dos planos de proyección, conociendo: cota, alejamiento, apartamiento, dirección, elevación, coordenadas cartesianas.
Este documento discute os tipos de secções planas que podem ocorrer em superfícies geométricas e sólidos quando cortados por um plano. Explica que as secções podem resultar em linhas, curvas ou figuras complexas, e descreve como identificar tangentes e determinar se a secção é uma elipse, parábola, hipérbole ou outro tipo de curva.
Exercícios e soluções sólidos horizontais_frontais_perfil introdução 10º anoJose H. Oliveira
O documento apresenta 8 exercícios de projeção de sólidos geométricos em diferentes planos de projeção, incluindo cubos, pirâmides regulares e pirâmides quadrangular. Para cada exercício, são dados pontos e medidas para determinar a representação do sólido nas projeções horizontal, frontal e de perfil.
O documento descreve métodos geométricos auxiliares para mudança de diedros de projeção em geometria descritiva. Explica a nomenclatura dos novos planos de projeção e como transformar figuras geométricas de um plano a outro através de exemplos.
Este documento apresenta um resumo da aula 02 de Geometria Descritiva. Apresenta conceitos básicos de geometria como ponto, reta e plano, e discute as posições relativas entre essas figuras geométricas, incluindo retas concorrentes, paralelas, coincidentes e reversas; e planos paralelos, coincidentes e concorrentes. O documento serve como uma introdução aos fundamentos da geometria descritiva.
1) O documento descreve os elementos básicos e métodos de rotação em geometria descritiva, incluindo rotação de pontos, segmentos de reta e retas.
2) São apresentados vários exemplos de como aplicar rotações para transformar objetos geométricos em posições mais favoráveis e obter verdadeiras grandezas.
3) As rotações permitem representar objetos de forma mais conveniente para resolver problemas geométricos.
As retas do b13 formam o mesmo ângulo com o eixo x quando passantes, ou são paralelas a x e à mesma distância quando fronto-horizontais. As retas paralelas ao b13 formam o mesmo ângulo com x. Já as retas do b24 têm projeções coincidentes e as paralelas a b24 têm projeções paralelas.
12 exercício sólidos exemplo piramide perfil-3_dJose H. Oliveira
O documento descreve duas pirâmides quadrangulares regulares: (1) uma com base ABCD e altura de 6cm, com vértices A(1;2;1) e B(1;1;4,5); (2) outra com vértices A3, B3, C3, D3.
O documento descreve os diferentes tipos de planos utilizados na geometria descritiva e suas relações com os sistemas de coordenadas e referenciais. Inclui planos paralelos, perpendiculares e oblíquos aos planos de projeção frontal, horizontal e de perfil, e define suas abreviações e propriedades geométricas essenciais.
El documento describe las fórmulas de tres cónicas: la elipse tiene dos semiejes y dos focos, la hipérbola tiene dos semiejes y dos focos reales y dos vértices imaginarios, y la parábola tiene un vértice y un foco con una ecuación que relaciona y al cuadrado y x.
1) O documento descreve os tipos de retas na geometria descritiva e suas características em relação aos planos de projeção.
2) São descritas retas paralelas, perpendiculares ou oblíquas aos planos horizontal, frontal e de perfil.
3) As retas podem ter coordenadas constantes ou variáveis em relação ao sistema de coordenadas cartesianas.
Este documento discute as posições relativas entre retas em geometria descritiva. As retas podem ser coplanares ou não coplanares. Retas coplanares podem ser paralelas ou concorrentes, enquanto retas não coplanares são chamadas de reversas. Vários exemplos ilustram como determinar se retas são coplanares ou não e, se coplanares, se são paralelas ou concorrentes com base em suas projeções.
Este documento descreve métodos auxiliares utilizados em geometria descritiva, incluindo mudança de planos, rotações e rebatimentos. A mudança de planos substitui um plano de projeção por outro para colocar elementos geométricos em posições mais convenientes. As rotações giram figuras em torno de eixos verticais ou de topo. Estes métodos auxiliares são usados para resolver problemas métricos e associados a retas de perfil.
O documento discute tópicos de Geometria Analítica, incluindo coordenadas cartesianas no plano, área de triângulos, condição de alinhamento de pontos, equação geral da reta e outros.
O documento discute a interseção de retas com sólidos geométricos como pirâmides, prisma e cubos. Ele fornece definições, métodos gerais e exemplos passo a passo para determinar os pontos de interseção de uma reta com esses sólidos tridimensionais.
Exercício passo-a-passo pirâmide em plano rampa - fácilJose H. Oliveira
O documento discute técnicas de representação de sólidos retos em planos de rampa através de projeções. Apresenta métodos para determinar a altura do sólido pela terceira projeção e inverter o rebatimento do plano de rampa usando o triângulo de rebatimento.
Questões sobre valor semântico das preposições aocpma.no.el.ne.ves
Este documento contém 8 questões sobre o valor semântico de preposições em português e suas respectivas soluções comentadas. Cada questão apresenta um contexto linguístico e pede para identificar o significado da preposição utilizada ou a relação semântica expressa.
O documento descreve os tipos de retas na geometria descritiva e suas características. Apresenta retas paralelas ou perpendiculares aos eixos e planos de projeção, como retas horizontais, frontais e de perfil. Também descreve retas oblíquas aos planos de projeção e suas variáveis geométricas de afastamento, cota e abcissa.
posición de la recta en el espacio, tipos de rectas, cómo se representa gráficamente una recta, su distancia de dos puntos a dos planos de proyección, conociendo: cota, alejamiento, apartamiento, dirección, elevación, coordenadas cartesianas.
Este documento discute os tipos de secções planas que podem ocorrer em superfícies geométricas e sólidos quando cortados por um plano. Explica que as secções podem resultar em linhas, curvas ou figuras complexas, e descreve como identificar tangentes e determinar se a secção é uma elipse, parábola, hipérbole ou outro tipo de curva.
Exercícios e soluções sólidos horizontais_frontais_perfil introdução 10º anoJose H. Oliveira
O documento apresenta 8 exercícios de projeção de sólidos geométricos em diferentes planos de projeção, incluindo cubos, pirâmides regulares e pirâmides quadrangular. Para cada exercício, são dados pontos e medidas para determinar a representação do sólido nas projeções horizontal, frontal e de perfil.
O documento descreve métodos geométricos auxiliares para mudança de diedros de projeção em geometria descritiva. Explica a nomenclatura dos novos planos de projeção e como transformar figuras geométricas de um plano a outro através de exemplos.
Este documento apresenta um resumo da aula 02 de Geometria Descritiva. Apresenta conceitos básicos de geometria como ponto, reta e plano, e discute as posições relativas entre essas figuras geométricas, incluindo retas concorrentes, paralelas, coincidentes e reversas; e planos paralelos, coincidentes e concorrentes. O documento serve como uma introdução aos fundamentos da geometria descritiva.
1) O documento descreve os elementos básicos e métodos de rotação em geometria descritiva, incluindo rotação de pontos, segmentos de reta e retas.
2) São apresentados vários exemplos de como aplicar rotações para transformar objetos geométricos em posições mais favoráveis e obter verdadeiras grandezas.
3) As rotações permitem representar objetos de forma mais conveniente para resolver problemas geométricos.
As retas do b13 formam o mesmo ângulo com o eixo x quando passantes, ou são paralelas a x e à mesma distância quando fronto-horizontais. As retas paralelas ao b13 formam o mesmo ângulo com x. Já as retas do b24 têm projeções coincidentes e as paralelas a b24 têm projeções paralelas.
Este documento discute as posições genéricas que uma reta pode ter em relação aos planos de projeção, apresentando posições específicas como retas horizontais, frontais, fronto-horizontais, de topo, verticais, oblíquas e de perfil. Explica como determinar as projeções laterais destas retas e como marcar pontos nelas.
Geometria Descritiva: Épura, Ponto, Posições Particulares do Ponto, Plano Bissetor, Posições do Ponto nos Planos Bissetores, Simetria dos Pontos, Exercícios.
O documento descreve os conceitos fundamentais da geometria descritiva, incluindo suas definições, projeções de pontos no espaço em planos ortogonais, os diferentes tipos de projeções, a representação dos pontos e suas projeções nos planos de projeção, e o processo de criar uma épura.
O documento discute a importância da participação do Comitê Interno de Prevenção de Acidentes (CIPA) na conscientização dos trabalhadores sobre segurança e saúde. A empresa Delta Construções solicita uma colaboração mais efetiva do CIPA na promoção da segurança e saúde dos trabalhadores.
Curso da cipa curso de prevenção de acidentes para membros da cipaNestor Neto
O documento apresenta um curso de prevenção de acidentes para membros da CIPA. Os objetivos do curso são: levar conhecimentos sobre normas de segurança e saúde no trabalho; definir competências dos membros da CIPA; e conhecer e identificar riscos ambientais. O conteúdo programático inclui tópicos como segurança do trabalho, acidentes, legislação, higiene, riscos, verificação de segurança e primeiros socorros.
O documento descreve um curso de prevenção de acidentes para membros da CIPA oferecido pela Editora Gráficos Burti Ltda. em sua unidade de Itaquaquecetuba em 2012/2013. O curso tem como objetivo ensinar os membros da CIPA sobre normas de segurança, identificação de riscos e atuação da comissão. O conteúdo programático inclui diversos tópicos sobre segurança e saúde no trabalho.
O documento descreve métodos para determinar sombras projetadas de figuras planas nos planos de projeção, incluindo:
1) Método das sombras virtuais para determinar sombras de vértices de polígonos
2) Método do plano luz/sombra passante para localizar pontos de quebra de sombras
3) Normas para traçar sombras em desenhos a papel
1) O ponto A tem sombra real As1 no SPHA e sombra virtual Av2 no SPVS.
2) O ponto R tem sombra real Rs1 no SPHA e sombra virtual Rv2 no SPVS.
3) Os pontos A, B e C têm suas sombras reais no SPHA (A), no eixo x (B) e no SPFS (C), respectivamente, de acordo com suas localizações nos octantes.
1) Os métodos geométricos auxiliares permitem obter uma representação mais conveniente de um objeto para resolver problemas que a representação inicial não permite.
2) Existem três métodos: mudança do plano de projecção, rotação e rebatimento.
3) A rotação e o rebatimento mantêm os planos no mesmo lugar e giram o objeto sobre um eixo, enquanto a mudança do plano de projecção mantém o objeto no mesmo lugar e altera o plano de projecção.
1. O documento apresenta 8 exercícios sobre a determinação de seções de sólidos geométricos causadas por planos. Os exercícios envolvem pirâmides, cones, cilindros e um prisma, e pedem para representar cada sólido, definir o plano de secção, e determinar a forma geométrica resultante.
Este documento discute representações geométricas de sólidos tridimensionais. Ele define poliedros e tipos específicos como prismas e pirâmides, e descreve como representar esses sólidos usando projeções ortogonais com bases horizontais, frontais ou de perfil.
1) O documento descreve os conceitos de ângulos entre duas retas em geometria descritiva, incluindo ângulos entre retas concorrentes, paralelas e oblíquas.
2) Explica como calcular a vista geral do ângulo entre duas retas através de rebater os planos formados pelas retas para um plano de projeção.
3) Fornece exemplos passo-a-passo de como determinar a vista geral do ângulo entre diferentes combinações de retas.
1) O documento discute métodos para calcular o ângulo entre uma reta e um plano.
2) Inclui exemplos de como calcular o ângulo entre uma reta oblíqua e um plano oblíquo ou de rampa usando o método do ângulo complementar.
3) Fornece instruções passo-a-passo para calcular o ângulo entre uma reta de perfil e um plano de rampa.
O documento apresenta diferentes métodos para calcular a distância entre um ponto e uma reta em geometria descritiva. Explica como determinar a distância através de um plano perpendicular à reta, do teorema das três perpendiculares e do rebatimento do plano formado pelo ponto e a reta. Fornece exemplos passo-a-passo para rectas frontais, horizontais, verticais e oblíquas.
O documento descreve como calcular a distância entre um ponto e um plano em geometria descritiva. Existem três tipos de planos: planos projetantes, planos de topo e planos de rampa. Para cada caso, traça-se uma reta ortogonal ao plano passando pelo ponto, determina-se o ponto de intersecção, e mede-se o segmento de reta entre esses pontos. Para planos oblíquos ou de rampa, usa-se um plano auxiliar e o processo de rebatimento.
O documento descreve como calcular a distância entre dois planos em geometria descritiva. Existem vários métodos dependendo se os planos são paralelos, projectantes ou oblíquos. No caso geral, traça-se uma reta ortogonal aos planos e mede-se a distância entre os pontos de interseção com cada plano.
O documento descreve como calcular a distância entre um ponto e um plano em geometria descritiva. Existem três tipos de planos: planos projetantes, planos de topo e planos de rampa. Para cada caso, traça-se uma reta ortogonal entre o ponto e o plano, determina-se o ponto de intersecção, e mede-se a distância entre esses pontos projetada no plano apropriado.
O documento classifica os diferentes tipos de planos de acordo com suas posições em relação aos planos de projeção horizontal e frontal. Descreve planos projetantes ortogonais ou paralelos a esses planos de projeção, como planos verticais, frontais e horizontais. Também descreve planos duplamente projetantes ortogonais a ambos os planos de projeção, como o plano de perfil. Por fim, apresenta planos não projetantes oblíquos a esses planos, como o plano oblíquo, de rampa e passante.
Este capítulo aborda os conceitos básicos de ponto e segmento de reta na geometria descritiva, incluindo a definição e propriedades dos planos de projeção, as projeções de pontos no espaço nesses planos, e a introdução dos segmentos de reta.
Este documento discute as posições genéricas que uma reta pode ter em relação aos planos de projeção, apresentando as posições particulares de retas horizontais, frontais, fronto-horizontais, de topo, verticais, oblíquas e de perfil. Ele também mostra como determinar as projeções laterais dessas retas e como marcar pontos nelas.
1. Um plano pode ser representado pelas projeções de três pontos não colineares, duas rectas concorrentes, uma recta e um ponto exterior ou duas rectas paralelas.
2. Os traços de um plano são as intersecções do plano com os planos de projeção, como o traço horizontal (cota nula) e o traço frontal (afastamento nulo).
3. Uma recta pertence a um plano se dois pontos distintos da recta pertencerem ao plano, e os traços da recta serão iguais aos
1) O documento descreve como representar figuras planas em projeções ortogonais utilizando processos geométricos auxiliares como o rebatimento.
2) Explica como representar um triângulo no plano α utilizando o rebatimento do plano para o Plano Horizontal de Projeção.
3) Também explica como representar um quadrado no plano ψ utilizando o rebatimento do plano para o Plano Frontal de Projeção.
1) O documento descreve os passos para representar as projeções de sólidos geométricos tridimensionais, incluindo pirâmides e pentágonos, utilizando processos geométricos auxiliares como rebatimentos de planos.
2) Inclui exemplos detalhados com explicações passo-a-passo para construir as projeções de uma pirâmide sobre um quadrado e de uma pirâmide sobre um pentágono.
3) Fornece detalhes sobre como determinar os contornos aparentes das projeções e qu
1) O documento descreve como um plano pode ser definido por várias combinações de elementos geométricos, incluindo duas retas paralelas ou concorrentes, uma reta e um ponto fora dela, ou três pontos não colineares.
2) É mostrado como planos podem ser representados visualmente usando essas combinações de elementos, como retas paralelas ou pontos.
3) O objetivo é explicar como planos geométricos podem ser conceitualizados e representados de diferentes maneiras.
1. 2
RECTA
O alfabeto da recta é o conjunto das posições genéricas que uma recta pode
ter em relação aos planos de projecção. Neste capítulo apresentam-se
essas posições, assim como posições particulares que algumas rectas
podem ter. Mostra-se também como se determinam as projecções laterais
de algumas rectas, como se marcam pontos nas rectas e como se determina
o percurso de uma recta.
Sumário:
2. Recta horizontal
3. Recta frontal
4. Recta fronto-horizontal
5. Recta de topo
6. Recta vertical
7. Recta oblíqua
8. Recta de perfil
9. Posições particulares da recta fronto-horizontal
10. Posições particulares da recta oblíqua
11. Posições particulares da recta de perfil
12 e 13. A projecção lateral da recta de perfil
14. A projecção lateral das rectas vertical, de topo e fronto-horizontal
15. A projecção lateral das rectas horizontal, frontal e oblíqua
16. Marcação de pontos nas rectas fronto-horizontal, de topo e vertical
17. Marcação de pontos nas rectas horizontal e frontal
18. Marcação de pontos na rectas oblíqua e de perfil
19. Percurso das rectas horizontal e frontal
20. Percurso das rectas oblíqua e de perfil
21. Percurso das rectas de topo e vertical
22. Exercícios
2. Recta horizontal
A recta horizontal, ou de nível, é paralela ao plano horizontal de projecção e oblíqua ao plano frontal
de projecção. Tem apenas traço frontal. Esta recta pode ter abertura para a esquerda ou para a
direita, que se considera do lado onde o afastamento é positivo.
Designam-se por traços os pontos onde as rectas cruzam os planos de projecção.
φo
n2 // PHP
n / PFP
n
F≡F2
n1
F1 νo
x
A recta horizontal em perspectiva
A recta horizontal n é projectada no PHP em n1,
projecção essa que é paralela à própria recta e
oblíqua ao eixo x. A sua projecção no PFP é n2,
paralela ao eixo x. A recta cruza o PFP no ponto F,
que é o seu traço frontal.
F2 n2
F1
x F1
a2
n1 F2
a1
A recta horizontal em projecções
A recta n tem cota positiva e abertura para a direita, e corresponde àquela que está representada na perspecti-
va acima. A recta a tem cota negativa e abertura para a esquerda, estando apenas representada pelas suas
projecções.
A projecções frontais duma recta horizontal são paralelas ao eixo x, as horizontais são oblíquas.
3. Recta frontal
A recta frontal é oblíqua ao plano horizontal de projecção e paralela ao plano frontal de projecção.
Tem apenas traço horizontal. Esta recta pode ter abertura para a direita ou para a esquerda, que se
considera do lado onde a cota é positiva.
φo
f2
f // PFP
f
/ PHP
H2 f1
νo
x H≡H1
A recta frontal em perspectiva
A recta frontal f é projectada no PHP em f1, projec-
ção essa que é paralela ao eixo x. A sua projecção
no PFP é f2, que é paralela à própria recta f. A rec-
ta cruza o PHP no ponto H, que é o seu traço hori-
zontal.
b2
f2
H1
b1
H2
x H2
H1 f1
A recta frontal em projecções
A recta f tem afastamento positivo e abertura para a direita e corresponde à que está representada em perspec-
tiva. A recta b tem afastamento negativo e abertura para a esquerda, estando apenas representada pelas suas
projecções. A projecções horizontais duma recta frontal são paralelas ao eixo x, as frontais são oblíquas.
4. Recta fronto-horizontal
A recta fronto-horizontal é paralela aos dois planos de projecção, pelo que não possui traços.
φo
// PHP
a2 a // PFP
a
a1 νo
x
A recta fronto-horizontal em perspectiva
A recta fronto-horizontal a é projectada no PHP em
a1 e no PFP em a2, ambas as projecções são para-
lelas ao eixo x. Esta recta não cruza os planos de
projecção, pelo que não tem traços.
b1
a2
b2
x
a1
A recta fronto-horizontal em projecções
A recta a tem afastamento positivo e cota positiva, situa-se no I.º diedro. A recta b tem afastamento negativo e
cota positiva, situando-se no II.º diedro. A recta a corresponde à que está representada em perspectiva; a recta
b está apenas representada em projecções.
Ambas as projecções duma recta fronto-horizontal são paralelas ao eixo x.
5. Recta de topo
A recta de topo é paralela ao plano horizontal de projecção e perpendicular ao plano frontal de pro-
jecção. Tem apenas traço frontal. Esta recta é projectante frontal, o que quer dizer que todos os
pontos que possui são projectados frontalmente no seu traço (ver mais adiante “Marcação de pontos
nas rectas fronto-horizontal, de topo e vertical”).
φo
// PHP
t PFP
F≡F2≡(t2)
t
F1 νo
x
t1
A recta de topo em perspectiva
A recta de topo t é projectada no PHP em t1, pro-
jecção essa paralela à própria recta. A projecção
frontal fica reduzida a um ponto, indicando-se entre
parêntesis (t2). Essa projecção coincide com o tra-
ço da recta.
(t2)≡F2
F1 F1
x
(d2)≡F2
t1 d1
A recta de topo em projecções
A recta t tem cota positiva, situa-se nos I.º e II.º diedros; a recta d tem cota negativa, pelo que se situa nos III.º e
IV.º diedros. A recta t corresponde à que está representada em perspectiva; a recta d está apenas representa-
da nas projecções.
A projecção horizontal de uma recta de topo é perpendicular ao eixo x, a frontal fica reduzida a um ponto coinci-
dente com o seu traço.
6. Recta vertical
A recta vertical é paralela ao plano frontal de projecção e perpendicular ao plano horizontal de pro-
jecção. Tem apenas traço horizontal. Esta recta é projectante horizontal, o que quer dizer que todos
os pontos que possui são projectados horizontalmente no seu traço (ver mais adiante “marcação de
pontos nas rectas de topo e vertical”).
φo
v2
// PFP
v v
PHP
H2
νo
x H≡H1≡(v1)
A recta vertical em perspectiva
A recta vertical v é projectada no PFP em v2, pro-
jecção essa paralela à própria recta. A projecção
horizontal fica reduzida a um ponto, indicando-se
entre parêntesis(v1). Essa projecção coincide com
o traço da recta.
a2
v2
(a1)≡H1
H2
x H2
(v1)≡H1
A recta vertical em projecções
A recta v tem afastamento positivo, situa-se nos I.º e IV.º diedros. A recta a tem afastamento negativa, pelo que
se situa nos IIº e IIIº diedros. A recta v corresponde à que está representada em perspectiva; a recta a está
apenas representada nas projecções.
A projecção frontal de uma recta vertical é perpendicular ao eixo x, a horizontal fica reduzida a um ponto, coinci-
dente com o seu traço.
7. Recta oblíqua
A recta oblíqua é oblíqua a ambos os planos de projecção e oblíqua também ao eixo x. Tem dois
traços. As suas projecções horizontal e frontal podem ter abertura para a esquerda ou para a direita,
o que se considera onde os afastamentos e as cotas são positivas, respectivamente.
φo
/ PHP
r / PFP
/ eixo x
F≡F2 r2 H2
r
r1 H≡H1 νo
F1
x
A recta oblíqua em perspectiva
A recta oblíqua r é projectada no PHP em r1 e no
PFP em r2. Essas projecções são oblíquas ao eixo
x. A recta cruza o PHP no ponto H e o PFP no pon-
to F, que são os seus traços.
F2
s2
r2
H2 H2 F1
x F1
H1
r1 s1
F2
H1
A recta oblíqua em projecções
As projecções da recta r têm aberturas para lados opostos. As projecções da recta s têm aberturas para o mes-
mo lado. A recta r corresponde à que está representada em perspectiva; passa pelos diedros II, I e IV. A recta s
está apenas representada nas projecções; passa pelos diedros I, IV e III.
A projecções duma recta oblíqua são oblíquas ao eixo x.
8. Recta de perfil
A recta de perfil é oblíqua aos planos de projecção e perpendicular ao eixo x. Tem dois traços que,
situados em diferentes semi-planos, farão com que a recta atravesse diferentes diedros.
φo
F≡F2
/ PHP
p / PFP
eixo x
p2 p
F1≡H2
νo
x H≡H1 p1
A recta de perfil em perspectiva
A recta de perfil p é projectada no PHP em p1 e no
PFP em p2. Essas projecções são perpendiculares
ao eixo x. A recta cruza o PHP no ponto H e o PFP
no ponto F, que são os seus traços.
F2 F2
H1
F1≡H2
x F1≡H2
H1
p1≡p2 b1≡b2
A recta de perfil em projecções
No espaço, as projecções da recta de perfil não são coincidentes, como se pode ver na perspectiva, mas
depois de se dar o rebatimento de um plano de projecção sobre o outro elas ficam coincidentes e perpendicula-
res ao eixo x. A recta p passa pelos diedros II, I e IV e corresponde à que está representada na perspectiva; a
recta b é uma de outras possibilidades, passando pelos diedros I, II e III.
9. Posições particulares da recta fronto-horizontal
A recta fronto-horizontal apresenta algumas posições particulares, onde está contida nos planos bis-
sectores.
a2
b1
x
b2
a1
a є β1/3
b є β1/3
d2≡d1
x≡e1≡e2
c2≡c1 c є β2/4
d є β2/4
e ≡ eixo x
Rectas situadas nos planos bissectores e no eixo x
As rectas a e b situam-se no β1/3 porque as suas projecções se apresentam uma para cada lado do eixo x e
com cota e afastamento iguais. As rectas c e d têm projecções coincidentes, pelo que se situam no β2/4. Estas
situações de pertença aos planos bissectores são idênticas às que encontramos nos pontos. A recta e coincide
com o eixo x.
10. Posições particulares da recta oblíqua
Em posições particulares, a recta oblíqua pode ser paralela aos planos bissectores, estar contida
neles ou ser apenas passante. Rectas passantes são as que cruzam o eixo x.
F2
r2 s2
=
H2 - - H2 F1
x F1
- -
= =
=
r1
H1 H1 F2
s1
r // β2/4
r1 // r2
s // β1/3
Rectas paralelas aos planos bissectores
As projecções da recta r são paralelas entre si, pelo que os seus traços têm medidas iguais, situando-se para
lados opostos do eixo x. É paralela ao β2/4. As projecções da recta s fazem ângulos iguais com o eixo x, com
aberturas para o mesmo lado; os seus traços têm medidas iguais e ficam para o mesmo lado do eixo x. É para-
lela ao β1/3.
a2≡a1 b2
c2
= H1≡H2≡F1≡F2
x H1≡H2≡F1≡F2 = H1≡H2≡F1≡F2
b1 c1
a є β2/4 (recta passante)
b є β1/3 (recta passante)
c - recta passante qualquer
Rectas passantes
A recta a tem projecções coincidentes, situa-se no β2/4; a recta b tem projecções com ângulos simétricos, situa-
se no β1/3. Qualquer ponto da recta a tem projecções coincidentes, por isso pertence ao β2/4; qualquer ponto da
recta b tem projecções simétricas, pelo que pertence β1/3. A recta c é uma recta passante qualquer, uma vez
que as suas projecções têm ângulos diferentes.
11. Posições particulares da recta de perfil
As posições particulares da recta de perfil são idênticas às da recta oblíqua. Por serem mais difíceis
de visualizar a partir das suas projecções, mostram-se representações dessas rectas nos planos de
projecção vistos de lado.
F2 c1≡c2
e1≡e2
Q2≡Q1
a1≡a2
F2≡H1 P2
=
= R2
x H2≡F1 H2≡F1 H1≡H2≡F1≡F2 H1≡H2≡F1≡F2 H1≡H2≡F1≡F2
=
=
P1
b1≡b2 d1≡d2
H1 R1
c є β1/3 d є β2/4 e - recta passante
// β2/4 // β1/3 qualquer
a b (Pєβ1/3) (Qєβ2/4)
β1/3 β2/4 (R - ponto qualquer)
recta passante recta passante
φo
Posições particulares da
a recta de perfil, representadas
b
nas projecções e vistas de lado
d c Os traços da recta a têm medidas
iguais, cada um representado para um
lado do eixo x, o que faz com que
e essa recta seja paralela ao β2/4 e
Q simultaneamente perpendicular ao
R β1/3. Os traços da recta b são
P
coincidentes, o que faz com que seja
paralela ao β1/3 e perpendicular ao β2/4.
νo A recta c situa-se no β1/3, cruza o eixo
x e contém o ponto P, que também se
situa nesse bissector. A recta d situa-
se no β2/4, cruza o eixo x e contém o
ponto Q, que se situa nesse bissector.
A recta e cruza o eixo x e contém o
ponto R que é um ponto qualquer.
As rectas c, d e e são passantes, isto
é, cruzam o eixo x, por que é aí que se
situam ambos os seus traços. Para
ficarem devidamente definidas há que
β1/3 β2/4
acrescentar um outro ponto que as
situe no espaço.
12. A projecção lateral da recta de perfil
Alguns exercícios de Distâncias, Ângulos, Paralelismos e Perpendicularidades determinam-se recor-
rendo à projecção lateral da recta. A recta de perfil é aquela que mais uso faz da projecção lateral.
z
p2
F3
F≡F2 A projecção lateral de uma
recta de perfil em perspectiva
p3 Aqui mostram-se as três projecções de
p
uma recta de perfil. Tal como acontece
com o PFP e o PHP, a projecção no PLP
νo é feita na perpendicular a este plano.
H2≡F1 H3 Uma vez obtida a projecção lateral, o
PLP rebate sobre o PFP, ficando a pro-
x H≡H1 jecção lateral da recta como se mostra
y na imagem seguinte.
p1
φo πo
y≡z
F2 F3
A projecção lateral da recta de perfil
A projecção lateral da recta de perfil obtém
F1≡H2 H3 -se unindo as projecções laterais dos pon-
x tos que a definem. Neste caso a recta está
definida pelos seus traços, mas quando
está definida por outros pontos procede-se
do mesmo modo.
p3 A projecção H3 obtém-se rodando a medi-
H1 da de H1 no sentido inverso dos ponteiros
do relógio.
p1≡p2
13. Dado que a recta de perfil apresenta algumas variantes, será útil verificar como se determinam as
suas projecções laterais em algumas situações diferentes.
y≡z y≡z
F2 F3
p2≡p1
H1
F1≡H2 H3
x F1≡H2 H3 x
p3 F2 F3 p3
p2≡p1
H1
Recta de perfil com os traços acima do eixo x Recta de perfil com os traços abaixo do eixo x
A projecção H3 surge à esquerda de y≡z em virtude A projecção lateral do ponto F está sempre em y≡z,
de o rebatimento do PHP se efectuar no sentido obtém-se através de uma linha paralela ao eixo x.
inverso ao dos ponteiros do relógio.
y≡z y≡z
p2≡p1 F2 F3
A2 A3 A2 A3
p3 p2≡p1 p3
B2 B3 B2 B3
F1≡H2 H3
x x
A1 A1
B1 B1
H1
Recta de perfil definida por dois pontos Determinação dos traços da recta de perfil
Se uma recta está definida por dois pontos, que Quando uma recta está definida por dois pontos,
não os traços, a sua projecção lateral determina-se pode-se determinar os seus traços através da pro-
unindo as projecções laterais desses pontos. jecção lateral. Este exercício continua o anterior.
14. A projecção lateral das rectas vertical, de topo e fronto-horizontal
Sobretudo nos capítulos Distâncias e Ângulos é, por vezes, necessário recorrer às projecções late-
rais destas rectas. Mostra-se aqui como se determinam.
y≡z y≡z
v2
v3
F2≡(t2) F3 t3
H2 H3 F1
x x
H1≡(v1)
t1
A projecção lateral da recta vertical A projecção lateral da recta de topo
A projecção lateral da recta vertical fica perpendi- A projecção lateral da recta de topo fica paralela ao
cular ao eixo x, contendo a projecção lateral do seu eixo x e passa pela projecção lateral do seu traço.
traço.
y≡z
a2 L2 (a3)≡L3
x
a1 L1
A projecção lateral da recta fronto-horizontal
Para obter a projecção lateral desta recta roda-se para o eixo x a medida correspondente ao seu afastamento.
Uma vez que a recta é perpendicular ao PLP, a sua projecção lateral fica reduzida a um ponto, coincidente com
a projecção lateral do traço da recta, o ponto L.
15. A projecção lateral das rectas horizontal, frontal e oblíqua
Embora sem aplicação prática na resolução de qualquer outro tipo de exercício, mostra-se aqui
como se determinam as projecções laterais destas rectas.
y≡z y≡z
F2 L3
n2≡n3 L2≡F3 L1
F1
x F1 x
n1
n1 L2≡F3
L1 F2 L3 n2≡n3
y≡z y≡z
H1 f1 L1
L2 L3
f2 f3
H2
x H3 x H2 H3
f2
L1 f3
H1 f1 L2
L3
y≡z
A projecção lateral das rectas
F2 F3 horizontal, frontal e oblíqua
e respectivos traços
As projecções laterais das rectas hori-
r3 zontais, tenham cota positiva ou negati-
r2 va, são coincidentes com as frontais.
As projecções laterais das rectas frontais,
L3 tenham afastamento positivo ou negativo,
L2
são perpendiculares ao eixo x.
H3 Para determinar as projecções laterais
das rectas oblíquas é necessário deter-
x F1 H2
minar as projecções laterais de dois dos
seus pontos. Aqui utilizam-se os seus
r1 traços, mas podem ser utilizados outros
pontos.
L1 Nos casos anteriores estão também indi-
cadas as três projecções dos traços das
H1 rectas.
16. Marcação de pontos nas rectas fronto-horizontal, de topo e vertical
Para que um ponto pertença a uma recta é necessário que as suas projecções se situem nas projec-
ções homónimas dessa recta. Como veremos, basta dar uma das coordenadas de um ponto para
que este pertença às rectas fronto-horizontal, de topo e vertical.
y≡z
a2 A2 C2 B2
x
A1 C1 B1
a1
Marcação de pontos na recta fronto-horizontal
Todos os pontos que se marquem numa recta fronto-horizontal terão sempre o mesmo afastamento e a mesma
cota (que são os da recta). Por isso, basta dar a medida da abcissa de cada um dos pontos.
Aqui são dados os seguintes pontos:
A, com 3cm de abcissa; B, com -2cm de abcissa; C, com 0cm de abcissa.
v2
(t2)≡F2≡J2≡K2
L2
K1
H2
x F1
(v1)≡H1≡L1≡M1
J1
t1 M2
Marcação de pontos nas rectas de topo e vertical
Uma recta de topo mantém os mesmos valores de abcissa e de cota. Para marcar pontos nessa recta basta dar
o valor do afastamento. Uma recta vertical mantém os valores de abcissa e de afastamento. Para marcar pon-
tos nessa recta basta dar o valor da cota.
J, com 2cm de afastamento; K, com -1cm de afastamento. L, com 2cm de cota; M, com -3cm de cota.
17. Marcação de pontos nas rectas horizontal e frontal
Também para traçar pontos situados nestas rectas basta dar uma de duas coordenadas, já que a
outra mantém o mesmo valor.
y≡z
B2 F2 A2 C2 n2
B1
F1
x
A1
C1
n1
Marcação de pontos na recta horizontal
Todos os pontos que se marquem numa recta horizontal terão sempre a mesma cota (que é a da própria recta).
Para marcar pontos nessa recta basta dar a medida da abcissa ou do afastamento.
São dados os seguintes pontos, a título de exemplo:
A, com 1,5cm de abcissa; B, com -1cm de afastamento; C, com 2,5cm de afastamento.
y≡z
f2 J2
K2
H2
x
L1
f1 J1 K1 H1
L2
Marcação de pontos na recta frontal
Os pontos de uma recta frontal terão sempre o mesmo afastamento (que é o da própria recta). Para se marcar
pontos nessa recta basta dar o seu valor de cota ou de abcissa.
A título de exemplo são dados os seguintes pontos:
J, com 3cm de cota; K, com 1cm de abcissa; L, com -2,5cm de cota.
18. Marcação de pontos nas rectas oblíqua e de perfil
Para marcar pontos na recta oblíqua basta dar uma das suas coordenadas, qualquer que ela seja.
Para marcar pontos na recta de perfil dá-se o valor do afastamento ou da cota, já que o da abcissa é
sempre o mesmo. Aqui recorre-se à projecção lateral para marcar pontos na recta de perfil.
y≡z
A2
r2
F2
A1
B2
C2
r1
H2
F1
x
B1
C1
H2
Marcação de pontos na recta oblíqua
A recta oblíqua não mantém constante nenhuma coordenada, mas para se traçarem pontos nela basta que seja
dada uma das suas coordenadas, seja ela qual for. São dados os seguintes pontos, a título de exemplo:
A, com -1,5cm de afastamento; B, com 1cm de cota; C, com -2,5cm de abcissa
p2≡p1 y≡z
F2
F3
M2 M3
H2≡F1 H3
x
M1
N2 N3
H1
p3
N1
Marcação de pontos na recta de perfil
Uma recta de perfil mantém o mesmo valor de abcissa. Para se marcar pontos nessa recta recorre-se à projec-
ção lateral, bastando saber o valor da cota ou do afastamento desses pontos. A título de exemplo são dados os
seguintes pontos:
M, com 1cm de afastamento; N, com -1,5cm de cota.
19. Percurso das rectas horizontal e frontal
Aqui determinam-se pontos notáveis e indicam-se os diedros e os octantes por onde cada uma des-
tas rectas passa. É nisso que consiste a determinação do percurso de uma recta.
Pontos notáveis de uma recta são os seus traços nos planos de projecção e nos planos bissectores.
I2≡I1 F2 Q2 n2
=
x F1 =
n1
Q1
4.º octante 3.º octante 2.º octante 1.º octante
II.º diedro I.º diedro
Percurso da recta horizontal
Aqui mostra-se o percurso de uma recta horizontal com cota positiva e abertura para a direita. A recta cruza o
β2/4 no ponto I e o β1/3 no ponto Q. Para obter o ponto Q traçou-se, a partir do eixo x, uma linha simétrica à pro-
jecção n1; deste modo, esse ponto terá cota e afastamento iguais.
Aplica-se este processo quando o ângulo da projecção da recta é um valor inteiro e conhecido.
f2
Q2
=
H2
x
=
f1 I1≡I2
Q1 H1
2.º octante 1.º octante 8.º octante 7.º octante
I.º diedro IV.º diedro
Percurso da recta frontal
Esta recta tem afastamento positivo e abertura para a esquerda. Cruza o β2/4 no ponto I e o β1/3 no ponto Q.
Aqui o ponto Q obteve-se traçando uma paralela ao eixo x com medida igual à do afastamento da recta.
É possível aplicar este processo apenas nas rectas frontal e horizontal.
20. Percurso das rectas oblíqua e de perfil
Aqui determinam-se os pontos notáveis destas rectas e indicam-se os seus percursos.
I2≡I1
F2
Q2
r2
= H2
x = F1
Q1
r1
H1
4.º octante 3.º octante 2.º oct. 1.º octante 8.º octante
II.º diedro I.º diedro IV.º diedro
Percurso da recta oblíqua
Aqui está indicado o percurso de uma recta oblíqua com o traço frontal com cota positiva e o horizontal com
afastamento positivo. A recta cruza o β2/4 no ponto I e o β1/3 no ponto Q. Para obter o ponto Q pode marcar-se
um ponto qualquer numa das projecções (não é necessário dar-lhe nome) e transpor a mesma medida para o
lado oposto do eixo x. Traçando uma linha simétrica à da projecção utilizada determina-se o ponto.
y≡z II.º diedro
p2≡p1 3.º oct.
F2
F3
2.º oct.
I.º diedro
lβ1/3
Q2 1.º oct.
Q3
F1≡H2 H3
x
Q1 p3 8.º oct.
H1 lβ2/4 IV.º diedro
I3
I1≡I2 7.º oct.
Percurso da recta de perfil
Como as projecções frontal e horizontal são coincidentes, o percurso da recta de perfil indica-se na projecção
lateral. Para determinar os pontos I e Q utilizam-se os traços laterais dos planos bissectores, que fazem 45º
com os eixos. Esta recta estava, à partida, definida pelos seus traços, mas se estiver definida por outros pontos
procede-se de forma idêntica.
21. Percurso das rectas de topo e vertical
Aqui, os pontos notáveis determinam-se directamente. Contudo, como uma das projecções destas
rectas fica reduzida a um ponto, sugere-se a indicação do seu percurso na projecção lateral.
y≡z
II.º diedro II.º diedro
4.º oct. 3.º oct. 2.º oct. 1.º oct.
(t2)≡F2≡Q2≡I2≡I1 I3 Q3 t3
x F1
lβ2/4
Q1 lβ1/3
t1
Percurso da recta de topo
Os pontos Q e I, respectivamente do β1/3 e do β2/4, determinam-se directamente, uma vez que o ponto Q tem
uma projecção para cada lado do eixo x e o ponto I tem projecções coincidentes. Com recurso aos traços late-
rais dos planos bissectores, fica evidente o percurso da recta.
y≡z
v3
v2 2.º oct.
Q2 Q3 I.º diedro
lβ2/4 1.º oct.
H2 H3
x
lβ1/3 8.º oct.
(v1)≡H1≡Q1≡I1≡I2
I3 IV.º diedro
7.º oct.
Percurso da recta vertical
Tal como na recta anterior, também aqui os pontos Q e I se determinam directamente e se indica o percurso da
recta na sua projecção lateral.
22. Recta – Exercícios
Rectas com marcação de pontos 12. Representar a recta s, que contém os pontos
A(4;-1;5) e B(-2;-4;-2). Determinar os pontos notá-
1. Representar a recta fronto-horizontal h, que con- veis e o percurso dessa recta.
tém o ponto P(1;3;-1). Nela marcar os pontos:
A, com 2cm de abcissa 13. Representar a recta b, que contém o ponto
B, com 4cm de abcissa R(-2;2;3), fazendo as suas projecções frontal e hori-
C, com -3cm de abcissa zontal 40ºad e 40ºae, respectivamente. Determinar
os pontos notáveis e o percurso dessa recta.
2. Representar a recta horizontal n, com 2cm de
cota, fazendo 40ºad, sendo o seu traço o ponto F 14. Representar a recta m, que contém o ponto
com 2cm de abcissa. Nela marcar os pontos: M(2;-1,5;-3), fazendo as suas projecções frontal e
D, com 4cm de afastamento horizontal 55ºad e 20ºae, respectivamente. Determi-
E, com -1cm de abcissa nar os pontos notáveis e o percurso dessa recta.
G, com -1cm de afastamento
I, com 6cm de abcissa 15. Representar a recta c, que contém o ponto
C(3;2;4) e é passante no ponto P com -2cm de
3. Representar a recta frontal f, que contém o ponto abcissa. Determinar o percurso dessa recta.
R(4;-3;6). Nela marcar os pontos:
H, traço da recta, com -3cm de abcissa 16. Representar a recta e, passante no ponto R com
K, com 4cm de cota 3cm de abcissa, fazendo as suas projecções frontal
L, com -2cm de abcissa e horizontal 55ºad e 25ºae, respectivamente. Deter-
M, com -4cm de cota minar o percurso dessa recta.
4. Representar a recta de topo t, com 3cm de cota e 17. Representar a recta r, que contém o ponto
4cm de abcissa. Nela marcar os pontos: P(1;2;3) e é paralela ao β2/4, fazendo a sua projec-
F, traço da recta ções frontal 35ºad. Determinar os pontos notáveis e
N, com 2cm de afastamento o percurso dessa recta.
O, com -5cm de afastamento
P, com -3cm de afastamento 18. Representar a recta s, que contém o ponto
S(-4;1;5), fazendo a suas projecções frontal e hori-
5. Representar a recta vertical v, com -2cm de afas- zontal ambas 30ºad. Determinar os pontos notáveis
tamento e 3cm de abcissa. Nela marcar os pontos: e o percurso dessa recta.
H, traço horizontal
Q, com 4cm de cota Recta em tripla projecção
R, com -3cm de cota
19. Representar as rectas h e n dos exercícios 1 e
6. Representar a recta oblíqua r, cujos traços são os 2. Determinar as suas projecções laterais.
pontos H(2;2;0) e F(4;0;5). Nela marcar os pontos:
S, com 4cm de abcissa 20. Representar as rectas f, t e v dos exercícios 3, 4
T, com 2cm de cota e 5. Determinar as suas projecções laterais.
U, com 1cm de afastamento
V, com -1cm de afastamento 21. Representar a recta r do exercício 6. Determinar
as suas projecções laterais.
Pontos notáveis e percurso de rectas
22. Representar a recta de perfil p, cujos traços são
7. Representar a recta n do exercício 2. Determinar os pontos H(3;2;0) e F(3;0;5). Determinar, recorren-
os pontos notáveis e o percurso dessa recta. do à projecção lateral, os seus pontos:
X, com -1cm de afastamento
8. Representar a recta f do exercício 3. Determinar Y, com 2cm de cota
os pontos notáveis e o percurso dessa recta.
23. Representar a recta do exercício anterior. Deter-
9. Representar a recta t do exercício 4. Determinar minar os pontos notáveis em falta e o seu percurso.
os pontos notáveis e o percurso dessa recta.
24. Representar a recta a, definida pelos pontos R
10. Representar a recta v do exercício 5. Determinar (4;1:3) e S(4;4;1).Determinar os pontos notáveis e o
os pontos notáveis e o percurso dessa recta. seu percurso.
11. Representar a recta r do exercício 6. Determinar 25. Representar a recta de perfil b, que contém o
os pontos notáveis em falta e o seu percurso. ponto Z(6;2) e é paralela ao β1/3. Determinar os pon-
tos notáveis e o seu percurso