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Matemática - 8.º Ano / 4.º BIMESTRE - 2014
Matemática - 8.º Ano / 4.º BIMESTRE - 2014 
EDUARDO PAES 
PREFEITURA DA CIDADE DO RIO DE JANEIRO 
REGINA HELENA DINIZ BOMENY 
SECRETARIA MUNICIPAL DE EDUCAÇÃO 
JUREMA HOLPERIN 
SUBSECRETARIA DE ENSINO 
MARIA DE NAZARETH MACHADO DE BARROS VASCONCELLOS 
COORDENADORIA DE EDUCAÇÃO 
MARIA DE FÁTIMA CUNHA 
COORDENADORIA TÉCNICA 
IRINÉIA YURI IMAMURA 
ELABORAÇÃO 
FRANCISCO RODRIGUES DE OLIVEIRA 
GIBRAN CASTRO DA SILVA 
SIMONE CARDOZO VITAL DA SILVA 
REVISÃO 
FÁBIO DA SILVA 
MARCELO ALVES COELHO JÚNIOR 
DESIGN GRÁFICO 
EDIOURO GRÁFICA E EDITORA LTDA. 
IMPRESSÃO 
 Equação de 1.º grau 
 Sistema equações de 1.º grau 
 Resolvendo um sistema de equações 
 Pontos notáveis de um triângulo 
 Congruência de triângulos 
 Ângulos externos de um polígono 
 REVISÃO 
1 – Produtos notáveis 
2 – Fatoração de polinômios 
3 – Tratamento da informação 
4 – Números racionais e irracionais 
5 – Área e perímetro 
6 – Relações entre unidades de medidas 
7 – Círculo e circunferência 
8 – Quadriláteros 
MULTIRIO 
MULTIRIO 
MULTIRIO 
MULTIRIO
Matemática - 8.º Ano / 4.º BIMESTRE - 2014 
. 
. 
MULTIRIO 
Equação é uma igualdade entre duas 
expressões, em que, pelo menos em uma delas, 
aparecem uma ou mais letras, chamadas de 
incógnitas ou variáveis. 
Resolver uma equação é encontrar a sua 
solução ou a sua raiz. 
. 
1 - Escreva uma equação que represente cada um dos 
problemas a seguir e, depois, resolva cada uma delas: 
a) A soma de dois números consecutivos é 35. Qual o 
valor do menor deles? 
Resposta: ____________________________________ 
b) O triplo de um número, subtraído de 11, é igual ao 
próprio número mais um. Qual é esse número? 
Resposta: __________________________________ 
c) O 8.° Ano resolveu arrecadar dinheiro para fazer uma 
festa de final de ano. Se cada aluno pagar R$ 11,50, 
faltarão R$ 30,00. Se cada um der R$ 3,00 a mais, 
sobrarão R$ 30,00. Quantos alunos deverão participar da 
festa para que seja possível esse resultado? 
Resposta: ___________________________________ 
Leia cada uma das 
sentenças matemáticas. 
AGORA, 
É COM VOCÊ!!! 
3 
MULTIRIO
3 – Qual o valor de cada ângulo desta figura? 
Matemática - 8.º Ano / 4.º BIMESTRE - 2014 
2x 
3 
x + 55º x tem medidas 
em graus. 
Resposta: ______________________________________ 
1 – Complete a tabela: 
2 – Joana comprou uma bolsa e gastou um terço do seu 
dinheiro. Ainda sobraram R$ 65,00. Quantos reais Joana 
possuía? 
Resposta: _______________________________________ 
4 – Vinte e cinco por cento das pessoas que trabalham 
em uma empresa são homens. Há 32 mulheres a mais do 
que os homens. Quantas pessoas trabalham nessa 
empresa? 
Resposta: ______________________________________ 
. 
MULTIRIO 
MULTIRIO 
EQUAÇÕES 7w – 15 = 9 – 5w 
Incógnita 
1.º membro 
2.º membro 
termos com 
incógnita 
termos 
independentes 
a – 9 
5 
= 3 – a 
4
Matemática - 8.º Ano / 4.º BIMESTRE - 2014 
. 
MULTRIO 
As soluções de uma equação de 1.° grau, 
com duas incógnitas, podem ser expressas por pares 
ordenados (x , y) e, também, podem ser 
representadas graficamente. 
Correspondem a algumas soluções possíveis os pares 
ordenados: __________________________________ . 
1 - Complete a tabela e, a seguir, responda à pergunta 
do problema: 
2 – Marque os pontos correspondentes a esses pares 
ordenados no plano cartesiano abaixo. Em seguida, trace 
a reta que passa por todos esses pontos. 
3 – Agora, complete a 
tabela ao lado com 
mais três possíveis 
soluções. 
MULTIRIO 
ଵହ 
MULTIRIO 
Agora, vamos equacionar 
problemas que envolvam equações 
de 1.° grau com duas incógnitas. 
Atenção! 
A soma de dois números reais é 4. 
Quais são esses possíveis 
números? 
Participe da resolução 
dessa equação. 
5
. 
Matemática - 8.º Ano / 4.º BIMESTRE - 2014 
MULTIRIO 
Você percebeu? 
Todos os pontos que estão alinhados 
sobre a reta representam as soluções 
da equação. 
Toda equação de 1.° grau, com duas incógnitas, 
x e y, por exemplo, tem infinitas soluções e cada uma 
delas é indicada por um par ordenado de números: 
(x , y). 
Essa ordem precisa ser respeitada. 
O primeiro número representa sempre o 
valor da abscissa x; o segundo, 
representa sempre o valor da ordenada y. 
AGORA, 
É COM VOCÊ!!! 
1 – Verifique se cada par ordenado é uma solução da 
equação 3x + 2y = 16? 
a) (2 , 5) _____________ 
b) (4 , 2) _____________ 
c) (5 , 2) _____________ 
d) (3 ; 3,5) _____________ 
2 – Determine o valor de x da equação 3x + 2y = 16, para 
y = - 1. 
_______________________________________________ 
3 – Agora, represente, no gráfico, abaixo, os pares 
ordenados que são soluções da equação 3x + 2y = 16. 
6
Matemática - 8.º Ano / 4.º BIMESTRE - 2014 
4 – Observe a reta representada no plano cartesiano: 
Essa representação gráfica corresponde à solução da 
equação 
(A) 2x + y = 3. (B) x – y = 1. (C) x + y = 1. 
5 – Um retângulo tem 56 dm² de área. 
a) Escreva uma equação que represente essa situação. 
__________________________________________ 
b) Se esse retângulo tiver 14 dm de comprimento, qual 
será a medida de sua largura? 
Reposta: _____________________________________ 
6 – Represente, no plano cartesiano, as 
soluções da equação 2x + y = 6. 
7 
MULTIRIO
Matemática - 8.º Ano / 4.º BIMESTRE - 2014 
As duas equações obtidas formam um 
sistema de duas equações de 1.º grau com 
duas incógnitas. 
MULTIRIO 
Observe que o par ordenado 
(4 , 2) satisfaz as duas 
equações simultaneamente. 
Então, podemos dizer que é 
a solução do sistema. 
MULTIRIO 
MULTIRIO 
Preciso resolver um problema: 
dois números diferentes têm 
soma 6 e diferença 2. Quais 
são eles? 
MULTIRIO 
Você observou que, nesse 
problema, temos duas equações 
e cada uma com duas incógnitas? 
MULTIRIO 
Como podemos escrever 
as duas equações? 
Vamos chamar o número maior 
de x e o número menor de y. 
Assim: 
x + y = 6 
x – y = 2 
A solução do sistema é um 
par ordenado que satisfaz, 
simultaneamente, às duas 
equações. 
Vamos, através de 
tentativas, atribuir alguns 
valores para x e y. 
8 
x y x + y = 6 PAR 
ORDENADO 
6 0 6 + 0 = 6 
5 1 5 + 1 = 6 
4 2 4 + 2 = 6 
x y x – y = 2 PAR 
ORDENADO 
6 4 6 – 4 = 2 
5 3 5 – 3 = 2 
4 2 4 – 2 = 2
Matemática - 8.º Ano / 4.º BIMESTRE - 2014 
MULTIRIO 
Agora, preste atenção na 
representação gráfica da 
solução do sistema. 
x + y = 6 x – y = 2 
MULTIRIO 
Então, eu posso responder: 
o 4 e o 2 são números que 
possuem soma 6 e 
diferença 2. 
Quando o sistema possui uma única 
solução, as retas se interceptam em um 
único ponto. São retas concorrentes. 
MULTIRIO 
 
x y = 2 
x y = 1 
MULTIRIO 
Encontre os pares 
ordenados. 
PAR 
ORDENADO 
● 
Solução 
do sistema 
(4,2) 
(5,3) 
(6,4) 
● 
(5,1) 
(6,0) 
● 
● 
● 
● 
Solução 
do 
sistema 
Observem mais dois 
exemplos de 
representação gráfica. 
Participe do 
desenvolvimento. 
PAR 
ORDENADO 
9
 x + y = 2 
3x + 3y = 6 
3x + 3y = 6 
(-1,3) 
Matemática - 8.º Ano / 4.º BIMESTRE - 2014 
MULTIRIO 
● 
● 
● 
(4,2●) 
(2,0) 
(0,1) 
(2,3) 
x – y = 2 
x – y = - 1 
Quando o sistema não possui 
solução, as retas são retas paralelas 
e distintas. 
● 
● 
(1,1) 
x + y = 2 
Observe a representação 
geométrica desse 
sistema. 
PAR 
ORDENADO 
10 
Quando o sistema possui infinitas 
soluções, as retas são retas coincidentes.
Matemática - 8.º Ano / 4.º BIMESTRE - 2014 
AGORA, 
É COM VOCÊ!!! 
1 – Represente, geometricamente, o sistema de equações: 
x = y – 3 
-x + 2y = 4 
a) 
Encontre, para as duas equações, os 
pares ordenados, correspondentes a x = 0 e y =0 
1 – Resolva, no seu caderno, os sistemas a seguir: 
a) 
b) 
x + y = 3 
x + y = 2 
x – 2y = -1 
- 2x + 4y = 2 
MULTIRIO 
PAR ORDENADO 
PAR ORDENADO 
11
Matemática - 8.º Ano / 4.º BIMESTRE - 2014 
MULTIRIO 
1.° passo: 
Escolhemos uma das 
equações e isolamos uma 
das incógnitas (a, por 
exemplo). 
a + 3 m = 10,5 
a = 10,5 – 3m 
2.° passo: 
Substituímos, 
na outra equação, 
a incógnita a pela 
expressão obtida. 
3 a + 2 m = 14 
3 . (10,5 – 3m) + 2m = 14 
3° .passo: 
Resolvemos a equação. 
3 . (10,5 – 3m) + 2m = 14 
31,5 – 9m + 2m = 14 
- 7m = 14 – 31,5 
- 7m = - 17,5 
7 m = 17,5 
m = 17,5 : 7 
m = 2,5 
a = 10,5 – 3m 
a = 10,5 – 3 . 2,5 
a = 10,5 – 7,5 
a = 3 
4.° passo: 
Substituímos m 
pelo seu valor na 
equação a = 10,5 – 3m 
e calculamos o valor 
de a. 
MULTIRIO 
3 a + 2 m = 14 
a + 3 m = 10,5 
MULTIRIO 
Até aqui, resolvemos sistemas por 
tentativa ou graficamente. 
Mas existem outros métodos. 
Vamos conhecê-los? 
MULTIRIO 
Vamos considerar o seguinte problema: 
Em uma barraca de frutas, Joana 
comprou 3 abacaxis e 2 mamões, 
pagando, no total, R$ 14,00. Márcio, 
que comprou 1 abacaxi e 3 mamões 
pagou, no total, R$ 10,50. Qual o preço 
de cada fruta nessa barraca? 
Equacionando o problema, temos: 
Respondendo à pergunta 
do problema: 
nessa barraca, um abacaxi 
custa R$ 3,00 e um mamão 
custa R$ 2,50. 
12
2x + 0y = 16 
2x : 2 = 16 : 2 
x = 16 => x = 8 
2 
Matemática - 8.º Ano / 4.º BIMESTRE - 2014 
Agora, vamos considerar um 
problema bem simples: 
a soma de dois números é 15 
e a diferença entre eles é 1. 
Quais são esses números? 
Equacionando o 
problema, temos: 
( + y, na primeira, e – y, na 
segunda). Então, podemos 
adicionar membro a membro. MULTIRIO 
x + y = 15 
x – y = 1 
x + y = 15 
x - y = 1 
2x + 0y = 16 
MULTIRIO 
MULTIRIO 
Somando os primeiros e os 
segundos membros... 
Observe que as duas 
equações apresentam 
termos opostos 
x + y = 15 
8 + y = 15 
y = 15 – 8 
y = 7 
MULTIRIO 
Assim, encontramos uma única 
equação, equivalente às equações 
do sistema, sem a incógnita y. 
Resolvendo a equação equivalente, 
encontramos o valor de x. 
Agora, basta substituir o valor 
de x em uma das duas 
equações para encontrar o 
valor de y. 
MULTIRIO 
MULTIRIO 
Enfim, podemos afirmar que o par 
ordenado (8 , 7) é a solução do sistema. 
Também podemos responder à pergunta 
do problema. Os números que têm soma 
15 e diferença 1, são os números 8 e 7. 
13
Matemática - 8.º Ano / 4.º BIMESTRE - 2014 
Vamos resolver o sistema? MULTIRIO 
4x + y = 0 
6x - 3y = 36 
1°. passo: Multiplicar a primeira equação por 3, 
para que os coeficientes de y fiquem simétricos. 
4x + y = 0 (x3) 
6x - 3y = 36 
12x + 3y = 0 
=> 6x - 3y = 36 
12x + 3y = 0 
6x - 3y = 36 
18x = 36 
2.° passo: Somar os 
primeiros e segundos 
membros da equação. 
18x = 36 
x = 36 : 18 
x = 2 
3.° passo: Resolver a 
equação e encontrar o 
valor de x. 
4x + y = 0 
4.2 + y = 0 
8 + y = 0 
y = - 8 
4.° passo: 
Substituir o 
valor de x em uma das 
equações iniciais para 
encontrar o valor de y. 
Na primeira equação: 4x + y = 0 
4.2 + (-8) = 0 
8 – 8 = 0 
Na segunda equação: 6x – 3y = 36 
6.2 -3.(-8) = 36 
12 + 24 = 36 
Solução do sistema: (2 , -8) 
Resolvendo mais um sistema... 
MULTIRIO 
7x + 3y = -5 
4x + 5y = 7 
1°. passo: Multiplicar a primeira equação por 4 
e a segunda por -7, para que os coeficientes de 
x fiquem simétricos. 
7x + 3y = -5 
4x + 5y = 7 
x ( 4) 28x + 12y = -20 
- 28x - 35y = - 49 => x (-7) 
14
Matemática - 8.º Ano / 4.º BIMESTRE - 2014 
28x + 12y = - 20 
- 28x - 35y = - 49 
- 23y = - 69 
2°. passo: Somar os 
primeiros e os segundos 
membros da equação. 
- 23y = - 69 
y = - 69 : - 23 
y = 3 
3°. passo: Resolver a 
equação e encontrar o 
valor de y. 
4°. passo: 
Substituir o 
valor de y em uma das 
equações iniciais para 
encontrar o valor de x. 
4x + 5y = 7 
4x + 5.3 = 7 
4x + 15 = 7 
4x = 7 – 15 
4x = - 8 
x = - 8 : 4 
x = -2 
Na primeira equação: 7x + 3y = - 5 
7.(-2) + 3.3 = -5 
-14 + 9 = -5 
Na segunda equação: 4x + 5y = 7 
4.(-2) + 5.3 = 7 
- 8 + 15 = 7 
Solução do sistema: (-2 , 3) 
AGORA, 
É COM VOCÊ!!! 
1 – Resolva os sistemas, utilizando o método da 
substituição. A seguir, verifique a solução encontrada: 
4x + y = 0 
6x – 3y = 36 
a) 
b) 
3x + 2y = 40 
x – 3y = - 5 
15
a) 2x + y = - 3 
x – 3y = - 26 
Matemática - 8.º Ano / 4.º BIMESTRE - 2014 
2 – Resolva os sistemas, usando o método da adição e a 
seguir verifique a solução encontrada: 
b) 
3x – 5y = - 14 
- 2x – 8y = - 2 
3 – Resolva, em seu caderno, os 
sistemas utilizando o método que 
você julgar mais conveniente. 
= 1 
= 
e) 1,2x – 0,3y = 1,2 
1,8x + 0,5y = 3,7 
f) 
2(x – 2) + 3y = - 7 
3x – 2(y – 4) = - 3 
b) 
3x + 6y = 8 
4x + y = 13 
d) 
ଷ௫ 
௬ 
ଶ 
௫ 
ହ 
ሺ௬ିଵሻ 
c) 
5x + 3y = 2 
4x – 2y = 6 
a) 
2x – y = 12 
௫ 
ଷ 
௬ଶ 
+ = 6 
MULTIRIO 
16
C 
G 
A 
B 
R 
C B 
● 
R 
Matemática - 8.º Ano / 4.º BIMESTRE - 2014 
A 
A 
S 
T 
C B 
A 
C B 
T 
S 
BARICENTRO 
 AT é a mediana relativa ao 
lado CB ou ao vértice A. 
 BR é a mediana relativa ao 
lado AC ou ao vértice B. 
 CS é a mediana relativa ao 
lado AB ou ao vértice C. 
As medianas de um triângulo se 
interceptam em um único ponto (G). Esse 
ponto notável é chamado de baricentro. 
MULTIRIO 
Você já sabe que notável é tudo 
aquilo que chama a atenção. 
MULTIRIO 
Estudaremos os pontos notáveis 
que estão associados às medianas, 
às bissetrizes e às alturas de um 
triângulo, já que, além dos lados, 
vértices e ângulos, os triângulos 
apresentam outros elementos. 
MULTIRIO 
Todo triângulo possui três 
medianas. 
∧ 
Observe o triângulo ABC. 
17 
Mediana de um triângulo é o 
segmento de reta que une um vértice ao 
ponto médio do lado oposto.
● 
F 
B 
C 
E 
D 
I 
Altura de um triângulo é o segmento de reta 
que liga, perpendicularmente, um dos seus 
vértices ao seu lado oposto ou aos seus 
prolongamentos. 
Matemática - 8.º Ano / 4.º BIMESTRE - 2014 
Bissetriz de um triângulo é o segmento de reta que 
liga um vértice ao lado oposto, dividindo o ângulo 
correspondente em dois ângulos congruentes. 
A 
B 
C 
E 
A 
B 
C 
D 
A 
B 
C 
F 
 AD é a bissetriz relativa ao lado CB ou ao vértice A. 
 BE é a bissetriz relativa ao lado AC ou ao vértice B. 
 CF é a bissetriz relativa ao lado AB ou ao vértice C. 
As bissetrizes de um triângulo se interceptam em 
um único ponto (I). Esse ponto notável é chamado 
de incentro. 
INCENTRO 
A 
.D 
C 
B 
A 
D C 
B 
A 
∟ . 
AD é a altura relativa ao lado BC ou ao vértice A. 
Todo triângulo possui três 
bissetrizes. 
Observe outro triângulo A^BC. 
MULTIRIO 
18
1 – Complete as sentenças corretamente: 
a) O __________________ é o ponto em que se 
interceptam as bissetrizes de um triângulo. 
b) O __________________ é o ponto em que se 
interceptam as alturas de um triângulo. 
c) O ___________________ é o ponto em que se 
interceptam as medianas de um triângulo. 
2 – Na figura ao lado, F é o 
ponto médio de BC. 
Identifique: 
a) uma altura _________ 
b) uma mediana ______ 
c) uma bissetriz ______ 
Matemática - 8.º Ano / 4.º BIMESTRE - 2014 
MULTIRIO 
As alturas de um triângulo, ou os seus 
prolongamentos, se interceptam em um único ponto 
(O). Esse ponto notável é chamado de ortocentro. 
Todo triângulo possui três alturas. 
Observe, agora, esses 
dois triângulos A^BC. 
F 
A 
E 
D 
C 
B 
∟ . 
. 
. 
● 
Ortocentro 
O 
. 
. 
. 
 AD é a altura relativa ao lado CB ou ao vértice A. 
 BE é a altura relativa ao lado AC ou ao vértice B. 
 CF é a altura relativa ao lado AB ou ao vértice C. 
AGORA, 
É COM VOCÊ!!! 
F . 
E 
D 
C 
B A 
19
Dois triângulos são congruentes quando 
possuem três lados respectivamente 
congruentes, ou seja, de mesma medida. 
≅ 
^ ^ Δ ABC ≅ Δ MNO 
Matemática - 8.º Ano / 4.º BIMESTRE - 2014 
1°. Caso: Lado, Lado, Lado – LLL. 
M 
N 
B 
A O 
C 
2°. Caso: Lado, Ângulo, Lado – LAL. 
M 
N 
B 
A O 
C 
Dois triângulos são congruentes quando 
possuem dois lados e o ângulo 
compreendido por esses lados, 
respectivamente, congruentes. 
MULTIRIO 
É possível descobrir se 
um triângulo é 
congruente ao outro 
apenas comparando os 
seus elementos. 
MULTIRIO Estudaremos agora, em particular, 
os triângulos congruentes. 
Sabemos que o triângulo possui seis 
elementos (três lados e três 
ângulos). 
AB ≅ 
MN 
BC ≅ 
NO 
CA ≅ OM 
Δ ABC ≅ Δ MNO 
AB MN 
A ≅ 
M 
CA ≅ OM 
20
≅ 
^ ^ Δ ABC ≅ Δ MNO 
^ ^ 
Matemática - 8.º Ano / 4.º BIMESTRE - 2014 
3°. Caso: Ângulo, Lado, Ângulo – ALA. 
≅ 
4.° Caso: Lado, Ângulo Adjacente, 
Ângulo Oposto – LAAo. 
Dois triângulos são congruentes 
quando possuem um lado, um ângulo 
adjacente e um ângulo oposto a esse lado, 
respectivamente, congruentes. 
Dois triângulos são congruentes quando 
possuem dois ângulos e o lado compreendido 
por esses ângulos respectivamente congruentes. 
A 
B 
C M 
N 
O 
A M 
AC ≅ 
MO 
C ≅ O 
Δ ABC ≅ Δ MNO 
^ ^ 
^ ^ 
A 
B 
C 
M 
N 
O 
AC MO 
A ≅ 
M 
B ≅ N 
AGORA, 
É COM VOCÊ!!! 
1 – O par de triângulos a seguir é congruente. Identifique 
todos os elementos congruentes: 
B 
A C 
P 
R 
Q 
______________ 
______________ 
______________ 
______________ 
______________ 
______________ 
21
A 
7,4 cm 
B C 
D 
5,2 cm 
Matemática - 8.º Ano / 4.º BIMESTRE - 2014 
2 – Cada par de triângulos são congruentes. Observe as 
medidas indicadas e verifique em que caso está 
garantida a congruência desses triângulos. 
a) 
5 cm 
b) 
c) 
d) 
43° 
5 cm 
43° 
D 
C 
B 
A 
4,2 cm 
4,2 cm 
3,7 cm 
3,7 cm 
3 – (Saresp) Nos triângulos LUA e AMO, os elementos 
congruentes estão assinalados com marcas iguais. 
ൌ 
ൌ 
O 
M 
A 
U 
L 
Sabendo que UA = 10 cm e LA = 8 cm, pode-se dizer que 
AO e MO medem, respectivamente, 
( A ) 10 cm e 10 cm. ( C ) 8 cm e 10 cm. 
( B ) 10 cm e 8 cm. ( D ) 8 cm e 8 cm. 
4 – Observe o triângulo: 
Sabendo que o perímetro do ᇞ ABC é 30,1 cm, qual a 
medida de AB? ________________ 
22
6 – (Saresp) Na figura, o triângulo ABC é isósceles e 
BD DE EC. Nessas condições, os triângulos: 
A 
( ) ABD e ADE são congruentes. 
( ) ABD e AEC são congruentes. 
( ) ADE e AEC são congruentes 
( ) ABD e ABC são congruentes. 
__ 
a 
B C 
Matemática - 8.º Ano / 4.º BIMESTRE - 2014 
5 – Calcule, em graus, o valor de x e y sabendo que os 
triângulos são congruentes. 
_ 
_ 
2x + 13 
y - 8 
61 - x 
20 - y 
B D E C 
7 – Na figura abaixo, AD é bissetriz. Calcule a e b. 
D 
A 
b 
30° 50° 
__ __ __ 
≅ ≅ 
MULTIRIO 
23
Matemática - 8.º Ano / 4.º BIMESTRE - 2014 
MULTIRIO 
Vamos, agora, calcular a soma 
das medidas dos ângulos 
externos de um polígono 
convexo. 
Observe os ângulos assinalados 
nas figuras ao lado: são ângulos 
externos que, como diz o nome, 
ficam na parte de fora do polígono. 
MULTIRIO 
MULTIRIO 
Podemos obter a soma das 
medidas dos ângulos externos de 
um polígono por meio de recorte. 
Vamos fazer uma experiência? 
Para realizar esta atividade, recorte os polígonos da última 
folha deste caderno (pág. 39). 
 Pinte todos os ângulos externos de cada polígono. 
 Recorte cada uma das figuras, destacando cada 
um dos ângulos pintados. 
 Reagrupe as partes, juntando os ângulos pintados, 
mantendo-os unidos pelos vértices. 
 Ao final, cole, na atividade ao lado, cada polígono 
no espaço correspondente. 
TRIÂNGULO 
Se = _____ 
QUADRILÁTERO 
Se = _____ 
PENTÁGONO REGULAR 
Se = _____ 
PENTÁGONO 
Se = _____ 
HEXÁGONO 
Se = _____ 
Conclusão 
É possível demonstrar 
que a soma das 
medidas dos ângulos 
externos de qualquer 
polígono é ______. 
24
2 – Em um polígono, temos que Si + Se = 1 260°. Qual 
é esse polígono? 
Resposta: _________________________________ 
Matemática - 8.º Ano / 4.º BIMESTRE - 2014 
A soma das medidas dos ângulos 
externos de qualquer polígono é 360°. 
ܵ௘ = 360° ܵ௜ = (n – 2) . 180° 
ܽ௘ = 360° 
n 
n AGORA, 
É COM VOCÊ!!! 
ai = n −2 . 180° 
D = ೙ ሺ೙ షయሻ 
మ 
1 – Quantos lados possui um polígono regular cujo ângulo 
externo mede 24°? Qual o seu nome? E quantas diagonais 
ele possui? 
Respostas: _______________________________________ 
_______________________________________ 
_______________________________________ 
3 – Um polígono regular tem a soma das medidas dos 
ângulos internos igual a 1 260°. Qual a medida de cada 
ângulo externo desse polígono? 
Resposta: ___________________________________ 
____________________________________________ 
http://zip.net/blkDVS 
25
Matemática - 8.º Ano / 4.º BIMESTRE - 2014 
2 - Observe o quadrado e complete as sentenças: 
a) O monômio ________ representa a área desse 
quadrado. 
b) Se diminuirmos em 7 unidades a medida do lado desse 
quadrado, o polinômio ________________ representará a 
sua nova área. 
3) O polinômio que representa o produto de a³ + 1,5 
por a³ - 1,5 é _______________________ . 
1 – Observe a figura a seguir e acrescente dois 
retângulos, para explicar, geometricamente, porque 
(2x + 1)² = 4x² + 4x + 1. 
3x 
4 – Escreva o polinômio (a + 1)² + (a – 1)² - 2 (a² - 1) 
na sua forma reduzida: ________________ 
2x 
2x 
1 
1 
4x² 2x 
1 2x 
26
f) mn + m + n + 1 = 
g) x² - 64 = ⁄ସ = 
Matemática - 8.º Ano / 4.º BIMESTRE - 2014 
5 – Desenvolva os polinômios: 
a) (x + 3)² = _____________________________ 
b) (2a + b)² = _____________________ 
c) (xy – 5)² = _____________________ 
d) (4a – 3b²)² = _________________________ 
e) (2x + 1) (2x – 1) = _________________________ 
1 – Fatore os polinômios a seguir: 
a) 4a + 20ax = b) ax – bx + ay - by = 
c) x² y² - ଵ 
⁄ଽ = d) a6 + 2a³ b² + b4 = 
e) 35m – 7m² = 
h) p² - pm + ௠² 
MULTIRIO 
27
Analisando o gráfico, pode-se afirmar que 
Matemática - 8.º Ano / 4.º BIMESTRE - 2014 
1) Um shopping possui três andares de estacionamento. 
Na entrada do estacionamento, um painel mostra o 
número total de vagas e o número de vagas disponíveis 
em cada um dos andares. Em determinada hora do dia, 
esse painel eletrônico mostrava as informações 
registradas no quadro abaixo: 
1° andar 2° andar 3° andar 
Total de 
vagas 350 400 550 
Vagas 
disponíveis 175 150 400 
Segundo o painel, quantos veículos estavam no 
estacionamento do shopping, nessa hora do dia? 
Resposta: ______________________________________ 
______________________________________ 
2) O gráfico a seguir representa a quantidade de pacotes 
turísticos vendidos em um determinado período de 
tempo. 
http://zip.net/bnkFl0 
França Itália Portugal E U A Egito Cuba 
150 
120 
90 
60 
30 
0 
PACOTES DE FÉRIAS X DESTINO TURÍSTICO 
a) ____________________ foi o destino turístico menos 
procurado. 
b) _____________________ foi o destino turístico mais 
procurado. 
c) Foram vendidos, aproximadamente, ______ pacotes 
de férias para a Itália. 
d) Foram vendidos, aproximadamente, ______ pacotes 
de férias para Cuba. 
28
Matemática - 8.º Ano / 4.º BIMESTRE - 2014 
3) Em uma pesquisa, foram entrevistadas 2 673 pessoas 
com o seguinte questionamento: Qual o modelo de celular 
mais bonito? 
O resultado da pesquisa foi organizado no gráfico a 
seguir. 
PREFERÊNCIA POR MODELO DE CELULAR 
Modelo 1 
12% 
Analisando o gráfico, podemos afirmar que, 
aproximadamente, 
( ) 300 pessoas preferem o modelo 1. 
( ) 580 pessoas preferem o modelo 2. 
( ) 790 pessoas preferem o modelo 3. 
( ) 1 016 pessoas preferem o modelo 4. 
4) (Prova Brasil / 2011) O gráfico abaixo mostra a evolução 
da preferência dos eleitores pelos candidatos A e B: 
Em que mês o candidato A alcançou, na preferência, o 
candidato B? 
( ) Outubro ( ) Setembro 
( ) Julho ( ) Agosto 
MULTIRIO 
Modelo 4 
28% 
Modelo 2 
22% 
Modelo 3 
38% 
29
Matemática - 8.º Ano / 4.º BIMESTRE - 2014 
1- Com o uso da calculadora, extraia a raiz quadrada. 
Depois, realize a aproximação, apresentando o número com 
duas casas decimais e, ao lado, com apenas uma casa 
decimal. 
Resultado da 
calculadora 
2 casas 
decimais 
1 casa 
decimal 
3 1,732050807... 1,73 1,7 
11 
23 
34 
71 
Os números irracionais possuem infinitas casas decimais 
sem período (repetição interminável). 
2- Vamos colocar as raízes quadradas no retângulo 
correspondente: 
Números racionais Números irracionais 
3- Observe a reta numérica (Saresp): 
Aproximadamente, os números A, B e C são, respectivamente, 
Esse espaço é seu... 
; 0,6; 2 
; 2 
(A) 15 
  
10 
(B) 1,5; 6 
10 
 
(C)1,5;0,6 ;1,5 
(D)1,5; 2 ; π 
30
ℚ ℚ 
ℕ ℤ 
Matemática - 8.º Ano / 4.º BIMESTRE - 2014 
AGORA, 
É COM VOCÊ!!! 
ℚ 
Esse espaço é seu... 
1- A condição para que um número seja racional é que ele 
possa ser escrito na forma de ______________. 
2- Responda às questões abaixo. Em caso positivo, cite um 
exemplo: 
a) O número 1,57 pode ser escrito na forma de fração? 
______________________________________. 
b) O número - 9 pode ser escrito na forma de fração? 
______________________________________. 
c) O número 0 ,444... pode ser escrito na forma de fração? 
______________________________________. 
d) Podemos afirmar que os números 10 , - 9, π = 3,141516... 
e 0,444... são todos números racionais? _____________. 
Por quê?_______________________________________ 
_____________________________________________. 
Os conjuntos numéricos também têm símbolos próprios. 
ℕ → conjunto dos números ______________. 
ℤ → conjunto dos números ______________. 
ℚ → conjunto dos números ______________. 
ॴ → conjunto dos números _______________. 
Nos anos 
anteriores, 
você já 
conheceu 
Neste ano, 
estamos 
estudando 
Assim, podemos escrever: 
3- Coloque os números em ordem crescente: 
1,353535... -27 
35 
32 
4 
13 
π 
31 
ℚ 
ॴ 
ॴ ॴ 
ॴ
Matemática - 8.º Ano / 4.º BIMESTRE - 2014 
1 – (Simulado – Prova Brasil) A quadra de futebol de salão 
de uma escola possui as dimensões apresentadas abaixo: 
http://zip.net/bkkGGN 
| 4 2 m | 
| | 
23 m 
Um aluno que dá uma volta completa, nessa quadra, 
percorre __________ metros. 
2 – Em uma sala quadrada, foram gastos 28,10 m de 
rodapé de madeira. Essa sala tem apenas uma porta de 
0,90 m de largura. Qual a medida de cada lado dessa sala? 
Resposta: _________________________________ 
1 - 2 - 
3 – Uma piscina quadrada foi construída em um terreno 
retangular, conforme a figura a seguir. Seu João 
pretende gramar todo o terreno em torno da piscina. 
Quantos m² de grama serão necessários? 
Resposta: ____________________________________ 
_____________________________________________ 
6 m 
25 m 
12 m 
Terreno 
Piscina 
| | 
| | 
32
Matemática - 8.º Ano / 4.º BIMESTRE - 2014 
1 – (Prova Brasil) Joana mediu com uma régua o 
comprimento de uma caneta e encontrou 15,7 cm. Essa 
medida equivale em mm a: 
http://zip.net/blkGf6 
( ) 0,157 
( ) 1,57 
( ) 157 
( ) 1570 
2 – (Prova Brasil) No mercado Preço Ótimo, a manteiga é 
vendida em caixinhas de 200 g. Para levar para casa 2 
quilogramas de manteiga, Marisa precisa comprar 
( ) 2 caixinhas. ( ) 5 caixinhas. 
( ) 4 caixinhas. ( ) 10 caixinhas. 
3 – (Prova Brasil) O desenho de um colégio foi feito na 
seguinte escala: cada 4 cm equivalem a 5 m. A 
representação ficou com 10 cm de altura. Qual é a altura 
real, em metros, do colégio? 
( ) 2 ( ) 50 
( ) 12,5 ( ) 125 
4 – Beatriz foi ao mercado e comprou 2,5 kg de batata, 
135 g de alho, 465 g de queijo, 500 g de arroz, 1 kg de 
feijão e 1,15 kg de carne. Quantos quilos de alimento ela 
comprou? 
Resposta: ______________________________________ 
33
1 – Complete: 
a) Um circunferência tem _______________ raios. 
b) O ____________ é a maior corda de uma circunferência. 
c) __________ é um segmento de reta com extremidades 
Matemática - 8.º Ano / 4.º BIMESTRE - 2014 
http://zona de viajeiros.com adaptado 
5 - O autódromo de Interlagos, localizado em São Paulo, é 
um dos mais emblemáticos autódromos do mundo e o 
traçado de sua pista é tida, por muitos pilotos e 
especialistas, como o melhor do automobilismo. 
A figura abaixo mostra o desenho da pista do autódromo. 
Podemos dizer que a sua extensão corresponde a 
___________________ metros. 
AUTÓDROMO JOSÉ CARLOS PACE, INTERLAGOS 
Circuito: 2 677 milhas / 4 309 km / 71 voltas 
2 – Considerando o centro da circunferência e os segmentos 
assinalados na figura, indique os que são: 
a) raios ________________ 
b) corda _______________ 
c) diâmetro _____________ 
C 
● 
● 
● 
● 
● 
O 
D 
B A 
em dois pontos da circunferência. 
d) ______________ é uma corda que contém o centro da 
circunferência. 
3 – Considere uma circunferência de raio 7 cm. Indicando 
por x a distância de um ponto R qualquer ao centro dessa 
circunferência, qual deve ser o valor de x para que o ponto 
seja 
a) um ponto da circunferência? __________________ 
b) um ponto interno à circunferência? _____________ 
c) um ponto externo à circunferência? _____________ 
34
A 
Matemática - 8.º Ano / 4.º BIMESTRE - 2014 
4 – Um ponto P qualquer pertence a uma circunferência 
com raio de 17 cm. A distância do ponto P ao centro 
equivale a (5x – 8) cm. Nessas condições, qual o valor 
atribuído a x? 
Resposta: ___________________________________ 
5 – Observe a figura e complete as sentenças: 
● 
r 
● 
● t 
s 
O 
● 
a) A reta _____ é tangente à circunferência. 
b) A reta _____ é secante à circunferência. 
c) A reta _____ é externa à circunferência. 
MULTIRIO 
6 – Identifique as posições ocupadas pelos pares de 
circunferências a seguir: 
a) b) 
● 
C1 
C2 
c) d) 
C1 C2 
● 
● 
C1 
C2 
● 
C1 
C2 
O ângulo central é aquele 
cujo vértice é o centro da 
circunferência. 
Observe na figura que AÔB é 
um ângulo central, sendo o 
arco AB correspondente ao 
ângulo central AÔB. 
● 
● 
B 
O● α 
35
Observe o exemplo: 
Matemática - 8.º Ano / 4.º BIMESTRE - 2014 
O ângulo é inscrito quando o 
seu vértice está em qualquer 
ponto da circunferência, e as 
semirretas que o formam são 
secantes a esta circunferência, 
determinando cordas. 
Observe, na figura ao lado, que 
AÔB é um ângulo inscrito, 
sendo AB o arco 
correspondente ao ângulo. 
A 
● 
● 
B 
O● α 
Finalmente, vamos a uma relação muito importante entre 
um ângulo central e um ângulo inscrito de um mesmo 
arco: o valor do ângulo central é o dobro do valor do 
ângulo inscrito. Observe a demonstração. 
O 
● 
A 
● 
● 
C 
B ● 
A - Primeiro, vamos 
considerar a circunferência 
de centro O e o ângulo 
inscrito ABC. 
O 
● 
A 
● 
C 
B ● 
D 
● 
● 
B - Em seguida, vamos 
traçar a semirreta BD, que 
passa pelo centro O, e os 
segmentos AO e CO. 
Medida do ângulo inscrito: ___ 
Medida do ângulo central: ___ 
a 
● O 
A 
● 
● 
C 
B● 
●D 
m 
c 
n 
p 
q 
D - Se observarmos a nossa circunferência, podemos verificar 
que: 
m + n = ângulo inscrito 
p + q = ângulo central 
Aplicando essas observações à expressão inicial, teremos: 
ângulo inscrito = ângulo central 
2 
MULTIRIO 
C - Como o lado OB é congruente ao 
lado OA (são raios da circunferência), 
temos que os ângulos a e m são 
congruentes, pois o triângulo ABO é 
isósceles. Então, p (ângulo externo do 
ΔABO) equivale à m + a. O mesmo 
acontece com o triângulo BOC. Neste, 
q = n + c. 
Logo, p + q = (m + a) + (n + c) 
Como, m = a e n = c, temos que 
p + q = m + m + n + n 
p + q = 2m + 2n 
p + q = 2(m + n) 
Assim, 
m + n = 
࢖ାࢗ 
૛ 
36
A soma das medidas 
dos ângulos internos 
de um quadrilátero é 
igual a 360°. 
2,5x 
Matemática - 8.º Ano / 4.º BIMESTRE - 2014 
AGORA, 
É COM VOCÊ!!! 
Determine,em cada caso, a medida do ângulo desconhecido: 
a) 
b) 
c) 
1 – Calcule o valor dos ângulos assinalados: 
D 
C 
B 
A 
x 
84° 
88° 
103° 
a) 
x = ________ 
D C 
B 
A 
3,5x 
4,5x 
1,5x 
b) 
B 
C 
D 
A 
37
Matemática - 8.º Ano / 4.º BIMESTRE - 2014 
2 – (Prova Brasil) Observe as figuras abaixo: 
Considerando essas figuras, podemos afirmar que 
( ) os ângulos do retângulo e do quadrado são diferentes. 
( ) o retângulo tem todos os lados com a mesma medida. 
( ) somente o quadrado é um quadrilátero. 
( ) o retângulo e o quadrado são quadriláteros. 
3 – No paralelogramo a seguir, calcule as medidas de x e de y: 
x _________ 
x y _________ 
4 – (Prova Brasil) Qual o quadrilátero que possui 
apenas um par de lados paralelos? 
( ) ( ) 
( ) ( ) 
MULTIRIO 
Bons estudos!!! 
38
ae 
Ângulos externos de um polígono 
Matemática - 8.º Ano / 4.º BIMESTRE - 2014 
ae 
ae 
ae 
ae 
ae 
ae 
ae 
ae 
ae 
ae 
ae 
ae 
ae 
http://zip.net/bpkD8r 
http://zip.net/bckDDP 
Atividade relativa ao Experimentando (p. 24) 
ae 
ae 
ae 
ae 
http://zip.net/bxkFvc 
39
M8 4 bim_aluno_2014

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  • 1. Matemática - 8.º Ano / 4.º BIMESTRE - 2014
  • 2. Matemática - 8.º Ano / 4.º BIMESTRE - 2014 EDUARDO PAES PREFEITURA DA CIDADE DO RIO DE JANEIRO REGINA HELENA DINIZ BOMENY SECRETARIA MUNICIPAL DE EDUCAÇÃO JUREMA HOLPERIN SUBSECRETARIA DE ENSINO MARIA DE NAZARETH MACHADO DE BARROS VASCONCELLOS COORDENADORIA DE EDUCAÇÃO MARIA DE FÁTIMA CUNHA COORDENADORIA TÉCNICA IRINÉIA YURI IMAMURA ELABORAÇÃO FRANCISCO RODRIGUES DE OLIVEIRA GIBRAN CASTRO DA SILVA SIMONE CARDOZO VITAL DA SILVA REVISÃO FÁBIO DA SILVA MARCELO ALVES COELHO JÚNIOR DESIGN GRÁFICO EDIOURO GRÁFICA E EDITORA LTDA. IMPRESSÃO  Equação de 1.º grau  Sistema equações de 1.º grau  Resolvendo um sistema de equações  Pontos notáveis de um triângulo  Congruência de triângulos  Ângulos externos de um polígono  REVISÃO 1 – Produtos notáveis 2 – Fatoração de polinômios 3 – Tratamento da informação 4 – Números racionais e irracionais 5 – Área e perímetro 6 – Relações entre unidades de medidas 7 – Círculo e circunferência 8 – Quadriláteros MULTIRIO MULTIRIO MULTIRIO MULTIRIO
  • 3. Matemática - 8.º Ano / 4.º BIMESTRE - 2014 . . MULTIRIO Equação é uma igualdade entre duas expressões, em que, pelo menos em uma delas, aparecem uma ou mais letras, chamadas de incógnitas ou variáveis. Resolver uma equação é encontrar a sua solução ou a sua raiz. . 1 - Escreva uma equação que represente cada um dos problemas a seguir e, depois, resolva cada uma delas: a) A soma de dois números consecutivos é 35. Qual o valor do menor deles? Resposta: ____________________________________ b) O triplo de um número, subtraído de 11, é igual ao próprio número mais um. Qual é esse número? Resposta: __________________________________ c) O 8.° Ano resolveu arrecadar dinheiro para fazer uma festa de final de ano. Se cada aluno pagar R$ 11,50, faltarão R$ 30,00. Se cada um der R$ 3,00 a mais, sobrarão R$ 30,00. Quantos alunos deverão participar da festa para que seja possível esse resultado? Resposta: ___________________________________ Leia cada uma das sentenças matemáticas. AGORA, É COM VOCÊ!!! 3 MULTIRIO
  • 4. 3 – Qual o valor de cada ângulo desta figura? Matemática - 8.º Ano / 4.º BIMESTRE - 2014 2x 3 x + 55º x tem medidas em graus. Resposta: ______________________________________ 1 – Complete a tabela: 2 – Joana comprou uma bolsa e gastou um terço do seu dinheiro. Ainda sobraram R$ 65,00. Quantos reais Joana possuía? Resposta: _______________________________________ 4 – Vinte e cinco por cento das pessoas que trabalham em uma empresa são homens. Há 32 mulheres a mais do que os homens. Quantas pessoas trabalham nessa empresa? Resposta: ______________________________________ . MULTIRIO MULTIRIO EQUAÇÕES 7w – 15 = 9 – 5w Incógnita 1.º membro 2.º membro termos com incógnita termos independentes a – 9 5 = 3 – a 4
  • 5. Matemática - 8.º Ano / 4.º BIMESTRE - 2014 . MULTRIO As soluções de uma equação de 1.° grau, com duas incógnitas, podem ser expressas por pares ordenados (x , y) e, também, podem ser representadas graficamente. Correspondem a algumas soluções possíveis os pares ordenados: __________________________________ . 1 - Complete a tabela e, a seguir, responda à pergunta do problema: 2 – Marque os pontos correspondentes a esses pares ordenados no plano cartesiano abaixo. Em seguida, trace a reta que passa por todos esses pontos. 3 – Agora, complete a tabela ao lado com mais três possíveis soluções. MULTIRIO ଵହ MULTIRIO Agora, vamos equacionar problemas que envolvam equações de 1.° grau com duas incógnitas. Atenção! A soma de dois números reais é 4. Quais são esses possíveis números? Participe da resolução dessa equação. 5
  • 6. . Matemática - 8.º Ano / 4.º BIMESTRE - 2014 MULTIRIO Você percebeu? Todos os pontos que estão alinhados sobre a reta representam as soluções da equação. Toda equação de 1.° grau, com duas incógnitas, x e y, por exemplo, tem infinitas soluções e cada uma delas é indicada por um par ordenado de números: (x , y). Essa ordem precisa ser respeitada. O primeiro número representa sempre o valor da abscissa x; o segundo, representa sempre o valor da ordenada y. AGORA, É COM VOCÊ!!! 1 – Verifique se cada par ordenado é uma solução da equação 3x + 2y = 16? a) (2 , 5) _____________ b) (4 , 2) _____________ c) (5 , 2) _____________ d) (3 ; 3,5) _____________ 2 – Determine o valor de x da equação 3x + 2y = 16, para y = - 1. _______________________________________________ 3 – Agora, represente, no gráfico, abaixo, os pares ordenados que são soluções da equação 3x + 2y = 16. 6
  • 7. Matemática - 8.º Ano / 4.º BIMESTRE - 2014 4 – Observe a reta representada no plano cartesiano: Essa representação gráfica corresponde à solução da equação (A) 2x + y = 3. (B) x – y = 1. (C) x + y = 1. 5 – Um retângulo tem 56 dm² de área. a) Escreva uma equação que represente essa situação. __________________________________________ b) Se esse retângulo tiver 14 dm de comprimento, qual será a medida de sua largura? Reposta: _____________________________________ 6 – Represente, no plano cartesiano, as soluções da equação 2x + y = 6. 7 MULTIRIO
  • 8. Matemática - 8.º Ano / 4.º BIMESTRE - 2014 As duas equações obtidas formam um sistema de duas equações de 1.º grau com duas incógnitas. MULTIRIO Observe que o par ordenado (4 , 2) satisfaz as duas equações simultaneamente. Então, podemos dizer que é a solução do sistema. MULTIRIO MULTIRIO Preciso resolver um problema: dois números diferentes têm soma 6 e diferença 2. Quais são eles? MULTIRIO Você observou que, nesse problema, temos duas equações e cada uma com duas incógnitas? MULTIRIO Como podemos escrever as duas equações? Vamos chamar o número maior de x e o número menor de y. Assim: x + y = 6 x – y = 2 A solução do sistema é um par ordenado que satisfaz, simultaneamente, às duas equações. Vamos, através de tentativas, atribuir alguns valores para x e y. 8 x y x + y = 6 PAR ORDENADO 6 0 6 + 0 = 6 5 1 5 + 1 = 6 4 2 4 + 2 = 6 x y x – y = 2 PAR ORDENADO 6 4 6 – 4 = 2 5 3 5 – 3 = 2 4 2 4 – 2 = 2
  • 9. Matemática - 8.º Ano / 4.º BIMESTRE - 2014 MULTIRIO Agora, preste atenção na representação gráfica da solução do sistema. x + y = 6 x – y = 2 MULTIRIO Então, eu posso responder: o 4 e o 2 são números que possuem soma 6 e diferença 2. Quando o sistema possui uma única solução, as retas se interceptam em um único ponto. São retas concorrentes. MULTIRIO  x y = 2 x y = 1 MULTIRIO Encontre os pares ordenados. PAR ORDENADO ● Solução do sistema (4,2) (5,3) (6,4) ● (5,1) (6,0) ● ● ● ● Solução do sistema Observem mais dois exemplos de representação gráfica. Participe do desenvolvimento. PAR ORDENADO 9
  • 10.  x + y = 2 3x + 3y = 6 3x + 3y = 6 (-1,3) Matemática - 8.º Ano / 4.º BIMESTRE - 2014 MULTIRIO ● ● ● (4,2●) (2,0) (0,1) (2,3) x – y = 2 x – y = - 1 Quando o sistema não possui solução, as retas são retas paralelas e distintas. ● ● (1,1) x + y = 2 Observe a representação geométrica desse sistema. PAR ORDENADO 10 Quando o sistema possui infinitas soluções, as retas são retas coincidentes.
  • 11. Matemática - 8.º Ano / 4.º BIMESTRE - 2014 AGORA, É COM VOCÊ!!! 1 – Represente, geometricamente, o sistema de equações: x = y – 3 -x + 2y = 4 a) Encontre, para as duas equações, os pares ordenados, correspondentes a x = 0 e y =0 1 – Resolva, no seu caderno, os sistemas a seguir: a) b) x + y = 3 x + y = 2 x – 2y = -1 - 2x + 4y = 2 MULTIRIO PAR ORDENADO PAR ORDENADO 11
  • 12. Matemática - 8.º Ano / 4.º BIMESTRE - 2014 MULTIRIO 1.° passo: Escolhemos uma das equações e isolamos uma das incógnitas (a, por exemplo). a + 3 m = 10,5 a = 10,5 – 3m 2.° passo: Substituímos, na outra equação, a incógnita a pela expressão obtida. 3 a + 2 m = 14 3 . (10,5 – 3m) + 2m = 14 3° .passo: Resolvemos a equação. 3 . (10,5 – 3m) + 2m = 14 31,5 – 9m + 2m = 14 - 7m = 14 – 31,5 - 7m = - 17,5 7 m = 17,5 m = 17,5 : 7 m = 2,5 a = 10,5 – 3m a = 10,5 – 3 . 2,5 a = 10,5 – 7,5 a = 3 4.° passo: Substituímos m pelo seu valor na equação a = 10,5 – 3m e calculamos o valor de a. MULTIRIO 3 a + 2 m = 14 a + 3 m = 10,5 MULTIRIO Até aqui, resolvemos sistemas por tentativa ou graficamente. Mas existem outros métodos. Vamos conhecê-los? MULTIRIO Vamos considerar o seguinte problema: Em uma barraca de frutas, Joana comprou 3 abacaxis e 2 mamões, pagando, no total, R$ 14,00. Márcio, que comprou 1 abacaxi e 3 mamões pagou, no total, R$ 10,50. Qual o preço de cada fruta nessa barraca? Equacionando o problema, temos: Respondendo à pergunta do problema: nessa barraca, um abacaxi custa R$ 3,00 e um mamão custa R$ 2,50. 12
  • 13. 2x + 0y = 16 2x : 2 = 16 : 2 x = 16 => x = 8 2 Matemática - 8.º Ano / 4.º BIMESTRE - 2014 Agora, vamos considerar um problema bem simples: a soma de dois números é 15 e a diferença entre eles é 1. Quais são esses números? Equacionando o problema, temos: ( + y, na primeira, e – y, na segunda). Então, podemos adicionar membro a membro. MULTIRIO x + y = 15 x – y = 1 x + y = 15 x - y = 1 2x + 0y = 16 MULTIRIO MULTIRIO Somando os primeiros e os segundos membros... Observe que as duas equações apresentam termos opostos x + y = 15 8 + y = 15 y = 15 – 8 y = 7 MULTIRIO Assim, encontramos uma única equação, equivalente às equações do sistema, sem a incógnita y. Resolvendo a equação equivalente, encontramos o valor de x. Agora, basta substituir o valor de x em uma das duas equações para encontrar o valor de y. MULTIRIO MULTIRIO Enfim, podemos afirmar que o par ordenado (8 , 7) é a solução do sistema. Também podemos responder à pergunta do problema. Os números que têm soma 15 e diferença 1, são os números 8 e 7. 13
  • 14. Matemática - 8.º Ano / 4.º BIMESTRE - 2014 Vamos resolver o sistema? MULTIRIO 4x + y = 0 6x - 3y = 36 1°. passo: Multiplicar a primeira equação por 3, para que os coeficientes de y fiquem simétricos. 4x + y = 0 (x3) 6x - 3y = 36 12x + 3y = 0 => 6x - 3y = 36 12x + 3y = 0 6x - 3y = 36 18x = 36 2.° passo: Somar os primeiros e segundos membros da equação. 18x = 36 x = 36 : 18 x = 2 3.° passo: Resolver a equação e encontrar o valor de x. 4x + y = 0 4.2 + y = 0 8 + y = 0 y = - 8 4.° passo: Substituir o valor de x em uma das equações iniciais para encontrar o valor de y. Na primeira equação: 4x + y = 0 4.2 + (-8) = 0 8 – 8 = 0 Na segunda equação: 6x – 3y = 36 6.2 -3.(-8) = 36 12 + 24 = 36 Solução do sistema: (2 , -8) Resolvendo mais um sistema... MULTIRIO 7x + 3y = -5 4x + 5y = 7 1°. passo: Multiplicar a primeira equação por 4 e a segunda por -7, para que os coeficientes de x fiquem simétricos. 7x + 3y = -5 4x + 5y = 7 x ( 4) 28x + 12y = -20 - 28x - 35y = - 49 => x (-7) 14
  • 15. Matemática - 8.º Ano / 4.º BIMESTRE - 2014 28x + 12y = - 20 - 28x - 35y = - 49 - 23y = - 69 2°. passo: Somar os primeiros e os segundos membros da equação. - 23y = - 69 y = - 69 : - 23 y = 3 3°. passo: Resolver a equação e encontrar o valor de y. 4°. passo: Substituir o valor de y em uma das equações iniciais para encontrar o valor de x. 4x + 5y = 7 4x + 5.3 = 7 4x + 15 = 7 4x = 7 – 15 4x = - 8 x = - 8 : 4 x = -2 Na primeira equação: 7x + 3y = - 5 7.(-2) + 3.3 = -5 -14 + 9 = -5 Na segunda equação: 4x + 5y = 7 4.(-2) + 5.3 = 7 - 8 + 15 = 7 Solução do sistema: (-2 , 3) AGORA, É COM VOCÊ!!! 1 – Resolva os sistemas, utilizando o método da substituição. A seguir, verifique a solução encontrada: 4x + y = 0 6x – 3y = 36 a) b) 3x + 2y = 40 x – 3y = - 5 15
  • 16. a) 2x + y = - 3 x – 3y = - 26 Matemática - 8.º Ano / 4.º BIMESTRE - 2014 2 – Resolva os sistemas, usando o método da adição e a seguir verifique a solução encontrada: b) 3x – 5y = - 14 - 2x – 8y = - 2 3 – Resolva, em seu caderno, os sistemas utilizando o método que você julgar mais conveniente. = 1 = e) 1,2x – 0,3y = 1,2 1,8x + 0,5y = 3,7 f) 2(x – 2) + 3y = - 7 3x – 2(y – 4) = - 3 b) 3x + 6y = 8 4x + y = 13 d) ଷ௫ ௬ ଶ ௫ ହ ሺ௬ିଵሻ c) 5x + 3y = 2 4x – 2y = 6 a) 2x – y = 12 ௫ ଷ ௬ଶ + = 6 MULTIRIO 16
  • 17. C G A B R C B ● R Matemática - 8.º Ano / 4.º BIMESTRE - 2014 A A S T C B A C B T S BARICENTRO  AT é a mediana relativa ao lado CB ou ao vértice A.  BR é a mediana relativa ao lado AC ou ao vértice B.  CS é a mediana relativa ao lado AB ou ao vértice C. As medianas de um triângulo se interceptam em um único ponto (G). Esse ponto notável é chamado de baricentro. MULTIRIO Você já sabe que notável é tudo aquilo que chama a atenção. MULTIRIO Estudaremos os pontos notáveis que estão associados às medianas, às bissetrizes e às alturas de um triângulo, já que, além dos lados, vértices e ângulos, os triângulos apresentam outros elementos. MULTIRIO Todo triângulo possui três medianas. ∧ Observe o triângulo ABC. 17 Mediana de um triângulo é o segmento de reta que une um vértice ao ponto médio do lado oposto.
  • 18. ● F B C E D I Altura de um triângulo é o segmento de reta que liga, perpendicularmente, um dos seus vértices ao seu lado oposto ou aos seus prolongamentos. Matemática - 8.º Ano / 4.º BIMESTRE - 2014 Bissetriz de um triângulo é o segmento de reta que liga um vértice ao lado oposto, dividindo o ângulo correspondente em dois ângulos congruentes. A B C E A B C D A B C F  AD é a bissetriz relativa ao lado CB ou ao vértice A.  BE é a bissetriz relativa ao lado AC ou ao vértice B.  CF é a bissetriz relativa ao lado AB ou ao vértice C. As bissetrizes de um triângulo se interceptam em um único ponto (I). Esse ponto notável é chamado de incentro. INCENTRO A .D C B A D C B A ∟ . AD é a altura relativa ao lado BC ou ao vértice A. Todo triângulo possui três bissetrizes. Observe outro triângulo A^BC. MULTIRIO 18
  • 19. 1 – Complete as sentenças corretamente: a) O __________________ é o ponto em que se interceptam as bissetrizes de um triângulo. b) O __________________ é o ponto em que se interceptam as alturas de um triângulo. c) O ___________________ é o ponto em que se interceptam as medianas de um triângulo. 2 – Na figura ao lado, F é o ponto médio de BC. Identifique: a) uma altura _________ b) uma mediana ______ c) uma bissetriz ______ Matemática - 8.º Ano / 4.º BIMESTRE - 2014 MULTIRIO As alturas de um triângulo, ou os seus prolongamentos, se interceptam em um único ponto (O). Esse ponto notável é chamado de ortocentro. Todo triângulo possui três alturas. Observe, agora, esses dois triângulos A^BC. F A E D C B ∟ . . . ● Ortocentro O . . .  AD é a altura relativa ao lado CB ou ao vértice A.  BE é a altura relativa ao lado AC ou ao vértice B.  CF é a altura relativa ao lado AB ou ao vértice C. AGORA, É COM VOCÊ!!! F . E D C B A 19
  • 20. Dois triângulos são congruentes quando possuem três lados respectivamente congruentes, ou seja, de mesma medida. ≅ ^ ^ Δ ABC ≅ Δ MNO Matemática - 8.º Ano / 4.º BIMESTRE - 2014 1°. Caso: Lado, Lado, Lado – LLL. M N B A O C 2°. Caso: Lado, Ângulo, Lado – LAL. M N B A O C Dois triângulos são congruentes quando possuem dois lados e o ângulo compreendido por esses lados, respectivamente, congruentes. MULTIRIO É possível descobrir se um triângulo é congruente ao outro apenas comparando os seus elementos. MULTIRIO Estudaremos agora, em particular, os triângulos congruentes. Sabemos que o triângulo possui seis elementos (três lados e três ângulos). AB ≅ MN BC ≅ NO CA ≅ OM Δ ABC ≅ Δ MNO AB MN A ≅ M CA ≅ OM 20
  • 21. ≅ ^ ^ Δ ABC ≅ Δ MNO ^ ^ Matemática - 8.º Ano / 4.º BIMESTRE - 2014 3°. Caso: Ângulo, Lado, Ângulo – ALA. ≅ 4.° Caso: Lado, Ângulo Adjacente, Ângulo Oposto – LAAo. Dois triângulos são congruentes quando possuem um lado, um ângulo adjacente e um ângulo oposto a esse lado, respectivamente, congruentes. Dois triângulos são congruentes quando possuem dois ângulos e o lado compreendido por esses ângulos respectivamente congruentes. A B C M N O A M AC ≅ MO C ≅ O Δ ABC ≅ Δ MNO ^ ^ ^ ^ A B C M N O AC MO A ≅ M B ≅ N AGORA, É COM VOCÊ!!! 1 – O par de triângulos a seguir é congruente. Identifique todos os elementos congruentes: B A C P R Q ______________ ______________ ______________ ______________ ______________ ______________ 21
  • 22. A 7,4 cm B C D 5,2 cm Matemática - 8.º Ano / 4.º BIMESTRE - 2014 2 – Cada par de triângulos são congruentes. Observe as medidas indicadas e verifique em que caso está garantida a congruência desses triângulos. a) 5 cm b) c) d) 43° 5 cm 43° D C B A 4,2 cm 4,2 cm 3,7 cm 3,7 cm 3 – (Saresp) Nos triângulos LUA e AMO, os elementos congruentes estão assinalados com marcas iguais. ൌ ൌ O M A U L Sabendo que UA = 10 cm e LA = 8 cm, pode-se dizer que AO e MO medem, respectivamente, ( A ) 10 cm e 10 cm. ( C ) 8 cm e 10 cm. ( B ) 10 cm e 8 cm. ( D ) 8 cm e 8 cm. 4 – Observe o triângulo: Sabendo que o perímetro do ᇞ ABC é 30,1 cm, qual a medida de AB? ________________ 22
  • 23. 6 – (Saresp) Na figura, o triângulo ABC é isósceles e BD DE EC. Nessas condições, os triângulos: A ( ) ABD e ADE são congruentes. ( ) ABD e AEC são congruentes. ( ) ADE e AEC são congruentes ( ) ABD e ABC são congruentes. __ a B C Matemática - 8.º Ano / 4.º BIMESTRE - 2014 5 – Calcule, em graus, o valor de x e y sabendo que os triângulos são congruentes. _ _ 2x + 13 y - 8 61 - x 20 - y B D E C 7 – Na figura abaixo, AD é bissetriz. Calcule a e b. D A b 30° 50° __ __ __ ≅ ≅ MULTIRIO 23
  • 24. Matemática - 8.º Ano / 4.º BIMESTRE - 2014 MULTIRIO Vamos, agora, calcular a soma das medidas dos ângulos externos de um polígono convexo. Observe os ângulos assinalados nas figuras ao lado: são ângulos externos que, como diz o nome, ficam na parte de fora do polígono. MULTIRIO MULTIRIO Podemos obter a soma das medidas dos ângulos externos de um polígono por meio de recorte. Vamos fazer uma experiência? Para realizar esta atividade, recorte os polígonos da última folha deste caderno (pág. 39).  Pinte todos os ângulos externos de cada polígono.  Recorte cada uma das figuras, destacando cada um dos ângulos pintados.  Reagrupe as partes, juntando os ângulos pintados, mantendo-os unidos pelos vértices.  Ao final, cole, na atividade ao lado, cada polígono no espaço correspondente. TRIÂNGULO Se = _____ QUADRILÁTERO Se = _____ PENTÁGONO REGULAR Se = _____ PENTÁGONO Se = _____ HEXÁGONO Se = _____ Conclusão É possível demonstrar que a soma das medidas dos ângulos externos de qualquer polígono é ______. 24
  • 25. 2 – Em um polígono, temos que Si + Se = 1 260°. Qual é esse polígono? Resposta: _________________________________ Matemática - 8.º Ano / 4.º BIMESTRE - 2014 A soma das medidas dos ângulos externos de qualquer polígono é 360°. ܵ௘ = 360° ܵ௜ = (n – 2) . 180° ܽ௘ = 360° n n AGORA, É COM VOCÊ!!! ai = n −2 . 180° D = ೙ ሺ೙ షయሻ మ 1 – Quantos lados possui um polígono regular cujo ângulo externo mede 24°? Qual o seu nome? E quantas diagonais ele possui? Respostas: _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ 3 – Um polígono regular tem a soma das medidas dos ângulos internos igual a 1 260°. Qual a medida de cada ângulo externo desse polígono? Resposta: ___________________________________ ____________________________________________ http://zip.net/blkDVS 25
  • 26. Matemática - 8.º Ano / 4.º BIMESTRE - 2014 2 - Observe o quadrado e complete as sentenças: a) O monômio ________ representa a área desse quadrado. b) Se diminuirmos em 7 unidades a medida do lado desse quadrado, o polinômio ________________ representará a sua nova área. 3) O polinômio que representa o produto de a³ + 1,5 por a³ - 1,5 é _______________________ . 1 – Observe a figura a seguir e acrescente dois retângulos, para explicar, geometricamente, porque (2x + 1)² = 4x² + 4x + 1. 3x 4 – Escreva o polinômio (a + 1)² + (a – 1)² - 2 (a² - 1) na sua forma reduzida: ________________ 2x 2x 1 1 4x² 2x 1 2x 26
  • 27. f) mn + m + n + 1 = g) x² - 64 = ⁄ସ = Matemática - 8.º Ano / 4.º BIMESTRE - 2014 5 – Desenvolva os polinômios: a) (x + 3)² = _____________________________ b) (2a + b)² = _____________________ c) (xy – 5)² = _____________________ d) (4a – 3b²)² = _________________________ e) (2x + 1) (2x – 1) = _________________________ 1 – Fatore os polinômios a seguir: a) 4a + 20ax = b) ax – bx + ay - by = c) x² y² - ଵ ⁄ଽ = d) a6 + 2a³ b² + b4 = e) 35m – 7m² = h) p² - pm + ௠² MULTIRIO 27
  • 28. Analisando o gráfico, pode-se afirmar que Matemática - 8.º Ano / 4.º BIMESTRE - 2014 1) Um shopping possui três andares de estacionamento. Na entrada do estacionamento, um painel mostra o número total de vagas e o número de vagas disponíveis em cada um dos andares. Em determinada hora do dia, esse painel eletrônico mostrava as informações registradas no quadro abaixo: 1° andar 2° andar 3° andar Total de vagas 350 400 550 Vagas disponíveis 175 150 400 Segundo o painel, quantos veículos estavam no estacionamento do shopping, nessa hora do dia? Resposta: ______________________________________ ______________________________________ 2) O gráfico a seguir representa a quantidade de pacotes turísticos vendidos em um determinado período de tempo. http://zip.net/bnkFl0 França Itália Portugal E U A Egito Cuba 150 120 90 60 30 0 PACOTES DE FÉRIAS X DESTINO TURÍSTICO a) ____________________ foi o destino turístico menos procurado. b) _____________________ foi o destino turístico mais procurado. c) Foram vendidos, aproximadamente, ______ pacotes de férias para a Itália. d) Foram vendidos, aproximadamente, ______ pacotes de férias para Cuba. 28
  • 29. Matemática - 8.º Ano / 4.º BIMESTRE - 2014 3) Em uma pesquisa, foram entrevistadas 2 673 pessoas com o seguinte questionamento: Qual o modelo de celular mais bonito? O resultado da pesquisa foi organizado no gráfico a seguir. PREFERÊNCIA POR MODELO DE CELULAR Modelo 1 12% Analisando o gráfico, podemos afirmar que, aproximadamente, ( ) 300 pessoas preferem o modelo 1. ( ) 580 pessoas preferem o modelo 2. ( ) 790 pessoas preferem o modelo 3. ( ) 1 016 pessoas preferem o modelo 4. 4) (Prova Brasil / 2011) O gráfico abaixo mostra a evolução da preferência dos eleitores pelos candidatos A e B: Em que mês o candidato A alcançou, na preferência, o candidato B? ( ) Outubro ( ) Setembro ( ) Julho ( ) Agosto MULTIRIO Modelo 4 28% Modelo 2 22% Modelo 3 38% 29
  • 30. Matemática - 8.º Ano / 4.º BIMESTRE - 2014 1- Com o uso da calculadora, extraia a raiz quadrada. Depois, realize a aproximação, apresentando o número com duas casas decimais e, ao lado, com apenas uma casa decimal. Resultado da calculadora 2 casas decimais 1 casa decimal 3 1,732050807... 1,73 1,7 11 23 34 71 Os números irracionais possuem infinitas casas decimais sem período (repetição interminável). 2- Vamos colocar as raízes quadradas no retângulo correspondente: Números racionais Números irracionais 3- Observe a reta numérica (Saresp): Aproximadamente, os números A, B e C são, respectivamente, Esse espaço é seu... ; 0,6; 2 ; 2 (A) 15   10 (B) 1,5; 6 10  (C)1,5;0,6 ;1,5 (D)1,5; 2 ; π 30
  • 31. ℚ ℚ ℕ ℤ Matemática - 8.º Ano / 4.º BIMESTRE - 2014 AGORA, É COM VOCÊ!!! ℚ Esse espaço é seu... 1- A condição para que um número seja racional é que ele possa ser escrito na forma de ______________. 2- Responda às questões abaixo. Em caso positivo, cite um exemplo: a) O número 1,57 pode ser escrito na forma de fração? ______________________________________. b) O número - 9 pode ser escrito na forma de fração? ______________________________________. c) O número 0 ,444... pode ser escrito na forma de fração? ______________________________________. d) Podemos afirmar que os números 10 , - 9, π = 3,141516... e 0,444... são todos números racionais? _____________. Por quê?_______________________________________ _____________________________________________. Os conjuntos numéricos também têm símbolos próprios. ℕ → conjunto dos números ______________. ℤ → conjunto dos números ______________. ℚ → conjunto dos números ______________. ॴ → conjunto dos números _______________. Nos anos anteriores, você já conheceu Neste ano, estamos estudando Assim, podemos escrever: 3- Coloque os números em ordem crescente: 1,353535... -27 35 32 4 13 π 31 ℚ ॴ ॴ ॴ ॴ
  • 32. Matemática - 8.º Ano / 4.º BIMESTRE - 2014 1 – (Simulado – Prova Brasil) A quadra de futebol de salão de uma escola possui as dimensões apresentadas abaixo: http://zip.net/bkkGGN | 4 2 m | | | 23 m Um aluno que dá uma volta completa, nessa quadra, percorre __________ metros. 2 – Em uma sala quadrada, foram gastos 28,10 m de rodapé de madeira. Essa sala tem apenas uma porta de 0,90 m de largura. Qual a medida de cada lado dessa sala? Resposta: _________________________________ 1 - 2 - 3 – Uma piscina quadrada foi construída em um terreno retangular, conforme a figura a seguir. Seu João pretende gramar todo o terreno em torno da piscina. Quantos m² de grama serão necessários? Resposta: ____________________________________ _____________________________________________ 6 m 25 m 12 m Terreno Piscina | | | | 32
  • 33. Matemática - 8.º Ano / 4.º BIMESTRE - 2014 1 – (Prova Brasil) Joana mediu com uma régua o comprimento de uma caneta e encontrou 15,7 cm. Essa medida equivale em mm a: http://zip.net/blkGf6 ( ) 0,157 ( ) 1,57 ( ) 157 ( ) 1570 2 – (Prova Brasil) No mercado Preço Ótimo, a manteiga é vendida em caixinhas de 200 g. Para levar para casa 2 quilogramas de manteiga, Marisa precisa comprar ( ) 2 caixinhas. ( ) 5 caixinhas. ( ) 4 caixinhas. ( ) 10 caixinhas. 3 – (Prova Brasil) O desenho de um colégio foi feito na seguinte escala: cada 4 cm equivalem a 5 m. A representação ficou com 10 cm de altura. Qual é a altura real, em metros, do colégio? ( ) 2 ( ) 50 ( ) 12,5 ( ) 125 4 – Beatriz foi ao mercado e comprou 2,5 kg de batata, 135 g de alho, 465 g de queijo, 500 g de arroz, 1 kg de feijão e 1,15 kg de carne. Quantos quilos de alimento ela comprou? Resposta: ______________________________________ 33
  • 34. 1 – Complete: a) Um circunferência tem _______________ raios. b) O ____________ é a maior corda de uma circunferência. c) __________ é um segmento de reta com extremidades Matemática - 8.º Ano / 4.º BIMESTRE - 2014 http://zona de viajeiros.com adaptado 5 - O autódromo de Interlagos, localizado em São Paulo, é um dos mais emblemáticos autódromos do mundo e o traçado de sua pista é tida, por muitos pilotos e especialistas, como o melhor do automobilismo. A figura abaixo mostra o desenho da pista do autódromo. Podemos dizer que a sua extensão corresponde a ___________________ metros. AUTÓDROMO JOSÉ CARLOS PACE, INTERLAGOS Circuito: 2 677 milhas / 4 309 km / 71 voltas 2 – Considerando o centro da circunferência e os segmentos assinalados na figura, indique os que são: a) raios ________________ b) corda _______________ c) diâmetro _____________ C ● ● ● ● ● O D B A em dois pontos da circunferência. d) ______________ é uma corda que contém o centro da circunferência. 3 – Considere uma circunferência de raio 7 cm. Indicando por x a distância de um ponto R qualquer ao centro dessa circunferência, qual deve ser o valor de x para que o ponto seja a) um ponto da circunferência? __________________ b) um ponto interno à circunferência? _____________ c) um ponto externo à circunferência? _____________ 34
  • 35. A Matemática - 8.º Ano / 4.º BIMESTRE - 2014 4 – Um ponto P qualquer pertence a uma circunferência com raio de 17 cm. A distância do ponto P ao centro equivale a (5x – 8) cm. Nessas condições, qual o valor atribuído a x? Resposta: ___________________________________ 5 – Observe a figura e complete as sentenças: ● r ● ● t s O ● a) A reta _____ é tangente à circunferência. b) A reta _____ é secante à circunferência. c) A reta _____ é externa à circunferência. MULTIRIO 6 – Identifique as posições ocupadas pelos pares de circunferências a seguir: a) b) ● C1 C2 c) d) C1 C2 ● ● C1 C2 ● C1 C2 O ângulo central é aquele cujo vértice é o centro da circunferência. Observe na figura que AÔB é um ângulo central, sendo o arco AB correspondente ao ângulo central AÔB. ● ● B O● α 35
  • 36. Observe o exemplo: Matemática - 8.º Ano / 4.º BIMESTRE - 2014 O ângulo é inscrito quando o seu vértice está em qualquer ponto da circunferência, e as semirretas que o formam são secantes a esta circunferência, determinando cordas. Observe, na figura ao lado, que AÔB é um ângulo inscrito, sendo AB o arco correspondente ao ângulo. A ● ● B O● α Finalmente, vamos a uma relação muito importante entre um ângulo central e um ângulo inscrito de um mesmo arco: o valor do ângulo central é o dobro do valor do ângulo inscrito. Observe a demonstração. O ● A ● ● C B ● A - Primeiro, vamos considerar a circunferência de centro O e o ângulo inscrito ABC. O ● A ● C B ● D ● ● B - Em seguida, vamos traçar a semirreta BD, que passa pelo centro O, e os segmentos AO e CO. Medida do ângulo inscrito: ___ Medida do ângulo central: ___ a ● O A ● ● C B● ●D m c n p q D - Se observarmos a nossa circunferência, podemos verificar que: m + n = ângulo inscrito p + q = ângulo central Aplicando essas observações à expressão inicial, teremos: ângulo inscrito = ângulo central 2 MULTIRIO C - Como o lado OB é congruente ao lado OA (são raios da circunferência), temos que os ângulos a e m são congruentes, pois o triângulo ABO é isósceles. Então, p (ângulo externo do ΔABO) equivale à m + a. O mesmo acontece com o triângulo BOC. Neste, q = n + c. Logo, p + q = (m + a) + (n + c) Como, m = a e n = c, temos que p + q = m + m + n + n p + q = 2m + 2n p + q = 2(m + n) Assim, m + n = ࢖ାࢗ ૛ 36
  • 37. A soma das medidas dos ângulos internos de um quadrilátero é igual a 360°. 2,5x Matemática - 8.º Ano / 4.º BIMESTRE - 2014 AGORA, É COM VOCÊ!!! Determine,em cada caso, a medida do ângulo desconhecido: a) b) c) 1 – Calcule o valor dos ângulos assinalados: D C B A x 84° 88° 103° a) x = ________ D C B A 3,5x 4,5x 1,5x b) B C D A 37
  • 38. Matemática - 8.º Ano / 4.º BIMESTRE - 2014 2 – (Prova Brasil) Observe as figuras abaixo: Considerando essas figuras, podemos afirmar que ( ) os ângulos do retângulo e do quadrado são diferentes. ( ) o retângulo tem todos os lados com a mesma medida. ( ) somente o quadrado é um quadrilátero. ( ) o retângulo e o quadrado são quadriláteros. 3 – No paralelogramo a seguir, calcule as medidas de x e de y: x _________ x y _________ 4 – (Prova Brasil) Qual o quadrilátero que possui apenas um par de lados paralelos? ( ) ( ) ( ) ( ) MULTIRIO Bons estudos!!! 38
  • 39. ae Ângulos externos de um polígono Matemática - 8.º Ano / 4.º BIMESTRE - 2014 ae ae ae ae ae ae ae ae ae ae ae ae ae http://zip.net/bpkD8r http://zip.net/bckDDP Atividade relativa ao Experimentando (p. 24) ae ae ae ae http://zip.net/bxkFvc 39