MAT 2ª Série 3 º Bimestre Professor.pdf

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MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
COMPONENTES: MATEMÁTICA
IMERSÃO CURRICULAR
2ª SÉRIE
ORIENTAÇÃO AO/A PROFESSOR/A
O material didático desenvolvido nesta apostila propõe aos/as professores/as e
estudantes um alinhamento com o Documento Curricular para Goiás-Etapa Ensino
Médio para a área de Matemática e suas Tecnologias. Os módulos foram organizados
seguindo a Bimestralização desta área do conhecimento, respeitando as competências
específicas, habilidades específicas, objetivos de aprendizagem e objetos de
conhecimento deste mesmo documento.
Por fim, as sugestões de trabalho, apresentadas neste material didático,
refletem a constante busca da promoção das competências de Matemática e suas
Tecnologias, indispensáveis ao enfrentamento dos desafios sociais, culturais e
profissionais do mundo contemporâneo.

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Imersão Curricular
Sólidos Geométricos
Para iniciarmos nossa abordagem ao conteúdo deste módulo basta olharmos ao nosso
redor. Nosso cotidiano está cercado por referências a geometria, seja ela plana ou
espacial. Podemos então exercitar nossos olhos buscando essas referências nos mais
variados ambientes, a começar pela própria sala de aula.
É possível perceber o quadro como a representação de um quadrilátero, o giz como a
representação de um cilindro, a caixa, no canto da sala, se parece com um
paralelepípedo. O globo terrestre que o professor de Geografia trouxe outro dia pode
Habilidade da BNCC
(EM13MAT504) Investigar processos de obtenção da medida do volume de prismas,
pirâmides, cilindros e cones, incluindo o princípio de Cavalieri, para a obtenção das
fórmulas de cálculo da medida do volume dessas figuras.
Objetivo de aprendizagem do DC-GOEM
(GO-EMMAT504A) Reconhecer os diferentes tipos de sólidos geométricos e suas
particularidades, ilustrando com objetos do cotidiano e/ou por aplicativos para
dedução do princípio de Cavalieri para aplicá-las em situações reais.
Objetos de conhecimento

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ser relacionado com a esfera, e essas são apenas algumas das coisas com as quais
podemos relacionar a geometria com o nosso cotidiano.
Faz-se então necessário conhecer mais sobre tais referências para sermos capazes de
estabelecer essa relação entre vida e matemática.
Começamos então definindo o que são sólidos geométricos, que nada mais são do que
objetos tridimensionais, quando falamos isso, estamos nos referindo a objetos com
comprimento, largura e altura, que podem ser classificados em poliedro ou corpos
redondos. Falaremos mais sobre isso mais para frente, por hora, vamos nos ater apenas
à parte geral de sólidos.
Sem nos atermos tanto a definições, veja a seguir alguns exemplos de sólidos
geométricos:
Figura 1: Sólidos Geométricos – aedonamaria
Agora podemos então pensar nessas referências apresentadas e buscar outras
imagens/objetos que são correspondentes em nosso cotidiano.

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MÍDIAS INTEGRADAS
Sugestão de dinâmica
Em conjunto com a turma, após ter apresentado os sólidos sem muitos detalhes, vamos
dividir a turma em 5 grupos. Cada grupo ficará responsável por um dos sólidos
apresentados. Então devem fazer um pequeno passeio pelos ambientes da instituição,
buscando objetos que lembrem ou se assemelham ao solido que designado a seu grupo.
Essa ação objetiva fomentar o trabalho do processo de identificação destes sólidos em
nosso cotidiano, trazendo representações que sejam mais próximas a realidade de cada
estudante e/ou ambiente escolar.
Após todos terem realizado suas associações, os grupos retornam à sala, e, então,
apresentam as características que os objetos tinham em comum para que se tornassem
associável ao sólido em questão. Já buscando estabelecer as características desses
sólidos para um próximo momento.
SUGESTÃO DE ATIVIDADE
1. Observe o sólido a seguir
Assinale a alternativa que apresente uma possível representação deste solido
no mundo real.
(A) Pirâmide do Egito
(B) Sorvete de casquinha
(C) Bola de futebol

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(D) Rede de vôlei.
(E) Copo
2. Observe a imagem a seguir
Figura 2: Globo Terrestre em Braile - Bia Mapas
O objeto pode ser associado a qual sólido geométrico?
(A) Cone
(B) Paralelepípedo
(C) Pirâmide
(D) Esfera
(E) Cilindro
3. Considere o sólido geométrico a seguir
Assinale a alternativa que apresente uma possível representação desse sólido
no nosso mundo real.
(A) Cone

6
(B) Esfera
(C) Pirâmide
(D) Paralelepípedo
(E) Cilindro.
4. Observe o objeto apresentado na imagem a seguir
Figura 3: Extintor de Incendio – Bucka
O objeto apresentado pode ser associado a qual sólido geométrico?
(A) Cone
(B) Esfera
(C) Pirâmide
(D) Paralelepípedo
(E) Cilindro.
5. Observe o objeto na imagem a seguir
Figura 4: Caixa de sapato Nike – Shopee

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O objeto apresentado pode ser associado a qual sólido geométrico?
(A) Cone
(B) Esfera
(C) Pirâmide
(D) Paralelepípedo
(E) Cilindro.
Estabelecido nosso processo de associação, podemos agora identificar o que compõe os
sólidos geométricos, suas classificações e particularidades.
Como dito anteriormente, é possível classificarmos os sólidos geométricos em Poliedros
e Corpos Redondos.
Quando abordamos os estudos dos poliedros, podemos dizer que esses sólidos são
figuras geométricas tridimensionais, compostas por um número determinado lados
que são formados por polígonos.
Corpos redondos, como o próprio nome indica, são sólidos geométricos que possuem
uma superfície arredondada ou curva. Um fato interessante dos corpos redondos é que
eles podem ser conhecidos como sólidos de revolução, que são construídos a partir da
rotação de uma figura plana.
Podemos então elencar algumas características dos poliedros:
• São compostos por faces, arestas e vértices:
o Faces são os polígonos que formam a superfícies do poliedro;
o Arestas são os lados comuns a duas faces do poliedro;
o Vértices são os pontos de intersecção das arestas do poliedro.
Na imagem a seguir podemos ver alguns exemplos de poliedros:

8
Figura 5: Poliedros - iped - Preparatório Enem
Quanto aos corpos redondos, suas características não são tão determinísticas, basta que
ele possua uma superfície arredondada em sua composição.
Na imagem a seguir conseguimos ver alguns corpos redondos:
Figura 6: Corpos Redondos - Planejativo

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MÍDIAS INTEGRADAS
Sugestão de dinâmica
Com base nas características que os grupos elencaram a cada um dos sólidos, durante
as aulas anteriores, podemos iniciar uma breve classificação dos sólidos que foram
apresentados em poliedros e corpos redondos, bem como indagar mais sobre as
características desses poliedros e corpos redondos em associação com os objetos aos
quais esses sólidos foram associados.

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Sobre os sólidos geométricos
Agora iremos começar a focar nosso processo de abordagem em situações mais
específicas, inicialmente estudaremos os poliedros.
Como dito anteriormente poliedros são figuras geométricas tridimensionais que são
compostas por um número determinado lados, que formam os polígonos.
Em específicos podemos observar os seguintes componentes de um poliedro
• São compostos por faces, arestas e vértices
o Faces são os polígonos que formam a superfícies do poliedro.
o Arestas são os lados comuns a duas faces do poliedro.
Quando falamos de poliedros é comum darmos nomes a cada um deles, e essa
nomenclatura deriva do número de lados que o sólido apresenta.
Observação – A palavra poliedro é formada por poli, do grego polys (muitos ou vários)
e edro do grego hedra (face) ou seja, um poliedro é um solido de muitas faces –
Habilidade da BNCC
(GO-EMMAT504A) Reconhecer os diferentes tipos de sólidos geométricos e suas
particularidades, ilustrando com objetos do cotidiano e/ou por aplicativos para
dedução do princípio de Cavalieri para aplicá-las em situações reais.

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Esse processo de nomenclatura pelo número de faces segue o seguinte proposto:
Nome do Poliedro Número de faces
Tetraedro 4
Pentaedro 5
Hexaedro 6
Heptaedro 7
Octaedro 8
Eneaedro 9
Decaedro 10
Undecaedro 11
Dodecaedro 12
Icosaedro 20
Figura 7: Poliedros - Casa da Matemática
Podemos, então, além de nomear, classificar esses poliedros em dois grupos, poliedros
convexos e poliedros não convexos.
Diremos que um poliedro é convexo quando, ao traçarmos qualquer reta não paralela a
ele, essa reta deverá interceptar as faces do poliedro em, no máximo dois pontos.
Quando a interceptação dessa reta acontecer em mais de duas faces iremos dizer que
esse poliedro é não convexo, ou seja, é côncavo.

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Visualmente teremos as seguintes situações como forma de ilustrar poliedros convexos
e não convexos:
Figura 8: Poliedros - Toda Matéria
Observe como no primeiro caso a interceptação acontece nos pontos P e Q e na segunda
acontecem nos pontos A B C e D.
1. Considere o poliedro a seguir
Podemos dizer que este poliedro apresentado é um
(A) Tetraedro não convexo.
(B) Tricaedro convexo.
(C) Tetraedro convexo.
(D) Dodecaedro não convexo.
(E) Triedro convexo.

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2. Considere o poliedro a seguir
Podemos dizer que este poliedro apresentado é um
(A) Tetraedro convexo
(B) Dadocaedro não convexo
(C) Hexaedro convexo
(D) Tetraedro não convexo
(E) Hexaedro não convexo
3. Observe os poliedros a seguir
Figura 9: Poliedros - Casa da Matemática
A respeito da convexidade dos poliedros apresentados, podemos dizer que
(A) Apenas I é convexo
(B) I e III são convexos
(C) II e I são convexos
(D) IV e II são convexos
(E) Apenas IV é convexo

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4. Considere os poliedros a seguir
Quanto a convexidade dos poliedros apresentados, podemos afirmar que
(A) I não é convexo
(B) III e IV não são convexos
(C) I e III são convexos
(D) II e IV são convexos
(E) I e IV não são convexos
5. São construídos três poliedros com 7, 12 e 20 lados. Esses poliedros são
nomeados respectivamente como
(A) Heptaedro, Dodecaedro e Icosaedro
(B) Hexaedro, Dodecaedro e Icosaedro
(C) Hexaedro, Decaedro e Icosaedro
(D) Heptaedro, Decaedro e Icosaedro
(E) Hexaedro, Decaedro e Icosaedro

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Nossos conhecimentos a respeito dos poliedros está se expandindo, e, antes de falarmos
especificamente sobre alguns, manteremos nossos estudos ainda em um âmbito geral.
Vamos relembrar quais são os elementos que compõem um poliedro?
• Um poliedro é composto por faces, arestas e vértices
o Faces são os polígonos que formam a superfícies do poliedro.
o Arestas são os lados comuns a duas faces do poliedro.
Há uma informação bem relevante que relaciona o número de faces, arestas e vértices
de um poliedro. Essa informação é conhecida como Relação de Euler, e é válida para
todo poliedro convexo. E há alguns poliedros não convexos em que a relação também é
válida.
A relação diz que o número de vértices, menos o número de arestas, somado com as
faces, é igual a 2.
𝑉𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒 − 𝐴𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎 + 𝐹𝑎𝑐𝑒 = 2
Habilidade da BNCC
(GO-EMMAT504B) Compreender o princípio de Cavalieri verificando características e
medidas de altura e área (base e lateral) para investigar o processo de obtenção do
volume de prismas, pirâmides, cilindros e cones.

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Essa relação pode ser usada para auxiliar a determinar o número de um dos elementos
do poliedro, desde que saibamos o valor dos outros dois elementos. Todo poliedro em
que a Relação de Euler é válida é conhecido como poliedro euliriano.
Outra característica geral dos poliedros é a possibilidade de determinar se tal poliedro
é regular ou não. Um poliedro será dito regular quando todas as suas faces forem
polígonos regulares e congruentes entre si, isto é, quando as faces forem iguais.
Um fato interessante é que existem somente cinco poliedros regulares: tetraedro,
hexaedro, octaedro, dodecaedro e icosaedro.
Há ainda uma última caracterização dos poliedros, os que são conhecidos como
poliedros de Platão. Tais poliedros são aqueles que possuem suas faces com o mesmo
número de arestas, todos os vértices com o mesmo número de encontros de arestas e
seja válida a relação de Euler. Desta forma, o poliedro de Platão, engloba todas as
características dos poliedros. São poliedros, regulares, convexos e existem apenas cinco
classes destes: tetraedros, hexaedros, octaedros, dodecaedros e icosaedros.
1. Um poliedro convexo possui 11 faces e 18 vértices. Qual é o número de
arestas?
(A) 18
(B) 11
(C) 27
(D) 29
(E) 30
2. Em um poliedro convexo temos seis faces quadrangulares e duas faces
hexagonais. Determine o número de vértices desse poliedro.

17
(A) 24
(B) 12
(C) 18
(D) 30
(E) 36
3. (Fatec-SP) Um poliedro convexo tem três faces com 4 lados, duas faces com 3
lados e quatro faces com 5 lados. Qual o número de vértices desse poliedro?
(A) 10
(B) 11
(C) 12
(D) 13
(E) 14
4. (Mack-SP) Determine o número de vértices de um poliedro que tem três faces
triangulares, uma face quadrangular, uma pentagonal e duas hexagonais.
(A) 10
(B) 11
(C) 12
(D) 13
(E) 14
5. (UFCG – PB) Um professor de matemática em uma aula de geometria, pediu que
cada aluno construísse um poliedro convexo regular com 20 faces triangulares.
Podemos afirmar que o número de vértices do poliedro construído por cada
aluno é igual a
(A) 28
(B) 12
(C) 19
(D) 27
(E) 41

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Iniciaremos agora o processo de estudo das especificidades de alguns poliedros, a
começar pelo prisma.
Considere dois planos paralelos 𝛼 e 𝛽, um polígono convexo contido em um dos planos
e uma reta r que intercepta o plano, mas não o polígono contido nele. Então, quando
tivermos segmentos de retas paralelos a r, que ligam os vértices do polígono em um dos
planos com o outro plano, teremos a formação de um prisma.
Os elementos do prisma são: Bases, Faces Laterais, Vértices, Arestas da Base, Arestas
Laterais, Altura.
Figura 10: Ilustração de um prisma e seus elementos - Toda Matéria
Podemos, ainda, classificar os prismas de acordo com o número de lados dos polígonos
da base:
Triangulares: quando as bases são triângulos.
Quadrangulares: quando as bases são quadriláteros.
Pentagonais: quando as bases são pentágonos.
E assim por diante.
Outra forma de classificar os prismas são em retos e oblíquos.

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No prisma reto, temos as arestas laterais perpendiculares aos planos, formando um
ângulo reto, de 90°. E no prisma oblíquo temos as arestas laterais formando um ângulo
oblíquo com os planos.
Os prismas ainda podem ser classificados como regular, se este for reto, e as bases
forem polígonos regulares.
No estudo dos prismas, temos alguns prismas específicos que levam nomes particulares
a depender de suas características. O mais comum é o paralelepípedo¸ um prisma cujas
bases são paralelogramos. Temos também o paralelepípedo reto retângulo ou bloco
retangular, que é um prisma reto cujas bases e faces laterais são retângulos. E, ainda,
temos o cubo ou hexaedro regular, que é um prisma cujas faces são todas quadradas.
O Cubo é um caso particular do paralelepípedo reto retângulo, e este é um caso
particular do paralelepípedo.
Por fim, podemos então pensar na área da superfície de um prisma, e esta é obtida pela
soma das áreas das bases e das faces laterais do prisma em questão.
𝑆𝑡 → Superfície Total
𝑆𝑙 → Superfície Lateral
𝑆𝑏 → Superfície da Base
𝑆𝑡 = 𝑆𝑙 + 2𝑆𝑏
1. Considere um paralelepípedo reto retângulo que possui como altura 3 cm,
comprimento 5 cm e largura 4 cm. Qual será a área da superfície total desse
paralelepípedo?
(A) 12
(B) 15

20
(C) 20
(D) 47
(E) 94
2. Considere um prisma triangular regular, nele as medidas de suas arestas
possuem o mesmo valor, e sua área lateral mede 10 m². Sendo assim, a área total
do prisma é
(A) 10 (1 +
√3
6
) 𝑚²
(B) 10 (1 +
√3
8
) 𝑚²
(C) 10 (3 +
√3
6
) 𝑚²
(D) 7 (1 +
√3
6
) 𝑚²
(E) 10 (2 +
√3
6
) 𝑚²
3. Tem-se, em um prisma reto, uma base formada por um triângulo isósceles
conforme mostra a imagem a seguir:
Sabe-se que a altura do prisma é igual a 1/3 do perímetro da base. Qual será a
área total da superfície deste prisma?
(A) 6
(B) 12
(C) 18
(D) 108
(E) 132

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4. Seja um paralelepípedo reto retângulo com o comprimento medindo o dobro da
largura e a altura medindo 15 cm. Sabe-se que a área total da superfície desse
paralelepípedo mede 424cm². As medidas desconhecidas desse prisma medem
(A) 8 e 4
(B) 4 e 12
(C) 12 e 16
(D) 16 e 8
(E) 8 e 20
5. (FCMSC – SP) Dispondo de uma fita de cartolina medindo 50 cm de comprimento
por 30 cm de largura, pode-se construir uma caixa aberta cortando um quadrado
de 8cm de lado em cada canto da folha. Qual será o volume dessa caixa, em
centímetros cúbicos?
(A) 3 808 cm³
(B) 2 750 cm³
(C) 4 698 cm³
(D) 3 250 cm³
(E) 4 355 cm³

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Passados os trabalhos com a superfície de um prisma, vamos então avaliar o volume dos
prismas.
Para determinar o volume do paralelepípedo reto retângulo e do cubo iremos realizar o
produto da área da base pela altura do prisma.
𝑉 = 𝑆𝑏 ∙ ℎ
Mas, para realizar este cálculo para outros sólidos não é tão simples. E para sermos
capazes de fazer isso, utilizamos um princípio matemático que foi desenvolvido pelo
italiano Francesco Bonaventura Cavalieri (1598-1947), esse princípio carrega o nome de
seu desenvolvedor, Princípio de Cavalieri.
O princípio trata de uma forma de associar o volume de um prisma conhecido com o de
um prisma desconhecido, desde que esses estejam em um mesmo plano e que algumas
condições sejam satisfeitas:
• A área das bases dos dois prismas é congruente.
• As alturas dos dois prismas são congruentes.
• Se traçarmos um plano, paralelo ao plano da base, que corte os dois prismas na
mesma altura, resulta em figuras de áreas iguais.
Habilidade da BNCC
(GO-EMMAT504B) Compreender o princípio de Cavalieri verificando características e
medidas de altura e área (base e lateral) para investigar o processo de obtenção do
volume de prismas, pirâmides, cilindros e cones.

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Então com o uso do Princípio de Cavalieri podemos determinar o volume de quaisquer
prismas, associando estes a um conhecido.
Por exemplo, podemos associar o volume de um prisma de base pentagonal com um
paralelepípedo que possui mesma altura e uma base cuja área seja a mesma do
pentágono. Se passarmos um plano paralelo ao plano da base e secante aos prismas e,
como resultado, obtivermos figuras de mesma base então os volumes vão ser os
mesmos.
Figura 11: Princípio de Cavalieri - Mundo Educação
Assim iremos determinar o volume do prisma de base pentagonal como
𝑉 = 𝑆𝑏 ∙ ℎ
E isso irá ser válido para qualquer prisma, desde que possamos associar ele a um prisma
conhecido e que as condições do Princípio de Cavalieri sejam satisfeitas.

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1. Deseja-se construir tijolos de argila, cada tijolo possuirá as dimensões 18cm, 9
cm e 6 cm. Vão ser produzidos 5 mil tijolos, qual vai ser o volume de argila
necessário para produzir esses tijolos?
(A) 4,86 m³
(B) 5,33 m³
(C) 5,46 m³
(D) 6,03 m³
(E) 6,86 m³
2. As medidas das arestas de um paralelepípedo reto retângulo formam uma
progressão geométrica. Se a menor das arestas mede ½ cm e i volume de tal
paralelepípedo é 64cm³, calcule as medidas das outras arestas.
(A) 4cm e 32cm
(B) 8 cm e 16cm
(C) 16 cm e 24 cm
(D) 24 cm e 48 cm
(E) 24 cm e 32 cm
3. (UEPG – PR) As medidas internas de uma caixa d’agua em forma de
paralelepípedo retângulo são: 1,2m, 1m e 0,7m. Sua capacidade é de
(A) 8 400L
(B) 84L
(C) 840L
(D) 8,4L
(E) N.d.a.
4. Uma barra de ferro tem o formato de um prisma cuja base é um triangulo
equilátero com aresta medindo 4cm, e a altura do prisma mede 12cm. Qual o
volume desta barra de ferro? (Use √3 = 1,73)
(A) 73,04 cm³
(B) 83,04 cm³
(C) 86,04 cm³

25
(D) 96,04 cm³
(E) 105,04 cm³
5. Uma ponte é sustentada por uma coluna que possui o formato de um prisma
hexagonal regular de aresta de base medindo 2m e altura do prisma medindo
8m. Determine as medidas da área lateral do prisma e o volume desta coluna.
(A) 96 e 4√3
(B) 18 e 3√3
(C) 34 e 4√3
(D) 96 e 2√3
(E) 55 e 5√3

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Outro poliedro específico a qual podemos destinar nossos estudos são as Pirâmides.
Composta por uma base poligonal e um vértice a pirâmide é formada pelos segmentos
que conectam o vértice a um dos vértices do polígono da base. Ao observar a pirâmide
podemos determinas os seguintes componentes
Base: é o polígono convexo ABCDE contido no plano 𝛼.
Vértice da pirâmide: é o ponto V; os vértices da base são os pontos A B C D e E.
Faces laterais: são os triângulos VAB, VBC, ... VEA.
Habilidade da BNCC
(GO-EMMAT504C) Investigar processos de obtenção da medida do volume de
prismas, pirâmides, cilindros e cones, utilizando o princípio de Cavalieri para
determinar fórmulas do volume.

27
Aresta da base: são os lados do polígono da base AB, BC, ..., EA.
Aresta laterais: são os segmentos de reta VA, VB, ..., VE.
Altura: é a distância entre o ponto V e o plano da base, 𝛼.
A pirâmide pode ser classificada de acordo com o número de lados do polígono da base.
Quando o polígono da base é um triângulo, temos uma pirâmide triangular, quando é
um quadrado a pirâmide é quadrangular, um pentágono nos dá uma pirâmide
pentagonal e assim por diante.
Temos ainda um conjunto de informações que podem ser extraídas de uma pirâmide
regular. Uma pirâmide regular é uma pirâmide reta, ou seja, que a projeção do vértice é
ortogonal ao centro da base, que possui como base um polígono regular.
Observe a pirâmide regular a seguir:
Então, ao avaliarmos uma pirâmide regular temo os seguintes elementos geométricos:
Altura da pirâmide: a medida do segmento de reta VO que liga o vértice V ao plano da
base;
Faces laterais: são triângulos isósceles congruentes;

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Arestas laterais: são congruentes e sua medida é indicada por a;
Arestas da base: são congruentes e compõem o polígono que forma a base;
Apótema da base: é a apótema do polígono regular da base, ou seja, o segmento OM ;
Raio da base: é o raio da circunferência de centro O na qual o polígono da base está
inscrito;
Apótema da pirâmide: é a altura de cada face lateral (correspondente à altura VM
relativa à base do triângulo isósceles.);
Assim, derivado desses elementos geométricos somos capazes de, por meio do teorema
de Pitágoras aplicado a cada um dos triângulos apresentados na imagem, determinar as
seguintes relações:
• 𝑎2
= 𝑔2
+ (
𝑙
2
)
2
• 𝑔2
= ℎ2
+ 𝑚2
• 𝑎2
= ℎ2
+ 𝑟2
• 𝑟2
= 𝑚2
+ (
𝑙
2
)
2
1. Seja uma pirâmide quadrangular regular que possui altura igual a 4cm e aresta
da base igual a 12 cm. Determine:
A. A medida do apótema da base. 6 cm
B. A medida do apótema da pirâmide. 2√13 cm
C. A medida da aresta lateral.2√22 𝑐𝑚
D. A área total da superfície da pirâmide. 48(3 + √13) cm²
2. Seja uma pirâmide hexagonal regular que possui aresta da base medindo 8 cm e
altura medindo 6 cm. Determine:
A. A medida do apótema da base. 4√3 cm
B. A medida do apótema da pirâmide. 2√21 cm
C. A medida da aresta lateral. 10 cm

29
D. A área total da superfície da pirâmide. 48√3(2 + √7) 𝑐𝑚²
3. Considere uma pirâmide de base triangular em que todas as arestas possuem
medida igual a 15cm. Qual a área total da superfície desta pirâmide?
(A) 22√5
(B) 225√3
(C) 22√3
(D) 25√5
(E) 233√5
4. Qual a área lateral da superfície de uma pirâmide triangular regular cuja aresta
lateral mede 13 cm e o apótema da pirâmide mede 12 cm?
(A) 160 cm²
(B) 170 cm²
(C) 180 cm²
(D) 190 cm²
(E) 200 cm²
5. O perímetro da base de uma pirâmide regular quadrangular é igual a 40 cm.
Sabendo que a altura da pirâmide é 12 cm, qual a área lateral da superfície dessa
pirâmide?
(A) 230 cm²
(B) 240 cm²
(C) 250 cm²
(D) 260 cm²
(E) 270 cm²

30
Dando sequência aos nossos estudos sobre pirâmide, se faz necessário, agora, voltarmos
nossa atenção para o processo de cálculo do volume de pirâmides.
Para obter a fórmula para o volume da pirâmide é feito uma decomposição de um
prisma de base triangular em três pirâmides triangulares que são semelhantes entre si,
após essa associação, então, generaliza-se o conceito para enfim chegarmos ao fato de
que, o volume da pirâmide é dado por:
𝑉 =
1
3
𝑆𝑏 ∙ ℎ
Um terço da área da base vezes a altura da pirâmide.
Habilidade da BNCC
(GO-EMMAT504C) Investigar processos de obtenção da medida do volume de
prismas, pirâmides, cilindros e cones, utilizando o princípio de Cavalieri para
determinar fórmulas do volume.

31
1. A aresta da base de uma pirâmide hexagonal regular mede 2 cm. Sabe-se que a
área lateral da pirâmide é 30cm² o volume desta pirâmide é
(A) 2√3 cm³
(B) 2√6 cm³
(C) 22√2 cm³
(D) 22√3 cm³
(E) 22√66 cm³
2. Determine o volume de uma pirâmide cuja base é um quadrado com 3 cm de
aresta e altura desta pirâmide mede 10cm.
(A) 15 cm³
(B) 20 cm³
(C) 25 cm³
(D) 30 cm³
(E) 35 cm³

32
3. (FUC – MT - Adaptado) Determine o volume de uma pirâmide cuja planificação
é
(A)
16
3
(B)
18
3
(C)
20
3
(D)
22
3
(E)
25
3
4. (UFPE) uma pirâmide hexagonal regular tem a medida da área da base igual a
metade da área lateral. Se a altura da pirâmide mede 6cm, assinale o inteiro mais
próximo ao volume da pirâmide em cm³. Use a aproximação √3 ≅ 1,73
(A) 83
(B) 86
(C) 89
(D) 93
(E) 96

33
5. Um diamante a ser lapidado tem o formato de um octaedro regular de aresta
medindo 8mm, como mostra a figura a seguir. O volume total da pedra em seu
estado atual é de
(A)
52√2
3
mm³
(B)
51√2
3
mm³
(C)
512√2
3
mm³
(D)
512√3
3
mm³
(E)
512√2
2
mm³

34
Vamos agora começar nossas abordagens sobre outros sólidos geométricos. Diferente
dos anteriores, estes não entram na categoria de poliedro, estamos falando dos corpos
redondos, mais precisamente cilindro, cone e esferas.
São corpos redondos aqueles sólidos geométricos que possuem pelo menos uma
superfície arredondada. São tridimensionais, então ocupam espaço e, por tanto,
possuem volume.
Começaremos nossos estudos falando sobre o cilindro.
Segundo o portal Toda Matéria, cilindro é um “Solido geométrico alongado e
arredondado que possui o mesmo diâmetro ao longo de todo seu comprimento”.
Habilidade da BNCC
(GO-EMMAT504D) Determinar fórmulas da medida do volume de sólidos
geométricos, utilizando procedimentos matemáticos para resolver problemas que
envolvem prismas em situações reais.

35
Os elementos do cilindro são:
Bases: são os círculos de raio r e centro O;
Raio da Base: é o raio do círculo;
Altura: é a distância entre as bases;
Eixo: é a reta que contém os centros das bases;
Geratrizes: são os segmentos de reta paralelos ao eixo e cujas extremidades são pontos
das circunferências das bases.
Diremos que um cilindro é oblíquo ou reto a depender da inclinação da geratriz em
relação aos planos que contem a base. O cilindro será oblíquo quando as geratrizes são
oblíquas ao plano, de modo semelhante quando elas forem perpendiculares, retas, ao
plano.
Sobre os cilindros retos, podemos obtê-los por meio da rotação completa de um
retângulo de lados medindo r e g entorno do eixo, esse movimento dá ao cilindro reto
o nome de cilindro de revolução.
A área da superfície do cilindro será obtida por meio da superfície lateral e das duas
bases circulares.
𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒: 𝜋𝑟2
𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙: 2𝜋𝑟ℎ

36
Para obtenção da fórmula do volume do cilindro, iremos resgatar a ideia do Princípio de
Cavalieri. Associando o cilindro a um prisma de base com mesma área e altura, assim, a
o volume do cilindro será obtido por:
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒: 𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑎 𝐵𝑎𝑠𝑒 ∙ 𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎
𝑉 = 𝜋𝑟2
∙ ℎ
1. Um recipiente tem o formato de um cilindro reto de 12cm de altura e raio igual
a 5cm. Qual a área total da superfície desse recipiente? Use 𝜋 = 3,14
(A) 533,8 cm²
(B) 525,9 cm²
(C) 535,7 cm²
(D) 529,5 cm²
(E) 539,9cm²
2. Um retângulo de dimensões 4cm e 12 cm é rotacionado sobre o eixo de sua
aresta de menor lado. A área da superfície total do sólido gerado pela rotação é
de
(A) 84𝜋𝑐𝑚2
(B) 184𝜋𝑐𝑚2
(C) 294𝜋𝑐𝑚2
(D) 304𝜋𝑐𝑚2
(E) 384𝜋𝑐𝑚2
3. Considere um sólido composto por dois cilindros. O primeiro possui diâmetro de
40cm e altura de 9cm. O segundo possui diâmetro de 30cm e altura de 45 cm. O
Volume total deste sólido é
(A) 10 725𝜋 𝑐𝑚³
(B) 11 725𝜋 𝑐𝑚³

37
(C) 12 725𝜋 𝑐𝑚³
(D) 13 725𝜋 𝑐𝑚³
(E) 14 725𝜋 𝑐𝑚³
4. (UEG-GO) Em uma festa um garçom, para servir refrigerante, utilizou uma jarra
no formado de um cilindro circular reto. Durante o seu trabalho percebeu que a
jarra completamente cheia conseguia encher oito copos de 300ml cada.
Considerando-se que a altura da jarra é de 30cm, então a área interna da base
dessa jarra, em cm² é
(A) 10
(B) 20
(C) 30
(D) 60
(E) 80
5. Um líquido ocupa uma altura de 10cm em um determinado recipiente cilíndrico
e será transferido para um outro recipiente, também cilíndrico, com diâmetro
duas vezes maior do que o primeiro. Qual será a altura ocupada pelo líquido no
segundo recipiente?
(A) 2,5 cm
(B) 3,5 cm
(C) 5,0 cm
(D) 7,5 cm
(E) 10 cm

38
Outro corpo redondo a qual podemos destinar nossos estudos é o Cone.
O cone é a figura geométrica formada por todos os segmentos de reta formado por um
vértice fora do plano e pelos pontos contidos dentro de um círculo de raio r.
Assim como o Cilindro, o cone pode ser classificado em reto ou oblíquo.
Os elementos do cone são:
Base: é o círculo C de raio r e centro O;
Eixo: é a reta que liga o centro do círculo ao vértice;
Vértice: é o ponto V que compõem o cone;
Habilidade da BNCC

39
Raio da Base: é o raio do círculo;
Altura: é a distância do ponto V ao plano da base, sua medida é indicada por h;
Geratriz: é qualquer segmento de reta cujos extremos são o ponto V do vértice e um
ponto qualquer na circunferência da base.
O Cone, assim como o cilindro pode ser classificado em Oblíquo ou Reto, a depender o
ângulo da geratriz com o plano da base.
O cone reto também pode ser obtido pela rotação completa de um triângulo retângulo
em torno do eixo de um de seus catetos, portanto o cone reto pode ser chamado de
cone de revolução.
A área da superfície do cone pode ser obtida pela soma da área da base com a área
lateral.
𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒: 𝜋𝑟2
A área lateral é a área de um setor circular de raio g (geratriz do cone), assim:
𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙: 𝜋𝑟𝑔
O volume do cone será associado a uma pirâmide utilizando o Princípio de Cavalieri,
assim chegamos que:
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒:
1
3
𝜋𝑟2
∙ ℎ

40
1. Um recipiente tem o formato de um funil cone reto com 8cm de diâmetro e 12
cm de altura. Qual é o tamanho da área total da superfície desse recipiente? 𝜋 =
3,14 e √10 = 3,16
(A) 209 cm²
(B) 215 cm²
(C) 225 cm²
(D) 229 cm²
(E) 235 cm²
2. Em um cone reto tem-se que a área da base é 9𝜋 𝑐𝑚² e altura igual a 3√10
assim, qual o volume deste cone?
(A) 15𝜋 𝑐𝑚³
(B) 27𝜋 𝑐𝑚³
(C) 32𝜋 𝑐𝑚³
(D) 48𝜋 𝑐𝑚³
(E) 57𝜋 𝑐𝑚3
3. Considere um cone de revolução cuja altura mede 8cm e a o raio da base mede
6 cm. A área total da superfície do solido é
(A) 86𝜋 𝑐𝑚²
(B) 96𝜋 𝑐𝑚²
(C) 106𝜋 𝑐𝑚²
(D) 116𝜋 𝑐𝑚²
(E) 206𝜋 𝑐𝑚²
4. Considere um cone reto cuja altura mede 6 cm e a base tenha 16cm de diâmetro.
Qual a área total da superfície deste sólido?
(A) 144𝜋 𝑐𝑚²

41
(B) 156𝜋 𝑐𝑚²
(C) 196𝜋 𝑐𝑚²
(D) 216𝜋 𝑐𝑚²
(E) 234𝜋 𝑐𝑚²
5. (ITA-SP) As medidas, em metros, do raio da base, da altura e da geratriz de um
cone circular reto forma, nesta ordem, uma progressão aritmética de razão 2
metros. Calcule a área total deste cone em m²
(A) 86𝜋 𝑐𝑚2
(B) 96𝜋 𝑐𝑚2
(C) 106𝜋 𝑐𝑚2
(D) 116𝜋 𝑐𝑚2
(E) 206𝜋 𝑐𝑚²

42
O último sólido geométrico objeto de nossos estudos será nosso último corpo redondo,
a esfera.
Primeiro precisamos determinar o que é uma superfície esférica. Para tanto basta
pegarmos um ponto O no espaço e a esfera será o conjunto de todos os P do espaço que
estão a uma distância r do centro da esfera O.
A esfera nada mais é que o sólido limitado pela superfície esférica.
Figura 12: Elementos da Esfera - Educa Mais Brasil
Habilidade da BNCC

43
Os elementos da esfera são:
Eixo: é qualquer reta que contém o centro da esfera;
Polos: são os pontos de intersecção da superfície esférica com o eixo ;
Equador: é a circunferência de uma secção obtida por um plano perpendicular ao eixo
e que passa pelo centro da esfera;
Paralelo: é uma secção obtida por um plano perpendicular ao eixo. É, portanto, paralela
ao equador;
Meridiano: é a circunferência de uma secção obtida por um plano que contém o eixo.
Ao criarmos círculos que interceptam a esfera e passam pelo seu eixo temos o que são
chamados de círculos máximos. E quando tem o eixo fixado, o equador é um círculo
máximo particular e que divide a esfera em duas partes iguais que denominamos
hemisférios.
Similar aos seus companheiros corpos redondos que estudamos, a esfera pode ser
obtida por meio de um eixo de rotação, quando fazemos a rotação de um semicírculo
em torno de seu diâmetro.
Assim como obtivemos o cálculo do volume do cone e do cilindro por meio do princípio
de Cavalieri aqui faremos o mesmo. Agora associando a esfera a um cilindro.
ATENÇÃO: Neste ponto se faz importante a avaliação do professor
perante sua turma, se é viável e será um exercício de compreensão interessante para
seus estudantes demonstrar a obtenção da formula ou apenas simplificar o processo,
deixaremos essa decisão a critério do professor, pois este, melhor que ninguém,
conhece as capacidades da sua turma.
Por meio do processo de demonstração utilizando o princípio de Cavalieri é possível
chegarmos a seguinte fórmula do volume da esfera
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 =
4
3
𝜋𝑟3

44
1. Uma fazenda possui silos formados por um cilindro circular reto (com fundo) sob
uma semiesfera. Determine o volume de cada silo desta fazenda sabendo que o
raio do cilindro mede 2m e que a altura mede 8m.
(A)
88𝜋
3
𝑚³
(B)
98𝜋
3
𝑚³
(C)
108𝜋
3
𝑚³
(D)
118𝜋
3
𝑚³
(E)
128𝜋
3
𝑚³
2. Uma bacia tem o formato de uma semiesfera que tem 18cm de diâmetro. Qual
o volume que essa bacia comporta?
(A) 286𝜋 𝑐𝑚3
(B) 386𝜋 𝑐𝑚3
(C) 486𝜋 𝑐𝑚3
(D) 586𝜋 𝑐𝑚3
(E) 686𝜋 𝑐𝑚3
3. (UNIFESP – SP) Um recipiente contendo água tem a forma de um cilindro regular
reto de altura h=50cm e raio r=15cm. Qual deve ser o raio R de uma esfera de
ferro que, introduzida neste cilindro e totalmente submersa, faça transbordarem
exatamente 2 litros de água?
(A) 8,05 cm
(B) 8,95 cm
(C) 9,15 cm
(D) 9,35 cm
(E) 9,85 cm

45
4. Temos a seguinte situação, uma esfera está inscrita em um cilindro equilátero de
raio a. Qual a razão entre o volume V1 da esfera e o volume V2 do cilindro?
(A) ½
(B) 2/3
(C) 3/2
(D) 5/3
(E) 1/3
5. Um recipiente é composto por uma esfera com 18cm de diâmetro e um cilindro
com 6cm de diâmetro e 10cm de altura. Qual o volume deste recipiente em
mililitros? Use 𝜋 = 3,14
(A) 3 334,68mL
(B) 3 434,68mL
(C) 4 334,68mL
(D) 4 434,68mL
(E) 5 334,68mL
MOMENTO ENEM:
1. (Enem 2017) Para a Olimpíada de 2012, a piscina principal do Centro Aquático
de Londres, medindo 50 metros de comprimento, foi remodelada para ajudar os
atletas a melhorar suas marcas. Observe duas das melhorias:

46
A capacidade da piscina em destaque, em metro cúbico, é igual a
(A) 3750
(B) 1500
(C) 1250
(D) 375
(E) 150
2. (Enem 2016) Em regiões agrícolas, é comum a presença de silos para
armazenamento e secagem da produção de grãos, no formato de um cilindro
reto, sobreposto por um cone, e dimensões indicadas na figura. O silo fica cheio
e o transporte dos grãos é feito em caminhões de carga cuja capacidade é de 20
m³. Uma região possui um silo cheio e apenas um caminhão para transportar os
grãos para a usina de beneficiamento.

47
Utilize 3 como aproximação para π.
O número mínimo de viagens que o caminhão precisará fazer para transportar todo o
volume de grãos armazenados no silo é
(A) 6
(B) 16
(C) 17
(D) 18
(E) 21
3. (Enem 2016) Um petroleiro possui reservatório em formato de um
paralelepípedo retangular com as dimensões dadas por 60m x 10m de base e
10m de altura. Com o objetivo de minimizar o impacto ambiental de um eventual
vazamento, esse reservatório é subdividido em três compartimentos, A, B e C,
de mesmo volume, por duas placas de aço retangulares com dimensões de 7m
de altura e 10m de base, de modo que os compartimentos são interligados,
conforme a figura. Assim, caso haja rompimento no casco do reservatório,
apenas uma parte de sua carga vazará.

48
Suponha que ocorra um desastre quando o petroleiro se encontra com sua carga
máxima: ele sofre um acidente que ocasiona um furo no fundo do compartimento
C. Para fins de cálculo, considere desprezíveis as espessuras das placas divisórias.
Após o fim do vazamento, o volume de petróleo derramado terá sido de
(A) 1,4 ∙ 103
𝑚3
(B) 1,8 ∙ 103
𝑚3
(C) 2,0 ∙ 103
𝑚3
(D) 3,2 ∙ 103
𝑚3
(E) 6,0 ∙ 103
𝑚3
4. (Enem 2018) Uma fábrica comercializa chocolates em uma caixa de madeira,
como na figura. A caixa de madeira tem a forma de um paralelepípedo reto-

49
retângulo cujas dimensões externas, em centímetro, estão indicadas na figura.
Sabe-se também que a espessura da madeira, em todas as suas faces, é de 0,5
cm.
Qual é o volume de madeira utilizado, em centímetro cúbico, na construção de
uma caixa de madeira como a descrita para embalar os chocolates?
(A) 654
(B) 666
(C) 673
(D) 681
(E) 693
5. (Enem 2018) Um artesão possui potes cilíndricos de tinta cujas medidas externas
são 4 cm de diâmetro e 6 cm de altura. Ele pretende adquirir caixas
organizadoras para armazenar seus potes de tinta, empilhados verticalmente
com tampas voltadas para cima, de forma que as caixas possam ser fechadas. No
mercado, existem cinco opções de caixas organizadoras, com tampa, em formato
de paralelepípedo reto-retângulo, vendidas pelo mesmo preço, possuindo as
seguintes dimensões internas:
Qual desses modelos o artesão deve adquirir para conseguir armazenar o maior
número de potes por caixa?
(A) I
(B) II
(C) III
(D) IV
(E) V

50
6. (Enem 2012 – PPL) Um reservatório de uma cidade estava com 30 m³ de água no
momento em que iniciou um vazamento estimado em 30 litros por minuto.
Depois de 20 minutos, a partir do início do vazamento, uma equipe técnica
chegou ao local e gastou exatamente 2 horas para consertar o sistema e parar o
vazamento. O reservatório não foi reabastecido durante todo o período em que
esteve com o vazamento.
Qual foi o volume de água que sobrou no reservatório, em m³, no momento em
que parou o vazamento?
(A) 3,6
(B) 4,2
(C) 25,8
(D) 26,4
(E) 27,6
7. (Enem 2014) Uma pessoa comprou um aquário em forma de um paralelepípedo
retângulo reto, com 40 cm de comprimento, 15 cm de largura e 20 cm de altura.
Chegando em casa, colocou no aquário uma quantidade de água igual à metade
de sua capacidade. A seguir, para enfeitá-lo, irá colocar pedrinhas coloridas, de
volume igual a 50 cm³ cada, que ficarão totalmente submersas no aquário.
Após a colocação das pedrinhas, o nível da água deverá ficar a 6 cm do topo do
aquário.
O número de pedrinhas a serem colocadas deve ser igual a
(A) 48
(B) 72
(C) 84
(D) 120
(E) 168
8. (Enem 2009) Uma fábrica produz velas de parafina em forma de pirâmide
quadrangular regular com 19 cm de altura e 6 cm de aresta da base. Essas velas
são formadas por 4 blocos de mesma altura — 3 troncos de pirâmide de bases

51
paralelas e 1 pirâmide na parte superior —, espaçados de 1 cm entre eles, sendo
que a base superior de cada bloco é igual à base inferior do bloco sobreposto,
com uma haste de ferro passando pelo centro de cada bloco, unindo-os,
conforme a figura.
Se o dono da fábrica resolver diversificar o modelo, retirando a pirâmide da parte
superior, que tem 1,5 cm de aresta na base, mas mantendo o mesmo molde,
quanto ele passará a gastar com parafina para fabricar uma vela?
(A) 156 cm³
(B) 189 cm³
(C) 192 cm³
(D) 216 cm³
(E) 540 cm³
9. (Enem 2014 PPL) Uma fábrica de rapadura vende seus produtos empacotados
em uma caixa com as seguintes dimensões: 25 cm de comprimento, 10 cm de
altura e 15 cm de profundidade. O lote mínimo de rapaduras vendido pela
fábrica é um agrupamento de 125 caixas dispostas conforme a figura.

52
Qual é o volume do lote mínimo comercializado pela fábrica de rapaduras?
(A) 3750 cm³
(B) 18750 cm³
(C) 93750 cm³
(D) 468750 cm³
(E) 2343750 cm³
10. (Enem 2010) Em um casamento, os donos da festa serviam champanhe aos seus
convidados em taças com formato de um hemisfério (Figura 1), porém um
acidente na cozinha culminou na quebra de grande parte desses recipientes.
Para substituir as taças quebradas, utilizou-se um outro tipo com formato de
cone (Figura 2). No entanto, os noivos solicitaram que o volume de champanhe
nos dois tipos de taças fosse igual.

53
Sabendo que a taça com o formato de hemisfério é servida completamente
cheia, a altura do volume de champanhe que deve ser colocado na outra taça,
em centímetros, é de
(A) 1,33
(B) 6,00
(C) 12,00
(D) 56,52
(E) 113,04
11. (Enem 2010) Dona Maria, diarista na casa da família Teixeira, precisa fazer café
para servir as vinte pessoas que se encontram numa reunião na sala. Para fazer
o café, Dona Maria dispõe de uma leiteira cilíndrica e copinhos plásticos,
também cilíndricos.
Com o objetivo de não desperdiçar café, a diarista deseja colocar a quantidade
mínima de água na leiteira para encher os vinte copinhos pela metade.
Para que isso ocorra, Dona Maria deverá
(A) encher a leiteira até a metade, pois ela tem um volume 20 vezes maior que
o volume do copo.
(B) encher a leiteira toda de água, pois ela tem um volume 20 vezes maior que
o volume do copo.

54
(C) encher a leiteira toda de água, pois ela tem um volume 10 vezes maior que
o volume do copo.
(D) encher duas leiteiras de água, pois cada uma tem um volume 10 vezes maior
que o volume do copo.
(E) encher cinco leiteiras de água, pois cada uma tem um volume 10 vezes maior
que o volume do copo.
12. (Enem 2010) A siderúrgica “Metal Nobre” produz diversos objetos maciços
utilizando o ferro. Um tipo especial de peça feita nessa companhia tem o formato
de um paralelepípedo retangular, de acordo com as dimensões indicadas na
figura que segue.
O produto das três dimensões indicadas na peça resultaria na medida da
grandeza
(A) Massa
(B) Volume
(C) Superfície
(D) Capacidade
(E) Comprimento

55
Inserção Curricular/Recomposição
Resolver problemas que envolvam espaço e forma (perímetro e área de figuras planas,
ladrilhamento de planos, entre outros) empregando estratégias e recursos, observando
padrões com ou sem apoio de aplicativos de geometria dinâmica para conjecturar a
respeito dos tipos ou composição de polígonos que podem ser utilizados em
ladrilhamento, generalizando padrões observados etc.
Polígonos regulares e suas características: ângulos internos, ângulos externos etc.
Linguagem algébrica: fórmulas e generalizações.
Polígonos
Os polígonos são figuras planas e fechadas constituídas por segmentos de reta.
A palavra "polígono" advém do grego e constitui a união de dois termos "poly" e "gon"
que significa "muitos ângulos".
Os polígonos podem ser simples ou complexos. Os polígonos simples são aqueles
cujos segmentos consecutivos que o formam não são colineares, não se cruzam e se
tocam apenas nas extremidades.
Quando existe intersecção entre dois lados não consecutivos, o polígono é
chamado de complexo.

56
Polígono convexo e côncavo
A junção das retas que formam os lados de um polígono com o seu interior é
chamada de região poligonal. Essa região pode ser convexa ou côncava.
Os polígonos simples são chamados de convexos quando qualquer reta que une
dois pontos, pertencente a região poligonal, ficará totalmente inserida nesta região. Já
nos polígonos côncavos isso não acontece.
Polígonos regulares
Quando um polígono apresenta todos os lados congruentes entre si, ou seja,
possuem a mesma medida, ele é chamado de equilátero. Quando todos os ângulos têm
mesma medida, ele é chamado de equiângulo.
Os polígonos convexos são regulares quando apresentam os lados e os ângulos
congruentes, ou seja, são ao mesmo tempo equiláteros e equiângulos. Por exemplo, o
quadrado é um polígono regular.

57
Elementos do Polígono
i. Vértice: corresponde ao ponto de encontro dos segmentos que formam o
polígono.
ii. Lado: corresponde a cada segmentos de reta que une vértices consecutivos.
iii. Ângulos: os ângulos internos correspondem aos ângulos formados por dois lados
consecutivos. Por outro lado, os ângulos externos são os ângulos formados por
um lado e pelo prolongamento do lado sucessivo a ele.
iv. Diagonal: corresponde ao segmento de reta que liga dois vértices não
consecutivos, ou seja, um segmento de reta que passa pelo interior da figura.

58
Nomenclatura dos Polígonos
Dependendo do número de lados presentes, os polígonos são classificados em:
Número de lados Nomenclatura
3 Triângulo
4 Quadrilátero
5 Pentágono
6 Hexágono
7 Heptágono
8 Octógono
9 Eneágono
10 Decágono
11 Undecágono
12 Dodecágono
15 Pentadecágono
20 Icoságono
Soma dos ângulos de um polígono
A soma dos ângulos externos dos polígonos convexos é sempre igual a 360o.
Entretanto, para obter a soma dos ângulos internos de um polígono é necessário aplicar
a seguinte fórmula:
𝑆𝑖 = (𝑛 − 2) ∙ 180°
n: número de lados do polígono
Exemplo 01. Qual é o valor da soma dos ângulos internos de um decágono convexo?
Resolução:
O decágono convexo é um polígono que apresenta 10 lados, ou seja, n = 10.
Aplicando esse valor na fórmula, temos:
𝑆𝑖 = (𝑛 − 2) ∙ 180°

59
𝑆𝑖 = (10 − 2) ∙ 180°
𝑆𝑖 = 8 ∙ 180°
𝑆𝑖 = 1440°
Assim, a soma dos ângulos internos do decágono é igual a 1440°.
Número de diagonais
Para calcular o número de diagonais de um polígono, utiliza-se a seguinte fórmula:
𝑑 =
𝑛 ∙ (𝑛 − 3)
2
Exemplo 02. Quantas diagonais apresenta um octógono convexo?
Resolução: Considerando que o octógono possui 8 lados, aplicando a fórmula, temos:
𝑑 =
𝑛 ∙ (𝑛 − 3)
2
𝑑 =
8 ∙ (8 − 3)
2
𝑑 =
8 ∙ 5
2
𝑑 =
40
2
𝑑 = 20 𝑑𝑖𝑎𝑔𝑜𝑛𝑎𝑖𝑠
Portanto, um octógono convexo contém 20 diagonais.

60
1. Calcular a soma dos ângulos internos de um decágono.
Solução: 1140°
2. Qual o polígono, cuja soma dos ângulo internos vale 1800°.
Solução: Dodecágono
3. Calcular o número de diagonais de um Icoságono.
Solução: 170 diagonais
4. Determine o polígono convexo cuja soma dos ângulo internos é igual ao número
de diagonais multiplicado por 180.
Solução: Retângulo
5. Um polígono regular com exatamente 35 diagonais tem:
(A) 6 lados.
(B) 9 lados.
(C) 10 lados.
(D) 12 lados.
(E) 20 lados.
6. O polígono regular convexo em que o número de lados é igual ao número de
diagonais é o:
(A) dodecágono.
(B) decágono.
(C) heptágono.
(D) pentágono.
(E) hexágono.

61
MOMENTO ENEM
1- (ENEM MEC/2002) Na construção civil, é muito comum a utilização de ladrilhos
ou azulejos com a forma de polígonos para o revestimento de pisos ou paredes.
Entretanto, não são todas as combinações de polígonos que se prestam a
pavimentar uma superfície plana, sem que haja falhas ou superposições de
ladrilhos, como ilustram as figuras:
A tabela traz uma relação de alguns polígonos regulares, com as respectivas medidas de
seus ângulos internos.

62
Se um arquiteto deseja utilizar uma combinação de dois tipos diferentes de ladrilhos
entre os polígonos da tabela, sendo um deles octogonal, o outro tipo escolhido deverá
ter a forma de um
(A) triângulo.
(B) quadrado.
(C) pentágono.
(D) hexágono.
(E) eneágono.
Gabarito: B
Deduzir expressões de cálculo construindo modelos e resolvendo problemas em
diversos contextos da geometria plana, para aplicar tais deduções em situações reais
(como o remanejamento e a distribuição de plantações, entre outros), com ou sem
apoio de tecnologias digitais.
Áreas de figuras geométricas: cálculo por decomposição, composição ou aproximação;
Expressões algébricas.
Áreas
A área de uma figura plana é a medida da superfície da figura. Para calcular a área
de uma figura plana, utilizamos uma fórmula específica que depende do formato da
figura. As principais figuras planas são:
I. Triângulo é o polígono mais simples que conhecemos, pois é formado por
três lados e três ângulos:

63
𝐴 =
𝑏 ∙ ℎ
2
II. O quadrado é um quadrilátero, ou seja, polígono de quatro lados, que
possui todos os ângulos retos e todos os lados congruentes.
𝐴 = 𝐿2
III. Retângulo "Conhecemos como retângulo o quadrilátero que possui todos os
ângulos retos, ou seja, os quatro ângulos medem 90o.
O quadrado é um caso particular de retângulo, pois, além dos ângulos de 90o,
ele possui também os lados congruentes. Para ser retângulo, basta ser um
quadrilátero que possui todos os ângulos retos.
𝐴 = 𝑏 ∙ ℎ

64
IV. O trapézio é um outro caso particular de quadrilátero. Para ser considerado
um trapézio, o quadrilátero precisa ter dois lados paralelos e dois lados não
paralelos."
𝐴 =
(𝐵 + 𝑏) ∙ ℎ
2
V. O círculo, diferentemente de todas as figuras apresentadas anteriormente,
não é um polígono, por não possuir lados. O círculo é a figura plana formada
por todos os pontos que estão equidistantes do centro.
𝐴 = 𝜋 ∙ 𝑟2
𝜋 ≅ 3,14
1. Um triângulo equilátero possui lados com medidas iguais a 12 cm. Calcule a área
deste triângulo.
Gabarito: 12√27

65
2. Um triângulo isóscele com dois lados medindo 8 cm e base medindo 10 cm. Calcule a
área deste triângulo.
Gabarito: 5√39
3. Sabendo que um triângulo escaleno possui lados com medidas iguais a = 5 cm e b = 8
cm, e um ângulo entre esses lados de 30°. Calcule a área deste triângulo.
Gabarito: 10√3
4. Uma fazenda possui formato retangular. Durante a compra, um agricultor viu que,
pela legislação vigente, ele não poderá desmatar metade desse terreno, sendo assim,
ele o dividiu diagonalmente conforme a imagem a seguir:
A área que deve ser mantida preservada é de:
(A) 100 m²
(B) 350 m²
(C) 200 m²
(D) 900 m²
(E) 450 m²
5. Qual é a área de um triângulo isósceles cuja altura relativa à base é igual a 12 cm e
cujos lados congruentes medem 15 centímetros?
(A) 108 cm2
(B) 9 cm2
(C) 18 cm2
(D) 24 cm2

66
(E) 32 cm
6. Um terreno com formato de triângulo equilátero será concretado. Sabendo que esse
terreno possui perímetro de 450 metros, calcule quantos metros quadrados de concreto
serão gastos nessa obra.
Gabarito: 5625√3
7. O triângulo a seguir representa um terreno que será impermeabilizado para receber
futuras obras. O metro quadrado do material impermeabilizante custa R$ 9,23. Calcule
o valor que será gasto nesse procedimento.
(A) R$ 1200,00
(B) R$ 1384,50
(C) R$ 1390,50
(D) R$ 1400,00
(E) R$ 1421,50
8. Qual é a medida da base de um triângulo cuja área é 240 m2 e cuja altura mede 120
m?
Gabarito: 4
9. A figura abaixo ilustra um terreno em forma de trapézio, com as medidas, em
quilômetros (km), de três de seus lados.
A área do terreno, em km2, é igual a:

67
(A) 215
(B) 210
(C) 200
(D) 220
(E) 205
9. Observe a figura a seguir
Sua área é igual à:
(A) 30 m2
(B) 28 m2
(C) 22,5 m2
(D) 26,5 m2
(E) 24,5 m2
Deduzir expressões de cálculo construindo modelos e resolvendo problemas em
diversos contextos da geometria plana, para aplicar tais deduções em situações reais
(como o remanejamento e a distribuição de plantações, entre outros), com ou sem
apoio de tecnologias digitais.
Áreas de figuras geométricas: cálculo por decomposição, composição ou aproximação;
Expressões algébricas.

68
MOMENTO ENEM
1. (ENEM MEC/2021) O dono de uma loja pretende usar cartões imantados para a
divulgação de sua loja. A empresa que fornecerá o serviço lhe informa que o custo de
fabricação do cartão é de R$ 0,01 por centímetro quadrado e que disponibiliza modelos
tendo como faces úteis para impressão:
• um triângulo equilátero de lado 12 cm;
• um quadrado de lado 8 cm;
• um retângulo de lados 11 cm e 8 cm;
• um hexágono regular de lado 6 cm;
• um círculo de diâmetro 10 cm.
O dono da loja está disposto a pagar, no máximo, R$ 0,80 por cartão. Ele escolherá,
dentro desse limite de preço, o modelo que tiver maior área de impressão.
Use 3 como aproximação para  e use, use 1,7 como aproximação para 3 .
Nessas condições, o modelo que deverá ser escolhido tem como face útil para impressão
um
(A) triângulo.
(B) quadrado.
(C) retângulo.
(D) hexágono.
(E) círculo.
Gabarito: E
2. (ENEM MEC/2021) Um suporte será instalado no box de um banheiro para serem
colocados recipientes de xampu, condicionador e sabonete líquido, sendo que o
recipiente de cada produto tem a forma de um cilindro circular reto de medida do raio

69
igual a 3 cm. Para maior conforto no interior do box, a proprietária do apartamento
decidiu comprar o suporte que tiver a base de menor área, desde que a base de cada
recipiente ficasse inteiramente sobre o suporte. Nas figuras, vemos as bases desses
suportes, nas quais todas as medidas indicadas estão em centímetro.
Utilize 3,14 como aproximação para  .
Para atender à sua decisão, qual tipo de suporte a proprietária comprou?

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(A) I
(B) II
(C) III
(D) IV
(E) V
Gabarito: E
3. (ENEM MEC/2020) O proprietário de um apartamento decidiu instalar porcelanato
no piso da sala. Essa sala tem formato retangular com 3,2 m de largura e 3,6 m de
comprimento. As peças do porcelanato têm formato de um quadrado com lado
medindo 80 cm. Esse porcelanato é vendido em dois tipos de caixas, com os preços
indicados a seguir.
Caixas do tipo A: 4 unidades de piso, R$ 35,00;
• Caixas do tipo B: 3 unidades de piso, R$ 27,00.
Na instalação do porcelanato, as peças podem ser recortadas e devem ser assentadas
sem espaçamento entre elas, aproveitando-se ao máximo os recortes feitos.
A compra que atende às necessidades do proprietário, proporciona a menor sobra de
pisos e resulta no menor preço é
(A) 5 caixas do tipo A.
(B) 1 caixa do tipo A e 4 caixas do tipo B.
(C) 3 caixas do tipo A e 2 caixas do tipo B.
(D) 5 caixas do tipo A e 1 caixa do tipo B.
(E) 6 caixas do tipo B.
Gabarito: C
•

71
4. (ENEM MEC/2020) Pretende-se comprar uma mesa capaz de acomodar 6 pessoas,
de modo que, assentadas em torno da mesa, cada pessoa disponha de, pelo menos, 60
cm de espaço livre na borda do tampo da mesa, que deverá ter a menor área possível.
Na loja visitada há mesas com tampos nas formas e dimensões especificadas:
• Mesa I: hexágono regular, com lados medindo 60 cm;
• Mesa II: retângulo, com lados medindo 130 cm e 60 cm;
• Mesa III: retângulo, com lados medindo 120 cm e 60 cm;
• Mesa IV: quadrado, com lados medindo 60 cm;
• Mesa V: triângulo equilátero, com lados medindo 120 cm.
A mesa que atende aos critérios especificados é a
(A) I.
(B) II.
(C) III.
(D) IV.
(E) V.
Gabarito: E
Questão-05 - (ENEM MEC/2017) Um fabricante recomenda que, para cada m2 do
ambiente a ser climatizado, são necessários 800 BTUh, desde que haja até duas pessoas
no ambiente. A esse número devem ser acrescentados 600 BTUh para cada pessoa a
mais, e também para cada aparelho eletrônico emissor de calor no ambiente. A seguir
encontram-se as cinco opções de aparelhos desse fabricante e suas respectivas
capacidades térmicas:
Tipo I: 10 500 BTUh
Tipo II: 11 000 BTUh
Tipo III: 11 500 BTUh
Tipo IV: 12 000 BTUh

72
Tipo V: 12 500 BTUh
O supervisor de um laboratório precisa comprar um aparelho para climatizar o
ambiente. Nele ficarão duas pessoas mais uma centrífuga que emite calor. O laboratório
tem forma de trapézio retângulo, com as medidas apresentadas na figura.
Para economizar energia, o supervisor deverá escolher o aparelho de menor capacidade
térmica que atenda às necessidades do laboratório e às recomendações do fabricante.
A escolha do supervisor recairá sobre o aparelho do tipo
(A) I.
(B) II.
(C) III.
(D) IV.
(E) V.
Gabarito: C
6. (ENEM MEC/2017) A figura traz o esboço da planta baixa de uma residência. Algumas
medidas internas dos cômodos estão indicadas. A espessura de cada parede externa da
casa é 0,20 m e das paredes internas, 0,10 m.

73
Sabe-se que, na localidade onde se encontra esse imóvel, o Imposto Predial Territorial
Urbano (IPTU) é calculado conforme a área construída da residência. Nesse cálculo, são
cobrados R$ 4,00 por cada metro quadrado de área construída.
O valor do IPTU desse imóvel, em real, é
(A) 250,00.
(B) 250,80.
(C) 258,64.
(D) 276,48.
(E) 286,00.
Gabarito: E
Questão-07 - (ENEM MEC/2013) O proprietário de um terreno retangular medindo 10
m por 31,5 m deseja instalar lâmpadas nos pontos C e D, conforme ilustrado na figura:
Cada lâmpada ilumina uma região circular de 5 m de raio. Os segmentos AC e BD medem
2,5 m. O valor em m2 mais aproximado da área do terreno iluminada pelas lâmpadas é

74
(Aproxime 3 para 1,7 e  para 3.)
(A) 30.
(B) 34.
(C) 50.
(D) 61.
(E) 69.
Gab: D
8. (ENEM MEC/2012) Para decorar a fachada de um edifício, um arquiteto projetou a
colocação de vitrais compostos de quadrados de lado medindo 1 m, conforme a figura
a seguir.
Nesta figura, os pontos A, B, C e D são pontos médios dos lados do quadrado e os
segmentos AP e QC medem 1/4 da medida do lado do quadrado. Para confeccionar um
vitral, são usados dois tipos de materiais: um para a parte sombreada da figura, que
custa R$ 30,00 o m2, e outro para a parte mais clara (regiões ABPDA e BCDQB), que custa
R$ 50,00 o m2.
De acordo com esses dados, qual e o custo dos materiais usados na fabricação de um
vitral?
(A) R$ 22,50
(B) R$ 35,00
(C) R$ 40,00
(D) R$ 42,50
(E) R$ 45,00

75
Gabarito: B
9. (ENEM MEC/2012) Uma pizzaria oferece, no cardápio, duas opções de tamanhos e
preços:
Pizza média (6 fatias): R$ 24,00
Pizza grande (8 fatias): R$ 32,00
Um grupo de jovens estava prestes a decidir o tipo de pizza com melhor custo-
benefício, quando um dos amigos questionou ao garçom a respeito do diâmetro de cada
uma das pizzas. A informação obtida foi de que os diâmetros das pizzas média e grande
eram, respectivamente, 30 cm e 40 cm. Considerando que os dois tamanhos e preços
das pizzas atendem o grupo e que não haverá desperdício, iniciou-se um debate entre
eles:
• Alan: A pizza grande tem melhor custo-benefício, pois a área de sua fatia é superior à
área da fatia da pizza média.
• Breno: A pizza média tem melhor custo-benefício, pois, como é dividida em menos
fatias, cada fatia tem uma maior quantidade de pizza.
• Cleber: As duas apresentam a mesma relação custo-benefício, já que cada fatia custa
R$ 4,00, independentemente da escolha do tamanho.
• Davidson: Como a razão entre os diâmetros e os preços das pizzas é a mesma,
nenhuma das pizzas tem melhor custo-benefício que a outra.
• Eric: A pizza grande possui melhor relação custo benefício, pois, independentemente
do diâmetro, ela é dividida em um número maior de fatias.
Qual jovem apresentou o melhor argumento para a escolha da pizza?
(A) Alan.
(B) Breno.
(C) Cleber.
(D) Davidson.
(E) Eric.
Gabarito: D

76
10. (ENEM MEC/2011) Em uma cidade, a cada inauguração de prédios, a orientação da
prefeitura, por meio de uma lei de incentivo à cultura, é a construção de uma obra de
arte na entrada ou no hall desse prédio. Em contrapartida, a prefeitura oferece
abatimento em impostos. No edifício das Acácias, o artista contratado resolveu fazer um
quadro composto de 12 mosaicos, de dimensões de 12 cm por 6 cm cada um, conforme
a figura.
A área da figura sombreada do quadro é de
(A) 36 cm2.
(B) 72 cm2.
(C) 144 cm2.
(D) 288 cm2.
(E) 432 cm2.
Gabarito: C

77
Reconhecer os diferentes tipos de sólidos geométricos e suas particularidades,
ilustrando com objetos do cotidiano e/ou por aplicativos para dedução do princípio de
Cavalieri para aplicá-las em situações reais.
MOMENTO ENEM:
1. (ENEM MEC/2021) Muitos brinquedos que frequentemente são encontrados em
praças e parques públicos apresentam formatos de figuras geométricas bidimensionais
e tridimensionais. Uma empresa foi contratada para desenvolver uma nova forma de
brinquedo. A proposta apresentada pela empresa foi de uma estrutura formada apenas
por hastes metálicas, conectadas umas às outras, como apresentado na figura. As hastes
de mesma tonalidade e espessura são congruentes.
Nivelamento e Ampliação

78
Com base na proposta apresentada, quantas figuras geométricas planas de cada tipo
são formadas pela união das hastes?
(A) 12 trapézios isósceles e 12 quadrados.
(B) 24 trapézios isósceles e 12 quadrados.
(C) 12 paralelogramos e 12 quadrados.
(D) 8 trapézios isósceles e 12 quadrados.
(E) 12 trapézios escalenos e 12 retângulos.
Gabarito: A
2. (ENEM MEC/2021) Num octaedro regular, duas faces são consideradas opostas
quando não têm nem arestas, nem vértices em comum. Na figura, observa-se um
octaedro regular e uma de suas planificações, na qual há uma face colorida na cor cinza
escuro e outras quatro faces numeradas.

79
Qual(is) face(s) ficará(ão) oposta(s) à face de cor cinza escuro, quando o octaedro for
reconstruído a partir da planificação dada?
(A) 1, 2, 3 E 4
(B) 1 E 3
(C) 1
(D) 2
(E) 4
Gabarito: E
3. (ENEM MEC/2021) O Atomium, representado na imagem, é um dos principais pontos
turísticos de Bruxelas. Ele foi construído em 1958 para a primeira grande exposição
mundial depois da Segunda Guerra Mundial, a Feira Mundial de Bruxelas.
Trata-se de uma estrutura metálica construída no formato de um cubo. Essa
estrutura está apoiada por um dos vértices sobre uma base paralela ao plano do solo, e
a diagonal do cubo, contendo esse vértice, é ortogonal ao plano da base. Centradas nos
vértices desse cubo, foram construídas oito esferas metálicas, e uma outra esfera foi
construída centrada no ponto de interseção das diagonais do cubo. As oito esferas sobre
os vértices são interligadas segundo suas arestas, e a esfera central se conecta a elas
pelas diagonais do cubo.
Todas essas interligações são feitas por tubos cilíndricos que possuem escadas em
seu interior, permitindo o deslocamento de pessoas pela parte interna da estrutura. Na
diagonal ortogonal à base, o deslocamento é feito por uni elevador, que permite o
deslocamento entre as esferas da base e a esfera do ponto mais alto, passando pela
esfera central.
Considere um visitante que se deslocou pelo interior do Atomium sempre em linha
reta e seguindo o menor trajeto entre dois vértices, passando por todas as arestas e
todas as diagonais do cubo.

80
Disponível em: http://trupedatrip.com. Acesso em: 25 out. 2019.
A projeção ortogonal sobre o plano do solo do trajeto percorrido por esse visitante é
representado por
(A)
(B)
(C)
(D)

81
(E)
Gabarito: E
4. (ENEM MEC/2021) Um inseto percorreu sobre a superfície de um objeto, em formato
de um prisma reto ABCDEFGH, com base retangular, uma trajetória poligonal, com
vértices nos pontos: A - X - Y - G - F - E - X - G - E, na ordem em que foram apresentados.
É necessário representar a projeção ortogonal do trajeto percorrido pelo inseto sobre
o plano determinado pela base do prisma.
A representação da projeção ortogonal do trajeto percorrido pelo inseto é
(A)
(B)

82
(C)
(D)
(E)
Gabarito: D
5. (ENEM MEC/2020) Em um jogo desenvolvido para uso no computador, objetos
tridimensionais vão descendo do alto da tela até alcançarem o plano da base. O usuário
pode mover ou girar cada objeto durante sua descida para posicioná-lo
convenientemente no plano horizontal. Um desses objetos é formado pela justaposição
de quatro cubos idênticos, formando assim um sólido rígido, como ilustrado na figura.
Para facilitar a movimentação do objeto pelo usuário, o programa projeta
ortogonalmente esse sólido em três planos quadriculados perpendiculares entre si,
durante sua descida.
A figura que apresenta uma possível posição desse sólido, com suas respectivas
projeções ortogonais sobre os três planos citados, durante sua descida é

83
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
Gabarito: E

84
6. (ENEM MEC/2020) A Figura 1 apresenta uma casa e a planta do seu telhado, em que
as setas indicam o sentido do escoamento da água de chuva. Um pedreiro precisa fazer
a planta do escoamento da água de chuva de um telhado que tem três caídas de água,
como apresentado na Figura 2.
A figura que representa a planta do telhado da Figura 2 com o escoamento da água de
chuva que o pedreiro precisa fazer é
(A)
(B)
(C)
(D)

85
(E)
Gabarito: B
7. (ENEM MEC/2020) No desenho técnico, é comum representar um sólido por meio
de três vistas (frontal, perfil e superior), resultado da projeção do sólido em três planos,
perpendiculares dois a dois.
A figura representa as vistas de uma torre.
Disponível em: www.uems.br. Acesso em: 11 dez. 2012 (adaptado).
Com base nas vistas fornecidas, qual figura melhor representa essa torre?
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)

86
Gabarito: E
8. (ENEM MEC/2017) Uma lagartixa está no interior de um quarto e começa a se
deslocar. Esse quarto, apresentando o formato de um paralelepípedo retangular, é
representado pela figura.
A lagartixa parte do ponto B e vai até o ponto A. A seguir, de A ela se desloca, pela
parede, até o ponto M, que é o ponto médio do segmento EF. Finalmente, pelo teto, ela
vai do ponto M até o ponto H. Considere que todos esses deslocamentos foram feitos
pelo caminho de menor distância entre os respectivos pontos envolvidos.
A projeção ortogonal desses deslocamentos no plano que contém o chão do quarto é
dada por:
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)

87
Gabarito: B
9. (ENEM MEC/2017) Para divulgar sua marca, uma empresa produziu um porta-canetas
de brinde, na forma do sólido composto por um cilindro e um tronco de cone, como na
figura.
Para recobrir toda a superfície lateral do brinde, essa empresa encomendará um
adesivo na forma planificada dessa superfície.
Que formato terá esse adesivo?
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
Gabarito: B

88
10. (ENEM MEC/2016) Um grupo de escoteiros mirins, numa atividade no parque da
cidade onde moram, montou uma barraca conforme a foto da Figura 1. A Figura 2
mostra o esquema da estrutura dessa barraca, em forma de um prisma reto, em que
foram usadas hastes metálicas.
Após a armação das hastes, um dos escoteiros observou um inseto deslocar-se sobre
elas, partindo do vértice A em direção ao vértice B, deste em direção ao vértice E e,
finalmente, fez o trajeto do vértice E ao C. Considere que todos esses deslocamentos
foram feitos pelo caminho de menor distância entre os pontos.
A projeção do deslocamento do inseto no plano que contém a base ABCD é dada por
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
Gabarito: E
11. (ENEM MEC/2015) Uma empresa que embala seus produtos em caixas de papelão,
na forma de hexaedro regular, deseja que seu logotipo seja impresso nas faces opostas
pintadas de cinza, conforme a figura:

89
A gráfica que fará as impressões dos logotipos apresentou as seguintes sugestões
planificadas:
Que opção sugerida pela gráfica atende ao desejo da empresa?
(A) I
(B) II
(C) III
(D) IV
(E) V
Gabarito: C

90
12. (ENEM MEC/2014) Um sinalizador de trânsito tem o formato de um cone circular
reto. O sinalizador precisa ser revestido externamente com adesivo fluorescente, desde
sua base (base do cone) até a metade de sua altura, para sinalização noturna. O
responsável pela colocação do adesivo precisa fazer o corte do material de maneira que
a forma do adesivo corresponda exatamente à parte da superfície lateral a ser revestida.
Qual deverá ser a forma do adesivo?
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
Gabarito: E
13. (ENEM MEC/2014) A figura é uma representação tridimensional da molécula do
hexafluoreto de enxofre, que tem a forma bipiramidal quadrada, na qual o átomo
central de enxofre está cercado por seis átomos de flúor, situados nos seis vértices de
um octaedro. O ângulo entre qualquer par de ligações enxofre-flúor adjacentes mede
90º.

91
A vista superior da molécula, como representada na figura, é:
(A)
(B)
(C)
(D)

92
(E)
Gabarito: B
14. (ENEM MEC/2012) Maria quer inovar em sua loja de embalagens e decidiu vender
caixas com diferentes formatos. Nas imagens apresentadas estão as planificações dessas
caixas.
Quais serão os sólidos geométricos que Maria obterá a partir dessas planificações?
(A) Cilindro, prisma de base pentagonal e pirâmide.
(B) Cone, prisma de base pentagonal e pirâmide.
(C) Cone, tronco de pirâmide e prisma.
(D) Cilindro, tronco de pirâmide e prisma.
(E) Cilindro, prisma e tronco de cone.
Gabarito: A
15. (ENEM MEC/2011) A figura seguinte mostra um modelo de sombrinha muito usado
em países orientais.

93
Disponível em: http://mdmat.psico.ufrgs.br. Acesso em: 1 maio 2010.
Esta figura é uma representação de uma superfície de revolução chamada de
(A) pirâmide.
(B) semiesfera.
(C) cilindro.
(D) tronco de cone.
(E) cone.
Gabarito: E
16. (ENEM MEC/2010) Alguns testes de preferência por bebedouros de água foram
realizados com bovinos, envolvendo três tipos de bebedouros, de formatos e tamanhos
diferentes. Os bebedouros 1 e 2 têm a forma de um tronco de cone circular reto, de
altura igual a 60 cm, e diâmetro da base superior igual a 120 cm e 60 cm,
respectivamente. O bebedouro 3 é um semicilindro, com 30 cm de altura, 100 cm de
comprimento e 60 cm de largura. Os três recipientes estão ilustrados na figura.
A escolha do bebedouro. In: Biotemas. V.22, nº. 4, 2009 (adaptado).

94
Considerando que nenhum dos recipientes tenha tampa, qual das figuras a seguir
representa uma planificação para o bebedouro 3?
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
Gabarito: E

95
Habilidade da BNCC
(GO-EMMAT504D) Determinar fórmulas da medida do volume de sólidos geométricos,
utilizando procedimentos matemáticos para resolver problemas que envolvem prismas
em situações reais.
SUGESTÃO DE ATIVIDADES
1. (Encceja/2017) A Figura 1 representa um molde da planificação de um sólido
geométrico. As faces desse sólido são figuras geométricas planas. Após montado, o
sólido terá o formato de uma caixa, indicada na Figura 2.
Qual o número de arestas dessa caixa?
(A) 10.

96
(B) 15.
(C) 17.
(D) 18.
(E) 20.
Gabarito: B
2. (Encceja/2017) Uma fábrica de parafusos tem uma preocupação especial com as
arestas de seus produtos, pois podem causar acidentes quando não lixadas
corretamente. Os funcionários precisam lixar manualmente todas as arestas dos
parafusos produzidos. A figura representa um tipo desses parafusos produzidos,
conhecido como sextavado, que possui a cabeça na forma de um prisma regular
hexagonal.
O número de arestas na cabeça de um parafuso sextavado que devem ser lixadas é
(A) 6.
(B) 12.
(C) 18.
(D) 24.
(E) 25.
Gabarito: C
3. (UFPR/2016)

97
Um prisma possui 17 faces, incluindo as faces laterais e as bases inferior e superior.
Uma pirâmide cuja base é idêntica à base do prisma, possui quantas arestas?
(A) 26.
(B) 28.
(C) 30.
(D) 32.
(E) 34.
Gabarito: C
4. (UERJ/2016) Dois dados, com doze faces pentagonais cada um, têm a forma de
dodecaedros regulares. Se os dodecaedros estão justapostos por uma de suas faces, que
coincidem perfeitamente, formam um poliedro côncavo, conforme ilustra a figura.
Considere o número de vértices V, de faces F e de arestas A desse poliedro côncavo.
A soma V + F + A é igual a:
(A) 102
(B) 106
(C) 110
(D) 112
(E) 120.
Gabarito: D

98
5. (UECE/2016) Se a soma dos ângulos de todas as faces de uma pirâmide (incluindo a
base) é 3600 graus, então, a base da pirâmide é um polígono com
(A) 9 lados.
(B) 10 lados.
(C) 11 lados.
(D) 12 lados.
(E) 15 lados
Gabarito: C
6. (UECE/2016) Um poliedro convexo com 32 vértices possui apenas faces triangulares.
O número de arestas deste poliedro é
(A) 100.
(B) 120.
(C) 90.
(D) 80.
(E) 60.
Gabarito: C
7. (UNITAU SP/2015) Sabendo-se que uma reta corta perpendicularmente uma das
faces de um diedro, formando um ângulo de 45º com o seu bissetor, é CORRETO afirmar
que a medida desse diedro é
(A) 40º
(B) 45º
(C) 50º
(D) 75º
(E) 90º

99
Gabarito: E
8. (UECE/2014) Um poliedro convexo tem 32 faces, sendo 20 hexágonos e 12
pentágonos. O número de vértices deste polígono é
(A) 90.
(B) 72.
(C) 60.
(D) 56.
(E) 60
Gabarito: C
9. (UEFS BA/2014)
Um tipo de bola de futebol é inspirado no icosaedro truncado, que é um poliedro
convexo formado por 12 faces pentagonais e 20 faces hexagonais.
O número de vértices desse poliedro é
(A) 40
(B) 48
(C) 60
(D) 64
(E) 76
Gabarito: C

100
10. (UECE/2012)
Se um poliedro convexo tem exatamente 20 faces e todas são triangulares, então o
número de vértices deste poliedro é
(A) 16.
(B) 14.
(C) 12.
(D) 10.
(E) 8.
Gabarito: C
MOMENTO ENEM:
(ENEM MEC/2017) O hábito cristalino é um termo utilizado por mineralogistas para
descrever a aparência típica de um cristal em termos de tamanho e forma. A granada é
um mineral cujo hábito cristalino é um poliedro com 30 arestas e 20 vértices. Um
mineralogista construiu um modelo ilustrativo de um cristal de granada pela junção dos
polígonos correspondentes às faces.
Supondo que o poliedro ilustrativo de um cristal de granada é convexo, então a
quantidade de faces utilizadas na montagem do modelo ilustrativo desse cristal é igual
a
(A) 10.
(B) 12.
(C) 25.

101
(D) 42.
(E) 50.
Gabarito: B

102
Habilidade da BNCC
(EM13MAT509) Investigar a deformação de ângulos e áreas provocada pelas diferentes
projeções usadas em cartografia (como a cilíndrica e a cônica), com ou sem suporte de
tecnologia digital.
(GO-EMMAT509A) Identificar nas projeções refletidas no ambiente as formas
geométricas reconhecendo seus respectivos elementos (vértices, lados, ângulos
internos, externos e diagonais) para a leitura e a representação da realidade e agir sobre
ela.
Transformações geométricas (isometrias e homotéticas).
Imersão Curricular
Arte e Matemática
Podemos estabelecer uma conexão com algumas áreas da Matemática e com
outros campos do conhecimento, especialmente com a arte, por meio da exploração
das formas e características de objetos, obras artísticas, pinturas, desenhos, mapas,
formas encontradas na natureza, entre outras criações humanas ou naturais.

103
O Limite do Círculo 1
Escher 1958
Para essa relação iremos utilizar as transformações geométricas. Uma
transformação geométrica é uma aplicação bijetiva entre duas figuras geométricas, no
mesmo plano ou em planos diferentes, de modo que, a partir de uma figura geométrica
original se forma outra geometricamente igual (isométricas) ou semelhante à primeira
(homotéticas).
Uma Isometria é uma transformação geométrica que preserva distância entre
pontos e amplitude dos ângulos, isto é, a figura inicial e o seu transformado são
congruentes.
Tipos de isometria
Reflexão
No plano, uma reflexão, de eixo r é uma transformação geométrica que a cada
ponto P faz corresponder um ponto P’, tal que:
I. PP’ é perpendicular ao eixo;
II. As distancias de P e de P ́ao eixo são iguais.
Propriedades:

104
1. Uma figura e a sua imagem por reflexão sobre um eixo de reflexão são
congruentes;
2. Se dobrarmos a folha pelo eixo de reflexão r, a figura original e a sua imagem
sobrepõem-se ponto por ponto;
3. A reflexão muda o sentido dos ângulos, mas mantem a sua amplitude.
Fonte: Elaborado para fins didáticos.
Rotação
No plano uma rotação de uma forma ao redor de um ponto, centro da rotação,
e amplitude 𝜃 é uma transformação geométrica tal que a distância ao centro de rotação
de cada ponto P se mantem constante.

105
Translação.
A translação é o termo usado para "mover" formas, sendo necessárias duas
especificações
I. Direção (que pode ser medida em graus)
II. Magnitude (que pode ser medida em alguma unidade de comprimento).
A figura acima foi transladada 30° a nordeste e no comprimento do vetor v.
Homotetia
Homotetia é transformação que multiplica por um fator constante a distância de
um ponto qualquer do espaço a um ponto fixo, deslocando-o sobre a reta definida por
estes dois pontos

106
SUGESTÃO DE ATIVIDADES
01. Faça uma reflexão do triângulo ABC em relação
a) ao eixo y;
b) ao eixo x;
c) a origem O
,

107
02. Observe os polígonos ABC e A’B’C’ no plano cartesiano a seguir.
Que tipo de simetria é observado na transformação do polígono ABC no polígono
A’B’C’?
(A) Reflexão em relação ao eixo x.
(B) Reflexão em relação a origem do sistema de coordenadas.
(C) Translação.
(D) Rotação em relação ao ponto A.
(E) Rotação em relação a origem do sistema de coordenadas.
Gabarito: C
MOMENTO ENEM
01. (ENEM MEC/2018) Isometria é uma transformação geométrica que, aplicada a uma
figura, mantém as distâncias entre pontos. Duas das transformações isométricas são a
reflexão e a rotação. A reflexão ocorre por meio de uma reta chamada eixo. Esse eixo

108
funciona como um espelho, a imagem refletida é o resultado da transformação. A
rotação é o “giro” de uma figura ao redor de um ponto chamado centro de rotação. A
figura sofreu cinco transformações isométricas, nessa ordem:
1ª) Reflexão no eixo x;
2ª) Rotação de 90 graus no sentido anti-horário, com centro de rotação no ponto A;
3ª) Reflexão no eixo y;
4ª) Rotação de 45 graus no sentido horário, com centro de rotação no ponto A;
5ª) Reflexão no eixo x.
Disponível em: www.pucsp.br. Acesso em: 2 ago. 2012.
Qual a posição final da figura?
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
Gabarito: C

109
02. (ENEM MEC/2017) A imagem apresentada na figura é uma cópia em preto e branco
da tela quadrada intitulada O peixe, de Marcos Pinto, que foi colocada em uma parede
para exposição e fixada nos pontos A e B.
Por um problema na fixação de um dos pontos, a tela se desprendeu, girando rente
à parede. Após o giro, ela ficou posicionada como ilustrado na figura, formando um
ângulo de 45º com a linha do horizonte.
Para recolocar a tela na sua posição original, deve-se girá-la, rente à parede, no
menor ângulo possível inferior a 360º.
A forma de recolocar a tela na posição original, obedecendo ao que foi estabelecido, é
girando-a em um ângulo de
(A) 90º no sentido horário.
(B) 135º no sentido horário.
(C) 180º no sentido anti-horário.
(D) 270º no sentido anti-horário.

110
(E) 315º no sentido horário.
Gabarito: B
03. (ENEM MEC/2015) Uma família fez uma festa de aniversário e enfeitou o local da
festa com bandeirinhas de papel. Essas bandeirinhas foram feitas da seguinte maneira:
inicialmente, recortaram as folhas de papel em forma de quadrado, como mostra a
Figura 1. Em seguida, dobraram as folhas quadradas ao meio sobrepondo os lados BC e
AD, de modo que C e D coincidam, e o mesmo ocorra com A e B, conforme ilustrado na
Figura 2. Marcaram os pontos médios O e N, dos lados FG e AF, respectivamente, e o
ponto M do lado AD, de modo que AM seja igual a um quarto de AD. A seguir, fizeram
cortes sobre as linhas pontilhadas ao longo da folha dobrada.
Após os cortes, a folha é aberta e a bandeirinha está pronta.
A figura que representa a forma da bandeirinha pronta é
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
Gabarito: E
04. (ENEM MEC/2011)

111
Disponível em: http://www.diaadia.pr.gov.br. Acesso em: 28 abr. 2010.
O polígono que dá forma a essa calçada é invariante por rotações, em torno de seu
centro, de
(A) 45°.
(B) 60°.
(C) 90º
(D) 120°.
(E) 180°.
Gabarito: D
05. (ENEM MEC/2009) Simetrias são encontradas, frequentemente, em nosso dia-a-dia.
Elas estão nas asas de uma borboleta, nas pétalas de uma flor ou em uma concha do
mar. Em linguagem informal, uma figura no plano é simétrica quando for possível dobrá-
la em duas partes, de modo que essas partes coincidam completamente.
De acordo com a descrição acima, qual das figuras a seguir é simétrica?
(A)
(B)

112
(C)
(D)
(E)
Gabarito: B
06. (ENEM MEC/2013) Um programa de edição de imagens possibilita transformar
figuras em outras mais complexas. Deseja-se construir uma nova figura a partir do
original. A nova figura deve apresentar simetria em relação ao ponto O.
A imagem que representa a nova figura é:
(A)
(B)

113
(C)
(D)
(E)
Gabarito: E
Habilidade da BNCC
tecnologia digital.
(GO-EMMAT509B) Investigar a deformação de ângulos e áreas provocada pelas
diferentes projeções usadas em cartografia (como a cilíndrica e a cônica), observando
padrões e experimentações para estabelecer conjecturas acerca de seus conceitos e
propriedades.
Posição de figuras geométricas: tangente, secante, externa. Inscrição e circunscrição de
sólidos geométricos.

114
Posição de figuras geométricas
Tangente
Do latim tangens, o termo tangente é simultaneamente um substantivo e um
adjetivo que faz referência àquilo que toca ou que tange, portanto, uma reta tangente
é aquela que tem um único ponto em comum com uma curva, denominado ponto de
tangência.
Reta tangente a uma circunferência
Propriedade: “A distância do centro da circunferência até o ponto de tangencia é igual
ao raio”.
𝑑 = 𝑟
Fonte: Figura elaborada para fins didáticos
Circunferências tangentes
a) Internas
Propriedade: “A distância entre os centros é igual ao módulo da diferença entre os
raios.”
𝑑 = |𝑟1 − 𝑟2|

115
b) Externas
Propriedade: “A distância entre os centros é igual à soma dos raios”
𝑑 = 𝑟1 + 𝑟2
Secante
Secante se refere à superfície ou à linha que intercepta outra superfície ou
linha.

116
Reta secante a uma circunferência
Propriedade: “A distância d do centro C até a reta é menor que o raio”
𝑑 < 𝑟
Circunferências secantes
Propriedade: “A distância entre os centros é maior que o modulo da diferença entre os
raios menor que a soma deles”
|𝑟1 − 𝑟2| < 𝑑 < 𝑟1 + 𝑟2

117
Inscrição e circunscrição de sólidos geométricos
Um sólido A está inscrito de um outro sólido B quando A está “dentro” de B. Por
outro lado, quando um sólido B circunscreve um sólido A, dizemos que B “fora” A.
Observe a figura a seguir, perceba que a esfera está inscrita no cubo, e que o cubo
circunscreve a esfera.
Fonte: Figura elaborada para fins didáticos.
Para o estudo dos sólidos geométricos inscritos e circunscritos, é importante observar
que:
i. Dizemos que um sólido está circunscrito à esfera quando a esfera se encontra no
interior do sólido, tangenciando cada um de seus lados. Nesse caso também
podemos dizer que a esfera está inscrita ao sólido.
ii. Quando a esfera está circunscrita ao sólido (ou, equivalentemente, o sólido
está inscrito à esfera), denotamos o raio da esfera por R.
iii. Quando a esfera está inscrita ao sólido (ou, equivalentemente, o sólido está
circunscrito à esfera), denotamos o raio da esfera por r.
Esfera inscrita no cone

118
r = raio da esfera
R = raio do cone
Exemplo 01. Uma esfera de raio 8 cm está inscrita em um cone equilátero. Determine
o volume desse cone.
Resolução:
Considere a figura, em que o triângulo equilátero VBD é uma secção meridiana do cone,
e a circunferência de centro O e raio 𝑂𝐴
̅̅̅̅ = 8 𝑐𝑚 é um círculo máximo da esfera.
Logo, como 𝑟 = 𝑂𝐶
̅̅̅̅ =
1
3
𝑉𝐶
̅̅̅̅, temos 𝑉𝐶
̅̅̅̅ = 24 𝑐𝑚. Ademais, sendo 𝑅 = 𝐵𝐶
̅̅̅̅ =
1
√3
∙ 𝑉𝐶
̅̅̅̅,
podemos concluir que o volume é
𝑉 =
1
3
∙ 𝜋 ∙ 𝑅2
∙ 24 =
1
3
∙ 𝜋 ∙ (
24
√3
)
2
∙ 24 = 1536𝜋 𝑐𝑚3
Esfera inscrita no cilindro

119
r = raio da esfera
R = raio do cilindro
h = altura do cilindro
Exemplo 02: A figura a seguir representa um cilindro circunscrito a uma esfera.
Sabendo que R = 5 cm, determine o volume do cilindro.
Resolução:
O volume do cilindro é dado por
𝑉 = 𝐴𝑏 ∙ ℎ = 𝜋 ∙ 𝑅2
∙ ℎ
Temos que R = 5 cm e h = 2R = 10 cm, portanto o volume é
𝑉 = 𝜋 ∙ 𝑅2
∙ ℎ
𝑉 = 𝜋 ∙ 52
∙ 10
𝑉 = 250 𝑐𝑚2

120
1. Uma esfera de raio 10 cm está inscrita em um cone equilátero. Determine o volume
desse cone, em cm3.
Gabarito: 3000𝜋 𝑐𝑚3
2. A figura a seguir representa um cilindro circunscrito a uma esfera.
Sabendo que R = 12 cm, determine o volume do cilindro.
3. Bolas de tênis são vendidas, normalmente, em embalagens cilíndricas contendo 3
unidades.

121
Supondo-se que as bolas têm raio a em centímetros e tangenciam as paredes internas
da embalagem. Determine o volume da embalagem, sabendo que o raio de cada bola é
de 10 cm.
4. Um recipiente para perfume tem o formato de um cilindro circunscrito numa esfera
(sendo essa esfera oca, de capacidade máxima de 32 cm3), conforme figura a seguir. Se
o espaço entre a esfera e o cilindro é preenchido com material translúcido, qual será o
volume total, em cm3, gasto com esse material, desprezando-se as espessuras das
superfícies da esfera e do cilindro?
(Considere  = 3)
Gabarito: 16𝑐𝑚3
5. Num cilindro reto, estão inscritas duas esferas conforme mostra a figura. Se o raio de
cada esfera é igual a 18 cm, determine o volume do cilindro.

122
6. No interior de um tubo, em forma de cilindro circular reto, de altura h=40cm e raio
da base r=2cm, coloca-se o maior número possível de esferas, conforme figura ao lado.
Quantas esferas podemos colocar nesse cilindro?
Gabarito: 15 esferas
Habilidade da BNCC
tecnologia digital.
(GO-EMMAT509C) Estabelecer conjecturas de diferentes conceitos e propriedades
envolvidas na determinação da medida de ângulos e áreas de projeções, identificando
a necessidade, ou não, de demonstração formal para justificar o uso de ferramentas que
colaborem com a solução de problemas dessa natureza.
Noções básicas de cartografia: projeção cilíndrica e cônica.
O que é Cartografia?
A Cartografia, que é ao mesmo tempo ciência e arte, é a ciência responsável pela
representação da realidade, contribuindo para a melhor compreensão do mundo. Como

123
sabemos, é a área do conhecimento responsável pela elaboração e estudo dos mapas e
representações cartográficas em geral, incluindo plantas, croquis e cartas gráficas. Essa
área do conhecimento é de extrema utilidade não só para os estudos em Geografia, mas
também em outros campos, como a História e a Sociologia, pois, afinal, os mapas são
formas de linguagem para expressar uma dada realidade.
Conceitos básicos de Cartografia
i. Escala é a proporção entre a área real e a sua representação em um mapa.
Geralmente, aparece designada nos próprios mapas na forma numérica e/ou na
forma gráfica.
ii. Legenda é a utilização de símbolos em mapas para definir algumas
representações e está sempre presente em mapas temáticos. Alguns símbolos
cartográficos e suas legendas são padronizados para todos os mapas, como o
azul para designar a água e o verde para indicar uma área de vegetação, entre
outros.
iii. Projeções Cartográficas são o sistema de representação da Terra, que é geoide e
quase arredondada, em um plano, de forma que sempre haverá distorções. No
sistema de projeções cartográficas, utiliza-se a melhor estratégia para definir
quais serão as alterações entre o real e a representação cartográfica com base
no tipo de mapa a ser produzido.
Esses conceitos nos auxiliam a identificar com mais facilidade as informações de
um mapa e as formas utilizadas para elaborá-lo.
Mapa é uma representação reduzida de uma dada área do espaço geográfico.
Um mapa temático, por sua vez, é uma representação de um espaço realizada a partir
de uma determinada perspectiva ou tema, que pode variar entre indicadores sociais,
naturais e outros.
Coordenadas Geográficas é a combinação do sistema de paralelos e meridianos
com base nas longitudes e as latitudes para endereçar todo e qualquer ponto da
superfície terrestre.
Vamos estudar três projeções cartográficas
1. Projeção plana ou azimutal

124
Fonte: Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística.
2. Projeção cônica
3. Projeção cilíndrica

125
1. (UEG 2017) Observe a figura a seguir.
Fonte:
<www.geografiaparatodos.com.br/index.prp?pag=cap_3_geoprocessamento_e_mapa
s>. Acesso em: 17 ago. 2016.
Os tipos de projeções cartográficas representados na figura são, respectivamente:
(A) cilíndrica, azimutal e cônica
(B) azimutal, cilíndrica e cônica

126
(C) cilíndrica, cônica e azimutal
(D) cônica, azimutal e cilíndrica
(E) azimutal, cônica e cilíndrica
Gabarito: B
2. (Faculdade Guanambi BA/2017)
Devido à impossibilidade de desenvolver uma superfície curva em outra plana
equivalente, idealizaram-se procedimentos engenhosos usados na construção de mapas
com a menor possibilidade de erros.
Considerando-se as informações do texto, a representação gráfica, faz referência à
(A) projeção plana ou azimutal
(B) projeção ortográfica
(C) projeção cônica
(D) projeção estereográfica
(E) projeção cilíndrica
Gabarito: E
3. (Unesp SP/2022) Observe as medidas indicadas em um mapa do Parque Ibirapuera,
região plana da cidade de São Paulo.

127
(www.google.com. Adaptado.)
De acordo com o mapa, uma caminhada em linha reta do Museu Afro Brasil (P) até o
Museu de Arte Moderna de São Paulo (Q) corresponde a
a) 400 m.
b) 625 m.
c) 676 m.
d) 484 m.
e) 576 m.
Gabarito: B
4. (UEG GO/2010)
FONTE: GOIÁS/AGIM. Sig-Goiás. Folha SE-22-X-A (São Luíz de Montes Belo). Escala
1:250.000. Agência Ambiental/CPRM, 2000.

128
No mapa do município de Anicuns, as distâncias em linha reta entre a sede do
município e Choupana e entre Anicuns e Capelinha são, respectivamente, de 5,0 cm
e 4,5 cm. Já a distância entre Choupana e Capelinha corresponde a 6,5 cm. Sabendo-
se que a escala do mapa é de 1: 400.000, a distância real entre as localidades é de
aproximadamente:
(A) 18 km, 20 km e 26 km
(B) 20 km, 18 km e 26 km
(C) 20 km, 26 km e 18 km
(D) 26 km, 18 km e 20 km
(E) 26 km, 20 km e 28 km
Gabarito: B
5. (IFMS/2019) Ao olharmos para o mapa de Goiás, vemos que o Distrito Federal é
praticamente um retângulo incrustado no estado. Sabemos que os mapas mantêm as
proporções e razões com as medidas reais. No mapa, a razão entre as medidas dos lados
do DF é de 0,5.
Podemos afirmar então que, se a medida real do lado menor é 65 km, a medida do lado
maior do DF terá um comprimento de
(A) 32,5 km.
(B) 130 km.
(C) 65 km.
(D) 1535 km.
(E) 200 km.

129
Gabarito: B
6. (Uncisal AL/2019)
A régua, o barbante e o mapa mostrados a seguir foram utilizados por um estudante
para fazer o seguinte procedimento a fim de calcular o comprimento do Rio Amazonas:
1. cobriu com o barbante a linha do mapa que representa o Rio Amazonas, desde a
nascente até a foz;
2. esticou o barbante;
3. mediu com a régua o comprimento do barbante e obteve 14,8 cm;
4. verificou que o mapa foi construído na escala 17: 800 000 000.
Disponível em: https://upload.wikimedia.org. Acesso em: 23 nov. 2018 (adaptado).
Considerando-se a escala utilizada na construção do mapa e o comprimento do
barbante, qual é o valor que mais se aproxima do comprimento do Rio Amazonas?
(A) 31 000 km
(B) 25 100 km
(C) 11 800 km
(D) 7 000 km
(E) 2 000 km
Gabarito: D

130
MOMENTO ENEM
1. (ENEM MEC/2018) Um mapa é a representação reduzida e simplificada de uma
localidade. Essa redução, que é feita com o uso de uma escala, mantém a proporção do
espaço representado em relação ao espaço real.
Certo mapa tem escala 1 : 58 000 000.
Disponível em: http://oblogdedaynabrigth.blogspot.com.br. Acesso em: 9 ago. 2012.
Considere que, nesse mapa, o segmento de reta que liga o navio à marca do tesouro
meça 7,6 cm.
A medida real, em quilômetro, desse segmento de reta é
(A) 4 408.
(B) 7 632.
(C) 44 080.
(D) 76 316.

131
(E) 440 800.
Gabarito: A
2. (ENEM MEC/2013) A figura apresenta dois mapas, em que o estado do Rio de Janeiro
é visto em diferentes escalas.
Há interesse em estimar o número de vezes que foi ampliada a área correspondente
a esse estado no mapa do Brasil.
Esse número é
(A) menor que 10.
(B) maior que 10 e menor que 20.
(C) maior que 20 e menor que 30.
(D) maior que 30 e menor que 40.
(E) maior que 40.
Gabarito: D
3. (ENEM MEC/2016) A figura representa o globo terrestre e nela estão marcados os
pontos A, B e C. Os pontos A e B estão localizados sobre um mesmo paralelo, e os pontos
B e C, sobre um mesmo meridiano. É traçado um caminho do ponto A até C, pela
superfície do globo, passando por B, de forma que o trecho de A até B se dê sobre o
paralelo que passa por A e B e, o trecho de B até C se dê sobre o meridiano que passa
por B e C. Considere que o plano  é paralelo à linha do equador na figura.

132
A projeção ortogonal, no plano  , do caminho traçado no globo pode ser representada
por
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
Gabarito: E

133
REFERÊNCIAS
GIOVANNI, José Ruy. Bonjorno, José Roberto. Júnior, José Ruy Giovanni. Curso de
matemática: volume único. 2ª edição. São Paulo. Moderna. 1998.
BIANCHINI, Edwaldo. Paccola, Erval. Curso de matemática Ensino Médio. Volume único.
1ª edição. São Paulo. Editora Saraiva. 2001.
NERY, Chico. Trotta, Fernando. Matemática para o Ensino Médio. Volume único. 2ª
edição. São Paulo. Moderna. 1998.
Matriz de Referência ENEM. INEP. Disponível em:
https://download.inep.gov.br/download/enem/matriz_referencia.pdf. Acesso em 22
jun, 2022.
Provas Enem, INEP. Disponível em: https://www.gov.br/inep/pt-br/areas-de-
atuacao/avaliacao-e-exames-educacionais/enem/provas-e-gabaritos. Acesso em 22
jun, 2022.
Documento Curricular para Goiás – Etapa Ensino Médio. Disponível em:
https://novoensinomediogoiano.educacao.go.gov.br/dcgoem/. Acesso em 22 jun,
2022.

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