Progressões Aritméticas (P.A.)

1. MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
Professor Silvio Coelho da Silva
Ensino Médio
2ª SÉRIE
Seduc em Ação/TBC

2. OBJETIVO DE APRENDIZAGEM DO DC-GOEM
OBJETO DE CONHECIMENTO
HABILIDADE DO SAEB/SAEGO
Resolver situações-problema que envolvam progressões aritméticas.
(GO-EMMAT507B) Compreender as características da progressão aritmética (PA),
identificando seus elementos e conceitos (termos, posições dos termos, quantidade de
termos, termo geral, razão, lei de formação, soma dos termos, entre outros) para
aplicar tais conceitos na resolução de problemas que se relacionem às sequências.
Progressões Aritméticas (P.A.)
.
HABILIDADE DA BNCC
(EM13MAT507) Identificar e associar progressões aritméticas (PA) a funções afins
de domínios discretos, para análise de propriedades, dedução de algumas fórmulas e
resolução de problemas.

3. Fonte: Equipe de produção/2022.
Nada mais é do que uma sequência numérica em que
o número seguinte, a partir do segundo, é a soma do
número anterior com um número fixo, chamado de
razão da progressão.
Calma dom.... Mil calmas....
Progressão Aritmética
Se liga
na ideia:
Vixe!!!
Professor
Silvio.
A sequência tem
o lance:
(3, 5, 7, 9, 11)
3 + 2 = 5
5 + 2 = 7
7 + 2 = 9
9 + 2 = 11
∴
E assim por diante

4. Vamos brincar um pouquinho com essas ideias. Pode ser
dom....
(4, 8, 12, 16, 20)
8 = 4 + 4
12 = 8 + 4
16 = 12 + 4
20 = 16 + 4
(15, 11, 7, 3, -1)
11 = 15 + (-4)
7 = 11 + (-4)
3 = 7 + (-4)
-1 = 3 + (-4)
Treinar é o
segredo do
sucesso.
Pense nisso
Fonte: Equipe de produção/2022.
Crescente
R > 0
Decrescente
R < 0
(10, 10, 10, 10)
10 = 10 + 0
10 = 10 + 0
10 = 10 + 0
constante
R = 0
4 > 0
-4 < 0
0 = 0

5. Vamos visualizar a representação de uma P.A.
𝒂𝟏, 𝒂𝟐, 𝒂𝟑, 𝒂𝟒, … , 𝒂𝒏, 𝒂𝒏+𝟏, …
(2, 4, 6, 8,..., 10, 12, ...)
Se for finita:
(1, 3, 5, 7, 9, 11)
Olha só que
massa, dom.
Fonte: Equipe de produção/2022.
Se for infinita:
(..., 2, 4, 6, 8, 10, ....)

6. Bora organizar isso melhor. Vejam com ficam:
𝒂𝒏+𝟏 = 𝒂𝒏 + 𝒓
𝑎2 − 𝑎1 = 𝑎3 − 𝑎2 = 𝑎𝑛+1− 𝑎𝑛= 𝑟
Com
calma,
chegamos
lá.
Fonte: Equipe de produção/2022.
∀ n є N*
Que tal fazer
um
pouquinho?

7. Fonte: Equipe de produção/2022.
𝑎2 − 𝑎1 = R
6 – 2 = 4
Calcular r e 𝑎6 na P.A.
(2, 6 ,10, 14, 18, ...)
𝒂𝒏+𝟏 = 𝒂𝒏 + 𝒓
𝒂𝟔 = 𝒂𝟓 + 𝒓
𝒂𝟔 = 𝟏𝟖 + 𝟒
𝒂𝟔 = 𝟐𝟒
R = 4
&
𝒂𝟔 = 𝟐𝟒
LIÇÃO ZERO


8. Paciência
jovem.
Fonte: Equipe de produção/2022.
LIÇÃO HUM

Determinar o valor de x , de
modo que os números
(x + 4 )², (x – 1)² e (x + 2)²,
estejam, nessa ordem, em
P.A.
𝑎2 − 𝑎1 = 𝑎3 − 𝑎2
𝑿 − 𝟏 2 − 𝑿 + 𝟒 2 = 𝑿 + 𝟐 2 − (𝑿 − 𝟏)²
(X² - 2X + 1) – (X² + 8X + 16) = (X² + 4X + 4) – (X² - 2X + 1)
-2X + 1 – 8X – 16 = 4X + 4 + 2X - 1 -10X – 15 = 6X + 3
-10X – 6X = 15 + 3 -16X = 18 𝑿 = −
𝟏𝟖
𝟏𝟔
𝑿 = −
𝟗
𝟖
Fonte: Matemática Completa. José Ruy Giovanni, José Roberto Bonjorno, José Ruy Giovanni Jr. Volume único, Ed. FTD. São
Paulo 2002. Página 144. 2º exemplo. Acesso em 24/10/2022..

9. Beleza
de
creuza
Fonte: Equipe de produção/2022.
Temos também a fórmula do termo geral de uma P.A.
𝑎𝑛 = 𝑎1 + 𝑛 − 1 . 𝑟
Onde chamamos,
𝑎𝑛 = 𝑒𝑛é𝑠𝑖𝑚𝑜 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜 𝑑𝑎 𝑃. 𝐴.
𝑎1 = 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑖𝑟𝑜 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜 𝑑𝑎 𝑃. 𝐴.
𝑛 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑎 𝑃. 𝐴.
𝑟 = a razão dessa P.A.
𝑎20 = 5 + 20 − 1 . 4
𝑎20 = 5 + 20 − 1 . 4
𝑎20 = 5 + 19 . 4
𝑎20 = 5 + 76
𝑎20 = 81
LIÇÃO TRÊS


10. Viu que
é muito
massa.
Fonte: Equipe de produção/2022.
E se fizéssemos a soma desses termos, como ficaria?
𝑆𝑛 =
(𝑎1+𝑎𝑛)𝑛
2
Onde chamamos,
𝑎𝑛 = 𝑒𝑛é𝑠𝑖𝑚𝑜 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜 𝑑𝑎 𝑃. 𝐴.
𝑎1 = 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑖𝑟𝑜 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜 𝑑𝑎 𝑃. 𝐴.
𝑛 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑎 𝑃. 𝐴.
𝑆𝑛= a soma dos n termos da P.A.
𝑆10 =
4 + 13 10
2
𝑆10 = 17x5
𝑆10 = 85
LIÇÃO QUATRO


11. Fixando
dom.
Fonte: Equipe de produção/2022.
LIÇÃO CINCO

Achar a soma dos 5
primeiros termos da
P.A. (1, 3, 5, ...)
𝑎2 − 𝑎1 = r
3 − 1 = 2 = r
𝑎𝑛 = 𝑎1 + 𝑛 − 1 . 𝑟
𝑎5 = 1 + 5 − 1 . 2
𝑎5 = 1 + 4 . 2
𝑎5 = 1 + 8 = 9
𝑆𝑛 =
(𝑎1+𝑎𝑛)𝑛
2
𝑆5 =
1+9 5
2
𝑆5 =
10 5
2
𝑆5 =
50
2
𝑆5 =25

12. Bons
estudos!
Até breve!

13. 2022