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8º ANO
Lista extra de exercícios
Frente A •••• Capítulo 7 •••• Equações produto
MATEMÁTICA
1
1. Determine os valores de x que tornam as equações a seguir verdadeiras.
a) (x + 4)(x – 2) = 0
b) (2x + 6)(x – 1) = 0
c) (x + 1)(6x – 9) = 0
d) 4x(x – 3) = 0
e) 7x(3x – 2) = 0
2. Determine o conjunto solução das equações a seguir.
a)
  
+ − =  
  
x 1 x 2
0
4 2 9 5
b)
  
+ + =  
  
x 2 x 1
0
7 5 10 5
c)
  
− − =  
  
x 3 3x 12
0
11 44 5 25
d)
  
− + =  
  
5x 2 x 6
0
13 3 17 7
e)
  
+ + =  
  
6x 5 13x 26
0
21 7 11 3
3. Usando os processos de fatoração, encontre as soluções para as equações abaixo.
a) 4x2
+ 12x + 9 = 0
b) 25x2
– 10x + 1 = 0
c) 196x
2
– 144 = 0
d) x2
+ 4x = 0
e) + =2 x
x 0
9
f) + + =
2
x 7x
49 0
16 2
4. Qual o número racional, diferente de zero, tem o seu quadrado igual à décima parte do seu triplo?
5. Qual o número inteiro que tem o seu quadrado igual a quatro vezes a sua sétima parte?
6. Determine o conjunto solução da seguinte equação:
( )+ = − +2 2
7x 2x 9x 3 x 2x
7. Resolva as equações.
a) (2x + 3)(7x + 8)(9x + 3) = 0
b) x(11x + 121)(27x + 15) = 0
c) (5x + 12)(10x + 26)(x – 16) = 0
d) 5x(4x – 24)(3x – 36) = 0
e) 2x(x
2
+ x)(13x – 39) = 0
8. Resolva as equações.
a)
   
− − + =   
   
1 1 5x 7
x 3x 0
11 2 2 3
b) ( )  
+ − + =  
  
2x 9x
4 18 7x 8 0
19 23
Frente A •••• Capítulo 7 •••• Equações produto
MATEMÁTICA
2
c) ( )  
+ − + =  
  
x 7
x 9x 12 16 x 0
4 4
d) ( )  
− − + =  
  
8x 10 14
5x 6x 7 12x 0
9 11 13
9. Resolva as equações usando a fatoração e o produto.
a) (x2
+ 3x + x)(x2
– 7x)(x2
– 9) = 0
b) (2x + 5)(x
2
+ 24x + 144)(9x2
– 121) = 0
10. Dado o conjunto ( )( )( ){ }A |= ∈ − + + =»x 5x 10 13x 39 x 31 0 , assinale a alternativa correta.
a) O conjunto A possui dois elementos positivos.
b) O conjunto A possui dois elementos negativos.
c) O conjunto A possui o zero como elemento.
d) O conjunto A possui apenas dois elementos.
e) O conjunto A é o conjunto vazio.
11. Encontre a solução das seguintes equações.
a) ( )( ) ( )( )+ + = + +2x 17 3x 19 2x 17 2x 9
b) ( )( ) ( )( )+ − = + +x 21 6x 8 x 21 x 7
c) ( )( ) ( )+ + = +x 32 2x 8 9x 2x 8
d) ( ) ( )( )+ = + +14x x 3 4x 15 x 3
e) ( ) ( )+ = −7x 7x 40 7x 1 6x
12. Uma escola possui um campo com gramado e uma quadra poliesportiva para serem usados nas aulas
de educação física. O campo e a quadra possuem áreas iguais, conforme ilustra a imagem abaixo.
Sabendo que as medidas indicadas estão em metros, qual a área do campo e da quadra em metros
quadrados?
13. Encontre o valor de m para o qual a equação (2x – 3)(x – 7) = (2x – 3)(mx – 9) tenha o conjunto
solução ;
 
=  
 
3
S 1
2
.
14. O conjunto-solução da igualdade a seguir é:
     
+ + = + +     
     
4 10 4 4x
3x x 3x 4
3 3 3 5
Frente A •••• Capítulo 7 •••• Equações produto
MATEMÁTICA
3
a) ;
 
=  
 
4
S 0
9
b) ; ;
 
= − − − 
 
50 10 4
S
3 3 9
c) ;
 
= − 
 
4 10
S
9 9
d) ;
 
=  
 
10
S 0
9
e) ;
 
= − 
 
4 10
S
9 3
15. Assinale a alternativa que apresenta afirmações corretas a respeito da equação abaixo:
( ) ( )( ) 
+ + = + − − 
 
2 22x
x 7x 20 x 7x 3x 14
5
a) Possui quatro valores no conjunto-solução.
b) Possui três valores no conjunto-solução, sendo dois deles positivos.
c) Possui dois valores negativos no conjunto-solução.
d) Possui apenas dois valores no conjunto-solução.
16. Resolva a equação, sabendo que ≠ −
7
x
3
e ≠ −
9
x
4
:
+ +
=
+ +
2x 3 2x 3
3x 7 4x 9
17. Assinale a alternativa verdadeira sobre o conjunto-solução da equação abaixo, na qual x ≠ –2 e ≠
5
x
2
.
+ +
=
+ −
2 2
x 3x x 3x
3x 6 2x 5
a) Possui apenas dois valores.
b) Possui dois valores positivos.
c) Possui apenas três valores.
d) Possui apenas quatro valores.
18. Se x e y são inteiros positivos, qual o número de soluções da equação x·y = 53
·75
·11?
19. Determine quantas são as soluções da equação x·y = 360, supondo que x e y são inteiros positivos.
20. Quais as soluções da equação x·y – 50 = 85, para x e y inteiros positivos?
21. Existem x e y, inteiros positivos, tais que:
⋅ =

+ =
x y 55
x y 10
com x < y?
22. Indique os valores de x e y, inteiros positivos, que são soluções da equação:
2xy – 6y = (4x – 6)y – 104
23. Calcule os valores de x e y, inteiros, que são soluções da equação:
( )+ = + −3xy 5x 4y 5 x 6
Frente A •••• Capítulo 7 •••• Equações produto
MATEMÁTICA
4
24. Desenvolva os seguintes produtos de Stevin.
a) (x + 2)(x – 4)
b) (x – 8)(x – 5)
c) (x + 6)(x + 7)
d) (x – 11)(x + 1)
25. Desenvolva os seguintes produtos de Stevin.
a)
   
+ ⋅ −   
   
1 5
x x
3 2
b)
   
− ⋅ −   
   
1 1
x x
8 4
c)
   
+ ⋅ +   
   
1 2
x x
9 5
d)
   
− ⋅ +   
   
2 2
x x
5 9
26. Desenvolva os produtos de Stevin a seguir.
a) (x + 10)(x + K) = x
2
+ 18x + 80
b) (x – 12)(x – K) = x
2
– 15x + 36
c) (x + K)(x + 7) = x
2
+ 18x + 77
d) (x – K)(x + 3)(x + 4) = x3
+ 6x2
+ 5x – 12
27. Em cada um dos itens, encontre dois números que resultem na soma e no produto dados.
X Y X + Y X · Y
a) 12 35
b) 11 24
c) 14 24
d) 19 78
28. Resolva as equações do 2º grau, utilizando a regra da soma e do produto.
a) x2
– 7x + 12 = 0
b) x
2
+ 7x – 18 = 0
c) x
2
– 10x – 39 = 0
d) x
2
– 22x + 105 = 0
29. IFCE 2012 Os números reais p, q, r e s são tais que 2 e 3 são raízes da equação x2
+ px + q = 0, e –2
e 3 são raízes da equação x2
+ rx + s = 0. Nessas condições, as raízes da equação x2
+ px + s = 0 são:
a) –1 e 6
b) –2 e 2
c) –3 e 6
d) 2 e 6
e) –1 e 1
30. IFSC 2011 (Adapt.) Quanto à equação x
2
– 4x + 3 = 0 é correto afirmar que:
a) a soma de suas raízes é igual a – 4.
b) tem duas raízes reais e iguais.
c) tem duas raízes reais distintas.
d) não tem raízes reais.
e) o produto de suas raízes é nulo.
Frente A •••• Capítulo 7 •••• Equações produto
MATEMÁTICA
5
31. UTFPR 2011 O número 4 é a raiz da equação x
2
– x + 2c = 0. Nessas condições, determine o valor do
coeficiente c.
a) c = –4
b) c = 6
c) c = 4
d) c = –6
e) c = 3
32. Colégio Pedro II 2010 Um algoritmo é um procedimento computacional que serve de apoio para a
programação de computadores, por meio da descrição de tarefas que devem ser efetuadas. Seguindo pré-
determinadas instruções, a partir de valores ou expressões de entrada, é produzido um valor ou expressão
de saída.
Considere o algoritmo abaixo que determina uma equação do 2º grau, cujas raízes reais são dois números
A e B conhecidos.
a) Observando o algoritmo acima, determine uma equação do 2º grau com raízes 2 e 5.
b) Quais são os valores A e B que devem ser considerados na entrada para que a equação de saída seja
x
2
– 3x – 28 = 0?
Frente A •••• Capítulo 7 •••• Equações produto
MATEMÁTICA
6
GABARITO / RESOLUÇÃO
1.
a) S = {–4;2}
b) S = {–3;1}
c) ;
 
= − 
 
3
S 1
2
d) S = {0;3}
e) ;
 
=  
 
2
S 0
3
2.
a) ;
 
= − 
 
18
S 2
5
b) ;
 
= − − 
 
14
S 2
5
c) ;
 
=  
 
3 4
S
4 5
d) ;
 
= − 
 
102 26
S
7 15
e) ;
 
= − − 
 
22 5
S
3 2
3.
a) ( ) ;
 
+ + = ⇔ + = = − 
 
22 3
4x 12x 9 0 2x 3 0 S
2
b) ( ) ;
 
− + = ⇔ − = =  
 
22 1
25x 10x 1 0 5x 1 0 S
5
c) ( )( ) ; ;
 
− = ⇔ − + = = − 
 
2 6 6
196x 144 0 14x 12 14x 12 0 S
7 7
d) ( ) { }; ;+ = ⇔ + = = −2
x 4x 0 x x 4 0 S 4 0
e) ; ;
   
+ = ⇔ + = = −  
   
2 x 1 1
x 0 x x 0 S 0
9 9 9
f) { };
 
+ + = ⇔ + = = − 
 
22
x 7x 1
49 0 x 7 0 S 28
16 2 4
4.
 
= ⇔ − = ⇔ − = ⇔ = = 
 
2 23x 3x 3 3
x x 0 x x 0 x 0 ou x
10 10 10 10
O número racional, diferente de zero, cujo quadrado é igual ao triplo da sua décima parte é o
3
10
.
5.
 
= ⋅ ⇔ − = ⇔ − = ⇔ = = 
 
2 2x 4x 4 4
x 4 x 0 x x 0 x 0 ou x
7 7 7 7
O número inteiro que tem o seu quadrado igual a quatro vezes a sua sétima parte é o 0, pois
4
7
é
racional.
Frente A •••• Capítulo 7 •••• Equações produto
MATEMÁTICA
7
6.
( )
( )
;
+ = − +
= − −
− =
− =
= ⇔ =
− = ⇔ =
 
=  
 
2 2
2 2
2
7x 2x 9x 3 x 2x
9x 9x 3x 6x
6x 15x 0
3x 2x 5 0
3x 0 x 0
5
2x 5 0 x
2
5
S 0
2
7.
a)
+ = ⇔ = −
+ = ⇔ = −
+ = ⇔ = − = −
3
2x 3 0 x
2
8
7x 8 0 x
7
3 1
9x 3 0 x
9 3
b)
=
+ = ⇔ = − = −
+ = ⇔ = − = −
x 0
121
11x 121 0 x 11
11
15 5
27x 15 0 x
27 9
c)
+ = ⇔ = −
+ = ⇔ = − = −
− = ⇔ =
12
5x 12 0 x
5
26 13
10x 26 0 x
10 5
x 16 0 x 16
d)
= ⇔ =
− = ⇔ = =
− = ⇔ = =
5x 0 x 0
24
4x 24 0 x 6
4
36
3x 36 0 x 12
3
e)
( )
= ⇔ =
=
+ = ⇔ + = ⇔
= −
− = ⇔ = =
2
2x 0 x 0
x 0
x x 0 x x 1 0
x 1
39
13x 39 0 x 3
13
Frente A •••• Capítulo 7 •••• Equações produto
MATEMÁTICA
8
8.
a)
− = ⇔ =
− = ⇔ =
+ = ⇔ = −
1 1
x 0 x
11 11
1 1
3x 0 x
2 6
5x 7 14
0 x
2 3 15
b)
+ = ⇔ = −
− = ⇔ =
+ = ⇔ = −
2x
4 0 x 38
19
9x
18 0 x 46
23
8
7x 8 0 x
7
c)
=
+ = ⇔ = − = −
− = ⇔ =
+ = ⇔ = −
x 0
12 4
9x 12 0 x
9 3
x
16 0 x 64
4
7 7
x 0 x
4 4
d)
= ⇔ =
− = ⇔ =
− = ⇔ =
+ = ⇔ = −
5x 0 x 0
7
6x 7 0 x
6
8x 10 45
0 x
9 11 44
14 7
12x 0 x
13 78
9.
a)
( )
( )
( )( )
=
+ + = ⇔ + = ⇔ + = ⇔
= −
=
− = ⇔ − = ⇔
=
=
− = ⇔ − + = ⇔
= −
2 2
2
2
x 0
x 3x x 0 x 4x 0 x x 4 0
x 4
x 0
x 7x 0 x x 7 0
x 7
x 3
x 9 0 x 3 x 3 0
x 3
b)
( )
( )( )
+ = ⇔ =
+ + = ⇔ + ⇔ = −
=
− = ⇔ − + = ⇔
= −
22
2
5
2x 5 0 x
2
x 24x 144 0 x 12 x 12
11
x
3
9x 121 0 3x 11 3x 11 0
11
x
3
Frente A •••• Capítulo 7 •••• Equações produto
MATEMÁTICA
9
10. B
Os elementos do conjunto A são tais que: (5x – 10)(13x + 39)(x + 31) = 0, assim:
− = ⇔ =
+ = ⇔ = −
+ = ⇔ = −
5x 10 0 x 2
13x 39 0 x 3
x 31 0 x 31
Note que A possui dois elementos negativos.
11.
a)
+ = ⇔ = −
+ = + ⇔ = −
17
2x 17 0 x
2
3x 19 2x 9 x 10
b)
+ = ⇔ = −
− = + ⇔ = ⇔ =
x 21 0 x 21
6x 8 x 7 5x 15 x 3
c)
+ = ⇔ = −
+ = ⇔ = ⇔ =
2x 8 0 x 4
x 32 9x 8x 32 x 4
d)
+ = ⇔ = −
= + ⇔ = ⇔ =
x 3 0 x 3
3
14x 4x 15 10x 15 x
2
e)
= ⇔ =
+ = − ⇔ = − ⇔ = −
7x 0 x 0
7x 40 1 6x 13x 39 x 3
12. De acordo com a imagem, temos:
( )( ) ( )( )
( )+ = ⇔ = −
+ + = + + ⇔
+ = + ⇔ =
x 11 0 x 11 não convém
2x 13 x 11 3x 8 x 11
2x 13 3x 8 x 5
Como o valor x = –11 encontrado torna uma das dimensões do campo e da quadra com medida igual a
zero, temos que esse valor pode ser desconsiderado.
Assim, as dimensões do campo são: 5 + 11 = 16 m e 2·5 + 13 = 23 m
E a área do campo e da quadra são: A = 16·23 = 368 m
2
13.
( )
( )
− = ⇔ =
− = −
3
I 2x 3 0 x
2
II x 7 mx 9
Como o conjunto solução tem o
3
2
e o 1, temos que na segunda equação x = 1, assim:
− = ⋅ −
− = −
=
1 7 m 1 9
6 m 9
m 3
14. E
4
+ = ⇔ = −
+ = + ⇔ + = + ⇔ = ⇔ =
4 4
3x 0 x
3 9
10 x 10
x 4 15x 50 12x 60 3x 10 x
3 5 3
Logo, o conjunto solução da equação é ;
 
= − 
 
4 10
S
9 3
.
Frente A •••• Capítulo 7 •••• Equações produto
MATEMÁTICA
10
15. C
Resolvendo a equação:
( )
=
+ = ⇔ + = ⇔
= −
+ = − − ⇔ + = − − ⇔ = − ⇔ = −
2 x 0
x 7x 0 x x 7 0
x 7
2x
20 3x 14 2x 100 15x 70 17x 170 x 10
5
Logo, a equação possui dois valores negativos no conjunto-solução.
16.
( )( ) ( )( )
+ +
=
+ +
+ + = + +
+ = ⇔ = −
+ = + ⇔ = −
2x 3 2x 3
3x 7 4x 9
2x 3 4x 9 2x 3 3x 7
3
2x 3 0 x
2
4x 9 3x 7 x 2
17. C
( )( ) ( )( )
( )
+ +
=
+ −
+ − = + +
=
+ = ⇔ + = ⇔
= −
− = + ⇔ = −
2 2
2 2
2
x 3x x 3x
3x 6 2x 5
x 3x 2x 5 x 3x 3x 6
x 0
x 3x 0 x x 3 0
x 3
2x 5 3x 6 x 11
Observe que a equação possui três soluções.
18. O número de soluções é a multiplicação dos expoentes, cada qual adicionado a um, assim:
(3 + 1)(5 + 1)(1 + 1) = 4·6·2 = 48 soluções
19. Fatorando o 360, temos: 360 = 2
3
·3
2
·5
Assim, o número de soluções é: (3 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 4·3·2 = 24.
20. Desenvolvendo a equação, temos: x·y – 50 = 85 ⟺ x·y = 135
Fatorando o 135, temos: 135 = 3
3
·5
Calculando o número de soluções: (3 + 1)(1 + 1) = 4·2 = 8
Combinando os fatores de 135, temos as soluções:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ); , ; , ; , ; , ; , ; , , , ;1135 3 45 9 15 27 5 5 27 15 9 45 3 135 1
21. As soluções para a equação x·y = 55, são:
( ) ( ) ( ) ( ); , ; , ; , ;155 5 11 115 55 1
Note que, nesse caso, os possíveis valores para x e y são:
,
,
= =
= =
x 1 y 55
x 5 y 11
Para essas duas opções temos:
+ = + =
+ = + =
x y 1 55 56
x y 5 11 16
Assim, não existem x e y que satisfazem as condições do enunciado.
Frente A •••• Capítulo 7 •••• Equações produto
MATEMÁTICA
11
22. Resolvendo a equação:
( )− = − −
−
2xy 6y 4x 6 y 104
2xy 6y = −4xy 6y −
= −
=
=
104
2xy 4xy 104
2xy 104
xy 52
Como 52 = 2
2
·13, podemos encontrar as seguintes soluções:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ); , ; , ; , ; , ; , ;152 2 26 4 13 13 4 26 2 521
23. Resolvendo a equação:
( )+ = + −
+ = + −
=
3xy 5x 4y 5 x 6
3xy 5x 4xy 5x 6
xy 6
Como 6 = 2·3, podemos encontrar as seguintes soluções inteiras:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ); , ; , ; , ; , ; , ; , ; , ;− − − − − − − −1 6 2 3 3 2 6 1 16 2 3 3 2 6 1
24.
a) (x + 2)(x – 4) = x
2
– 2x – 8
b) (x – 8)(x – 5) = x
2
– 13x + 40
c) (x + 6)(x + 7) = x
2
+ 13x + 42
d) (x – 11)(x + 1) = x
2
– 10x – 11
25.
a)
   
+ ⋅ − = − −   
   
21 5 13 5
x x x x
3 2 6 6
b)
   
− ⋅ − = − +   
   
21 1 3 1
x x x x
8 4 8 32
c)
   
+ ⋅ + = + +   
   
21 2 23 2
x x x x
9 5 45 45
d)
   
− ⋅ + = − −   
   
22 2 8 4
x x x x
5 9 45 45
26.
a)
( ) ( )
( )
+ ⋅ + = + +
+ + + = + +
+ = ⇔ =
= ⇔ =
2
2 2
x 10 x K x 18x 80
x 10 K x 10K x 18x 80
10 K 18 K 8
10K 80 K 8
b)
( ) ( )
( )
− ⋅ − = − +
− + + = − +
+ = ⇔ =
= ⇔ =
2
2 2
x 12 x K x 15x 36
x 12 K x 12K x 15x 36
12 K 15 K 3
12K 36 K 3
Frente A •••• Capítulo 7 •••• Equações produto
MATEMÁTICA
12
c)
( ) ( )
( )
+ ⋅ + = + +
+ + + = + +
+ = ⇔ =
= ⇔ =
2
2 2
x K x 7 x 18x 77
x K 7 x 7K x 18x 77
K 7 18 K 11
7K 77 K 11
d)
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
− ⋅ + ⋅ + = + + −
− ⋅ + + = + + −
+ − + − − = + + −
− = ⇔ =
− = ⇔ =
− = − ⇔ =
3 2
2 3 2
3 2 3 2
x K x 3 x 4 x 6x 5x 12
x K x 7x 12 x 6x 5x 12
x 7 K x 12 7K x 12K x 6x 5x 12
7 K 6 K 1
12 7K 5 K 1
12K 12 K 1
27.
X Y X + Y X · Y
a) 5 7 12 35
b) 3 8 11 24
c) 12 2 14 24
d) 13 6 19 78
28.
a) 3 e 4
b) 2 e –9
c) 13 e –3
d) 7 e 15
29. A
Sabe-se que 2 e 3 são as raízes da equação x
2
+ px + q = 0.
A soma das raízes é = −
p
S
1
, assim:
− = + ⇔ − = ⇔ = −
p
2 3 p 5 p 5
1
Sabe-se que – 2 e 3 são as raízes da equação x
2
+ rx + s = 0.
O produto das raízes é =
s
P
1
, assim:
( )= − ⋅ ⇔ = −
s
2 3 s 6
1
Portanto, a equação x
2
+ px + s = 0 fica:
x
2
– 5x – 6 = 0
A soma e o produto das raízes dessa equação são:
( )−
= − =
5
S 5
1
( )−
= = −
6
P 6
1
Os dois valores que satisfazem essas condições são: –1 e 6.
Frente A •••• Capítulo 7 •••• Equações produto
MATEMÁTICA
13
30. C
Dada a equação x
2
– 4x + 3 = 0, temos que a soma e o produto das suas raízes são:
( )−
= − =
4
S 4
1
= =
3
P 3
1
Logo, podemos concluir que as raízes dessa equação são 1 e 3 e a equação possui duas raízes reais
distintas.
31. D
Calculando a soma e o produto das raízes da equação x
2
– x + 2c = 0, temos:
−
= − =
= =
( 1)
S 1
1
2c
P 2c
1
Uma das raízes é o 4, então:
x1 + 4 = 1 ⟺ x1 = –3
Usando o produto:
( )⋅ − =
− =
= −
4 3 2c
12 2c
c 6
32.
a) De acordo com o algoritmo, temos:
[ ] [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] → →  − ⋅ − =  → − + + ⋅ = →   
2
Início raízes 2 e 5 x 2 x 5 0 x 2 5 x 2 5 0 Fim
Logo, a equação do 2º grau com raízes 2 e 5 é:
( ) ( )− + + ⋅ =
− + =
2
2
x 2 5 x 2 5 0
x 7x 10 0
b) Para que a equação de saída seja x
2
– 3x – 28 = 0, os valores A e B considerados na entrada devem
ser tais que:
( ) ( )− + + ⋅ = − −
+ =
⋅ = −
2 2
x A B x A B x 3x 28
A B 3
A B 28
Com isso, podemos concluir que A = 7 e B = –4.

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  • 1. 8º ANO Lista extra de exercícios
  • 2. Frente A •••• Capítulo 7 •••• Equações produto MATEMÁTICA 1 1. Determine os valores de x que tornam as equações a seguir verdadeiras. a) (x + 4)(x – 2) = 0 b) (2x + 6)(x – 1) = 0 c) (x + 1)(6x – 9) = 0 d) 4x(x – 3) = 0 e) 7x(3x – 2) = 0 2. Determine o conjunto solução das equações a seguir. a)    + − =      x 1 x 2 0 4 2 9 5 b)    + + =      x 2 x 1 0 7 5 10 5 c)    − − =      x 3 3x 12 0 11 44 5 25 d)    − + =      5x 2 x 6 0 13 3 17 7 e)    + + =      6x 5 13x 26 0 21 7 11 3 3. Usando os processos de fatoração, encontre as soluções para as equações abaixo. a) 4x2 + 12x + 9 = 0 b) 25x2 – 10x + 1 = 0 c) 196x 2 – 144 = 0 d) x2 + 4x = 0 e) + =2 x x 0 9 f) + + = 2 x 7x 49 0 16 2 4. Qual o número racional, diferente de zero, tem o seu quadrado igual à décima parte do seu triplo? 5. Qual o número inteiro que tem o seu quadrado igual a quatro vezes a sua sétima parte? 6. Determine o conjunto solução da seguinte equação: ( )+ = − +2 2 7x 2x 9x 3 x 2x 7. Resolva as equações. a) (2x + 3)(7x + 8)(9x + 3) = 0 b) x(11x + 121)(27x + 15) = 0 c) (5x + 12)(10x + 26)(x – 16) = 0 d) 5x(4x – 24)(3x – 36) = 0 e) 2x(x 2 + x)(13x – 39) = 0 8. Resolva as equações. a)     − − + =        1 1 5x 7 x 3x 0 11 2 2 3 b) ( )   + − + =      2x 9x 4 18 7x 8 0 19 23
  • 3. Frente A •••• Capítulo 7 •••• Equações produto MATEMÁTICA 2 c) ( )   + − + =      x 7 x 9x 12 16 x 0 4 4 d) ( )   − − + =      8x 10 14 5x 6x 7 12x 0 9 11 13 9. Resolva as equações usando a fatoração e o produto. a) (x2 + 3x + x)(x2 – 7x)(x2 – 9) = 0 b) (2x + 5)(x 2 + 24x + 144)(9x2 – 121) = 0 10. Dado o conjunto ( )( )( ){ }A |= ∈ − + + =»x 5x 10 13x 39 x 31 0 , assinale a alternativa correta. a) O conjunto A possui dois elementos positivos. b) O conjunto A possui dois elementos negativos. c) O conjunto A possui o zero como elemento. d) O conjunto A possui apenas dois elementos. e) O conjunto A é o conjunto vazio. 11. Encontre a solução das seguintes equações. a) ( )( ) ( )( )+ + = + +2x 17 3x 19 2x 17 2x 9 b) ( )( ) ( )( )+ − = + +x 21 6x 8 x 21 x 7 c) ( )( ) ( )+ + = +x 32 2x 8 9x 2x 8 d) ( ) ( )( )+ = + +14x x 3 4x 15 x 3 e) ( ) ( )+ = −7x 7x 40 7x 1 6x 12. Uma escola possui um campo com gramado e uma quadra poliesportiva para serem usados nas aulas de educação física. O campo e a quadra possuem áreas iguais, conforme ilustra a imagem abaixo. Sabendo que as medidas indicadas estão em metros, qual a área do campo e da quadra em metros quadrados? 13. Encontre o valor de m para o qual a equação (2x – 3)(x – 7) = (2x – 3)(mx – 9) tenha o conjunto solução ;   =     3 S 1 2 . 14. O conjunto-solução da igualdade a seguir é:       + + = + +            4 10 4 4x 3x x 3x 4 3 3 3 5
  • 4. Frente A •••• Capítulo 7 •••• Equações produto MATEMÁTICA 3 a) ;   =     4 S 0 9 b) ; ;   = − − −    50 10 4 S 3 3 9 c) ;   = −    4 10 S 9 9 d) ;   =     10 S 0 9 e) ;   = −    4 10 S 9 3 15. Assinale a alternativa que apresenta afirmações corretas a respeito da equação abaixo: ( ) ( )( )  + + = + − −    2 22x x 7x 20 x 7x 3x 14 5 a) Possui quatro valores no conjunto-solução. b) Possui três valores no conjunto-solução, sendo dois deles positivos. c) Possui dois valores negativos no conjunto-solução. d) Possui apenas dois valores no conjunto-solução. 16. Resolva a equação, sabendo que ≠ − 7 x 3 e ≠ − 9 x 4 : + + = + + 2x 3 2x 3 3x 7 4x 9 17. Assinale a alternativa verdadeira sobre o conjunto-solução da equação abaixo, na qual x ≠ –2 e ≠ 5 x 2 . + + = + − 2 2 x 3x x 3x 3x 6 2x 5 a) Possui apenas dois valores. b) Possui dois valores positivos. c) Possui apenas três valores. d) Possui apenas quatro valores. 18. Se x e y são inteiros positivos, qual o número de soluções da equação x·y = 53 ·75 ·11? 19. Determine quantas são as soluções da equação x·y = 360, supondo que x e y são inteiros positivos. 20. Quais as soluções da equação x·y – 50 = 85, para x e y inteiros positivos? 21. Existem x e y, inteiros positivos, tais que: ⋅ =  + = x y 55 x y 10 com x < y? 22. Indique os valores de x e y, inteiros positivos, que são soluções da equação: 2xy – 6y = (4x – 6)y – 104 23. Calcule os valores de x e y, inteiros, que são soluções da equação: ( )+ = + −3xy 5x 4y 5 x 6
  • 5. Frente A •••• Capítulo 7 •••• Equações produto MATEMÁTICA 4 24. Desenvolva os seguintes produtos de Stevin. a) (x + 2)(x – 4) b) (x – 8)(x – 5) c) (x + 6)(x + 7) d) (x – 11)(x + 1) 25. Desenvolva os seguintes produtos de Stevin. a)     + ⋅ −        1 5 x x 3 2 b)     − ⋅ −        1 1 x x 8 4 c)     + ⋅ +        1 2 x x 9 5 d)     − ⋅ +        2 2 x x 5 9 26. Desenvolva os produtos de Stevin a seguir. a) (x + 10)(x + K) = x 2 + 18x + 80 b) (x – 12)(x – K) = x 2 – 15x + 36 c) (x + K)(x + 7) = x 2 + 18x + 77 d) (x – K)(x + 3)(x + 4) = x3 + 6x2 + 5x – 12 27. Em cada um dos itens, encontre dois números que resultem na soma e no produto dados. X Y X + Y X · Y a) 12 35 b) 11 24 c) 14 24 d) 19 78 28. Resolva as equações do 2º grau, utilizando a regra da soma e do produto. a) x2 – 7x + 12 = 0 b) x 2 + 7x – 18 = 0 c) x 2 – 10x – 39 = 0 d) x 2 – 22x + 105 = 0 29. IFCE 2012 Os números reais p, q, r e s são tais que 2 e 3 são raízes da equação x2 + px + q = 0, e –2 e 3 são raízes da equação x2 + rx + s = 0. Nessas condições, as raízes da equação x2 + px + s = 0 são: a) –1 e 6 b) –2 e 2 c) –3 e 6 d) 2 e 6 e) –1 e 1 30. IFSC 2011 (Adapt.) Quanto à equação x 2 – 4x + 3 = 0 é correto afirmar que: a) a soma de suas raízes é igual a – 4. b) tem duas raízes reais e iguais. c) tem duas raízes reais distintas. d) não tem raízes reais. e) o produto de suas raízes é nulo.
  • 6. Frente A •••• Capítulo 7 •••• Equações produto MATEMÁTICA 5 31. UTFPR 2011 O número 4 é a raiz da equação x 2 – x + 2c = 0. Nessas condições, determine o valor do coeficiente c. a) c = –4 b) c = 6 c) c = 4 d) c = –6 e) c = 3 32. Colégio Pedro II 2010 Um algoritmo é um procedimento computacional que serve de apoio para a programação de computadores, por meio da descrição de tarefas que devem ser efetuadas. Seguindo pré- determinadas instruções, a partir de valores ou expressões de entrada, é produzido um valor ou expressão de saída. Considere o algoritmo abaixo que determina uma equação do 2º grau, cujas raízes reais são dois números A e B conhecidos. a) Observando o algoritmo acima, determine uma equação do 2º grau com raízes 2 e 5. b) Quais são os valores A e B que devem ser considerados na entrada para que a equação de saída seja x 2 – 3x – 28 = 0?
  • 7. Frente A •••• Capítulo 7 •••• Equações produto MATEMÁTICA 6 GABARITO / RESOLUÇÃO 1. a) S = {–4;2} b) S = {–3;1} c) ;   = −    3 S 1 2 d) S = {0;3} e) ;   =     2 S 0 3 2. a) ;   = −    18 S 2 5 b) ;   = − −    14 S 2 5 c) ;   =     3 4 S 4 5 d) ;   = −    102 26 S 7 15 e) ;   = − −    22 5 S 3 2 3. a) ( ) ;   + + = ⇔ + = = −    22 3 4x 12x 9 0 2x 3 0 S 2 b) ( ) ;   − + = ⇔ − = =     22 1 25x 10x 1 0 5x 1 0 S 5 c) ( )( ) ; ;   − = ⇔ − + = = −    2 6 6 196x 144 0 14x 12 14x 12 0 S 7 7 d) ( ) { }; ;+ = ⇔ + = = −2 x 4x 0 x x 4 0 S 4 0 e) ; ;     + = ⇔ + = = −       2 x 1 1 x 0 x x 0 S 0 9 9 9 f) { };   + + = ⇔ + = = −    22 x 7x 1 49 0 x 7 0 S 28 16 2 4 4.   = ⇔ − = ⇔ − = ⇔ = =    2 23x 3x 3 3 x x 0 x x 0 x 0 ou x 10 10 10 10 O número racional, diferente de zero, cujo quadrado é igual ao triplo da sua décima parte é o 3 10 . 5.   = ⋅ ⇔ − = ⇔ − = ⇔ = =    2 2x 4x 4 4 x 4 x 0 x x 0 x 0 ou x 7 7 7 7 O número inteiro que tem o seu quadrado igual a quatro vezes a sua sétima parte é o 0, pois 4 7 é racional.
  • 8. Frente A •••• Capítulo 7 •••• Equações produto MATEMÁTICA 7 6. ( ) ( ) ; + = − + = − − − = − = = ⇔ = − = ⇔ =   =     2 2 2 2 2 7x 2x 9x 3 x 2x 9x 9x 3x 6x 6x 15x 0 3x 2x 5 0 3x 0 x 0 5 2x 5 0 x 2 5 S 0 2 7. a) + = ⇔ = − + = ⇔ = − + = ⇔ = − = − 3 2x 3 0 x 2 8 7x 8 0 x 7 3 1 9x 3 0 x 9 3 b) = + = ⇔ = − = − + = ⇔ = − = − x 0 121 11x 121 0 x 11 11 15 5 27x 15 0 x 27 9 c) + = ⇔ = − + = ⇔ = − = − − = ⇔ = 12 5x 12 0 x 5 26 13 10x 26 0 x 10 5 x 16 0 x 16 d) = ⇔ = − = ⇔ = = − = ⇔ = = 5x 0 x 0 24 4x 24 0 x 6 4 36 3x 36 0 x 12 3 e) ( ) = ⇔ = = + = ⇔ + = ⇔ = − − = ⇔ = = 2 2x 0 x 0 x 0 x x 0 x x 1 0 x 1 39 13x 39 0 x 3 13
  • 9. Frente A •••• Capítulo 7 •••• Equações produto MATEMÁTICA 8 8. a) − = ⇔ = − = ⇔ = + = ⇔ = − 1 1 x 0 x 11 11 1 1 3x 0 x 2 6 5x 7 14 0 x 2 3 15 b) + = ⇔ = − − = ⇔ = + = ⇔ = − 2x 4 0 x 38 19 9x 18 0 x 46 23 8 7x 8 0 x 7 c) = + = ⇔ = − = − − = ⇔ = + = ⇔ = − x 0 12 4 9x 12 0 x 9 3 x 16 0 x 64 4 7 7 x 0 x 4 4 d) = ⇔ = − = ⇔ = − = ⇔ = + = ⇔ = − 5x 0 x 0 7 6x 7 0 x 6 8x 10 45 0 x 9 11 44 14 7 12x 0 x 13 78 9. a) ( ) ( ) ( )( ) = + + = ⇔ + = ⇔ + = ⇔ = − = − = ⇔ − = ⇔ = = − = ⇔ − + = ⇔ = − 2 2 2 2 x 0 x 3x x 0 x 4x 0 x x 4 0 x 4 x 0 x 7x 0 x x 7 0 x 7 x 3 x 9 0 x 3 x 3 0 x 3 b) ( ) ( )( ) + = ⇔ = + + = ⇔ + ⇔ = − = − = ⇔ − + = ⇔ = − 22 2 5 2x 5 0 x 2 x 24x 144 0 x 12 x 12 11 x 3 9x 121 0 3x 11 3x 11 0 11 x 3
  • 10. Frente A •••• Capítulo 7 •••• Equações produto MATEMÁTICA 9 10. B Os elementos do conjunto A são tais que: (5x – 10)(13x + 39)(x + 31) = 0, assim: − = ⇔ = + = ⇔ = − + = ⇔ = − 5x 10 0 x 2 13x 39 0 x 3 x 31 0 x 31 Note que A possui dois elementos negativos. 11. a) + = ⇔ = − + = + ⇔ = − 17 2x 17 0 x 2 3x 19 2x 9 x 10 b) + = ⇔ = − − = + ⇔ = ⇔ = x 21 0 x 21 6x 8 x 7 5x 15 x 3 c) + = ⇔ = − + = ⇔ = ⇔ = 2x 8 0 x 4 x 32 9x 8x 32 x 4 d) + = ⇔ = − = + ⇔ = ⇔ = x 3 0 x 3 3 14x 4x 15 10x 15 x 2 e) = ⇔ = + = − ⇔ = − ⇔ = − 7x 0 x 0 7x 40 1 6x 13x 39 x 3 12. De acordo com a imagem, temos: ( )( ) ( )( ) ( )+ = ⇔ = − + + = + + ⇔ + = + ⇔ = x 11 0 x 11 não convém 2x 13 x 11 3x 8 x 11 2x 13 3x 8 x 5 Como o valor x = –11 encontrado torna uma das dimensões do campo e da quadra com medida igual a zero, temos que esse valor pode ser desconsiderado. Assim, as dimensões do campo são: 5 + 11 = 16 m e 2·5 + 13 = 23 m E a área do campo e da quadra são: A = 16·23 = 368 m 2 13. ( ) ( ) − = ⇔ = − = − 3 I 2x 3 0 x 2 II x 7 mx 9 Como o conjunto solução tem o 3 2 e o 1, temos que na segunda equação x = 1, assim: − = ⋅ − − = − = 1 7 m 1 9 6 m 9 m 3 14. E 4 + = ⇔ = − + = + ⇔ + = + ⇔ = ⇔ = 4 4 3x 0 x 3 9 10 x 10 x 4 15x 50 12x 60 3x 10 x 3 5 3 Logo, o conjunto solução da equação é ;   = −    4 10 S 9 3 .
  • 11. Frente A •••• Capítulo 7 •••• Equações produto MATEMÁTICA 10 15. C Resolvendo a equação: ( ) = + = ⇔ + = ⇔ = − + = − − ⇔ + = − − ⇔ = − ⇔ = − 2 x 0 x 7x 0 x x 7 0 x 7 2x 20 3x 14 2x 100 15x 70 17x 170 x 10 5 Logo, a equação possui dois valores negativos no conjunto-solução. 16. ( )( ) ( )( ) + + = + + + + = + + + = ⇔ = − + = + ⇔ = − 2x 3 2x 3 3x 7 4x 9 2x 3 4x 9 2x 3 3x 7 3 2x 3 0 x 2 4x 9 3x 7 x 2 17. C ( )( ) ( )( ) ( ) + + = + − + − = + + = + = ⇔ + = ⇔ = − − = + ⇔ = − 2 2 2 2 2 x 3x x 3x 3x 6 2x 5 x 3x 2x 5 x 3x 3x 6 x 0 x 3x 0 x x 3 0 x 3 2x 5 3x 6 x 11 Observe que a equação possui três soluções. 18. O número de soluções é a multiplicação dos expoentes, cada qual adicionado a um, assim: (3 + 1)(5 + 1)(1 + 1) = 4·6·2 = 48 soluções 19. Fatorando o 360, temos: 360 = 2 3 ·3 2 ·5 Assim, o número de soluções é: (3 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 4·3·2 = 24. 20. Desenvolvendo a equação, temos: x·y – 50 = 85 ⟺ x·y = 135 Fatorando o 135, temos: 135 = 3 3 ·5 Calculando o número de soluções: (3 + 1)(1 + 1) = 4·2 = 8 Combinando os fatores de 135, temos as soluções: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ); , ; , ; , ; , ; , ; , , , ;1135 3 45 9 15 27 5 5 27 15 9 45 3 135 1 21. As soluções para a equação x·y = 55, são: ( ) ( ) ( ) ( ); , ; , ; , ;155 5 11 115 55 1 Note que, nesse caso, os possíveis valores para x e y são: , , = = = = x 1 y 55 x 5 y 11 Para essas duas opções temos: + = + = + = + = x y 1 55 56 x y 5 11 16 Assim, não existem x e y que satisfazem as condições do enunciado.
  • 12. Frente A •••• Capítulo 7 •••• Equações produto MATEMÁTICA 11 22. Resolvendo a equação: ( )− = − − − 2xy 6y 4x 6 y 104 2xy 6y = −4xy 6y − = − = = 104 2xy 4xy 104 2xy 104 xy 52 Como 52 = 2 2 ·13, podemos encontrar as seguintes soluções: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ); , ; , ; , ; , ; , ;152 2 26 4 13 13 4 26 2 521 23. Resolvendo a equação: ( )+ = + − + = + − = 3xy 5x 4y 5 x 6 3xy 5x 4xy 5x 6 xy 6 Como 6 = 2·3, podemos encontrar as seguintes soluções inteiras: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ); , ; , ; , ; , ; , ; , ; , ;− − − − − − − −1 6 2 3 3 2 6 1 16 2 3 3 2 6 1 24. a) (x + 2)(x – 4) = x 2 – 2x – 8 b) (x – 8)(x – 5) = x 2 – 13x + 40 c) (x + 6)(x + 7) = x 2 + 13x + 42 d) (x – 11)(x + 1) = x 2 – 10x – 11 25. a)     + ⋅ − = − −        21 5 13 5 x x x x 3 2 6 6 b)     − ⋅ − = − +        21 1 3 1 x x x x 8 4 8 32 c)     + ⋅ + = + +        21 2 23 2 x x x x 9 5 45 45 d)     − ⋅ + = − −        22 2 8 4 x x x x 5 9 45 45 26. a) ( ) ( ) ( ) + ⋅ + = + + + + + = + + + = ⇔ = = ⇔ = 2 2 2 x 10 x K x 18x 80 x 10 K x 10K x 18x 80 10 K 18 K 8 10K 80 K 8 b) ( ) ( ) ( ) − ⋅ − = − + − + + = − + + = ⇔ = = ⇔ = 2 2 2 x 12 x K x 15x 36 x 12 K x 12K x 15x 36 12 K 15 K 3 12K 36 K 3
  • 13. Frente A •••• Capítulo 7 •••• Equações produto MATEMÁTICA 12 c) ( ) ( ) ( ) + ⋅ + = + + + + + = + + + = ⇔ = = ⇔ = 2 2 2 x K x 7 x 18x 77 x K 7 x 7K x 18x 77 K 7 18 K 11 7K 77 K 11 d) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) − ⋅ + ⋅ + = + + − − ⋅ + + = + + − + − + − − = + + − − = ⇔ = − = ⇔ = − = − ⇔ = 3 2 2 3 2 3 2 3 2 x K x 3 x 4 x 6x 5x 12 x K x 7x 12 x 6x 5x 12 x 7 K x 12 7K x 12K x 6x 5x 12 7 K 6 K 1 12 7K 5 K 1 12K 12 K 1 27. X Y X + Y X · Y a) 5 7 12 35 b) 3 8 11 24 c) 12 2 14 24 d) 13 6 19 78 28. a) 3 e 4 b) 2 e –9 c) 13 e –3 d) 7 e 15 29. A Sabe-se que 2 e 3 são as raízes da equação x 2 + px + q = 0. A soma das raízes é = − p S 1 , assim: − = + ⇔ − = ⇔ = − p 2 3 p 5 p 5 1 Sabe-se que – 2 e 3 são as raízes da equação x 2 + rx + s = 0. O produto das raízes é = s P 1 , assim: ( )= − ⋅ ⇔ = − s 2 3 s 6 1 Portanto, a equação x 2 + px + s = 0 fica: x 2 – 5x – 6 = 0 A soma e o produto das raízes dessa equação são: ( )− = − = 5 S 5 1 ( )− = = − 6 P 6 1 Os dois valores que satisfazem essas condições são: –1 e 6.
  • 14. Frente A •••• Capítulo 7 •••• Equações produto MATEMÁTICA 13 30. C Dada a equação x 2 – 4x + 3 = 0, temos que a soma e o produto das suas raízes são: ( )− = − = 4 S 4 1 = = 3 P 3 1 Logo, podemos concluir que as raízes dessa equação são 1 e 3 e a equação possui duas raízes reais distintas. 31. D Calculando a soma e o produto das raízes da equação x 2 – x + 2c = 0, temos: − = − = = = ( 1) S 1 1 2c P 2c 1 Uma das raízes é o 4, então: x1 + 4 = 1 ⟺ x1 = –3 Usando o produto: ( )⋅ − = − = = − 4 3 2c 12 2c c 6 32. a) De acordo com o algoritmo, temos: [ ] [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] → →  − ⋅ − =  → − + + ⋅ = →    2 Início raízes 2 e 5 x 2 x 5 0 x 2 5 x 2 5 0 Fim Logo, a equação do 2º grau com raízes 2 e 5 é: ( ) ( )− + + ⋅ = − + = 2 2 x 2 5 x 2 5 0 x 7x 10 0 b) Para que a equação de saída seja x 2 – 3x – 28 = 0, os valores A e B considerados na entrada devem ser tais que: ( ) ( )− + + ⋅ = − − + = ⋅ = − 2 2 x A B x A B x 3x 28 A B 3 A B 28 Com isso, podemos concluir que A = 7 e B = –4.