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MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
Professor Silvio Coelho da Silva
Ensino Médio
1ª SÉRIE
Seduc em Ação/TBC
OBJETIVO DE APRENDIZAGEM DO DC-GOEM
OBJETO DE CONHECIMENTO
HABILIDADE DO SAEB/SAEGO
Resolver situações-problema que envolvam progressões aritméticas.
(GO-EMMAT507B) Compreender as características da progressão aritmética (PA),
identificando seus elementos e conceitos (termos, posições dos termos, quantidade de
termos, termo geral, razão, lei de formação, soma dos termos, entre outros) para
aplicar tais conceitos na resolução de problemas que se relacionem às sequências.
Progressões Aritméticas (P.A.).
.
HABILIDADE DA BNCC
(EM13MAT507) Identificar e associar progressões aritméticas (PA) a funções afins
de domínios discretos, para análise de propriedades, dedução de algumas fórmulas e
resolução de problemas.
Nada mais é do que uma sequência numérica em que
o número seguinte, a partir do segundo, é a soma do
número anterior com um número fixo, chamado de
razão da progressão.
Calma, Dom... Mil ‘calmas”...
Progressão Aritmética
Se liga
na ideia:
Vixe,
professor
Silvio!
a sequência tem o
lance
(3, 5, 7, 9, 11)
3 + 2 = 5
5 + 2 = 7
7 + 2 = 9
9 + 2 = 11
...
e assim por
diante.
Equipe Seduc/2022.
Vamos brincar um pouquinho com essas ideias. Pode
ser Dom....
(4, 8, 12, 16, 20)
8 = 4 + 4
12 = 8 + 4
16 = 12 + 4
20 = 16 + 4
(15, 11, 7, 3, -1)
11 = 15 + (-4)
7 = 11 + (-4)
3 = 7 + (-4)
-1 = 3 + (-4)
Treinar é o
segredo do
sucesso.
Pense nisso.
Crescente
R > 0
Decrescente
R < 0
(10, 10, 10, 10)
10 = 10 + 0
10 = 10 + 0
10 = 10 + 0
constante
R = 0
4 > 0
-4 < 0
0 = 0
Equipe Seduc/2022.
Vamos visualizar a representação de uma P.A.
𝒂𝟏, 𝒂𝟐, 𝒂𝟑, 𝒂𝟒, … , 𝒂𝒏, 𝒂𝒏+𝟏, …
(2, 4, 6, 8,..., 10, 12, ...)
Se for finita:
(1, 3, 5, 7, 9, 11)
Olha só que
massa, Dom.
Se for infinita:
(..., 2, 4, 6, 8, 10, ....)
Equipe Seduc/2022.
‘Bora’ organizar isso melhor. Vejam com fica:
𝒂𝒏+𝟏 = 𝒂𝒏 + 𝒓
𝑎2 − 𝑎1 = 𝑎3 − 𝑎2 = 𝑎𝑛+1− 𝑎𝑛
= 𝑟
∀ n є N*
Que tal fazer
um pouquinho?
Com calma,
chegaremos
lá.
Equipe Seduc/2022.
𝑎2 − 𝑎1 = R
6 – 2 = 4
Calcular r e 𝑎6 na P.A.
(2, 6 ,10, 14, 18, ...)
𝒂𝒏+𝟏 = 𝒂𝒏 + 𝒓
𝒂𝟔 = 𝒂𝟓 + 𝒓
𝒂𝟔 = 𝟏𝟖 + 𝟒
𝒂𝟔 = 𝟐𝟒
R = 4
&
𝒂𝟔 = 𝟐𝟒
LIÇÃO
ZERO 
Equipe Seduc/2022.
Paciência
jovem..
LIÇÃO
HUM  Determinar o valor de x ,
de modo que os números
(x + 4 )², (x – 1)² e (x + 2)²
estejam, nessa ordem, em
P.A.
𝑎2 − 𝑎1 = 𝑎3 − 𝑎2
𝑿 − 𝟏 2
− 𝑿 + 𝟒 2
= 𝑿 + 𝟐 2
− (𝑿 − 𝟏)²
(X² - 2X + 1) – (X² + 8X + 16) = (X² + 4X + 4) – (X² - 2X + 1)
-2X + 1 – 8X – 16 = 4X + 4 + 2X - 1 -10X – 15 = 6X + 3
-10X – 6X = 15 + 3 -16X = 18 𝑿 = −
𝟏𝟖
𝟏𝟔
𝑿 = −
𝟗
𝟖
GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto; GIOVANNI JR., José Ruy. Matemática completa. Volume único. São Paulo: FTD, 2002. p. 144.
Equipe Seduc/2022.
Beleza
de
Creuza.
Temos também a fórmula do termo geral de uma P.A.
𝑎𝑛 = 𝑎1 + 𝑛 − 1 . 𝑟
Em que chamamos
𝑎𝑛 = 𝑒𝑛é𝑠𝑖𝑚𝑜 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜 𝑑𝑎 𝑃. 𝐴.
𝑎1 = 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑖𝑟𝑜 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜 𝑑𝑎 𝑃. 𝐴.
𝑛 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑎 𝑃. 𝐴.
𝑟 = a razão dessa P.A.
𝑎20
= 5 + 20 − 1 . 4
𝑎20 = 5 + 20 − 1 . 4
𝑎20 = 5 + 19 . 4
𝑎20 = 5 + 76
𝑎20 = 81
LIÇÃO
TRÊS 
Equipe Seduc/2022.
Viu que
é muito
massa?
E se fizéssemos a soma desses termos, como ficaria?
𝑆𝑛 =
(𝑎1+𝑎𝑛)𝑛
2
Em que chamamos
𝑎𝑛 = 𝑒𝑛é𝑠𝑖𝑚𝑜 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜 𝑑𝑎 𝑃. 𝐴.
𝑎1 = 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑖𝑟𝑜 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜 𝑑𝑎 𝑃. 𝐴.
𝑛 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑎 𝑃. 𝐴.
𝑆𝑛= a soma dos n termos da P.A.
𝑆10 =
4 + 13 10
2
𝑆10 = 17x5
𝑆10 = 85
LIÇÃO
QUATRO 
Equipe Seduc/2022.
LIÇÃO
CINCO 
Achar a soma dos 5
primeiros termos da
P.A. (1, 3, 5, ...)
𝑎2 − 𝑎1 = r
3 − 1 = 2 = r
𝑎𝑛 = 𝑎1 + 𝑛 − 1 . 𝑟
𝑎5 = 1 + 5 − 1 . 2
𝑎5 = 1 + 4 . 2
𝑎5 = 1 + 8 = 9
𝑆𝑛 =
(𝑎1+𝑎𝑛)𝑛
2
𝑆5 =
1+9 5
2
𝑆5 =
10 5
2
𝑆5 =
50
2
𝑆5 =25 Equipe Seduc/2022.
Fixando,
Dom.
Bons
estudos!
Até breve!
2022

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  • 1. MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS Professor Silvio Coelho da Silva Ensino Médio 1ª SÉRIE Seduc em Ação/TBC
  • 2. OBJETIVO DE APRENDIZAGEM DO DC-GOEM OBJETO DE CONHECIMENTO HABILIDADE DO SAEB/SAEGO Resolver situações-problema que envolvam progressões aritméticas. (GO-EMMAT507B) Compreender as características da progressão aritmética (PA), identificando seus elementos e conceitos (termos, posições dos termos, quantidade de termos, termo geral, razão, lei de formação, soma dos termos, entre outros) para aplicar tais conceitos na resolução de problemas que se relacionem às sequências. Progressões Aritméticas (P.A.). . HABILIDADE DA BNCC (EM13MAT507) Identificar e associar progressões aritméticas (PA) a funções afins de domínios discretos, para análise de propriedades, dedução de algumas fórmulas e resolução de problemas.
  • 3. Nada mais é do que uma sequência numérica em que o número seguinte, a partir do segundo, é a soma do número anterior com um número fixo, chamado de razão da progressão. Calma, Dom... Mil ‘calmas”... Progressão Aritmética Se liga na ideia: Vixe, professor Silvio! a sequência tem o lance (3, 5, 7, 9, 11) 3 + 2 = 5 5 + 2 = 7 7 + 2 = 9 9 + 2 = 11 ... e assim por diante. Equipe Seduc/2022.
  • 4. Vamos brincar um pouquinho com essas ideias. Pode ser Dom.... (4, 8, 12, 16, 20) 8 = 4 + 4 12 = 8 + 4 16 = 12 + 4 20 = 16 + 4 (15, 11, 7, 3, -1) 11 = 15 + (-4) 7 = 11 + (-4) 3 = 7 + (-4) -1 = 3 + (-4) Treinar é o segredo do sucesso. Pense nisso. Crescente R > 0 Decrescente R < 0 (10, 10, 10, 10) 10 = 10 + 0 10 = 10 + 0 10 = 10 + 0 constante R = 0 4 > 0 -4 < 0 0 = 0 Equipe Seduc/2022.
  • 5. Vamos visualizar a representação de uma P.A. 𝒂𝟏, 𝒂𝟐, 𝒂𝟑, 𝒂𝟒, … , 𝒂𝒏, 𝒂𝒏+𝟏, … (2, 4, 6, 8,..., 10, 12, ...) Se for finita: (1, 3, 5, 7, 9, 11) Olha só que massa, Dom. Se for infinita: (..., 2, 4, 6, 8, 10, ....) Equipe Seduc/2022.
  • 6. ‘Bora’ organizar isso melhor. Vejam com fica: 𝒂𝒏+𝟏 = 𝒂𝒏 + 𝒓 𝑎2 − 𝑎1 = 𝑎3 − 𝑎2 = 𝑎𝑛+1− 𝑎𝑛 = 𝑟 ∀ n є N* Que tal fazer um pouquinho? Com calma, chegaremos lá. Equipe Seduc/2022.
  • 7. 𝑎2 − 𝑎1 = R 6 – 2 = 4 Calcular r e 𝑎6 na P.A. (2, 6 ,10, 14, 18, ...) 𝒂𝒏+𝟏 = 𝒂𝒏 + 𝒓 𝒂𝟔 = 𝒂𝟓 + 𝒓 𝒂𝟔 = 𝟏𝟖 + 𝟒 𝒂𝟔 = 𝟐𝟒 R = 4 & 𝒂𝟔 = 𝟐𝟒 LIÇÃO ZERO  Equipe Seduc/2022.
  • 8. Paciência jovem.. LIÇÃO HUM  Determinar o valor de x , de modo que os números (x + 4 )², (x – 1)² e (x + 2)² estejam, nessa ordem, em P.A. 𝑎2 − 𝑎1 = 𝑎3 − 𝑎2 𝑿 − 𝟏 2 − 𝑿 + 𝟒 2 = 𝑿 + 𝟐 2 − (𝑿 − 𝟏)² (X² - 2X + 1) – (X² + 8X + 16) = (X² + 4X + 4) – (X² - 2X + 1) -2X + 1 – 8X – 16 = 4X + 4 + 2X - 1 -10X – 15 = 6X + 3 -10X – 6X = 15 + 3 -16X = 18 𝑿 = − 𝟏𝟖 𝟏𝟔 𝑿 = − 𝟗 𝟖 GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto; GIOVANNI JR., José Ruy. Matemática completa. Volume único. São Paulo: FTD, 2002. p. 144. Equipe Seduc/2022.
  • 9. Beleza de Creuza. Temos também a fórmula do termo geral de uma P.A. 𝑎𝑛 = 𝑎1 + 𝑛 − 1 . 𝑟 Em que chamamos 𝑎𝑛 = 𝑒𝑛é𝑠𝑖𝑚𝑜 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜 𝑑𝑎 𝑃. 𝐴. 𝑎1 = 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑖𝑟𝑜 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜 𝑑𝑎 𝑃. 𝐴. 𝑛 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑎 𝑃. 𝐴. 𝑟 = a razão dessa P.A. 𝑎20 = 5 + 20 − 1 . 4 𝑎20 = 5 + 20 − 1 . 4 𝑎20 = 5 + 19 . 4 𝑎20 = 5 + 76 𝑎20 = 81 LIÇÃO TRÊS  Equipe Seduc/2022.
  • 10. Viu que é muito massa? E se fizéssemos a soma desses termos, como ficaria? 𝑆𝑛 = (𝑎1+𝑎𝑛)𝑛 2 Em que chamamos 𝑎𝑛 = 𝑒𝑛é𝑠𝑖𝑚𝑜 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜 𝑑𝑎 𝑃. 𝐴. 𝑎1 = 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑖𝑟𝑜 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜 𝑑𝑎 𝑃. 𝐴. 𝑛 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑎 𝑃. 𝐴. 𝑆𝑛= a soma dos n termos da P.A. 𝑆10 = 4 + 13 10 2 𝑆10 = 17x5 𝑆10 = 85 LIÇÃO QUATRO  Equipe Seduc/2022.
  • 11. LIÇÃO CINCO  Achar a soma dos 5 primeiros termos da P.A. (1, 3, 5, ...) 𝑎2 − 𝑎1 = r 3 − 1 = 2 = r 𝑎𝑛 = 𝑎1 + 𝑛 − 1 . 𝑟 𝑎5 = 1 + 5 − 1 . 2 𝑎5 = 1 + 4 . 2 𝑎5 = 1 + 8 = 9 𝑆𝑛 = (𝑎1+𝑎𝑛)𝑛 2 𝑆5 = 1+9 5 2 𝑆5 = 10 5 2 𝑆5 = 50 2 𝑆5 =25 Equipe Seduc/2022. Fixando, Dom.
  • 13. 2022