por favor ayudarme a resolver esos ejercicios lo mas pronto posible que sea ,os lo ruego

1. Analise Matematica I
Exerccios propostos { 2014/2015
Engenharia de Energias
Engenharia Mec^ancia
Departamento de Matematica
Universidade de Tras os Montes e Alto Douro

2. 1. Das correspond^encias abaixo indique quais de

3. nem uma func~ao:
a)
f : R ! R
x7! x2 b)
f : R ! R
x7! jx+1j
x
c)
f : R ! R
x7!
4 ; x 0
2x ; x 0
2. Determine o domnio das seguintes func~oes:
a) f (x) =
x2
x 1
+ ln(4 j2x + 1j) ; b) f (x) =
r
x2 2x + 1
x3 ; c) f (x) =
p
x +
1
p
2 + x
;
d) f (x) = ln
2x2 x 1
x2 + 4
; e)f (x) = 3 p
x + 1 +
p
x2 5 ; f) f (x) = e
1
cot(x) ;
g) f (x) =
p
1 cos2 x ; h) f (x) =
x2 x
sen(x)
; i) f (x) = tg(x 2):
3. Analise a injectividade das seguintes func~oes:
a) f (x) =
x 1
x + 1
; b) g (x) =
x3 x
1
3 ; c) h (x) = eln(x)ln(x1) .
4. Veri

4. que a paridade das seguintes func~oes:
a) f (x) = x2 + 2 ; b) f (x) =

8. 1
x
+ tg
x
2

12. + 5 ; c) g (x) = ln
8x4 + 2x2
.
5. Mostre que as func~oes que se seguem s~ao periodicas:
a) f(x) = sen(4x) b) f(x) = tg(4x + 1) c) f(x) = + cos(5x)
6. Determine o domnio e a express~ao analtica de g f e f g, sendo:
a) f (x) =
p
x e g (x) =
1
x2 1
; b) f (x) =
8
:
1 se x 0
3 se x 0
e g (x) = x3 1 ;
c) f (x) = (x 1)2 e g (x) =
p
x ; d) f (x) = ln(x + 1) e g (x) = ex + 4 :
7. Determine o valor das seguintes express~oes, considerando as restric~oes principais das func~oes trigo-nom
etricas seno, co-seno, tangente e co-tangente:
a) arcsen
1
2
; b) arccos
p
3
2
!
;
c) arccotg
p
3
6
+ cos
1
2
arctg
5
2
; d) sen
2 arccotg
1
2
+ arcsen
p
2
2
!!
:
8. Escreva as seguintes identidades como express~oes algebricas em x, sendo x 0:
a) cos (arctg x) + cosec
arccos
x
2
; b) sen
arccotg
1
x
+ cotg
2 arccotg
x
2
:
1

13. 9. Caracterize a inversa das func~oes de

14. nidas por:
a) f (x) = 1 +
p
x + 3 ; b) f (x) = e2sen x cos x ; c) f (x) = 2 arctg (x + 1)
2
:
10. Determine o valor das seguintes express~oes:
a) cosh
p
2
; b) tanh
1
4
; c) csch (sinh (ln 3)) :
11. Mostre que, no respectivo domnio de de

15. nic~ao, vale a igualdade
tanh (ln j tan x + sec xj) = sin x :
12. Veri

16. que a exist^encia de assmptotas verticais, horizontais e oblquas as seguintes curvas represen-tadas
por y = f(x)
a) f(x) =
x3 + 3
x 2
;Rnf2g ; b) f(x) =
x2 + 1
x2 4
;Rnf2; 2g ; c) f(x) =
x3 + 4x + 1
x2 + x
;Rnf1; 0g :
13. Usando a de

17. nic~ao de derivada de uma func~ao num ponto, determine f0(x0) nos pontos indicados:
p
x 4 ; x0 = 6 ; b) f(x) = e3x+1 ; x0 =
a) f(x) = 2
1
3
;
c) f(x) = ln(2x + 1) ; x0 = 0 ; d) f(x) =
1
x2 ; x0 = 2 :
14. Calcule a derivada das seguintes func~oes:
a) f(x) =
p
x2 4x + 1 ; b) f(x) = ln
x2 7x
; c)f(x) = jxj + tg2x ;
d) f(x) = arcsin
1
x2
2
; e) f(x) =
x arctg x
ch x
; f) f(x) = xnecos x :
15. Dadas as func~oes f e g de

18. nidas por f(x) = 2 cot(3x) e g(x) =
2 + arcsin(1 x2), determine:
a) a equac~ao da recta tangente ao gra

19. co de g no ponto de abcissa 1;
b) a derivada de f g no ponto de abcissa 1.
16. De

20. na a func~ao derivada de
f(x) =
8
:
x
ex ; x 0
sen x ; 0 x
4
1
x
; x
4
:
17. Seja f uma func~ao real de variavel real de

21. nida por f(x) = arccos
2x
x2+1
.
a) Determine o domnio de f.
2

22. b) De

23. na a func~ao derivada de f.
18. Considere a func~ao real de variavel real f de

24. nida por
f(x) =
8
:
sinh (1 x)tan(x1) ; 0 x 1
cosh (x 1) ; x 1
:
Determine o conjunto dos pontos de continuidade de f.
19. Seja f uma func~ao real de variavel real de

25. nida por
f(x) =
8
:
arctan
x
2
; x
2
sin (2x) ; x
2
:
a) De

26. na a func~ao derivada de f.
b) Comente a a

27. rmac~ao: A func~ao f tem uma descontinuidade em x =
2
.
20. Considere a seguinte func~ao f de express~ao analtica
f(x) =
8
:
(tanh x)sinh x ; x 0
k ; 1 x 0
x + 1
x2 x 2
; x 1
; k 2 R:
Determine, se possvel, o valor de k para o qual f e contnua em R.
21. Seja f(x) = sin2 x + cos x.
a) Determine os extremos locais de f.
b) Justi

28. que a a

29. rmac~ao: A func~ao fj[3
;3]
tem maximo absoluto em 5
4 = f
3
= f
3
e
mnimo absoluto em 1 = f(0).
22. Seja f(x) = x3 3x, com x 2
3
2 ; 2
.
a) Sem efectuar calculos, justi

30. que a seguinte a

31. rmac~ao:
A func~ao f tem extremos absolutos no intervalo
3
.
2 ; 2
b) Determine e classi

32. que os extremos absolutos de fj[32
;2]
a que se refere a alnea anterior.
23. Considere a func~ao f de

33. nida analiticamente por f(x) =
x
x 2
.
a) Mostre que o Teorema de Lagrange e aplicavel a f no intervalo [0; 1].
b) Determine o ponto do gra

34. co de f onde a recta tangente ao gra

35. co e paralela a corda que une
os pontos (0; 0) e (1;1).
3

36. 24. Mostre que x0 = 2 e o unico zero de f(x) =
x + 2
x2 + 1
, no intervalo [5; 1].
25. Sem recorrer a primeira derivada de f, mostre que a func~ao f(x) = cos x sin x tem um ponto
crtico no intervalo
6
;
3
2
.
26. Exprima os polinomios seguintes como polinomios das pot^encias indicadas:
a) P(x) = 4x3 + 5x2 2x + 1 ; x + 2 ; b) Q(x) = x3 2x2 + 3 ; x 1 :
27. Obtenha a formula de Taylor com resto de Lagrange para as seguintes func~oes:
a) f1(x) = 3x ; a = 2 ; n = 3 ; b) f2(x) = arcsin(x) ; a = 0 ; n = 2 ;
c) f3(x) = ln(sin(x)) ; a =
4 ; n = 2 ; d) f4(x) = tan(x) ; a = 0 ; n = 2 ;
e) f5(x) = sinh(x) ; a = 2 ; n = 3 ; f) f6(x) = arctan
1
x
; a = 1 ; n = 2 ;
g) f7(x) = ex+ln(x2) ; a = 1 ; n = 2 h) f8(x) = sin(x)
p
1 + x ; a = 0 ; n = 2 :
28. Obtenha a formula de Mac-Laurin com resto de Lagrange de ordem n, para cada uma das seguintes
func~oes:
a) f(x) = ex ; b) g(x) = sin(x) ; c) i(x) =
1
1 + x
; d) j(x) = ln(1 + x) :
29. Calcule as seguintes primitivas, supondo que as func~oes dadas encontram-se de

37. nidas em domnios
adequados:
a)
Z
6x2 + 8x + 5
dx ; b)
Z
sin2 x cos x dx ; c)
Z
arcsin x
p
1 x2
dx ;
d)
Z
xex2+3 dx ; e)
Z
sec2 x
tan x
dx ; f)
Z
earctan x
1 + x2 dx ;
g)
Z
1
(1 + x) ln(x + 1)
dx ; h)
Z
1
csc(2x) cot(2x)
dx ; i)
Z
1
(4 + x2) arctan
x
2
dx ;
j)
Z
sinh x + cos x
sin x + cosh x
dx ; k)
Z
sec x dx ; l)
Z
x csc(x2) dx ;
m)
Z
3x
x4 + e4 dx ; n)
Z
2x + 3
x2 + 2x + 5
dx ; o)
Z
1 p
a2 (x + b)2
dx ;
p)
Z
ex
p
1 e2x
dx ; q)
Z
ex cot (ex) dx :
30. Determine a func~ao real de variavel real f que veri

38. ca as seguintes condic~oes:
a)
8
:
f0(x) = cos x
f
5
6
= 1
; b)
8
:
f0(x) =
1
p
1 x2
f (0) = 0
; c)
8
:
f0(x) =
1
1 + x2
f(0) = 2
;
4

39. d)
8
:
f0(x) =
4 p
arcsin x
p
1 x2
f(0) = 1
; e)
8
:
f00(x) = e3x
f0 (0) = 6
f(0) = 1
; f)
8
:
f00(x) =
1
x2 ; 8x 0
f0(1) = 2
f(1) = 1
;
g)
8
:
f0(x) =
1
(arctan2 x + 1) (1 + x2)
lim
x!+1
f(x) = 0
:
31. Utilizando o metodo de primitivac~ao por partes, calcule as seguintes primitivas:
a)
Z
x cos x dx ; b)
Z
x ln x dx ; c)
Z
e2x cos x dx ;
d)
Z
x2 ln j2x + 5j dx ; e)
Z
ln(x2 + a2) dx ; f)
Z
ln(ln x)
x
dx ;
g)
Z
x2ex dx ; h)
Z
ln
1 + x
1 x
dx ; i)
Z
(1 x)e1+2x dx ;
j)
Z
x arcsin x
p
1 x2
dx ; k)
Z
earcsin x dx ; l)
Z
cos(ln x) dx ;
m)
Z
(sec x csc x)2 dx ; n)
Z
cos x ln j1 + cos xj dx ; o)
Z
e3x32x1 dx ;
p)
Z
x5x dx ; q)
Z
arccos x dx ; r)
Z
arctan
1
x
dx ;
s)
Z
x arcsin
x2
dx ; t)
Z
x arctan
p
x2 1
dx ; u)
Z
eax sin(bx) dx ; a; b6= 0 :
32. Calcule as seguintes primitivas de func~oes racionais:
a)
Z
x4 3x3
x2 3x + 2
dx ; b)
Z
x3 5x + 9
(x 1)3(x + 2)
dx ; c)
Z
x4
x4 1
dx ;
d)
Z
x3 + 1
x3 x2 dx ; e)
Z
2x
(x + 1)(x2 + 1)2 dx ; f)
Z
x2 1
x(x2 + 1)
dx ;
g)
Z
x2 + 1
(x 1)3 dx ; h)
Z
2x2 3x 3
(x 1)(x2 2x + 5)
dx ; i)
Z
x2 + 6x 1
(x 3)2(x 1)
dx ;
j)
Z
2
(x2 x)(x2 + 1)
dx ; k)
Z
x2 + 10x + 5
x2(3x2 + 5)
dx ; l)
Z
1
x3 + x2 + x
dx :
33. Calcule as seguintes primitivas de func~oes trigonometricas ou hiperbolicas:
5

40. a)
Z
cos3 x dx ; b)
Z
sin2 x dx ; c)
Z
sin2(2x) cos3(2x) dx ; d)
Z
cos3 x
sin4 x
dx ;
e)
Z
tan3 x dx ; f)
Z
1
sin4 x
dx ; g)
Z
sin2 x cos4 x dx ; h)
Z
cot4 x dx ;
i)
Z
sec3 x dx ; j)
Z
sin3 x
3 p
cos4 x
dx ; k)
Z
sinh3 x dx ; l)
Z
coth5 x dx :
34. Usando o metodo de substituic~ao, calcule as seguintes primitivas:
a)
Z
1
(x2 + 2)2 dx ; b)
Z
e2x
e4x 1
dx ; c)
Z
ex
ex + ex dx ; d)
Z
5x
53x + 5x dx ;
e)
Z
3x
32x 3x 2
dx ; f)
Z p
x + 2
3 p
x + 2 + 1
dx ; g)
Z
x3
p
16 x2 dx ; h)
Z p
x
p
3 x
dx ;
i)
Z
x2
p
4 x2
dx ; j)
Z p
1 x2
x4 dx ; k)
Z p
x2 + 1 dx ; l)
Z
x3
p
x2 + 9
dx ;
m)
Z
1
x
p
x2 9
dx ; n)
Z
1
p
2x x2
dx ; o)
Z
x2 1
p
2 4x2
(1 + x)
dx :
35. Calcule as seguintes primitivas, supondo que as func~oes est~ao de

41. nidas nos seus domnios:
a)
Z
1
x (x2 + 5)
dx ; b)
Z
1
(x + 2)2(x + 3)2 dx ; c)
Z
3 4x
(1 2
p
x)2 dx ;
d)
Z p
x 4x2 dx ; e)
Z
1
x4
p
x2 1
dx ; f)
Z
1
x
p
1 x3
dx ;
g)
Z
1
2 sin x + 3 cos x 5
dx ; h)
Z
x
cos2(3x)
dx ; i)
Z
x2ex3
dx ;
j)
Z
x2 ln
p
1 x
dx ; k)
Z
sinh
p
1 x
p
1 x
dx ; l)
Z
arcsin
p
x
dx ;
m)
Z
2x
1 4x dx ; n)
Z
x
sinh2 x
dx ; o)
Z
e2x
e4x + 4
dx :
36. Seja f uma func~ao real de variavel real integravel no intervalo [a; a], com a 0. Mostre que,
nestas condic~oes, s~ao validas as seguintes a

42. rmac~oes:
a) Se f e par, ent~ao
Z a
a
f(x) dx = 2
Z a
0
f(x) dx.
b) Se f e mpar, ent~ao
Z a
a
f(x) dx = 0.
6

43. 37. Calcule o valor dos seguintes integrais de

44. nidos:
a)
Z 2
2
cos2 x dx ; b)
Z p
3
p
3
p
4 x2 dx ; c)
Z 1
0
x2 e2x dx ;
d)
Z
3
0
cos x tan3 x dx ; e)
Z 1
1
sinh2 x dx ; f)
Z
3
4
cos x + sin2 x
sec x tan x
dx ;
g)
Z ln 2
2
ln 2
e4x
p
1 e2x
dx ; h)
Z 1
0
3x + 3
37x + 3x dx ; i)
Z p
3
1
arctan x
x2 dx ;
j)
Z
6
0
sec2 x
tan2 x + tan x 2
dx ; k)
Z p
3
1
x2 + 2
x +
p
1 + x2
dx ; l)
Z 1
3
0
(arccos(3x))2
p
1 9x2
dx ;
m)
Z 1
0
2 +
p
x
p
4 x
dx ; n)
Z
0
sin3 x
1 + cos2 x
dx ; o)
Z 1
1
2
e2x
e4x 4
dx ;
p)
Z
4
0
x tan2 x dx ; q)
Z
2
0
sin2 x cos x esin x dx ; r)
Z 4
2
x2 ln
1
1
x2
dx :
38. Identi

45. que e represente geometricamente as curvas de equac~oes:
a)
x2
9
+
y2
4
= 1 ; b) (x + 3)2 = 8(y 2) ; c) x2 4x = y 2 ;
d) x + 2 = 3
2y ; e) x2 2x + 4y2 8y + 1 = 0 ; f) x2 + 6x + 4y + 9 = 0 ;
g) (y 3)2 = x ; h) x2 4y 2y2 = 0 ; i) x2 y2 + 6y = 10 :
39. Considere as regi~oes planas descritas em coordenadas cartesianas por:
R1 =
(x; y) 2 R2 : x2 y x + 2
;
R2 =
(x; y) 2 R2 :
1
2
y sin x ^ 0 x
;
R3 =
(x; y) 2 R2 : ex y ex ^ 0 x 1
;
R4 =
(x; y) 2 R2 : x2 + y2 2y 0 ^ 4x2 + y2 4
;
R5 =
(x; y) 2 R2 : xy 1 ^ x2 y 4
;
R6 =
(x; y) 2 R2 :
1
2
x2 + 2 y x2 + 3
:
a) Represente gra

46. camente cada uma das regi~oes.
7

47. b) Determine, usando integrais, a area de cada uma das regi~oes.
40. Determine, usando integrais, o comprimento do arco de curva em cada um dos seguintes casos:
a) y =
x3
6
+
1
2x
; x 2 [1; 3] ; b) x = ln(sec y) ; y 2
h
0;
3
i
;
c) x =
1
4
y2
1
2
ln y ; entre os pontos
1
4
; 1
e
1 ln
p
2; 2
;
d) x2 + y2 2y = 0 ; entre os pontos (0; 0) e
p
3
2
;
3
2
!
.
41. Considere a regi~ao plana R =
(x; y) 2 R2 :
x 1
2
.
y ex ^ x 3 ^ y 1 x
a) Esboce a regi~ao R, identi

48. cando todas as curvas que a delimitam.
b) Calcule a area da regi~ao R em torno do eixo Ox.
42. Considere a regi~ao plana de

49. nida pelas condic~oes
x 1 (y 1)2 ^ x 2 :
a) Esboce a regi~ao, identi

50. cando todas as curvas que a delimitam.
b) Calcule o comprimento do arco de parabola que delimita a regi~ao.
43. Veri

51. que se s~ao limitadas as seguintes sucess~oes de termos gerais:
an =
n + 3
n + 5
; bn =
8n + 1
2n 3
; cn =
(1)n4
2n 1
:
44. Estude, quanto a monotonia, as seguintes sucess~oes de termos gerais:
an =
n + 3
n + 5
; bn =
1
3n ln(n + 1)
; cn = ln
n + 3
n + 1
; dn =
(1)n4
2n 1
; n 2 N :
45. Classi

52. que as seguintes sucess~oes quanto a sua converg^encia:
8

53. an =
(7)n 2n
(7)n + 3n ; bn =
p
n
3 p
n + 3
; cn =
p
n2 + n n ;
dn =
(n + 1)! n!
2(n + 1)!
; en =
3n+3 5n
5n+24n1 ; fn = 2 +
n2 + sin n
n2 + 1
;
gn =
n cos (n)
2n2 + 1
; hn =
n3 + 3n+4
n+4
sin
1
3n2
; in =
2n + 5
2n3
n
;
jn =
3n 8
2n+3
n
; kn =
1
5
n
p
n
; ln =
n2 + 3n+5
n2+3
n+1
;
mn =
8
:
n2 + 2
n2 1
n2
3
; n par
en 2
en+1 2n ; n mpar
; nn =
8
:
n!
(2n + 3)!
se n 100
1
5
n
p
n
se n 100
:
46. Indique, justi

54. cando, o valor logico das seguintes proposic~oes:
a) Toda a sucess~ao positiva decrescente n~ao e limitada.
b) As sucess~oes de termos gerais an =
2Xn+3
k=2
k
3
2
e bn =
1
2n2
X2n
k=2
(2 + k)
!n
s~ao divergentes.
c) Seja (un)n2N uma sucess~ao de termos negativos. Se (un)n2N e convergente ent~ao lim un 0 .
47. Determine a natureza das seguintes series:
a)
X+1
n=1
1
n 2n ; b)
X+1
n=1
e +
1
n
ln n
; c)
X+1
n=1
n ln n
p
n2 + 1
; d)
X+1
n=1
h
n4 tan4
3n
in
;
e)
X+1
n=1
8nn!
nn ; f)
X+1
n=1
sin2 n
3n ; g)
X+1
n=1
n
n2 + 1
sin2
1
5n
:
48. Veri

55. que se as seguintes series s~ao absoluta ou simplesmente convergentes:
a)
X+1
n=1
(1)n n
n2 + 1
; b)
X+1
n=3
(1)n+1
1
2
n
n2
; c)
X+1
n=2
(1)n2 1
ln n
;
d)
X+1
n=1
sin
n2 + 2
n2 + 4n + 3
; e)
X+1
n=1
(1)n 2n(n + 1)!
nn ; f)
X+1
n=1
(1)3n
sin2 n
n
n
:
49. Indique, justi

56. cando, o valor logico das seguintes proposic~oes:
9

57. a) A serie
X+1
n=2
(sin (n) sin (3n + 3)) e convergente e tem por soma o valor 0.
b) A serie
X+1
n=0
k! nn
(n + 1)n e divergente, para todo k 2 N .
c) Seja (an)n2N tal que 0 an
4
, para todo n 2 N. Se a serie
X+1
n=1
an e convergente, ent~ao a serie
X+1
n=1
cot (an)
an
n
e divergente.
50. Estude as seguintes series de func~oes quanto a converg^encia uniforme no intervalo [0; 1] :
a)
X+1
n=2
xn
n2 + 2
; b)
X+1
n=2
xn (1 xn) .
51. Mostre que a func~ao f de

58. nida por f(x) =
X+1
n=1
cos(nx)
2n e contnua em R.
52. Mostre que
Z
0
X+1
n=1
n sin(nx)
en dx =
2e
e2 1
.
53. Considere a seguinte serie de func~oes
X+1
n=0
ln x
x 2n ; x 1 :
Mostre que a serie e:
a) limitada superiormente pela constante 2;
b) uniformemente convergente no intervalo [1;+1[.
54. Mostre que
Z
2
0
X+1
n=1
sin ((2n 1) x)
2n dx 1 .
55. Seja f(x) =
X+1
n=1
cos (nx)
n2 + 1
. Mostre que:
a) f e integravel no intervalo
h
0;
2
i
;
b)
Z
2
0
f(x) dx =
X+1
n=1
(1)n+1
(2n 1)((2n 1)2 + 1)
.
56. Determine o raio e o intervalo de converg^encia das seguintes series de pot^encias:
10

59. a)
X+1
n=1
xn
n2 + 3
; b)
X+1
n=1
(1)n 22n+3x2n
(2n + 4)!
; c)
X+1
n=1
n2 + 1
n
n
x3n:
57. Determine o conjunto de converg^encia das seguintes series de pot^encias:
a)
X+1
n=2
en
ln n
(x e)n ; b)
X+1
n=1
n
2n + 1
2n1
xn ;
c)
X+1
n=1
(x + 2)n2
nn ; d)
X+1
n=1
n5n + 2
n5n (x + 4)2n ;
e)
X+1
n=1
2n+1
n + 1
(2x + 1)n ; f)
X+1
n=1
p
n + 1
3n + 5n
x +
4
x
n
;
g)
X+1
n=1
1
2n 4n (x + 4)n ; h)
X+1
n=1
(1)n
3 p
n + 2
n4 + n2 (x 2)n ;
i)
X+1
n=1
(1)n 5n
p
n + 1
5x 1
x 3
n
; j)
X+1
n=1
n + 1
4n (n2 + 5n)
x +
1
2
n
;
k)
X+1
n=1
(1)n
2
1
x + 2
n
(2n + 3) (2n + 5)
; l)
X+1
n=1
1
3n (3n + 6)
(x 2)n ;
m)
X+1
n=1
n3 + 2
3n
2x +
1
x
n
; n)
X+1
n=1
ln n
3n
1
x
n
3
:
58. Desenvolva em series de pot^encias de x as seguintes func~oes e indique os intervalos abertos em que
tais desenvolvimentos s~ao validos:
a) ex sin (2x) +
1
x2 + 2x 3
; b) arctg x3 + ex5
; c) x2 ln
x2 + 2
+ 2x2
;
d) ln
p
x + 1 + cos
x
2
; e)
2x
x 1
+ ln (x + 3) ; f) ln
r
x + 1
2 + x
;
g)
Z x
0
t sin t3 dt +
1
2
x4
; h)
Z x
0
et2
dt +
1
x2 4x + 3
:
59. Mostre que o perodo fundamental da func~ao de express~ao analtica cos
nx
L
e 2L
n .
60. Seja f : R ! R uma func~ao periodica de perodo 2 e tal que f(x) = jxj, se jxj 1.
a) Calcule os coe

60. cientes de Fourier desta func~ao.
b) Determine a serie de Fourier de f.
11

61. c) Use a alnea anterior para calcular a soma da serie
X+1
n=1
8
(2n 1)2 .
61. Seja f : R ! R uma func~ao periodica de perodo 2L e tal que f(x) =
(
L x se 0 x L
L + x se L x 0
:
a) Faca um esboco do gra

62. co de f.
b) Determine a serie de Fourier de f.
62. Seja f : [0; 1] ! R de

63. nida por f(x) = x2.
a) Determine um desenvolvimento em serie de Fourier de f
(i) em senos;
(ii) em co-senos.
b) Use a serie de Fourier para mostrar que
X+1
n=1
1
n2 =
2
6
.
63. Seja f : R ! R uma func~ao periodica de perodo 4 e tal que f(x) = x
2 , para x 2 [2; 2[.
a) Determine a serie de Fourier de f.
b) Mostre que
X+1
n=1
1
n2 =
p
6
2
.
12

64. Integrais improprios
1. Identi

65. que a natureza dos seguintes integrais improprios:
(a)
Z e
1
e
1
x (ln x)2 dx ; (b)
Z e
0
ln (e x) dx ; (c)
Z +1
1
x
p
x2 1
dx ;
(d)
Z +1
1
ex
e2x 1
dx ; (e)
Z
2
0
p
x
sin x
dx ; (f)
Z 1
0
x
(x2 + 1) ln2(x2 + 1)
dx ;
(g)
Z +1
0
sin x + cos x
x2 + x + 1
dx ; (h)
Z +1
1
sin x
x2 2x + 3
dx ; (i)
Z
4
0
(3 sin(2x)) cotg(2x) dx ;
(j)
Z +1
1
ln(e + x)
x
dx ; (k)
Z +1
1
x ln x
(x2 + 1)2 dx ; (l)
Z 3
2
1
ln(x 1)
dx ;
(m)
Z
2
4
cotg x + 1
cotg x cosec x
dx ; (n)
Z 1
0
arctg x
1 x2 dx ; (o)
Z +1
1
3 p
x tg
1
p
x
dx ;
(p)
Z +1
0
arctg x
3 p
x + 1
dx ; (q)
Z 1
2
0
cos x
5 p
x x3
dx ; (r)
Z +1
0
ex
p
x
dx :
2. Determine os valores de para os quais os seguintes integrais convergem:
(a)
Z +1
1
x2 ln x dx ; (b)
Z +1
e
1
x
p
ln x
dx ; (c)
Z +1
0
ex sin x dx .
3. Sabendo que f : [1;+1[ ! Z R tem derivada positiva em todos os pontos do seu domnio e que
+1
f(1) = a, com a 0, mostre que
1
f(x)dx e divergente.
42. Seja f : R+0
! R uma func~ao contnua, positiva e tal que lim
x!+1
f(x) = +1 e
Z +1
1
1
1 + 2f(x)
dx
e convergente. Mostre que
Z +1
1
1
f(x)
dx e convergente.
13