Este documento apresenta 30 exercícios sobre análise matemática I para os cursos de engenharia de energias e mecânica da Universidade de Trás os Montes e Alto Douro. Os exercícios abordam tópicos como funções, derivadas, integrais, séries de Taylor e equações diferenciais.

1. Analise Matematica I
Exerccios propostos { 2014/2015
Engenharia de Energias
Engenharia Mec^ancia
Departamento de Matematica
Universidade de Tras os Montes e Alto Douro

2. 1. Das correspond^encias abaixo indique quais de

3. nem uma func~ao:
a)
f : R ! R
x7! x2 b)
f : R ! R
x7! jx+1j
x
c)
f : R ! R
x7!
4 ; x 0
2x ; x 0
2. Determine o domnio das seguintes func~oes:
a) f (x) =
x2
x 1
+ ln(4 j2x + 1j) ; b) f (x) =
r
x2 2x + 1
x3 ; c) f (x) =
p
x +
1
p
2 + x
;
d) f (x) = ln
2x2 x 1
x2 + 4
; e)f (x) = 3 p
x + 1 +
p
x2 5 ; f) f (x) = e
1
cot(x) ;
g) f (x) =
p
1 cos2 x ; h) f (x) =
x2 x
sen(x)
; i) f (x) = tg(x 2):
3. Analise a injectividade das seguintes func~oes:
a) f (x) =
x 1
x + 1
; b) g (x) =
x3 x
1
3 ; c) h (x) = eln(x)ln(x1) .
4. Veri

4. que a paridade das seguintes func~oes:
a) f (x) = x2 + 2 ; b) f (x) =

8. 1
x
+ tg
x
2

12. + 5 ; c) g (x) = ln
8x4 + 2x2
.
5. Mostre que as func~oes que se seguem s~ao periodicas:
a) f(x) = sen(4x) b) f(x) = tg(4x + 1) c) f(x) = + cos(5x)
6. Determine o domnio e a express~ao analtica de g f e f g, sendo:
a) f (x) =
p
x e g (x) =
1
x2 1
; b) f (x) =
8
:
1 se x 0
3 se x 0
e g (x) = x3 1 ;
c) f (x) = (x 1)2 e g (x) =
p
x ; d) f (x) = ln(x + 1) e g (x) = ex + 4 :
7. Determine o valor das seguintes express~oes, considerando as restric~oes principais das func~oes trigo-nom
etricas seno, co-seno, tangente e co-tangente:
a) arcsen
1
2
; b) arccos
p
3
2
!
;
c) arccotg
p
3
6
+ cos
1
2
arctg
5
2
; d) sen
2 arccotg
1
2
+ arcsen
p
2
2
!!
:
8. Escreva as seguintes identidades como express~oes algebricas em x, sendo x 0:
a) cos (arctg x) + cosec
arccos
x
2
; b) sen
arccotg
1
x
+ cotg
2 arccotg
x
2
:
1

13. 9. Caracterize a inversa das func~oes de

14. nidas por:
a) f (x) = 1 +
p
x + 3 ; b) f (x) = e2sen x cos x ; c) f (x) = 2 arctg (x + 1)
2
:
10. Determine o valor das seguintes express~oes:
a) cosh
p
2
; b) tanh
1
4
; c) csch (sinh (ln 3)) :
11. Mostre que, no respectivo domnio de de