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333
                                     T g ‰ 3 ‰ 3 6e dQa 7
                                                                         cb
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                                                                                                                                                 ‘ ’ ‰
,          . Por outro lado observamos que se                                                , temos que                                    Fazendo
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                                                                     3  c b ca b
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                                        Solução : Primeiramente reescrevamos o expoente da expressão:
                                                                                                                      w
                                                                                                                     fxs
                                                                                            vutsvutsq iprehq ipyihf gP  X§¨§ ¦ ¥ ©
                                                                                                 .                                             
                                                                                                                                        [2] Calcule:
                                                                                                                          cb
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                                                                                  '   $210S                                                        V(
                                                                                                                                                        W3  
Logo, a condição necessária para que o limite exista é que a primeira parcela seja nula, isto é,
                         T     
                          U@6   $54I  @6   $54IS  R
                                                                                                             3
                                      (                        EC
                                                               D
                                              P      (
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                                                                                                                         '   $210 
                                                                  Solução : Primeiramente racionalizemos a expressão:
                                                                                                                                                limite.
e calcule o             ( )                 §¨§ ¦ ¥ ©   para que exista      £ ¡
                                                                                   ¤¢       [1] Determine o valor da constante
                   
                '   %$#! 
                                                                                                                             9.1 Limites
por ceder, gentilmente estes exercícios.
Agradecemos ao Professor Silvio Pinha Gomes do Departameneto de Análise do IME-UERJ,
                                                                            Exemplos Diversos
                                                                                                                       Capítulo 9
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                               ¤ ¦VP © E  V © D        S ¤ © $ H© ©  H©
                             T                                    3  1$ 1 I 3
                                         V©     E 
                                                   D                          1
                                                                         © $ © H© 
                                
                                     4 G 4 E          3        G 4 E 3    
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                                                                         G
                  P            F  EG              P            E                       E
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                                                               Solução : Primeiramente racionalizemos a expressão:
                                                   T   7  4 F                      3 1
                                                                                           42    
                                                                                           §¨§¦¥ ©
                                                               E                     D
                                                                                                                              [5] Calcule:
                                                                                                                                        .              )
                                                                                                                                            ‘ 3
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        3  , ou seja            e
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                                                                                         ' 42©
                                                       7  C  £ B 8  £  £ ‘ 3 'ee 87 §¨§¦¥   se                     Sabemos que
                                                                                         
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                                                                                           3 P ¤ 65655                            )
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                                                                                                                                        4  A
                                                                Solução : Primeiramente reescrevamos a expressão:
                                                                      5
                                                        T ‘ 3 P ¤S65650 )    A 42¥§¦1§¨ © 3 
                                                                   ¤ @@ V 
                                                                           tais que                  ) '
                                                                                                £ ¡ 0(        [4] Determine as constantes
                                           $                                                
                                                                            ¤    
                          T ( ¥ b 3 ¡ ¥ V %P P ¤ #‰ C !A X§¨§¦ ¥¡ 3 w ¢¤ P ‰ C A X§¨§¦ ¥¡ 3 © ¡ P 'e ‰ A ©§ §¨§¦¥ ©
                                                                                                       ‡ †( 
                                                          e:           , então                 Por outro lado observamos que se
                                                                          ‘ ’ ‰         
                                                                              
                                                       T ‰ ‰ 3 6e ( ‰ C 3  ‰
                                que               e             D 'e ‰ D 6 D
                                                                                                                      ‰ ˆ  3 'e ‰
   , temos                      Solução : Primeiramente reescrevamos o expoente da expressão. Fazendo                              
              6e ( ‰ 6 3 ‰
                                                                                                           .                 © ¨©
                                                                                                                               § 
                                                                                                                              [3] Calcule:
                                                                                                           ‡ 
                                                                                                            © P 6e ‰ A ¨ §¦¥
                                                                                                q f w †( ¡
                                                                                           X vutsipq ehyfxs              
                                                                                                                           ©
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                         TV b 3 V  ¥                ¢¤                            ¥ ¢¤
                                         ‰ ˆ$ £ ‰ ˆ$ §¨ ¥¦ ¡ 3 V ¦£ ‰ ˆ$ §¨§¦¥¡ 3 vutsripihgP 'e  dQ Aa ¨ §¦¥
                                                                                                                cb                     Logo:
   CAPÍTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS                                                                                                              334
.
                                                  D ( ¨  (  c b $   X©                                              [8] Calcule:
                                                     )g¨ D ¦ '  '!''e r€a $%G'e a #!„ §¨§¦¥
                .   V ( „ „ 3 c   c  D c  ddrddT ˆ gS 3 $ 7
                                                           TTTTT   D                                             Por outro lado,
               „ ‡ 1 † „  # 5  E 9
                                 V ©
                                                                                          V ©
                                                                                             
       T                                                    
           $ 7 3 'e 7 §¨ ¥¦ 3 c   T T T T T #1 „  „  „ ¨ §¦¥
                                         1I ( 0 ddrddT  ( ¥ „ 0 V ¥ „ 0  „                      „
              . Logo:
                                                       TT
                                                 D  ddT                                                                     7
                                                                                                                                    onde
                         „ c   g c ¤ (   E c 9  ¥ „   ( „¥  g V ¥  3 'e
                                                                                     D„
                 '
                                           TTTTT
                   6e 7 #!e 3 c 7I ( 0 ddddT  ( ¥  V ¥ 0            
                                                                                        Solução : Dividindo os polinômios:
                            T                                               V © 
                                               
                                     TTTTTT                   
                              c 70 ( 0 ddrdd#7 ( ¥ „ 0 V ¥ „ I „  §¨ ¥¦
                                                                                                                           [7] Calcule:
                                          T #A                      se
                                            D                        se
                                                                             (
                                              D 3                   se
                                                                                           
                                                                         D  D   3 'e ¡
                              D ¥  ¨
                               2g¦‘                                            ‘                                             Então:
            „   ©                                „ „        ©                           „ „ „                      „
      T                  3
              ( ( S E 41 §¨§¦¥  3 ( ( p  3                                                                   3
        ( 3 (                                                     p© S E 42¥¦1 §¨  3 ( 01 „  ( D  42¥§¦1 §¨ 
                                                                 § ©                                  (
                                                          :          . Agora estudemos o caso                     se                logo
                             „ 2A             D                                                         D ¥  ¨
                                                                                                          2¤g©‘ ‘ 3 6e ¡
                                  
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                                       (© p S E 42¥§¦1 §¨  „ „ „ „ 41 §¨§¦¥  „
                       ‘ 3 ( (p
                                                  3 3 ) ( D  3              (
                                          § ©                                       (1                    , temos:                  Se
                                „                         „        „ „                             „                   D ¤g¦‘
                                                                                                                         ¥  ¥
                T                   D 41           3                  D                     3 1
                                                                                              42
                                     D
                   D  D 3 „ GD ( D  §¨§¦¥ 3 ( g 1 „ D ( D  §¨§¦¥ 3  D ¡
                                                                          (
                                              temos:                     ; se        , então      Solução : Observe que, se
                                                   D „ 3  „ ‘ 3  i‘ ¡ „                        ‘ 3 
                           T                                                3 1
                                                                             42
                                #¤ ¢ F01 „  ( D  §¨ ¥¦ 3 6e ¡
                               ‘ £ ( (                                                       
                                                                                       [6] Determine a função definida por:
                     5 P V ©        E        V©             
        TD 3                                          D                  341 ¨ §¥ © 3
                                                                               ¦    7    E          3 1
                                                                                                              42    
                                                                                                              §¨§¦¥ ©
                                V©       E     S                                                     D
                                                          D
                                                                                                                                Logo:
335                                                                                                                      9.1. LIMITES
se
                                                                                    …„…‚
                                                 T ‘#A 
                                                              se
                                                                           ‡ © † ©
                                                    ‘ 3      se
                                                                                                 
                                                                                  …„…‚    3 6e ¡
                                                     ‘ #¥              ‡ © † © 
é contínua em . Reescrevamos a função:                                 Solução : Claramente, o problema é determinar se
                                       ‘                           ¡
                                                                                                          T‘ 3     se
                                                                                                                                       ƒ„…‚ 3    [1]
                                                                                                                    se
                                                                                                            ‘ 
                                                                                                              ¨3           ‡ ©  † ©   6e ¡
                                                                            Analise a continuidade das seguintes funções:
                                                                                                              9.2 Continuidade
                                                                        3
                       T Y D 3     6e ‰ # 'e ‰ # D ¡§ §¨§¦¥ © X'e ‰   8'edQb a ‰ # ¡§ §¨§¦¥ ©
                                                                                    ¤
                                                                                               c 
                                          cb
                                           6e dQa                                   #¢  
                                                                                                                                             Logo:
                                                 
                                                     
                                                                                                              
  T     6e ‰ # 'e ‰  D 3     'e ‰ #    8'e ‰ # 'e ‰  D 3 6e ‰ #  6erc €b a ‰ #
                                                                                                                 ¤
                c
                'e rb€a                                          cb
                                                           G6e ‰ #! 'e dQa                                 
                                                                                                                   #¢ 4
                                                                                                                    , então:                   pois
                                                                                                                     ‘ ©'e dQa
                                                                                                                       ¨3  c b
                                                               ' P
                                                                               
                                                                     'e ‰  A 'e D r€a 3       cb
                     cb                                           cb                        cb
             P'e r€a   8'e a  A D 3 6e a #  ( § ¥ dQa   ( § ¥ a # 'e r€a 3  ( § ¦  dQa     ¥ cb
                                                               Solução : Primeiramente reescrevamos o numerador:
                                                                                   §
                                                  
                                             T 6e ‰ #  G'edc Qb a ‰  ¡¨§¨§¦¥ ©
                                                        ¤
                                                          ¢ 
                                                          #£4                                                                      [9] Calcule:
                                                          não existe.             cb                      
                                                                                                           ©           Consequentemente,
                                                                 w '!'6e $%8'e #
                                                                             dQa $ w  a  §¨§¦¥
                                                                                            §¦§¨ ¥ ©
                                        T D 3 5 'e a  §¦¨ ¥ © 3
                                                  
                                                    '                
                                                                   © 6e ¡ ©
                                                3 'e a # § §¨§¦¥ 3 6e ¡ § ¨ §¦¥
                                                                               
                                                                                                                                             Então
                                                               se T( 3                      X
                                                               se
                                                            ( ¤ g¦‘
                                                               se
                                                                 ¥  ¨                
                                                                                     6e a #   3 6e ¡
                                                     ‘ ¥ 
                                                      2¤g¨ (                     
                                                                                 ¤ 6e a # 
                                            . Logo                        3 (
                                                                            e         3  ( r€a   cb           ( 3
                                                                                                          , então                        . Se
                                                                                                                                            a 3
, logo          3 cb          e
                           r€a $                             cb 
                                                              então                              . Se
                                                              dQa X  ¡ (  ''  $$  6e a  #
                                                                    ¨ ‘         ¥  ¨ ‘                                     , logo
                                                                                                                            3 6e '¡ e  X'e 3¡
                                                                                                                                             
                  e                            , então
  3 '!''e‘  r€a $'$!''e #¥ $6e dc Qa ¥ ¨ 6Xe                      . Se                                      Solução : Seja
         cb ‘  b                                                      ‘ ¥ 
                                                                         ##¨ ( '!''e r€a $%G'e a # 3
                                                                                               cb $                     6e ¡
CAPÍTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS                                                                                                                   336
§ ¨
                                                                                                                                  b
                                                                                                                                  ¡ @       3                                       [3]
                                                                                                                                               § ¨
                                                                                                                                         ¥ 4§¨1 §¦¥  ¡ 3 6e ¡
                                                                                                                                                            
                                                                                                                                 ¡ © b  ¥
                                                                                                                                        
                                                      ¥
                                                       s¦
                                         .                                    Figura 9.2: Gráfico de
                                                        ¥ ¦      
                                                 VV ¥1 s ¢¢ (( 3 6e ¡
                                                                                    -1
                                                                                    -0.5
                                             2                        1                              -1               -2
                                                                                    0.5
                                                                                    1
                                                                                                                           não é contínua em .                                    Então,
                                                                                                                    ‘ w
                         ¡                                                                                          ¡
                                                                                                                                                                   w ¡ ©
                                                                                                                                                                     
                                              
      T  3 P ¤ © V D ˆ A § §¦§¨ ¥ © 3 6e ¡ § §¦§¨ ¥ © X          e                             
                                                                                                      3 P 5 © V D C A §¦¨ ¥ © 3 6e
                                                                                                                                                                ¡ §¨§¦¥
                  D                                                                                             D
                                                                  , temos:
                                                                      3 V©        ¢ ¤
                                                                                                               e
                                                                                                     § © §¨§¦¥          ¢ £
                                                                                                                                  
                                                                                                                       3 V © w © §¨§¦¥                   Sabendo que
                                           ¡                                          ¡                           ¡
                        T ¤ © V D                                V                      ¡                     ¡
                                                                                                       3 ¤ © V D 3 
                                     D       C 3 E ¤5©  © D V D
                                                     D                                                   # © V D 'e ¡
                                                                                                               Solução : Reescrevamos a função:
                                                                                                                                                             ¡
                                                                                                                                          .   5            ¡
                                                                                                                                                          © VD 3                    [2]
                                                                                                                                                2         © V D 6e ¡
                                                              Figura 9.1: Gráfico de .
                                                                  ¡
                                                                                    -1
                                                                                    -0.5
                                                 6            4           2                     -2        -4     -6
                                                                                    0.5
                                                                                    1
                                                                                                                           não é contínua em .                                    Então
                                                                                                                 ‘                                    w                       ¡
               T                  
                                  ©              
                                                   X©                         e                            
                                                                                                            ©                                 
                                                                                                                                                ©
                                          
                  3 'e  r€a § ¨ §¦¥ 3 'e ¡ § ¨ §¦¥
                      cb                                                                   cb                    
                                                                                           X 3 6e  dQa § §¨§¦¥ 3 6e                      ¡ §¨§¦¥
                                                                                                                                                                                  Logo,
337                                                                                                                                  9.2. CONTINUIDADE
¥  ©        
                                        ¥ ©                                                                                                  w 
                                                                                         ¤                   ¤
                                                             e                                                             ¥¦
    T                          
       X 3    ( a # §¨§¦¥ 3 'e ¡ § §¨§¦¥                           3                                     §¨¥ © 3 6e ¡ §¨¥ ¥¦ ©
                                                                                                                                         
                                 . Por outro lado:                                                           , então                           Solução : Se
                                                                    3  ( $ a  3   $ ¡                     se
                                                                                                                                   3 
                                                                                         
                                                                                       T %A 
                                                                                                                 se            
                                                                                                                                    4 c                     [1]
                                                                               %¨g©
                                                                                    ¨                                                                
                                                                                                                                    ©   a    3 6e ¡
                                                                                                                                           ¤
                                                                                                                 se
                                                                                       9¤¥                                      
                                                                                                                                  4 
                          Determine as constantes tais que as seguintes funções sejam contínuas:
                                        Figura 9.3: Gráfico de .
                                          ¡
                                   3                                                                   -3
                                                                       3
                                                                                                 £               é contínua em .                          Então,
                                                                                                                                                      ¡
                                                T‘                se
                                                   2A  '  3   se
                                                   ‘#¨¤ ‘  'e ¡
                                                                                                                              § ¨
                                       . Reescrevendo a função:
                                                                                    b             3
                                                                                          ¥ 4¨1 §¦¥  ¡                              , então                  Se
                                   h                                           ‘ 3 ¡    D                                                           ‘ 3 
                                                                                                     § ¨
                                      ¡V
                                              ¢ £¡                                     3
                       T  ¤ ¢ 1                     3 1 §¥
                                                         4¨ 2 ¡
                                                            ¦                                         § ¨
                                                                 3   ¡ b b S ¥ ¥ 4§¨2¥§¦1  ¡
                                                ¢ £¡

                         3  ¤ ¢s h ¡ 1 V 4                        ¡ © Sv   
                                                                                                                                                          Logo:
                             §
                 T¡b  ¥ ‰ 3 ¡b                           § ¨   ¥               
                                                                                          b  §                          § ¨                     § ¨
               b    b  %                                                                               
                                                                         ¡ b ¥ 3 ¦b ¡   ¡ b ¥ 3  ¡ b S ¥
         ¡ ©       § ¨                                § ¨                § ¨                                    § ¨                           § ¨
                 ¥ ‰ 3 ¡©  ¥                                    ¡                                       
               Sv    v                                       © b ¥ 3   ¡ © S ¡ © b ¥ 3  ¡ © b Sv ¥
                                                                                                                                     , então:                  Se
                                                                                                                                                      ‘ #A 
                                                                                 § ¨
                                          T  b  ¥ 42             3 1
                                            ‘ 3  ¡ ¡ © b v ¥ §¨ ¥¦ ¡           § ¨
                                                            
                            . Logo,                            3 1
                                                                42         3 41                e               , então,                      Solução : Se
                                        ¢ ¤ 3  ¡ b %$ §¨ ¥¦ ¡ ‘ 3 ¡ © b §¨§¦¥ ¡
                                                                                                                                   ‘ ¥
                                                                                                                                     #
CAPÍTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS                                                                                                                               338
T  3 ¤  § ( §¨§¦¥ ©             3 Y SF        (                                    ©                ©
                                       y ¡                           w § D                        ¥   § ( §¨ ¥¦ 3 'e ¡ w§ ( §¨ ¥¦
                                     3P ‰                                   y (    w   D                                               ¥
                                            
                                                                            ¨§¦§¥ ¡ 3  E!eC ( §¨§¦¥ © 3 'e ¡ ( §¨§¦©         
                                   y     ‰ y y dQa A y 
                                                  cb                                   @ DE e y dQa
                                                                                                      cb
                                                                                                                                         ¤
                                                                                                                       . Logo:              3  D ¡      , então                     Se
                                                                                                                                                                          D 3 
                           TP ‰
                              ‰
                                    y  3 ‰  c b                                                D 
                                                                                       3  E!eC c b 3 § 7  b
                                  c 
                                  y rb€a A y  ‰ y dQa                                      D
                                                                                            @ E!e y r€a  yE!'y$ „ d‚c Qa    DD                 e:
,   ¥            , então                   , temos que                              , fazendo                         ¥  ƒ…„‚            ¥  …ƒ        Por outro lado:
        ‘ ’ ‰             ¥ D                       D E! 3 ‰                                        ‡‡ ( ‡ ¥ ( © † @V© †V 3 ‡ @(( ¥¤ © @V© V †
                                           T ¤ e ( 1e
                                                           D                                  (
                                                                                       3 Y )   
                                                              D
                                               ¡ e (  1e                           D
                                                                                        §   y (  ¥   
                                                                                   Solução : Primeiramente fatoremos os polinômios:
                                                                                                          T D2A      se                          ¥
                                                                                                                      se
                                                                                                                                   ¤  H1 © 1 (  © ¥  © P ¢ © 1 P ©
                                                                                                                                                            ¤
                                                                                                                                                                                      [2]
                                                                                                             D 3     se                                  ¥  …ƒ           
                                                                                                                                                                    „ ‚  3 6e ¡
                                                                                                              D ¥
                                                                                                               2¤                          ‡ @(( ¥¤ © @V© V † 
                                                            Figura 9.4: Gráfico de .
                                                                 ¡
                                                                                          -1
                                                                 3                                         -3
                                                                                          1
                                                                                 se                    
                                                        
                                                      T %A 
                                                                                 se
                                                                                                ©
                                                                                                  a   3
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                                           ¨  ¨                                 se
                                                                                                               
                                                                                                  ©  #  6e ¡
                                                      9  ¥                                        ©  
. Logo:           3 c     , isto é,                         Como os limites laterais devem ser iguais, temos que                                                                 e
                  
                                   
                                   X 3  c                                                                                            w  ©
                                                                                               e
                                                                                                                         ©               
                      
                    T  c  3   4 c  §¨§¦ ¥ © 3 6e ¡ §  §¨§¦¥ ©
                                                                                                                              
                                                                                                        X 3    ( a # ¨§§¦¥ 3 6e ¡ §¨§¦¥
                                                                              então                     . Por outro lado:
,            . Se     3      ¤
                                    , isto é,                        ¤
                                                                                                                           X 3  ( a  3   ¡
                                                                              Como os limites laterais devem ser iguais, temos que
     3             
                                                 
                                                 X 3 % 
339                                                                                                                                     9.2. CONTINUIDADE
V           V        ¡
                                                                  se
                                                                               5
                                      T %A                   ¢ V HH©11 ©  ¥ ¥   © ©  @V¥ P 1 © P ©
                                                                                                                        ¦ ¤
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                                ¨  ¨
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                                                                     ¢(   ( q   3 
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                                                                                                                    ¢( 3 c ( 3
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                                                                                                                                                                                        ¤
                                                                                                                . Então, temos o sistema:                                                           logo,
                                                                                                                                                                Y 3 c 
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                                                                                     Solução : Primeiramente fatoremos os polinômios:
                                                                                                                                          V1  V      ¡
                                                                                                                                    se
                                                                                                             
                                                                                                           T %A                     ¢ V 1 H©  ¥ ¥  © @V¥ P ©
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                                                                                                        %¨g¦‘  ¨                 se
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                                                                                                               ‘ ¥
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                                                             Figura 9.5: Gráfico de .
                                                              ¡
                                                                                                                                -1
                                               6        5              4             3           2                      1                -1
                                                                                                                                1
                                                                                                                                2
                                                                                                                                3
                                                                                                                                4
                                               T D2A        se                                       ¥
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                                                                                 ¤  H1 © 1 (  © ¥  © P ¢ ©
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CAPÍTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS                                                                                                                                                                        340
Figura 9.7: Gráfico de .
                                                                        ¡
                                                         0.1            0.05                                   -0.05            -0.1
                                                 T ‘#A                     se
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                                                     ‘ #¥                       ( † V ¡ H©  
                                                                                      e:                 , temos que                                                     por outro lado,
;   ‘                             , temos,
                                                                 ‘ y‘ s  3 c   § ¨
                                                                                                                    
                                                                                                                                3  § X§¦§¨ ¥ ©
                                                                                                                    ©  i‘ ¡ s 'e ¡ § ¨                                 § ¨
                                                                                                                                                                              
                                                                                                                                                                              X©             Como:
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                                         ‘                                   s ‘                                                  ‘‘ 
                                                                                                                               § ¨
                                                                                          ‘‘ 
                                                                          T P ¢ '8yd¤%$ ¥ A § X¥¦§¨  © c 3
                                                 § ¨                                                     § ¨
                                                                                                          
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                                                                                                            6  c b
                                                                                                                                                                                              ¤
                                                                                                                                               . Por outro lado:                                  isto é,
                                                                                                                           w                                                Y 3
                                                                                                     ¤
                                           '                        ¤
                                                                                                                ¤
                                              # 3  ‘i ¡ 3                     Y ( 6e ¡
                                                                                                            3  §¦§¨ ¥ ©
                                                                                                                                     ¤
                           . Logo, necessáriamente devemos ter que:
                                                                                                                  2 3  i‘ ¡                     , então           3                   Solução : Se
                                                                                                                    T ‘gA                  ‡
                                                                                                                                           se © @‡ ©  „ V ‘ 1ƒ„V…‚†    ¢ £¡
                                                                                                                                           se                  †                     ¤
                                                                                                                                                                                                     [4]
                                                                                                                                                             ¤         ¤ ¢
                                                                                                                                                                        ¥£
                                                                                                                                                                                  
                                                                                                                        ‘ 3  ‡   3   se
                                                                                                                                      @VV #1 ¥  6e ¡
                                                                                                                       ‘ ¥
                                                                                                                        g           ‡©  ¥† ¡ † H©         ¡
                                                                    Figura 9.6: Gráfico de .
                                                                        ¡
                                                          6                 4              2                                   -2
                                                                                                                    1
                                                                                                                    2
                                                                                                                    3
                                                                                                                    4
341                                                                                                                                                 9.2. CONTINUIDADE
.                        , que é paralela à reta                                   [3] Determine a equação da reta normal à curva
     ‘ 3   ¥ D 8 D                                  ¨
                                                       'e c © 3 ¥
                                               T D 3 ¥   D § g!eCD 3                                     ¥
                                                                      
                                                                                                             ¥
                                                          D            
                                                   3 ¥ E7 § #!e D 3
                                Logo, as equações da reta tangente e da reta normal são, respectivamente:
                                                                                                  ¥
                                   T D 3 $ (        ¤
                                                                   §                                                         ¤
                                                                              ( D 
                                                                                ) ! gˆ G 3    3 (
                                          D 3 V               ¤
                                                                           §              D
                                                                                   (  ! g   3   ¥ 3 V                   ¤
                                          $                                                
tangente e da reta normal à curva são, respectivamente:
Logo, o único ponto de interseção é        . Por outro lado, os coeficientes angulares da reta
                                                                                            ‘ ' $
                                   T  3  ¦ ‘ 3 2D7                                 ¦
                                                                                                           cb
                                                                                               ‘ 3  2D7 r€a 9  
                                                                                                      
                   , temos:             Solução : Determinemos a interseção da curva com o eixo dos . Se
                                  ‘ 3 ¥ 
                              no ponto onde a curva intersecta o eixo dos .
     V (¥   cb           ¥                                                                    
                              [2] Determine a equação da reta tangente e a equação da reta normal à curva
           © r€a 9   3                                                                                                                           
                                                                                                     .               e            ,         ,          Então
                                                                                                             Y 3 c V 3 V( 3 )  3  
                                                                                        T cb
                                                                                          'e  dQa 3
                                                             Y
                                                    ' D ` ( a        ' DD a   Y 3
                                                                              
                                                        ' Y  a        ' D D a  ` 3 'e ¡
                                                                                                         
                                  , logo:                                                  e                                              Por outro lado,
                                             cb D
                                             'e ( r€a ˆ                           
                                                                          3 6 D a # #8' D ( a # D 3 ' Y  a #
                                                  T `                                                  
                                                       
                                                       6 Y  a #                           
                                                                        6 DD a # ` 3 'e ¡
                                                                                                                                       
                                                                                          ; então:               e
                                                                                                         V 3 V( 3 )  3           ,        cuja solução é
                                            '
                                                 ‘ 3                                          Y )
                                                 3                                      )    
                                                  ‘ 3                                     )          obtemos o sistema:
; logo,                             e                                  ,                                 Solução : Primeiramente note que
                                               
                )   3  ( ¡ Y  ) 3  i‘   ¤¡                                     )    3  i‘ ¡                             e .
                                                                                                                                   c H('   ' )      determine
                  „
,    ¢      ,   pode ser escrita na forma
       £¡ c 'e dQa 3 'e ¡
               cb                                                                      e que
                                                                                                 ¡                                                  
                                                                                                            ‘ 3  i‘ ‡  † ¡ 3  i‘   ¡¡ 3  i‘ ¡¡ 3  i‘ ¡
,                       , onde     )
                             £ ¡ ' 0'    . Sabendo que                                                                           [1] Considere a função
     3  ( ¡                                       '                         Y  a # x' D a  )    3 6e ¡
                                                                                                                       
                                                                                                                                      9.3 Derivada
CAPÍTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS                                                                                                                             342
9.3. DERIVADA                                                                                                                                                             343

Solução : Primeiramente, calculemos os coeficientes angulares que precisamos. O coeficiente
                               3       ‘ 3  ¥ E! D
                                               D
angular da reta                é       . O coeficiente angular da reta normal à curva é:
                                                            ¤


                          V                                                                                        
          S 3   ¥ 3 (                                         ¤
                                                                                                                    T 'e c ¨
                                                                                                                      
                  ( 3V
Como as retas são paralelas, temos que                                       ¤            ¤
                                                                                                           , isto é:

            3 'e c ¨ §  'e  ¨ S
                                    3 c                                                                                   D        §          ¢(¥b 3 
logo, temos que
                           ( ¥ b D 3  ( ¥ b c¨ ( ¥ b 3  ¥                        . A equação da reta normal à curva que passa pelo
ponto                         é:
                                                          ( ¥ b D ' ( ¥ b
                §
                       ( ¥ b 7 3 ( ¥ b g ¥
                                          D                                                                     ¥                   T(¥b  3 
                                                  0.6



                                                  0.4



                                                  0.2




                                                                    0.25            0.5           0.75              1               1.25       1.5



                                                 -0.2



                                                 -0.4




                                                  Figura 9.8: A reta                                   ¥
                                                                                                               (¥b  3                        .

[4] Determine os parâmetros , e                    
                                       tais que a parábola
                                                    )               £ B¡                                                                   ¥
                                                                                                                                                ) (  3   tangencie a reta
¥
     3
      no ponto de abscissa e passe pelo ponto        .
                                                                                                    ‘ ' X$
                                                                                                         
Solução : Como o ponto
                                             ‘ ' X$
                                                           deve pertencer à parábola, substituindo na equação, temos
que:
                                     T ‘ 3  )    $
                                                                                                                                                                    3
Como a parábola deve tangenciar a reta
 3                                       no ponto de abscissa , temos que se
                                                     3 ¥                           , então
                                                                                 ' $                                                                        ¥
    . Isto é, o ponto    é comum à reta e à parábola; substituindo na equação, temos que:
                                    T  3  )     D
O coeficiente angular da reta é                          ¤
                                                            3                    e o coeficiente angular da reta tangente à parábola é
¤
      D 3 ¥ 3 (, logo   )        ( 3V ¤
                                                         )
                                                                V D 3 $ (
                                                                                . Como           :¤                    ¤




                                       T  3 )    D  
Logo, de (1), (2) e (3) temos o sitema:
                                                                                   )
                                                                                                              ‘ 3
                                                                               )                           3
                                                                            )
                                                                                  D                           3               '
344                                                                                                                   CAPÍTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS

cuja solução é:                  V 3 3        e      )   V( 3       .


                                                                                                  2




                                                                                                  1




                                                                                                                  1




                                                                               Figura 9.9: Exemplo [4].

[5] A forma de uma colina numa área de preservação ambiental, pode ser descrita pela equação
¥
      § § B   ‘ ( D C 3
                          ¢
                     , sendo
                             £                              y ¨  ¨ §
                                        . Um caçador, munido de um rifle está localizado no                               yd
                                                                                                                         ‘‘
ponto      . A partir de que ponto da colina, a fauna estará   segura?
                                                                                                                                




                    '

Solução : Denotemos por
                                                     ¥ '  e 3  7
                                       o ponto além do qual a fauna não pode ser vista pelo
caçador, situado no ponto
                                                                  ‘ ' D
                               . A fauna estará a salvo, além do ponto onde a reta que liga
                                                                                                                                   7
                                                                                                                                       
     ‘ ' D
     à colina seja tangente à mesma.




                                                                               2




                                            Figura 9.10: Vista bidimensional do problema.

Observe que
                                     5  D 3   ¥
                                                ¢ £
                                                          é o coeficiente angular de qualquer reta tangente à parábola; logo,
no ponto , temos
                   7       5   D 3   ¥                              ¢ £
                                                                 e a equação da reta tangente é:

                                                                 ¥                 T    !e'y ¤   D $ 3  ¥
                                                                                                   ¢ £



Como a reta passa por
                                             ‘ ' D      , temos:
                                                             $                   T    D 'y 5   D $ 3  ¥
                                                                                                         ¢ £


               7
O ponto                   também pertence à parábola; então:

                                                                               T § §   ¤ ( ˆ 3  ¥  D
                                                                                                    ¢ £
9.3. DERIVADA                                                                                                                                                       345

Igualando (1) e (2):
                             ‘ 3  Y   e' `  e 3 y   Y ( 
                                                       D                                                  §
                                                                                                                       ` 3         e       T§ 3 ¥
Então,
         7             ` A                                       §' ` 3 
                               e a fauna estará a salvo a partir de                                                .
              D ' $
[6] A reta tangente à curva
                                     2 (  D   ˆ 3 ¥
                                                                                   no ponto                                   é também tangente à curva em
um outro ponto. Ache este ponto.

Solução : O coeficiente angular da reta tangente à curva é                     , como                                   ¥
                                                                                                                                 Y Y 3                      D ' $
é um ponto comum à reta e a curva, temos
                                                                             3 $   ¥
                                                                                
                                                    . A equação da reta tangente que passa
pelo ponto       é:
                    D ' $              3
                            . Para determinar os pontos comuns à curva e à reta tangente,
                                 ¥
resolvemos o sistema:
              0 (  #  C 3 ¥ 
              D 
                      '
                         54 3 ¥
                         
obtendo
                           ¡3  ‘ 3 ( # ( e 3 ¤ (  E  
                                                 D           e                   . O ponto procurado é
                                                                                                                                       ‘ ' X$
                                                                                                                                                 .



                                                                                2




                                                               -1                                              1




                                                        Figura 9.11: Exemplo [6]


[7] O ponto
                   7         ' § 3
                     pertence à parábola
                                                                          Y 3(       ¥   . Determine todos os pontos
                                                                                                                                                       8
                                                                                                                                                           da parábola
                         8                          7
tais que a normal em passe por
                                                                                                  
Solução : Um ponto arbitrário da parábola é
                       (© 3 ¤£V ¢ 3                                         8         3
                                                       e o coeficiente angular da reta normal
                                                                                          '   ¢
                                                                                                       
                                                                                                                                         8
à curva é:     ¤
                         . A equação da reta normal à curva no ponto é:
                                    V
                                                                        T    !e D 3 ( Y  
                                                           ¥                         
Mas a normal passa pelo ponto
                                                   ' §       , logo:

                      §  D 3 ( Y                   3 ` Y   ` D    §                                                   T ‘ 3  Y    ' #   ' §
                                                                                                                                          D 
                             
                     3V 8
Os pontos procurados são                          3  8  ' D $ 3 ( 8  Y ' Y $
                                                                   ,                             e                              .
                                                                                                                                                 ' §
346                                                                                                                   CAPÍTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS




                                                                                                          9



                                                                                                          4

                                                                                                          1
                                                                   -4                               -2                           6




                                                             Figura 9.12: Exemplo[7].


[8] Nos pontos de interseção da reta              com a curva
                                                                               , traçam-se as
                                                                                            ¥
                                                                                                     ‘ 3 9
                                                                                                                                    ¥   ¥  Y ( 3
normais à curva. Calcule a área do triângulo formado pelas normais e pela corda que subtende
os referidos pontos de interseção.


Solução : Determinemos os pontos de intersecção da reta
                                                                                                                            ‘ 3 ¤ ¥ 1
                                                                                                                                             com a curva:
                                                                              ¥
                                                                                                               (
                                                                                                     ¥   Y ¤4 3
                                                                               ¥                           T  3
Obtemos
             ‘ 3  Y e' e 3 Y C ¥ ( 
                                                           ; então      e
                                                                                                    Y 3   3 
                                                                                 ; logo temos os pontos
                                                                                                                                                                     7    D ' $ 3
e
        7                                ¥' Y 3 (
                                . Por outro lado, os coeficientes angulares das normais são dados por:
                                                                                                                                                                                     V
                                                                                                                       
                                                               ¤
                                                                           3                           ¢ Y ! D 3  
                                                                                                                          ¥
¤
            V( 3 $
                       e   ¤
                                 V 3  Y    . As equações das normais em                           (7 V7              e       , são respectivamente:
                                                                                        D                      '
                                                                                                                   3  ¥
                                                                                    Y                        T Y D 3 0 ¥
                                                                                                                      
Resolvamos o seguinte sistema para achar os pontos de intersecção das retas normais:

                                                                           D                   ¥
                                                                                                                4 3
                                                                                                                
                                                                           Y                    ¥        ¢ Y #4C 3
                                                                                                             D 
obtemos
            § 3  5( 3 ¥
              e                               . Seja
                                                               5
                                                               '      ( § 37     . A área do triângulo de vértices
                                                                                                                                              7   (7 V
                                                                                                                                                  ,      e
                                                                                                                                                             7
                                                                                                                                                                    é dada por
     
      , onde:
                          (¡  3
                                                                      
                                                ¢   ¥ D  3 ££££ § Y  ££££ 3                                     §
                                                                                                                             
                                                                                                                                T
                                                                                                                                         
                                                                                                                                   T @ ¥Y 3
                                                                £ D ¥  ¥ D £
                                                                     ¤
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  • 1. 333 T g ‰ 3 ‰ 3 6e dQa 7 cb ‰ ˆ ƒ„…‚ 'e dQa cb e: …„ƒ‚ então ‘ ’ ‰ , . Por outro lado observamos que se , temos que Fazendo ‘ #  …„ƒ‚ © † ‡ © 3 ‰ ‡ © † © 3 ‰ ‡ T © † © …„ƒ‚ ˆ 'e r€dQa7 3 c b ca b ‡ © † © 6e Solução : Primeiramente reescrevamos o expoente da expressão: w fxs vutsvutsq iprehq ipyihf gP X§¨§ ¦ ¥ © . [2] Calcule: cb 'e dQ$aA T ` 3 @6   $54I Y §¨§ ¦ ¥ © 3 ( F §¨§¦ ¥ © ; então: X '   $210S V( W3   Logo, a condição necessária para que o limite exista é que a primeira parcela seja nula, isto é, T U@6   $54I @6   $54IS R 3 (    EC D P ( Q@6   $54I HGF A 3 D (     EC B ( @'   $940 8) 3 6   %$540% ( 3 ( ( 6   %$270% 6   %$540% '   $210 '   $210 Solução : Primeiramente racionalizemos a expressão: limite. e calcule o ( ) §¨§ ¦ ¥ © para que exista £ ¡ ¤¢  [1] Determine o valor da constante '   %$#! 9.1 Limites por ceder, gentilmente estes exercícios. Agradecemos ao Professor Silvio Pinha Gomes do Departameneto de Análise do IME-UERJ, Exemplos Diversos Capítulo 9
  • 2. $ ¤ ¦VP © E V © D S ¤ © $ H© © H© T 3 1$ 1 I 3 V© E D 1 © $ © H© 4 G 4 E 3 G 4 E 3 4 G 1 4 F G P F EG P E E G F E A 7 4 F D A 3 7 F D Solução : Primeiramente racionalizemos a expressão: T 7 4 F 3 1 42 §¨§¦¥ © E D [5] Calcule: . ) ‘ 3 e 3 , ou seja e ‘ 3) ‘ 3¢ . Logo, @ 9 A @ 9 31 ' 42© 7 C  £ B 8 £  £ ‘ 3 'ee 87 §¨§¦¥ se Sabemos que T ¤ 65655 3 ¤ 65655 3 P ¤ 65655 ) # ) 65655 ) 2 @@ V # @@ V ) 65655 ) 4 @@ V ¤ @@ V 4 A Solução : Primeiramente reescrevamos a expressão: 5 T ‘ 3 P ¤S65650 ) A 42¥§¦1§¨ © 3 ¤ @@ V tais que ) ' £ ¡ 0( [4] Determine as constantes $ ¤ T ( ¥ b 3 ¡ ¥ V %P P ¤ #‰ C !A X§¨§¦ ¥¡ 3 w ¢¤ P ‰ C A X§¨§¦ ¥¡ 3 © ¡ P 'e ‰ A ©§ §¨§¦¥ © ‡ †( e: , então Por outro lado observamos que se ‘ ’ ‰  T ‰ ‰ 3 6e ( ‰ C 3 ‰ que e D 'e ‰ D 6 D ‰ ˆ 3 'e ‰ , temos Solução : Primeiramente reescrevamos o expoente da expressão. Fazendo 6e ( ‰ 6 3 ‰ . © ¨© § [3] Calcule: ‡ © P 6e ‰ A ¨ §¦¥ q f w †( ¡ X vutsipq ehyfxs © ¥ TV b 3 V ¥ ¢¤ ¥ ¢¤ ‰ ˆ$ £ ‰ ˆ$ §¨ ¥¦ ¡ 3 V ¦£ ‰ ˆ$ §¨§¦¥¡ 3 vutsripihgP 'e dQ Aa ¨ §¦¥ cb Logo: CAPÍTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS 334
  • 3. . D ( ¨ ( c b $ X© [8] Calcule: )g¨ D ¦ ' '!''e r€a $%G'e a #!„ §¨§¦¥ . V ( „ „ 3 c c D c ddrddT ˆ gS 3 $ 7 TTTTT D Por outro lado, „ ‡ 1 † „ # 5 E 9 V © V © T $ 7 3 'e 7 §¨ ¥¦ 3 c T T T T T #1 „ „ „ ¨ §¦¥ 1I ( 0 ddrddT ( ¥ „ 0 V ¥ „ 0 „ „ . Logo: TT D ddT 7 onde „ c g c ¤ ( E c 9 ¥ „ ( „¥ g V ¥ 3 'e D„ ' TTTTT 6e 7 #!e 3 c 7I ( 0 ddddT ( ¥ V ¥ 0 Solução : Dividindo os polinômios: T V © TTTTTT c 70 ( 0 ddrdd#7 ( ¥ „ 0 V ¥ „ I „ §¨ ¥¦ [7] Calcule: T #A se D se ( D 3 se D D 3 'e ¡ D ¥ ¨ 2g¦‘ ‘ Então: „ © „ „ © „ „ „ „ T 3 ( ( S E 41 §¨§¦¥ 3 ( ( p 3 3 ( 3 ( p© S E 42¥¦1 §¨ 3 ( 01 „ ( D 42¥§¦1 §¨ § © ( : . Agora estudemos o caso se logo „ 2A D D ¥ ¨ 2¤g©‘ ‘ 3 6e ¡ ' (© p S E 42¥§¦1 §¨ „ „ „ „ 41 §¨§¦¥ „ ‘ 3 ( (p 3 3 ) ( D 3 ( § © (1 , temos: Se „ „ „ „ „ D ¤g¦‘ ¥ ¥ T D 41 3 D 3 1 42 D D D 3 „ GD ( D §¨§¦¥ 3 ( g 1 „ D ( D §¨§¦¥ 3 D ¡ ( temos: ; se , então Solução : Observe que, se D „ 3 „ ‘ 3 i‘ ¡ „ ‘ 3 T 3 1 42 #¤ ¢ F01 „ ( D §¨ ¥¦ 3 6e ¡ ‘ £ ( ( [6] Determine a função definida por: 5 P V © E V© TD 3 D 341 ¨ §¥ © 3 ¦ 7 E 3 1 42 §¨§¦¥ © V© E S D D Logo: 335 9.1. LIMITES
  • 4. se …„…‚ T ‘#A se ‡ © † © ‘ 3 se …„…‚ 3 6e ¡ ‘ #¥ ‡ © † © é contínua em . Reescrevamos a função: Solução : Claramente, o problema é determinar se ‘ ¡ T‘ 3 se ƒ„…‚ 3 [1] se ‘ ¨3 ‡ © † © 6e ¡ Analise a continuidade das seguintes funções: 9.2 Continuidade 3 T Y D 3 6e ‰ # 'e ‰ # D ¡§ §¨§¦¥ © X'e ‰ 8'edQb a ‰ # ¡§ §¨§¦¥ © ¤ c cb 6e dQa #¢ Logo: T 6e ‰ # 'e ‰ D 3 'e ‰ # 8'e ‰ # 'e ‰ D 3 6e ‰ # 6erc €b a ‰ # ¤ c 'e rb€a cb G6e ‰ #! 'e dQa #¢ 4 , então: pois ‘ ©'e dQa ¨3 c b ' P 'e ‰ A 'e D r€a 3 cb cb cb cb P'e r€a 8'e a A D 3 6e a # ( § ¥ dQa ( § ¥ a # 'e r€a 3 ( § ¦ dQa ¥ cb Solução : Primeiramente reescrevamos o numerador: § T 6e ‰ # G'edc Qb a ‰ ¡¨§¨§¦¥ © ¤ ¢ #£4 [9] Calcule: não existe. cb © Consequentemente, w '!'6e $%8'e # dQa $ w a §¨§¦¥ §¦§¨ ¥ © T D 3 5 'e a §¦¨ ¥ © 3 ' © 6e ¡ © 3 'e a # § §¨§¦¥ 3 6e ¡ § ¨ §¦¥ Então se T( 3 X se ( ¤ g¦‘ se ¥ ¨ 6e a # 3 6e ¡ ‘ ¥ 2¤g¨ ( ¤ 6e a # . Logo 3 ( e 3 ( r€a cb ( 3 , então . Se a 3 , logo 3 cb e r€a $ cb então . Se dQa X ¡ ( '' $$ 6e a # ¨ ‘ ¥ ¨ ‘ , logo 3 6e '¡ e X'e 3¡ e , então 3 '!''e‘ r€a $'$!''e #¥ $6e dc Qa ¥ ¨ 6Xe . Se Solução : Seja cb ‘ b ‘ ¥ ##¨ ( '!''e r€a $%G'e a # 3 cb $ 6e ¡ CAPÍTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS 336
  • 5. § ¨ b ¡ @ 3 [3] § ¨ ¥ 4§¨1 §¦¥ ¡ 3 6e ¡ ¡ © b ¥ ¥ s¦ . Figura 9.2: Gráfico de ¥ ¦ VV ¥1 s ¢¢ (( 3 6e ¡ -1 -0.5 2 1 -1 -2 0.5 1 não é contínua em . Então, ‘ w   ¡   ¡ w ¡ © T 3 P ¤ © V D ˆ A § §¦§¨ ¥ © 3 6e ¡ § §¦§¨ ¥ © X e 3 P 5 © V D C A §¦¨ ¥ © 3 6e ¡ §¨§¦¥ D D , temos: 3 V© ¢ ¤ e § © §¨§¦¥ ¢ £ 3 V © w © §¨§¦¥ Sabendo que   ¡   ¡   ¡ T ¤ © V D V   ¡   ¡ 3 ¤ © V D 3 D C 3 E ¤5© © D V D D # © V D 'e ¡ Solução : Reescrevamos a função:   ¡ . 5   ¡ © VD 3 [2] 2 © V D 6e ¡ Figura 9.1: Gráfico de . ¡ -1 -0.5 6 4 2 -2 -4 -6 0.5 1 não é contínua em . Então ‘ w ¡ T © X© e © © 3 'e r€a § ¨ §¦¥ 3 'e ¡ § ¨ §¦¥ cb cb X 3 6e dQa § §¨§¦¥ 3 6e ¡ §¨§¦¥ Logo, 337 9.2. CONTINUIDADE
  • 6. ¥ © ¥ © w ¤ ¤ e ¥¦ T X 3 ( a # §¨§¦¥ 3 'e ¡ § §¨§¦¥ 3 §¨¥ © 3 6e ¡ §¨¥ ¥¦ © . Por outro lado: , então Solução : Se 3 ( $ a 3 $ ¡ se 3 T %A se 4 c [1] %¨g© ¨ © a 3 6e ¡ ¤ se 9¤¥ 4 Determine as constantes tais que as seguintes funções sejam contínuas: Figura 9.3: Gráfico de . ¡ 3 -3 3 £ é contínua em . Então, ¡ T‘ se 2A ' 3 se ‘#¨¤ ‘ 'e ¡ § ¨ . Reescrevendo a função: b 3 ¥ 4¨1 §¦¥ ¡ , então Se h ‘ 3 ¡ D ‘ 3 § ¨ ¡V ¢ £¡ 3 T ¤ ¢ 1 3 1 §¥ 4¨ 2 ¡ ¦ § ¨ 3 ¡ b b S ¥ ¥ 4§¨2¥§¦1 ¡ ¢ £¡ 3 ¤ ¢s h ¡ 1 V 4 ¡ © Sv Logo: § T¡b ¥ ‰ 3 ¡b § ¨ ¥ b § § ¨ § ¨ b b % ¡ b ¥ 3 ¦b ¡ ¡ b ¥ 3 ¡ b S ¥ ¡ © § ¨ § ¨ § ¨ § ¨ § ¨ ¥ ‰ 3 ¡© ¥ ¡ Sv v © b ¥ 3 ¡ © S ¡ © b ¥ 3 ¡ © b Sv ¥ , então: Se ‘ #A § ¨ T b ¥ 42 3 1 ‘ 3 ¡ ¡ © b v ¥ §¨ ¥¦ ¡ § ¨ . Logo, 3 1 42 3 41 e , então, Solução : Se ¢ ¤ 3 ¡ b %$ §¨ ¥¦ ¡ ‘ 3 ¡ © b §¨§¦¥ ¡ ‘ ¥ # CAPÍTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS 338
  • 7. T 3 ¤ § ( §¨§¦¥ © 3 Y SF ( © © y ¡   w § D ¥ § ( §¨ ¥¦ 3 'e ¡ w§ ( §¨ ¥¦ 3P ‰ y ( w D ¥ ¨§¦§¥ ¡ 3 E!eC ( §¨§¦¥ © 3 'e ¡ ( §¨§¦© y ‰ y y dQa A y cb @ DE e y dQa cb ¤ . Logo: 3 D ¡ , então Se D 3 TP ‰ ‰ y 3 ‰ c b D 3 E!eC c b 3 § 7 b c y rb€a A y ‰ y dQa D @ E!e y r€a yE!'y$ „ d‚c Qa DD e: , ¥ , então , temos que , fazendo ¥ ƒ…„‚ ¥ …ƒ Por outro lado: ‘ ’ ‰ ¥ D  D E! 3 ‰ ‡‡ ( ‡ ¥ ( © † @V© †V 3 ‡ @(( ¥¤ © @V© V † T ¤ e ( 1e D ( 3 Y )   D ¡ e ( 1e D § y ( ¥ Solução : Primeiramente fatoremos os polinômios: T D2A se ¥ se ¤ H1 © 1 ( © ¥ © P ¢ © 1 P © ¤ [2] D 3 se ¥ …ƒ „ ‚ 3 6e ¡ D ¥ 2¤ ‡ @(( ¥¤ © @V© V † Figura 9.4: Gráfico de . ¡ -1 3 -3 1 se T %A se © a 3 ¤g© ¨ ¨ se © # 6e ¡ 9 ¥ © . Logo: 3 c , isto é, Como os limites laterais devem ser iguais, temos que e X 3 c w © e © T c 3 4 c §¨§¦ ¥ © 3 6e ¡ § §¨§¦¥ © X 3 ( a # ¨§§¦¥ 3 6e ¡ §¨§¦¥ então . Por outro lado: , . Se 3 ¤ , isto é, ¤ X 3 ( a 3 ¡ Como os limites laterais devem ser iguais, temos que 3 X 3 % 339 9.2. CONTINUIDADE
  • 8. V V   ¡ se 5 T %A ¢ V HH©11 © ¥ ¥ © ©  @V¥ P 1 © P © ¦ ¤ §¥ se ¨ ¨ %#©‘ se ‡ ¢( ( q 3 V© ¥† vuts©ipehf ‚ 6e ¡ ‘ ¥ # ¤ . e que tem soluções ¢( 3 c ( 3 ' ¤ Y 3 c ¤ 3 c ¤ . Então, temos o sistema: logo, Y 3 c ' D © D © © Y 3 g4 § §¨¦§¥ 3 g e ( !e § §¨§¦¥ 3 § §¨§¦¥ ¤ ¢ £ ¢ £ y ¤ e ( 1e w © 'e ¡ w © ' c ¤ ¤ 3 c ' ( a # §¨§¦¥ 3 6e ¡ §¨§¦¥ ¤ ¤ c 3 ¡, e: , então 3 . Se 3 c logo, ¤ ¤ ' c 3c ( a §¨ ¥¦ §¨ ¥¦ § X© 3 ¡ § X© ' cb w dQa © 66 # w © 'e w X© cb ‡ 3 P 'e dQ…aA P #6e© † ƒ„…‚ $bA §¨¦§¥ 3 g © † „…ƒ‚ b §¨§¦¥ 3 'e ¡ §¨§¦¥ ‡ ¤ , e: c 3 i‘ ¡ , então Se ‘ 3 D T g e ( 1e 3 ` ¤ ( Y ¢ £ y ¤ e ( 1e ¥ ¤   ( 'y¤ Solução : Primeiramente fatoremos os polinômios: V1 V   ¡ se T %A ¢ V 1 H© ¥ ¥ © @V¥ P © ¤ se [3] %¨g¦‘ ¨ se c H© '5 ( © a 1 P © V ¥ vutsrq© ipihf ‚ 3 6e ¡ ‘ ¥ #¤ Figura 9.5: Gráfico de . ¡ -1 6 5 4 3 2 1 -1 1 2 3 4 T D2A se ¥ se ¤ H1 © 1 ( © ¥ © P ¢ © D 3 se ¥ ƒ… @V1 „ V P ‚ © 3 'e ¡ D ¥ 2 ‡ @(( ¥¤ © @V© V † ¤ e: @V V 3 Então, CAPÍTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS 340
  • 9. Figura 9.7: Gráfico de . ¡ 0.1 0.05 -0.05 -0.1 T ‘#A se ©‡‡ © @@ V 1 V…„† ƒ‚ ¢ £¡ se † ¤ ¤ ¢ ¥£ ‘ 3 ‡ 3 se © @VV 1 ¥ 'e ¡ ‘ #¥ ( † V ¡ H© e: , temos que por outro lado, ; ‘ , temos, ‘ y‘ s 3 c § ¨ 3 § X§¦§¨ ¥ © © i‘ ¡ s 'e ¡ § ¨ § ¨ X© Como: y‘dc 3 'e ¡ § ¥¦§¨ © ‘yd 3 @ V b ¥ 3 ¢ '8y‘d¤ $ § ¨ §¦¥ ¥ 3 ¢ 68yd5$ ¥ § §¨§¦¥ ‘ s ‘ ‘‘ § ¨ ‘‘ T P ¢ '8yd¤%$ ¥ A § X¥¦§¨ © c 3 § ¨ § ¨ P ‘‘ ‘ 68yd¤$ ¥ A § §¦§¨ ¥ © c 3 P 68‘yd¤c $ ¥ A P c c dQ Aa § X¥¦§¨ © 3 'e ¡ § X¥¦§¨ © 6 c b ¤ . Por outro lado: isto é, w Y 3 ¤ ' ¤ ¤ # 3 ‘i ¡ 3 Y ( 6e ¡ 3 §¦§¨ ¥ © ¤ . Logo, necessáriamente devemos ter que: 2 3 i‘ ¡ , então 3 Solução : Se T ‘gA ‡ se © @‡ © „ V ‘ 1ƒ„V…‚†  ¢ £¡ se † ¤ [4] ¤ ¤ ¢ ¥£   ‘ 3 ‡ 3 se @VV #1 ¥ 6e ¡ ‘ ¥ g ‡© ¥† ¡ † H©   ¡ Figura 9.6: Gráfico de . ¡ 6 4 2 -2 1 2 3 4 341 9.2. CONTINUIDADE
  • 10. . , que é paralela à reta [3] Determine a equação da reta normal à curva ‘ 3 ¥ D 8 D ¨ 'e c © 3 ¥ T D 3 ¥ D § g!eCD 3 ¥ ¥ D 3 ¥ E7 § #!e D 3 Logo, as equações da reta tangente e da reta normal são, respectivamente: ¥ T D 3 $ ( ¤ § ¤ ( D ) ! gˆ G 3   3 ( D 3 V ¤ § D ( ! g 3   ¥ 3 V ¤ $ tangente e da reta normal à curva são, respectivamente: Logo, o único ponto de interseção é . Por outro lado, os coeficientes angulares da reta ‘ ' $ T 3 ¦ ‘ 3 2D7 ¦ cb ‘ 3 2D7 r€a 9   , temos: Solução : Determinemos a interseção da curva com o eixo dos . Se ‘ 3 ¥ no ponto onde a curva intersecta o eixo dos . V (¥ cb ¥ [2] Determine a equação da reta tangente e a equação da reta normal à curva © r€a 9   3     . e , , Então Y 3 c V 3 V( 3 ) 3   T cb 'e dQa 3 Y ' D ` ( a ' DD a Y 3 ' Y a ' D D a ` 3 'e ¡ , logo: e Por outro lado, cb D 'e ( r€a ˆ 3 6 D a # #8' D ( a # D 3 ' Y a # T ` 6 Y a # 6 DD a # ` 3 'e ¡     ; então: e V 3 V( 3 ) 3   , cuja solução é ' ‘ 3 Y ) 3 )   ‘ 3 )   obtemos o sistema: ; logo, e , Solução : Primeiramente note que   )   3 ( ¡ Y ) 3 i‘   ¤¡ )   3 i‘ ¡ e . c H('   ' ) determine „ , ¢ , pode ser escrita na forma £¡ c 'e dQa 3 'e ¡ cb e que ¡     ‘ 3 i‘ ‡ † ¡ 3 i‘   ¡¡ 3 i‘ ¡¡ 3 i‘ ¡ , , onde ) £ ¡ ' 0'   . Sabendo que [1] Considere a função 3 ( ¡ ' Y a # x' D a )   3 6e ¡ 9.3 Derivada CAPÍTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS 342
  • 11. 9.3. DERIVADA 343 Solução : Primeiramente, calculemos os coeficientes angulares que precisamos. O coeficiente 3 ‘ 3 ¥ E! D D angular da reta é . O coeficiente angular da reta normal à curva é: ¤ V S 3   ¥ 3 ( ¤ T 'e c ¨ ( 3V Como as retas são paralelas, temos que ¤ ¤ , isto é: 3 'e c ¨ § 'e ¨ S 3 c D § ¢(¥b 3 logo, temos que ( ¥ b D 3 ( ¥ b c¨ ( ¥ b 3 ¥ . A equação da reta normal à curva que passa pelo ponto é: ( ¥ b D ' ( ¥ b § ( ¥ b 7 3 ( ¥ b g ¥ D ¥ T(¥b 3 0.6 0.4 0.2 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 -0.2 -0.4 Figura 9.8: A reta ¥ (¥b 3 . [4] Determine os parâmetros , e   tais que a parábola ) £ B¡ ¥ ) (  3 tangencie a reta ¥ 3 no ponto de abscissa e passe pelo ponto . ‘ ' X$ Solução : Como o ponto ‘ ' X$ deve pertencer à parábola, substituindo na equação, temos que: T ‘ 3 )   $ 3 Como a parábola deve tangenciar a reta 3 no ponto de abscissa , temos que se 3 ¥ , então ' $ ¥ . Isto é, o ponto é comum à reta e à parábola; substituindo na equação, temos que: T 3 )   D O coeficiente angular da reta é ¤ 3 e o coeficiente angular da reta tangente à parábola é ¤  D 3 ¥ 3 (, logo ) ( 3V ¤ )   V D 3 $ ( . Como :¤ ¤ T 3 )   D Logo, de (1), (2) e (3) temos o sitema:   ) ‘ 3 )   3 )  D 3 '
  • 12. 344 CAPÍTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS cuja solução é: V 3 3   e ) V( 3 . 2 1 1 Figura 9.9: Exemplo [4]. [5] A forma de uma colina numa área de preservação ambiental, pode ser descrita pela equação ¥ § § B ‘ ( D C 3 ¢ , sendo £ y ¨ ¨ § . Um caçador, munido de um rifle está localizado no yd ‘‘ ponto . A partir de que ponto da colina, a fauna estará segura?   ' Solução : Denotemos por ¥ ' e 3 7 o ponto além do qual a fauna não pode ser vista pelo caçador, situado no ponto ‘ ' D . A fauna estará a salvo, além do ponto onde a reta que liga 7 ‘ ' D à colina seja tangente à mesma. 2 Figura 9.10: Vista bidimensional do problema. Observe que 5 D 3   ¥ ¢ £ é o coeficiente angular de qualquer reta tangente à parábola; logo, no ponto , temos 7 5 D 3   ¥ ¢ £ e a equação da reta tangente é: ¥ T !e'y ¤ D $ 3 ¥ ¢ £ Como a reta passa por ‘ ' D , temos: $ T D 'y 5 D $ 3 ¥ ¢ £ 7 O ponto também pertence à parábola; então: T § § ¤ ( ˆ 3 ¥ D ¢ £
  • 13. 9.3. DERIVADA 345 Igualando (1) e (2): ‘ 3 Y e' ` e 3 y Y ( D § ` 3 e T§ 3 ¥ Então, 7 ` A §' ` 3 e a fauna estará a salvo a partir de . D ' $ [6] A reta tangente à curva 2 ( D ˆ 3 ¥ no ponto é também tangente à curva em um outro ponto. Ache este ponto. Solução : O coeficiente angular da reta tangente à curva é , como ¥   Y Y 3 D ' $ é um ponto comum à reta e a curva, temos 3 $   ¥ . A equação da reta tangente que passa pelo ponto é: D ' $ 3 . Para determinar os pontos comuns à curva e à reta tangente, ¥ resolvemos o sistema: 0 ( # C 3 ¥ D ' 54 3 ¥ obtendo ¡3 ‘ 3 ( # ( e 3 ¤ ( E   D e . O ponto procurado é ‘ ' X$ . 2 -1 1 Figura 9.11: Exemplo [6] [7] O ponto 7  ' § 3 pertence à parábola Y 3( ¥ . Determine todos os pontos 8 da parábola 8 7 tais que a normal em passe por Solução : Um ponto arbitrário da parábola é (© 3 ¤£V ¢ 3 8   3 e o coeficiente angular da reta normal ' ¢ 8 à curva é: ¤ . A equação da reta normal à curva no ponto é: V T   !e D 3 ( Y   ¥   Mas a normal passa pelo ponto  ' § , logo:   § D 3 ( Y       3 ` Y   ` D   § T ‘ 3 Y   ' #   ' § D   3V 8 Os pontos procurados são 3 8 ' D $ 3 ( 8 Y ' Y $ , e .  ' §
  • 14. 346 CAPÍTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS 9 4 1 -4 -2 6 Figura 9.12: Exemplo[7]. [8] Nos pontos de interseção da reta com a curva , traçam-se as ¥ ‘ 3 9 ¥ ¥ Y ( 3 normais à curva. Calcule a área do triângulo formado pelas normais e pela corda que subtende os referidos pontos de interseção. Solução : Determinemos os pontos de intersecção da reta ‘ 3 ¤ ¥ 1 com a curva: ¥ ( ¥ Y ¤4 3 ¥ T 3 Obtemos ‘ 3 Y e' e 3 Y C ¥ ( ; então e Y 3 3 ; logo temos os pontos 7 D ' $ 3 e 7 ¥' Y 3 ( . Por outro lado, os coeficientes angulares das normais são dados por: V ¤ 3 ¢ Y ! D 3   ¥ ¤ V( 3 $ e ¤ V 3 Y . As equações das normais em (7 V7 e , são respectivamente: D ' 3 ¥ Y T Y D 3 0 ¥ Resolvamos o seguinte sistema para achar os pontos de intersecção das retas normais: D ¥ 4 3 Y ¥ ¢ Y #4C 3 D obtemos § 3 5( 3 ¥ e . Seja 5 ' ( § 37 . A área do triângulo de vértices 7 (7 V , e 7 é dada por   , onde: (¡ 3 ¢ ¥ D 3 ££££ § Y ££££ 3 §   T  T @ ¥Y 3 £ D ¥  ¥ D £ ¤