1) O documento discute limites de funções e continuidade. Primeiramente reescreve o expoente de uma expressão e calcula valores de constantes e limites.
Este curso foi desenvolvido para acadêmicos de engenharia que utilizam a calculadora CASIO fx-82ES PLUS, uma calculadora que, embora simples (não é gráfica) e de baixo custo (na faixa de R$ 45), se mostra uma útil ferramenta para aqueles que desejam resolver exercícios aplicados de cálculo. O foco do presente curso será de exercícios de aplicação. A fim de aproveitar a característica de uma tela um pouco maior deste modelo de calculadora, será usado o modo natural (vide apostila) de inserção no decorrer do trabalho, justamente se entender que este recurso se apresenta como uma das evoluções da versão anterior da calculadora.
Este curso foi desenvolvido para acadêmicos de engenharia que utilizam a calculadora CASIO fx-82ES PLUS, uma calculadora que, embora simples (não é gráfica) e de baixo custo (na faixa de R$ 45), se mostra uma útil ferramenta para aqueles que desejam resolver exercícios aplicados de cálculo. O foco do presente curso será de exercícios de aplicação. A fim de aproveitar a característica de uma tela um pouco maior deste modelo de calculadora, será usado o modo natural (vide apostila) de inserção no decorrer do trabalho, justamente se entender que este recurso se apresenta como uma das evoluções da versão anterior da calculadora.
11. 9.3. DERIVADA 343
Solução : Primeiramente, calculemos os coeficientes angulares que precisamos. O coeficiente
3 ‘ 3 ¥ E! D
D
angular da reta é . O coeficiente angular da reta normal à curva é:
¤
V
S 3 ¥ 3 ( ¤
T 'e c ¨
( 3V
Como as retas são paralelas, temos que ¤ ¤
, isto é:
3 'e c ¨ § 'e ¨ S
3 c D § ¢(¥b 3
logo, temos que
( ¥ b D 3 ( ¥ b c¨ ( ¥ b 3 ¥ . A equação da reta normal à curva que passa pelo
ponto é:
( ¥ b D ' ( ¥ b
§
( ¥ b 7 3 ( ¥ b g ¥
D ¥ T(¥b 3
0.6
0.4
0.2
0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5
-0.2
-0.4
Figura 9.8: A reta ¥
(¥b 3 .
[4] Determine os parâmetros , e
tais que a parábola
) £ B¡ ¥
) ( 3 tangencie a reta
¥
3
no ponto de abscissa e passe pelo ponto .
‘ ' X$
Solução : Como o ponto
‘ ' X$
deve pertencer à parábola, substituindo na equação, temos
que:
T ‘ 3 ) $
3
Como a parábola deve tangenciar a reta
3 no ponto de abscissa , temos que se
3 ¥ , então
' $ ¥
. Isto é, o ponto é comum à reta e à parábola; substituindo na equação, temos que:
T 3 ) D
O coeficiente angular da reta é ¤
3 e o coeficiente angular da reta tangente à parábola é
¤
D 3 ¥ 3 (, logo ) ( 3V ¤
)
V D 3 $ (
. Como :¤ ¤
T 3 ) D
Logo, de (1), (2) e (3) temos o sitema:
)
‘ 3
) 3
)
D 3 '
12. 344 CAPÍTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS
cuja solução é: V 3 3 e ) V( 3 .
2
1
1
Figura 9.9: Exemplo [4].
[5] A forma de uma colina numa área de preservação ambiental, pode ser descrita pela equação
¥
§ § B ‘ ( D C 3
¢
, sendo
£ y ¨ ¨ §
. Um caçador, munido de um rifle está localizado no yd
‘‘
ponto . A partir de que ponto da colina, a fauna estará segura?
'
Solução : Denotemos por
¥ ' e 3 7
o ponto além do qual a fauna não pode ser vista pelo
caçador, situado no ponto
‘ ' D
. A fauna estará a salvo, além do ponto onde a reta que liga
7
‘ ' D
à colina seja tangente à mesma.
2
Figura 9.10: Vista bidimensional do problema.
Observe que
5 D 3 ¥
¢ £
é o coeficiente angular de qualquer reta tangente à parábola; logo,
no ponto , temos
7 5 D 3 ¥ ¢ £
e a equação da reta tangente é:
¥ T !e'y ¤ D $ 3 ¥
¢ £
Como a reta passa por
‘ ' D , temos:
$ T D 'y 5 D $ 3 ¥
¢ £
7
O ponto também pertence à parábola; então:
T § § ¤ ( ˆ 3 ¥ D
¢ £
14. 346 CAPÍTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS
9
4
1
-4 -2 6
Figura 9.12: Exemplo[7].
[8] Nos pontos de interseção da reta com a curva
, traçam-se as
¥
‘ 3 9
¥ ¥ Y ( 3
normais à curva. Calcule a área do triângulo formado pelas normais e pela corda que subtende
os referidos pontos de interseção.
Solução : Determinemos os pontos de intersecção da reta
‘ 3 ¤ ¥ 1
com a curva:
¥
(
¥ Y ¤4 3
¥ T 3
Obtemos
‘ 3 Y e' e 3 Y C ¥ (
; então e
Y 3 3
; logo temos os pontos
7 D ' $ 3
e
7 ¥' Y 3 (
. Por outro lado, os coeficientes angulares das normais são dados por:
V
¤
3 ¢ Y ! D 3
¥
¤
V( 3 $
e ¤
V 3 Y . As equações das normais em (7 V7 e , são respectivamente:
D '
3 ¥
Y T Y D 3 0 ¥
Resolvamos o seguinte sistema para achar os pontos de intersecção das retas normais:
D ¥
4 3
Y ¥ ¢ Y #4C 3
D
obtemos
§ 3 5( 3 ¥
e . Seja
5
' ( § 37 . A área do triângulo de vértices
7 (7 V
, e
7
é dada por
, onde:
(¡ 3
¢ ¥ D 3 ££££ § Y ££££ 3 §
T
T @ ¥Y 3
£ D ¥ ¥ D £
¤