O documento apresenta exercícios de cálculo de limites de funções. Inclui limites laterais, limites envolvendo infinitos e limites de funções racionais.

1. Cálculo I
1) Calcule os limites:
2
)
5
39
)
3
/
2
)
8
/
1
)
0
)
2
)
:
.
Resp
4
6
2
3
2
lim
)
3
4
3
5
3
lim
)
4
5
3
3
2
lim
)
4
3
5
2
3
lim
)
3
5
3
2
lim
)
)
5
7
4
(
lim
)
3
2
2
3
2
3
2
2
1
3
2
2
2
2
3
2
1






































f
e
d
c
b
a
x
x
x
f
x
x
x
x
e
x
x
x
d
x
x
x
x
c
x
x
x
b
x
x
a
x
x
x
x
x
x
2) Calcule os limites abaixo:
3) Calcule:
5
8x
4x
x
4
6x
3x
x
lim
f)
x
4
x
8
lim
e)
1
x
1
x
lim
d)
2
5x
2x
3
5x
2x
lim
c)
x
2
x
4
lim
b)
1
x
1
x
lim
a)
2
3
2
3
1
x
2
3
2
x
2
3
1
x
2
2
2
1
x
2
2
x
2
1
x


























1
)
3
)
2
/
3
)
3
/
7
)
4
)
2
)
:
.
Resp f
e
d
c
b
a 



































)
)
)
)
)
)
)
)
:
.
Resp
1
1
lim
)
1
1
lim
)
3
2
1
lim
)
2
4
lim
)
2
5
3
lim
)
)
1
(
3
1
lim
)
)
1
(
3
2
lim
)
)
2
(
4
3
lim
)
1
1
3
2
2
2
0
2
1
2
1
2
2
h
g
f
e
d
c
b
a
x
h
x
g
x
x
f
x
x
e
x
x
x
d
x
x
c
x
x
b
x
x
a
x
x
x
x
x
x
x
x

2. 4) Calcule os limites:
5) Calcule os limites:









 7
5
3
2
)lim x
x
e
x









 1
2
2
11
) 3
lim x
x
c
x













 10
3
2
7
4
) 2
3
lim x
x
x
x
b
x
 
2
5
3
) 2
lim 



x
x
a
x













 1
2
1
3
) 2
3
lim x
x
x
x
d
x











 12
4
12
1
) 2
3
lim x
x
f
x











 8
4
6
3
)
2
lim x
x
x
g
x














 x
x
x
x
x
h
x 5
3
3
3
2
2
) 2
3
3
lim
3
/
2
)
)
)
5
/
2
)
)
0
)
)
)
:
.
Resp






h
g
f
e
d
c
b
a































)
)
)
)
)
:
.
Resp
)
4
3
(
lim
)
)
4
(
lim
)
)
3
4
5
(
lim
)
)
5
4
(
lim
)
)
3
2
(
lim
)
3
2
2
e
d
c
b
a
x
e
x
d
x
x
c
x
b
x
a
x
x
x
x
x

3. Exercícios Complementares
1. Calculando-se , obtém-se
a) 0.
b) 1.
c) 2.
d) 4.
e) 6.
2. O é igual a
a) 1/9.
b) 1/27.
c) 1/243.
d) 1/243.
e) 1/54.
3. O valor de é
a) 0.
b) 1.
c) 2.
d) 3.
e) ∞.
4. vale
a) 7e
b) e7
c) 7 – e
d) 7 + e
e) 7e
5. Julgue as afirmações abaixo e marque a alternativa correta.
a) I, II e III são falsas.
b) Apenas as afirmações I e II são falsas.
c) I, II e III são verdadeiras.
d) Apenas as afirmações I e III são falsas.
e) Apenas as afirmações II e III são falsas.
6. Calculando-se , obtém-se
a) 1/4.

4. b) 1/5.
c) 1/6.
d) 1/7.
e) 1/8.
7. Seja . O valor de k para oqual f(x) é contínua em x = 4 é
a) 2.
b) 4.
c) 6.
d) 8.
e) 10.
8. Sobre a função foram feitas as afirmações abaixo, sendo apenas uma verdadeira.
Assinale-a:
a) Seu gráfico tem a reta x = 4 como uma assíntota vertical.
b) Seu gráfico tem a reta y = 0 como uma assíntota vertical.
c) Seu gráfico passa pelo ponto (0,0).
d)
e)
9. é igual a
a) .
b) 0.
c) 1.
d) - .
e) 4.
10. Observando o gráfico correspondente à função f(x), assinale a única alternativa incorreta:
a)
b)
c)
d)
e) f(1) = 2
Gabarito
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
E E B D E C D C A C

5. EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES
1) 2)
3) 4) Não existe pois e
5) 6) 7)
EXERCÍCIOS ESPECIAIS
a) RESP 0 b) RESP -2
c) RESP 1/3 d) RESP 1/2
e) RESP 2
1
3
A
a

f) RESP 3X2
g) RESP 1 h) RESP 1/2
i) RESP 3 j) RESP 1
k) RESP -1/56 l) RESP 12
m) RESP 3/2 n) RESP -1/3
o) RESP 1 p) RESP
2
X
: x
q) RESP
3 2
1
3 x
r) RESP -1/3

6. LIMITES ENVOLVENDO INFINITOS
Seja a função polinomial f(x) = an xn
+ na-1xn-1
+ ... + a2 x2
+ a1x + a0
( ) n
n
x x
Lim f x Lima x
 
 Para o cálculo de limite com x   toma-se o termo de maior grau da função
e aplica-se o limite .
Exemplos : 2 2
(2 3) 2
x x
Lim x x Lim x
 
    
Exercícios complementares:
1)
3 2
4
2 4 1
3 2 2
x
x x
Lim
x x

 
 
R 0
2)
4
4 3
4 3
3 1
x
x x
Lim
x x

 
 
R 4/3
3)
3 2
2
4 2 3
2 3 8
x
x x x
Lim
x x

  
 
R 
4)
4
2
2 1
2 1
x
x x
Lim
x

 

R ½

7. LIMITES DE FUNÇÕES
Seja  
x
f uma função definida sobre algum intervalo aberto que contém o número "
"a , exceto possivelmente
no próprio "
"a . Então, diz-se que o limite de  
x
f quando x tende a "
"a  
a
x  é L , e representa-se
por
  L
x
f
a
x


lim
se 


 a
x
0 para todo 0

 há um número correspondente 0

 tal que   

 L
x
f sempre que



 a
x
0 , isto é, se   






 L
x
f
a
x
0 .
Exemplo: Provar que   7
5
4
lim
3



x
x
Solução:
(a) Encontrar um valor para  :
Uma análise preliminar do problema indica que se 0

 , deve encontrar-se um  tal que
  


 7
5
4x sempre que 


 3
0 x ,
mas
  








 3
4
3
4
12
4
7
5
4 x
x
x
x sempre que 


 3
0 x ,
isto é,
4
3



x sempre que 


 3
0 x , logo
4


 .
(b) Prova:
Por tanto, dado 0

 , escolhe-se
4


 , e se 


 3
0 x , então,
  






 











4
4
4
3
4
3
4
12
4
7
5
4 x
x
x
x
Assim
  


 7
5
4x sempre que 


 3
0 x ,
por tanto
  7
5
4
lim
3



x
x
Na prática é suficiente substituir a variável pelo valor ao qual ela tende, isto é,
3

x
donde
  7
5
12
5
3
4
5
4
lim
3








x
x
Exemplos:
a) 9
3
lim 2
2
3



x
x
b)   27
7
4
5
7
5
lim
4






x
x
c)

8. Em alguns exemplos o limite não é tão evidente. Seja a função
 
2
4
4
3 2




x
x
x
x
f , com 2

x , isto é,
 
0
0
2
4
4
3
lim
2
2





 x
x
x
x
f
x
Indeterminação,
estudando-se esta função, tem-se que o domínio de  
x
f abrange todos os números reais, com exceção de
2

x que anula o denominador e o numerador. O que significa que a função é indefinida neste ponto. Porém,
ao se utilizar “Baskara” no numerador, ou seja,



 0
2
c
bx
ax
a
ac
b
b
x
2
4
2



 .
Assim,












3
2
2
6
8
4
6
48
16
4
2
1
x
x
x
  2
3
2
)
2
)(
2
3
(
2
4
4
3 2









 x
x
x
x
x
x
x
x
f
Desta forma, tem-se que
  8
2
3
lim
2
)
2
)(
2
3
(
lim
2
4
4
3
lim
2
2
2
2














x
x
x
x
x
x
x
x
f
x
x
x
,
O gráfico mostra que para x aproximando de 2 ,  
x
f se aproxima de 8 , mas
se substituir-se 2

x na 1a
expressão,  
x
f não está definida naquele ponto.
  2
2
3 

 x
x
x
f
Ponto 
8
,
2
deve ser
excluído do
gráfico, pois
naquele
ponto a
função é
indefinida.
X
2
8 Y
x  
x
f
300
,
8
100
,
2
030
,
8
010
,
2
003
,
8
001
,
2
000
,
8
000
,
2
997
,
7
999
,
1
970
,
7
990
,
1
700
,
7
900
,
1

9. Exercícios:
0
0
4
16
lim
2
4



 x
x
x
Indeterminação,
onde substituição direta novamente anula o denominador e o numerador, e a função é indefinida neste ponto.
Porém, obtendo-se as raízes do numerador, ou seja,
4
8
)
4
(
lim
)
4
(
)
4
)(
4
(
lim
4
4











x
y
x
x
x
x
x
x
Em   4

 x
x
f , o ponto  
8
,
4 deve ser excluído do gráfico, pois 4

x , pois o domínio de  
x
f é:
   
 




 ,
4
4
,
/
: 
x
D e tem como imagem
   
 




 ,
8
8
,
/
: 
y
I .
3.1 - Propriedades dos Limites
1)          
x
v
v
e
x
u
u
para
v
u
v
u
a
x
a
x
a
x








lim
lim
lim
2)  
     
x
u
u
para
u
C
u
C
a
x
a
x




lim
lim e C é uma constante
3)          
x
v
v
e
x
u
u
para
v
u
v
u
a
x
a
x
a
x








lim
lim
lim
4)
 
 
 
 
   
x
v
v
e
x
u
u
para
v
u
v
u
a
x
a
x
a
x











 lim
lim
lim
5)    
   
x
u
u
para
u
u
m
a
x
m
a
x




lim
lim
6)    
x
u
u
para
u
u m
a
x
m
a
x




lim
lim
7)    
   
x
u
u
para
u
u
a
x
a
a
a
x




lim
log
log
lim
8)    
   
   
x
v
v
e
x
u
u
para
u
u
v
a
x
v
a
x
a
x 

 


lim
lim
lim
9)   ,
,
0
,
0
0
,
0
0















e       0
,
,
0 











 k
k
10) Indeterminações de limites: 








 1
,
0
,
,
,
0
0
,
0
, 0
0
Y
X
4
4
4

8

10. Exemplos:
1)
2
3
4
9
3
lim
1
8
lim
3
1
8
lim
1
1
1










x
x
x
x
x
x
x
2)
0
0
1
3
4
lim 2
2
1





 x
x
x
x
Indeterminação
Como toda indeterminação deve ser levantada, tem-se
Solução: Deve-se, primeiramente, encontrar as raízes do polinômio superior, isto é,



 0
3
4
2
x
x
2
12
16
4 



x (Baskara)











3
1
2
2
4
2
1
x
x
x
     
3
1
3
4
2
2
1
2










 x
x
x
x
x
x
x
x
c
bx
ax
donde,
)
1
(
)
3
)(
1
(
lim 2
1 



 z
z
z
z
Então, deve-se encontrar as raízes do polinômio inferior, isto é,
  
1
1
1
1
1
0
1 2
2
2











 z
z
z
z
z
z
assim,
1
2
2
)
1
(
)
3
(
lim
)
1
)(
1
(
)
3
)(
1
(
lim
1
1














 z
z
z
z
z
z
z
z
3)
     1
2
lim
3
2
3
lim
0
0
3
6
5
lim
3
3
2
3














x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
4)
0
0
2
4
lim
0



 x
x
x
Indeterminação
Neste caso, para eliminar a indeterminação
0
0
, se deve racionalizar o numerador , isto é,
    2
2
b
a
b
a
b
a 



 . Desta forma, tem-se:
  
2
4
4
4
lim
2
4
2
4
2
4
lim
2
4
lim
0
0
0

















x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
4
1
2
4
lim
1
2
4
1
lim
2
4
lim
0
0
0












x
x
x
x
x
x
x
x

11. 3.2 - Limites Notáveis
Um limite considerado notável é o do seno, que ocorre porque quando o ângulo (ou arco)  tende a diminuir, o
valor do  
a
sen tende a ficar igual a este arco, em valor, de forma que o seu quociente tenda para 1, e o limite
notável no caso é
3.2.1 - Limite do seno
6) Calcular
 
x
x
x
5
sen
lim
0

faz-se
5
5
t
x
t
x 

 , para 0
0 

 t
x
        5
1
5
sen
lim
5
sen
5
lim
5
sen
lim
0
0
0







 t
t
t
t
t
t
t
t
t
7)
 
 
 
 
   
    3
2
3
1
2
1
3
3
3
sen
2
2
2
sen
lim
3
sen
2
sen
lim
0
0








 x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
8)
   
 
 
 
  1
1
1
1
cos
1
lim
sen
lim
cos
1
sen
lim
tan
lim
0
0
0
0






































 x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Limite que define o número “e ”
O número "e" , usado como base do logaritmo natural é obtido pela expressão abaixo.
e
x
y
x
x











1
1
lim
x y
1 2
10 5937
,
2
100 7048
,
2
1000 7169
,
2
10000 7181
,
2


x 
7182818
,
2

e
  1
sen
lim
0

 


s
 

sen

 
a
r
S sen

  , se
 
a
S
r sen
;
1 

 

12. Exemplo:
a
x
x
e
x
a










1
lim põe-se az
x
z
x
a



1
para 



 z
x
a
a
z
z
az
z
x
x
e
z
z
x
a






































1
1
lim
1
1
lim
1
lim
Limites Laterais
a) Definição: Diz-se que o limite esquerdo de  
x
f quando x tende a a (ou que o limite de  
x
f quando x
tende a a pela esquerda) é L e representa-se por
  L
x
f
lim
a
x



se for considerado que x tende a a pela esquerda, isto é, .
a
x 
Exemplo:  
   
 














 







 







 






 0
1
0
1
2
2
2
2 cos
sen
x
cos
x
sen
lim
x
tan
lim
x
x
b) Definição: Diz-se que o limite direito de  
x
f quando x tende a a (ou que o limite de  
x
f quando x
tende a a pela direita) é L e representa-se por
  L
x
f
lim
a
x



se for considerado que x tende a a pela esquerda, isto é, .
a
x 
Exemplo:  
   
 














 







 







 






 0
1
0
1
2
2
2
2 cos
sen
x
cos
x
sen
lim
x
tan
lim
x
x
EXERCÍCIOS:
2) Resolver os limites abaixo:
11.
2
6
5
lim
2
2 


 x
x
x
x
12.
2
4
lim
2
2 

 x
x
x
16.
h
h
h
9
)
3
(
lim
2
0




17.
h
h
h



4
2
lim
0

13. 14.   y
y
y
1
0
1
lim 

13.
1
1
lim 2
3
1 


 x
x
x
18. 3
2
3 2
6
4
lim



 x
x
x
19.   y
y
ay
1
0
1
lim 

15.










 3 3
3
7
5
lim
x
x
x
20)  
3
2
3
7
lim x
x
x


