O documento discute integração indefinida, que é o processo de encontrar uma função a partir de sua derivada. Ele apresenta as regras básicas de integração indefinida, como a regra da constante, da potência e do logaritmo, além de exemplos de aplicação dessas regras.
1) A integral indefinida representa a operação inversa da derivação e fornece as primitivas de uma função.
2) Existem regras para calcular integral indefinidas de funções somadas, multiplicadas por constantes e funções elementares.
3) A integral indefinida de uma função representa geometricamente uma família de curvas com tangentes paralelas.
1) O documento discute conceitos fundamentais de integrais, incluindo função primitiva, integral indefinida, métodos de integração como substituição e por partes, e aplicações como cálculo de áreas e volumes.
2) São apresentados exemplos detalhados de como aplicar os métodos de integração a funções específicas.
3) Exercícios são fornecidos no final para que o leitor teste seu entendimento dos conceitos discutidos.
1) O documento apresenta uma lista de exercícios de cálculo de integral definida e área sob curvas. Inclui 7 exercícios resolvidos e 16 exercícios propostos sobre cálculo de áreas e integrais definidas de funções.
Resumo sobre Integração de Funções Racionais e Frações ParciaisGustavo Fernandes
O documento resume os principais métodos para integrar funções racionais, incluindo substituição algébrica, frações parciais para polinômios com raízes reais ou complexas, e divisão polinomial quando o grau do numerador é maior que o denominador. O documento também explica como decompor funções racionais em frações parciais usando fatores lineares, quadráticos redutíveis e irredutíveis.
1) O documento apresenta o cálculo da área entre duas curvas através da integral definida.
2) A área é dada pela fórmula A = ∫ab f(x) - g(x) dx, onde f(x) é a curva superior e g(x) a inferior.
3) Dois exemplos ilustram o procedimento passo-a-passo para calcular a área entre diferentes pares de curvas.
1. O documento apresenta um relatório sobre cálculo de integrais.
2. Nele são definidas integral indefinida, integral definida e integração trigonométrica.
3. Exemplos resolvidos são fornecidos para cada tópico a fim de ilustrar os conceitos apresentados.
DICAS DE COMO RESOLVER A INTEGRAL DEFINIDA DE CALCULO IIRenatho Sousa
O documento fornece dicas para resolver 8 questões de uma tarefa de Cálculo II que envolvem cálculo de comprimento de curvas, área de superfícies e volumes gerados pela rotação de curvas. As dicas incluem identificar as fórmulas apropriadas para cada caso e como calcular as derivadas e integrar para obter a solução. Exemplos similares foram trabalhados em aula anterior.
O documento apresenta os conceitos fundamentais sobre diferenciais e integrais. Explica que a diferencial de uma função é o produto da derivada pelo acréscimo da variável independente e representa uma aproximação da variação da função. Também define o que é a integral indefinida, que é o processo inverso da diferenciação e representa a família de primitivas de uma função. Por fim, fornece exemplos sobre como calcular integrais imediatas.
1) A integral indefinida representa a operação inversa da derivação e fornece as primitivas de uma função.
2) Existem regras para calcular integral indefinidas de funções somadas, multiplicadas por constantes e funções elementares.
3) A integral indefinida de uma função representa geometricamente uma família de curvas com tangentes paralelas.
1) O documento discute conceitos fundamentais de integrais, incluindo função primitiva, integral indefinida, métodos de integração como substituição e por partes, e aplicações como cálculo de áreas e volumes.
2) São apresentados exemplos detalhados de como aplicar os métodos de integração a funções específicas.
3) Exercícios são fornecidos no final para que o leitor teste seu entendimento dos conceitos discutidos.
1) O documento apresenta uma lista de exercícios de cálculo de integral definida e área sob curvas. Inclui 7 exercícios resolvidos e 16 exercícios propostos sobre cálculo de áreas e integrais definidas de funções.
Resumo sobre Integração de Funções Racionais e Frações ParciaisGustavo Fernandes
O documento resume os principais métodos para integrar funções racionais, incluindo substituição algébrica, frações parciais para polinômios com raízes reais ou complexas, e divisão polinomial quando o grau do numerador é maior que o denominador. O documento também explica como decompor funções racionais em frações parciais usando fatores lineares, quadráticos redutíveis e irredutíveis.
1) O documento apresenta o cálculo da área entre duas curvas através da integral definida.
2) A área é dada pela fórmula A = ∫ab f(x) - g(x) dx, onde f(x) é a curva superior e g(x) a inferior.
3) Dois exemplos ilustram o procedimento passo-a-passo para calcular a área entre diferentes pares de curvas.
1. O documento apresenta um relatório sobre cálculo de integrais.
2. Nele são definidas integral indefinida, integral definida e integração trigonométrica.
3. Exemplos resolvidos são fornecidos para cada tópico a fim de ilustrar os conceitos apresentados.
DICAS DE COMO RESOLVER A INTEGRAL DEFINIDA DE CALCULO IIRenatho Sousa
O documento fornece dicas para resolver 8 questões de uma tarefa de Cálculo II que envolvem cálculo de comprimento de curvas, área de superfícies e volumes gerados pela rotação de curvas. As dicas incluem identificar as fórmulas apropriadas para cada caso e como calcular as derivadas e integrar para obter a solução. Exemplos similares foram trabalhados em aula anterior.
O documento apresenta os conceitos fundamentais sobre diferenciais e integrais. Explica que a diferencial de uma função é o produto da derivada pelo acréscimo da variável independente e representa uma aproximação da variação da função. Também define o que é a integral indefinida, que é o processo inverso da diferenciação e representa a família de primitivas de uma função. Por fim, fornece exemplos sobre como calcular integrais imediatas.
1. O documento descreve o método de integração por substituição trigonométrica, que pode ser usado para calcular integrais contendo radiciais.
2. Dois exemplos são dados para ilustrar o método, mostrando como substituir variáveis para eliminar radicais usando funções trigonométricas antes de integrar.
3. As etapas incluem substituir a variável original por funções trigonométricas, integrar em termos da nova variável, e substituir de volta para a variável original ao calcular a integral definida.
O capítulo descreve técnicas de integração, incluindo integração por partes e substituições trigonométricas. A técnica de integração por partes depende da fórmula do produto diferencial e permite calcular integrais de funções produto. A técnica de substituição trigonométrica envolve substituir variáveis nas integrais por funções trigonométricas de forma a simplificar o cálculo. Exemplos ilustram o uso dessas técnicas para calcular diferentes integrais definidas.
1. O documento apresenta exercícios de cálculo de integrais indefinidas e definidas.
2. São propostos exercícios de resolução de integrais através de substituições, integração por partes e uso da fórmula de Riemann.
3. As respostas fornecem os passos detalhados para chegar às soluções das integrais propostas.
Este documento fornece exercícios sobre limites, funções, gráficos de funções, maximização de lucro, custo marginal e receita marginal. Inclui 15 exercícios sobre aplicações de funções marginais em economia e administração.
O documento fornece uma introdução concisa sobre limites, derivadas e integrais, apresentando fórmulas e propriedades essenciais destes conceitos em menos de 3 frases. Inclui também exemplos resolvidos para ilustrar a aplicação destas técnicas.
O documento apresenta um capítulo sobre integrais duplos. Define integrais duplos e a sua interpretação física como área. Explica como calcular integrais duplos dependendo da regularidade do domínio de integração, seja no sentido do eixo x ou y. Apresenta ainda algumas propriedades e exemplos de cálculo de integrais duplos.
Cálculo diferencial e integral de várias variáveis unid iiiBruno Luz
1) O documento apresenta os conceitos de integrais duplas e integração por partes.
2) São mostrados exemplos de cálculo de integrais imediatas, integrais definidas e integrais por substituição.
3) Exemplos de resolução de integrais por partes são apresentados para revisão do tema.
1. Este documento é uma apostila de exercícios resolvidos de cálculo contendo dois capítulos:
2. O capítulo 1 trata de limites e continuidade, enquanto o capítulo 2 aborda derivadas.
3. A apostila foi produzida por Celton Ribeiro Barbosa e Prof. Gislan Silveira Santos para o Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia da Bahia.
O documento apresenta exercícios de logaritmos e suas resoluções. As principais ideias são:
1) Demonstrar que log5 0,2 = -1 utilizando as propriedades de logaritmos e potências.
2) Simplificar uma expressão com múltiplos logaritmos reduzindo-a a um único logaritmo.
3) Encontrar valores de x em diferentes equações envolvendo logaritmos.
4) Calcular o valor de y a partir de uma relação entre logaritmos e potências.
5) Escrever uma igual
O capítulo descreve a integração dupla de funções de duas variáveis sobre retângulos. A integral dupla é definida como o limite da soma de Riemann quando a partição tende a zero. A integral dupla tem significado geométrico como o volume de um sólido limitado por um plano e a função. O teorema de Fubini relaciona a integral dupla com as integrais iteradas.
O documento apresenta 18 exercícios sobre funções quadráticas. Os exercícios incluem calcular raízes, valores de funções, vértices e máximos/mínimos de funções quadráticas, além de associar gráficos a equações.
1. O documento apresenta uma lista de exercícios sobre limites e continuidade de funções. Inclui problemas envolvendo gráficos, funções explícitas e implícitas, limites laterais e no infinito.
2. São solicitados cálculos de limites em diversas situações como x tende a um valor, função tende a um ponto ou infinito, e verificação de continuidade.
3. Também são pedidos esboços de gráficos e interpretação de resultados no contexto dos problemas propostos.
Este documento fornece instruções sobre como resolver inequações exponenciais. Explica que as funções exponenciais são crescentes para expoentes maiores que 1 e decrescentes para expoentes entre 0 e 1. Também descreve como manter ou inverter a desigualdade dependendo do valor do expoente ao resolver uma inequação exponencial. Fornece exemplos resolvidos passo a passo para ilustrar o processo.
O documento apresenta exercícios de função exponencial, incluindo resolução de equações e inequações exponenciais, sistemas de equações exponenciais e problemas envolvendo funções exponenciais.
O documento discute equações e funções exponenciais. Primeiro, apresenta propriedades de equações exponenciais e como resolvê-las. Em seguida, discute inequações exponenciais e como determinar seus domínios. Por fim, define funções exponenciais, mostra seus gráficos e domínios, e exemplifica como resolver problemas envolvendo tais funções.
Este documento contém 35 questões sobre logaritmos e exponenciais. As questões abordam tópicos como propriedades dos logaritmos, equações exponenciais e logaritmicas, funções logaritmicas e exponenciais, e interpretação e uso de logaritmos na resolução de problemas.
O documento discute o conceito de derivada de funções. Apresenta a definição formal de derivada como o limite da razão incremental de uma função quando o incremento da variável independente tende a zero. Fornece exemplos de cálculo de derivadas de funções simples e introduz regras básicas para derivação de funções algébricas.
A regra da cadeia fornece uma fórmula para calcular a derivada de uma função composta f(g(x)) em termos das derivadas de f e g. A fórmula é d/dx[f(g(x))] = (d/du[f(u)])*(d/dx[g(x)]), onde u = g(x). O documento apresenta exemplos ilustrando como aplicar a regra da cadeia para calcular derivadas de funções compostas.
Frações algébricas são frações com variáveis no denominador. O denominador nunca pode ser igual a zero e as operações com frações algébricas seguem as mesmas regras das frações numéricas.
O documento calcula os conjuntos pré-imagem de 0, 1 e 2 para a função f(x) = x - (x + 2)2 - 1. A função pode ser reescrita como duas funções, dependendo se x2 + 4x + 3 é positivo ou negativo. Calcula-se que o conjunto pré-imagem de 0 é vazio, pois as soluções para as equações não satisfazem a desigualdade x2 + 4x + 3 < 0.
Este documento apresenta 10 questões sobre funções de várias variáveis. As questões abordam tópicos como produção em fábricas e fazendas, vendas de produtos, consumo de energia, amortização de dívidas e custos de aluguel de carros. Respostas detalhadas são fornecidas para cada questão.
1) O documento apresenta um material didático sobre Cálculo II, com informações sobre a equipe de produção e direitos autorais.
2) Os tópicos abordados incluem integral indefinida, integral definida, área limitada por curvas, e comprimento de arco.
3) É fornecido um guia detalhado sobre diferentes métodos de integração e aplicações da integral em geometria.
1. O documento descreve o método de integração por substituição trigonométrica, que pode ser usado para calcular integrais contendo radiciais.
2. Dois exemplos são dados para ilustrar o método, mostrando como substituir variáveis para eliminar radicais usando funções trigonométricas antes de integrar.
3. As etapas incluem substituir a variável original por funções trigonométricas, integrar em termos da nova variável, e substituir de volta para a variável original ao calcular a integral definida.
O capítulo descreve técnicas de integração, incluindo integração por partes e substituições trigonométricas. A técnica de integração por partes depende da fórmula do produto diferencial e permite calcular integrais de funções produto. A técnica de substituição trigonométrica envolve substituir variáveis nas integrais por funções trigonométricas de forma a simplificar o cálculo. Exemplos ilustram o uso dessas técnicas para calcular diferentes integrais definidas.
1. O documento apresenta exercícios de cálculo de integrais indefinidas e definidas.
2. São propostos exercícios de resolução de integrais através de substituições, integração por partes e uso da fórmula de Riemann.
3. As respostas fornecem os passos detalhados para chegar às soluções das integrais propostas.
Este documento fornece exercícios sobre limites, funções, gráficos de funções, maximização de lucro, custo marginal e receita marginal. Inclui 15 exercícios sobre aplicações de funções marginais em economia e administração.
O documento fornece uma introdução concisa sobre limites, derivadas e integrais, apresentando fórmulas e propriedades essenciais destes conceitos em menos de 3 frases. Inclui também exemplos resolvidos para ilustrar a aplicação destas técnicas.
O documento apresenta um capítulo sobre integrais duplos. Define integrais duplos e a sua interpretação física como área. Explica como calcular integrais duplos dependendo da regularidade do domínio de integração, seja no sentido do eixo x ou y. Apresenta ainda algumas propriedades e exemplos de cálculo de integrais duplos.
Cálculo diferencial e integral de várias variáveis unid iiiBruno Luz
1) O documento apresenta os conceitos de integrais duplas e integração por partes.
2) São mostrados exemplos de cálculo de integrais imediatas, integrais definidas e integrais por substituição.
3) Exemplos de resolução de integrais por partes são apresentados para revisão do tema.
1. Este documento é uma apostila de exercícios resolvidos de cálculo contendo dois capítulos:
2. O capítulo 1 trata de limites e continuidade, enquanto o capítulo 2 aborda derivadas.
3. A apostila foi produzida por Celton Ribeiro Barbosa e Prof. Gislan Silveira Santos para o Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia da Bahia.
O documento apresenta exercícios de logaritmos e suas resoluções. As principais ideias são:
1) Demonstrar que log5 0,2 = -1 utilizando as propriedades de logaritmos e potências.
2) Simplificar uma expressão com múltiplos logaritmos reduzindo-a a um único logaritmo.
3) Encontrar valores de x em diferentes equações envolvendo logaritmos.
4) Calcular o valor de y a partir de uma relação entre logaritmos e potências.
5) Escrever uma igual
O capítulo descreve a integração dupla de funções de duas variáveis sobre retângulos. A integral dupla é definida como o limite da soma de Riemann quando a partição tende a zero. A integral dupla tem significado geométrico como o volume de um sólido limitado por um plano e a função. O teorema de Fubini relaciona a integral dupla com as integrais iteradas.
O documento apresenta 18 exercícios sobre funções quadráticas. Os exercícios incluem calcular raízes, valores de funções, vértices e máximos/mínimos de funções quadráticas, além de associar gráficos a equações.
1. O documento apresenta uma lista de exercícios sobre limites e continuidade de funções. Inclui problemas envolvendo gráficos, funções explícitas e implícitas, limites laterais e no infinito.
2. São solicitados cálculos de limites em diversas situações como x tende a um valor, função tende a um ponto ou infinito, e verificação de continuidade.
3. Também são pedidos esboços de gráficos e interpretação de resultados no contexto dos problemas propostos.
Este documento fornece instruções sobre como resolver inequações exponenciais. Explica que as funções exponenciais são crescentes para expoentes maiores que 1 e decrescentes para expoentes entre 0 e 1. Também descreve como manter ou inverter a desigualdade dependendo do valor do expoente ao resolver uma inequação exponencial. Fornece exemplos resolvidos passo a passo para ilustrar o processo.
O documento apresenta exercícios de função exponencial, incluindo resolução de equações e inequações exponenciais, sistemas de equações exponenciais e problemas envolvendo funções exponenciais.
O documento discute equações e funções exponenciais. Primeiro, apresenta propriedades de equações exponenciais e como resolvê-las. Em seguida, discute inequações exponenciais e como determinar seus domínios. Por fim, define funções exponenciais, mostra seus gráficos e domínios, e exemplifica como resolver problemas envolvendo tais funções.
Este documento contém 35 questões sobre logaritmos e exponenciais. As questões abordam tópicos como propriedades dos logaritmos, equações exponenciais e logaritmicas, funções logaritmicas e exponenciais, e interpretação e uso de logaritmos na resolução de problemas.
O documento discute o conceito de derivada de funções. Apresenta a definição formal de derivada como o limite da razão incremental de uma função quando o incremento da variável independente tende a zero. Fornece exemplos de cálculo de derivadas de funções simples e introduz regras básicas para derivação de funções algébricas.
A regra da cadeia fornece uma fórmula para calcular a derivada de uma função composta f(g(x)) em termos das derivadas de f e g. A fórmula é d/dx[f(g(x))] = (d/du[f(u)])*(d/dx[g(x)]), onde u = g(x). O documento apresenta exemplos ilustrando como aplicar a regra da cadeia para calcular derivadas de funções compostas.
Frações algébricas são frações com variáveis no denominador. O denominador nunca pode ser igual a zero e as operações com frações algébricas seguem as mesmas regras das frações numéricas.
O documento calcula os conjuntos pré-imagem de 0, 1 e 2 para a função f(x) = x - (x + 2)2 - 1. A função pode ser reescrita como duas funções, dependendo se x2 + 4x + 3 é positivo ou negativo. Calcula-se que o conjunto pré-imagem de 0 é vazio, pois as soluções para as equações não satisfazem a desigualdade x2 + 4x + 3 < 0.
Este documento apresenta 10 questões sobre funções de várias variáveis. As questões abordam tópicos como produção em fábricas e fazendas, vendas de produtos, consumo de energia, amortização de dívidas e custos de aluguel de carros. Respostas detalhadas são fornecidas para cada questão.
1) O documento apresenta um material didático sobre Cálculo II, com informações sobre a equipe de produção e direitos autorais.
2) Os tópicos abordados incluem integral indefinida, integral definida, área limitada por curvas, e comprimento de arco.
3) É fornecido um guia detalhado sobre diferentes métodos de integração e aplicações da integral em geometria.
Solution Manual : Chapter - 06 Application of the Definite Integral in Geomet...Hareem Aslam
This document contains exercises involving calculating areas and volumes using definite integrals. There are 23 exercises finding the area under curves or between curves over given intervals using integrals, and 13 exercises finding volumes of solids of revolution using integrals. The integrals require setting up antiderivatives and evaluating between limits.
Este documento apresenta exercícios sobre funções racionais e hipérboles. Os exercícios incluem identificar funções racionais, determinar domínios e contradomínios, analisar gráficos para determinar equações de funções racionais e identificar valores de parâmetros, e definir analiticamente funções racionais com base em assíntotas.
Este documento presenta tablas de integración indefinida y derivación que incluyen fórmulas para integrar e derivar funciones elementales como exponenciales, logaritmos, funciones trigonométricas y sus inversas. La tabla de integración incluye 20 fórmulas generales para la integración indefinida y fórmulas de recurrencia, mientras que la tabla de derivación presenta 20 fórmulas para derivar funciones compuestas y la regla de la cadena.
Este documento trata sobre el cálculo de integrales indefinidas. Explica que una integral indefinida es otra función cuya derivada es igual a la función original. Proporciona ejemplos de funciones y sus respectivas integrales indefinidas. También cubre temas como la constante de integración y diferentes métodos para evaluar integrales indefinidas como cambios de variable e identidades trigonométricas.
1) O documento apresenta uma lista de exercícios sobre funções reais de uma variável real para a disciplina de Cálculo I. A lista contém 15 questões sobre domínios, gráficos, composição, inversa e identidades trigonométricas e hiperbólicas de funções.
2) As questões 1 a 3 pedem para determinar domínios e imagens de funções dadas, esboçar gráficos e encontrar o domínio de uma função específica.
3) As questões 4 a 11 abordam propriedades como paridade, compos
Este documento apresenta 30 exercícios sobre análise matemática I para os cursos de engenharia de energias e mecânica da Universidade de Trás os Montes e Alto Douro. Os exercícios abordam tópicos como funções, derivadas, integrais, séries de Taylor e equações diferenciais.
O documento apresenta 30 exercícios sobre funções afins e inequações do 1o grau. Os exercícios envolvem identificar equações de retas a partir de pontos, determinar valores de variáveis para satisfazer propriedades das funções, resolver inequações e sistemas de inequações.
O documento apresenta técnicas de integração como integração por substituição de variável, integração por partes e integração utilizando decomposição em frações parciais. Exemplos de exercícios são resolvidos utilizando essas técnicas.
O documento é um simulado de Cálculo II com 20 questões de integração e 3 questões sobre tangentes e áreas de regiões planas delimitadas por curvas. As questões cobrem tópicos como integrais definidas usando métodos como substituição, partes e trigonométricas, equações de retas tangentes, e cálculo de áreas entre curvas.
Este documento descreve um trabalho de grupo para a disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I no SENAI/CETIQT. O trabalho deve ser entregue até 31 de março de 2012 e seguir certos requisitos de formatação.
1. O documento apresenta conceitos fundamentais sobre cálculo integral, incluindo diferenciais, integrais indefinidas e regras básicas de integração.
2. É explicado que a integral e a derivada são funções inversas, com a integral encontrando a "função primitiva" de uma derivada.
3. A constante de integração aparece ao se integrar uma função, pois não é possível saber o valor exato da constante apenas ao se calcular a integral.
1. O documento discute cálculo de áreas sob curvas e integral definida, apresentando fórmulas e exemplos para calcular áreas e somar retângulos de Riemann.
2. É introduzido o Teorema Fundamental do Cálculo, que relaciona derivadas e integrais definidas, permitindo calcular integrais através de primitivas.
3. Propriedades das integrais definidas são listadas, como adição, multiplicação por constante e integração por partes.
1) O documento apresenta questões sobre conjuntos, funções e equações algébricas.
2) A questão 1 trata de subconjuntos de um conjunto universo U e relações entre eles.
3) A questão 2 envolve conversão de tipos de combustível em veículos e cálculo do número de carros tricombustíveis.
4) As demais questões abordam propriedades de funções, raízes de polinômios e equações algébricas.
Lista - injetoras, sobrejetoras, bijetoras e inversasquimicabare
O documento apresenta exercícios sobre progressões geométricas e funções. No primeiro item, são propostos exercícios para verificar se determinadas funções são injetoras, sobrejetoras ou bijetoras. O segundo item traz afirmações sobre essas classificações de funções para serem classificadas como verdadeiras ou falsas.
1. O documento contém 32 questões sobre funções compostas e relações entre funções.
2. As questões envolvem determinar expressões algébricas, valores numéricos, domínios e conjuntos solução a partir de informações fornecidas sobre definições, gráficos e valores de funções.
3. Os tipos de funções envolvidas incluem polinômios, radiciais, exponenciais e funções definidas por partes.
Este documento apresenta 15 exercícios sobre funções quadráticas. Os exercícios cobrem tópicos como identificar funções quadráticas, calcular valores de funções em pontos específicos, determinar zeros de funções, calcular vértices de parábolas, estudar o sinal de funções, e esboçar gráficos de funções quadráticas.
1. O documento apresenta uma lista de exercícios de cálculo integral e suas aplicações com 13 questões contendo vários itens cada. Os exercícios envolvem cálculo de áreas, volumes de revolução, deslocamentos, trabalhos e comprimentos de arcos.
O documento apresenta 6 exercícios de cálculo envolvendo o cálculo de trabalho realizado por campos de força em diferentes curvas planas e superfícies. As soluções envolvem a parametrização das curvas, cálculo de derivadas e integrais de linha.
Lista de exercicio - Calculo 1 - Integralalineluiza_sg
1) O documento apresenta uma lista de 11 exercícios de cálculo de integrais e áreas de regiões planas. Inclui integrais definidas, integrais impróprias, integrais por substituição e integrais por partes.
2) Pede para calcular integrais, derivadas e equações de curvas dadas condições iniciais. Também pede para mostrar propriedades de integrais e usar tais propriedades para calcular novas integrais.
3) Finalmente, solicita encontrar áreas de regiões planas limitadas por curvas
O documento apresenta 15 exercícios sobre funções trigonométricas. Os exercícios envolvem identificar gráficos de funções trigonométricas, analisar propriedades dessas funções e resolver equações trigonométricas.
Função é uma relação de um conjunto não vazio em outro conjunto também não vazio, em que cada elemento do primeiro conjunto relaciona-se com um único elemento do outro.
O documento apresenta fórmulas para produtos notáveis e suas aplicações em fatoração de polinômios. Inclui identidades como (x + y)2 = x2 + 2xy + y2 e (x + y)(x - y) = x2 - y2, além de exemplos e exercícios de fatoração usando fator comum e agrupamento.
1) A lista de exercícios contém 26 problemas de álgebra e geometria envolvendo equações do segundo grau, raízes quadradas, propriedades de números e figuras geométricas.
2) Os exercícios incluem calcular expressões numéricas, resolver equações do segundo grau, determinar discriminantes, calcular áreas e perímetros de figuras geométricas.
3) Muitos exercícios pedem para calcular valores numéricos dados algumas propriedades ou relações entre esses valores.
Semelhante a Antiderivação integrais indefinidas (20)
1. Curso- Engenharia Civil/Mecânica
Disciplina- Cálculo II – Prof. Olga
2º Semestre de 2014
Antiderivação- Integração Indefinida
Muitas vezes conhecemos a derivada de uma função e queremos encontrar a própria
função.
Por exemplo: um físico conhece a velocidade de um corpo em movimento e quer saber
a posição desse corpo em um determinado tempo futuro.
O processo de obter uma função a partir de sua derivada é chamado antiderivação ou
integração indefinida.
F(x) é uma antiderivada de f(x) para qualquer x do domínio de f se F’(x) = f(x)
Exemplo: F(x) =x2 é uma antiderivada de f(x) = 2x pois F’(x) = 2x
Observamos também que F(x) = x2 + 3 é também uma antiderivada de f(x) = 2x pois
F’(x) = 2x.
Dada uma função f(x) existe uma família de antiderivadas de f(x) da forma F(x) + C em
que C é uma constante.
Ou seja, se F(x) é uma antiderivada de f(x), todas as antiderivadas de f(x) são da forma
F(x) +C.
Essa família de antiderivadas é representada por :
1
em que F’(x) = f(x)
f (x)dx integral indefinida de f(x)
f(x) integrando
dx símbolo que indica a variável x ( variável de integração).
Exemplos:
x 4
1) x dx C 4
4
( x C x
dx
d ) 1
= x3
3 pois 3
.4
4
4
d
2) x dx x C pois 3 2 3 (x3 C) 3 x2
dx
t 3 dt 1 t 2
C pois d 2 ) 3
3) (
2
dt
1 t C t
2
Regras de integração:
1) Regra da constante
f (x)dx F(x) C
kdx kx C ( k = constante )
2. 2
Exemplos : 2dx 2x C ; 3 dx 3x C ; dx x C
2) Regra da potência
C
x dx x
1
1
n
n
n
Exemplos:
x 2 1 x 3
x dx C C
3 1
( n -1 )
2 ; t dt t C t C
2 1 3
1
2
3
2
3 1
3) Regra do logaritmo
Na regra da potência, se n = -1, temos x dx 1 que não pode ser calculada como
1 1
x + C ( o denominador se anula )
1 1
Temos então :
x 0
x dx 1 1 ln
4) Regra da exponencial
dx x C
x
ekxdx kx 1 , k 0
e C
k
Regras algébricas para integração:
1) k. f (x)dx k f (x)dx
2) [ f (x) g(x)]dx f (x)dx g(x)dx
3) [ f (x) g(x)]dx f (x)dx g(x)dx
Exemplos :
1) (5x3 x2 1)dx 5x3dx x2dx 1dx 5 x3dx x2dx 1dx =
3. 3
3
x C x C ( x C ) 5
x 4
x x C C C C C
5( 2 3
1 2 3
3
1
4
; 5
4 3
3
)
4
Verificação:
Podemos verificar as integrações indefinidas, derivando a expressão final para ver se
obtém o integrando ou uma forma equivalente do mesmo.
No exemplo anterior:
5 3
x4 x x C = 4. 1 0 5 1
d )
(
dx
4 3
5 x3 3.1
x2 x3 x2
3
4
Lista5
Calcule a integral dada. Verifique se o cálculo está correto derivando o resultado:
1) (4x 3)dx
2) (4x2 8x 1)dx
3) (9t 2 4t 3)dt
4) (2t 3 t 2 3t 7)dt
5) dz
( 1
3 ) z 3 z
2 6) du
(3 u 1 )
u
7) 2v 6 v 4 3v 4 ) dv
5
1
4
8) (3x 1)2dx
9) x(2x 3) dx
10) dx
3
( x 2x 7 )
x
11) ( 3 e 5t t ) dt
12) e x x dx x
)
(
2
2
( x 2x 1 ) 2
13) dx
x
y3 ( 2y 1 )
14) dy
y
(x3 2 x2 ) ( 1 5 )
15) dx
x
4. 4
( 1 2
2 3 )
16) dy
y y y
2
x x 2 3 2
17) dx
x
(2 eu 6 ln 2)
18) du
u
3 1
dx x
x
19) ; 1
1
x
20) x(2x 1)2dx
21) (5cos x 2senx)dx
22) ( t cos t)dt
Tabela de integrais indefinidas Tabela de derivadas
d
1) 1dx dx x C (x ) 1
dx
1
x dx x
2) ( 1)
1
C n
n
n
n
)
1
d x
n n
x
n
dx
(
1
3) 1 dx ln x C ; x 0
d (ln x
) 1 ; x 0
x dx
x
d ( ) cos
4) cos x dx sen x C sen x x
dx
d (cos )
5) sen x dx cos x C x senx
dx
d ( ) sec2
6) xdx tgx C sec2 tgx x
dx
d (cot ) sec2
7) cos ec2 xdx cot gx C gx co x
dx
d (sec ) sec .
8) secx tgxdx sec x C x x tgx
dx
d (cos ) sec .cot
9) cos ecx .cot gxdx cos ecx C ecx co x gx
dx
d ( )
6) exdx ex C ex ex
dx
d (1 )
ekxdx kx 1 ekx ekx
7) e C
k
dx k
5. 2
habitantes por mês. Se a população atual é de 10000 habitantes,
5
Problemas de valor inicial
1) Determine a função f, sabendo que a sua derivada f’(x) = 5 4 2 1 4
x x , e
x
que f( 1 ) =
5
9
2) Determine a função f tal que f’(x) = 5x3 -2x + 15, com f(0) = -1
3) Sabendo que u’(t) = 3 t 19t 3 .3 t 7 , e que u(1) = 1, determine a função u
4) Determine a função polinomial cuja tangente tem inclinação 4x+1 e cuja curva
passa pelo ponto (1,2)
5) Determine a função polinomial cuja tangente tem inclinação 3x2 + 6x -2 e cuja
curva passa pelo ponto ( 0,6)
6) Estima-se que daqui a t meses a população de certa cidade estará aumentando à
razão de 4 + 5 t 3
qual será a população daqui a 8 meses?
2
. Ache a função
7) A velocidade escalar em um movimento é dada por v(t) = t 3
horária do movimento, sabendo que ela vale 1 no instante t=0
8) Um corpo está se movendo de tal forma que sua velocidade após t minutos é v(t)
= 1 + 4t + 3 t2 metros por minuto. Que distância o corpo percorre no terceiro
minuto?
9) Um fabricante constatou que o custo marginal é 3q2 – 60q + 400 reais por
unidade, onde q é o número de unidades produzidas. O custo total para produzir
as primeiras 2 unidades é R$900,00. Qual é o custo total para produzir as
primeiras 5 unidades?
10) Se um ponto se move em uma reta coordenada com aceleração a(t) e as
condições iniciais dadas, determine s(t)
a) a(t) = 2-6t ; v(0)= -5 e s(0) = 4
b) a(t) = 3 t2 ; v(0)= 20 e s(00 = 5
Integração por Substituição ( Cálculo- Um Curso Moderno e Suas
Aplicações Hoffmann, pág. 311)
Uso da Substituição para integrar f (x)dx
1) Escolha uma substituição u = u(x) que simplifique f(x)
2) Expresse toda a integral em termos de u e du = u’(x) dx. Isto significa que todos
os termos que envolvem x e dx devem ser transformados em termos que
envolvem u e du
3) Depois de executado o 2º passo, a integral deve estar na forma
f (x)dx g(u)du
4) Calcule o valor desta integral
5) Substitua u por g(u)
Exemplo:
(3x 5)7dx
6. 6
u= 3x + 5
du dx =
3
dx
du
3
(3x 5)7dx =
u7 du =
3
1 u du 7 =
3
1 u C
3
8
8
u8 + C= x C
=
24
(3 5)8
24
Calcule as seguintes integrais
1) dx
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
Lista 6
Exercícios
1) Calcule as integrais indefinidas:
a)
b) dx
c) dx
d)
e) dx
f)
g)
7. 7
h) dx
i)
j)
k)
l)
Integração por partes
É uma técnica utilizada para integrar produtos de funções, isto é, o integrando
é do tipo f (x) . g (x)
Para tanto, podemos seguir os seguintes passos para a integração por partes.
1) Escolha os fatores, um fator fácil de integrar e outro fácil de derivar
2) Se f (x) será derivada, derive
3) Se g’(x) dx será integrado, integre, encontrando g (x)
4) Substitua os fatores encontrados na fórmula de integração por partes, ou seja,
ou
Exemplos: Calcule as integrais abaixo, utilizando a integração por partes:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
8. 8
Algumas vezes precisamos utilizar a integração por partes mais de uma vez
Exemplo:
9)
10)
11)
Lista 7
Calcule a integral dada. Verifique se o cálculo está correto derivando o resultado:
1) dx
(x 5 1
4) x
3
2) x dx
(1 )
x
3) dx
(2x 3
1 ) x
4
4) dx
2
( x 1)
x
, x>0
5) (35 x2 3)dx
6) (1 3 x x)dx
7) (x3 x2 )dx
8) x (x2 1)dx
9) x(x 1)2dx
10) (3 cos x)dx
11) (x2 senx)dx
12) e xdx 2
13) (3 e x )dx
14) (sec x tgx)2dx
15) 2x 7dx
16) (2x 6)5dx
9. 9
17) 8x(4x2 3)5dx
18) t(t 2 1)5 dt
3
19) x x 4 dx
2 ( 3 1)
20) e xdx 1
21) dy
2
y y
5
1
4
x 1
22) dx
x
3 x
6
2
23) dx
x x
2 8 3
(ln )2
x
24) dx
x
25) e x dx 5 2
Respostas
1) x 6
4 x
C
x
2
1
6 2
2
2) ln x + x3 C
3
x 1
3
3) C
x
4
3
2
2
4) x ln x C
2
15 5 7
5) x 3x C
7
6) x - 2
2
x3 x
2
33 8
7) x C
8
2 7 3
8) x x C
3
2
7
4 3 2
9) x x x C
3 2
2
4
10) 3x + sen x + C
x 3
11) cos x C
3
1
12) e2x C
2
10. 10
ex 1
13) 3x - C
14) 2 tgx + 2 secx –x + C
(2 x
7)3
15)
C
3
(2 6)6
16) x C
12
(4 2 3)6
17) x C
6
( 2 1)6
18) t C
12
7
4
( 3 1)
21
19) x 4 C
20) - e1x C
21) 2 ln y 5
1 C
5
22) x-1+ln x 1 +C
23) 3 2x 2
8x 3 C
2
1
24) (ln x)3 C
3
1
25) e5x2 C
5
Lista 8- Integrais Trigonométricas
Calcule as seguintes integrais trigonométricas ( método da substituição)
1) cos 4xdx
2) 3sen4x dx
3) cos(4x 3)dx
4) dx
cos
x x
5)
cos35x sen5x dx 6) x cos x3 dx
7) v sen(v 2 )dv
8) cos3x 3 sen3x dx
9) (senx cos x)2dx (sugestão: sen 2x = 2 senx cosx)
10) senx(1 cos x)2dx
11. 11
senx cos4
11) dx
x
cos
t (1 )2
12) dt
sent
13) sec2 (3x 4)dx
14) sec2 3x tg3x dx
15) dx
1
2
x cos 2
16) sen2 x dx ( sen
2 x 1 cos 2x
2
)
17) x dx cos2 (cos
2 x 1 cos 2x
2
)
18) tgx dx
Respostas:
1) 1
sen4x C
4
3
2) - cos 4x C
4
1
3) sen(4x 3) C
4
4) 2 sen x +C
5) - 1 cos 4
5x C
20
2 sen x +C
6) 3
3
1 2
7) - cos(v ) C
2
4
8) 1 ( sen 3 x )
3
+ C
4
9) x - 1
cos 2x C
2
1 + C
10) –cos x - cos 2 x - cos3 x
3
11) C
3cos3
x
1
12)
1 + C
1 sent
1
13) tg(3x 4) C
3
12. 12
1 2
14) sec 3x C
6
1
15) tg 2x C
2
16) x sen 2
x C
4
2
17) x sen 2
x C
4
2
18) ln sec x + C
Lista 9
Calcule as seguintes integrais:
1) dx
7 5
x
xdx
4
x2
2) 7
3) x cos 2xdx
4) xe 3
xdx 5) 3
dx
e
e
x
x
4
6) ln 5xdx
7) x
sec2 (ln 4x)
dx; u = ln4x
8) x2 sen3xdx
9) xe5x2 dx
10) dx
senx (2 cos x
)2
Respostas:
1) ln 7 5x
5
1 +C
2) 2ln(x 2 7) +C
3) xsen 2 x 1
cos 2x C
4
1
2
1 1
+C
4) xe3x e3x
9
3
5) 6 ex 4 +C
6) x ln5x –x +C
7) tg(ln4x) +C
13. 13
8) x x xsen 3 x 2
cos3x C
27
cos3 2
3
9
2
1
9) e x C 5 2
10
1
10) C
x
2 cos