Álgebra Linear: Espaços Vetoriais e Subespaços

Álgebra Linear
Espaço Vetorial
Prof. Carlos Alexandre Mello
cabm@cin.ufpe.br

Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello
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Espaços Vetoriais

• Definição: Um espaço vetorial real é um

conjunto V, não vazio, com duas operações:

soma, V X V → V, e multiplicação por escalar,

R X V → V, tais que, para quaisquer u, v, w ∈V

e a, b ∈ R, as seguintes propriedades sejam

satisfeitas:

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Espaços Vetoriais
• Propriedades:
i) (u + v) + w = u + (v + w)
ii) u + v = v + u
iii) existe 0 ∈ V tal que u + 0 = u
• 0 é o vetor nulo
iv) Existe –u ∈ V tal que u + (-u) = 0
v) a(u + v) = au + av, a escalar
vi) (a + b)v = av + bv, a, b escalares
vii) (ab)v = a(bv)
viii) 1.u = u

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Espaços Vetoriais
• Designamos por vetor um elemento do espaço
vetorial
• Exemplo: V = M(2, 2) é o conjunto de matrizes
2x2
V é um espaço vetorial
• Todas as propriedades anteriores são satisfeitas se a
adição é entendida como a adição de matrizes

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Espaços Vetoriais
• Exemplo: V = M(2, 2) - Prova
Axioma 1: (u + v) + w = u + (v + w)
⎛ ⎡u11 u12 ⎤ ⎡ v11 v12 ⎤ ⎞ ⎡ w11 w12 ⎤
(u + v ) + w = ⎜ ⎢
⎜ u ⎥ + ⎢v ⎥ ⎟ + ⎢w
⎟ ⎥=
⎝ ⎣ 21 u22 ⎦ ⎣ 21 v22 ⎦ ⎠ ⎣ 21 w22 ⎦
⎡ (u11 + v11 ) (u12 + v12 )⎤ ⎡ w11 w12 ⎤
=⎢ ⎥ + ⎢w ⎥=
⎣(u21 + v21 ) (u22 + v22 )⎦ ⎣ 21 w22 ⎦
⎡ (u11 + v11 ) + w11 (u12 + v12 ) + w12 ⎤ ⎡ u11 + (v11 + w11 ) u12 + (v12 + w12 ) ⎤
=⎢ ⎥ = ⎢u + (v + w ) u + (v + w )⎥ =
⎣(u21 + v21 ) + w21 (u22 + v22 ) + w22 ⎦ ⎣ 21 21 21 22 22 22 ⎦

⎡u11 u12 ⎤ ⎡ (v11 + w11 ) (v12 + w12 )⎤
=⎢ ⎥ + ⎢(v + w ) (v + w )⎥ =
⎣u21 u22 ⎦ ⎣ 21 21 22 22 ⎦

⎡u11 u12 ⎤ ⎛ ⎡ v11 v12 ⎤ ⎡ w11 w12 ⎤ ⎞
=⎢ ⎥ + ⎜ ⎢v Carlos Alexandrew de Mello ⎟ = u + (v + w )
⎜ Prof. v ⎥ + ⎢ Barros w ⎥ ⎟
⎣u21 u22 ⎦ ⎝ ⎣ 21 cabm@cin.ufpe.br 22 ⎦ ⎠
22 ⎦ ⎣ 21 5

Espaços Vetoriais

Axioma 2: u + v = v + u

Operação vetorial genérica

⎡u11 u12 ⎤ ⎡v11 v12 ⎤ ⎡v11 v12 ⎤ ⎡u11 u12 ⎤
u+ v = ⎢ ⎥ + ⎢v v ⎥ = ⎢v v ⎥ + ⎢u u ⎥ = v +u
⎣u21 u22 ⎦ ⎣ 21 22 ⎦ ⎣ 21 22 ⎦ ⎣ 21 22 ⎦

Interpretação concreta

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Espaços Vetoriais
Axioma 3: Existe um elemento 0 em V, chamado um vetor nulo
para V, tal que u + 0 = u para todo u em V.

⎡0 0 ⎤
Seja 0 ≡ ⎢ ⎥. Então,
⎣0 0 ⎦
⎡u11 u12 ⎤ ⎡0 0⎤ ⎡u11 u12 ⎤
∀ u ∈V , u + 0 = ⎢ ⎥ + ⎢0 0⎥ = ⎢u ⎥=u
⎣u21 u22 ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ 21 u22 ⎦

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Espaços Vetoriais
Axioma 4: Para todo u em V, há um objeto –u em V, chamado
um oposto ou negativo ou simétrico de u, tal que u + (-u) = 0

⎡ − u11 − u12 ⎤
Seja − u ≡ ⎢ ⎥. Então,
⎣− u21 − u22 ⎦
⎡u11 u12 ⎤ ⎛ ⎡ − u11 − u12 ⎤ ⎞
∀ u ∈ V , u + (− u ) = ⎢ ⎥ + ⎜ ⎢− u
⎜ ⎥⎟ =
⎣u21 u22 ⎦ ⎝ ⎣ 21 − u22 ⎦ ⎟
⎠
⎡ u11 + (−u11 ) u12 + (−u12 ) ⎤ ⎡ u11 − u11 u12 − u12 ⎤ ⎡0 0⎤
⎢u + (−u ) u + (−u )⎥ = ⎢u − u ⎥ = ⎢0 0 ⎥ = 0
⎣ 21 21 22 22 ⎦ ⎣ 21 21 u22 − u22 ⎦ ⎣ ⎦

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Espaços Vetoriais
Axioma 5: k (u + v) = k u + k v

⎛ ⎡u11 u12 ⎤ ⎡ v11 v12 ⎤ ⎞
k (u + v ) = k ⎜ ⎢
⎜ u ⎥ + ⎢v ⎥⎟ =
⎟
⎝⎣ 21 u22 ⎦ ⎣ 21 v22 ⎦ ⎠
⎡ u11 + v11 u12 + v12 ⎤ ⎡ k (u11 + v11 ) k (u12 + v12 )⎤
=k⎢ ⎥ = ⎢k (u + v ) k (u + v )⎥
⎣u21 + v21 u22 + v22 ⎦ ⎣ 21 21 22 22 ⎦

⎡ k u11 + k v11 k u12 + k v12 ⎤ ⎡ k u11 k u12 ⎤ ⎡ k v11 k v12 ⎤
=⎢ ⎥ = ⎢k u ⎥ + ⎢k v ⎥ = ku + kv
⎣k u21 + k v21 k u22 + k v22 ⎦ ⎣ 21 k u22 ⎦ ⎣ 21 k v22 ⎦

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Espaços Vetoriais
Axioma 6: (k + l ) u = k u + l u

⎡u11 u12 ⎤
(k + l )u = (k + l ) ⎢ ⎥=
⎣u21 u22 ⎦
⎡ (k + l )u11 (k + l )u12 ⎤ ⎡ k u11 + l u11 k u12 + l u12 ⎤
=⎢ ⎥ = ⎢k u + l u ⎥=
⎣(k + l )u21 (k + l )u22 ⎦ ⎣ 21 21 k u22 + l u22 ⎦
⎡ k u11 k u12 ⎤ ⎡l u11 l u12 ⎤
=⎢ ⎥ + ⎢l u ⎥ = ku+lu
⎣k u21 k u22 ⎦ ⎣ 21 l u22 ⎦

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Espaços Vetoriais
Axioma 7: k (l u) = (k l ) (u)

⎛ ⎡u11 u12 ⎤ ⎞
k (l u ) = k ⎜ l ⎢
⎜ u ⎥⎟ =
⎟
⎝ ⎣ 21 u22 ⎦ ⎠
⎡l u11 l u12 ⎤ ⎡ k l u11 k l u12 ⎤ ⎡ (k l )u11 (k l )u12 ⎤
=k⎢ ⎥ = ⎢k l u ⎥ = ⎢(k l )u
⎣l u21 l u22 ⎦ ⎣ 21 k l u22 ⎦ ⎣ 21 (k l )u22 ⎥
⎦
⎡u11 u12 ⎤
= (k l ) ⎢ ⎥ = (k l )u
⎣u21 u22 ⎦

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Espaços Vetoriais
Axioma 8: 1u = u

⎡u11 u12 ⎤ ⎡1u11 1u12 ⎤ ⎡u11 u12 ⎤
1u = 1 ⎢ ⎥ = ⎢1u ⎥ = ⎢u ⎥=u
⎣u21 u22 ⎦ ⎣ 21 1u22 ⎦ ⎣ 21 u22 ⎦

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Espaços Vetoriais
• Contra-Exemplo: Um conjunto que não é um
espaço vetorial:
Seja u = (u1, v1) e v = (u2, v2)
Seja V = R2 e adição e multiplicação definidas como:
• u + v = (u1 + u2, v1 + v2)
• k.u = (ku1, 0)
Nesse caso, o axioma 8 não vale, pois:
• 1u = 1(u1, u2) = (u1, 0) ≠ u
Logo V não é um espaço vetorial

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Subespaços Vetoriais
• Definição: Dado um espaço vetorial V, um
subconjunto W, não vazio, será um subespaço
vetorial de V se:
i) Para quaisquer u, v ∈ W, tivermos u + v ∈ W
ii) Para quaisquer a ∈ R, u ∈ W, tivermos au ∈ W

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• Observações:
1) Ao operarmos em W (soma e multiplicação por
escalar) não obteremos um vetor fora de W
Isso é suficiente para afirmar que W é ele mesmo um
espaço vetorial, pois assim as operações ficam bem
definidas
Assim, não precisamos verificar novamente as
propriedades (i) a (viii) de espaço vetorial porque elas são
válidas em V, que contém W

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• Observações:
2) Qualquer subespaço W de V precisa
necessariamente conter o vetor nulo (por causa da
condição (ii) da definição quando a = 0)
3) Todo espaço vetorial admite, pelo menos, dois
subespaços (que são chamados de subespaços
triviais):
• O conjunto formado apenas pelo vetor nulo
• O próprio espaço vetorial

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• Exemplo 1: V = R3 e W ⊂ V, um plano
passando pela origem

Observe que, se W não passasse
W
pela origem, não seria um subespaço

Os únicos subespaços de R3 são a
origem, as retas e planos que passam
pela origem e o próprio R3

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• Exemplo 2: V = R5 e W = {(0,x2,x3,x4,x5); xi∈R}
Isso é, W é o conjunto de vetores de R5 com a
primeira coordenada nula
Vamos verificar as condições (i) e (ii):
(i):u = (0, x2, x3, x4, x5), v = (0, y2, y3, y4, y5) ∈ W
Então: u+v=(0, x2+y2, x3+y3, x4+y4, x5+y5) ∈ W
(ii) ku = (0, kx2, kx3, kx4, kx5) ∈ W
Portanto, W é subespaço vetorial de R5.

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• Teorema: Interseção de subespaços
Dados W1 e W2 subespaços de um espaço vetorial
V, a interseção W1 ∩ W2 ainda é um subespaço de
V
• Observe que W1 ∩ W2 nunca é vazio já que eles sempre
contêm, pelo menos, o vetor nulo

• Exemplo 1: V = R3, W1 ∩ W2 é a reta de
interseção dos planos W1 e W2
W2

W1

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• Embora a interseção gere um subespaço
vetorial, isso necessariamente não acontece
com a união
• Teorema: Soma de subespaços
Sejam W1 e W2 subespaços de um espaço vetorial
V. Então o conjunto
• W1 + W2 = {v∈V; v=w1 + w2, w1∈W1, w2∈W2}
é subespaço de V
• Exemplo 1: Se W1 e W2 são duas retas, W =
W1+W2 é o plano que contém as retas

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• Quando W1 ∩ W2 = {0}, então W1 + W2 é

chamado soma direta de W1 com W2,

denotado por W1 ⊕ W2

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Combinação Linear
• Sejam V um espaço vetorial real, v1, v2, ..., vn
∈V e a1, a2, ...,an números reais
• Então o vetor
v = a1v1 + a2v2 + .... anvn
• é um elemento de V ao qual chamamos de
combinação linear de v1, v2, ..., vn
Uma vez fixados vetores v1, v2, ..., vn em V, o
conjunto W de todos os vetores de V que são
combinação linear desse é um subespaço vetorial
• W é chamado de subespaço gerado por v1, v2, ..., vn
• W = [v1, v2, ..., vn]

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Combinação Linear
• Exemplo 1:V = R2, v1 = (1, 0), v2 = (0, 1)
Logo, V = [v1, v2], pois dados v = (x, y)∈V, temos (x,
y) = x(1, 0) + y(0, 1)
• Ou seja, v = x.v1 + y.v2
• Exemplo 2:

v1 =
1 0 v2 =
0 1
0 0 0 0

Então [v1, v2] = a b : a, b ∈ R
0 0
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Dependência e Independência Linear
• Definição: Sejam V um espaço vetorial e v1, v2,
..., vn ∈V. Dizemos que o conjunto {v1,v2, ...,vn} é
linearmente independente (LI), ou que o vetores
v1, v2, ..., vn são LI se a equação:
a1v1 + a2v2 + ... + anvn = 0
implica que a1 = a2 = .... = an = 0
{v1,v2, ...,vn} é LD se, e somente se, um destes
vetores for combinação linear dos outros.
• Se algum ai ≠ 0, dizemos que {v1,v2, ...,vn} é
linearmente dependente (LD) ou que os vetores
v1,v2, ...,vn são LD
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Dependência e Independência Linear
• Exemplo 1: V = R2, e1 = (1, 0) e e2 = (0, 1)
• e1 e e2 são LI, pois
a1.e1 + a2.e2 = 0
a1.(1, 0) + a2.(0, 1) = 0
(a1, a2) = (0, 0)
a1 = 0 e a2 = 0
• Exemplo 2: De modo análogo, para V =R3, e1
= (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0) e e3 = (0, 0, 1) são LI
• Exemplo 3: V = R2
{(1, -1), (1, 0), (1, 1)} é LD pois:
½.(1, -1) -1.(1, 0) + ½.(1, 1) = (0, 0)

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Base de um Espaço Vetorial

• Definição: Um conjunto {v1,v2, ...,vn} de

vetores de V será uma base de V se:

i) {v1,v2, ...,vn} é LI

ii) [v1,v2, ...,vn] é V

Esse conjunto gera todos os vetores de V.

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• Exemplo 1: V = R2, e1=(1,0) e e2=(0,1)
• {e1, e2} é base de V, conhecida como base
canônica de R2
• O conjunto {(1,1),(0,1)} também é uma base de
V = R2
De fato, se (0,0) = a(1,1) + b(0,1) = (a, a + b), então
a=b=0
• Assim, {(1, 1), (0, 1)} é LI
Ainda [(1, 1), (0, 1)] = V pois dado v = (x, y) ∈ V,
temos: (x, y) = x(1, 1) + (y – x)(0, 1)
Ou seja, todo vetor de R2 é uma combinação linear
dos vetores (1,1) e (0,1)
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• Exemplo 2: {(0,1), (0,2)} não é base de R2,
pois é um conjunto LD
Se (0,0) = a(0,1) + b(0,2), então a = -2b e a e b não
são zero necessariamente
• Exemplo 3: {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} é uma
base de R3
Base canônica de R3
i) {e1, e2, e3} é LI
ii) (x, y, z) = x.e1 + y.e2 + z.e3
• Exemplo 4: {(1,0,0), (0,1,0)} não é base de R3
É LI mas não gera todo R3
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• Teorema: Sejam v1,v2, ...,vn vetores não nulos
que geram um espaço vetorial V. Então dentre
esses vetores podemos extrair uma base de V.
Isso independe de v1,v2, ...,vn serem LD ou LI

• Teorema: Seja um espaço vetorial V gerado
por um conjunto finito de vetores v1,v2,...,vn.
• Então, qualquer conjunto com mais de n
vetores é necessariamente LD (e, portanto,
qualquer conjunto LI tem no máximo n vetores)

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• Corolário: Qualquer base de um espaço
vetorial tem sempre o mesmo número de
elementos. Este número é chamado dimensão
de V, e denotado por dim V
• Exemplo 1: V = R2: dim V = 2
{(1,0), (0,1)} e {(1,1),(0,1)} são bases de V
• Exemplo 2: V = R3: dim V = 3
• Exemplo 3: V = M(2, 2): dim V = 4
1 0 0 1 0 0 0 0 É uma
0 0 0 0 1 0 0 1 base de V
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• Teorema: Qualquer conjunto de vetores LI de um
espaço vetorial V de dimensão finita pode ser
completado de modo a formar uma base de V
• Corolário: Se dim V = n, qualquer conjunto de n
vetores LI formará uma base de V
• Teorema: Se U e W são subespaços de um
espaço vetorial V que tem dimensão finita, então
dim U ≤ dim V e dim W ≤ dim V. Além disso:
dim(U + W) = dim U + dim W – dim(U ∩ W)

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• Teorema: Dada uma base β = {v1,v2, ...,vn} de
V, cada vetor de V é escrito de maneira única
como combinação linear de v1, v2, ...,vn.
• Definição: Sejam β = {v1,v2, ...,vn} base de V e
v ∈ V onde v = a1v1 +...+ anvn. Chamamos
esses números ai de coordenadas de v em
relação à base β e denotamos por:
a1
[v]β = ...
an

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• β = {(1, 0), (0, 1)}
• (4, 3) = 4.(1, 0) + 3.(0, 1) Observe que os
coeficientes são
• Logo: 4 representados
[(4, 3)]β = como elementos
3 de uma matriz
coluna.

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• β = {(1, 1), (0, 1)}
• (4, 3) = x.(1, 1) + y.(0, 1) ⇒ x=4 e y=-1
• Logo: 4
[(4, 3)]β =
-1

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• Exemplo 3: Observe que a ordem dos
elementos de uma base influi na matriz das
coordenadas de um vetor em relação à esta
base
• V = R2
• β1 = {(1, 0), (0, 1)} e β2 = {(0, 1), (1, 0)}

4 3
[(4, 3)]β1 = [(4, 3)]β2 =
3 4

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• Exemplo 4: Considere:
V = {(x, y, z): x + y – z = 0}
W = {(x, y, z): x = y}
Determine V + W
V: x + y – z = 0 ⇒ z = x + y
• Base: (x, y, x + y) = x.(1, 0, 1) + y.(0, 1, 1)
• Logo: Base = [(1, 0 , 1),(0, 1, 1)]
W: x = y
• Base: (y, y, z) = y.(1, 1, 0) + z.(0, 0, 1)
• Logo: Base = [(1, 1, 0), (0, 0, 1)] cont…
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• Exemplo 4: (cont..)
Como:
V = [(1, 0, 1), (0, 1, 1)]
W = [(1, 1, 0), (0, 0, 1)]
Então V + W = [(1,0,1), (0,1,1), (1,1,0), (0,0,1)]
Mas espera-se que o resultado esteja no R3,
logo essa base deve ter algum elemento LD

cont…
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(x,y,z)=a(1,0,1)+b(0,1,1)+c(1,1,0)+d(0,0,1)
• x=a+c
• y=b+c
• z=a+b+d

1 0 1 0 x
Sistema: 0 1 1 0 y
1 1 0 1 z

cont…
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Solução:
• 2a + d = x – y + z
• 2b + d = y – x + z
• 2c – d = x + y – z
• Se c = 0:
d=z–x–y Claro, não é solução única já
b=y que 4 vetores no R3 implica em
a=x algum ser LD...

cont…
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(x,y,z)=a(1,0,1)+b(0,1,1)+c(1,1,0)+d(0,0,1)
Logo, V + W = R3
dim R3 = dim V + dim W – dim(V∩W)
V∩W = ??

cont…
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V∩W = {(x,y,z); x + y – z = 0 e x = y}
= {(x,y,z); x = y = z/2}
= [(1, 1, 2)]
dim (V∩W) = 1
dim R3 = dim V + dim W – dim(V∩W)
dim R3 = 2 + 2 – 1 = 3
• Como esperado....

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Mudança de Base

• Sejam β={u1,...,un} e β’= {w1,...,wn} duas bases
ordenadas de um mesmo espaço vetorial V

• Dado o vetor v ∈V, podemos escrevê-lo como:
v = x1u1 + ... + xnun
(1)
v = y1w1 + ... + ynwn

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Mudança de Base
• Como podemos relacionar as coordenadas de
v em relação à base β
x1
[v]β = …
xn
• com as coordenadas do mesmo vetor v em
relação à base β’
y1
[v]β’ = …
yn
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Mudança de Base
• Já que {u1,...,un} é base de V, podemos escrever
os vetores v e w como combinação linear dos uj,
isto é:
w1 = a11u1 + a21u2 + ...+ an1un
w2 = a12u1 + a22u2 + ...+ an2un (2)
......
wn = a1nu1 + a2nu2 + ...+ annun
• Substituindo (2) em (1):
v=y1w1+...+ynwn=y1(a11u1+...+an1un)+..+yn(a1nu1+...+annun)
= u1(a11y1+...+an1yn)+..+un(a1ny1+...+annyn)

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Mudança de Base
• Mas v = x1u1 + ... + xnun, e como as coordenadas
em relação a uma base são únicas temos:
x1 = a11y1 + ... + an1yn
..... Observe que as linhas
viraram colunas!
xn = a1ny1 + ... + annyn
• Ou, em forma matricial
x1 a11 ... a1n x1
… = … … … …
xn an1 … ann xn

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Mudança de Base
• Isso é denotado por:
a11 ... a1n
β’
[ I ]β = … … …
an1 … ann
• Temos:
β’
[v]β = [ I ] β [v]β’
β’
[I ]β ⇒ Matriz de mudança da base β’ para a base β
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Mudança de Base
β’
• Observe que, encontrando [ I ] , podemos
β
encontrar as coordenadas de qualquer vetor v

em relação à base β, multiplicando a matriz

pelas coordenadas de v na base β’

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Mudança de Base
• Exemplo: Sejam β={(2,-1), (3,4)} e β’={(1,0),(0,1)}
bases de R2: β’
[ I ]β = ?
w1 = (1,0) = a11(2,-1) + a21(3,4) = (2a11+ 3a21, -a11+ 4a21)
⇒ 2a11+3a21 = 1 e -a11+4a21 = 0
⇒ a11 = 4a21 ⇒ a21 = 1/11 e a11 = 4/11
w2 = (0,1) = a12(2,-1) + a22(3,4) = (2a12+ 3a22, -a12+ 4a22)
⇒ 2a12+3a22 = 0 e -a12+4a22 = 1
⇒ a22 = 2/11 e a12 = -3/11

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Mudança de Base
• Exemplo: (cont.)
– Assim:
• w1 = (1,0) = (4/11)(2,-1) + (1/11)(3,4)
• w2 = (0,1) = (-3/11)(2,-1) + (2/11)(3,4)

4/11 -3/11
β’
[I ]β =
1/11 2/11
Linhas tornam-se
colunas!!!

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Mudança de Base
• Exemplo: (cont.) Podemos usar essa matriz para
encontrar, por exemplo, [v]β para v = (5, -8)

β’
[(5, -8)]β = [I ]β [(5, -8)]β’
4/11 -3/11 5 4
= =
1/11 2/11 -8 -1

Isto é: (5, -8) = 4.(2, -1) + (-1).(3, 4)

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A Inversa da Matriz Mudança de Base
β’
• Temos [v]β = [ I ]β [v]β

β β’
• Um fato importante é que [I ]β’ e [I ]β são
matrizes inversíveis:
β’ -1 β
([ I ] ) = [ I ]
β β’

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A Inversa da Matriz Mudança de Base

• Exemplo:
β’
Do exemplo anterior, vamos calcular [I ]β a partir
β β é fácil de ser
de [ I ]β’ . Note que [I ]β’
calculada pois β’ é a base canônica:
• (2, -1) = 2.(1, 0) + (-1).(0, 1)
• (3, 4) = 3.(1, 0) + 4.(0, 1)
β 2 3
Assim: [ I ] =
β’ -1 4
β’ 4/11 -3/11
Então: [ I ] = 2 3 -1 =
β -1 4 1/11 2/11
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Espaço Vetorial
• Exercício 18: Considere o subespaço de
R4 gerado pelos vetores v1 = (1,-1,0,0),
v2=(0,0,1,1), v3=(-2,2,1,1) e v4=(1,0,0,0)
a) O vetor (2, -3, 2, 2) ∈ [v1,v2,v3,v4]?
b) Exiba uma base para [v1,v2,v3,v4]? Qual
sua dimensão?
c) [v1,v2,v3,v4] = R4?

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Espaço Vetorial
Cont.
• Exercício 18:
– a) O vetor (2, -3, 2, 2) ∈ [v1,v2,v3,v4]?
– Ou seja, existem a, b, c, d, tal que:
(2, -3, 2, 2) = a.(1,-1,0,0) + b.(0,0,1,1) +c.(-
2,2,1,1) + d.(1,0,0,0)
a – 2c + d = 2
-a + 2c = -3 1 0 -2 1 2
b+c=2 -1 0 2 0 -3
b+c=2 0 1 1 0 2

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Espaço Vetorial
Cont.
• Exercício 18:
– a) O vetor (2, -3, 2, 2) ∈ [v1,v2,v3,v4]?
Solução: a = 3, b = 2, c = 0, d = -1
Logo, como existe solução, o vetor pertence a
[v1,v2,v3,v4]

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Espaço Vetorial
Cont.
• Exercício 18:
sua dimensão?
1 -1 0 0 1 0 0 0
0 0 1 1 0 1 0 0
-2 2 1 1 0 0 1 1
1 0 0 0 0 0 0 0
Com isso, descobrimos que v4 é combinação linear dos
outros vetores. Logo, a base é formada por [v1,v2,v3].
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Espaço Vetorial
Cont.
• Exercício 18:
sua dimensão?
Base = [v1,v2,v3] ⇒ dim = 3
c) [v1,v2,v3,v4] = R4?
Como dim Base = 3 e dim R4 = 4, então
[v1,v2,v3,v4] ≠ R4

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Espaço Vetorial
• Exercício 19: Considere o subespaço de
R3 gerado pelos vetores v1=(1,1,0),
v2=(0,-1,1) e v3=(1,1,1).
• [v1,v2,v3]=R3?

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Espaço Vetorial
Cont.
• Exercício 19: Solução 1:
Existem a, b, c tal que:
(x, y, z) = a.(1,1,0) + b.(0,-1,1) + c.(1,1,1)

a+c=x a = 2x – y - z
a-b=y b=x-y
b+c=z c = -x + y + z

Ou seja, há valores para a, b e c que
podem gerar qualquer vetor no R3.
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Espaço Vetorial
Cont.
• Exercício 19: Solução 2:
Vamos tentar escalonar:
1 1 0 1 0 0
0 -1 1 … 0 1 0
1 1 1 0 0 1

O que isso significa?
Significa que, com esses vetores e operações
lineares, conseguimos gerar a base canônica.
Logo, podemos gerar todo o R3.
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Exercícios Sugeridos
• 2
• 4
• 6
• 7
• 8
• 9
• 11
• 15
• 25
• 29
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A Seguir...
• Transformações Lineares

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