Este documento apresenta conceitos básicos sobre circunferências, arcos e ângulos. Ele explica elementos como raio, diâmetro e corda de uma circunferência, além de definir arcos e ângulos centrais e mostrar como medir arcos em graus ou radianos. O documento também mostra operações com arcos e como converter entre medidas de graus e radianos.

1. Circunferência
A
B
P r
r r C
r
O
r
r
E
D

2. Elementos
A
A B
O O
B
Corda AB Diâmetro AB

3. Elementos
B
Arco AMB
N M
A
Arco ANB

4. Arcos e ângulos
A≡ B A≡ B
arco completo arco nulo

5. Arcos e ângulos
O
B A
Arco de meia volta

6. Arco e ângulo central
B
C
β O α
D γ
A
E
F

7. O grau como unidade de medida
100o 90o 80o
110o
70o
120o
60o
130o
50o
140o
40o
150o
30o
160 o
20o
170o
10o
180o
0o
190o
350o
200o
340o
210o
330o
220o
320o
230 o
310o
240o
300o
250o 290o
260o 270o 280o

8. O grau como unidade de medida
100o 90o 80o
110o
70o
120o
60o
130o
50o
140o
40o
150o
30o
160 o
20o
170o
10o
180o
0o
190o
350o
200o
340o
210o
330o
220o
320o
230 o
310o
240o
300o
250o 290o
260o 270o 280o

9. O grau como unidade de medida
100o 90o 80o
110o
70o
120o
60o
130o
50o
140o
40o
150o
30o
160 o
20o
170o
10o
180o 1o
0 o
190 o
350o
200o
340o
210o
330o
220o 1
320o 1º =
230o
310o
360
240o
300o
250o 290o
260o 270o 280o

10. Operações com arcos
 Adição;
 Subtração;
 Multiplicação de uma constante inteira k (k≠0) por
um ângulo;
 Divisão de um ângulo por uma constante k (k≠0).

11. Adição
 Sendo α = 18º32’45” e β = 34º50’36”, vamos obter α + β.
18º32’45”
+ 34º50’36”
52º82’81”
82’ = 60’ + 22’ = 1º22’
81” = 60” + 21” = 1’21”
52º82’81” = 52º+1º22’+1’22” = 53º23’21”

12. Subtração
 Sendo α = 42º32’40” e β = 18º50’54”, vamos obter α– β .
42º32’40” = 41º+60’31’+60”40” = 41º91’100”
41º91’100”
– 18º50’54”
23º41’46”

13. Multiplicação
 Sendo α = 23º18’34”, vamos obter α x 5.
23º18’34”
x5
115º90’170”
115º90’170” = 115º60’+30’120”+50” = 116º32’ 50”

14. Divisão
 Sendo α = 34º20’18”, vamos obter α : 3.
34º 20’ 18” 3
1º → 60’ 11º 26’ 46”
80’
2’ → 120”
138”
0
R. 11º26’46”

15. O radiano como unidade de medida
B
R Comprimento do arco (AB) = R
R
⇓
α
O A
R m(AB) = 1 radiano
⇓
α = m(AB) = 1 rad

16. Exemplo
B
1,5R Comprimento do arco (AB) = 1,5 R
⇓
R
m(AB) = 1,5 rad
α
A ⇓
O R
α = m(AB) = 1,5 rad
comprimento
α = m(AB) =
R

17. Arco completo
comprimento
α=
R
α O A≡ B
R
2π R
α= = 2π rad
R

18. Exemplos
 A circunferência da figura tem raio igual a 9 cm e o comprimen-
to do arco AB assinalado é 10,8 cm. Calcular, em radianos, a
medida de AB.
A comprimento
α=
9 cm R
O
10,8 cm
10,8 cm
α= = 1,2 rad
9 cm
B

19. Exemplos
 O arco AB da figura tem medida de 30º e o raio da circunferên-
cia é de 4 cm. Calcular, em cm, o comprimento do arco AB.
ângulo comprimento
A
4 cm 360º 2π R
O
30º x
30º
B 2 π. 4 . 30 2π
x= = ≈ 2, 1 cm
360 3

20. Exemplos
 Numa circunferência, o comprimento de um arco é de 40 cm.
Esse mesmo arco mede 5 rad. Calcular a medida do raio da
circunferência.
A
comprimento
α=
R 40 cm R
α
O
R
40 cm
5= ⇒ R = 8 cm
R
B

21. Conversões
Medida em Medida em
Representação
graus radianos
Arco
360º 2π
completo
Arco de
meia 180º π
volta
Arco de
¼ de 90º π
/2
volta
Arco nulo 0º 0

22. Transformando unidades
As medidas de um arco em graus e radianos são
proporcionais. Por isso podemos transformar
uma unidade em outra por uma regra de três.
180º correspondem a π rad

23. Exemplos
 Transformar 72º em radianos.
180º π rad
72º x
72 . π 2π
x= = rad
180 5

24. Exemplos
 Exprimir 5π rad em graus.
4
π rad equivale a 180º.
5.180
x= = 225º
4