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Circunferência

                                         A
                                                     B
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Elementos

                 A




                         A                 B
         O                        O


                     B




      Corda AB               Diâmetro AB
Elementos

                       B

                           Arco AMB


            N                  M


                           A

            Arco ANB
Arcos e ângulos




                      A≡ B               A≡ B



      arco completo          arco nulo

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1) O documento apresenta uma série de exercícios sobre polígonos regulares inscritos e circunscritos em circunferências. 2) Os exercícios envolvem triângulos equiláteros, hexágonos regulares e quadrados e pedem para calcular lados, perímetros, razões e medidas de raios. 3) As questões abordam conceitos geométricos como apótema, lado, perímetro, raio inscrito e circunscrito.

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1. O documento apresenta 13 problemas de geometria envolvendo triângulos, trapézios e outras figuras planas. Os problemas abordam cálculos de medidas de lados, ângulos, alturas e diagonais utilizando fórmulas trigonométricas e propriedades geométricas.

Arcos e ângulos



                          O
            B                          A




                  Arco de meia volta
Arco e ângulo central

                                  B
                 C



                         β O α

             D            γ
                                      A


                     E
                              F
O grau como unidade de medida
                                                       100o   90o    80o
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O grau como unidade de medida
                                                       100o   90o    80o
                                                110o
                                                                              70o
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                                                                                                             0o
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                                                                                                             350o
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O grau como unidade de medida
                                                      100o   90o    80o
                                               110o
                                                                             70o
                                        120o
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                                                                                          50o
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                                                                                                        20o
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         180o                                                                                                         1o
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                                     240o
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Operações com arcos

 Adição;
 Subtração;
 Multiplicação de uma constante inteira k (k≠0) por
  um ângulo;
 Divisão de um ângulo por uma constante k (k≠0).
Adição

 Sendo α = 18º32’45” e β = 34º50’36”, vamos obter α + β.


      18º32’45”
    + 34º50’36”
      52º82’81”


      82’ = 60’ + 22’ = 1º22’

      81” = 60” + 21” = 1’21”


      52º82’81”     = 52º+1º22’+1’22”   = 53º23’21”
Subtração

 Sendo α = 42º32’40” e β = 18º50’54”, vamos obter α– β .



      42º32’40”    = 41º+60’31’+60”40”   = 41º91’100”



      41º91’100”
    – 18º50’54”
      23º41’46”

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Multiplicação

 Sendo α = 23º18’34”, vamos obter α x 5.


      23º18’34”
           x5
      115º90’170”


      115º90’170”   = 115º60’+30’120”+50”   = 116º32’ 50”
Divisão

 Sendo α = 34º20’18”, vamos obter α : 3.


     34º     20’     18”          3
      1º →   60’            11º   26’ 46”

             80’
              2’ → 120”
                     138”
                       0

      R. 11º26’46”
O radiano como unidade de medida

                      B

                          R       Comprimento do arco (AB) = R
              R
                                              ⇓
                  α
          O                   A
                      R                m(AB) = 1 radiano

                                              ⇓
                                        α = m(AB) = 1 rad
Exemplo

          B
                      1,5R       Comprimento do arco (AB) = 1,5 R
                                               ⇓
          R
                                        m(AB) = 1,5 rad
                  α
                             A                 ⇓
              O       R

                                       α = m(AB) = 1,5 rad




                                               comprimento
                                 α = m(AB) =
                                                    R

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Arco completo



                                comprimento
                           α=
                                       R

        α   O       A≡ B
                R
                                 2π R
                           α=              = 2π rad
                                   R
Exemplos
 A circunferência da figura tem raio igual a 9 cm e o comprimen-
  to do arco AB assinalado é 10,8 cm. Calcular, em radianos, a
  medida de AB.


                              A                  comprimento
                                            α=
                   9 cm                              R
               O
                                  10,8 cm
                                                 10,8 cm
                                            α=             = 1,2 rad
                                                  9 cm
                          B
Exemplos
 O arco AB da figura tem medida de 30º e o raio da circunferên-
  cia é de 4 cm. Calcular, em cm, o comprimento do arco AB.


                                              ângulo           comprimento
                              A
                   4 cm                         360º                2π R
               O
                                                 30º                 x
                                  30º

                          B                  2 π. 4 . 30       2π
                                        x=                 =             ≈ 2, 1 cm
                                               360              3
Exemplos
 Numa circunferência, o comprimento de um arco é de 40 cm.
  Esse mesmo arco mede 5 rad. Calcular a medida do raio da
  circunferência.

            A
                                         comprimento
                                    α=
             R              40 cm               R
                    α
                O
                    R
                                          40 cm
                                    5=              ⇒ R = 8 cm
                                            R
                        B

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                 Representação
                                   graus      radianos

       Arco
                                   360º         2π
     completo

      Arco de
       meia                        180º         π
       volta
      Arco de
       ¼ de                         90º         π
                                                    /2
       volta

     Arco nulo                      0º          0
Transformando unidades


   As medidas de um arco em graus e radianos são
   proporcionais. Por isso podemos transformar
   uma unidade em outra por uma regra de três.


             180º correspondem a π rad
Exemplos
 Transformar 72º em radianos.



               180º                π rad

               72º                 x



                      72 . π       2π
               x=              =        rad
                      180          5
Exemplos
 Exprimir 5π rad em graus.
             4

      π rad equivale a 180º.



                       5.180
                 x=            = 225º
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Arcos e ângulos

  • 1. Circunferência A B P r r r C r O r r E D
  • 2. Elementos A A B O O B Corda AB Diâmetro AB
  • 3. Elementos B Arco AMB N M A Arco ANB
  • 4. Arcos e ângulos A≡ B A≡ B arco completo arco nulo
  • 5. Arcos e ângulos O B A Arco de meia volta
  • 6. Arco e ângulo central B C β O α D γ A E F
  • 7. O grau como unidade de medida 100o 90o 80o 110o 70o 120o 60o 130o 50o 140o 40o 150o 30o 160 o 20o 170o 10o 180o 0o 190o 350o 200o 340o 210o 330o 220o 320o 230 o 310o 240o 300o 250o 290o 260o 270o 280o
  • 8. O grau como unidade de medida 100o 90o 80o 110o 70o 120o 60o 130o 50o 140o 40o 150o 30o 160 o 20o 170o 10o 180o 0o 190o 350o 200o 340o 210o 330o 220o 320o 230 o 310o 240o 300o 250o 290o 260o 270o 280o
  • 9. O grau como unidade de medida 100o 90o 80o 110o 70o 120o 60o 130o 50o 140o 40o 150o 30o 160 o 20o 170o 10o 180o 1o 0 o 190 o 350o 200o 340o 210o 330o 220o 1 320o 1º = 230o 310o 360 240o 300o 250o 290o 260o 270o 280o
  • 10. Operações com arcos  Adição;  Subtração;  Multiplicação de uma constante inteira k (k≠0) por um ângulo;  Divisão de um ângulo por uma constante k (k≠0).
  • 11. Adição  Sendo α = 18º32’45” e β = 34º50’36”, vamos obter α + β. 18º32’45” + 34º50’36” 52º82’81” 82’ = 60’ + 22’ = 1º22’ 81” = 60” + 21” = 1’21” 52º82’81” = 52º+1º22’+1’22” = 53º23’21”
  • 12. Subtração  Sendo α = 42º32’40” e β = 18º50’54”, vamos obter α– β . 42º32’40” = 41º+60’31’+60”40” = 41º91’100” 41º91’100” – 18º50’54” 23º41’46”
  • 13. Multiplicação  Sendo α = 23º18’34”, vamos obter α x 5. 23º18’34” x5 115º90’170” 115º90’170” = 115º60’+30’120”+50” = 116º32’ 50”
  • 14. Divisão  Sendo α = 34º20’18”, vamos obter α : 3. 34º 20’ 18” 3 1º → 60’ 11º 26’ 46” 80’ 2’ → 120” 138” 0 R. 11º26’46”
  • 15. O radiano como unidade de medida B R Comprimento do arco (AB) = R R ⇓ α O A R m(AB) = 1 radiano ⇓ α = m(AB) = 1 rad
  • 16. Exemplo B 1,5R Comprimento do arco (AB) = 1,5 R ⇓ R m(AB) = 1,5 rad α A ⇓ O R α = m(AB) = 1,5 rad comprimento α = m(AB) = R
  • 17. Arco completo comprimento α= R α O A≡ B R 2π R α= = 2π rad R
  • 18. Exemplos  A circunferência da figura tem raio igual a 9 cm e o comprimen- to do arco AB assinalado é 10,8 cm. Calcular, em radianos, a medida de AB. A comprimento α= 9 cm R O 10,8 cm 10,8 cm α= = 1,2 rad 9 cm B
  • 19. Exemplos  O arco AB da figura tem medida de 30º e o raio da circunferên- cia é de 4 cm. Calcular, em cm, o comprimento do arco AB. ângulo comprimento A 4 cm 360º 2π R O 30º x 30º B 2 π. 4 . 30 2π x= = ≈ 2, 1 cm 360 3
  • 20. Exemplos  Numa circunferência, o comprimento de um arco é de 40 cm. Esse mesmo arco mede 5 rad. Calcular a medida do raio da circunferência. A comprimento α= R 40 cm R α O R 40 cm 5= ⇒ R = 8 cm R B
  • 21. Conversões Medida em Medida em Representação graus radianos Arco 360º 2π completo Arco de meia 180º π volta Arco de ¼ de 90º π /2 volta Arco nulo 0º 0
  • 22. Transformando unidades As medidas de um arco em graus e radianos são proporcionais. Por isso podemos transformar uma unidade em outra por uma regra de três. 180º correspondem a π rad
  • 23. Exemplos  Transformar 72º em radianos. 180º π rad 72º x 72 . π 2π x= = rad 180 5
  • 24. Exemplos  Exprimir 5π rad em graus. 4 π rad equivale a 180º. 5.180 x= = 225º 4