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Arcos e ângulos
Este documento apresenta conceitos básicos sobre circunferências, arcos e ângulos. Ele explica elementos como raio, diâmetro e corda de uma circunferência, além de definir arcos e ângulos centrais e mostrar como medir arcos em graus ou radianos. O documento também mostra operações com arcos e como converter entre medidas de graus e radianos.
Arcos e ângulos
- 1. Circunferência A B P r r r C r O r r E D
- 2. Elementos A A B O O B Corda AB Diâmetro AB
- 3. Elementos B Arco AMB N M A Arco ANB
- 4. Arcos e ângulos A≡ B A≡ B arco completo arco nulo
- 5. Arcos e ângulos O B A Arco de meia volta
- 6. Arco e ângulocentral B C β O α D γ A E F
- 7. O grau comounidade de medida 100o 90o 80o 110o 70o 120o 60o 130o 50o 140o 40o 150o 30o 160 o 20o 170o 10o 180o 0o 190o 350o 200o 340o 210o 330o 220o 320o 230 o 310o 240o 300o 250o 290o 260o 270o 280o
- 8. O grau comounidade de medida 100o 90o 80o 110o 70o 120o 60o 130o 50o 140o 40o 150o 30o 160 o 20o 170o 10o 180o 0o 190o 350o 200o 340o 210o 330o 220o 320o 230 o 310o 240o 300o 250o 290o 260o 270o 280o
- 9. O grau comounidade de medida 100o 90o 80o 110o 70o 120o 60o 130o 50o 140o 40o 150o 30o 160 o 20o 170o 10o 180o 1o 0 o 190 o 350o 200o 340o 210o 330o 220o 1 320o 1º = 230o 310o 360 240o 300o 250o 290o 260o 270o 280o
- 10. Operações com arcos Adição; Subtração; Multiplicação de uma constante inteira k (k≠0) por um ângulo; Divisão de um ângulo por uma constante k (k≠0).
- 11. Adição Sendo α= 18º32’45” e β = 34º50’36”, vamos obter α + β. 18º32’45” + 34º50’36” 52º82’81” 82’ = 60’ + 22’ = 1º22’ 81” = 60” + 21” = 1’21” 52º82’81” = 52º+1º22’+1’22” = 53º23’21”
- 12. Subtração Sendo α= 42º32’40” e β = 18º50’54”, vamos obter α– β . 42º32’40” = 41º+60’31’+60”40” = 41º91’100” 41º91’100” – 18º50’54” 23º41’46”
- 13. Multiplicação Sendo α= 23º18’34”, vamos obter α x 5. 23º18’34” x5 115º90’170” 115º90’170” = 115º60’+30’120”+50” = 116º32’ 50”
- 14. Divisão Sendo α= 34º20’18”, vamos obter α : 3. 34º 20’ 18” 3 1º → 60’ 11º 26’ 46” 80’ 2’ → 120” 138” 0 R. 11º26’46”
- 15. O radiano comounidade de medida B R Comprimento do arco (AB) = R R ⇓ α O A R m(AB) = 1 radiano ⇓ α = m(AB) = 1 rad
- 16. Exemplo B 1,5R Comprimento do arco (AB) = 1,5 R ⇓ R m(AB) = 1,5 rad α A ⇓ O R α = m(AB) = 1,5 rad comprimento α = m(AB) = R
- 17. Arco completo comprimento α= R α O A≡ B R 2π R α= = 2π rad R
- 18. Exemplos A circunferênciada figura tem raio igual a 9 cm e o comprimen- to do arco AB assinalado é 10,8 cm. Calcular, em radianos, a medida de AB. A comprimento α= 9 cm R O 10,8 cm 10,8 cm α= = 1,2 rad 9 cm B
- 19. Exemplos O arcoAB da figura tem medida de 30º e o raio da circunferên- cia é de 4 cm. Calcular, em cm, o comprimento do arco AB. ângulo comprimento A 4 cm 360º 2π R O 30º x 30º B 2 π. 4 . 30 2π x= = ≈ 2, 1 cm 360 3
- 20. Exemplos Numa circunferência,o comprimento de um arco é de 40 cm. Esse mesmo arco mede 5 rad. Calcular a medida do raio da circunferência. A comprimento α= R 40 cm R α O R 40 cm 5= ⇒ R = 8 cm R B
- 21. Conversões Medida em Medida em Representação graus radianos Arco 360º 2π completo Arco de meia 180º π volta Arco de ¼ de 90º π /2 volta Arco nulo 0º 0
- 22. Transformando unidades As medidas de um arco em graus e radianos são proporcionais. Por isso podemos transformar uma unidade em outra por uma regra de três. 180º correspondem a π rad
- 23. Exemplos Transformar 72ºem radianos. 180º π rad 72º x 72 . π 2π x= = rad 180 5
- 24. Exemplos Exprimir 5πrad em graus. 4 π rad equivale a 180º. 5.180 x= = 225º 4