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Qual o subespaço gerado pelo vetor
(1, 0, 0) , ou seja, [ (1, 0, 0) ]   ?
{ ( 1, 0, 0 ) , ( 0,1, 0 ) , ( 0, 0,1) }
                                                      3
é um conjunto de Geradores para R
Porque todo vetor ( x, y, z ) ∈ R
                                            3


        Pode ser escrito da forma:
    ( x, y, z ) = x ( 1,0,0 ) + y ( 0,1,0 ) + z ( 0,0,1)
Assim, escrevemos:
           R =  ( 1,0,0 ) , ( 0,1,0 ) , ( 0,0,1) 
             3
                                                 
(1, 0) = e1 Vetor canônico, gerador da
                  reta horizontal
   (0,1) = e2     Vetor canônico, gerador da
                  reta vertical
( 5,0) = 5 ⋅ (1,0)
                      ∈ [ e1 ]           ∈ [ e1 , e2 ]
(−1,0) = −1 ⋅ (1,0)
( 0, −3) = −3 ⋅ (0,1)
(0, 2) = 2 ⋅ (0, 2)
                         ∈ [ e2 ]
                          (2,3) = 2 ⋅ (1, 0) + 3 ⋅ (0,1)
                                  123 123
                                     ∈[ e1 ]     ∈[ e2 ]
( a, b)
                                    R = [ e1 , e2 ]
 e2 = ( 0 ,1)                         2
                e1 = (1, 0 )

                               pois ∀ (a, b)∈ R       2


                          (a, b) = a (1,0) + b (0,1)
R = [ e1 , e2 , (2,0)] pois ∀ (a, b)∈ R
 2                                                        2


 (a, b) = a (1,0) + b (0,1) + 0.(2,0)
E por que estes 2 conjuntos
têm quantidades diferentes de
 geradores, se são geradores
     do mesmo espaço?
Os elementos chamados geradores ou
 sistemas de geradores de V podem
 ser um conjunto L.I ou L.D.

R = [ e1 , e2 ]
  2                       { e1 , e2 }   Conj. L.I

R = [ e1 , e2 , (2,0)] { e1 , e2 , (2,0)} Conj. L.D
  2
Dependência e não dependência Linear
                           y           u
y                                          r    r
                                           v = αu
                u
    v
                               v
o       y           x
                           o                        x
                                      r r
                    u +v
                                      u +v
            v                      Depende
                                       r   r
                                   de u e v
                     u
        o                          x
Um ponto representa o vetor nulo.
     Vetor qualquer
 Um único vetor diferente do vetor
nulo é sempre L.I
 Dois vetores são L.D quando um
é múltiplo por um escalar do outro
    u                  u = (1, 0)
            v                     v = 2u
                       v = (2, 0)
y
                      Três vetores no plano são
                      sempre L.D, ou seja, um
        u +v          terceiro vetor sempre pode
    v                 ser escrito como comb.
                      Linear dos outros dois.
         u
o                       x
    Um conj. que contém um subconj. L.D é
    L.D.
             
                                        
                                         
              (1, 0),244 , (0,3) 
                 14  4
                           (2, 0)
                               3
             elementos deum conj . L. D
                                        
                                         
De um conjunto L.D podemos extrair um
subconjunto. L.I
 Se um conjunto é L.I, todos os seus
subconjuntos são L.I
 Um conjunto que possui o vetor nulo é sempre
L.D.
- conjunto ordenado:
- formado por um conjunto de vetores L.I.
- gera V.



Proposição: De um conjunto de geradores
de um espaço ou subespaço vetorial V é
sempre possível extrair uma base.
Processo prático para determinar uma
    base de um subespaço do ¡ .
                                n


Consiste em escalonar a matriz cujas linhas
são os vetores geradores do subespaço.
As linhas que não “zerarem” correspondem
 aos vetores geradores que forem LI.

Determinar uma base para o seguinte
                         2
subespaço do espaço do R :
         W =  ( 1,1) , ( 1,0 ) , ( 0, − 1) 
                                           
1 1                         1 1 
A =  1 0  uuuuuuuuuuuuur
          
             L2 ↔ L2 − L1u
                         u
                                   0 −1
                                                 L2 → − Lu
                                               uuuuuuuuuu2
                                                           r
     0 − 1
                                 0 −1
                                       
    1 1                            1 0
                                     0 1  B = { ( 1,1) , (0,1)}
                L1 → L1 − Lu
                uuuuuuuuuuuuu
                            r
    0 1                    2

              L3 → L3 + Lu                   ( BASE )
                uuuuuuuuuuuuur2
                                     0 0
     0 − 1
                                       
Portanto, os vetores (1,1) e (1,0)
(correspondentes às linhas que não se
anularam na matriz escalonada) formam a
base para W.
Dimensão
Proposição: Seja V um espaço vetorial
finitamente gerado. Então, qualquer base
de V tem o mesmo número de elementos
(cardinalidade).
A este número de elementos dá-se o
nome de Dimensão de V.
    Portanto, se V é finitamente gerado,
        podemos dizer que ele tem
              dimensão finita.
Resultados importantes
Seja V um espaço de dimensão finita n. Então:
 Qualquer conjunto com mais de n elementos
em V é LD.
 Qualquer conjunto L.I de V pode ser completado
para formar uma base de V.
 Qualquer conjunto L.I de V tem no máximo n
elementos.
 Qualquer conjunto L.I com n elementos é uma
base de V.
Dimensão da Soma de 2 Subespaços


Seja V um espaço vetorial de dimensão
finita e U, W subespaços de V. Então

dim ( U + W ) = dim U + dim W − dim ( U ∩ W )
Determine um conjunto de geradores, a
 base e a dimensão para os seguintes
 subespaços:
a ) U = { ( x, y, z ) ∈ R ; x − y − z = 0}
                       3


b) V = { ( x, y, z ) ∈ R ; x − 2 y = 0}
                       3


c) U + V
d )U ∩ V
( x, y , z ) ∈ V ⇔
                                    x− y−z =0
Ou seja,     x= y+z
Assim, um genérico vetor de U é da forma:
                  ( y + z, y, z )

               y (1,1, 0) + z (1, 0,1)
Assim:
           U = [ (1,1, 0) , (1, 0,1) ]
U=[(1,1,0),(1,0,1)].

(1,1, 0) não é múltiplo de (1, 0,1)
O conjunto { (1,1, 0), (1, 0,1)} é L.I

   Logo constitui uma base para o
   subespaço U
         Assim dim(U ) = 2
( x, y , z ) ∈ V ⇔
                                  x − 2y = 0

Ou seja,    x = 2 y e z é qualquer.
 Assim, um genérico vetor de V é da forma:

  (2 y, y, z ) = y (2,1, 0) + z (0, 0,1)

           V = [ (2,1, 0) , (0, 0,1)]
V = [ (2,1, 0) , (0, 0,1) ]

(2,1, 0) não é múltiplo de (0, 0,1)
O conjunto { (2,1, 0), (0, 0,1)} é L.I

   Logo constitui uma base para o
   subespaço V
         Assim dim(V ) = 2
Um conjunto de geradores para U+V è
dado pela uniao dos dois conjuntos, i.e.,:
        U = [ (1,1, 0) , (1, 0,1) ]
       V = [ (2,1, 0) , (0, 0,1)]
 U + V = [(1,1, 0) , (1, 0,1), (2,1, 0), (0, 0,1)]
 Para extrair uma base usaremos o processo
 prático de determinação de uma base.
U + W =  ( 1,1,0 ) , ( 1,0,1) , ( 2,1,0 ) , ( 0,0,1) 
                                                              
1   1 0                                1 1          0
1        L2 → L2 − L1                  0 −1          
                                                       1
    0 1                                
2   1 0  L3 → L3 − 2 L1                0 −1         0
                                                     
0   0 1                                0 0          1
               L2 → − L2

  1 1 0                                       1     0  1
 0 1 −1          L1 → L1 − L2                 0         
                                                      1 −1
        
 0 −1 0          L3 → L3 + L2                 0     0 0
                                                        
 0 0 1                                        0     0  1
U + W =  ( 1,1,0 ) , ( 1,0,1) , ( 2,1,0 ) , ( 0,0,1) 
                                                      
        { (1,1, 0), (1, 0,1), (0, 0,1)}
Constituem uma base para                    U +W
1   0  1          Ou ainda
0       
     1 −1

0   0 0       { (1, 0,1), (0,1, −1), (0, 0,1)}
        
0   0  1            (Vetores restantes)
                 dim (U + V ) = 3
Precisamos encontrar um conjunto de vetores que
satisfaça a ambas as condições:
     x − y − z = 0
     
     x − 2 y = 0 ⇒ x = 2 y
 Substituindo na 1ª equação temos:
   2y − y − z = 0 ⇒ y − z = 0 ⇒ y = z
          (2 y, y, y ) = y (2,1,1)
 U ∩ V = [ (2,1,1) ] ⇒ dim(U ∩ V ) =1
Portanto, utilizando a relação podemos
coomprovar a dimensão do espaço soma.


 dim(U + W ) = dim U + dim W − dim (U ∩ W )



    dim ( U + V ) = 2 + 2 − 1 = 3
{ ( 1, 0, 0 ) , ( 0,1, 0 ) , ( 0, 0,1) }
                                                        3
 é um conjunto de Geradores para R
    R =  ( 1,0,0 ) , ( 0,1,0 ) , ( 0,0,1) 
      3
                                          
 e é linearmente independente (L.I)
  Logo       { ( 1, 0, 0 ) , ( 0,1, 0 ) , ( 0, 0,1) }
   É uma base de R3

Como possui 3 elementos, Dim R3 = 3
O vetor u = (1, −3,5)pode ser escrito da
seguinte forma:
u = 1(1, 0, 0) − 3(0,1, 0) + 5(0, 0,1)
 Portanto, dizemos que o vetor u é
 uma combinação linear dos vetores

    (1, 0, 0) , (0,1, 0), (0, 0,1)
com os escalares 1, -3, 5 (coord. do vetor)
r                 r r       r
     v = ( 1,-3,5 ) = 1i - 3j + 5k
r
i = ( 1,0,0 )
                               5k
r                                          P
j = ( 0,1,0 )                     r
                          k       v
r                                      j       -3j
k = ( 0,0,1 )            i o
    r r r
      {
β = i , j, k    }   1i
                              [ v] β   = (1, −3,5)
Se mudássemos a base de referência
               r r r
                {
           β = i , j, k  }
                    ou
 β = { (1, 0, 0), (0,1, 0), (0, 0,1)}
 As coordenadas dos vetores
 continuariam a mesma?
V =R      3


 Encontre as coordenadas do vetor
                v = ( 1, − 3,5 )



Na base   B = { ( 1,1,1) , ( 1,0,1) , ( 1,0, − 1) }
            '
B = { ( 1,1,1) , ( 1,0,1) , ( 1,0, − 1) }
           '




Por definição, às coordenadas de v na
base B´ é dado pelos coeficientes a,b e c
abaixo:


    ( 1, − 3,5) = a ( 1,1,1) + b ( 1,0,1) + c ( 1,0, − 1)
( 1, − 3,5) = a ( 1,1,1) + b ( 1,0,1) + c ( 1,0, − 1)
                       ⇓
a +b + c = 1

a        = −3                 ⇒           a = −3
a +b −c = 5

b + c = 4
          ⇒ 2b = 12 ⇒ b = 6
b − c = 8
                                           ⇓
                c = −2   ⇐    6+c = 4
As coordenadas de v são -3,6 e -2
                                            −3
A matriz das coordenadas                   6
de v na base B´ é            [ v] B   '   = 
                                            −2 
                                            
As coordenadas de v dependem da
base B escolhida e da ordem dos de
seus elementos.
Bibliografia Básica
ANTON, H.; RORRES, C.: Álgebra Linear com
Aplicações. Bookman, 8ª ed.
Porto Alegre: RS, 2001.
CALLIOLI, C. A.; DOMINGUES,
HYGINO H.; COSTA, Roberto C. F.
Álgebra Linear e Aplicações. Atual, 7ª
ed. São Paulo: SP, 2000.
HOFFMAN, K.;KUNZE,R.: Álgebra Linear. LTC
editora, 1979
Aula espaço vetorial

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  • 1. Qual o subespaço gerado pelo vetor (1, 0, 0) , ou seja, [ (1, 0, 0) ] ?
  • 2. { ( 1, 0, 0 ) , ( 0,1, 0 ) , ( 0, 0,1) } 3 é um conjunto de Geradores para R Porque todo vetor ( x, y, z ) ∈ R 3 Pode ser escrito da forma: ( x, y, z ) = x ( 1,0,0 ) + y ( 0,1,0 ) + z ( 0,0,1) Assim, escrevemos: R =  ( 1,0,0 ) , ( 0,1,0 ) , ( 0,0,1)  3  
  • 3. (1, 0) = e1 Vetor canônico, gerador da reta horizontal (0,1) = e2 Vetor canônico, gerador da reta vertical ( 5,0) = 5 ⋅ (1,0) ∈ [ e1 ] ∈ [ e1 , e2 ] (−1,0) = −1 ⋅ (1,0) ( 0, −3) = −3 ⋅ (0,1) (0, 2) = 2 ⋅ (0, 2) ∈ [ e2 ] (2,3) = 2 ⋅ (1, 0) + 3 ⋅ (0,1) 123 123 ∈[ e1 ] ∈[ e2 ]
  • 4. ( a, b) R = [ e1 , e2 ] e2 = ( 0 ,1) 2 e1 = (1, 0 ) pois ∀ (a, b)∈ R 2 (a, b) = a (1,0) + b (0,1) R = [ e1 , e2 , (2,0)] pois ∀ (a, b)∈ R 2 2 (a, b) = a (1,0) + b (0,1) + 0.(2,0)
  • 5. E por que estes 2 conjuntos têm quantidades diferentes de geradores, se são geradores do mesmo espaço?
  • 6. Os elementos chamados geradores ou sistemas de geradores de V podem ser um conjunto L.I ou L.D. R = [ e1 , e2 ] 2 { e1 , e2 } Conj. L.I R = [ e1 , e2 , (2,0)] { e1 , e2 , (2,0)} Conj. L.D 2
  • 7. Dependência e não dependência Linear y u y r r v = αu u v v o y x o x r r u +v u +v v Depende r r de u e v u o x
  • 8. Um ponto representa o vetor nulo. Vetor qualquer  Um único vetor diferente do vetor nulo é sempre L.I  Dois vetores são L.D quando um é múltiplo por um escalar do outro u u = (1, 0) v v = 2u v = (2, 0)
  • 9. y Três vetores no plano são sempre L.D, ou seja, um u +v terceiro vetor sempre pode v ser escrito como comb. Linear dos outros dois. u o x Um conj. que contém um subconj. L.D é L.D.      (1, 0),244 , (0,3)  14 4 (2, 0) 3 elementos deum conj . L. D   
  • 10. De um conjunto L.D podemos extrair um subconjunto. L.I  Se um conjunto é L.I, todos os seus subconjuntos são L.I  Um conjunto que possui o vetor nulo é sempre L.D.
  • 11. - conjunto ordenado: - formado por um conjunto de vetores L.I. - gera V. Proposição: De um conjunto de geradores de um espaço ou subespaço vetorial V é sempre possível extrair uma base.
  • 12. Processo prático para determinar uma base de um subespaço do ¡ . n Consiste em escalonar a matriz cujas linhas são os vetores geradores do subespaço. As linhas que não “zerarem” correspondem aos vetores geradores que forem LI. Determinar uma base para o seguinte 2 subespaço do espaço do R : W =  ( 1,1) , ( 1,0 ) , ( 0, − 1)   
  • 13. 1 1  1 1  A =  1 0  uuuuuuuuuuuuur   L2 ↔ L2 − L1u u  0 −1 L2 → − Lu   uuuuuuuuuu2 r  0 − 1    0 −1   1 1   1 0  0 1  B = { ( 1,1) , (0,1)} L1 → L1 − Lu uuuuuuuuuuuuu r 0 1  2   L3 → L3 + Lu   ( BASE ) uuuuuuuuuuuuur2  0 0  0 − 1     Portanto, os vetores (1,1) e (1,0) (correspondentes às linhas que não se anularam na matriz escalonada) formam a base para W.
  • 14. Dimensão Proposição: Seja V um espaço vetorial finitamente gerado. Então, qualquer base de V tem o mesmo número de elementos (cardinalidade). A este número de elementos dá-se o nome de Dimensão de V. Portanto, se V é finitamente gerado, podemos dizer que ele tem dimensão finita.
  • 15. Resultados importantes Seja V um espaço de dimensão finita n. Então:  Qualquer conjunto com mais de n elementos em V é LD.  Qualquer conjunto L.I de V pode ser completado para formar uma base de V.  Qualquer conjunto L.I de V tem no máximo n elementos.  Qualquer conjunto L.I com n elementos é uma base de V.
  • 16. Dimensão da Soma de 2 Subespaços Seja V um espaço vetorial de dimensão finita e U, W subespaços de V. Então dim ( U + W ) = dim U + dim W − dim ( U ∩ W )
  • 17. Determine um conjunto de geradores, a base e a dimensão para os seguintes subespaços: a ) U = { ( x, y, z ) ∈ R ; x − y − z = 0} 3 b) V = { ( x, y, z ) ∈ R ; x − 2 y = 0} 3 c) U + V d )U ∩ V
  • 18. ( x, y , z ) ∈ V ⇔ x− y−z =0 Ou seja, x= y+z Assim, um genérico vetor de U é da forma: ( y + z, y, z ) y (1,1, 0) + z (1, 0,1) Assim: U = [ (1,1, 0) , (1, 0,1) ]
  • 19. U=[(1,1,0),(1,0,1)]. (1,1, 0) não é múltiplo de (1, 0,1) O conjunto { (1,1, 0), (1, 0,1)} é L.I Logo constitui uma base para o subespaço U Assim dim(U ) = 2
  • 20. ( x, y , z ) ∈ V ⇔ x − 2y = 0 Ou seja, x = 2 y e z é qualquer. Assim, um genérico vetor de V é da forma: (2 y, y, z ) = y (2,1, 0) + z (0, 0,1) V = [ (2,1, 0) , (0, 0,1)]
  • 21. V = [ (2,1, 0) , (0, 0,1) ] (2,1, 0) não é múltiplo de (0, 0,1) O conjunto { (2,1, 0), (0, 0,1)} é L.I Logo constitui uma base para o subespaço V Assim dim(V ) = 2
  • 22. Um conjunto de geradores para U+V è dado pela uniao dos dois conjuntos, i.e.,: U = [ (1,1, 0) , (1, 0,1) ] V = [ (2,1, 0) , (0, 0,1)] U + V = [(1,1, 0) , (1, 0,1), (2,1, 0), (0, 0,1)] Para extrair uma base usaremos o processo prático de determinação de uma base.
  • 23. U + W =  ( 1,1,0 ) , ( 1,0,1) , ( 2,1,0 ) , ( 0,0,1)    1 1 0 1 1 0 1  L2 → L2 − L1 0 −1  1  0 1  2 1 0  L3 → L3 − 2 L1 0 −1 0     0 0 1 0 0 1 L2 → − L2  1 1 0 1 0 1 0 1 −1 L1 → L1 − L2 0   1 −1   0 −1 0  L3 → L3 + L2 0 0 0     0 0 1 0 0 1
  • 24. U + W =  ( 1,1,0 ) , ( 1,0,1) , ( 2,1,0 ) , ( 0,0,1)    { (1,1, 0), (1, 0,1), (0, 0,1)} Constituem uma base para U +W 1 0 1 Ou ainda 0  1 −1  0 0 0 { (1, 0,1), (0,1, −1), (0, 0,1)}   0 0 1 (Vetores restantes) dim (U + V ) = 3
  • 25. Precisamos encontrar um conjunto de vetores que satisfaça a ambas as condições: x − y − z = 0  x − 2 y = 0 ⇒ x = 2 y Substituindo na 1ª equação temos: 2y − y − z = 0 ⇒ y − z = 0 ⇒ y = z (2 y, y, y ) = y (2,1,1) U ∩ V = [ (2,1,1) ] ⇒ dim(U ∩ V ) =1
  • 26. Portanto, utilizando a relação podemos coomprovar a dimensão do espaço soma. dim(U + W ) = dim U + dim W − dim (U ∩ W ) dim ( U + V ) = 2 + 2 − 1 = 3
  • 27.
  • 28. { ( 1, 0, 0 ) , ( 0,1, 0 ) , ( 0, 0,1) } 3 é um conjunto de Geradores para R R =  ( 1,0,0 ) , ( 0,1,0 ) , ( 0,0,1)  3   e é linearmente independente (L.I) Logo { ( 1, 0, 0 ) , ( 0,1, 0 ) , ( 0, 0,1) } É uma base de R3 Como possui 3 elementos, Dim R3 = 3
  • 29. O vetor u = (1, −3,5)pode ser escrito da seguinte forma: u = 1(1, 0, 0) − 3(0,1, 0) + 5(0, 0,1) Portanto, dizemos que o vetor u é uma combinação linear dos vetores (1, 0, 0) , (0,1, 0), (0, 0,1) com os escalares 1, -3, 5 (coord. do vetor)
  • 30. r r r r v = ( 1,-3,5 ) = 1i - 3j + 5k r i = ( 1,0,0 ) 5k r P j = ( 0,1,0 ) r k v r j -3j k = ( 0,0,1 ) i o r r r { β = i , j, k } 1i [ v] β = (1, −3,5)
  • 31. Se mudássemos a base de referência r r r { β = i , j, k } ou β = { (1, 0, 0), (0,1, 0), (0, 0,1)} As coordenadas dos vetores continuariam a mesma?
  • 32. V =R 3 Encontre as coordenadas do vetor v = ( 1, − 3,5 ) Na base B = { ( 1,1,1) , ( 1,0,1) , ( 1,0, − 1) } '
  • 33. B = { ( 1,1,1) , ( 1,0,1) , ( 1,0, − 1) } ' Por definição, às coordenadas de v na base B´ é dado pelos coeficientes a,b e c abaixo: ( 1, − 3,5) = a ( 1,1,1) + b ( 1,0,1) + c ( 1,0, − 1)
  • 34. ( 1, − 3,5) = a ( 1,1,1) + b ( 1,0,1) + c ( 1,0, − 1) ⇓ a +b + c = 1  a = −3 ⇒ a = −3 a +b −c = 5 
  • 35. b + c = 4  ⇒ 2b = 12 ⇒ b = 6 b − c = 8 ⇓ c = −2 ⇐ 6+c = 4 As coordenadas de v são -3,6 e -2  −3 A matriz das coordenadas 6 de v na base B´ é [ v] B ' =   −2   
  • 36. As coordenadas de v dependem da base B escolhida e da ordem dos de seus elementos.
  • 37. Bibliografia Básica ANTON, H.; RORRES, C.: Álgebra Linear com Aplicações. Bookman, 8ª ed. Porto Alegre: RS, 2001. CALLIOLI, C. A.; DOMINGUES, HYGINO H.; COSTA, Roberto C. F. Álgebra Linear e Aplicações. Atual, 7ª ed. São Paulo: SP, 2000. HOFFMAN, K.;KUNZE,R.: Álgebra Linear. LTC editora, 1979

Notas do Editor

  1. Câmera documentos.
  2. S1 e S2 são subconjuntos de V; elementos da Comb. Linear de e1;elementos da Comb. Linear de e1,e2.
  3. R dois é gerado pelos vetores e1 e e2, E vem a seguinte pergunta: Se acrescentarmos mais vetores aos conjuntos estes novo conjunto serão
  4. Introduzir o conceito intuitivo de base para um espaço vetorial.
  5. Câmera documentos
  6. Mostrar na câmera documentos. Para o caso n=1, n=2 e etc.
  7. Explicitar o caso para n=3
  8. Convencionamos o conjunto vazio como L.I.
  9. Posto: n. de linhas não nulas ; hiper – link para slide 15
  10. Posto: n. de linhas não nulas ; hiper – link para slide 15
  11. Esse conjunto de geradores nem sempre é o minimal.
  12. Hiper – link para o slide 19
  13. Esse conjunto de geradores nem sempre é o minimal.
  14. Hiper-link para slide 15; falar sobre os tipos de subespaços.
  15. Câmara documento: Um exemplo fácil mostrando esta diferença.
  16. Rorres contém interessantes aplicações: Hoffman, Kunze - parte teórica bem abordada;