O documento descreve a vida e obra de Euclides, um matemático grego do século IV a.C. considerado o "pai da geometria". Ele é mais conhecido por seu livro "Os Elementos", que foi por séculos o texto de referência para o ensino da matemática e um dos livros mais publicados no mundo.

1. Euclides (aproximadamente 330 a.c. – 260 a.c.) é uma figura
incontornável no estudo da Geometria.
Pouco se sabe sobre a sua origem. Segundo alguns historiadores,
terá estudado em Atenas e foi convidado a ensinar Matemática numa
escola em Alexandria, onde alcançou grande notoriedade no ensino
da Geometria e da Álgebra.
Foram várias as obras deixadas por Euclides
mas Os Elementos é a que se destaca como
tendo sido durante muitos séculos o texto escrito
de referência para o ensino elementar da
Matemática e, como tal, uma das obras mais
editadas em todo o mundo.
Nesta unidade vamos perceber o modo como
Euclides apresentou a Geometria (Axiomática de
Euclides) na sua obra Os Elementos, conhecendo o
vocabulário próprio do método axiomático
(postulado, axioma, teorema…).

2. Método axiomático
O que é e para que serve o método axiomático?
Antes de respondermos a esta pergunta coloca-se outra questão: Como provamos
que algo é verdadeiro?
Por exemplo, no movimento de rotação da terra em
torno do sol, usando apenas os nossos sentidos, não
podemos concluir que a terra gira em torno do sol,
pois a observação diária do sol, aparentemente o sol
levanta-se de manhã e deita-se ao fim da tarde, faz
crer que é o sol que gira em torno da terra.
Daí a necessidade de se ter um processo dedutivo – denominado demonstração –
que possa justificar ser plenamente verdadeira uma determinada afirmação.

3. Ao longo dos anos e em diversas áreas, várias teorias foram sendo desenvolvidas.
Uma teoria é um dado conjunto de proposições consideradas
verdadeiras, incluindo todas as proposições que delas forem
dedutíveis logicamente.
No processo de desenvolvimento de uma dada teoria, torna-se necessário
sistematizar e relacionar os vários conhecimentos nela estabelecidos, procedendo-
se à axiomatização dessa teoria. Assim, é necessário fixar alguns objetos (objetos
primitivos), algumas relações entre objetos que não se definem a partir de outras
(relações primitivas), e algumas proposições que se consideram verdadeiras sem
as deduzir de outras (axiomas).
Um axioma é uma proposição que se considera verdadeira
sem se deduzir de outras.

4. Axiomática de uma teoria é um conjunto de objetos primitivos, relações
primitivas e axiomas a partir dos quais todos os objetos e relações da teoria
podem ser definidos e todas as proposições verdadeiras demonstradas.
Uma definição é uma explicação do significado de um novo termo que se
introduz pela primeira vez. Essa explicação deve ser efetuada recorrendo
exclusivamente a outros termos já conhecidos.
Exemplo:
Considere-se a seguinte definição de segmento de reta:
“Segmento de reta [PQ] é o conjunto de pontos da reta PQ que se situam
entre P e Q (inclusive)”
Apesar de muito intuitiva, esta definição pressupõe a interiorização de algumas
noções prévias como:

5. Teorema
Um teorema é uma afirmação que é verdadeira mas que não é uma axioma.
Por não se tratar de um axioma, a veracidade de um teorema tem que ser
demonstrada a partir de outras afirmações que já se sabe serem verdadeiras.
Os teoremas são proposições que só se aceitam como verdadeiras depois de
demonstradas.
Lema é uma proposição auxiliar utilizada para a demonstração de um
teorema considerado mais relevante.
A um resultado que é consequência direta de um teorema chama-se corolário
e, de um modo geral, é de demonstração imediata.

6. Teorema
Um teorema é uma afirmação que é verdadeira mas que não é uma axioma.
Por não se tratar de um axioma, a veracidade de um teorema tem que ser
demonstrada a partir de outras afirmações que já se sabe serem verdadeiras.
Os teoremas são proposições que só se aceitam como verdadeiras depois de
demonstradas.
Exemplos:
“Num triângulo retângulo a soma dos quadrados das medidas dos catetos é igual
ao quadrado da medida da hipotenusa.”
“Dois ângulos verticalmente opostos são iguais.”
“A soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a um ângulo raso.”

7. Teorema
Consideremos o Teorema de Pitágoras:
“Num triângulo retângulo a soma dos quadrados das medidas dos catetos é igual
ao quadrado da medida da hipotenusa.”
Num teorema são consideradas duas proposições:
Neste caso, tem-se que:
Este teorema pode ser escrito sob a forma condicional, designada por implicação:
“Se um triângulo é retângulo, então a soma dos quadrados das medidas dos
catetos é igual ao quadrado da medida da hipotenusa”
Hipótese – o que é dado (ponto de partida) e que se considera verdadeira;
Tese – o resultado a que se pretende chegar.

8. Consideremos o teorema:
“Dois ângulos verticalmente opostos são iguais.”
Na forma condicional temos:
“ Se dois ângulos são verticalmente opostos, então são iguais.”
Hipótese: Dois ângulos são verticalmente opostos.
Os ângulos são iguais.Tese:
Consideremos o teorema:
“A soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a um ângulo raso.”
Na forma condicional temos:
“ Se [ABC] é um triângulo, então a soma dos ângulos internos de [ABC] é
igual a um ângulo raso.”
Hipótese: [ABC] é um triângulo.
a soma dos ângulos internos de [ABC] é igual a um ângulo raso.Tese:

9. Exercícios:
a) “Se o produto de dois números reais é positivo, então os números têm o mesmo sinal.”
Hipótese: O produto de dois números reais é positivo.
Tese: Os números têm o mesmo sinal.
b) “Se um paralelogramo tem as diagonais perpendiculares, então é um losango.”
Hipótese: Um paralelogramo tem as diagonais perpendiculares.
Tese: O paralelogramo é um losango.
c) “Se um quadrilátero é um quadrado, então tem os lados todos iguais.”
d) “Se um quadrilátero tem dois lados paralelos, então é um trapézio.”
Hipótese: Um quadrilátero é um quadrado.
Tese: O quadrilátero tem os lados todos iguais.
Hipótese: Um quadrilátero tem dois lados paralelos.
Tese: O quadrilátero é um trapézio.

10. Exercícios:
e) “Um número múltiplo de 2 e de 5 é múltiplo de 10”.
Hipótese: Um número múltiplo de 2 e de 5 .
Tese: O número é múltiplo de 10.
f) “Num quadrado, as diagonais são perpendiculares”.
Hipótese: [ABCD] é um quadrado.
Tese: As diagonais do quadrado [ABCD] são perpendiculares.
g) “A soma de dois números naturais pares é um número par.”
h) “Um divisor de 4 é um divisor de 16.”
Hipótese: Os números a e b são dois números pares.
Tese: A soma de a e b é um número par.
Hipótese: Um número a é divisor de 4.
Tese: a é divisor de 16.

11. Teorema recíproco
Um teorema é recíproco de outro quando a hipótese de um é a tese do outro
e vice-versa.
Consideremos duas implicações recíprocas entre si.
A: Um número natural que termina em zero é divisível por cinco.
B: Um número natural que é divisível por cinco termina em zero.
A implicação A é verdadeira e a implicação B é falsa.
A proposição recíproca de um teorema pode não ser verdadeira, ou seja, pode não ser um
teorema.

12. Condição necessária, condição suficiente
e condição necessária e suficiente
Se uma condição p implicar uma condição q (p 𝒒), isto é, sempre que p é
verdadeira, q também é verdadeira, diz-se que p é uma condição suficiente para
q e que q é uma condição necessária para p.
Num teorema, diz-se que a hipótese é condição suficiente para a tese ocorrer e a
tese é condição necessária para a hipótese.

13. Condição necessária, condição suficiente
e condição necessária e suficiente
Dada uma implicação 𝐩 𝒒 chama-se implicação recíproca a 𝐪 𝒑.
Se ambas são verdadeiras diz-se que p e q são equivalentes, isto é, 𝒑 𝒒 .
Como se verifica o teorema e o seu recíproco, diz-se que p é uma condição
necessária e suficiente para q.

14. Exemplo: Considera os teoremas seguintes, recíprocos um do outro.
Teorema I: “Um triângulo equilátero [ABC] tem os ângulos iguais.”
Condição suficiente: [ABC] é um triângulo equilátero (lê-se: para que os ângulos sejam
todos iguais é condição suficiente que o triângulo seja
equilátero).
Teorema II: “Um triângulo [ABC] com os ângulos todos iguais é equilátero.”
Hipótese: [ABC] é um triângulo equilátero.
Tese: 𝑎 = 𝑏 = 𝑐
Hipótese: 𝑎 = 𝑏 = 𝑐
Tese: O triângulo [ABC] é equilátero.
Condição suficiente: 𝑎 = 𝑏 = 𝑐 (lê-se: para que o triângulo seja equilátero é suficiente
que os ângulos sejam todos iguais).
Condição necessária: 𝑎 = 𝑏 = 𝑐 (lê-se: para que o triângulo seja equilátero é condição
necessária que os ângulos sejam todos iguais).
Condição necessária:[ABC] é um triângulo equilátero (lê-se: para que os ângulos sejam
todos iguais é necessário que o triângulo seja equilátero).

15. Assim, temos que:
• A hipótese é condição necessária e suficiente para que se verifique a tese;
• A tese é condição necessária e suficiente para que se verifique a hipótese.
Logo, os teoremas anteriores podem ser escritos num único:
Teorema I: “Um triângulo equilátero [ABC] tem os ângulos iguais.”
Teorema II: “Um triângulo [ABC] com os ângulos todos iguais é equilátero.”
“É condição necessária e suficiente para que um triângulo seja equilátero que
tenha os ângulos iguais.”

16. Exemplo:
Considera, em IR, a implicação:
Se 𝑥 = −2, então 𝑥2 = 4.
Distingue a condição necessária da condição suficiente e diz se a implicação recíproca
é verdadeira.
Condição necessária: 𝑥2
= 4
Condição suficiente: 𝑥 = −2
Implicação recíproca: Se 𝑥2 = 4, então 𝑥 = −2.
A implicação recíproca é falsa.
Sabe-se que 𝑥2 = 4, não é necessariamente verdade que 𝑥 = −2, pois pode ocorrer
𝑥 = 2.