Este documento descreve os cinco postulados de Euclides e conceitos geométricos básicos como planos, retas, ângulos e posições relativas. Explica propriedades de paralelismo entre retas e planos, retas perpendiculares a planos, e planos perpendiculares. Também define plano mediador de um segmento de reta.

1. MATEMÁTICA 9ºANO
Professora Susana Dias Explicações Matemática: Básico, Secundário e Superior valentina.susana@gmail.com
Os cinco postulados de Euclides
𝟏. ° postulado
É possível traçar uma reta de qualquer ponto a qualquer ponto.
𝟐. ° postulado:
É possível traçar uma reta finita continuamente numa linha reta.
𝟑. ° postulado:
É possível traçar um círculo com qualquer centro e qualquer raio.
𝟒. ° postulado:
Todos os ângulos retos são iguais.
𝟓. ° postulado:
Se duas retas, num plano, intersetadas por uma terceira, determinam com esta ângulos internos do
mesmo lado da secante cuja soma é inferior a um ângulo raso, então as duas retas intersetam-se no
semiplano determinado pela secante que contém esses dois ângulos.
Axioma euclidiano de paralelismo
Por um ponto 𝑷 fora de uma reta 𝒓 passa, no máximo, uma reta a ela paralela
Modos de definir um plano
Por três pontos não colineares ( que não pertencem todos à mesma reta) passa um e um só plano.
Se três pontos não colineares
𝑨, 𝑩 e 𝑪 pertencem a um plano
𝛼, esse plano pode ser
identificado como 𝑨𝑩𝑪.Exemplo: O plano que contém a face [𝑨𝑩𝑪𝑫] do paralelepípedo pode ser designado por
exemplo, por 𝑨𝑩𝑪.

2. MATEMÁTICA 9ºANO
Professora Susana Dias Explicações Matemática: Básico, Secundário e Superior valentina.susana@gmail.com
Posição relativa de duas retas no plano
Teorema
Se uma reta 𝒕 interseta uma de duas retas paralelas, 𝒓 ou 𝒔, e é com elas complanar, então interseta
a outra.
Teorema
 Dois ângulos correspondentes determinados por uma secante em duas retas paralelas são iguais.
 Num plano, se dois ângulos correspondentes 𝜶 e 𝜷, determinados entre duas retas 𝒓 e 𝒔 , por
uma secante 𝒕, são iguais então 𝒓 e 𝒔 são paralelas.
 Duas retas paralelas a uma terceira, num dado plano, são paralelas entre si.
Exemplo: Relativamente ao paralelipípedo retângulo da figura, sabe-se que 𝐴𝐵 e 𝐸𝐹 são paralelas
e 𝐸𝐻 interseta 𝐸𝐹. Contudo, 𝐸𝐻 não interseta 𝐴𝐵 porque 𝐸𝐻 não é complanar
com 𝐴𝐵 e 𝐸𝐹.
Não complanares: Não existe nenhum plano que as contenha.
Exemplo: As retas 𝒓 e 𝒔 são não complanares.
Complanares: Existe um plano que as contém.
Paralelas
Concorrentes
ou
secantes
Estritamente paralelas
Ex: As retas 𝑠 e 𝑑.
Coincidentes
Ex: As retas 𝑠 e 𝑝.
Oblíquas
Ex: As retas 𝑎 e 𝑏.
Perpendiculares
Ex: As retas 𝑐 e 𝑑.

3. MATEMÁTICA 9ºANO
Professora Susana Dias Explicações Matemática: Básico, Secundário e Superior valentina.susana@gmail.com
Posição relativa de dois planos
Posição relativa entre retas e planos
Estritamente
paralelos
Coincidentes
Oblíquos
Perpendiculares
𝐻𝐸𝐵 ∩ 𝐴𝐵𝐶 = 𝐵𝐶
Exemplo: Quando dois planos são concorrentes a intersecção é uma reta. Por exemplo os planos
𝐻𝐸𝐵 e 𝐴𝐵𝐶 são concorrentes. A sua intersecção é a reta 𝐵𝐶.
Paralelos Concorrentes
Paralelas Concorrente ou secante
ObliquaContida ou aposta Estritamente paralela Perpendicular
𝑟 ∩ 𝛼 = 𝑟 𝑟 ∩ 𝛼 = { }
𝑃
𝑃
𝑟 ∩ 𝛼 = 𝑃 𝑟 ∩ 𝛼 = 𝑃

4. MATEMÁTICA 9ºANO
Professora Susana Dias Explicações Matemática: Básico, Secundário e Superior valentina.susana@gmail.com
Propriedades
Paralelismo entre retas
No espaço duas retas 𝒓 e 𝒔 são paralelas se e só se são complanares e não se intersectam.
Paralelismo de uma reta e um plano
É condição necessária e suficiente para que uma reta seja paralela a
um plano que exista nesse plano uma reta paralela à dada.
Paralelismo entre planos
É condição necessária e suficiente para que dois planos (distintos)
sejam paralelos que exista um par de retas concorrentes em
cada plano, duas a duas paralelas.
Retas perpendiculares a planos
Se uma reta 𝒓 é perpendicular a duas retas 𝒂 e 𝒃 num mesmo ponto 𝑷 de um plano 𝜶 , então a 𝒓 é
perpendicular ao plano 𝜶 , e escreve-se:
 Se um plano 𝜽 é concorrente
com um de dois planos
paralelos 𝜶 e 𝜷, então
também é concorrente
com o outro
 Se uma reta 𝒓 é secante a um plano 𝛼, então
também é secante qualquer
plano paralelo a 𝜶.
 As retas 𝐵𝐸 e 𝐶𝐹 não se intersectam e são paralelas
(as retas 𝐵𝐸 e 𝐶𝐹 são complanares).
 As retas 𝐴𝐵 e 𝐶𝐹 não se intersectam e não são paralelas
(as retas 𝐴𝐵 e 𝐶𝐹 não são complanares).
𝒔
𝒓
𝛼
𝑎 ⊂ 𝛼 e 𝑏 ⊂ 𝛼, 𝑎 e 𝑏 são retas
concorrentes e 𝑟 ⊥ 𝑎 e 𝑟 ⊥ 𝑏 então 𝑟 ⊥ 𝛼.

5. MATEMÁTICA 9ºANO
Professora Susana Dias Explicações Matemática: Básico, Secundário e Superior valentina.susana@gmail.com
Planos perpendiculares
É condição necessária e suficiente para que dois planos sejam
perpendiculares que um deles contenha uma reta perpendicular ao outro.
Planos perpendiculares
A reta 𝒓 é a única reta que passa pelo ponto 𝑶 e é prependicular ao plano 𝜶
que contém a base do cone.
A intersecção da reta 𝒓 com o plano 𝜶 é o ponto 𝑶, centro da base do cone.
O ponto 𝑶 é a projeção ortogonal do ponto 𝑽 sobre 𝜶 e chama-se pé da
perpendicular traçada de 𝑽 sobre 𝜶.
Plano mediador
Chama-se plano mediador de um segmento de reta [𝑨𝑩] ao plano perpendicular a 𝑨𝑩 e que passa no
ponto médio de [𝑨𝑩].
O plano mediador de um segmento de reta [𝑨𝑩] é o lugar geométrico dos pontos do espaço
equidistantes de 𝑨 e 𝑩.
Exemplo: Considera o paralelepípedo rectângulo representado
na figura. Seja 𝑀, o ponto médio da aresta [𝐸𝐴]. Considera o
plano 𝛼 perpendicular à reta 𝐸𝐴 e que passa por 𝑀.
Podemos dizer que o plano 𝛼 é o plano mediador do
segmento de reta [𝐸𝐴]. Verifica-se que qualquer ponto
do plano 𝛼 é equidistante do ponto 𝐴 e do ponto 𝐸.