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TRIÂNGULOS
OS TRIÂNGULOS SÃO POLÍGONOS DE TRÊS LADOS.
CLASSIFICAÇÃO DOS TRIÂNGULOS

Quanto aos lados
Triângulo Isósceles
Possui dois lados com a
Mesma medida e dois ângulos
com a mesma medida.


 Triângulo Equilátero
 Possui todos os lados com a
 Mesma medida e todos os
 Ângulos iguais a 60º.
CLASSIFICAÇÃO DOS TRIÂNGULOS


Quanto aos lados
 Triângulo Escaleno:
 Possui todos os lados com
 medidas diferentes.
 Possui também um ângulo
 obtuso e dois ângulos agudos.
QUANTO AOS ÂNGULOS


 Retângulo: Possui um ângulo reto. (90º)
 Obtusângulo: Possui um ângulo obtuso. (›90º)

 Acutângulo: Possui os três ângulos agudos.(‹90º)


    Retângulo
                           Acutângulo    Obtusângulo
PITÁGORAS
   Pitágoras - Biografia
    Vida de Pitágoras, importante filósofo e matemático da
    antiguidade, matemática, geometria, aritmética, Teorema
    de Pitágoras, ciências, bibliografia, Escola Pitagórica

    Escultura deste importante filósofo e matemático grego
Quem foi
Pitágoras foi um importante
matemático e filósofo grego. Nasceu
no ano de 570 a .C na ilha de Samos,
na região da Ásia Menor
(Magna Grécia). Provavelmente,
morreu em 497 ou 496 a.C em
Metaponto (região sul da Itália).
Embora sua biografia seja marcada
por diversas lendas e fatos não
comprovados pela História, temos
dados e informações importantes
sobre sua vida.
PITÁGORAS
   Com 18 anos de idade, Pitágoras já conhecia e
    dominava muitos conhecimentos matemáticos e
    filosóficos da época. Através de estudos
    astronômicos, afirmava que o planeta Terra era
    esférico e suspenso no Espaço (idéia pouco
    conhecida na época). Encontrou uma certa ordem
    no universo, observando que as estrelas, assim
    como a Terra, girava ao redor do Sol.
Recebeu muita influência científica e
filosófica dos filósofos gregos Tales
de Mileto, Anaximandro e
Anaxímenes.
Enquanto visitava
o Egito, impressionado com as
pirâmides, desenvolveu o famoso
Teorema de Pitágoras. De acordo
com este teorema é possível calcular
o lado de um triângulo
retângulo, conhecendo os outros
dois. Desta forma, ele conseguiu
provar que a soma dos quadrados
dos catetos é igual ao quadrado da
Atribui-se também a ele o
desenvolvimento da tábua de
multiplicação, o sistema decimal e as
proporções aritméticas. Sua influência
nos estudos futuros
da matemática foram enormes, pois foi
um dos grandes construtores da base
dos conhecimentos matemáticos,
geométricos e filosóficos que temos
atualmente.
Principais filósofos da Escola
Pitagórica:
- Filolau de Crotona
- Temistocleia
- Arquitas de Tarento
- Alcmeão de Crotona
- Melissa
PENSAMENTOS DE PITÁGORAS
- Não é livre quem não consegue ter domínio sobre si.

 - Todas as coisas são números.

 - Aquele que fala semeia; aquele que escuta recolhe.

 - Com ordem e com tempo encontra-se o segredo de fazer tudo e tudo fazer
 bem.

 - Educai as crianças e não será preciso punir os homens.

 - A melhor maneira que o homem dispõe para se aperfeiçoar, é aproximar-se
 de Deus.

 - A Evolução é a Lei da Vida, o Número é a Lei do Universo, a Unidade é a
 Lei de Deus.

 - Ajuda teus semelhantes a levantar a carga, mas não a carregues.
TRIÂNGULO RETÂNGULO




   Possui um ângulo reto (90º).
   Estudaremos o Teorema de Pitágoras, que utiliza como base os Triângulos
   Retângulos.
TEOREMA DE PITÁGORAS

   Teorema de Pitágoras
   Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.
   O teorema de Pitágoras: a soma das área dos
    quadrados construídos sobre os catetos (a e b) equivale
    àárea do quadrado construído sobre a hipotenusa (c).
   O teorema de Pitágoras é uma relação matemática entre os
    três lados de qualquer triângulo retângulo. Na geometria
    euclidiana, o teorema afirma que:
   “Em qualquer triângulo retângulo,
    o quadrado do comprimento da hipotenusa é igual à soma
    dos quadrados dos comprimentos dos catetos.”Por definição,
    a hipotenusa é o lado oposto ao ângulo reto, e os catetos são
    os dois lados que o formam. O enunciado anterior relaciona
    comprimentos, mas o teorema também pode ser enunciado
    como uma relação entre áreas:
TEOREMA DE PITÁGORAS
   “Em qualquer triângulo retângulo, a área do quadrado cujo
    lado é a hipotenusa é igual à soma das áreas dos quadrados
    cujos lados são os catetos.”Para ambos os
    enunciados, pode-se equacionar
   onde c representa o comprimento da
    hipotenusa, e a e b representam os comprimentos dos outros
    dois lados.
   O teorema de Pitágoras leva o nome
    do matemático grego Pitágoras (570 a.C. – 495 a.C.), que
    tradicionalmente é creditado pela sua descoberta
    e demonstração, embora seja frequentemente argumentado
    que o conhecimento do teorema seja anterior a ele (há muitas
    evidências de que matemáticos
    babilônicos conheciam algoritmos para calcular os lados em
    casos específicos, mas não se sabe se conheciam um
    algoritmo tão geral quanto o teorema de Pitágoras.
DEMONSTRAÇÃO DO TEOREMA DE PITÁGORAS
EXERCÍCIOS:
   Teorema de Pitágoras
   Exercícios resolvidos

   Na página "Demonstração do Teorema de Pitágoras",
    observas-te como se enuncia o teorema. Agora vais ver
    vários exemplos de aplicações do mesmo e em seguida,
    irás resolver alguns exercícios propostos numa ficha.
   Exemplo 1:
   Sendo a,b e c as medidas dos comprimentos dos lados
    de um triângulo, indica, justificando, aqueles que são
    rectângulos:
   a) a = 6; b = 7 e c = 13;
   b) a = 6; b = 10 e c = 8.








Resolução:
"Se num triângulo as medidas dos seus
lados verificarem o Teorema de Pitágoras
então pode-se concluir que o triângulo é
rectângulo".
Então teremos que verificar para cada
alínea se as medidas dos lados dos
triângulos satisfazem ou não o Teorema
de Pitágoras.
a)

logo o triângulo não é rectângulo porque
não satisfaz o Teorema de Pitágoras.

b)

logo o triângulo é rectângulo porque
satisfaz o Teorema de Pitágoras.
Exemplo 2:
Calcula o valor de x em cada um dos
triângulos rectângulos:
a)




b)

Resolução:
a) Aplicando o Teorema de Pitágoras
temos:
b) Aplicando o Teorema de Pitágoras temos:




Exemplo 3:
Calcule as áreas das seguintes figuras.
a)



b)
Resolução:
a)




 b)
   Exemplo 4:
   a) Qual era a altura do poste?




                              a) Resolução:



                              h=4+5=9
                              Resposta: A altura do poste era de 9 m.




 b) Qual é a distância percorrida pelo berlinde?
                             Resolução:







   Resposta: A distância percorrida pelo berlinde é
    de:
                    265 cm = 2,65 m.
   Exercício 5:
   O Pedro e o João estão a «andar» de balancé, como
    indica a figura:





   A altura máxima a que pode subir cada um dos amigos é
    de 60 cm.
    Qual o comprimento do balancé?


 Resolução do exercício 5:
 Pode-se aplicar o Teorema de Pitágoras, pois a
  linha a tracejado forma um ângulo de 90 graus
  com a "linha" do chão.
 Então vem:

 1,8 m = 180 cm             {


   Resposta: O comprimento do balancé é de
    aproximadamente 190 cm, isto é, 1,9 m.
 Exercício 6:
 A figura representa um barco à vela.

 6.1.) Determina, de acordo com os dados da
  figura, os valores de x e y.
Resolução do exercício 6:
6.1.) Aplicando o Teorema de
Pitágoras, temos:
Créditos:


http://pitagoras-upt.tripod.com/id7.html




 Bibliografia:


  www.wikipedia.com.br

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Teorema de pitágoras trabalho final

  • 1. TRIÂNGULOS OS TRIÂNGULOS SÃO POLÍGONOS DE TRÊS LADOS.
  • 2. CLASSIFICAÇÃO DOS TRIÂNGULOS Quanto aos lados Triângulo Isósceles Possui dois lados com a Mesma medida e dois ângulos com a mesma medida. Triângulo Equilátero Possui todos os lados com a Mesma medida e todos os Ângulos iguais a 60º.
  • 3. CLASSIFICAÇÃO DOS TRIÂNGULOS Quanto aos lados Triângulo Escaleno: Possui todos os lados com medidas diferentes. Possui também um ângulo obtuso e dois ângulos agudos.
  • 4. QUANTO AOS ÂNGULOS  Retângulo: Possui um ângulo reto. (90º)  Obtusângulo: Possui um ângulo obtuso. (›90º)  Acutângulo: Possui os três ângulos agudos.(‹90º) Retângulo Acutângulo Obtusângulo
  • 5. PITÁGORAS  Pitágoras - Biografia Vida de Pitágoras, importante filósofo e matemático da antiguidade, matemática, geometria, aritmética, Teorema de Pitágoras, ciências, bibliografia, Escola Pitagórica Escultura deste importante filósofo e matemático grego
  • 6. Quem foi Pitágoras foi um importante matemático e filósofo grego. Nasceu no ano de 570 a .C na ilha de Samos, na região da Ásia Menor (Magna Grécia). Provavelmente, morreu em 497 ou 496 a.C em Metaponto (região sul da Itália). Embora sua biografia seja marcada por diversas lendas e fatos não comprovados pela História, temos dados e informações importantes sobre sua vida.
  • 7. PITÁGORAS  Com 18 anos de idade, Pitágoras já conhecia e dominava muitos conhecimentos matemáticos e filosóficos da época. Através de estudos astronômicos, afirmava que o planeta Terra era esférico e suspenso no Espaço (idéia pouco conhecida na época). Encontrou uma certa ordem no universo, observando que as estrelas, assim como a Terra, girava ao redor do Sol.
  • 8. Recebeu muita influência científica e filosófica dos filósofos gregos Tales de Mileto, Anaximandro e Anaxímenes. Enquanto visitava o Egito, impressionado com as pirâmides, desenvolveu o famoso Teorema de Pitágoras. De acordo com este teorema é possível calcular o lado de um triângulo retângulo, conhecendo os outros dois. Desta forma, ele conseguiu provar que a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da
  • 9. Atribui-se também a ele o desenvolvimento da tábua de multiplicação, o sistema decimal e as proporções aritméticas. Sua influência nos estudos futuros da matemática foram enormes, pois foi um dos grandes construtores da base dos conhecimentos matemáticos, geométricos e filosóficos que temos atualmente. Principais filósofos da Escola Pitagórica: - Filolau de Crotona - Temistocleia - Arquitas de Tarento - Alcmeão de Crotona - Melissa
  • 10. PENSAMENTOS DE PITÁGORAS - Não é livre quem não consegue ter domínio sobre si. - Todas as coisas são números. - Aquele que fala semeia; aquele que escuta recolhe. - Com ordem e com tempo encontra-se o segredo de fazer tudo e tudo fazer bem. - Educai as crianças e não será preciso punir os homens. - A melhor maneira que o homem dispõe para se aperfeiçoar, é aproximar-se de Deus. - A Evolução é a Lei da Vida, o Número é a Lei do Universo, a Unidade é a Lei de Deus. - Ajuda teus semelhantes a levantar a carga, mas não a carregues.
  • 11. TRIÂNGULO RETÂNGULO Possui um ângulo reto (90º). Estudaremos o Teorema de Pitágoras, que utiliza como base os Triângulos Retângulos.
  • 12. TEOREMA DE PITÁGORAS  Teorema de Pitágoras  Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.  O teorema de Pitágoras: a soma das área dos quadrados construídos sobre os catetos (a e b) equivale àárea do quadrado construído sobre a hipotenusa (c).  O teorema de Pitágoras é uma relação matemática entre os três lados de qualquer triângulo retângulo. Na geometria euclidiana, o teorema afirma que:  “Em qualquer triângulo retângulo, o quadrado do comprimento da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos comprimentos dos catetos.”Por definição, a hipotenusa é o lado oposto ao ângulo reto, e os catetos são os dois lados que o formam. O enunciado anterior relaciona comprimentos, mas o teorema também pode ser enunciado como uma relação entre áreas:
  • 13. TEOREMA DE PITÁGORAS  “Em qualquer triângulo retângulo, a área do quadrado cujo lado é a hipotenusa é igual à soma das áreas dos quadrados cujos lados são os catetos.”Para ambos os enunciados, pode-se equacionar  onde c representa o comprimento da hipotenusa, e a e b representam os comprimentos dos outros dois lados.  O teorema de Pitágoras leva o nome do matemático grego Pitágoras (570 a.C. – 495 a.C.), que tradicionalmente é creditado pela sua descoberta e demonstração, embora seja frequentemente argumentado que o conhecimento do teorema seja anterior a ele (há muitas evidências de que matemáticos babilônicos conheciam algoritmos para calcular os lados em casos específicos, mas não se sabe se conheciam um algoritmo tão geral quanto o teorema de Pitágoras.
  • 14. DEMONSTRAÇÃO DO TEOREMA DE PITÁGORAS
  • 15. EXERCÍCIOS:  Teorema de Pitágoras  Exercícios resolvidos  Na página "Demonstração do Teorema de Pitágoras", observas-te como se enuncia o teorema. Agora vais ver vários exemplos de aplicações do mesmo e em seguida, irás resolver alguns exercícios propostos numa ficha.  Exemplo 1:  Sendo a,b e c as medidas dos comprimentos dos lados de um triângulo, indica, justificando, aqueles que são rectângulos:  a) a = 6; b = 7 e c = 13;  b) a = 6; b = 10 e c = 8.   
  • 16. Resolução: "Se num triângulo as medidas dos seus lados verificarem o Teorema de Pitágoras então pode-se concluir que o triângulo é rectângulo". Então teremos que verificar para cada alínea se as medidas dos lados dos triângulos satisfazem ou não o Teorema de Pitágoras. a) logo o triângulo não é rectângulo porque não satisfaz o Teorema de Pitágoras. b) logo o triângulo é rectângulo porque satisfaz o Teorema de Pitágoras.
  • 17. Exemplo 2: Calcula o valor de x em cada um dos triângulos rectângulos: a) b) Resolução: a) Aplicando o Teorema de Pitágoras temos:
  • 18. b) Aplicando o Teorema de Pitágoras temos: Exemplo 3: Calcule as áreas das seguintes figuras. a) b)
  • 20. Exemplo 4:  a) Qual era a altura do poste? a) Resolução: h=4+5=9 Resposta: A altura do poste era de 9 m.  
  • 21.  b) Qual é a distância percorrida pelo berlinde?  Resolução:    Resposta: A distância percorrida pelo berlinde é de: 265 cm = 2,65 m.
  • 22. Exercício 5:  O Pedro e o João estão a «andar» de balancé, como indica a figura:   A altura máxima a que pode subir cada um dos amigos é de 60 cm. Qual o comprimento do balancé?  
  • 23.  Resolução do exercício 5:  Pode-se aplicar o Teorema de Pitágoras, pois a linha a tracejado forma um ângulo de 90 graus com a "linha" do chão.  Então vem:  1,8 m = 180 cm {   Resposta: O comprimento do balancé é de aproximadamente 190 cm, isto é, 1,9 m.
  • 24.  Exercício 6:  A figura representa um barco à vela.  6.1.) Determina, de acordo com os dados da figura, os valores de x e y.
  • 25. Resolução do exercício 6: 6.1.) Aplicando o Teorema de Pitágoras, temos: