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1
Ângulos e triângulos
por Paulo Moreira
2
Ângulos verticalmente opostos
Na intersecção de duas rectas formam-se
dois pares de ângulos verticalmente
opostos
Dois ângulos verticalmente
opostos têm o mesmo vértice
e os lados de um estão no
prolongamento dos lados do
outro.
Dois ângulos verticalmente
opostos são
geometricamente iguais (têm
a mesma amplitude).
a
d
c
b
3
Ângulos complementares
Quando a soma das amplitudes de dois
ângulos é igual a 90º, dizemos que os
ângulos são complementares.
  0
90BOA COB  
4
Ângulos suplementares
Quando a soma das amplitudes de dois
ângulos é igual a 180º, dizemos que os
ângulos são suplementares.
  0
180BOCAOB  
5
Ângulos de lados paralelos
Na figura, estão representados ângulos de
lados paralelos: a e b (agudos) ou c e d
(obtusos).
  0
180a c 
a b
  0
180b d 
c d
Dois ângulos de lados paralelos:
Se forem ambos agudos ou ambos obtusos são
iguais.
Se um for obtuso e o outro agudo são suplementares.
a
d
c
b
6
Exemplo
Observa
a figura.
Indica um par de:
1. ângulos suplementares.
2. ângulos complementares.
3. ângulos verticalmente opostos.
4. ângulos com lados paralelos.
: eR c d
: eR g h
: eR e f
: eR a b
7
Soma dos ângulos internos de um triângulo
Actividade 1 – (em grupo)
1. Desenha um triângulo qualquer e mede, com
rigor, os ângulos internos.
8
Soma dos ângulos internos de um triângulo
Actividade 1 – (em grupo)
2. Completa a tabela seguinte com os valores
encontrados nos diferentes triângulos
desenhados, no grupo.
3. O valor obtido para a soma das amplitudes dos
ângulos internos do triângulo depende do
tamanho ou depende da forma?
Soma das
amplitudes
79º 59º 42º 180º
73º 67º 40º 180º
46º 102º 32º 180º
Amplitude dos ângulos
internos
Exemplo
9
Soma dos ângulos internos de um triângulo
Actividade 1 – (em grupo)
4. Que conclusão podemos tirar em relação à
soma das amplitudes dos ângulos internos de
um triângulo?
A soma das amplitudes dos ângulos internos de um
triângulo é 180º.
Vamos provar esta afirmação.
10
Soma dos ângulos internos de um triângulo
A soma das amplitudes dos ângulos internos de um
triângulo é 180º.
Consideremos o triângulo [ABC].
Por C traçamos a recta DE paralela
a AB (DE // AB).
Logo,
como queríamos provar.
    0
180DCA ACB ECB ECD   
   0
180CAB ACB CBA  
 180ºECD , pois é um ângulo raso. 
 CAB DCA, pois são ângulos
agudos de lados paralelos.
 
 CBA ECB, pois são ângulos
agudos de lados paralelos.
 
ou seja,
11
Ângulo externo de um triângulo
A amplitude de uma ângulo externo de um triângulo
é igual à soma das amplitudes dos ângulos internos
não adjacentes.
Na Actividade 2 verificamos que
Nota: Ângulos adjacentes
AOB e BOC são ângulos adjacentes:
têm o mesmo vértice;
  
•
• têmumlado comum que os separa;
12
Ângulo externo de um triângulo
Também,
Como a e d são ângulos suplementares:
  0
180a d 
d é um ângulo externo do triângulo.
   0
180a b c  
Logo,   .d b c  
a
d
c
b
Na Actividade 2 verificamos que
A amplitude de uma ângulo externo de um triângulo
é igual à soma das amplitudes dos ângulos internos
não adjacentes.
No triângulo:
 0
180d a  
  0
180b c a   
d

13
Aplica o que aprendeste…
Utilizando os dados da figura,
Calcula:
a) a amplitude de cada um dos
ângulos internos do
triângulo .
b) a soma dos ângulos externos
do triângulo.
 ABC

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Angulos e Triângulos

  • 2. 2 Ângulos verticalmente opostos Na intersecção de duas rectas formam-se dois pares de ângulos verticalmente opostos Dois ângulos verticalmente opostos têm o mesmo vértice e os lados de um estão no prolongamento dos lados do outro. Dois ângulos verticalmente opostos são geometricamente iguais (têm a mesma amplitude). a d c b
  • 3. 3 Ângulos complementares Quando a soma das amplitudes de dois ângulos é igual a 90º, dizemos que os ângulos são complementares.   0 90BOA COB  
  • 4. 4 Ângulos suplementares Quando a soma das amplitudes de dois ângulos é igual a 180º, dizemos que os ângulos são suplementares.   0 180BOCAOB  
  • 5. 5 Ângulos de lados paralelos Na figura, estão representados ângulos de lados paralelos: a e b (agudos) ou c e d (obtusos).   0 180a c  a b   0 180b d  c d Dois ângulos de lados paralelos: Se forem ambos agudos ou ambos obtusos são iguais. Se um for obtuso e o outro agudo são suplementares. a d c b
  • 6. 6 Exemplo Observa a figura. Indica um par de: 1. ângulos suplementares. 2. ângulos complementares. 3. ângulos verticalmente opostos. 4. ângulos com lados paralelos. : eR c d : eR g h : eR e f : eR a b
  • 7. 7 Soma dos ângulos internos de um triângulo Actividade 1 – (em grupo) 1. Desenha um triângulo qualquer e mede, com rigor, os ângulos internos.
  • 8. 8 Soma dos ângulos internos de um triângulo Actividade 1 – (em grupo) 2. Completa a tabela seguinte com os valores encontrados nos diferentes triângulos desenhados, no grupo. 3. O valor obtido para a soma das amplitudes dos ângulos internos do triângulo depende do tamanho ou depende da forma? Soma das amplitudes 79º 59º 42º 180º 73º 67º 40º 180º 46º 102º 32º 180º Amplitude dos ângulos internos Exemplo
  • 9. 9 Soma dos ângulos internos de um triângulo Actividade 1 – (em grupo) 4. Que conclusão podemos tirar em relação à soma das amplitudes dos ângulos internos de um triângulo? A soma das amplitudes dos ângulos internos de um triângulo é 180º. Vamos provar esta afirmação.
  • 10. 10 Soma dos ângulos internos de um triângulo A soma das amplitudes dos ângulos internos de um triângulo é 180º. Consideremos o triângulo [ABC]. Por C traçamos a recta DE paralela a AB (DE // AB). Logo, como queríamos provar.     0 180DCA ACB ECB ECD       0 180CAB ACB CBA    180ºECD , pois é um ângulo raso.   CAB DCA, pois são ângulos agudos de lados paralelos.    CBA ECB, pois são ângulos agudos de lados paralelos.   ou seja,
  • 11. 11 Ângulo externo de um triângulo A amplitude de uma ângulo externo de um triângulo é igual à soma das amplitudes dos ângulos internos não adjacentes. Na Actividade 2 verificamos que Nota: Ângulos adjacentes AOB e BOC são ângulos adjacentes: têm o mesmo vértice;    • • têmumlado comum que os separa;
  • 12. 12 Ângulo externo de um triângulo Também, Como a e d são ângulos suplementares:   0 180a d  d é um ângulo externo do triângulo.    0 180a b c   Logo,   .d b c   a d c b Na Actividade 2 verificamos que A amplitude de uma ângulo externo de um triângulo é igual à soma das amplitudes dos ângulos internos não adjacentes. No triângulo:  0 180d a     0 180b c a    d 
  • 13. 13 Aplica o que aprendeste… Utilizando os dados da figura, Calcula: a) a amplitude de cada um dos ângulos internos do triângulo . b) a soma dos ângulos externos do triângulo.  ABC