Este documento apresenta um resumo sobre o conceito de centro de gravidade de figuras geométricas planas. A introdução teórica discute aspectos históricos do conceito com menções a Arquimedes, Heron, Papus, Eutócio e Simplício. A parte experimental apresenta um método para determinar experimentalmente o centro de gravidade de figuras geométricas planas usando um fio de prumo em uma haste metálica.
1) Uma barra prismática de aço está solicitada por uma força axial de tração. Calcula-se a tensão normal na barra, o alongamento e a variação do diâmetro.
2) Calcula-se a deformação linear específica de um elástico quando esticado em torno de um poste.
3) Calcula-se a tensão normal, variação do comprimento e diâmetro de uma barra sob tensão axial, dados os valores experimentais de deformação. Também se calcula o volume final da barra.
O documento apresenta vários problemas de engenharia civil e mecânica que envolvem cálculos de tensões, deformações e dimensões de estruturas sob cargas. As questões abordam tópicos como determinação de tensões axiais e cisalhantes em seções transversais, cálculo de diâmetros de barras e aços sob cargas, análise de deformações elásticas e plásticas em estruturas sob solicitações estáticas e diagramas tensão-deformação para caracterização de materiais.
Este documento apresenta 15 exercícios sobre deformações e tensões em sólidos causadas por cargas mecânicas e variações de temperatura. Os exercícios envolvem determinar deslocamentos, tensões, dimensões de seções transversais e forças em estruturas compostas por diferentes materiais como aço, alumínio e cobre sob diversas condições de carregamento.
1. O documento apresenta 9 exercícios de engenharia sobre cálculos de resistência de materiais envolvendo cargas axiais em colunas, eixos e barras de aço, alumínio e concreto armado. Os exercícios solicitam determinar deslocamentos, tensões, diâmetros necessários e cargas aplicadas nos diferentes casos.
As tensões normal e de cisalhamento na arruela são calculadas. O diâmetro necessário é de 5-1/2 polegadas e a espessura necessária é de 1/2 polegada para que as tensões não ultrapassem os limites admissíveis.
Este documento fornece um resumo do livro "Resistência dos Materiais" de Manoel Henrique Campos Botelho. O livro discute conceitos fundamentais de resistência de materiais em 248 páginas, abordando tópicos como esforços em estruturas, deformações, tipos de apoio, flexão e outros.
O documento apresenta vários problemas de engenharia civil e mecânica que envolvem cálculos de tensões, deformações e dimensões de estruturas sob cargas. As questões abordam tópicos como determinação de tensões axiais e cisalhantes em seções transversais, cálculo de diâmetros de barras e aços sob cargas, análise de deformações elásticas e plásticas em estruturas.
Nbr 14762 dimensionamento de estruturas de aço perfis formados a frioejfelix
Este documento apresenta a Norma Brasileira NBR 14762, que estabelece os princípios para o dimensionamento de estruturas de aço constituídas por perfis formados a frio. A norma descreve procedimentos para análise estrutural, dimensionamento de barras e ligações, e requisitos para materiais e projeto.
1) Uma barra prismática de aço está solicitada por uma força axial de tração. Calcula-se a tensão normal na barra, o alongamento e a variação do diâmetro.
2) Calcula-se a deformação linear específica de um elástico quando esticado em torno de um poste.
3) Calcula-se a tensão normal, variação do comprimento e diâmetro de uma barra sob tensão axial, dados os valores experimentais de deformação. Também se calcula o volume final da barra.
O documento apresenta vários problemas de engenharia civil e mecânica que envolvem cálculos de tensões, deformações e dimensões de estruturas sob cargas. As questões abordam tópicos como determinação de tensões axiais e cisalhantes em seções transversais, cálculo de diâmetros de barras e aços sob cargas, análise de deformações elásticas e plásticas em estruturas sob solicitações estáticas e diagramas tensão-deformação para caracterização de materiais.
Este documento apresenta 15 exercícios sobre deformações e tensões em sólidos causadas por cargas mecânicas e variações de temperatura. Os exercícios envolvem determinar deslocamentos, tensões, dimensões de seções transversais e forças em estruturas compostas por diferentes materiais como aço, alumínio e cobre sob diversas condições de carregamento.
1. O documento apresenta 9 exercícios de engenharia sobre cálculos de resistência de materiais envolvendo cargas axiais em colunas, eixos e barras de aço, alumínio e concreto armado. Os exercícios solicitam determinar deslocamentos, tensões, diâmetros necessários e cargas aplicadas nos diferentes casos.
As tensões normal e de cisalhamento na arruela são calculadas. O diâmetro necessário é de 5-1/2 polegadas e a espessura necessária é de 1/2 polegada para que as tensões não ultrapassem os limites admissíveis.
Este documento fornece um resumo do livro "Resistência dos Materiais" de Manoel Henrique Campos Botelho. O livro discute conceitos fundamentais de resistência de materiais em 248 páginas, abordando tópicos como esforços em estruturas, deformações, tipos de apoio, flexão e outros.
O documento apresenta vários problemas de engenharia civil e mecânica que envolvem cálculos de tensões, deformações e dimensões de estruturas sob cargas. As questões abordam tópicos como determinação de tensões axiais e cisalhantes em seções transversais, cálculo de diâmetros de barras e aços sob cargas, análise de deformações elásticas e plásticas em estruturas.
Nbr 14762 dimensionamento de estruturas de aço perfis formados a frioejfelix
Este documento apresenta a Norma Brasileira NBR 14762, que estabelece os princípios para o dimensionamento de estruturas de aço constituídas por perfis formados a frio. A norma descreve procedimentos para análise estrutural, dimensionamento de barras e ligações, e requisitos para materiais e projeto.
O documento apresenta notas de aula sobre resistência dos materiais. No capítulo 1, é feita uma introdução ao assunto com revisão de estática e vigas prismáticas. O capítulo 2 trata sobre forças e tensões, definindo conceitos como tensão, tensão admissível, tensão última e coeficiente de segurança. Exemplos ilustram os principais tipos de solicitações em estruturas.
Resistência dos materiais r. c. hibbelerMeireles01
1. O documento apresenta o livro "Resistência dos Materiais" de Russell Hibbeler na 7a edição em português.
2. A obra aborda os principais tópicos da resistência dos materiais ao longo de 14 capítulos, incluindo tensão, deformação, propriedades de materiais, carga axial, torção, flexão e cisalhamento.
3. O prefácio destaca melhorias nesta edição como novas seções de revisão, ilustrações aprimoradas e revisão dos problemas.
O documento apresenta uma aula sobre determinação dos esforços solicitantes em estruturas isostáticas. Aborda conceitos como análise estrutural, classificação de elementos e sistemas estruturais, vinculação de sistemas lineares planos, equações de equilíbrio para sistemas isostáticos e determinação dos esforços normais, cortantes e momentos fletores.
O documento apresenta os conceitos fundamentais da disciplina de Mecânica Técnica. É introduzido o curso, o professor, as unidades do Sistema Internacional e os principais tópicos a serem abordados, incluindo definição de mecânica, grandezas físicas, equilíbrio de corpos rígidos e bibliografia recomendada.
O documento discute padrões e normas para desenhos técnicos mecânicos, incluindo formatos de folhas padrão, margens, legendas, dobragem e tipos de linhas. Também aborda caligrafia técnica para escrita em desenhos.
Resmat ii material de aula com exercicios da av1 até av2Douglas Alves
Este documento apresenta os conceitos de centróide e momento de inércia de superfícies planas. Explica como calcular as coordenadas x e y do centróide de uma área dividindo-a em partes de geometria simples e aplicando as fórmulas apropriadas. Também fornece exemplos numéricos de cálculo do centróide para diferentes configurações de áreas.
1) A tabela apresenta fórmulas para calcular deflexões angulares, reações e momentos em vigas isostáticas e hiperestáticas sob diferentes carregamentos.
2) Para vigas isostáticas, fornece expressões para flecha máxima e deflexões angulares nos apoios sob carga pontual, uniforme e momento.
3) Para vigas hiperestáticas, lista valores de reações e momentos máximos sob mesma variedade de carregamentos.
1. O documento descreve o processo de realização de um ensaio de compressão em corpos de prova de concreto produzidos em laboratório, incluindo a preparação dos materiais, produção do concreto, cura dos corpos de prova e realização do ensaio mecânico.
2. Os resultados do ensaio mostraram que a resistência à compressão do concreto aumentou com o tempo de cura, atingindo valores entre 21,5 e 28 MPa.
3. As conclusões indicam que o processo de produção do concreto foi satisfat
Lista de exercícios flexão em vigas compostas mecânica dos sólidos iiDiego Alves
Este documento apresenta uma lista de exercícios sobre flexão em vigas compostas e armadas. Os exercícios envolvem determinar tensões máximas, momentos máximos e cargas suportadas considerando propriedades materiais e tensões admissíveis para diferentes materiais como alumínio, latão, aço e concreto. Desenhos de seções transversais são fornecidos para auxiliar na resolução dos exercícios.
1. O documento discute cisalhamento transversal em vigas, apresentando a relação entre esforço cortante e tensão cisalhante.
2. Apresenta a fórmula para calcular tensão cisalhante em seções retangulares e suas limitações.
3. Inclui dois exemplos numéricos ilustrando cálculos de momento de inércia, momento estático, esforço cortante e tensão cisalhante em pontos de vigas.
otimo pra estudo em fisica pra enem e tarefa de casacom resoluçõ de exercicios comentado de varios assunto de fisica de primeiro e seguindo ano e terceiro ano de fisica ensino medio do positivo com ,br
O documento lista exercícios resolvidos de um livro de Hidráulica Básica, com problemas dos capítulos 2 a 9 e 12. A maioria dos exercícios envolve cálculos de perda de carga, velocidade e vazão em tubulações.
This document provides formulas for calculating the centroids and areas of various geometric shapes including triangles, circles, semicircles, quarter circles, ellipses, parabolas, arcs, and sectors. The formulas give the x and y coordinates of the centroid and expressions for calculating the area of each shape based on parameters like side lengths, radii, angles, etc. Formulas are provided for basic as well as composite shapes formed by combining geometric elements.
Os 10 exercícios apresentam problemas de estruturas isostáticas sujeitas a cargas distribuídas e concentradas. Os resumos fornecem as etapas de transformar cargas distribuídas em concentradas, calcular as forças resultantes, equilíbrio de forças e momentos, e determinar as forças desconhecidas.
Solução listaexercicios 1º bimestre_2-2016_concretoiiroger forte
Este documento apresenta três exercícios de dimensionamento de vigas de concreto armado. O primeiro exercício determina a armadura necessária para uma viga retangular submetida a momento fletor. O segundo exercício calcula a armadura para uma viga biapoiada sob dois carregamentos diferentes. O terceiro exercício dimensiona a armadura de uma viga apoiada em uma extremidade e engastada na outra.
Este documento resume os principais aspectos do projeto e representação de vigas de concreto armado, incluindo o dimensionamento à flexão e cisalhamento, diagrama de esforços, detalhamento da armação e desenho de fôrmas. É explicado que vigas biapoiadas suportam momento fletor máximo no centro e vigas contínuas requerem armadura adicional para atender ao momento positivo e negativo.
O documento discute o conceito de torção em materiais. Aborda a deformação por torção de eixos circulares e não circulares, a fórmula da torção, a tensão de cisalhamento máxima, o ângulo de torção, tubos de parede fina e concentração de tensão por torção. Inclui exemplos ilustrativos para aplicar os conceitos discutidos.
O documento discute conceitos estatísticos para análise de resultados experimentais, incluindo:
1) Erros sistemáticos, acidentais e semi-acidentais em medições;
2) Curvas de distribuição de erros para determinar valores prováveis;
3) Incerteza absoluta calculada a partir da precisão dos instrumentos ou de medidas repetidas.
O documento apresenta 38 tabelas com fórmulas para calcular deslocamentos e momentos de vigas sob diferentes configurações de apoio e carregamento. As tabelas fornecem equações analíticas para flecha, deslocamentos nos apoios e momentos de engastamento perfeito em função dos parâmetros geométricos e de carregamento da viga.
O documento discute o fenômeno da flambagem em barras sob carga axial. Apresenta a fórmula de Euler para calcular a carga crítica de flambagem e discute como o comprimento efetivo da barra depende das condições de apoio. Fornece exemplos numéricos de cálculo da carga crítica para diferentes configurações estruturais.
1. O documento apresenta um resumo de tópicos de física clássica e eletromagnetismo.
2. Inclui capítulos sobre mecânica clássica, eletrostática, eletromagnetismo, fenómenos periódicos e circuitos em corrente alternada.
3. Contém também 27 problemas resolvidos como exemplos de aplicação dos conceitos teóricos.
O documento discute conceitos como baricentro, centro de massa e centro geométrico. Explica que o baricentro é o ponto onde uma linha divide a figura em duas partes com momentos de massa iguais e representa o centro de gravidade. Já o centro de massa é definido como o ponto onde a massa de um corpo parece estar concentrada. Por fim, apresenta que o centro geométrico de um triângulo é o ponto de interseção das suas bissetrizes internas.
O documento apresenta notas de aula sobre resistência dos materiais. No capítulo 1, é feita uma introdução ao assunto com revisão de estática e vigas prismáticas. O capítulo 2 trata sobre forças e tensões, definindo conceitos como tensão, tensão admissível, tensão última e coeficiente de segurança. Exemplos ilustram os principais tipos de solicitações em estruturas.
Resistência dos materiais r. c. hibbelerMeireles01
1. O documento apresenta o livro "Resistência dos Materiais" de Russell Hibbeler na 7a edição em português.
2. A obra aborda os principais tópicos da resistência dos materiais ao longo de 14 capítulos, incluindo tensão, deformação, propriedades de materiais, carga axial, torção, flexão e cisalhamento.
3. O prefácio destaca melhorias nesta edição como novas seções de revisão, ilustrações aprimoradas e revisão dos problemas.
O documento apresenta uma aula sobre determinação dos esforços solicitantes em estruturas isostáticas. Aborda conceitos como análise estrutural, classificação de elementos e sistemas estruturais, vinculação de sistemas lineares planos, equações de equilíbrio para sistemas isostáticos e determinação dos esforços normais, cortantes e momentos fletores.
O documento apresenta os conceitos fundamentais da disciplina de Mecânica Técnica. É introduzido o curso, o professor, as unidades do Sistema Internacional e os principais tópicos a serem abordados, incluindo definição de mecânica, grandezas físicas, equilíbrio de corpos rígidos e bibliografia recomendada.
O documento discute padrões e normas para desenhos técnicos mecânicos, incluindo formatos de folhas padrão, margens, legendas, dobragem e tipos de linhas. Também aborda caligrafia técnica para escrita em desenhos.
Resmat ii material de aula com exercicios da av1 até av2Douglas Alves
Este documento apresenta os conceitos de centróide e momento de inércia de superfícies planas. Explica como calcular as coordenadas x e y do centróide de uma área dividindo-a em partes de geometria simples e aplicando as fórmulas apropriadas. Também fornece exemplos numéricos de cálculo do centróide para diferentes configurações de áreas.
1) A tabela apresenta fórmulas para calcular deflexões angulares, reações e momentos em vigas isostáticas e hiperestáticas sob diferentes carregamentos.
2) Para vigas isostáticas, fornece expressões para flecha máxima e deflexões angulares nos apoios sob carga pontual, uniforme e momento.
3) Para vigas hiperestáticas, lista valores de reações e momentos máximos sob mesma variedade de carregamentos.
1. O documento descreve o processo de realização de um ensaio de compressão em corpos de prova de concreto produzidos em laboratório, incluindo a preparação dos materiais, produção do concreto, cura dos corpos de prova e realização do ensaio mecânico.
2. Os resultados do ensaio mostraram que a resistência à compressão do concreto aumentou com o tempo de cura, atingindo valores entre 21,5 e 28 MPa.
3. As conclusões indicam que o processo de produção do concreto foi satisfat
Lista de exercícios flexão em vigas compostas mecânica dos sólidos iiDiego Alves
Este documento apresenta uma lista de exercícios sobre flexão em vigas compostas e armadas. Os exercícios envolvem determinar tensões máximas, momentos máximos e cargas suportadas considerando propriedades materiais e tensões admissíveis para diferentes materiais como alumínio, latão, aço e concreto. Desenhos de seções transversais são fornecidos para auxiliar na resolução dos exercícios.
1. O documento discute cisalhamento transversal em vigas, apresentando a relação entre esforço cortante e tensão cisalhante.
2. Apresenta a fórmula para calcular tensão cisalhante em seções retangulares e suas limitações.
3. Inclui dois exemplos numéricos ilustrando cálculos de momento de inércia, momento estático, esforço cortante e tensão cisalhante em pontos de vigas.
otimo pra estudo em fisica pra enem e tarefa de casacom resoluçõ de exercicios comentado de varios assunto de fisica de primeiro e seguindo ano e terceiro ano de fisica ensino medio do positivo com ,br
O documento lista exercícios resolvidos de um livro de Hidráulica Básica, com problemas dos capítulos 2 a 9 e 12. A maioria dos exercícios envolve cálculos de perda de carga, velocidade e vazão em tubulações.
This document provides formulas for calculating the centroids and areas of various geometric shapes including triangles, circles, semicircles, quarter circles, ellipses, parabolas, arcs, and sectors. The formulas give the x and y coordinates of the centroid and expressions for calculating the area of each shape based on parameters like side lengths, radii, angles, etc. Formulas are provided for basic as well as composite shapes formed by combining geometric elements.
Os 10 exercícios apresentam problemas de estruturas isostáticas sujeitas a cargas distribuídas e concentradas. Os resumos fornecem as etapas de transformar cargas distribuídas em concentradas, calcular as forças resultantes, equilíbrio de forças e momentos, e determinar as forças desconhecidas.
Solução listaexercicios 1º bimestre_2-2016_concretoiiroger forte
Este documento apresenta três exercícios de dimensionamento de vigas de concreto armado. O primeiro exercício determina a armadura necessária para uma viga retangular submetida a momento fletor. O segundo exercício calcula a armadura para uma viga biapoiada sob dois carregamentos diferentes. O terceiro exercício dimensiona a armadura de uma viga apoiada em uma extremidade e engastada na outra.
Este documento resume os principais aspectos do projeto e representação de vigas de concreto armado, incluindo o dimensionamento à flexão e cisalhamento, diagrama de esforços, detalhamento da armação e desenho de fôrmas. É explicado que vigas biapoiadas suportam momento fletor máximo no centro e vigas contínuas requerem armadura adicional para atender ao momento positivo e negativo.
O documento discute o conceito de torção em materiais. Aborda a deformação por torção de eixos circulares e não circulares, a fórmula da torção, a tensão de cisalhamento máxima, o ângulo de torção, tubos de parede fina e concentração de tensão por torção. Inclui exemplos ilustrativos para aplicar os conceitos discutidos.
O documento discute conceitos estatísticos para análise de resultados experimentais, incluindo:
1) Erros sistemáticos, acidentais e semi-acidentais em medições;
2) Curvas de distribuição de erros para determinar valores prováveis;
3) Incerteza absoluta calculada a partir da precisão dos instrumentos ou de medidas repetidas.
O documento apresenta 38 tabelas com fórmulas para calcular deslocamentos e momentos de vigas sob diferentes configurações de apoio e carregamento. As tabelas fornecem equações analíticas para flecha, deslocamentos nos apoios e momentos de engastamento perfeito em função dos parâmetros geométricos e de carregamento da viga.
O documento discute o fenômeno da flambagem em barras sob carga axial. Apresenta a fórmula de Euler para calcular a carga crítica de flambagem e discute como o comprimento efetivo da barra depende das condições de apoio. Fornece exemplos numéricos de cálculo da carga crítica para diferentes configurações estruturais.
1. O documento apresenta um resumo de tópicos de física clássica e eletromagnetismo.
2. Inclui capítulos sobre mecânica clássica, eletrostática, eletromagnetismo, fenómenos periódicos e circuitos em corrente alternada.
3. Contém também 27 problemas resolvidos como exemplos de aplicação dos conceitos teóricos.
O documento discute conceitos como baricentro, centro de massa e centro geométrico. Explica que o baricentro é o ponto onde uma linha divide a figura em duas partes com momentos de massa iguais e representa o centro de gravidade. Já o centro de massa é definido como o ponto onde a massa de um corpo parece estar concentrada. Por fim, apresenta que o centro geométrico de um triângulo é o ponto de interseção das suas bissetrizes internas.
Este documento apresenta exercícios sobre triângulos, quadriláteros e simetrias para alunos do 6o ano. Inclui instruções para construir e classificar triângulos com base em medidas de lados e ângulos, identificar polígonos regulares e irregulares, e analisar propriedades como eixos de simetria.
O documento resume a biografia do matemático Joseph Louis Lagrange, incluindo seus principais trabalhos e realizações. Em destaque, sua obra Méchanique analytique de 1788, na qual ele transformou a mecânica em um ramo da análise matemática usando equações diferenciais, e seu Teorema do Valor Médio, que afirma a existência de um ponto onde a derivada de uma função é igual à sua variação média.
O documento discute como as medianas de qualquer triângulo se interceptam em um ponto chamado baricentro. Ele mostra graficamente como traçar as medianas de um triângulo ABC e como elas se encontram em um único ponto dentro do triângulo, definindo o baricentro.
Tópicos de Física Geral e Experimental - IDeo Ramos
O documento descreve os principais filósofos gregos e suas contribuições para o nascimento da física, incluindo Demócrito, Aristóteles, Arquimedes e Pitágoras. Pitágoras desenvolveu a lei das cordas, que relaciona a frequência de vibração de uma corda com seu comprimento, e Arquimedes formulou as leis das alavancas e dos corpos flutuantes.
Quem foi ptlomeu e quais suas contribuições à trigonometria isabelrorig
Cláudio Ptolomeu foi um astrônomo e geógrafo egípcio do século II d.C. que defendeu o modelo geocêntrico do universo e escreveu a obra Almagesto, na qual sintetizou os conhecimentos astronômicos da época e apresentou cálculos e tabelas que serviram de base para a astronomia por séculos. A Igreja Católica adotou suas ideias durante a Idade Média.
Quem foi ptlomeu e quais suas contribuições à trigonometria isabelrorig
Cláudio Ptolomeu foi um astrônomo e geógrafo egípcio do século II d.C. que defendeu o modelo geocêntrico do universo e escreveu a obra Almagesto, na qual sintetizou os conhecimentos astronômicos da época e apresentou cálculos e tabelas que serviram de base para a astronomia por mais de mil anos.
O documento introduz os conceitos fundamentais de vetores e operações com vetores. Apresenta a definição formal de vetor como uma classe de equipolência de segmentos orientados e define as noções de módulo, direção e sentido de um vetor. Descreve as principais operações com vetores - adição, subtração e multiplicação por escalar - utilizando os métodos da poligonal e do paralelogramo.
Cap. 1. calculo vetorial e geometria analíticaDuke Wdealmei
O documento introduz os conceitos fundamentais de vetores e cálculo vetorial, incluindo:
1) A definição de vetor como uma classe de equipolência de segmentos orientados, caracterizado por módulo, direção e sentido.
2) As operações básicas com vetores, principalmente a adição vetorial através do método da poligonal.
3) Exemplos ilustrativos de como representar vetores geometricamente e realizar operações com eles.
O documento descreve as seções cônicas (elipses, hipérboles e parábolas) e seu estudo ao longo da história, especialmente por matemáticos dos séculos XVII e XVIII. Kepler, Halley e Galileu usaram essas curvas para descrever órbitas planetárias e movimento de projéteis. Determinantes foram desenvolvidos para resolver sistemas de equações e determinar equações de curvas passando por pontos dados.
1) O documento discute o conceito de flambagem em colunas sob carga compressiva.
2) A carga crítica é calculada usando a equação de Euler e depende do módulo de elasticidade, comprimento e momento de inércia da seção transversal da coluna.
3) Um exemplo calcula a carga máxima que uma peça cilíndrica pode suportar antes de flambar com apoios de pino nas extremidades.
O documento discute três tipos de transformações geométricas na reta: translação, simetria central e homotetia. A translação é uma transformação que conserva distâncias, enquanto a composição de simetrias resulta em uma translação. A homotetia é outro tipo de transformação afim na reta.
Tales de Mileto foi um importante filósofo, matemático e astrônomo grego do século VI a.C. que realizou várias descobertas fundamentais em geometria, como a igualdade de ângulos opostos e a proporcionalidade em triângulos semelhantes. Ele também desenvolveu métodos para medir distâncias e alturas que ainda são úteis. Sua abordagem lógica e dedutiva para a matemática influenciou grandemente o desenvolvimento posterior da ciência.
Este documento descreve um experimento para medir a aceleração da gravidade usando duas esferas de massas diferentes largadas de diferentes alturas. Os resultados mostraram que a aceleração da gravidade é independente da massa do corpo e da altura, com valores médios de aproximadamente 9,7-9,8 m/s2, próximos ao valor esperado de 9,8 m/s2.
O documento descreve a vida e obra de Euclides, um matemático grego do século IV a.C. considerado o "pai da geometria". Ele é mais conhecido por seu livro "Os Elementos", que foi por séculos o texto de referência para o ensino da matemática e um dos livros mais publicados no mundo.
1) O documento discute conceitos básicos de geometria como pontos, retas e planos e suas relações de incidência.
2) São apresentadas propriedades intuitivas destas entidades geométricas, como a existência de uma única reta passando por dois pontos distintos.
3) Exemplos e exercícios são fornecidos para ilustrar e aplicar estes conceitos fundamentais.
CÁLCULO VETORIAL Apostila completa de cvgaAndré Pinto
Este documento apresenta o plano de ensino para a disciplina de Cálculo Vetorial e Geometria Analítica. O curso introduz conceitos de vetores no espaço tridimensional e suas aplicações para resolução de problemas geométricos. As principais unidades temáticas são: vetores, retas e planos, e cônicas e quádricas.
Este documento apresenta o conteúdo do curso de Cálculo Vetorial e Geometria Analítica, incluindo: (1) introdução aos conceitos de vetores, retas e planos; (2) objetivos de aprendizagem sobre operações com vetores e suas aplicações geométricas; (3) estrutura do curso organizado em três unidades temáticas integradas.
Souza, sérgio de a. calculo vetorial e geometria analíticaDuke Wdealmei
Este documento apresenta o conteúdo do curso de Cálculo Vetorial e Geometria Analítica, incluindo informações sobre o professor, carga horária, objetivos, projeto da disciplina e unidades temáticas. O curso irá introduzir conceitos de vetores no espaço tridimensional e suas aplicações para resolução de problemas geométricos.
O documento discute as seções cônicas, curvas planas obtidas da interseção de um plano com um cone de revolução. Apresenta breve histórico sobre o estudo destas curvas desde a Grécia Antiga, destacando contribuições de Arquimedes, Apolônio, Galileu e Newton. Em seguida, define e apresenta as equações das principais seções cônicas: elipse, hipérbole, parábola e circunferência.
Este documento discute os fundamentos da Teoria da Relatividade de Einstein. Ele apresenta exemplos para ilustrar conceitos como sistemas de coordenadas, princípio da relatividade e constância da velocidade da luz. O autor argumenta que a lei da propagação da luz em velocidade constante parece entrar em conflito com o princípio da relatividade, levando a um dilema fundamental na física teórica da época.
Este documento apresenta um estudo teórico e experimental sobre as velocidades teóricas e experimentais de uma esfera ao rolar em um plano inclinado. Analisa a comparação entre as velocidades finais teórica e experimental e o ângulo limite a partir do qual ocorre o rolamento puro. Faz isso variando a altura e o ângulo do plano inclinado para encontrar as velocidades e o ângulo limite do deslocamento puro.
O documento descreve os conceitos de pressão, carga e linha de carga em sistemas hidráulicos. Explica que a pressão de um ponto depende da altura da coluna d'água acima desse ponto e é medida em quilopascals (kPa). A carga total de uma partícula de água é a soma da carga potencial, carga piezométrica e carga cinética. A linha de carga representa a carga total ao longo de uma tubulação.
Tales de Mileto foi um filósofo, astrônomo e matemático grego do século VI a.C. considerado o fundador da geometria demonstrativa. Ele fez descobertas fundamentais em matemática, como o teorema de que ângulos opostos pelo vértice são iguais e métodos para calcular a altura de pirâmides e distância de navios. Suas ideias deram início à sistematização da matemática pelos gregos a partir dos conhecimentos egípcios e babilônicos.
Este documento descreve um curso sobre cálculo vetorial e geometria analítica. Apresenta os objetivos do curso, a estrutura em unidades temáticas, e fornece uma descrição detalhada da primeira unidade sobre vetores, incluindo definições de segmentos orientados, norma, direção, sentido e operações elementares com vetores.
AE03 - ESTUDO CONTEMPORÂNEO E TRANSVERSAL ENGENHARIA DA SUSTENTABILIDADE UNIC...Consultoria Acadêmica
Os termos "sustentabilidade" e "desenvolvimento sustentável" só ganharam repercussão mundial com a realização da Conferência das Nações Unidas sobre o Meio Ambiente e o Desenvolvimento (CNUMAD), conhecida como Rio 92. O encontro reuniu 179 representantes de países e estabeleceu de vez a pauta ambiental no cenário mundial. Outra mudança de paradigma foi a responsabilidade que os países desenvolvidos têm para um planeta mais sustentável, como planos de redução da emissão de poluentes e investimento de recursos para que os países pobres degradem menos. Atualmente, os termos
"sustentabilidade" e "desenvolvimento sustentável" fazem parte da agenda e do compromisso de todos os países e organizações que pensam no futuro e estão preocupados com a preservação da vida dos seres vivos.
Elaborado pelo professor, 2023.
Diante do contexto apresentado, assinale a alternativa correta sobre a definição de desenvolvimento sustentável:
ALTERNATIVAS
Desenvolvimento sustentável é o desenvolvimento que não esgota os recursos para o futuro.
Desenvolvimento sustantável é o desenvolvimento que supre as necessidades momentâneas das pessoas.
Desenvolvimento sustentável é o desenvolvimento incapaz de garantir o atendimento das necessidades da geração futura.
Desenvolvimento sustentável é um modelo de desenvolvimento econômico, social e político que esteja contraposto ao meio ambiente.
Desenvolvimento sustentável é o desenvolvimento capaz de suprir as necessidades da geração anterior, comprometendo a capacidade de atender às necessidades das futuras gerações.
Entre em contato conosco
54 99956-3050
Se você possui smartphone há mais de 10 anos, talvez não tenha percebido que, no início da onda da
instalação de aplicativos para celulares, quando era instalado um novo aplicativo, ele não perguntava se
podia ter acesso às suas fotos, e-mails, lista de contatos, localização, informações de outros aplicativos
instalados, etc. Isso não significa que agora todos pedem autorização de tudo, mas percebe-se que os
próprios sistemas operacionais (atualmente conhecidos como Android da Google ou IOS da Apple) têm
aumentado a camada de segurança quando algum aplicativo tenta acessar os seus dados, abrindo uma
janela e solicitando sua autorização.
CASTRO, Sílvio. Tecnologia. Formação Sociocultural e Ética II. Unicesumar: Maringá, 2024.
Considerando o exposto, analise as asserções a seguir e assinale a que descreve corretamente.
ALTERNATIVAS
I, apenas.
I e III, apenas.
II e IV, apenas.
II, III e IV, apenas.
I, II, III e IV.
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AE03 - ESTUDO CONTEMPORÂNEO E TRANSVERSAL INDÚSTRIA E TRANSFORMAÇÃO DIGITAL ...Consultoria Acadêmica
“O processo de inovação envolve a geração de ideias para desenvolver projetos que podem ser testados e implementados na empresa, nesse sentido, uma empresa pode escolher entre inovação aberta ou inovação fechada” (Carvalho, 2024, p.17).
CARVALHO, Maria Fernanda Francelin. Estudo contemporâneo e transversal: indústria e transformação digital. Florianópolis, SC: Arqué, 2024.
Com base no exposto e nos conteúdos estudados na disciplina, analise as afirmativas a seguir:
I - A inovação aberta envolve a colaboração com outras empresas ou parceiros externos para impulsionar ainovação.
II – A inovação aberta é o modelo tradicional, em que a empresa conduz todo o processo internamente,desde pesquisa e desenvolvimento até a comercialização do produto.
III – A inovação fechada é realizada inteiramente com recursos internos da empresa, garantindo o sigilo dasinformações e conhecimento exclusivo para uso interno.
IV – O processo que envolve a colaboração com profissionais de outras empresas, reunindo diversasperspectivas e conhecimentos, trata-se de inovação fechada.
É correto o que se afirma em:
ALTERNATIVAS
I e II, apenas.
I e III, apenas.
I, III e IV, apenas.
II, III e IV, apenas.
I, II, III e IV.
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Proteco Q60A
Placa de controlo Proteco Q60A para motor de Braços / Batente
A Proteco Q60A é uma avançada placa de controlo projetada para portões com 1 ou 2 folhas de batente. Com uma programação intuitiva via display, esta central oferece uma gama abrangente de funcionalidades para garantir o desempenho ideal do seu portão.
Compatível com vários motores
3. 3
Resumo
Esse trabalho apresenta material referênte ao centro de gravidade (baricentro) de
figuras geométricas planas. São apresentadas várias definições diferentes sobre o
assunto, bem como formas práticas e teóricas para encontra-lo; A introdução teórica
aborda aspectos históricos, mencionando os mais importantes trabalhos desenvolvidos
no assunto tratado, dos quais puderam ser observados e comprovados nos resultados do
experimento posteriormente apresentado.
Relatório Baricentro
4. 4
I – Objetivos
Tem-se por objetivo determinar o baricentro, ou centro de gravidade, de figuras
geométricas planas, por meio de método experimental utilizando fio de prumo suspenso
em haste metálica.
Ao dependurar figuras geométricas planas em determinado ponto de apoio, na
parte superior da haste metálica, pode-se encontrar o baricentro das mesmas com o
auxílo de um fio de prumo, dependurado pela sua extremidade superior no mesmo
ponto de apoio onde estão suspensas as figuras geométricas.
5. 5
II - Introdução Teórica
Aspectos Históricos sobre o Conceito do Centro de
Gravidade
Comentários de Arquimedes, Heron, Papus, Eutócius e Simplício
sobre o Centro de Gravidade
Apresentamos agora alguns aspectos históricos relacionados ao conceito do
centro de gravidade, CG. Em particular, vamos analisar como este conceito foi definido
e como ele era obtido experimentalmente. Estamos interessados em ver este aspecto no
período em que este conceito surgiu e se estabeleceu. As informações a seguir vieram
essencialmente das obras originais de Arquimedes. A observação de que um corpo
rígido pode permanecer em equilíbrio ao ser solto do repouso sobre a superfície da
Terra, quando apoiado por baixo por um suporte rígido, é conhecida desde os
primórdios da civilização. Apesar disto, o tratamento sistemático e científico das
condições que determinam o equilíbrio de corpos sobre a superfície da Terra originou-se
na Grécia. Pelo menos é de lá que vêm os documentos mais antigos tratando do centro
de gravidade e apresentando resultados teóricos ligados a este conceito. Arquimedes é a
pessoa principal que lidou com este conceito na Grécia antiga.
Definições
O centro de gravidade também é chamado de baricentro. O prefixo “bari” é um
elemento de composição que vem do grego, significando peso, pesado ou grave. Daí
surgem outras palavras como barisfera (núcleo central da Terra), bá- rion (designação
das partículas elementares pesadas como o próton e o nêutron) etc. A tradução da
expressão grega do CG é “centro do peso.
O trabalho mais antigo de Arquimedes que sobreviveu tem como título Sobre o
Equilíbrio dos Planos ou Sobre o Centro de Gravidade das Figuras Planas.
O centro de gravidade já aparece nos postulados 4 a 7, sem qualquer definição
anterior:
“Postulado 4: Nas figuras planas iguais e semelhantes, sobrepostas uma sobre a
outra, os centros de gravidade também se sobrepõem um sobre o outro.”
6. 6
“Postulado 5: Nas figuras planas desiguais, mas semelhantes, os centros de
gravidade serão situados semelhantemente. Dizemos que pontos estão situados
semelhantemente nas figuras semelhantes quando as linhas retas ligando estes pontos
aos vértices dos ângulos iguais formam ângulos iguais com os lados homólogos.”
“Postulado 6: Se grandezas se equilibram a certas distâncias, então grandezas
equivalentes a estas grandezas se equilibrarão, por sua vez, nas mesmas distâncias.”
“Postulado 7: O centro de gravidade de toda figura cujo perímetro gira sua
concavidade para o mesmo lado tem de estar no interior da figura.”
O mais provável é que o CG houvesse sido definido por Arquimedes em algum
de seus outros trabalhos relacionados com mecânica que estão atualmente perdidos, a
saber: Sobre os Centros de Gravidade, Elementos de Mecânica, Equilíbrios, Sobre
Balanças ou Sobre Alavancas, e Livro das Colunas. Na Proposição 6 do seu trabalho
sobre a Quadratura da Parábola, Arquimedes afirma que provou teoricamente o seguinte
resultado: “Todo corpo, suspenso por qualquer ponto, assume um estado de equilíbrio
quando o ponto de suspensão e o centro de gravidade do corpo estão ao longo de uma
mesma linha vertical; pois esta proposição já foi demonstrada.” Isto sugere que
Arquimedes conhecia a maneira prática apresentada nas experiências que descrevemos
anteriormente de se obter o CG de um corpo qualquer. Ou seja, dependura-se o corpo
por um ponto de suspensão P S1, aguarda-se que o corpo atinja o equilíbrio, e traça-se
uma vertical passando por este ponto com o auxílio de um fio de prumo. Dependura-se
então o corpo por um outro ponto de suspensão P S2 que não esteja ao longo da
primeira vertical, aguarda-se o novo equilíbrio, e traça-se uma segunda vertical
passando por P S2. O cruzamento das duas verticais é o CG do corpo.
Mas é importante enfatizar que para Arquimedes esta não era uma definição do
CG. Em vez disto, ele provou teoricamente este resultado utilizando uma definição
prévia do que é o CG de um corpo e também algum postulado que está perdido hoje em
dia. A frase de Arquimedes que acabamos de citar, afirmando que esta proposição foi
demonstrada para todo corpo, não aparece com esta generalidade na tradução de Heath
dos trabalhos de Arquimedes. O trabalho de Heath é uma paráfrase, isto é, ela conserva
as idéias originais de Arquimedes, mas as reescreve em notação moderna e omite partes
do texto que ele não considerou essenciais. Aqui vai a apresentação feita por Heath das
importantes Proposições 6 e 7 do trabalho Quadratura da Parábola. Nestas Proposições a
expressão △BCD significa a área do triângulo BCD, que é suposto como tendo
densidade uniforme. Isto é, seu peso é proporcional ao tamanho de sua área, o mesmo
acontecendo com a área P do retângulo que ele utiliza nesta Proposição.
“Proposições 6,71 .
Suponha uma alavanca AOB colocada horizontalmente e suspensa em seu ponto
médio O. Suponha que um triângulo BCD é suspenso por B e por O, com o ângulo C
sendo um ângulo reto ou obtuso, de tal forma que C é ligado em O e CD está na mesma
7. 7
linha vertical que O. Então, se P for uma área tal que, quando suspensa por A, ela
mantém o sistema em equilíbrio.
Suponha um ponto E sobre OB tal que BE = 2OE, e trace EFH, paralelo a OCD,
encontrando BC e BD em F e H, respectivamente. Seja G o ponto médio de FH.
Então G é o centro de gravidade do triângulo BCD. Portanto, se forem soltos os
vértices B e C, e o triângulo for suspenso ligando F a E, o triângulo vai continuar
dependurado na mesma posição anterior, pois EF G é uma linha reta vertical. “Pois isto
foi demonstrado2 .” Portanto, como antes, vai haver equilíbrio. Assim P : △BCD = OE :
AO = 1 : 3 , ou P = (1/ 3)△BCD .′′
Eutócius de Ascalon (480-540) escreveu comentários que ainda existem sobre
três obras de Arquimedes: Medida do Círculo, Sobre a Esfera e o Cilindro, e Sobre o
Equilíbrio dos Planos. Aparentemente ele não conheceu outras obras de Arquimedes.
Ao comentar o Livro I de Sobre o Equilíbrio dos Planos, Eutócius apresenta alguns
esclarecimentos sobre o conceito do centro de gravidade, já que este conceito não é
definido nesta obra de Arquimedes (ao menos como ela chegou até Eutócius e a nós).
As idéias são de Eutócius e não de Arquimedes, mas não deixam de ser interessantes.
Citamos aqui as partes relevantes traduzidas a partir da versão em francês publicada em
1972 por Charles Mugler (ele traduziu as obras completas de Arquimedes, assim como
os comentários de Eutócius, do grego para o francês):
“Comentários de Eutócius relativos ao Livro I do Tratado de Arquimedes Sobre
o Equilíbrio das Figuras Planas. Introdução ao livro I. (...) Nesta obra, Arquimedes
define o centro de movimento de uma figura plana como sendo o ponto tal que, 2Nota
do Heath: Sem dúvida no livro perdido πǫρ´ι ζυγωνˆ . Conferir a Introdução, Capítulo
quando suspendemos a figura por este ponto, ela permanece paralela ao horizonte, e
define o centro de movimento ou de gravidade de duas ou de várias figuras planas como
8. 8
sendo o ponto tal que, quando suspendemos as figuras por este ponto, a haste (ligando
as figuras) permanece paralela ao horizonte.
Seja, por exemplo, o triângulo ABΓ e em seu interior o ponto △, tal que quando
o triângulo é suspenso por este ponto, o triângulo permanece paralelo ao horizonte. É
então evidente que as partes B e Γ do triângulo se equilibram e que nenhuma das duas
se inclina mais do que a outra em relação ao horizonte. Da mesma forma, sendo AB
uma haste da balança e as grandezas A e B estando suspensas por ela, se a haste,
estando suspensa pelo ponto Γ, mantém as partes A e B em equilíbrio, e permanece
paralela ao horizonte, Γ será o ponto de suspensão das grandezas A e B.”
Estas são definições claras e intuitivas. Mas são limitadas pois não tratam de
figuras planas côncavas ou com buracos, nas quais o CG encontra-se no vazio. Além
disso, não se aplicam ao caso de corpos volumétricos. Apesar disto, conseguem ilustrar
aspectos muito importantes do CG. É também interessante ver as expressões
alternativas usadas para o centro de gravidade: centro de movimento e ponto de
suspensão.
Para ter uma idéia de como o conceito do CG pode ter sido definido por
Arquimedes, vamos citar aqui algumas passagens que aparecem na obra Mecânica do
matemático Heron (século I d.C.), na obra Coleção Matemática do matemático Papus
(século IV d.C.) e nos Comentários do filósofo Simplício (sé- culo VI d.C.) da obra
Sobre o Céu, de Aristóteles (384-322 a.C.). Estes autores discutiram o trabalho de
Arquimedes, citam alguns trechos de suas obras atualmente perdidas e seguem,
provavelmente, seus conceitos e linhas de raciocínio ao lidarem com a teoria
baricêntrica.
9. 9
Heron apresenta uma definição do CG como dada pelo estóico Posidônio, que
provavelmente viveu antes de Arquimedes: “O centro de gravidade ou de inclinação é
um ponto tal que, quando o peso é dependurado por este ponto, ele fica dividido em
duas porções equivalentes,” [Her88, Capítulo 24, pág. 93]. Heath já traduz esta frase
para o inglês da seguinte forma: “É um ponto tal que, se o corpo é suspenso por ele, o
corpo é dividido em duas partes iguais,” [Hea21, pág. 350]. Esta definição é vaga e
problemática. Em primeiro lugar é difícil saber como um ponto, ou mesmo uma reta
vertical passando por este ponto (se interpretarmos assim a frase de Posidônio), pode
dividir um corpo volumétrico em duas partes. Mesmo se o corpo for uma figura plana,
um ponto não vai dividi-lo em duas partes. E uma reta só vai dividir uma figura plana
em duas partes se estiver no mesmo plano que a figura. Logo teríamos de imaginar um
triângulo, por exemplo, dependurado em um plano vertical. E mesmo neste caso não são
todas as verticais passando pelo CG que vão dividir o triângulo em duas áreas iguais ou
em dois pesos iguais. Vamos supor um triângulo homogêneo dependurado em um plano
vertical. Já vimos anteriormente que uma reta passando pelo CG e por um dos vértices
divide um triângulo em duas partes de mesma área e de mesmo peso. Já uma reta
paralela à base e passando pelo CG não divide o triângulo em duas áreas iguais. Apesar
disso, o triângulo em um plano vertical permanecerá em equilíbrio ao ser solto do
repouso se for dependurado pelo CG ou por qualquer outro ponto que esteja
verticalmente acima do CG. O mesmo vai acontecer se supormos na definição de
Posidônio que o corpo é dividido por um plano vertical passando pelo CG. Neste caso
pode-se imaginar um triângulo equilibrado em um plano horizontal apoiado por um
plano vertical colocado debaixo dele (na verdade o suporte vertical tem de ter uma
pequena espessura, como a borda de uma régua). Caso o plano vertical passe por um
vértice e pelo CG, o corpo vai ficar em equilíbrio e a projeção superior deste plano vai
dividir o triângulo em duas áreas iguais ou em dois pesos iguais. Mas se o plano vertical
for paralelo à base e passar pelo CG, ele não vai dividir o triângulo em duas áreas iguais
nem em dois pesos iguais. Apesar disto, o triângulo também ficará em equilíbrio neste
caso ao ser solto do repouso.
Uma outra expressão utilizada por Heron para designar o CG, além de “centro
de peso,” é a de “centro de inclinação” ou “centro de queda.” Provavelmente esta
expressão já era usada na Grécia antiga. Esta é uma expressão interessante e muito
instrutiva. Já vimos que a tendência de qualquer corpo mais denso que o ar é a de cair
em direção à Terra ao ser solto do repouso. Caso o corpo seja suspenso por um ponto de
sustentação P S e solto do repouso, podendo girar ao redor deste ponto, o movimento
inicial do CG (supondo que ele não coincida com o P S) é o de cair aproximando-se da
Terra. Logo, é como se a tendência de queda estivesse concentrada no CG do corpo.
Em seguida Heron afirma que Arquimedes distinguiu o “ponto de suspensão” do
“centro de inclinação.” Logo depois apresenta as seguintes palavras: “O ponto de
suspensão é um ponto qualquer sobre o corpo ou sobre a figura não corporal, tal que
quando o objeto suspenso é suspendido por este ponto, suas partes ficam em equilíbrio,
10. 10
isto é, ele não oscila nem se inclina,” [Her88, Capítulo 24, pág. 93] e [Hea21, pág. 350].
A expressão “figura não corporal” aqui pode significar o caso em que o CG está no
vazio, como no caso de um anel. O que está sendo chamado aqui de “ponto de
suspensão” e a definição que Heron apresentou pode ser a maneira como Arquimedes
definia o centro de gravidade.
Heron também afirma: “O centro de inclinação em cada corpo é um ponto único
em direção ao qual são traçadas as cordas de suspensão que partem dos suportes. O
centro de gravidade em certos corpos é exterior à substância dos corpos; é o que ocorre,
por exemplo, nos arcos e nos braceletes. As linhas segundo as quais são prolongadas as
cordas convergem todas em um ponto comum,” [Her88, Capítulo 24, pág. 95]. Ele
parece estar descrevendo aqui o procedimento prático de se encontrar o CG através do
cruzamento de todas as verticais passando pelos pontos de suspensão nos casos em que
o corpo está em equilíbrio, parado em relação à Terra. Este é o procedimento prático
mais importante para se encontrar o CG. Ele permite que se obtenha experimentalmente
o CG de qualquer corpo rígido. Heron menciona ainda que o CG não precisa estar,
necessariamente, na parte material do corpo, pois pode situar-se no vazio, como no caso
de anéis ou de rodas.
Papus apresenta uma definição explícita do CG, a saber: “Dizemos que o centro
de gravidade de qualquer corpo é um certo ponto dentro desse corpo tal que, se for
concebido que o corpo está suspenso por este ponto, o peso assim sustentado permanece
em repouso e preserva sua posição original,” [Pap82, Livro VIII, pág. 815] e [Dij87,
pág. 299]. Outra afirmação análoga: “É claro também que, se imaginarmos que o corpo
é suspenso pelo seu centro de gravidade, ele não girará e permanecerá em repouso
mantendo a posição inicial que assumiu com a solicitação [gravitacional],” [Pap82,
Livro VIII, pág. 818].
Simplício apresenta a mesma definição, atribuindo-a explicitamente a
Arquimedes: “O centro de gravidade é um certo ponto no corpo tal que, se o corpo for
suspenso por uma linha ligada a este ponto, vai permanecer na sua posição sem se
inclinar para qualquer direção,” citado em [Hea21, pág. 350].
A idéia é que se pudermos conceber uma experiência assim, o que aconteceria é
que o corpo permaneceria equilibrado em qualquer posição da qual fosse solto em
repouso. Por exemplo, um triângulo horizontal vai ficar em equilíbrio para todos os
ângulos α entre o segmento CGV1 e o segmento CGL. Um triângulo vertical vai ficar
em equilíbrio para todos os ângulos β entre o segmento CGV1 e a vertical indicada por
um fio de prumo. E um triângulo inclinado vai ficar em equilíbrio para todos os ângulos
γ entre a normal ao plano do triângulo e a vertical.
11. 11
Um corpo suspenso exatamente pelo centro de gravidade fica em equilíbrio para
todas as suas orientações em relação à Terra.
Em uma experiência real em que o corpo está dependurado por um ponto de
suspensão P S diferente do CG, tendo liberdade para girar ao redor do P S, o corpo só
permanece em equilíbrio ao ser solto do repouso quando é liberado em uma posição
preferencial com o CG verticalmente abaixo do P S. Caso isto não ocorra, o corpo vai
girar ao redor do P S em uma direção tal que o movimento inicial do CG é o de se
aproximar da superfície da Terra. No equilíbrio final o 128 P S e o CG estarão ao longo
de uma vertical, com o CG localizado abaixo do P S.
O procedimento prático que Papus apresenta para se obter o CG é apresentado a
seguir; [Pap82, Livro 8, págs. 816-818]. Ele imagina um plano vertical retangular sobre
o qual um corpo vai ficar apoiado, equilibrado sobre a extremidade superior horizontal
do plano. A projeção para cima deste plano divide o corpo em duas partes que se
equilibram mutuamente. Depois disto o corpo é apoiado novamente sobre a mesma
extremidade superior do plano, mas agora com o corpo em uma posição diferente. As
projeções dos dois planos sobre o corpo encontram-se em uma linha vertical. O corpo
também fica em equilíbrio ao ser apoiado por esta linha, como se estivesse apoiado
sobre um suporte vertical embaixo dele. Repete-se o procedimento em duas novas
posições do corpo equilibrado sobre o plano vertical, até se obter uma outra linha
vertical. O cruzamento das duas verticais é o CG do corpo. De acordo com Papus, esta é
a parte mais essencial da teoria baricêntrica. Papus afirma ainda que os elementos que
são demonstrados por meio desta doutrina são ensinados nos livros Sobre os
Equilíbrios, de Arquimedes, e Mecânica, de Heron.
Este procedimento descrito por Papus é análogo à nossa definição prática CG7.
Ou seja, o procedimento é análogo a equilibrar o corpo em duas posições diferentes,
apoiado sobre uma mesma vareta vertical. Marcam-se no corpo as projeções superiores
destas duas verticais. O cruzamento das projeções é o CG do corpo. Isto é semelhante
ao cruzamento das projeções verticais para baixo quando o corpo é suspenso por dois
pontos diferentes, descrito na nossa definição prática CG6.
12. 12
Tudo isto sugere que estes três autores estavam usando diretamente alguns livros
de Arquimedes que atualmente estão perdidos. As definições apresentadas por Heron,
Papus e Simplício, enfatizadas em negrito anteriormente, são aná- logas à nossa
definição CG8. Eles também apresentaram procedimentos para localizar o CG análogos
às nossas definições práticas CG6 e CG7.
Resultados Teóricos sobre o Centro de Gravidade
Obtidos por Arquimedes
Arquimedes encontrou, teoricamente, valores para os centros de gravidade de
figuras filiformes, planas e volumétricas, porém citaremos aqui apenas os resultados
obtidos para figuras planas, por serem destas que trataremos em nosso experimento.
Vamos descrever estes resultados usando as próprias palavras de Arquimedes.
Encontram-se as demonstrações da maior parte destes resultados nos trabalhos ainda
existentes de Arquimedes (em particular em Sobre o Equilíbrio dos Planos e em O
Método). Em alguns casos (como o CG do cone) Arquimedes apresenta os resultados
dizendo que já foram demonstrados antes. Mas como os cálculos não aparecem em
nenhuma obra de Arquimedes de que temos conhecimento, presume-se que foram
resolvidos por ele em algum trabalho separado, ou em algum trabalho maior do qual
Sobre o Equilíbrio dos Planos formava apenas uma pequena parte. Entre aspas vão
palavras textuais de Arquimedes e entre parêntesis citamos o trabalho de onde tiramos a
citação.
Figuras planas:
A) “Em todo paralelogramo o centro de gravidade é o ponto de encontro das
diagonais,” (Sobre o Equilíbrio dos Planos, Proposição 10), [Arc02, pág. 195]. “O
centro de gravidade de qualquer paralelogramo é o ponto no qual se encontram as
diagonais,” (O Método), [Arc02, Suplemento, pág. 14] e [Mug71b, pág. 85]. Em Heath
este é o Lema 5, enquanto que em Mugler este é o Lema 6.
B) “Em todo triângulo o centro de gravidade é o ponto de encontro das linhas
retas ligando os vértices do triângulo aos pontos médios dos lados [opostos],” (Sobre o
Equilíbrio dos Planos, Livro I, Proposição 14), [Arc02, pág. 201]. “O centro de
gravidade de qualquer triângulo é o ponto no qual se cortam as linhas retas traçadas a
partir dos pontos angulares até os pontos médios dos lados [opostos],” (O Método),
13. 13
[Arc02, Suplemento, pág. 14] e [Mug71b, pág. 85]. Em Heath este é o Lema 4,
enquanto que em Mugler este é o Lema 5.
C) “Em todo trapézio que possui dois lados paralelos entre si, o centro de
gravidade está situado sobre o segmento de reta ligando os pontos médios dos lados
paralelos em um ponto que divide este segmento de maneira que o segmento parcial que
tem como extremidade o ponto médio do menor dos lados paralelos está para o
segmento restante assim como a soma do dobro do lado maior e do lado menor
paralelos entre si está para a soma do dobro do lado menor e do lado maior paralelos
entre si,” (Sobre o Equilíbrio dos Planos, Livro I, Proposição 15), [Dij87, pág. 312].
Heath apresenta esta proposição da seguinte maneira: “Se AD e BC são os dois lados
paralelos de um trapézio ABCD, com AD sendo o lado menor, e se AD e BC são
divididos ao meio em E e em F, respectivamente, então o centro de gravidade do
trapézio está localizado em um ponto G sobre EF tal que GE : GF = (2BC + AD) : (2AD
+ BC),” [Arc02, pág. 201].
D) “O centro de gravidade de um círculo é o ponto que também é o centro [do
círculo],” (O Método), [Arc02, Suplemento, pág. 15] e [Mug71b, pág. 85]. Em Heath
este é o Lema 6, enquanto que em Mugler este é o Lema 7.
E) Na Proposição 12 de O Método Arquimedes encontra o centro de gravidade
da metade de um cilindro, isto é, de um cilindro cortado ao meio por um plano que
passa através do eixo do cilindro. Este resultado é análogo à obtenção do centro de
gravidade de um semicírculo. Ver a discussão em [Arc02, 130 Suplemento, págs. 38-
40].
F) “O centro de gravidade de qualquer segmento compreendido por uma linha
reta e por uma parábola divide o diâmetro do segmento de tal forma que a parte próxima
do vértice do segmento tem a metade do comprimento da parte próxima à base,” (Sobre
o Equilíbrio dos Planos, Livro II, Proposição 8), [Dij87, pág. 353]. Heath apresenta esta
Proposição como segue: “Se AO for o diâmetro de um segmento parabólico e G o seu
centro de gravidade, então AG = (3/2)GO,” [Arc02, pág. 214]. Aqui A é o vértice do
segmento parabólico.
14. 14
III - Parte Experimental
Equipamentos: Fio de Prumo, haste metálica, figuras geométricas planas, lápis.
A figura geométrica é dependurada por um determinado ponto de sua
extremidade no topo da haste metálica. A seguir dependuramos o fio de prumo no
mesmo ponto de apoio. Passa-se uma reta onde ficou alinhado o fio de prumo (vertical),
marcando a figura geométrica.
Repete-se esse processo com outras extremidades da figura geométrica.
Foi realizado o procedimento com um quadrado, um losango, um triângulo, um
círculo, um retângulo, e uma figura assimétrica.
IV - Resultados Experimentais
Como resultado dos experimentos tem-se as figuras a seguir, onde são
apresentados o contorno das figuras geométrico e também as linhas traçadas com o
auxílio do fio de prumo.
19. 19
V - Discussão
Ao final do experimento foi observado que as retas traçadas com o auxílio do fio
de prumo se encontram em um mesmo ponto no centro das figuras geométricas
simétricas (quadrado, losango, retângulo, círculo). No entanto foi observado também
que na figura assimétrica a intersecção das retas ficaram localizadas de forma diferente,
na região onde a figura possui maior área.
Aliado ao conhecimento teórico observou-se que o ponto de intersecção das
retas visualizado no experimento, trata-se do baricentro das figuras geométricas, ou seja,
centro de gravidade, sendo constatado que qualquer que seja o ponto da extremidade
onde a figura geométrica foi dependurada, haverá sempre uma reta vertical passando
pelo seu centro de gravidade, de forma que a figura procura ficar em “equilíbrio”. Pode-
se perceber que os resultados práticos obtidos no experimento foram compatíveis com
os resultados teóricos
VI - Conclusão
Concluiu-se com este trabalho que em uma figura geométrica plana simétrica
(quadrado, losango, retângulo, círculo), o baricentro fica localizado exatamente no
centro, podendo ser facilmente encontrado.
Em figuras geométricas assimétricas foi concluído que não podemos encontrar
tão facilmente o centro de gravidade, sendo observado que o mesmo ficará localizado
em um ponto diferente do centro da figura, ou seja, o baricentro estará mais próximo da
região onde a figura terá maior área.
20. 20
VII - Referências Bibliográficas
_André Koch Torres Assis ”Arquimedes, o Centro da Gravidadee a Lei da
alavanca”
_http://matemateca.incubadora.fapesp.br
_http://euler.mat.ufrgs.br/~ensino2/ano2006/alunos/24/baricentro.html