O documento fornece uma explicação detalhada sobre equações do primeiro grau, incluindo expressões algébricas, valor numérico, redução de termos semelhantes, equações, raiz de equações, princípios de equivalência e como calcular a raiz de uma equação do 1o grau.

1. Equação do 1º grau

2. O que você sabe sobre equações?

3. Para aproveitar 100% dessa aula você precisa saber: O Conjuntos dos Números Inteiros e todas as operações O Conjuntos dos Números Racionais e todas as operações

4. O que são expressões algébricas ? São expressões matemáticas que apresentam uma variável (representada por uma letra) Exemplos: 3x (o triplo de um número) y – 4 (um número menos 4) 2m – 1 (o dobro de um número menos 1)

5. Expressões algébricas são expressões matemáticas que apresentam variáveis . Expressões Algébricas Expressões Matemáticas Variáveis

6. Tente fazer sozinho! Escolha uma letra para representar um número e traduza para a linguagem simbólica Matemática cada expressão abaixo: O triplo desse número mais dez Esse número menos quatro O quádruplo desse número A terça parte desse número Três quartos desse número

7. Solução O triplo desse número mais dez: 3x + 10 Esse número menos quatro: x – 4 O quádruplo desse número: 4x d) A terça parte desse número: e) Três quartos desse número: x x 4 4 - x 10 + 3 x 3/4 x 1/3

8. O que é valor numérico ? É o valor obtido quando trocamos as variáveis de uma expressão algébrica por números . Exemplo: 3x + 5, para x = -6 3 (- 6) + 5 = -18 + 5 = -13 a 2 – 2ab + b 2 , para a = -5 e b = 2 (- 5) 2 – 2 . (- 5) . 2 + 2 2 = 25 + 20 + 4 = 49

9. Valor Numérico é o valor obtido quando trocamos as variáveis de uma expressão algébrica por números . Valor Numérico Trocar variáveis por números Valor

10. Trocar variáveis por números Valor Numérico Expressões Algébricas Expressões Matemáticas Variáveis Valor

11. Encontre o erro! Calcule o valor numérico da expressão algébrica 3x – y – xy, para x = 2 e y = -2. Solução de um aluno: 3.2 - 2 – 2 . (-2) = 6 -2 + 4 = 4 + 4 = 8

12. Solução 3x – y – xy, para x = 4 e y = -2. Solução de um aluno: 3.4 - 2 – 4 . (-2) = 12 -2 + 8 = 10 + 8 = 18 Solução correta: 3 . (4) – (- 2) – (4) . (- 2) = 12 + 2 + 8 = 14 + 8 = 22

13. Como simplificamos expressões algébricas? Fazendo a redução dos termos semelhantes . O que são termos semelhantes ? São termos que apresentam a mesma parte literal . O que é parte literal ? É a parte em que aparecem as letras , ou seja, a parte das variáveis .

14. Simplificação Redução Parte Literal Trocar variáveis por números Valor Numérico Expressões Algébricas Expressões Matemáticas Variáveis Valor Termos semelhantes

15. Exemplos de termos semelhantes: 3a e 5a 7xy e 8xy Observação: 200x e 200y não são termos semellhantes. 12x e 8xy não são termos semelhantes.

16. Como reduzimos os termos semelhantes ? Basta somar ou subtrair os coeficientes dos termos semelhantes . Exemplos: – 4x + 6y + 10x – 2y – x = 5x + 4y x + 7y + 10y – 3x = - 2x + 17y x – y + 3x – 2y – 4x = - 3y

17. Redução Parte Literal Trocar variáveis por números Valor Numérico Expressões Algébricas Expressões Matemáticas Variáveis Valor Termos semelhantes Subtração Soma

18. Vamos praticar! Qual é o perímetro da figura abaixo? y y + 1 y – 2 y

19. Solução y + y + 1 + y + y – 2 = 4y – 1 y y + 1 y – 2 y

20. Caso exista um número multiplicando a expressão algébrica , usaremos a propriedade distributiva . Exemplos: 3 (2x - 4) = 6x – 12 7 (y + 5) = 7y + 35

21. Subtração Soma Distributiva Redução Parte Literal Trocar variáveis por números Valor Numérico Expressões Algébricas Expressões Matemáticas Variáveis Valor Termos semelhantes

22. Encontre o erro! Simplificando a expressão abaixo, um aluno cometeu um erro. Você consegue descobrir? 4 (x – 1) + 3 (x + 1) = 4x – 4 + 3x + 3 = 7x – 1 = 6x

23. Solução 4 (x – 1) + 3 (x + 1) = 4x – 4 + 3x + 3 = 7x – 1 = 6x (errado) Resposta correta: 7x – 1

24. É toda expressão matemática que apresenta uma expressão algébrica e uma igualdade . Exemplos: 7x + 5 = 4 2y 2 – 3y + 7 = 0 2a – 8 = 3a – 10 O que é equação ? Tudo que está antes do sinal de igual é chamado de 1º membro. Tudo que está depois do sinal de igual é chamado de 2º membro.

25. Igualdade Equação Subtração Soma Distributiva Redução Parte Literal Trocar variáveis por números Valor Numérico Expressões Algébricas Expressões Matemáticas Variáveis Valor Termos semelhantes

26. O que é equação do 1º grau ? É a equação , cujo expoente de todas as variáveis é 1 . Exemplos: 3x + 5 = 12 24 – y + 8y = 36

27. Igualdade 1º grau Variável expoente 1 Igualdade Subtração Soma Distributiva Redução Parte Literal Trocar variáveis por números Valor Numérico Expressões Algébricas Expressões Matemáticas Variáveis Valor Termos semelhantes Equação

28. O que é raiz de uma equação? É o número que, colocado no lugar da variável, torna a igualdade verdadeira . Exemplos: x – 2 = 0 (a raiz é igual a 2, pois quando colocamos o 2 no lugar do x, a igualdade é verdadeira, ou seja, 2 – 2 = 0). 3x – 4 = 11 ( a raiz é igual a 5, pois quando colocamos o 5 no lugar do x, a igualdade é verdadeira, ou seja, 3.5 – 4 = 15 – 4 = 11).

29. Raiz da equação Número Igualdade verdadeira 1º grau Variável expoente 1 Igualdade Subtração Soma Distributiva Redução Parte Literal Trocar variáveis por números Valor Numérico Expressões Algébricas Expressões Matemáticas Variáveis Valor Termos semelhantes Equação

30. O que são equações equivalentes ? São equações que apresentam a mesma solução . Exemplo: 3x + 2 = 8 e 3x = 6 3. 2 + 2 = 8 3. 2 = 6 6 + 2 = 8 O número 2 é solução das duas equações, logo, dizemos que elas são equivalentes.

31. Equação Equivalência Mesma raiz Raiz da equação Número Igualdade verdadeira 1º grau Variável expoente 1 Igualdade Subtração Soma Distributiva Redução Parte Literal Trocar variáveis por números Valor Numérico Expressões Algébricas Expressões Matemáticas Variáveis Valor Termos semelhantes

32. Quais são os princípios de equivalência das igualdades ? Princípio aditivo das igualdades Princípio multiplicativo das igualdades

33. Equação 1º grau Variável expoente 1 Igualdade Subtração Soma Distributiva Redução Parte Literal Trocar variáveis por números Valor Numérico Expressões Algébricas Expressões Matemáticas Variáveis Valor Termos semelhantes mesma raiz princípios Aditivo Multiplicativo Equivalência Raiz da equação Número Igualdade verdadeira

34. Princípio Aditivo Adicionando ou subtraindo um mesmo número aos dois membros de uma equação, obtemos uma equação equivalente à equação dada. Exemplo: x + 5 = 15 – 3x x + 5 – 5 = 15 – 3x – 5 x = 10 – 3x Equações Equivalentes

35. Princípio Multiplicativo Multiplicando ou dividindo os dois membros de uma equação, por um número diferente de zero, obtemos uma equação equivalente à equação dada. Exemplo: x + 5 = 15 – 3x ( x + 5 ).2 = ( 15 – 3x ).2 2x + 10 = 30 – 6x Equações Equivalentes

36. Como calculamos a raiz de uma equação ? Usando, convenientemente, os Princípios de Equivalência , de modo que um dos membros não tenha variável e o outro seja a variável (x). Exemplos: x – 3 = 6 x – 3 + 3 = 6 + 3 x = 9

37. 10x = 30 – 5x 10x + 5x = 30 – 5x + 5x 15x = 30 15x : 15 = 30 : 15 x = 2 6x – 3 = 3x + 7 – 2x 6x – 3 – 6x = 3x + 7 – 2x – 6x - 3 = -5x + 7 - 3 – 7 = -5 x + 7 – 7 - 10 = - 5x - 10 : (- 1) = - 5x : (- 1) 10 : 5 = 5x : 5 2 = x

38. 2 (x + 6) = 4 (x + 2) 2x + 12 – 2x = 4x + 8 – 2x 12 = 2x + 8 12 – 8 = 2x + 8 – 8 4 = 2x 4 : 2 = 2x : 2 2 = x

39. Resolvendo com o macete! x – 3 = 6 x = 6 + 3 x = 9 10x = 30 – 5x 10x + 5x = 30 15x = 30 x = 30 : 15 x = 2

40. 6x – 3 = 3x + 7 – 2x – 3 – 7 = 3x – 2x – 6x – 10 = - 5x – 10 : (- 5) = x 2 = x 2 (x + 6) = 4 (x + 2) 2x + 12 = 4x + 8 12 – 8 = 4x – 2x 4 = 2x 4 : 2 = x 2 = x

41. Igualdade Equação 1º grau Variável expoente 1 Subtração Soma Distributiva Redução Parte Literal Trocar variáveis por números Valor Numérico Expressões Algébricas Expressões Matemáticas Variáveis Valor Termos semelhantes Raiz da equação Número Igualdade verdadeira Cálculo Membro = x Outro membro sem variável mesma raiz princípios Aditivo Multiplicativo Equivalência

42. Como devemos proceder se a equação apresentar fração ? Basta igualar todos os denominadores e eliminá-los em seguida. Exemplo: 6 1 3 2 1

43. Fração Igualar e eliminar denominador Igualdade Equação 1º grau Variável expoente 1 Subtração Soma Distributiva Redução Parte Literal Trocar variáveis por números Valor Numérico Expressões Algébricas Expressões Matemáticas Variáveis Valor Termos semelhantes Raiz da equação Número Igualdade verdadeira Cálculo Membro = x Outro membro sem variável mesma raiz princípios Aditivo Multiplicativo Equivalência

44. Tente fazer sozinho! Resolva a equação:

45. Solução 6 2 12 3 6 1

46. O que você aprendeu: O que são expressões algébricas Valor numérico Redução dos termos semelhantes O que são equações do primeiro grau O que é raiz de uma equação Como calcular a raiz de uma equação do 1º grau, se tiver ou não fração

47. Bibliografia Bianchini, Edwaldo – Matemática 6ª série (7º ano), 6ª edição – 1998, Editora Moderna. Páginas: 82 até 117. Silveira, Ênio; Marques, Cláudio – Matemática 6ª série, 1ª edição – 2002, Editora Moderna. Páginas: 64 até 87. Iezzi, Gelson; Dolce, Osvaldo; Machado, Antonio – Matemática e Realidade Ensino Fundamental 6ªsérie 7º ano, 5ªedição – 2005, Editora Atual. Páginas: 179 até 196.