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MATEMÁTICA


       RAZÃO, PROPORÇÃO, REGRA DE TRÊS E
                 PORCENTAGEM
                                                                        Enquanto o tempo aumenta, a distância percor-
1. RAZÃO
                                                                 rida também aumenta. Dizemos então, que o tempo e
       Sejam dados dois números a e b (b ≠ 0 ) , cha-            a distância são grandezas diretamente proporcionais.
mamos de razão entre estes dois números ao quocien-              Grandezas inversamente proprocionais
te indicado entre eles.                                                 Duas grandezas são inversamente proporcio-
                  a                                              nais quando, aumentando uma delas, a outra diminui
      A razão         também pode ser escrita a:b (que se
                  b                                              na mesma razão da primeira.
lê a está para b. Os números a e b, que são os ter-              Exemplo:
mos da razão, são denominados respectivamente de                        Um veículo faz um percurso em:
antecedente e conseqüente.                                                 1 hora com velocidade de 120km/h.
       Como exemplos, vamos indicar a razão entre                          2 horas com velocidade de 60km/h.
os números abaixo:                                                         3 horas com velocidade de 40km/h.
      a) 3 e 7 por
                      3
                          ou 3:7;                                       Enquanto o tempo aumenta, a velocidade di-
                      7                                          minui. Dizemos, então, que o tempo e a velocidade
      b) 9 e 5 por
                      9
                          ou 9:5.                                são grandezas inversamente proporcionais.
                      5
                                                                 4. REGRA DE TRÊS SIMPLES
2. PROPORÇÃO
                                                                        É uma regra prática, que facilita o cálculo de
       Proporção é uma igualdade entre duas razões.              problemas que envolvem duas grandezas diretamente
       Dizemos que os números a,b,c,d com b ≠ 0 e                ou inversamente proporcionais.
d ≠ 0 estão em proporção, na ordem dada, se, e se-               Regra de três direta
mente, a razão entre a e b for igual à razão entre c e                  Apresenta grandezas diretamente proporcio-
d. Indicamos esta proporção por:                                 nais.
       a c
        =       ou a:b::c:d que se lê:                           Exemplos:
       b d
       a está para b, assim como c está para d.                         a) um pacote contém 35 chocolates. Qual é o
                                                                 total de chocolates contidos em 4 pacotes?
Propriedade fundamental das propor-                                     Dispositivo prático:
ções
       Em toda proporção, o produto dos extremos é                                  pacotes        chocolates
igual ao produto dos meios.                                                           1               35
                                                                                      4                x
                      a c
                       = ⇒ a⋅d = b⋅c
                      b d
                                                                        As grandezas são diretamente proporcionais,
       Aplicando esta propriedade, podemos determi-              pois aumentando-se a quantidade de pacotes o núme-
nar o valor de uma incógnita na proporção.                       ro de chocolates também aumenta.
                                                                        Quando as grandezas são diretamente propor-
3. REGRA DE RÊS                                                  cionais, as flechas têm o mesmo sentido. Montando a
Grandezas Diretamente proporcionais                              proporção, temos:
                                                                       1 35
     Duas grandezas são diretamente proporcionais                        =
                                                                       4    x
quando, aumentando uma delas, a outra aumenta na
                                                                       x = 4 ⋅ 35       propriedade fundamental das pro-
mesma razão da primeira.
                                                                       x = 140
     Exemplo:
                                                                 porções
     Um veículo que percorre:
                                                                       Resposta: o total é 140 chocolates.
         80km em 1 hora.
         160km em 2 horas.
                                                                       b) Certa máquina produz 90 peças, trabalhando
         240km em 3 horas.
                                                                 durante 50 minutos. Quantas peças produzirá em
                                                                 1h20min?
                                                                       Dispositivo prático:
Editora Exato                                               12
produção                   tempo
                                                                  Cálculo da porcentagem
       90 peças                   50 min                              Exemplo: achar 16% de 300.
           x                      80mi - 1h20min = 80min              Resolução:
                                                                      16% é o valor que eu tenho que achar (x)
                                                                      300 é 100%
      As grandezas são diretamente proporcionais,
                                                                      montando uma regra de três.
pois aumentando o tempo a produção também au-
                                                                        16 − 100    300 ⋅ 16
menta.                                                                          x =          ⇒ x = 48
                                                                        x − 300      100
      Montando a proporção, temos:
       90 50
           =                                                                   EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
        x     80
       50 ⋅ x = 90 ⋅ 80
                                                                  1   (PUC-SP) Um motorista de táxi, trabalhando 6
       50x = 7.200                                                    horas por dia durante 10 dias, gasta R$ 1.026.00.
       x=
           7.200                                                      Qual será o seu gasto mensal, se trabalhar 4 horas
             50                                                       por dia?
       x = 144                                                          Resolução:
      Resposta: em 1h20min a máquina produzirá
144 peças.                                                                      Horas                   Valor R$
Regra de três inversa
                                                                                  6                     1.026,00
      Apresenta grandezas inversamente proporcio-
nais.                                                                             4                        X

5. REGRA DE TRÊS COMPOSTA                                               6.x = 4.1026, 00
                                                                               4.1026
      A regra de três composta é um processo práti-                      x =          = 684
                                                                                  6
co para resolver problemas que envolvem mais de
                                                                        R$ 684,00 em dez dias, conforme enunciado.
duas grandezas diretamente ou inversamente propor-
                                                                        Gasto mensal:
cionais.
                                                                        Gasto em dez (10) dias x 3 (30 dias) = 2052
6. PORCENTAGEM                                                          R$ 2.052,00.
      Uma razão de conseqüente 100 é denominada
taxa de porcentagem, ou taxa porcentual, ou ainda                 2   Calcular o termo desconhecido na proporção:
“tantos por cento”.                                                                            7
                                                                                                 =
                                                                                                   21
                                                                                              13   x
                                antecedente                             Resolução:
                           x
                                                                        Usando a propriedade fundamental, temos:
                          100
                                                                                                   21⋅ 13
                                                                               7x = 21⋅ 13 ⇒ x =          ⇒ x = 39 .
                                conseqüente                                                          7

                  20
      Assim,              (vinte centésimos) lê-se “20 por        3   Um carro percorreu uma estrada em 5 horas, à
                 100
cento” e representa-se pelo símbolo 20%.                              velocidade média de 100km/h. Com qual veloci-
Significado da taxa de porcentagem                                    dade o carro faria o mesmo percurso em 4 horas?
                                                                        Resolução:
      Vamos interpretar determinadas frases que ou-
                                                                        Dispositivo prático:
vimos ou lemos, quase que diariamente:
      a) “Para sermos aprovados pelo Vestibular de                                  velocidade             tempo
uma grande faculdade, devemos acertar no mínimo
                                                                                        100                   5
50% das questões”.                                                                       x                    4
      Significa que sobre cada 100 questões, deve-
mos acertar no mínimo 50.
      b) “Liquidação com desconto de 40%”.                               As grandezas são inversamente proporcionais,
      Significa que sobre cada R$ 100,00 do preço                 pois, à medida que diminui o tempo da viagem, é ne-
de uma determinada mercadoria, há um desconto de                  cessário que a velocidade do carro aumente, para que
R$ 40,00.                                                         o carro percorra o mesmo percurso.
      c) “Certo candidato está com 30% da preferên-
cia popular”.                                                           Quando as grandezas são inversamente pro-
      Significa que sobre cada 100 pessoas, 30 gos-               porcionais, as flechas têm sentidos contrários.
tam do candidato.                                                       Montando a proporção, temos:

Editora Exato                                                13
x      5                                            3   (FUCC-SP) Quanto é 32% de R$25.000,00?
             = ⇒ uma das grandezas se inverte
       100 4                                                    a) R$5.500,00.
       4 ⋅ x = 100 ⋅ 5                                          b) R$7.500,00.
       4x = 500                                                 c) R$8.000,00.
           500                                                  d) R$10.000,00.
       x=
            4
       x = 125
                                                            4   (PUC-SP) 15000 candidatos inscreveram-se na
                           125 km/h.
                                                                PUC e foram aprovados 9600. Qual a
                                                                porcentagem de reprovação?
4   Vinte homens fazem um certo trabalho em 6 dias,             a) 24.
    trabalhando 8 horas por dia. Para fazer o mesmo             b) 30.
    trabalho, quantos dias levarão 12 homens, traba-            c) 32.
    lhando 5 horas por dia?                                     d) 36.
       Resolução:                                               e) Nenhuma.

        homens             dias        horas/dias
                                                            5   (CEF) Num grupo de 400 pessoas, 70% são do
            20              6              8
            12
                                                                sexo masculino. Se nesse grupo 10% dos homens
                            x              5
                                                                são casados e 20% das mulheres são casadas.
                                                                Então, o número de pessoas casadas é:
      Então:                                                      a) 50.
       6 12 5        6 60
          =     ⋅ ⇒ =       ⇒                                     b) 46.
       x 20 8        x 160
                                                                  c) 52.
       6 3
          = ⇒ 3⋅x = 6⋅8 ⇒                                         d) 48.
       x 8
                                                                  e) 54.
                        48
       3 ⋅ x = 48 ⇒ x =    ⇒ x = 16
                        3
                                                                     2
                                                            6   Se     de   um trabalho foram feitos em 10 dias por
                                                                     5
                    EXERCÍCIOS                                  24 operários que trabalhavam em 7 horas por dia;
                                                                então, quantos dias serão necessários para
1   (MACK-SP) Uma engrenagem de 36 dentes                       terminar o trabalho, sabendo que 4 operários
    movimenta outra de 48 dentes. Quantas voltas dá             foram dispensados e que o restante agora trabalha
    a maior, enquanto a menor dá 100 voltas?                    6 horas por dia?
    a) 133.                                                        a) 18.
    b) 86.                                                         b) 19.
    c) 75.                                                         c) 20.
    d) 65.                                                         d) 21.
                                                                   e) 22.
2   (SANTA CASA-SP) Sabe-se que 4 máquinas
    operando 4 horas por dia, durante 4 dias,
    produzem 4 toneladas de certo produto. Quantas                                 GABARITO
    toneladas do mesmo produto seriam produzidas
                                                            1   C
    por 6 máquinas daquele tipo, operando 6 horas
    por dia, durante 6 dias?                                2   D
    a) 8.
                                                            3   C
    b) 15.
    c) 10,5.                                                4   D
    d) 13,5.                                                5   C
                                                            6   D




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Apostila 001 razão, proporção, regra de três e porcentagem

  • 1. MATEMÁTICA RAZÃO, PROPORÇÃO, REGRA DE TRÊS E PORCENTAGEM Enquanto o tempo aumenta, a distância percor- 1. RAZÃO rida também aumenta. Dizemos então, que o tempo e Sejam dados dois números a e b (b ≠ 0 ) , cha- a distância são grandezas diretamente proporcionais. mamos de razão entre estes dois números ao quocien- Grandezas inversamente proprocionais te indicado entre eles. Duas grandezas são inversamente proporcio- a nais quando, aumentando uma delas, a outra diminui A razão também pode ser escrita a:b (que se b na mesma razão da primeira. lê a está para b. Os números a e b, que são os ter- Exemplo: mos da razão, são denominados respectivamente de Um veículo faz um percurso em: antecedente e conseqüente. 1 hora com velocidade de 120km/h. Como exemplos, vamos indicar a razão entre 2 horas com velocidade de 60km/h. os números abaixo: 3 horas com velocidade de 40km/h. a) 3 e 7 por 3 ou 3:7; Enquanto o tempo aumenta, a velocidade di- 7 minui. Dizemos, então, que o tempo e a velocidade b) 9 e 5 por 9 ou 9:5. são grandezas inversamente proporcionais. 5 4. REGRA DE TRÊS SIMPLES 2. PROPORÇÃO É uma regra prática, que facilita o cálculo de Proporção é uma igualdade entre duas razões. problemas que envolvem duas grandezas diretamente Dizemos que os números a,b,c,d com b ≠ 0 e ou inversamente proporcionais. d ≠ 0 estão em proporção, na ordem dada, se, e se- Regra de três direta mente, a razão entre a e b for igual à razão entre c e Apresenta grandezas diretamente proporcio- d. Indicamos esta proporção por: nais. a c = ou a:b::c:d que se lê: Exemplos: b d a está para b, assim como c está para d. a) um pacote contém 35 chocolates. Qual é o total de chocolates contidos em 4 pacotes? Propriedade fundamental das propor- Dispositivo prático: ções Em toda proporção, o produto dos extremos é pacotes chocolates igual ao produto dos meios. 1 35 4 x a c = ⇒ a⋅d = b⋅c b d As grandezas são diretamente proporcionais, Aplicando esta propriedade, podemos determi- pois aumentando-se a quantidade de pacotes o núme- nar o valor de uma incógnita na proporção. ro de chocolates também aumenta. Quando as grandezas são diretamente propor- 3. REGRA DE RÊS cionais, as flechas têm o mesmo sentido. Montando a Grandezas Diretamente proporcionais proporção, temos: 1 35 Duas grandezas são diretamente proporcionais = 4 x quando, aumentando uma delas, a outra aumenta na x = 4 ⋅ 35 propriedade fundamental das pro- mesma razão da primeira. x = 140 Exemplo: porções Um veículo que percorre: Resposta: o total é 140 chocolates. 80km em 1 hora. 160km em 2 horas. b) Certa máquina produz 90 peças, trabalhando 240km em 3 horas. durante 50 minutos. Quantas peças produzirá em 1h20min? Dispositivo prático: Editora Exato 12
  • 2. produção tempo Cálculo da porcentagem 90 peças 50 min Exemplo: achar 16% de 300. x 80mi - 1h20min = 80min Resolução: 16% é o valor que eu tenho que achar (x) 300 é 100% As grandezas são diretamente proporcionais, montando uma regra de três. pois aumentando o tempo a produção também au- 16 − 100 300 ⋅ 16 menta. x = ⇒ x = 48 x − 300  100 Montando a proporção, temos: 90 50 = EXERCÍCIOS RESOLVIDOS x 80 50 ⋅ x = 90 ⋅ 80 1 (PUC-SP) Um motorista de táxi, trabalhando 6 50x = 7.200 horas por dia durante 10 dias, gasta R$ 1.026.00. x= 7.200 Qual será o seu gasto mensal, se trabalhar 4 horas 50 por dia? x = 144 Resolução: Resposta: em 1h20min a máquina produzirá 144 peças. Horas Valor R$ Regra de três inversa 6 1.026,00 Apresenta grandezas inversamente proporcio- nais. 4 X 5. REGRA DE TRÊS COMPOSTA 6.x = 4.1026, 00 4.1026 A regra de três composta é um processo práti- x = = 684 6 co para resolver problemas que envolvem mais de R$ 684,00 em dez dias, conforme enunciado. duas grandezas diretamente ou inversamente propor- Gasto mensal: cionais. Gasto em dez (10) dias x 3 (30 dias) = 2052 6. PORCENTAGEM R$ 2.052,00. Uma razão de conseqüente 100 é denominada taxa de porcentagem, ou taxa porcentual, ou ainda 2 Calcular o termo desconhecido na proporção: “tantos por cento”. 7 = 21 13 x antecedente Resolução: x Usando a propriedade fundamental, temos: 100 21⋅ 13 7x = 21⋅ 13 ⇒ x = ⇒ x = 39 . conseqüente 7 20 Assim, (vinte centésimos) lê-se “20 por 3 Um carro percorreu uma estrada em 5 horas, à 100 cento” e representa-se pelo símbolo 20%. velocidade média de 100km/h. Com qual veloci- Significado da taxa de porcentagem dade o carro faria o mesmo percurso em 4 horas? Resolução: Vamos interpretar determinadas frases que ou- Dispositivo prático: vimos ou lemos, quase que diariamente: a) “Para sermos aprovados pelo Vestibular de velocidade tempo uma grande faculdade, devemos acertar no mínimo 100 5 50% das questões”. x 4 Significa que sobre cada 100 questões, deve- mos acertar no mínimo 50. b) “Liquidação com desconto de 40%”. As grandezas são inversamente proporcionais, Significa que sobre cada R$ 100,00 do preço pois, à medida que diminui o tempo da viagem, é ne- de uma determinada mercadoria, há um desconto de cessário que a velocidade do carro aumente, para que R$ 40,00. o carro percorra o mesmo percurso. c) “Certo candidato está com 30% da preferên- cia popular”. Quando as grandezas são inversamente pro- Significa que sobre cada 100 pessoas, 30 gos- porcionais, as flechas têm sentidos contrários. tam do candidato. Montando a proporção, temos: Editora Exato 13
  • 3. x 5 3 (FUCC-SP) Quanto é 32% de R$25.000,00? = ⇒ uma das grandezas se inverte 100 4 a) R$5.500,00. 4 ⋅ x = 100 ⋅ 5 b) R$7.500,00. 4x = 500 c) R$8.000,00. 500 d) R$10.000,00. x= 4 x = 125 4 (PUC-SP) 15000 candidatos inscreveram-se na 125 km/h. PUC e foram aprovados 9600. Qual a porcentagem de reprovação? 4 Vinte homens fazem um certo trabalho em 6 dias, a) 24. trabalhando 8 horas por dia. Para fazer o mesmo b) 30. trabalho, quantos dias levarão 12 homens, traba- c) 32. lhando 5 horas por dia? d) 36. Resolução: e) Nenhuma. homens dias horas/dias 5 (CEF) Num grupo de 400 pessoas, 70% são do 20 6 8 12 sexo masculino. Se nesse grupo 10% dos homens x 5 são casados e 20% das mulheres são casadas. Então, o número de pessoas casadas é: Então: a) 50. 6 12 5 6 60 = ⋅ ⇒ = ⇒ b) 46. x 20 8 x 160 c) 52. 6 3 = ⇒ 3⋅x = 6⋅8 ⇒ d) 48. x 8 e) 54. 48 3 ⋅ x = 48 ⇒ x = ⇒ x = 16 3 2 6 Se de um trabalho foram feitos em 10 dias por 5 EXERCÍCIOS 24 operários que trabalhavam em 7 horas por dia; então, quantos dias serão necessários para 1 (MACK-SP) Uma engrenagem de 36 dentes terminar o trabalho, sabendo que 4 operários movimenta outra de 48 dentes. Quantas voltas dá foram dispensados e que o restante agora trabalha a maior, enquanto a menor dá 100 voltas? 6 horas por dia? a) 133. a) 18. b) 86. b) 19. c) 75. c) 20. d) 65. d) 21. e) 22. 2 (SANTA CASA-SP) Sabe-se que 4 máquinas operando 4 horas por dia, durante 4 dias, produzem 4 toneladas de certo produto. Quantas GABARITO toneladas do mesmo produto seriam produzidas 1 C por 6 máquinas daquele tipo, operando 6 horas por dia, durante 6 dias? 2 D a) 8. 3 C b) 15. c) 10,5. 4 D d) 13,5. 5 C 6 D Editora Exato 14