Este documento apresenta os principais conceitos sobre probabilidades e combinatória. Discute propriedades de operações com eventos, a lei de Laplace, axiomas de probabilidade, probabilidade condicionada, independência de eventos e teoremas associados. Apresenta também conceitos sobre cálculo combinatório como fatorial, permutações, arranjos e combinações.
Este documento resume conceitos básicos de matemática, incluindo definições de função, conjuntos, sequências, matrizes e operações com eles. Aborda também equações e inequações envolvendo diferentes tipos de funções como linear, quadrática, exponencial e logarítmica.
... a1n ⎞
⎜ a21 a22 ... a2 n ⎟
Am x n = ⎜
⎟
...
⎜
⎟
⎝ am1 am 2 ... amn ⎠
Operações com matrizes:
1) O documento apresenta um resumo teórico de matemática dividido em duas partes, abordando conceitos como conjuntos, funções, equações, sequências, números complexos, polinômios e relações.
2) Na primeira parte, são definidos conjuntos, operações com conjuntos, conjuntos numéricos, noções básicas de funções, classificações de funções, equações e sequências.
3) Na segunda parte, são explicados conceitos de matemática básica, números complexos, polinômios, equações algébricas e rel
1) O documento descreve funções polinomiais e suas propriedades, incluindo raízes, grau e identidade.
2) É apresentada a fórmula de Lagrange para determinar um polinômio a partir de seus valores em pontos fixos.
3) As características dos gráficos de polinômios são explicadas, incluindo o método de Newton para encontrar raízes.
1) O documento apresenta conceitos fundamentais de álgebra, como porcentagem, potenciação, radiciação e fatoração.
2) Também aborda sequências numéricas, como progressão aritmética e progressão geométrica.
3) Por fim, discute noções básicas de geometria plana, incluindo relações métricas, teoremas e fórmulas para cálculo de áreas.
1) O documento apresenta o Teorema 10.1 que deriva funções exponenciais e logarítmicas.
2) É mostrada a derivada de f(x) = ex como sendo f'(x) = ex e de f(x) = ax como sendo f'(x) = ax ln a.
3) Também são mostradas as derivadas de funções logarítmicas.
(1) Uma função f pertence a L1(μ) se e somente se a função t → μ(x: |f(x)| > t) for integrável em relação à medida de Lebesgue. Além disso, a integral de |f| é igual ao limite da integral da função indicatriz sobre os conjuntos {|f| > t}.
(2) Se A tem medida maior que 1, então existem pontos distintos x, y em A cujo vetor x - y tem coordenadas inteiras.
(3) Todo conjunto convexo em Rn é Lebesgue mensurável
O documento discute o conceito de derivada, definindo-a matematicamente como a taxa de variação instantânea de uma função. Explica sua interpretação física e fornece exemplos ilustrativos sobre sua aplicação para calcular velocidade, taxa de crescimento e equações de retas tangentes.
Este documento descreve os conceitos fundamentais da interpolação polinomial. Apresenta as fórmulas para interpolação linear e quadrática, bem como a fórmula geral de Lagrange para interpolação polinomial de grau n. Explica também como calcular o erro de truncatura cometido ao aproximar uma função por um polinômio interpolador.
Este documento resume conceitos básicos de matemática, incluindo definições de função, conjuntos, sequências, matrizes e operações com eles. Aborda também equações e inequações envolvendo diferentes tipos de funções como linear, quadrática, exponencial e logarítmica.
... a1n ⎞
⎜ a21 a22 ... a2 n ⎟
Am x n = ⎜
⎟
...
⎜
⎟
⎝ am1 am 2 ... amn ⎠
Operações com matrizes:
1) O documento apresenta um resumo teórico de matemática dividido em duas partes, abordando conceitos como conjuntos, funções, equações, sequências, números complexos, polinômios e relações.
2) Na primeira parte, são definidos conjuntos, operações com conjuntos, conjuntos numéricos, noções básicas de funções, classificações de funções, equações e sequências.
3) Na segunda parte, são explicados conceitos de matemática básica, números complexos, polinômios, equações algébricas e rel
1) O documento descreve funções polinomiais e suas propriedades, incluindo raízes, grau e identidade.
2) É apresentada a fórmula de Lagrange para determinar um polinômio a partir de seus valores em pontos fixos.
3) As características dos gráficos de polinômios são explicadas, incluindo o método de Newton para encontrar raízes.
1) O documento apresenta conceitos fundamentais de álgebra, como porcentagem, potenciação, radiciação e fatoração.
2) Também aborda sequências numéricas, como progressão aritmética e progressão geométrica.
3) Por fim, discute noções básicas de geometria plana, incluindo relações métricas, teoremas e fórmulas para cálculo de áreas.
1) O documento apresenta o Teorema 10.1 que deriva funções exponenciais e logarítmicas.
2) É mostrada a derivada de f(x) = ex como sendo f'(x) = ex e de f(x) = ax como sendo f'(x) = ax ln a.
3) Também são mostradas as derivadas de funções logarítmicas.
(1) Uma função f pertence a L1(μ) se e somente se a função t → μ(x: |f(x)| > t) for integrável em relação à medida de Lebesgue. Além disso, a integral de |f| é igual ao limite da integral da função indicatriz sobre os conjuntos {|f| > t}.
(2) Se A tem medida maior que 1, então existem pontos distintos x, y em A cujo vetor x - y tem coordenadas inteiras.
(3) Todo conjunto convexo em Rn é Lebesgue mensurável
O documento discute o conceito de derivada, definindo-a matematicamente como a taxa de variação instantânea de uma função. Explica sua interpretação física e fornece exemplos ilustrativos sobre sua aplicação para calcular velocidade, taxa de crescimento e equações de retas tangentes.
Este documento descreve os conceitos fundamentais da interpolação polinomial. Apresenta as fórmulas para interpolação linear e quadrática, bem como a fórmula geral de Lagrange para interpolação polinomial de grau n. Explica também como calcular o erro de truncatura cometido ao aproximar uma função por um polinômio interpolador.
1) O documento apresenta uma lista de exercícios sobre cálculo diferencial, incluindo derivadas por definição, regras básicas de derivação e relação entre diferenciabilidade e continuidade.
2) Os exercícios envolvem calcular derivadas, determinar equações de retas tangentes, analisar diferenciabilidade e continuidade de funções.
3) As respostas explicam os cálculos e conclusões para cada exercício.
O documento introduz funções exponenciais e suas propriedades. Apresenta exemplos de crescimento exponencial como a duplicação de bactérias e decaimento radioativo. Explica como resolver equações e inequações exponenciais usando propriedades de potenciação ou substituição de variáveis.
O documento descreve o modelo AMMI para análise de ensaios multiambientais, que modela efeitos principais e interação de forma sequencial. Dois métodos de validação cruzada são apresentados para otimizar a seleção do número de componentes multiplicativos no modelo AMMI: leave-one-out e uma mistura de regressão e aproximação de matrizes de posto inferior.
O documento explica as funções exponenciais, incluindo sua definição, gráficos e como resolver equações e inequações exponenciais. Apresenta exemplos de funções exponenciais e como identificar se uma função é crescente ou decrescente dependendo do valor da base. Demonstra métodos para resolver equações e inequações exponenciais, com ou sem o uso de artifícios.
1) O documento descreve diferentes tipos de funções elementares, incluindo funções constantes, identidade, lineares, do primeiro grau, módulo, quadráticas e racionais.
2) As funções constantes, identidade e lineares têm domínio R, enquanto funções do primeiro grau e quadráticas mapeiam R para R.
3) A função módulo mapeia R para [0, +∞) e funções racionais têm domínio excluindo valores que tornam o denominador zero.
O documento discute conceitos iniciais sobre derivadas, incluindo: (1) Galileu descreveu a relação entre espaço e tempo na queda dos corpos, mas faltava o cálculo diferencial; (2) Newton e Leibniz desenvolveram o cálculo diferencial para medir a taxa de mudança de fenômenos físicos; (3) Isso permitiu explicar o mundo com matemática e desencadeou avanços científicos e tecnológicos.
[1] O documento apresenta exercícios sobre derivadas de funções, incluindo cálculo de derivadas usando a definição, regras de derivação, regra da cadeia e derivação implícita. [2] São abordados conceitos como função derivável, derivabilidade, equações de retas tangentes e normais. [3] Há exercícios sobre logaritmos, exponenciais, funções trigonométricas e suas derivadas.
Este documento apresenta um resumo sobre funções matemáticas. Discute conceitos como domínio, contradomínio, função injetiva, sobrejetiva e bijetiva. Apresenta exemplos de composição e inversa de funções. Explica gráficos de funções e ordena classes de funções de acordo com sua ordem de grandeza.
O documento fornece informações sobre um site que oferece exames resolvidos e explicações de maneira gratuita. O site incentiva a contribuição e compartilhamento de materiais acadêmicos entre estudantes e pede a colaboração de novos enunciados de exames para continuar fornecendo conteúdo relevante.
Este documento discute o tópico da derivação em matemática. Explica o conceito de derivada como sendo a inclinação de uma curva e apresenta exemplos de como calcular derivadas de funções como polinomiais, irracionais, funções do produto e quociente. Também apresenta aplicações da derivação em economia, como o cálculo de custos marginais e médios de uma empresa.
O documento resume os principais pontos abordados na última aula de bioestatística. Foram revisados conceitos como distribuição normal, estimativa pontual para média e variância, inferência estatística usando o teorema do limite central, e distribuição binomial. A próxima aula será uma prova para avaliar a compreensão dos alunos sobre esses tópicos.
Este documento apresenta os principais conceitos de bioestatística abordados em uma aula para alunos de graduação em educação física. Inclui noções sobre distribuições de probabilidade como a normal e binomial, cálculo de probabilidades usando a distribuição normal e a tabela normal padrão, estimativas amostrais e inferência estatística.
1. O documento discute propriedades de funções como domínio, valores em pontos específicos, limites superior e inferior, monotonia e periodicidade.
2. Exemplos de funções analisadas incluem f(x) = 1/x2-x, f(x) = √9-x2 e f(x) = cos 2x.
3. As respostas fornecem desenvolvimentos lógicos completos com conclusões sobre o domínio, valores, limites e propriedades de cada função analisada.
O documento discute aplicações de derivadas em cálculo diferencial e integral, incluindo máximos e mínimos de funções, pontos críticos e classificação de pontos críticos. Exemplos de problemas de maximização e minimização são apresentados e discutidos os conceitos de velocidade e aceleração como derivadas de posição no tempo e velocidade no tempo, respectivamente.
O documento discute propriedades de funções e resolução de exercícios relacionados. Em três frases:
1. O documento analisa propriedades de monotonia de funções como f(x) = x2, f(x) = √x + 1 e f(x) = cos x, encontrando os maiores intervalos onde cada função é crescente ou decrescente.
2. Também verifica a presença de extremos globais e locais em funções como f(x) = 1 − 2x e f(x) = |1 − 2x| em diferentes intervalos.
O documento discute Cálculo Numérico, que busca encontrar soluções aproximadas de problemas por meio de métodos de cálculo. Explica que é necessário definir a precisão ou erro tolerado para cada problema. Apresenta exemplos de como encontrar taxas implícitas em condições de venda e discute métodos numéricos como forma de resolver equações para as quais não há métodos algébricos.
O documento apresenta uma introdução sobre funções exponenciais e seu uso em diversas áreas como física, química e biologia. Em seguida, exemplifica o cálculo do número de antepassados de um casal usando funções exponenciais e apresenta a definição formal de função exponencial e algumas de suas propriedades gráficas e algébricas.
Este documento apresenta uma introdução às funções. Discute a definição formal de função, exemplos de funções, como representar funções, tipos de funções, propriedades como simetria, monoticidade e interceptos, e operações com funções como combinações, composições e inversão.
1) O documento apresenta vários conceitos e fórmulas de probabilidade e estatística, álgebra, funções e cálculo.
2) Inclui definições de distribuição de probabilidade, normal, condicionada e independente. Apresenta fórmulas de combinatória e binômio de Newton.
3) Também aborda limites, derivadas, integrais, funções trigonométricas, exponenciais e logarítmicas e seus conceitos associados como continuidade, pontos de inflexão e assimptotas.
O documento descreve conceitos fundamentais sobre limites de funções reais de variável real, incluindo:
1) Definição de limite segundo Heine e pontos aderentes;
2) Operações com limites finitos e infinitos;
3) Limites laterais e no infinito.
O documento discute conceitos fundamentais sobre limites de funções, incluindo: (1) a definição formal de limite de funções, (2) a relação entre limites e sequências, (3) propriedades aritméticas dos limites e (4) limites laterais e no infinito.
1) O documento apresenta uma lista de exercícios sobre cálculo diferencial, incluindo derivadas por definição, regras básicas de derivação e relação entre diferenciabilidade e continuidade.
2) Os exercícios envolvem calcular derivadas, determinar equações de retas tangentes, analisar diferenciabilidade e continuidade de funções.
3) As respostas explicam os cálculos e conclusões para cada exercício.
O documento introduz funções exponenciais e suas propriedades. Apresenta exemplos de crescimento exponencial como a duplicação de bactérias e decaimento radioativo. Explica como resolver equações e inequações exponenciais usando propriedades de potenciação ou substituição de variáveis.
O documento descreve o modelo AMMI para análise de ensaios multiambientais, que modela efeitos principais e interação de forma sequencial. Dois métodos de validação cruzada são apresentados para otimizar a seleção do número de componentes multiplicativos no modelo AMMI: leave-one-out e uma mistura de regressão e aproximação de matrizes de posto inferior.
O documento explica as funções exponenciais, incluindo sua definição, gráficos e como resolver equações e inequações exponenciais. Apresenta exemplos de funções exponenciais e como identificar se uma função é crescente ou decrescente dependendo do valor da base. Demonstra métodos para resolver equações e inequações exponenciais, com ou sem o uso de artifícios.
1) O documento descreve diferentes tipos de funções elementares, incluindo funções constantes, identidade, lineares, do primeiro grau, módulo, quadráticas e racionais.
2) As funções constantes, identidade e lineares têm domínio R, enquanto funções do primeiro grau e quadráticas mapeiam R para R.
3) A função módulo mapeia R para [0, +∞) e funções racionais têm domínio excluindo valores que tornam o denominador zero.
O documento discute conceitos iniciais sobre derivadas, incluindo: (1) Galileu descreveu a relação entre espaço e tempo na queda dos corpos, mas faltava o cálculo diferencial; (2) Newton e Leibniz desenvolveram o cálculo diferencial para medir a taxa de mudança de fenômenos físicos; (3) Isso permitiu explicar o mundo com matemática e desencadeou avanços científicos e tecnológicos.
[1] O documento apresenta exercícios sobre derivadas de funções, incluindo cálculo de derivadas usando a definição, regras de derivação, regra da cadeia e derivação implícita. [2] São abordados conceitos como função derivável, derivabilidade, equações de retas tangentes e normais. [3] Há exercícios sobre logaritmos, exponenciais, funções trigonométricas e suas derivadas.
Este documento apresenta um resumo sobre funções matemáticas. Discute conceitos como domínio, contradomínio, função injetiva, sobrejetiva e bijetiva. Apresenta exemplos de composição e inversa de funções. Explica gráficos de funções e ordena classes de funções de acordo com sua ordem de grandeza.
O documento fornece informações sobre um site que oferece exames resolvidos e explicações de maneira gratuita. O site incentiva a contribuição e compartilhamento de materiais acadêmicos entre estudantes e pede a colaboração de novos enunciados de exames para continuar fornecendo conteúdo relevante.
Este documento discute o tópico da derivação em matemática. Explica o conceito de derivada como sendo a inclinação de uma curva e apresenta exemplos de como calcular derivadas de funções como polinomiais, irracionais, funções do produto e quociente. Também apresenta aplicações da derivação em economia, como o cálculo de custos marginais e médios de uma empresa.
O documento resume os principais pontos abordados na última aula de bioestatística. Foram revisados conceitos como distribuição normal, estimativa pontual para média e variância, inferência estatística usando o teorema do limite central, e distribuição binomial. A próxima aula será uma prova para avaliar a compreensão dos alunos sobre esses tópicos.
Este documento apresenta os principais conceitos de bioestatística abordados em uma aula para alunos de graduação em educação física. Inclui noções sobre distribuições de probabilidade como a normal e binomial, cálculo de probabilidades usando a distribuição normal e a tabela normal padrão, estimativas amostrais e inferência estatística.
1. O documento discute propriedades de funções como domínio, valores em pontos específicos, limites superior e inferior, monotonia e periodicidade.
2. Exemplos de funções analisadas incluem f(x) = 1/x2-x, f(x) = √9-x2 e f(x) = cos 2x.
3. As respostas fornecem desenvolvimentos lógicos completos com conclusões sobre o domínio, valores, limites e propriedades de cada função analisada.
O documento discute aplicações de derivadas em cálculo diferencial e integral, incluindo máximos e mínimos de funções, pontos críticos e classificação de pontos críticos. Exemplos de problemas de maximização e minimização são apresentados e discutidos os conceitos de velocidade e aceleração como derivadas de posição no tempo e velocidade no tempo, respectivamente.
O documento discute propriedades de funções e resolução de exercícios relacionados. Em três frases:
1. O documento analisa propriedades de monotonia de funções como f(x) = x2, f(x) = √x + 1 e f(x) = cos x, encontrando os maiores intervalos onde cada função é crescente ou decrescente.
2. Também verifica a presença de extremos globais e locais em funções como f(x) = 1 − 2x e f(x) = |1 − 2x| em diferentes intervalos.
O documento discute Cálculo Numérico, que busca encontrar soluções aproximadas de problemas por meio de métodos de cálculo. Explica que é necessário definir a precisão ou erro tolerado para cada problema. Apresenta exemplos de como encontrar taxas implícitas em condições de venda e discute métodos numéricos como forma de resolver equações para as quais não há métodos algébricos.
O documento apresenta uma introdução sobre funções exponenciais e seu uso em diversas áreas como física, química e biologia. Em seguida, exemplifica o cálculo do número de antepassados de um casal usando funções exponenciais e apresenta a definição formal de função exponencial e algumas de suas propriedades gráficas e algébricas.
Este documento apresenta uma introdução às funções. Discute a definição formal de função, exemplos de funções, como representar funções, tipos de funções, propriedades como simetria, monoticidade e interceptos, e operações com funções como combinações, composições e inversão.
1) O documento apresenta vários conceitos e fórmulas de probabilidade e estatística, álgebra, funções e cálculo.
2) Inclui definições de distribuição de probabilidade, normal, condicionada e independente. Apresenta fórmulas de combinatória e binômio de Newton.
3) Também aborda limites, derivadas, integrais, funções trigonométricas, exponenciais e logarítmicas e seus conceitos associados como continuidade, pontos de inflexão e assimptotas.
O documento descreve conceitos fundamentais sobre limites de funções reais de variável real, incluindo:
1) Definição de limite segundo Heine e pontos aderentes;
2) Operações com limites finitos e infinitos;
3) Limites laterais e no infinito.
O documento discute conceitos fundamentais sobre limites de funções, incluindo: (1) a definição formal de limite de funções, (2) a relação entre limites e sequências, (3) propriedades aritméticas dos limites e (4) limites laterais e no infinito.
1) O documento apresenta a ementa da disciplina de Física Geral ministrada no Campus Capanema da Universidade Federal Rural da Amazônia no ano de 2014, com os principais tópicos abordados, cronograma de avaliações e métodos de avaliação.
2) Os tópicos abordados incluem sistemas de medidas, mecânica newtoniana, gravitação, termodinâmica, eletromagnetismo, óptica e aplicações da física nuclear e biofísica.
3) As avaliações consistem
O documento apresenta um resumo de tópicos fundamentais de matemática, incluindo teoria dos conjuntos, relações e funções, funções do primeiro e segundo grau, funções exponenciais, logarítmicas, trigonométricas e modulares, combinatória, probabilidades e porcentagem. Ao todo são dezesseis tópicos abordados de forma concisa.
O documento discute limites de funções. Aborda conceitos como limite de funções, propriedades dos limites, limites laterais, limites no infinito e infinitos, critérios para limites como o critério de Cauchy e o teorema do sanduíche. Também discute relação entre limites e sequências, limites de funções em espaços métricos e o critério de Stolz-Cesàro para limites de funções.
1) O documento apresenta os principais conceitos e propriedades da matemática discreta, incluindo lógica proposicional, conjuntos, relações, funções, indução, combinatória e probabilidade.
2) São definidas propriedades lógicas como negação, conjunção, disjunção e implicação. Também são apresentados princípios como lei de De Morgan, contraposição e modus ponens/tollens.
3) Inclui definições de conceitos fundamentais como relações de equivalência e ordem, além de propriedades de
(1) A função exponencial natural, denotada por exp, é a inversa da função logarítmica natural. (2) A função exponencial de base e é representada por ex e ln e = 1. (3) As propriedades da função exponencial incluem ex+y = exey, e−x = 1/ex e ex−y = ex/ey.
Exercícios de Cálculo Diferencial e IntegralMaths Tutoring
Exercícios sobre limites, continuidade, limites, etc.
Recomendo livros
Inglês - Calculus, Early Transcendentals, James Stewart
Português - Análise Matemática, Leituras e Exercícios, Carlos Sarrico
O documento resume as seguintes informações sobre funções:
1) Revisa transformações de funções como translações, esticamentos/encolhimentos e simetrias.
2) Define funções pares, ímpares, injetivas e inversas.
3) Explica as funções exponenciais e logarítmicas, suas propriedades e como resolver equações e inequações com elas.
4) Discutem domínios de funções, incluindo condições para logaritmos e tangente.
[1] O documento apresenta conceitos básicos de probabilidade e estatística, incluindo definições de fenômenos determinísticos e aleatórios, variáveis aleatórias discretas e contínuas, e funções de probabilidade. [2] Também discute conceitos como espaço amostral, eventos, probabilidade condicional, teoremas da probabilidade total e de Bayes. [3] Por fim, exemplifica cálculos de probabilidade para lançamento de dados.
O capítulo resume as características e resolução de equações e inequações racionais e irracionais, incluindo operações com funções racionais como soma, diferença, produto, quociente e função composta. Explica também como determinar se uma função tem inversa e como construir a expressão analítica da inversa.
A aula apresenta regras de derivação para funções como exponencial, logaritmo, soma, produto e quociente de funções. Inclui demonstrações das fórmulas de derivação e exemplos de cálculo de derivadas de funções compostas.
Exercícios resolvidos. funções trigonométricas e as suas inversaszeramento contabil
1) O documento discute funções trigonométricas periódicas e determina seus períodos mínimos positivos.
2) É resolvido o período mínimo de funções como sen(4x - 1), cos(πx - 1) e tg(5x + 4).
3) O período varia de acordo com a função trigonométrica, sendo π/2 para sen(4x - 1), 2 para cos(πx - 1) e π/5 para tg(5x + 4).
1) O documento discute funções trigonométricas periódicas e determina seus períodos mínimos positivos.
2) É resolvido o período mínimo de funções como sen(4x-1), cos(πx-1) e tg(5x+4).
3) O período varia de acordo com a função trigonométrica, sendo π/2 para sen(4x-1), 2 para cos(πx-1) e π/5 para tg(5x+4).
[Robson] 7. Programação Não Linear Irrestritalapodcc
O documento discute conceitos fundamentais de programação não linear, incluindo: (1) o problema geral de otimização, (2) classes de problemas de otimização dependendo das propriedades da função objetivo e do conjunto de restrições, (3) condições necessárias e suficientes de primeira e segunda ordem para otimalidade de problemas contínuos e (4) aplicação destes conceitos em problemas quadráticos.
O documento descreve uma aula sobre funções matemáticas. Ele define funções, explica seus componentes (domínio e contradomínio) e fornece exemplos de diferentes tipos de funções, incluindo funções geradas por dados experimentais, modelos matemáticos, expressões polinomiais e outras. Além disso, discute como manipular funções através de deslocamentos, reflexões e expansões/contrações de seus gráficos.
Calculo Integral - Conceito de primitiva e técnicas de primitivaçãoMaths Tutoring
Em qualquer curso superior do tipo científico, é inevitável o cálculo integral, em particular, a introdução do conceito de primitiva.
Este trabalho visa consolidar os conhecimentos sobre a questão da primitivação.
Further reading:
Calculus, Early Transcendentals, James Stewart
Analise Matematica, Leituras e exercicios, Carlos Sarrico
O documento discute limites de funções. Apresenta a definição formal de limite e exemplos de cálculo de limites à direita, esquerda e bilateral. Também aborda limites infinitos e casos em que o limite não existe devido a limites laterais diferentes.
O documento discute o conceito de Value-at-Risk (VaR) e fornece detalhes sobre: (1) Objetivos do VaR como medida de risco, (2) Métodos para calcular o VaR usando simulações de preços e modelos estatísticos, (3) Dinâmica de preços usando modelos de passeio aleatório.
Egito antigo resumo - aula de história.pdfsthefanydesr
O Egito Antigo foi formado a partir da mistura de diversos povos, a população era dividida em vários clãs, que se organizavam em comunidades chamadas nomos. Estes funcionavam como se fossem pequenos Estados independentes.
Por volta de 3500 a.C., os nomos se uniram formando dois reinos: o Baixo Egito, ao Norte e o Alto Egito, ao Sul. Posteriormente, em 3200 a.C., os dois reinos foram unificados por Menés, rei do alto Egito, que tornou-se o primeiro faraó, criando a primeira dinastia que deu origem ao Estado egípcio.
Começava um longo período de esplendor da civilização egípcia, também conhecida como a era dos grandes faraós.
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O Que é Um Ménage à Trois?
A sociedade contemporânea está passando por grandes mudanças comportamentais no âmbito da sexualidade humana, tendo inversão de valores indescritíveis, que assusta as famílias tradicionais instituídas na Palavra de Deus.
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Caderno de Resumos XVIII Encontro de Pesquisa em Filosofia da UFU, IX Encontro de Pós-Graduação em Filosofia da UFU e VII Encontro de Pesquisa em Filosofia no Ensino Médio
Sistema de Bibliotecas UCS - Chronica do emperador Clarimundo, donde os reis ...Biblioteca UCS
A biblioteca abriga, em seu acervo de coleções especiais o terceiro volume da obra editada em Lisboa, em 1843. Sua exibe
detalhes dourados e vermelhos. A obra narra um romance de cavalaria, relatando a
vida e façanhas do cavaleiro Clarimundo,
que se torna Rei da Hungria e Imperador
de Constantinopla.
PowerPoint Newton gostava de Ler - Saber em Gel.pdf
12 m resumo_2017_2018
1. 6/11/17
1
PROBABILIDADES
ü Propriedades das operações com acontecimentos:
ü Lei de Laplace:
P A( )=
número de casos favoráveis
número de casos possíveis
Propriedades União de acontecimentos Interseção de acontecimentos
comutativa
associativa
elemento neutro
elemento absorvente
idempotência
distributiva
leis de De Morgan
1Matemática A
A∩ B = B∩ AA∪ B = B∪ A
A∪ B( )∪C = A∪ B∪C( ) A∩ B( )∩C = A∩ B∩C( )
A∪ B∩C( )= A∪ B( )∩ A∪C( )
A ∪{}= A A∩Ω = A
A∪Ω = Ω A∩{}= {}
A∪ A = A A∩ A = A
A∩ B∪C( )= A∩ B( )∪ A∩C( )
A ∪ B( )= A ∩ B A∩ B( )= A∪ B
A lei de Laplace só se pode aplicar em
experiências em que os acontecimentos
elementares são equiprováveis
Acontecimento
contrário
A∪ A = Ω
A∩ A = {}
A = A
PROBABILIDADES
ü Axiomas (Kolmogorov)
§ P(Ω) = 1
§ P(A) ≥ 0
§ se A e B são acontecimentos incompatíveis, isto é, se então
2Matemática A
ü Probabilidade condicionada: P A | B( )=
P A ∩ B( )
P B( )
⇔ P A ∩ B( )= P A | B( )× P B( )
ü A e B são acontecimentos independentes se e só se:
§
§
P A( )= P A | B( )
P A∩ B( )= P A( )× P B( )
ü Teoremas:
1.
2.
3.
4.
5.
P {}( )= 0
P A ∪ B( ) = P A( )+ P B( )− P A ∩ B( )
0 ≤ P A( ) ≤1
P A( )= 1− P A( )
A∩ B
A∩ B A∩ B
A∩ B
Ω
A∩ B = {} P A ∪ B( ) = P A( )+ P B( )
P A( ) = P A ∩ B( )+ P A ∩ B( )
2. 6/11/17
2
PROBABILIDADES
ü Árvore de Probabilidades:
3Matemática A
ü Tabela de contingência:
Total
Total 1 (100%)
P A( )A
A P A( )
P B( )P B( )
B B
P A∩ B( ) P A∩ B( )
P A∩ B( ) P A∩ B( )
P B | A( ) P A ∩ B( )
P A( )
B
P A( )
P B | A( )
P B | A( ) B
B
B
P A ∩ B( )
P A ∩ B( )
P B | A( ) P A ∩ B( )
A
A
P B( )
P B( )
ANÁLISE COMBINATÓRIA
0!= 1
1!= 1
ü Cálculo combinatório
§ fatorial de um número natural n:
§ permutações de n elementos distintos:
§ arranjos sem repetição:
§ arranjos com repetição:
§ combinações:
n!= n × n −1( )× n − 2( )×...× 3× 2 ×1
Pn = n!
n
Ap =
n!
n − p( )!n
A'
p = np
n
Cp =
n
Ap
p!
=
n!
p! n − p( )!
Entram todos os
elementos na
sequência?
Permutações
Sim
Arranjos com
repetição
Não
Sim Não
Arranjos sem repetição
Não
Importa a ordem
dos elementos?
Sim
Os elementos
repetem-se?
Não
Os elementos
repetem-se?
Combinações
ü Síntese
4Matemática A
3. 6/11/17
3
ANÁLISE COMBINATÓRIA
ü Triângulo de Pascal
ü Binómio de Newton:
§ Termo geral do desenvolvimento:
O desenvolvimento de (a+b)n tem n+1 termos
O grau de cada monómio é igual a n
5Matemática A
ü Propriedades do triângulo de Pascal:
§ O primeiro e último elemento de qualquer linha do triângulo é sempre 1:
§ Em cada linha os elementos equidistantes dos extremos são iguais:
§ A soma de dois elementos consecutivos de uma linha, é igual ao elemento que se encontra
entre eles na linha seguinte:
§ A linha de ordem n tem (n+1) elementos
§ A soma de todos os elementos da linha de ordem n é igual a 2n :
§ O segundo e o penúltimo elementos da linha n é igual a n:
n
C0 = n
Cn = 1, n ∈N0
n
Cp = n
Cn− p n, p ∈N0, p ≤ n
n
Cp + n
Cp+1 = n+1
Cp+1 n, p ∈N0, p ≤ n
n
C0 + n
C1 + ...+ Cn = 2n
, n ∈N0
n
C1 = n
Cn−1 = n
Tp+1 = n
Cp × an− p
× bp
a + b( )n
= n
Ck
k=0
n
∑ × an−k
× bk
, n, p ∈N0, p ≤ n
PROBABILIDADES E COMBINATÓRIA
ü Distribuição de probabilidades:
§ Valor médio ou esperado:
§ Desvio padrão:
ü Distribuição binomial: B(n,p)
6Matemática A
ü Distribuição normal: N(µ,σ)
§
§
§
µ = p1 x1 + ...+ pn xn
σ = p1 x1 − µ( )2
+ ...+ pn xn − µ( )2
P X = k( )= n
C´k × pn
× 1− p( )n−k
, 0 ≤ k ≤ n
P µ −σ < X < µ +σ( )≈ 0,6827
P µ − 2σ < X < µ + 2σ( )≈ 0,9545
P µ − 3σ < X < µ + 3σ( )≈ 0,9973
xi x1 x2 … xn
P(X=xi) p1 p2 … pn
pi = 1
i=1
n
∑
Só estamos perante um processo de provas
repetidas se efetuamos a mesma experiência
repetidas vezes, nas mesmas condições
4. 6/11/17
4
FUNÇÕES
7Matemática A
Generalidades
Função injetiva
objetos diferentes têm
sempre imagens diferentes
Função par
O gráfico é simétrico em
relação ao eixo das ordenadas
Função ímpar
O gráfico é simétrico em
relação à origem do referencial
∀x1,x2 ∈Df : x1 ≠ x2 ⇒ f x1( )≠ f x2( )
∀x1,x2 ∈Df : f x1( )= f x2( )⇒ x1 = x2
∀x ∈Df : f −x( )= f x( )
∀x ∈Df : f −x( )= − f x( )
Transformações de gráficos (k > 0)
Os gráficos de f e g são simétricos em relação ao eixo das abcissas
Os gráficos de f e g são simétricos em relação ao eixo das ordenadas
O gráfico de g desloca-se, em relação ao de f, k unidades para cima
O gráfico de g desloca-se, em relação ao de f, k unidades para baixo
O gráfico de g desloca-se, em relação ao de f, k unidades para a esquerda
O gráfico de g desloca-se, em relação ao de f, k unidades para a direita
g x( )= − f x( )
g x( )= f −x( )
g x( )= f x( )+ k
g x( )= f x( )− k
g x( )= f x + k( )
g x( )= f x − k( )
Regras
Definições
FUNÇÕES
8Matemática A
ax
× ay
= ax+y
ax
× bx
= a × b( )x
ax
ay
= ax−y
ax
bx
=
a
b
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
x
ax
( )
y
= axy
üPotências:
a−n
=
1
an
an
( )
k
= a
k
n
a1
= a
a0
= 1
5. 6/11/17
5
SUCESSÕES
ü Monotonia de uma sucessão (un)
§ monótona crescente se:
§ monótona decrescente se:
un+1 − un ≥ 0, ∀n ∈N
un+1 − un ≤ 0, ∀n ∈N
ü Progressões
Progressão aritmética Progressão geométrica
Razão
Termo geral
Soma dos n primeiros
termos
r = un+1 − un r =
un+1
un
un = u1 + n −1( )× r
un = uk + k −1( )× r
Sn =
u1 + un
2
× n Sn = u1 ×
1− rn
1− r
9Matemática A
lim 1+
1
n
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
n
= e
un = u1 × rn−1
un = uk × rn−k
FUNÇÕES
10Matemática A
Função Domínio Expressão
soma
diferença
produto
quociente
composta
inversa
Df +g = Df ∩ Dg
Df −g = Df ∩ Dg
Df ×g = Df ∩ Dg
Df +g = Df ∩ Dg x ∈R :g x( )= 0{ }
f + g( ) x( )= f x( )+ g x( )
f − g( ) x( )= f x( )− g x( )
f × g( ) x( )= f x( )× g x( )
f
g
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ x( )=
f x( )
g x( )
Dgo f = x : x ∈Df ∧ f x( )∈Dg{ } go f( ) x( )= g f x( )⎡⎣ ⎤⎦
Df −1 = D'f f −1
b( )= a ⇔ f a( )= b
Não se deve confundir f -1 com 1
f
6. 6/11/17
6
FUNÇÕES
11Matemática A
(a > 1)
Função exponencial:
f (x) = ax
Função logarítmica:
f (x) = logax
Domínio
Contradomínio
Interseção com o
eixo das ordenadas
no ponto (0, 1)
no ponto (1, 0)
1 é zero da função
Interseção com o
eixo das ordenadas
não tem zeros
não interseta este eixo
Monotonia
estritamente crescente estritamente crescente
Injetiva
sim sim
Limites
ax
= ay
⇔ x = y
ax
< ay
⇔ x < y
a−∞
= 0
a+∞
= +∞
R
R+
ax
> 0
R
R+
loga x < loga y ⇔ x < y
A inversa da função
exponencial de base a é a
função logarítmica de base a
loga x = loga y ⇔ x = y
loga 0+
= −∞
loga +∞( )= +∞
Propriedades operatóriasConsequências da
definição
FUNÇÕES
12Matemática A
ü Logaritmo de um número numa dada base a (a >1):
loga x = y ⇔ ay
= x
loga a = 1
loga 1= 0
loga ax
( )= x
aloga x
= x
loga xy( )= loga x + loga y
loga
x
y
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ = loga x − loga y
loga
1
x
= −loga x
loga xk
( )= k loga x
loga xn
=
1
n
loga x
Fórmula de mudança
de base
loga x =
logb x
logb a
7. 6/11/17
7
LIMITES
13Matemática A
Álgebra dos limites
Adição (+ ∞) + (+∞) = + ∞ (− ∞) + (− ∞) = − ∞ a + (+∞) = + ∞ a + (−∞) = − ∞
Multiplicação
(mantém-se a
regra dos sinais)
∞ × ∞ = ∞ a × ∞ = ∞ (a ≠ 0)
Divisão
(mantém-se a
regra dos sinais)
Potenciação
(mantém-se a
regra dos sinais)
∞n = ∞
Radiciação
(mantém-se a
regra dos sinais)
Símbolos de
indeterminação
+ ∞ − ∞ 0 × ∞
0
0
∞
a
= ∞
a
∞
= 0
∞
∞
a ∈R, n ∈N
a
0
= ∞ a ≠ 0( )
+∞n
= +∞ −∞n
= −∞ n ímpar( )
LIMITES
14Matemática A
ü Definição de limite de uma função segundo Heine:
Dizemos que se, e só se, qualquer que seja a sucessão (xn), que tenha todos os seus
elementos pertencentes ao domínio de f e que tenda para a, por valores diferentes de a, a
correspondente sucessão das imagens f (xn) converge para b
lim
x→a
f x( )= b
ü Limites laterais:
Supondo que faz sentido falar nos limites laterais e dizemos que existe
se, e só se os dois limites laterais existirem e forem iguais, sendo:
lim
x→a−
f x( ) lim
x→a+
f x( )
lim
x→a
f x( )
lim
x→a
f x( )= lim
x→a−
f x( )= lim
x→a+
f x( )
8. 6/11/17
8
LIMITES
15Matemática A
Indeterminação Tipo de função Como levantar a indeterminação
∞ − ∞
Polinomial
Colocar em evidência o termo de maior grau ou selecionar o termo
de maior grau do polinómio
Irracional Multiplicar e dividir a expressão pelo seu conjugado
Racional
Colocar em evidência o termo de maior grau no numerador e no
denominador ou selecionar o termo de maior grau no numerador e
no denominador
Irracional
Depende do tipo de expressão: simplificar a expressão ou multiplicar
e dividir pelo radical
Racional
Fatorizar o numerador e o denominador de modo a simplificar a
expressão
Irracional Multiplicar e dividir a expressão pelo seu conjugado
0 × ∞ - Efetuar o produto, obtendo-se uma das indeterminações anteriores
0
0
∞
∞
Nas funções exponenciais e logarítmicas levanta-se as indeterminações recorrendo aos limites
notáveis:
lim
x→+∞
ln x
x
= 0 lim
x→0
ln x +1( )
x
= 1lim
x→0
ex
−1
x
= 1lim
x→+∞
ex
xp
= +∞
CONTINUIDADE
16Matemática A
ü Função contínua no ponto a (não isolado) do seu domínio:
§ Se dizemos que a função f é contínua no ponto a
§ Se não existir ou se dizemos que a função f não é contínua no
ponto a
lim
x→a
f x( )= f a( )
lim
x→a
f x( ) lim
x→a
f x( )≠ f a( )
Uma função f é contínua à direita, num ponto a do seu domínio se
Uma função f é contínua à esquerda, num ponto a do seu domínio se
Se uma função é contínua à direita e é contínua à esquerda, num ponto, então é contínua nesse
ponto
lim
x→a+
f x( )= f a( )
lim
x→a−
f x( )= f a( )
Uma função f é contínua no intervalo aberto ]a, b[ contido no seu domínio, se for contínua em todos
os pontos do intervalo
Uma função f é contínua no intervalo fechado [a, b] contido no seu domínio, se for contínua no
intervalo aberto ]a, b[ , contínua à direita no ponto a e contínua à esquerda no ponto b
Uma função f é contínua se for contínua em todos os pontos do domínio
9. 6/11/17
9
TEOREMA DE BOLZANO
17Matemática A
ü Teorema de Bolzano:
Seja f uma função contínua no intervalo [a, b]
Seja k um número real entre f (a) e f (b) : f (a) < k < f (b)
Então existe pelo menos um número real c entre a e b cuja imagem é k : ∃c ∈ a,b] [: f c( )= k
ü Corolário do teorema de Bolzano:
Seja f uma função contínua no intervalo [a, b]
Se f (a) e f (b) tiverem sinais contrários: f (a) × f (b) < 0
Então a função tem pelo menos um zero entre a e b : ∃c ∈ a,b] [: f c( )= 0
ASSÍNTOTAS
18Matemática A
ü Assíntota horizontal:
A reta de equação y =b é uma assíntota horizontal do gráfico da função f , quando se,
e só se (sendo b um número real)
x → ±∞
lim
x→±∞
f x( ) = b
ü Assíntota vertical
A reta de equação x =a é uma assíntota vertical do gráfico da função f se, e só:
e/ou
lim
x→a−
f x( )= ±∞
lim
x→a+
f x( )= ±∞
ü Assíntota não vertical:
A reta de equação y = m x +b é assíntota não vertical do gráfico da função f , quando
se, e só se:
lim
x→±∞
f x( )− mx + b( )⎡⎣ ⎤⎦ = 0 lim
x→±∞
f x( )− mx⎡⎣ ⎤⎦ = b lim
x→±∞
f x( )
x
= m
x → ±∞
O gráfico de uma função não tem qualquer assíntota
vertical se a função for contínua e tiver por domínio o
conjunto ou um intervalo fechadoR
Se m = 0 a reta é uma assíntota horizontal
Se não existe assíntota oblíquam ∉R
10. 6/11/17
10
DERIVADAS
19Matemática A
ü Taxa média de variação :
Seja f uma função e seja [a, b] um intervalo contido no domínio de f
Chama-se taxa média de variação de f no intervalo [a, b], com a ≠ b ao valor tmv a,b[ ] =
f b( )− f a( )
b − a
ü Derivada de uma função num ponto:
Seja f uma função e seja a um ponto contido do seu domínio
Chama-se derivada da função f no ponto a ao limite (se existir)
ou
f '
a( )= lim
x→a
f x( )− f a( )
x − a
f '
a( )= lim
h→0
f a + h( )− f a( )
h
A derivada de uma função num ponto representa geometricamente o
declive da reta tangente ao gráfico da função nesse ponto
Toda a função com derivada finita num ponto é contínua nesse ponto
DERIVADAS
20Matemática A
- Quando as derivadas laterais num ponto são iguais, existe derivada da função nesse ponto
- Quando as derivadas laterais num ponto são diferentes, não existe derivada da função
nesse ponto
ü Derivadas laterais:
Seja f uma função e seja a um ponto contido do seu domínio
§ Chama-se derivada lateral esquerda da função f no ponto a ao limite (se existir)
ou
§ Chama-se derivada lateral direita da função f no ponto a ao limite (se existir)
ou
f '
a−
( )= lim
x→a−
f x( )− f a( )
x − a
f '
a−
( )= lim
h→0−
f a + h( )− f a( )
h
f '
a+
( )= lim
x→a+
f x( )− f a( )
x − a
f '
a+
( )= lim
h→0+
f a + h( )− f a( )
h
Pode não fazer sentido determinar pelo menos uma das derivadas
laterais de uma função num ponto do seu domínio
11. 6/11/17
11
DERIVADAS
21Matemática A
Derivada Regras de derivação
constante (k)’ = 0
soma (u + v)’ = u’+ v’
produto (k u)’ = k u’ (u × v)’ = u’ v + u v’
quociente
potência (un)’ = n un-1 u’
raiz quadrada
função exponencial de base e (ex)’ = ex (eu)’ = eu u’
função exponencial de base a (ax)’ = ax ln a (au)’ = u’au ln a
função logarítmica de base e
função logarítmica de base a
função composta (g o f)’ (x) = f’(x) × g’ [ f(x)]
1
v
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
'
= −
v'
v2
u
v
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
'
=
u'v − uv'
v2
x( )
'
=
1
2 x
u( )
'
=
u'
2 u
ln x( )'
=
1
x
lnu( )'
=
u'
u
loga x( )'
=
1
xlna
loga u( )'
=
u'
ulna
DERIVADAS
22Matemática A
ü Monotonia e extremos:
Método para o estudo de uma função, quanto à monotonia e aos extremos:
1. determinar a derivada da função
2. determinar os zeros da derivada
3. elaborar um quadro, no qual se estabelece a relação entre o sinal e os zeros da derivada com
a monotonia e os extremos da função
Um zero da derivada só corresponde a um
extremo da função, se a derivada mudar de
sinal desse ponto (1)
- se a derivada passar de negativa a
positiva, a função tem um mínimo
- se a derivada passar de positiva a
negativa, a função tem um máximo
- Se f’(x) ≥ 0 para qualquer então a
função f é crescente em I
- Se f’(x) ≤ 0 para qualquer então a
função f é decrescente em I
x ∈I
x ∈I
Sabendo que f’(x) = 0:
- se f’’(a) < 0 então a função f tem um máximo para x = a
- se f’’(a) > 0 então a função f tem um mínimo para x = a
(1) Se a função não for
contínua nesse ponto, esta
análise é realizada após o
cálculo das derivadas laterais
Ter em atenção o domínio da função e da 1.ª derivada
12. 6/11/17
12
DERIVADAS
23Matemática A
ü Concavidade e pontos de inflexão:
Método para o estudo de uma função, quanto ao sentido das concavidades e existência de pontos
de inflexão:
1. determinar a segunda derivada da função
2. determinar os zeros da segunda derivada
3. elaborar um quadro, no qual se estabelece a relação entre o sinal e os zeros da segunda
derivada com o sentido das concavidades e pontos de inflexão do gráfico da função
O ponto (a, f(a)) é um ponto de
inflexão do gráfico da função f , se
nesse ponto, o gráfico de f mudar o
sentido da concavidade
- O gráfico da função f tem a concavidade voltada
para cima em I se, e só se
- O gráfico da função f tem a concavidade voltada
para baixo em I se, e só se
f '' x( )> 0, ∀x ∈I
f '' x( )< 0, ∀x ∈I
Ter em atenção o domínio da função e da 2.ª derivada
TRIGONOMETRIA
24Matemática A
ü Razões trigonométricas num triângulo retângulo:
senα =
cateto oposto
hipotenusa
=
a
c
cosα =
cateto adjacente
hipotenusa
=
b
c
tgα =
cateto oposto
cateto adjacente
=
a
b
ü Valores e sinal de algumas razões trigonométricas:
α
(30°) (45°) (60°)
sen α
cos α
tg α 1
π
2
π
3π
2
2ππ
6
π
4
π
3
1
2
1
2
3
2
3
2
2
2
2
2
3
3
3
α 0 1.º Q 2.º Q 3.º Q 4.º Q
sen α 0 + 1 + 0 − -1
−
0
cos α 1 + 0 − -1 − 0 + 1
tg α 0 +
n
d
− 0 +
n
d
−
0
π
2
π
3π
2
2π
Equações trigonométricas
senx = senα ⇔ x =α + 2kπ ∨ x = π −α + 2kπ, k ∈Z
cosx = cosα ⇔ x =α + 2kπ ∨ x = −α + 2kπ, k ∈Z
tgx = tgα ⇔ x =α + kπ, k ∈Z
13. 6/11/17
13
TRIGONOMETRIA
25Matemática A
ü Redução ao 1.º quadrante:
π
2
π
3π
2
2π
----- ----- ----- -----
π −α−α π +α
π
2
−α
π
2
+α
3π
2
−α
3π
2
+α
sen −α( )= −senα
cos −α( )= cosα
tg −α( )= −tgα
sen π −α( )= senα
cos π −α( )= −cosα
tg π −α( )= −tgα
sen π +α( )= −senα
cos π +α( )= −cosα
tg π +α( )= tgα
sen
π
2
−α
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ = cosα
cos
π
2
−α
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ = senα
sen
π
2
+α
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ = cosα
cos
π
2
+α
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ = −senα
sen
3π
2
−α
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ = −cosα
cos
3π
2
−α
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ = −senα
sen
3π
2
+α
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ = −cosα
cos
3π
2
+α
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ = senα
ü Fórmulas trigonométricas:
Fórmulas básicas Fórmulas da soma e da diferença Fórmulas do ângulo duplo
sen2
α + cos2
α = 1
tgα =
senα
cosα
1+ tg2
α =
1
cos2
α
sen 2α( )= 2senα cosα
sen α + β( )= senα cosβ + cosα senβ
sen α − β( )= senα cosβ − cosα senβ
cos α + β( )= cosα cosβ − senα senβ
cos α − β( )= cosα cosβ + senα senβ
tg α + β( ) =
tgα + tgβ
1− tgα tgβ
tg α − β( ) =
tgα − tgβ
1+ tgα tgβ
cos 2α( )= cos2
α − sen2
α
tg 2α( ) =
2tgα
1− tg2
α
TRIGONOMETRIA
26Matemática A
π
2
π
3π
2
2π
Funções: f (x) = sen x f (x) = cos x f (x) = tg x
Domínio
Contradomínio
Período Positivo mínimo: Positivo mínimo: Positivo mínimo:
Maximizantes Não tem extremos
(é crescente em qualquer
intervalo onde está definida)Minimizantes
Zeros
Continuidade Contínua em Contínua em Contínua no seu domínio
Simetrias Impar: Par: Impar:
Gráfico
Existe uma infinidade de
assíntotas verticais
−1,1[ ] −1,1[ ]
tg x = 0 ⇔ x = kπ, k ∈Z
sen x = 1⇔ x =
π
2
+ 2kπ, k ∈Z
R R
sen x = −1⇔ x = −
π
2
+ 2kπ, k ∈Z
sen x = 0 ⇔ x = kπ, k ∈Z
R
sen −x( )= −sen x
cos x = 1⇔ x = 2kπ, k ∈Z
cos x = −1⇔ x = π + 2kπ, k ∈Z
cos x = 0 ⇔ x =
π
2
+ kπ, k ∈Z
R
cos −x( )= cos x
x ∈R : x ≠
π
2
+ kπ, k ∈Z
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
R
tg −x( )= −tg x
2π 2π π
14. 6/11/17
14
TRIGONOMETRIA
27Matemática A
π
2
π
3π
2
2π
ü Derivadas:
§
§
§
sen x( )' = cos x senu( )' = u'cosu
cos x( )' = −sen x cosu( )' = −u'senu
tg x( )' =
1
cos2
x
tgu( )' =
u'
cos2
u
ü Limites
§ Não existem os seguintes limites:
§
§ Limite notável:
lim
x→±∞
sen x
lim
x→±∞
cos x
lim
x→±∞
tg x
lim
x→0
sen x
x
= 1
lim
$→±'
sin 𝑥
𝑥
= 0
COMPLEXOS
28Matemática A
π
2
π
3π
2
2π
Para dividir dois números
complexos, multiplicamos o
numerador e o denominador pelo
conjugado do denominador
ü Números complexos na forma algébrica
§ Conjunto dos números complexos:
- a é a parte real do número complexo z = a + bi: Re(z) = a
- bi é a parte imaginária do número complexo z = a + bi
- b é o coeficiente da parte imaginária do número complexo z = a + bi: Im(z) = b
§ Simétrico de um número complexo:
§ Conjugado de um número complexo:
§ Igualdade de números complexos:
§ Adição e subtração de números complexos:
§ Multiplicação de números complexos:
§ Divisão de números complexos:
a + bi( )± c + di( )= a ± c( )+ b ± d( )i
a + bi( )× c + di( )= ac − bd( )+ ad + bc( )i
a + bi
c + di
=
a + bi( )× c − di( )
c + di( )× c − di( )
£ = z = a + bi :a,b ∈R e i = −1{ }
a + bi = c + di ⇔ a = c ∧ b = d
z = a + bi = a − bi
−z = − a + bi( )= −a − bi
15. 6/11/17
15
COMPLEXOS
29Matemática A
π
2
π
3π
2
2π
ü Representação geométrica de um número complexo no plano complexo (ou de Argand)
§ imagem geométrica ou afixo do número complexo z = a + bi: ponto P(a,b)
§ Imagem vetorial do número complexo z: vetor OP
u ruu
P (a, b)
eixo real
eixo imaginário
Im(z)
Re(z)O a
bü Propriedades:
§
§
§
§
z( )
z + z = 2Re z( )
z × z = z
2
z + w = z + w z × w = z × w
z − z = 2Im z( )i
z
w
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
z
w
ü Potências de base i :
in
= i4 p+r
= ir
, r ∈ 0,1,2,3{ } n 4
r p
No plano complexo, a distância
entre os afixos dos números
complexos z e w é igual a |z – w|
COMPLEXOS
30Matemática A
π
2
π
3π
2
2π
ü Números complexos na forma trigonométrica
§ Forma trigonométrica de um número complexo:
- ρ é a módulo do número complexo z = a + bi:
- α é o argumento do número complexo z = a + bi:
. α é o argumento positivo mínimo de z:
. α é o argumento principal de z:
§ Simétrico de um número complexo:
§ Conjugado de um número complexo:
§ Inverso de um número complexo:
§ Igualdade de números complexos:
§ Multiplicação de números complexos:
§ Divisão de números complexos:
§ Potenciação:
§ Radiciação: o número complexo z tem n raízes de índice n dadas por:
z = ρ cisα = ρ cosα + i senα( )
z = ρ = a2
+ b2
arg z( )= α : tgα =
b
a
a ≠ 0( )
α ∈ 0,2π[ [
α ∈ −π,π] ]
−z = − ρ cisα( )= ρ cis π +α( )
z = ρ cisα = ρ cis −α( )
ρ1 cisα1 = ρ2 cisα2 ⇔ ρ1 = ρ2 ∧ α1 −α2 = 2kπ, k ∈Z
ρ1 cisα1( )× ρ2 cisα2( )= ρ1 ρ2 cis α1 +α2( )
ρ1 cisα1
ρ2 cisα2
=
ρ1
ρ2
cis α1 −α2( )
1
ρ cisα
=
1
ρ
cis −α( )
zn
= ρn
cis nα( )
ρ cis
α + 2kπ
n
k ∈ 0,1,...,n −1{ }
A partir do conhecimento de uma das raízes de
índice n de um número complexo, podemos
obter as restantes raízes, adicionado
sucessivamente ao argumento2π
n
As imagens geométricas
das raízes de índice n de
um número complexo são
vértices de um polígono
regular de n lados
16. 6/11/17
16
COMPLEXOS
31Matemática A
π
2
π
3π
2
2π
Condições em
Reta vertical que passa pelo ponto (a,0) Re(z) = a
Semiplano fechado situado à direita da reta x = a Re(z) ≤ a
Reta horizontal que passa pelo ponto (0, b) Im(z) = b
Semiplano aberto superior à reta y = b Im(z) > b
Circunferência de centro no afixo de z1 e raio r |z – z1| = r
Círculo de centro no afixo de z1 e raio r |z – z1| ≤ r
Exterior ao círculo de centro no afixo de z1 e raio r |z – z1| > r
Coroa circular de centro no afixo de z1 e raios r1 e r2 r1 ≤ |z – z1| ≤ r2
Mediatriz do segmento de reta cujos extremos são os afixos de z1 e z2 |z – z1| = |z – z2|
Semiplano fechado que contém o afixo de z1 |z – z1| ≤ |z – z2|
Semiplano aberto que contém o afixo de z2 |z – z1| > |z – z2|
Semirreta com origem em O que forma um ângulo de amplitude θ com o semieixo real
positivo
arg(z) = θ
Semirreta de origem no afixo de z1 que forma um ângulo de amplitude θ com a semirreta de
origem no afixo de z1 e com a direção e sentido do semieixo real positivo
arg(z-z1) = θ
Ângulo de vértice no afixo de z1 em que os lados fazem ângulos de amplitudes θ1 e θ2 com a
semirreta de origem no afixo de z1 e com a direção e sentido do semieixo real positivo θ1 < arg(z-z1) < θ2
£