O documento define módulo como a distância de um número real em relação à origem. Ele apresenta propriedades básicas do módulo, como: 1) o módulo é sempre maior ou igual a zero; 2) o módulo de zero é igual a zero; e 3) o módulo segue as mesmas regras de sinais da multiplicação.

1. Módulo
Para termos uma primeira noção de módulo considere a reta real abaixo:
Damos o nome de módulo ou valor absoluto à distância de um ponto da reta à
origem (distância de um ponto ao zero).
Assim, a distância do ponto 2 à origem é 2. Dizemos que o módulo de 2 é igual a 2.
E representamos:
|2| = 2
Da mesma forma, a distância do ponto -3 à origem é 3, ou seja, o módulo de -3 é 3,
pois não há muito sentido em considerarmos distâncias negativas. Assim:
|-3| = 3
Outros exemplos:
|5| = 5
|-9| = 9
|0| = 0
|-15| = 15
Definição (Generalização de módulo):
Sendo x define – se módulo ou valor absoluto de x que se indica por
, Através da relação
Isto significa que:
(1°) o módulo de um número real não negativo é igual ao próprio
número;
(2°) o módulo de um número real negativo é igual ao oposto desse
número.

2. Propriedades:
Decorrem da definição as seguintes propriedades:
1)
Módulo é a representação de distância de um número real até a origem zero. Como
não existe distância negativa então o módulo de qualquer número deve ser
obrigatoriamente maior ou igual a zero.
2)
Qual é o único número que possui uma distância zero em relação à origem?
R: Logicamente é a própria origem, pois não à distância dela para com ela mesma.
3)
Lembrando a regra de sinais da multiplicação:
“Sinais iguais passam para mais, já sinais diferentes
passam para menos”
Matematicamente:
(+a). (+b)= (+ab) ou (-a).(-b)= (+ab)
(-a). (+b) = (-ab) ou (+a).(-b)= (-ab)
Agora voltando à propriedade de módulo podemos observar sua veracidade dividindo ela em
dois casos:
(1° caso) x e y têm sinais iguais, por exemplo, x e y são positivos (x≥0 e y≥0):
, pois x ≥ 0 e y ≥ 0
também será positiva e com isso:

3. Portanto:
O símbolo “ ,
“significa se, e somente
se”.
(2° Caso) x e y têm sinais diferentes, por exemplo, x ≥ 0 e y < 0:
, pois x ≥ 0 e y < 0.
Portanto:
Conclusão: A propriedade é válida para x e y com sinais iguais e para x e y com sinais
diferentes. Ou seja, ela é válida para qualquer x e y pertencente aos Reais, pois Reais ( ) é o
conjunto que estamos trabalhando.
4) , qualquer que seja x
Para tentar mostrar a veracidade da propriedade vamos dividi – lá em dois casos diferentes:
(1° Caso) x≥0
Nesse caso pela definição de módulo:

4. (2° Caso) x<0
Pela definição:
Como
(o que é Verdade!)
Conclusão: é válido para qualquer x pertencente aos Reais ( ).
5) , qualquer que seja x, y
Para mostrar essa propriedade vamos lembrar a
potenciação da soma e da diferença de dois
números reais a e b:
Voltando a propriedade temos que:

5. .
Agora chegamos que
Para que se comprove a propriedade, temos que mostrar que a expressão que
chegamos ( é válida para qualquer x, y pertencente aos .
Vamos então analisar em casos:
(1°Caso) x≥0 e y≥0.
Nesse caso: xy ≥0, , Sendo assim:
(2°Caso) x<0 e y<0.
Nesse caso: xy >0, , Sendo assim:

6. Lembre-se que quando multiplicamos uma
desigualdade por um número negativo, o
símbolo da desigualdade se altera:
Ex: Observe a resolução dessa inequação:
-2x+2 > 0 -2x > -2 (-1) 2x < 2 x<1
(3°Caso) x≥0 e y<0.
Nesse caso: xy ≤ 0, , . Sendo assim:
(4°Caso) x<0 e y≥0.
Nesse caso: xy ≤0, , . Sendo assim:
Conclusão:
, qualquer que seja x, y
6) , qualquer que seja x, y
Para mostrarmos essa propriedade usamos o mesmo raciocínio usado da propriedade
anterior:

7. .
Agora chegamos que
Para que se comprove a propriedade, temos que mostrar que a expressão que chegamos
( é válida para qualquer x, y pertencente aos .
Vamos então analisar em casos:
(1°Caso) x≥0 e y≥0.
Nesse caso: xy ≥0, , . Sendo assim:
(2°Caso) x<0 e y<0.
Nesse caso: xy >0, , Sendo assim:

8. (3°Caso) x≥0 e y<0.
Nesse caso: xy ≤ 0, , Sendo assim:
(4°Caso) x<0 e y≥0.
Nesse caso: xy ≤0, , . Sendo assim:
Conclusão:
, qualquer que seja x, y
7) .
Para mostrarmos esta propriedade vamos lembrar que:
A comprovação da propriedade pode ser feita dividindo a situação em dois casos:
(1° caso) x≥0, sendo assim, .
Nesse caso:
(2° caso) x<0, sendo assim
Nesse caso:
Chegamos à conclusão que e , ou seja, .

9. 8)
O raciocínio usado para demonstrar essa propriedade é igual ao da propriedade anterior, por
isso dividiremos também em dois casos:
(1° caso) x≥0, sendo assim, .
Nesse caso:
(2° caso) x<0, sendo assim
Nesse caso:
Chegamos à conclusão que ou .