O documento discute cilindros e troncos de cilindro, definindo seus elementos, classificações, fórmulas para área e volume. Inclui exercícios sobre cálculo de áreas, volumes e problemas envolvendo cilindros e troncos de cilindro.

1. Cilindros
Ten Villa Nova

2. Objetivos – UD VII- Ass 2.
• Identificar o cilindro finito e seus elementos.
• Identificar cilindro equilátero.
• Identificar tronco de cilindro.
• Aplicar as fórmulas de áreas e volume dos
cilindros e troncos.
• Resolver problemas diversos sobre cilindros.

3. A invenção da roda, uma das mais importantes
criações humanas, provavelmente teve origem na
constatação de que objetos pesados podem ser
deslocados com facilidade sobre tronco de árvores.

4. 1. Definição do cilindro circular
Sejam α e β dois planos paralelos distintos, uma
reta s secante a esses planos e um círculo C de
centro O.
r
O

5. 1. Definição do cilindro circular
Consideremos todos os segmentos de reta, paralelos
a s, de modo que cada um deles tenha um extremo
pertencente ao círculo C e o outro pertencente a β.
r
O´
O
A reunião de todos esses segmentos de reta é um
sólido chamado cilindro circular limitado, ou
simplesmente, cilindro.

6. 2. Elementos
base
O’ .
geratriz (g)
altura (h)
eixo
O
.
base
raio da base (r)

7. 2. Classificação
Cilindro circular Cilindro circular
reto oblíquo
geratriz perpendicular à base
g≠ h
g=h
geratriz oblíqua
. à base

8. Exercícios
1. Calcular a área lateral e a área total de um
cilindro circular reto de altura 7 cm e raio da base
medindo 4 cm.
Al = 56π cm2 . At = 88π cm2 .
2. Calcular a área lateral e a área total de um
cilindro circular de altura h e raio da base
medindo r .
Al = 2π r h ; At = 2π r(h+r).

9. Secção Meridiana
Uma secção meridiana de um cilindro circular é a
intersecção do cilindro com um plano que passa
pelos centros das bases desse cilindro.
secção meridiana

10. Exercícios
3. Calcular a área da secção meridiana (ASM) de um
cilindro circular reto de altura 7 cm e raio da base
medindo 4 cm.
ASM = 56 cm2.
4. Calcular a área da secção meridiana (ASM) de um
cilindro circular de altura h e raio da base
medindo r .
ASM = 2 r h

11. Semicilindro
Qualquer secção meridiana de um cilindro circular
reto divide-o em dois sólidos congruentes
chamados semicilindros circulares retos.

12. Cilindro equilátero
Todo cilindro circular reto cujas secções
meridianas são quadradas é chamado de cilindro
equilátero. 2r=h
h
2r

13. Exercícios
5. A área lateral de um cilindro equilátero é
100π cm2. Calcular a área total desse cilindro.
At = 150π cm2

14. Cilindro de revolução
geratriz
eixo
O cilindro circular reto é conhecido como cilindro
de revolução, pois pode ser obtido por uma
revolução (rotação) de 360° de um retângulo em
torno de um eixo que contém um de seus lados.

15. Volume do Cilindro (Princípio de Cavalieri)
β
A’1 A’2
h Como (2) é um
paralelepípedo e
V2= A2 . h
então
A1 A2
V1 = A1. h
(1) (2)
Assim:
V= π r 2.h

16. Exercícios
6. Calcular o volume de um cilindro circular de
altura 20 cm e raio da base 5 cm.
V = 5o0π cm3
7. Calcular a área lateral de um cilindro circular
reto de 6 dm de altura e volume 54π dm3 .
A l= 36π dm2

17. Tronco reto de um cilindro circular
Um plano que intercepta obliquamente todas as
geratrizes de um cilindro circular reto separa-o em
dois sólidos chamados de troncos retos de
cilindro circular. base
circular
geratriz menor
Geratriz maior
do tronco (g)
do tronco (G)
base não
circular

18. Volume de um tronco reto de um cilindro circular
Consideremos um tronco reto de cilindro circular
cujo raio da base circular mede r, a geratriz maior
mede G e menor mede g.
G
Assim:
g V= π r 2.(G +
r g)
2

19. Exercícios
9. Em um tronco reto de cilindro circular a geratriz
maior mede 14 cm e a menor mede 10 cm, sendo 4
cm o raio da base circular. Calcule o volume desse
tronco.
V = 192π cm3

20. Exercícios (AE4-2010)
10. Um copo cilíndrico, cujo diâmetro interno mede 6
cm e cuja altura mede 10 cm, contém certo volume
de água. Inclinando-se o máximo possível esse copo,
sem derramar a água, obtém a medida descrita nas
figuras abaixo. Determine, em cm3, o volume de água
contida nesse copo.(adote π = 3,14) (3 escores)
V = 254,34 cm3

21. Exercícios
11. Derretendo-se duas barras de chocolate com
formas cúbicas de arestas 8 cm e 10 cm, tem-se
um volume capaz de preencher um cilindro de 6
cm de raio e altura h. Qual é o valor de h. (utilize
π=3)
14cm
12. Um tonel (cilindro reto) está ocupado em 60%
de sua capacidade. Se o diâmetro da base é 50 cm
e a altura é 60/ π cm. Qual a quantidade de água
nele contida, em litros?
22,5l

23. Enem
2010

24. Exercícios
13. Uma piscina de plástico tem a forma de um
paralelepípedo reto retângulo com 1,5 m de largura,
2 m de comprimento e 0,80 m de profundidade.
a) Qual a capacidade, em litros, da piscina?
2400l
b) Se pelo desgaste do tempo ocorresse um furo na
piscina a 20 cm do chão, qual seria o volume de água
escoada por este orifício?
1800l
c) Se a vazão de água deste furo é de 2l/min, por
quanto tempo escoará a água?
15h

25. Exercícios (AE4-2010)
14. Um determinado doce de leite é embalado em
latas com formato de cilindros retos. O cilindro A
tem altura 20 cm e raio da base 5 cm. O cilindro B
tem altura 10 cm e raio da base 10 cm. Determine:
a) Em qual das duas embalagens gasta-se menos
material. (adote π = 3,14) (5 escores)
A embalagem A gasta menos material
b) Qual das duas embalagens é mais vantajosa para o
consumidor, sabendo que o doce embalado no
cilindro A é vendido por R$ 4,00 e o do cilindro B é
vendido por R$ 7,00 (adote π = 3,14) (3 escores)
A embalagem mais vantajosa é a B