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Esferas
A Esfera na Geometria Espacial
A Esfera é uma figura simétrica tridimensional que faz parte dos
estudos de geometria espacial.
A esfera é um sólido geométrico obtido através da rotação do
semicírculo em torno de um eixo. É composto por uma superfície
fechada na medida que todos os pontos estão equidistantes do
centro (O).
Alguns exemplos de esfera são o planeta, uma laranja, uma
melancia, uma bola de futebol, dentre outros.
Componentes da Esfera
Superfície Esférica
Cunha Esférica
Fuso Esférico
Calota Esférica
Superfície Esférica
É a parte superficial de uma esfera, justamente o conjunto de pontos cuja distância
do centro é igual ao raio. Essa superfície pode ser obtida pela rotação de uma
circunferência em torno do diâmetro. A área da superfície esférica pode ser calculada
por meio da fórmula a seguir:
A = 4πr2
*r é o raio da esfera, e A é a medida da área.
Veja um exemplo:
Suponha que o raio de uma laranja seja de 6 cm. A área de sua
superfície esférica (casca) será:
A = 4πr2
A = 4·3,14·62
A = 12,56·36
A = 452,16 cm2
Polos: são os pontos de encontro entre a superfície esférica e o
eixo de rotação. Sendo assim, os polos são os dois pontos
extremos do diâmetro da esfera.
Paralelo: circunferência na superfície da esfera formada pela
intersecção de qualquer plano perpendicular ao eixo de rotação
e à superfície esférica. O paralelo que possui o maior
comprimento é chamado de equador.
Meridiano: circunferência na superfície da esfera formada pela
intersecção de qualquer plano que contém o eixo de rotação
com a superfície esférica.
Secção em uma esfera
Uma secção é um “corte” realizado por um plano, ou seja, é a
intersecção entre um plano e a figura que sofre a secção. Dessa
maneira, toda secção em uma esfera é um círculo.
Para qualquer secção, vale a seguinte expressão:
s2 = r2 – d2
s = raio do círculo formado pela secção;
d = distância entre o plano da secção e o centro da esfera;
r = raio da esfera.
O plano que faz uma secção em uma esfera é chamado de plano
secante. Se esse plano secante passa pelo centro da esfera, o círculo
formado na secção é chamado de círculo máximo.
Fuso esférico
O fuso esférico é a parte da superfície de uma esfera formada pelo giro de uma
semicircunferência em α graus em torno do diâmetro da esfera. Um fuso esférico é
equivalente a um fuso horário. O fuso horário é a divisão de uma esfera em 24 partes e,
assim, configura um fuso esférico formado por uma semicircunferência que girou apenas 15°.
A intersecção de um fuso esférico com o equador de uma esfera é um arco de circunferência
e é chamado de arco equatorial.
Para calcular a área do fuso esférico a partir do ângulo do giro da semicircunferência que o
gerou, basta usar regra de três. Considere que o ângulo seja α, a área do fuso seja A e que a
área total da esfera é dada por 4πr2 e que é resultado de uma volta de 360°, podemos
escrever:
360 = 4πr2
α A
Multiplicando cruzado, teremos: 360A = 4πr2α
A = 4πr2α
360
A = πr2α
90
Cunha esférica
Um semicírculo que gira α graus ao redor de algum eixo forma uma cunha esférica.
O volume da cunha esférica também pode ser calculado por meio de regra de três. Considere
que o ângulo descrito pelo semicírculo que gera uma cunha esférica é β, que seu volume é V,
que o volume da esfera é determinado pela expressão 4/3πr3 e que, para esse volume, o
semicírculo dá uma volta completa, de 360°, o volume da cunha esférica pode ser calculado
da seguinte maneira:
4/3πr3 = 360
V β
Fazendo os cálculos, teremos:
V = βπr3
270
Fórmulas da Esfera
Área da Esfera
Para calcular a área da superfície esférica, utiliza-se a fórmula:
Donde:
Ae= área da esfera
П (Pi): 3,14
r: raio
Ae = 4.п.r2
Exercício Resolvido
Calcule a área das superfícies esféricas:
a) esfera de raio 7 cm
Ae = 4.π.r2
Ae = 4.π.7
Ae = 4.π.49
Ae = 196π cm2
Volume da Esfera
Para calcular o volume da esfera, utiliza-se a fórmula:
Donde:
Ve: volume da esfera
П (Pi): 3,14
r: raio
Ve = 4.п.r3/3
Exercício Resolvido
Um reservatório esférico possui um raio interno de 2m. Quantos litros de gás cabe
nesse reservatório? Utilize o valor de π = 3,14.
Ve = 4.π.r​3/3
Ve = 4/3 π . 23
Ve = 32 π/3 m3
Ve = 32 . 3,14/3
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Logo, esse reservatório pode conter 33 490 litros de gás.
Componentes
Byanca
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  • 2. A Esfera na Geometria Espacial A Esfera é uma figura simétrica tridimensional que faz parte dos estudos de geometria espacial. A esfera é um sólido geométrico obtido através da rotação do semicírculo em torno de um eixo. É composto por uma superfície fechada na medida que todos os pontos estão equidistantes do centro (O). Alguns exemplos de esfera são o planeta, uma laranja, uma melancia, uma bola de futebol, dentre outros.
  • 3. Componentes da Esfera Superfície Esférica Cunha Esférica Fuso Esférico Calota Esférica
  • 4. Superfície Esférica É a parte superficial de uma esfera, justamente o conjunto de pontos cuja distância do centro é igual ao raio. Essa superfície pode ser obtida pela rotação de uma circunferência em torno do diâmetro. A área da superfície esférica pode ser calculada por meio da fórmula a seguir: A = 4πr2 *r é o raio da esfera, e A é a medida da área.
  • 5. Veja um exemplo: Suponha que o raio de uma laranja seja de 6 cm. A área de sua superfície esférica (casca) será: A = 4πr2 A = 4·3,14·62 A = 12,56·36 A = 452,16 cm2 Polos: são os pontos de encontro entre a superfície esférica e o eixo de rotação. Sendo assim, os polos são os dois pontos extremos do diâmetro da esfera. Paralelo: circunferência na superfície da esfera formada pela intersecção de qualquer plano perpendicular ao eixo de rotação e à superfície esférica. O paralelo que possui o maior comprimento é chamado de equador. Meridiano: circunferência na superfície da esfera formada pela intersecção de qualquer plano que contém o eixo de rotação com a superfície esférica.
  • 6. Secção em uma esfera Uma secção é um “corte” realizado por um plano, ou seja, é a intersecção entre um plano e a figura que sofre a secção. Dessa maneira, toda secção em uma esfera é um círculo. Para qualquer secção, vale a seguinte expressão: s2 = r2 – d2 s = raio do círculo formado pela secção; d = distância entre o plano da secção e o centro da esfera; r = raio da esfera. O plano que faz uma secção em uma esfera é chamado de plano secante. Se esse plano secante passa pelo centro da esfera, o círculo formado na secção é chamado de círculo máximo.
  • 7. Fuso esférico O fuso esférico é a parte da superfície de uma esfera formada pelo giro de uma semicircunferência em α graus em torno do diâmetro da esfera. Um fuso esférico é equivalente a um fuso horário. O fuso horário é a divisão de uma esfera em 24 partes e, assim, configura um fuso esférico formado por uma semicircunferência que girou apenas 15°. A intersecção de um fuso esférico com o equador de uma esfera é um arco de circunferência e é chamado de arco equatorial. Para calcular a área do fuso esférico a partir do ângulo do giro da semicircunferência que o gerou, basta usar regra de três. Considere que o ângulo seja α, a área do fuso seja A e que a área total da esfera é dada por 4πr2 e que é resultado de uma volta de 360°, podemos escrever: 360 = 4πr2 α A Multiplicando cruzado, teremos: 360A = 4πr2α A = 4πr2α 360 A = πr2α 90
  • 8. Cunha esférica Um semicírculo que gira α graus ao redor de algum eixo forma uma cunha esférica. O volume da cunha esférica também pode ser calculado por meio de regra de três. Considere que o ângulo descrito pelo semicírculo que gera uma cunha esférica é β, que seu volume é V, que o volume da esfera é determinado pela expressão 4/3πr3 e que, para esse volume, o semicírculo dá uma volta completa, de 360°, o volume da cunha esférica pode ser calculado da seguinte maneira: 4/3πr3 = 360 V β Fazendo os cálculos, teremos: V = βπr3 270
  • 9. Fórmulas da Esfera Área da Esfera Para calcular a área da superfície esférica, utiliza-se a fórmula: Donde: Ae= área da esfera П (Pi): 3,14 r: raio Ae = 4.п.r2
  • 10. Exercício Resolvido Calcule a área das superfícies esféricas: a) esfera de raio 7 cm Ae = 4.π.r2 Ae = 4.π.7 Ae = 4.π.49 Ae = 196π cm2
  • 11. Volume da Esfera Para calcular o volume da esfera, utiliza-se a fórmula: Donde: Ve: volume da esfera П (Pi): 3,14 r: raio Ve = 4.п.r3/3
  • 12. Exercício Resolvido Um reservatório esférico possui um raio interno de 2m. Quantos litros de gás cabe nesse reservatório? Utilize o valor de π = 3,14. Ve = 4.π.r​3/3 Ve = 4/3 π . 23 Ve = 32 π/3 m3 Ve = 32 . 3,14/3 Ve = 33, 49 m3 Logo, esse reservatório pode conter 33 490 litros de gás.