O documento discute sobre médias e a desigualdade das médias. No primeiro tópico, define as médias aritmética, geométrica e harmônica, apresentando suas fórmulas. No segundo tópico, apresenta a desigualdade das médias, que afirma que a média aritmética é maior ou igual à média geométrica, sendo iguais apenas quando os números forem iguais. Também generaliza a desigualdade para médias quadrática, aritmética, geométrica e harmônica

1. Sum´ario
M ´EDIAS E PRINC´IPIO DAS GAVETAS
Luciana Santos da Silva Martino
PROFMAT - Col´egio Pedro II
02 de junho de 2015

2. M´edias A Desigualdade das M´edias
Sum´ario
1 M´edias
2 A Desigualdade das M´edias

3. M´edias A Desigualdade das M´edias
Outline
1 M´edias
2 A Desigualdade das M´edias

4. M´edias A Desigualdade das M´edias
M´edias
Uma m´edia de uma lista de n´umeros ´e um valor que pode substituir
todos os elementos da lista sem alterar certa da caracter´ıstica da lista
Se essa caracter´ıstica ´e a soma dos elementos da lista, obtemos a
m´edia aritm´etica
A m´edia aritm´etica (simples) da lista de n n´umeros x1, x2, ..., xn ´e um
valor ¯x tal que x1 + x2 + ... + xn = ¯x + ¯x + ... + ¯x = n¯x
Definic¸ ˜ao: A m´edia aritm´etica (simples) da lista de n n´umeros ´e
definida por
¯x =
x1 + x2 + ... + xn
n

5. M´edias A Desigualdade das M´edias
M´edias
Se a caracter´ıstica a ser considerada for o produto dos
elementos da lista, obtemos a m´edia geom´etrica
A m´edia geom´etrica (simples) dos n n´umeros positivos
x1, x2, ..., xn ´e um valor positivo g tal que
x1 · x2 · ... · xn = g · g · ... · g = gn
Definic¸ ˜ao: A m´edia geom´etrica (simples) dos n n´umeros
positivos x1, x2, ..., xn ´e definida por
g = G(x1, x2, ..., xn) = n
√
x1x2...xn

6. M´edias A Desigualdade das M´edias
M´edias
Se a caracter´ıstica a ser considerada for a soma dos inversos
dos elementos da lista, obtemos a m´edia harmˆonica
A m´edia harmˆonica (simples) dos n n´umeros positivos
x1, x2, ..., xn ´e um valor positivo h tal que
1
x1
+ 1
x2
+ ... + 1
xn
= 1
h + 1
h + ... + 1
h = n
h
Definic¸ ˜ao: A m´edia harmˆonica (simples) dos n n´umeros
positivos x1, x2, ..., xn ´e definida por
h =
n
1
x1
+ 1
x2
+ ... + 1
xn

7. M´edias A Desigualdade das M´edias
M´edias
Exerc´cio p.179 n. 8.1: Um carro percorre metade de certa
distˆancia d com velocidade v1 e percorre a outra metade com
velocidade v2. Qual a sua velocidade m´edia?
Exerc´cio p.179 n. 8.2: Um carro percorre tem velocidade v1
durante metade do tempo t de percurso e tem velocidade v2
durante a outra metade do tempo. Qual a sua velocidade
m´edia?
Exerc´cio p.179 n. 8.3: A populac¸ ˜ao de um pa´ıs cresceu 44%
em uma d´ecada e cresceu 21% na d´ecada seguinte. Qual ´e,
aproximadamente, a taxa m´edia decenal de crescimento
nesses 20 anos?

8. M´edias A Desigualdade das M´edias
M´edias
Exerc´cio p.179 n. 8.4: No problema anterior, qual a taxa
m´edia anual de crescimento nesses 20 anos?
Exerc´cio p.179 n. 8.5: A valorizac¸ ˜ao mensal das ac¸ ˜oes de
certa empresa nos quatro primeiros meses do ano foi de
+25%, +25%, -25% e -25%. Qual a valorizac¸ ˜ao total e qual a
valorizac¸ ˜ao m´edia mensal nesse quadrimestre?

9. M´edias A Desigualdade das M´edias
M´edias
Definic¸ ˜ao: A m´edia quadr´atica (simples) dos n n´umeros x1, x2, ..., xn
´e definida por
q =
x2
1 + x2
2 + ... + x2
n
n
Exemplo 4: A qualidade de uma aproximac¸ ˜ao ´e medida pelo seu
erro, que ´e a diferenc¸a entre o valor da aproximac¸ ˜ao e o valor real da
grandeza. Mede-se a qualidade de uma lista de aproximac¸ ˜oes pela
m´edia quadr´atica de seus erros. Tamb´em se usa o erro m´edio
quadr´atico, que ´e o quadrado dessa m´edia quadr´atica, ou seja, ´e a
m´edia aritm´etica dos quadrados dos erros

10. M´edias A Desigualdade das M´edias
M´edias
Teorema: Se a m´edia aritm´etica dos n´umeros x1, x2, ..., xn ´e
igual a ¯x, pelo menos um dos n´umeros x1, x2, ..., xn ´e maior ou
igual a ¯x
Exemplo 5: Mostre que num grupo de 50 pessoas, h´a sempre
pelo menos 5 que nasceram no mesmo mˆes
Princ´ıpio da Gavetas de Dirichlet
Se n + 1 objetos s˜ao colocados em n ou menos gavetas, ent˜ao
pelo menos uma gaveta recebe mais de um objeto
Exemplo 6: Mostre que todo inteiro positivo n tem um m´ultiplo
que se escreve apenas com os algarismos 0 e 1

11. M´edias A Desigualdade das M´edias
M´edias
Exemplo 7: Cinco pontos s˜ao tomados sobre a superf´ıcie de
um quadrado de lado 2. Mostre que h´a dois desses pontos tais
que a distˆancia entre eles ´e menor que ou igual a
√
2
Exemplo 8: Um enxadrista, durante 11 semanas, joga pelo
menos uma partida por dia mas n˜ao joga mais de 12 partidas
por semana. Mostre que ´e poss´ıvel achar um conjunto de dias
consecutivos durante os quais ele jogou exatamente 20
partidas

12. M´edias A Desigualdade das M´edias
M´edias
Definic¸ ˜ao: A m´edia aritm´etica ponderada dos n n´umeros
x1, x2, ..., xn com pesos respectivamente iguais a p1, p2, ..., pn ´e
definida por
p1x1 + p2x2 + ... + pnxn
p1 + p2 + ... + pn

13. M´edias A Desigualdade das M´edias
M´edias
Pesos relativos (n˜ao inteiros): A m´edia aritm´etica ponderada dos
n´umeros x1, x2, ..., xn com pesos respectivamente iguais a
p1, p2, ..., pn ´e definida por
p1
p1 + p2 + ... + pn
x1 +
p2
p1 + p2 + ... + pn
x2 + ... +
pn
p1 + p2 + ... + pn
xn
Uma m´edia aritm´etica ponderada dos n´umeros x1, x2, ..., xn ´e uma
express˜ao da forma λ1x1 + λ2x2 + ... + λnxn, onde
λ1 + λ2 + ... + λn = 1

14. M´edias A Desigualdade das M´edias
M´edias
Exerc´ıcio: Calcule as m´edias aritm´etica, geom´etrica e
harmˆonica ponderadas dos n´umeros 8, 18 e 48, com pesos
iguais a 1, 1 e 0.5

15. M´edias A Desigualdade das M´edias
Outline
1 M´edias
2 A Desigualdade das M´edias

16. M´edias A Desigualdade das M´edias
A Desigualdade das M´edias
A Desigualdade das M´edias
A desigualdade das m´edias afirma que a m´edia aritm´etica de n
n´umeros positivos ´e maior que ou igual a sua m´edia
geom´etrica e s´o ´e igual se os n´umeros forem todos iguais. Isto
´e, se x1, x2, ..., xn s˜ao n´umeros positivos ent˜ao
x1 + x2 + ... + xn
n
≥ n
√
x1x2...xn
Al´em disso,
x1 + x2 + ... + xn
n
= n
√
x1x2...xn
se, e somente se, x1 = x2 = ... = xn

17. M´edias A Desigualdade das M´edias
A Desigualdade das M´edias
Exemplo 10: Mostre que, entre todos os retˆangulos de
per´ımetro 2p, o quadrado ´e o de maior ´area
Exemplo 11: Mostre que, entre todos os retˆangulos de ´area A,
o quadrado ´e o de menor per´ımetro

18. M´edias A Desigualdade das M´edias
A Desigualdade das M´edias
A desigualdade das m´edias pode ser generalizada como
segue:
Se x1, x2, ..., xn s˜ao n´umeros positivos e Q, A, G e H s˜ao suas
m´edias quadr´atica, aritm´etica, geom´etrica e harmˆonica,
respectivamente, ent˜ao Q ≥ A ≥ G ≥ H. Al´em disso, duas
quaisquer dessas m´edias s˜ao iguais se, e somente se,
x1 = x2 = ... = xn.

19. M´edias A Desigualdade das M´edias
A Desigualdade das M´edias
Exerc´ıcio p.186 n. 8.37: Prove que o produto de dois n´umeros
de soma constante ´e m´aximo quando esses n´umeros s˜ao
iguais
Exerc´ıcio p.186 n. 8.38: Prove que a soma de dois n´umeros
de produto constante ´e m´ınima quando esses n´umeros s˜ao
iguais

20. M´edias A Desigualdade das M´edias
FIM