1. O documento descreve a construção do conjunto dos números reais a partir dos números naturais, inteiros e racionais. Inicialmente define-se o conjunto dos números naturais N e racionais Q, mas estes conjuntos não são suficientes para representar todas as medidas possíveis. 2. Introduzem-se os números irracionais para preencher as lacunas nos conjuntos numéricos anteriores, formando assim o conjunto dos números reais R. As operações de adição e multiplicação são estendidas para R, tornando-o um corpo ordenado completo.

1. 1 O Conjunto dos N´ meros Reais
u
O primeiro conjunto num´rico que consideramos ´ o Conjunto dos N´ meros
e e u
Naturais. Este conjunto est´ relacionado com a opera¸˜o de contagem:
a ca
N = {0, 1, 2, 3, ...}.
Admitiremos conhecidas as opera¸˜es usuais adi¸˜o e multiplica¸˜o em N
co ca ca
bem como os conceitos de n´meros pares, ´
u ımpares e primos.
O processo de medi¸˜o de grandezas f´
ca ısicas nos conduzir´ ao conjunto de
a
n´meros reais.
u
Problema: Medir um segmento AB.
Fixamos um segmento padr˜o u e vamos chamar sua medida de 1.
a
Dado um segmento AB , se u couber um n´mero exato de vezes em AB,
u
digamos n vezes, ent˜o dizemos que a medida de AB ser´ n.
a a
Claramente isto nem sempre ocorre.
Defini¸˜o: Dizemos que um segmento AB e o segmento padr˜o u s˜o
ca a a
´
COMENSURAVEIS se existir algum segmento w que caiba n vezes em u e
m vezes em AB.
Voltando ao nosso problema de medi¸˜o, se o segmento AB e o segmento
ca
padr˜o u forem comensur´veis , conforme a defini¸˜o acima, diremos que a
a a ca
a n a a 1
medida de AB ser´ m . A medida do segmento w ser´ ent˜o n .
Isto nos motiva definirmos um conjunto num´rico que inclua todas estas
e
poss´ıveis medidas. Chamaremos este conjunto de Conjunto de N´ meros u
Racionais Positivos: Q+ = { m |m, n ∈ N, n = 0}.
n
Alguns racionais representam as mesmas medidas. Por exemplo 2 e 1 . De
4 2
fato, se existe um semento w que cabe 2 vezes no segmento unit´rio ent˜o
a a
a metade deste segmento cabe 2 vezes nele e 4 vezes no segmento unit´rio. a
Vamos ent˜o dizer que 1 = 2 . De um modo geral dizemos que m1 = m2 se
a 2 4 n
1
n
2
m1 n2 = n1 m2 .
Continuando com o problema da medi¸˜o nos deparamos com um grande
ca
problema. Nem sempre dois segmentos s˜o comensur´veis. De fato, considere-
a a
mos por exemplo a hipotenusa de um triˆngulo retˆngulo de catetos iguais a 1.
a a
Suponhamos que esta hipotenusa seja comensur´vel com o segmento unit´rio
a a
padr˜o u.
a
Ent˜o existiriam naturais n e m tais que a medida da hipotenusa seria
a
igual a m . Vamos supor que m e n sejam primos entre si, isto ´ , ´ imposs´
n e e ıvel
simplificarmos mais esta express˜o. De acordo com o teorema de Pit´goras
a a
ter´
ıamos que
m2
12 + 12 = 2 .
n
2 2 2
Assim 2n = m e portanto m seria um n´mero par e portanto m tamb´m o
u e
seria. Logo existiria algum k ∈ N tal que m = 2k. Assim 4k 2 = 2n2 e portanto
1

2. n2 = 2k 2 o que implicaria que n tamb´m seria par. Note que isto ´ um absurdo.
e e
Este absurdo surgiu do fato de termos suposto que a medida da hipotenusa fosse
um n´mero racional.
u
No entanto esta hipotenusa existe e ´ muito bem determinada em cima da
e
reta. Ampliamos o conceito de n´mero de tal forma que todos os segmentos
u
possuam uma medida associada. Introduzimos os chamados N´ meros Ir-u
racionais, de tal modo que , fixando uma unidade de comprimento padr˜o, a
qualquer segmento de reta tem uma medida num´rica.
e
1.1 A Reta Real
Fixamos uma reta e um ponto chamamos de origem 0. Escolhemos um outro
ponto A, a direita da origem. Fixamos 0A como unidade de comprimento.
Facilmente marcamos sobre a reta os n´meros naturais.
u
Na semi-reta da esquerda marcamos segmentos, com extremidade na origem,
com as mesmas medidas dos segmentos que definem os naturais e associamos
`s suas extremidades esquerdas n´meros com um sinal −. Formamos ent˜o o
a u a
chamado Conjunto dos N´ meros Inteiros:
u
Z = {..., −2, −1, 0, 1, 2, ...}.
Em seguida marcamos todos os segmentos, com extremidade na origem,
comensur´veis com o segmento o segmento padr˜o 0A. Os que ficarem ` direita
a a a
ser˜o associados aos racionais positivos e os que ficarem ` esquerda ganhar˜o
a a a
um sinal −. Definimos ent˜o o Conjunto dos N´ meros Racionais:
a u
m
Q == { |m ∈ Z, n ∈ N, n = 0}.
n
Como vimos acima esta constru¸˜o n˜o ocupa todo o espa¸o existente na
ca a c
reta. Se pararmos por aqui nossa reta ficar´ com v´rios ”buracos”. A cada
a a
um destes buracos associamos um n´mero, que chamaremos de irracional .
u
Finalmente definimos o Conjunto dos N´ meros Reais:
u
R = {x|x ∈ Q ou x eirracional}.
´
Existe uma correspondˆncia biun´
e ıvoca entre os n´meros reais e os pontos da
u
reta. Mais precisamente, a cada n´mero real est´ associado um e somente um
u a
ponto da reta e a cada ponto da reta est´ associado um e somente um n´mero
a u
real. No que segue, n˜o distinguiremos pontos da reta e n´meros reais.
a u
´
E claro que N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.
Dizemos que x ∈ R ´ positivo, e denotamos x > 0, se x estiver no lado
e
direito da reta; dizemos que x ´ negativo, e denotaremos x < 0 , se x estiver no
e
lado esquerdo da reta. As nota¸˜es ≥ e ≤ indicam, respectivamente maior ou
co
igual e menor ou igual.
Vamos introduzir as opera¸˜es adi¸˜o e multiplica¸˜o em R.
co ca ca
Defini¸˜o:
ca
2

3. a) Sejam x1 ∈ R e x2 ≥ 0. Definimos x1 + x2 como o n´mero real associado
u
a ”ponta final” do segmento, orientado para direita, com extremidade inicial em
x1 , e com medida igual a medida do segmento associado a x2 .
b)Sejam x1 ∈ R e x2 ≤ 0. Marcamos na reta o seguinte ponto: com ex-
tremidade inicial em x1 e orientado para o lado esquerdo, com medida igual
a do segmento associado a x2 . O n´mero real associado a ”ponta final” deste
u
segmento ser´ chamado de x1 + x2 .
a
Defini¸˜o:
ca
a) Se x > 0 e y > 0 definimos o produto xy da seguinte forma: Tra¸amos
c
uma reta l formando um ˆngulo inferior a 90o com a reta real e passando
a
pela origem. Na reta real marcamos a unidade 1 e o n´mero y. Na reta l
u
marcamos o x. Consideramos a reta que passa por 1 e por x e chamamos de s.
Da geometria sabemos que existe uma unica reta t paralela a s e que passa y.
´
Finalmente marcamos em l o ponto P , itersec¸˜o desta com t. Com a ponta
ca
seca do compasso em 0 e abertura igual a 0P marcamos na reta real o ponto
Q. O n´mero real associado a este ponto ser´ chamado de xy.
u a
b) Nos demais casos ´ s´ mudar o sinal xy convenientemente:
e o
x y xy
+ − +
− + −
− − +
Observa¸˜o: Se fixarmos nossa aten¸˜o para os n´meros racionais veremos
ca ca u
que as defini¸˜es acima coincidem com as tradicionais:
co
a c ad + bc
+ =
b d bd
a c ac
. = .
b d bd
O conjunto R munido das opera¸˜es definidas acima forma o que chamamos
co
de CORPO. Mais precisamente , satisfaz as seguintes propriedades:
1) Associatividade da Adi¸˜o e da Multiplica¸˜o:
ca ca
(x + y) + z = x + (y + z), ∀x, y, z ∈ R
(xy)z = x(yz), ∀x, y, z ∈ R
2) Comutatividade da Adi¸˜o e da Multiplica¸˜o:
ca ca
x+y = y + x, ∀x, y ∈ R
xy = yx, ∀x, y ∈ R
3) Existˆncia de Elemento Neutro para a Adi¸˜o e para a Multiplica¸˜o:
e ca ca
x + 0 = x, ∀x ∈ R
x.1 = x, ∀x ∈ R
3

4. 4) Existˆncia de Oposto para Adi¸˜o:
e ca
∀x ∈ R, ∃(−x) ∈ R tal que x + (−x) = 0.
5) Existˆncia de Inverso para a Multiplica¸˜o:
e ca
∀x ∈ R{0}, ∃y ∈ R tal que xy = 1.
6) Distributividade da Multiplica¸˜o em Rela¸˜o ` Adi¸˜o:
ca ca a ca
x(y + z) = xy + xz, ∀x, y, z ∈ R.
Defini¸˜o: Dizemos que x < y se y − x > 0.
ca
Dentro dos reais destacamos o conjunto dos reais positivos:
R+ = {x ∈ R|x > 0}.
Observe que as seguintes condi¸˜es s˜o satisfeitas:
co a
a) A soma e o produto de elementos positivos s˜o positivos. Ou seja
a
x, y ∈ R+ ⇒ x + y ∈ R+ e x.y ∈ R+ .
b) Dado x ∈ R ou x = 0 ou x ∈ R+ ou −x ∈ R+ .
As duas propriedades acima caracterizam o que chamamos de CORPO OR-
DENADO.
Como em qualquer outro corpo ordenado, rela¸˜o de ordem ” < ” goza das
ca
seguintes propriedades:
1) Transitiva:
(x, y, z ∈ R, x < y, y < z) ⇒ x < z.
2) (Tricotomia) Quaisquer que sejam x e y ∈ R :
x < y ou y < x ou x = y.
3) Compatibilidade da Ordem com a Adi¸˜o:
ca
(x, y, z ∈ R, x < y) ⇒ x + z < y + z.
4) Compatibilidade da Ordem com a Multiplica¸˜o:
ca
(x, y, z ∈ R, x < y, 0 < z) ⇒ xz < yz.
Observa¸˜o: Note que as propriedades de corpo e as propriedades de corpo
ca
ordenado tamb´m s˜o satisfeiras para Q. Vamos agora destacar uma propriedade
e a
que ´ satisfeita por R mas n˜o por Q.
e a
4

5. Defini¸˜o:Dado um subconjunto A ⊂ R dizemos que A ´ limitado se existe
ca e
K > 0 tal que
x ∈ A ⇒ −K < x < K.
Defini¸˜o:Dizemos que s ∈ R ´ o supremo de A se s for a menor das cotas
ca e
superiores de A :
x ≤ s, ∀x ∈ A;
x ≤ c, ∀x ∈ A ⇒ s ≤ c.
Defini¸˜o:Dizemos que i ∈ R ´ o ´
ca e ınfimo de A se i for a maior das cotas
inferiores de A :
x ≥ i, ∀x ∈ A;
x ≥ c, ∀x ∈ A ⇒ i ≥ c.
O conjunto R satisfaz a propriedade:
Axioma do Supremo: Todo conjunto limitado e n˜o vazio de n´meros
a u
reais possui um supremo e um ´
ınfimo real.
Observemos que esta propriedade n˜o ´ satisfeita por Q. Considere o con-
a e
junto A = {x ∈ Q|0 < √2 < 2}.
x
O supremo de A ´ 2 que como vimos antes n˜o ´ um n´mero racional.
e a e u
A propriedade acima nos diz que o conjunto dos n´meros reais ´ um CORPO
u e
ORDENADO COMPLETO.
Teorema dos Intervalos Encaixantes: Seja [a0 , b0 ] , [a1 , b1 ] , ..., [an , bn ] , ...
uma sequˆncia de intervalos satisfazendo:
e
a) [a0 , b0 ] ⊃ [a1 , b1 ] ⊃ ... ⊃ [an , bn ] ⊃ ...
b) Para todo r > 0 existe um natural n tal que
bn − an < r.
Ent˜o, existe um unico real c tal que para todo natural n
a ´
an ≤ c ≤ bn .
Demonstra¸˜o: Temos que A = {a0 , a1 , ...} ´ n˜o vazio e limitado superi-
ca e a
ormente. Seja ent˜o
a
c = sup A.
´
E claro que
an ≤ c ≤ bn .
Suponhamos que exista d , diferente de c satisfazendo
an ≤ d ≤ bn .
5

6. Neste caso ter´
ıamos
|c − d| < bn − an , ∀n.
Como a distˆncia bn − an aproxima-se de zero , ter´
a ıamos que c = d.
Para completarmos esta se¸˜o vamos provar :
ca
Teorema
a) Entre dois n´meros reais distintos sempre existe um n´mero irracional;
u u
b) Entre dois n´meros reais distintos sempre existe um n´mero racional.
u u
Demonstra¸˜o: Provemos a primeira afirma¸˜o. Sejam x e y dois n´meros
ca ca u
reais distintos. Sem perda de generalidade suponhamos x < y. Assim y − x > 0.
Observe que ´ poss´ encontrarmos n´meros naturais n, m tais que
e ıvel u
n (y − x) > 1
√
m (y − x) > 2
(este fato ´ conhecido como Princ´
e ıpio de Arquimedes). Desta forma temos que
1
x < x+ <y
n
√
2
x < x+ <y
n
√
e assim se x for irracional, assim ser´ x + n e se x for racional ent˜o x + n2
a 1
a
ser´ irracional. De qual quer forma conseguimos encontrar um irracional entre
a
x e y.
Provemos a segunda afirma¸˜o. Sejam x e y dois n´meros reais distintos.
ca u
Inicialmente observemos que se x < 0 < y ent˜o nada temos para provar pois 0
a
´ racional. Suponhamos 0 < x < y. Assim y − x > 0. Novamente aplicando o
e
princ´ıpio de Arquimedes encontramos um natural n tal que
n(y − x) > 1
nx > 1
Seja j tal que
j j+1
≤x<
n n
Notemos que
j+1 j 1
= + < x + (y − x) = y
n n n
Logo basta tomarmos j+1 .
n
Se x < y < 0 ent˜o 0 < −y < −x e pelo primeiro caso encontramos um
a
racional entre −y e −x. O sim´trico deste racional ser´ o racional procurado.
e a
6

7. Exerc´ıcios: As propriedades que destacamos acima s˜o suficientes para
a
deduzirmos uma s´rie de outras, conforme os exerc´
e ıcios abaixo.
1) Prove que quaisquer que sejam os reais x, y, z
x + z = y + z ⇒ x = y.
2) Prove que quaisquer que sejam os reais x, y, z, w
0≤x≤y
⇒ xz ≤ yw.
0≤z≤w
3) Prove que quaisquer que sejam os reais x, y, z, w tem-se:
a)x < y ⇔ x + z < y + z.
b)z > 0 ⇔ z −1 > 0.
c)z > 0 ⇔ −z < 0.
d)z > 0, x < y ⇔ xz < yz.
e)z < 0, x < y ⇔ xz > yz.
0≤x<y
f) ⇒ xz < yw
0≤z<w
g)0 < x < y ⇒ 0 < y −1 < x−1
h)x < y ou x = y ou y < x.
i)xy = 0 ⇔ x = 0 ou y = 0.
4) Suponha x ≥ 0 e y ≥ 0. Prove que:
a)x < y ⇒ x2 < y 2 .
b)x ≤ y ⇒ x2 ≤ y 2
c)x < y ⇔ x2 < y 2 .
1.2 Sequˆncias de N´ meros Reais
e u
Nesta se¸˜o estudaremos fun¸˜es reais de uma vari´vel real cujo dom´
ca co a ınio ´ um
e
subconjunto do conjunto dos n´meros naturais. Tais fun¸˜es recebem o nome de
u co
sequˆncias. N˜o daremos um tratamento anal´
e a ıtico completo ao assunto, apenas
iremos introduzir o conceito e provaremos as principais propriedades.
Defini¸˜o: Uma sequˆncia de n´meros reais ´ uma fun¸˜o
ca e u e ca
f :A⊂N →R
7

8. Nota¸˜o: Denotamos (an ) onde f (n) = an . Em geral apresentaremos a
ca
sequˆncia pela lei de defini¸˜o e consideraremos o dom´
e ca ınio como o maior sub-
conjunto de N onde tem sentido a lei de defini¸˜o.
ca
Exemplos:
1) (an ) dada por an = n ´ a sequˆncia formada pelos n´meros 1, 1 , 3 , ...
1
e e u 2
1
2) (an ) dada por an = 2 ´ a sequˆncia constante 2, 2, 2, ...
e e
n
3) (an ) dada por an = (−1) ´ a sequˆncia 1, −1, 1, −1,...
e e
Defini¸˜o: Diz-se que uma sequˆncia (an ) converge para um n´mero L ou
ca e u
tem limite L se , dado qualquer n´mero ε > 0 , ´ sempre poss´ encontrar um
u e ıvel
n´mero natural N tal que
u
n > N → |an − L| < ε.
Denotamos
lim an = L ou an → L.
n→+∞
Intuitivamente dizer que (an ) converge para L significa dizer que os termos
da sequˆncia aproximam-se de L quando n cresce .
e
Exemplo:
1
A sequˆncia (an ) dada por an = n converge para 0.
e
De fato, dado ε > 0, tomamos N o primeiro n´mero natural maior que 1 e
u ε
temos que
1 1
n>N →n> → < ε.
ε n
Defini¸˜o: Quando uma sequˆncia n˜o converge diz-se que ela diverge ou
ca e a
que ´ divergente.
e
Exemplos:
n
1) A sequˆncia (an ) dada por an = (−1) ´ divergente. De fato, seus termos
e e
oscilam entre −1 e 1.
2) A sequˆncia (an ) dada por an = n ´ divergente. De fato, seus termos
e e
crescem indefinidamente.
Defini¸˜o: Uma sequˆncia (an ) ´ dita limitada se existir um n´mero real
ca e e u
K > 0 tal que
|an | ≤ K, ∀n.
Exemplos:
1
1) As sequˆncias dadas por an = n , an = cos n s˜o exemplos de sequˆncias
e a e
limitadas.
2) A sequˆncia (an ) dada por an = n2 n˜o ´ limitada.
e a e
Observa¸˜o: Ser limitada n˜o ´ o mesmo que ter limite. Se uma sequˆncia
ca a e e
for convergente ent˜o ela ser´ limitada mas nem toda sequˆncia limitada ´ con-
a a e e
n
vergente. De fato, considere por exemplo a sequˆncia (an ) dada por an = (−1) .
e
8

9. Defini¸˜o:
ca
a e ´
1) Se a1 < a2 < a3 < ... ent˜o (an ) ´ dita MONOTONA CRESCENTE.
´ ˜
2) Se a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ ... ent˜o (an ) ´ dita MONOTONA NAO DECRES-
a e
CENTE.
a e ´
3) Se a1 > a2 > a3 > ... ent˜o (an ) ´ dita MONOTONA DECRESCENTE.
´ ˜
4) Se a1 ≥ a2 ≥ a3 ≥ ... ent˜o (an ) ´ dita MONOTONA NAO CRES-
a e
CENTE.
Teorema: Toda sequˆncia mon´tona limitada ´ convergente.
e o e
Demonstra¸˜o:Vamos provar que toda sequˆncia n˜o decrescente e limi-
ca e a
tada converge para seu extremo superior e deixaremos os demais casos como
exerc´
ıcio.
Seja K > 0 tal que
a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ ... ≤ K
Assim temos que o conjunto
{an |n ∈ N }
´ limitado superiormente.Pela propriedade do supremo temos que existe L ∈ R
e
tal que
L = sup{an |n ∈ N }.
Afirmamos que
L = lim an .
n→+∞
De fato , dado ε > 0 temos que L − ε n˜o ´ uma cota superior de {an |n ∈ N }
a e
e assim exite N > 0 tal que
aN > L − ε
e portanto
n > N → L − ε < aN ≤ an < L < L + ε → |an − L| < ε.
Uma importante aplica¸˜o: O n´ mero e
ca u
Vamos provar que:
1) A sequˆncia dada por
e
n
1
an = 1+
n
´ crescente e limitada e portanto convergente.
e
2) Sendo (an ) convergente, escrevemos
e = lim an
n→∞
9

10. e provamos que 2 < e < 3.
1)
Inicialmente mostremos que a sequˆncia ´ crescente.
e e
Vamos provar que , para todo n temos
an+1
> 1.
an
Temos
n+1 n+1 n+1
1 n+2 n+2
1+ n+1 n+1 n+1
1 n
= n+1 n
= =
1+ n+1 n+1 n
n n n n+1
n+1 n+1
n+2 n n2 +2n
n+1 n+1 2
(n+1)
= n = n =
n+1 n+1
n+1 n+1
(n+1)2 −1 1
(n+1)2
1 − (n+1)2
= n = n =∗
n+1 n+1
Aplicando a desigualdade de Bernoulli em ∗ temos
−1
1 + (n + 1) (n+1)2 1− 1
n+1
∗> n = n = 1.
n+1 n+1
Logo a sequˆncia ´ crescente.
e e
Provemos agora que a sequˆncia ´ limitada. Temos
e e
n
1 1 n(n − 1) 1 n (n − 1) ... (n − (k − 1)) 1 1
1+ = 1 + n. + . 2 + ... + + ... + n =
n n 2 n k! nk n
1 1 1 1 2 k−1
= 1+1+ 1− + ... + (1 − )(1 − )... 1 − +
2 n k! n n n
1 1 2 n−1
... + (1 − )(1 − )... 1 −
n! n n n
Por indu¸˜o ´ f´cil provar que
ca e a
1 1
≤ n−1 , ∀n ∈ N.
n! 2
Assim
n n
1 1 1 1− 1
2
1+ ≤1+1+ + .... + n = 1 + < 3.
n 2 2 1− 1
2
Conclu´
ımos que
n
1
2< 1+ < 3.
n
10

11. 2)
1 n
Como 1+ n ´ convergente escrevemos
e
n
1
e = lim 1+ .
n→∞ n
2 Limites de Fun¸˜es Reais Definidas em Inter-
co
valos
2.1 Introdu¸˜o
ca
Neste cap´ıtulo introduziremos o conceito de limite. Restringiremos nosso es-
tudo para as fun¸˜es reais definidas em intervalos. Deixaremos para o curso de
co
An´lise Matem´tica o estudo de limites quando as fun¸˜es est˜o definidas em
a a co a
um subconjunto qualquer da reta.
Todas as fun¸˜es que consideraremos neste cap´
co ıtulo s˜o do tipo f : I → R
a
onde I ´ uma uni˜o de intervalos.
e a
Defini¸˜o: Dizemos que f : I → R est´ definida em uma vizinhan¸a de p,
ca a c
exceto possivelmente em p, se existir algum r > 0 tal que
(p − r, p) ⊂ I
e
(p, p + r) ⊂ I.
Exemplos:
1) Uma fun¸˜o definida em um intervalo aberto f : (a, b) → R est´ definida
ca a
em uma vizinhan¸a de p, qualquer que seja p ∈ (a, b).
c
2) Uma fun¸˜o definida em um intervalo fechado f : [a, b] → R est´ definida
ca a
em uma vizinhan¸a de p, qualquer que seja p ∈ (a, b). Note que f n˜o est´
c a a
definida em uma vizinhan¸a de a e nem em uma vizinhan¸a de b. O mesmo
c c
permanece v´lido para qualquer outra combina¸˜o de ( ou [.(verifique isso).
a ca
2
3) Consideremos f : R{1} → R dada por f (x) = x −1 . Observe que f
x−1
est´ definida em uma vizinhan¸a de 1, exceto no ponto 1.
a c
2.2 Defini¸˜o de Limite
ca
Defini¸˜o: Seja f : I → R uma fun¸˜o definida em uma vizinhan¸a de p,
ca ca c
exceto possivelmente em p. Dizemos que o limite de f (x) ao x tender a p ´ e
igual a L ∈ R se para qualquer ε > 0 existir δ > 0 tal que para 0 < |x − p| < δ
tem-se |f (x) − L| < ε. Denotamos
lim f (x) = L.
x→p
11

12. Intuitivamente a defini¸˜o acima est´ nos dizendo que a medida que x
ca a
aproxima-se de p temos que f (x) aproxima-se de L :
∀ε > 0, ∃δ > 0, 0 < |x − p| < δ ⇒ |f (x) − L| < ε
Exemplos:
1) Seja k ∈ R uma constante e p ∈ R. Provemos que lim k = k. De fato,
x→p
dado ε > 0 existe δ = 1 tal que
0 < |x − p| < 1 ⇒ |k − k| = 0 < ε.
ε
2) Provemos que lim (2x − 4) = 2. De fato, dado ε > 0 existe δ = 2 tal que
x→3
ε
0 < |x − 3| < ⇒ |2x − 6| < ε ⇒ |(2x − 4) − 2| < ε.
2
3) Observe que o valor que a fun¸˜o assume no ponto p n˜o influencia seu
ca a
−x + 4, se x = 1
limite ao x tender a p. Seja f : R → R dada por f (x) = .
7, se x = 1
Temos que lim f (x) = 3. De fato, dado ε > 0 existe δ = ε tal que
x→1
0 < |x − 1| < ε ⇒ |−x + 4 − 3| < ε ⇒ |f (x) − 3| < ε.
16−x2
4) Seja f : R{−4} → R dada por f (x) = x+4 . Temos que para x = −4,
16−x2
x+4 = 4 − x e assim lim f (x) = lim (4 − x) = 8. De fato , dado ε > 0
x→−4 x→−4
tomamos δ = ε e temos
0 < |x − (−4)| < ε ⇒ 0 < |x + 4| < ε ⇒ |4 − x − 8| = |x + 4| < ε.
Podemos caracterizar o limite de fun¸˜es reais utilizando sequˆncias de
co e
n´meros reais.
u
Teorema : Sejam f uma fun¸˜o definida em uma vizinhan¸a de p ∈ R
ca c
exceto possivelmente em p e L ∈ R . Vale que lim f (x) = L se e somene se
x→p
∀ (xn ) tal que xn → p , xn = p , tem-se f (xn ) → L.
Demonstra¸˜o: Suponhamos que lim f (x) = L. Seja xn tal que xn → p.
ca
x→p
Provemos que f (xn ) → L.
Seja ε > 0. Ent˜o existe δ > 0 tal que
a
0 < |x − p| < δ → |f (x) − L| < ε.
Como xn → p, xn = p temos que exite N natural tal que
n > N → 0 < |xn − p| < δ → |f (xn ) − L| < ε.
12

13. Reciprocamente, suponhamos que
∀ (xn ) tal que xn → p , xn = p , tem-se f (xn ) → L.
Provemos que lim f (x) = L.
x→p
Se isto n˜o fosse verdade existiria ε > 0 tal que para qualquer δ > 0 existiria
a
x tal que
0 < |x − p| < δ e |f (x) − L| > ε.
1
Tomando δ = n existiria xn tal que
1
0 < |xn − p| < e |f (xn ) − L| > ε.
n
ı ıamos xn → p, xn = p e no entanto f (xn ) n˜o estaria convergindo
Mas da´ ter´ a
para L.
Logo
lim f (x) = L.
x→p
2.3 Unicidade, Conserva¸˜o de Sinal e Limita¸˜o
ca ca
Come¸aremos esta se¸˜o provando a unicidade do limite.
c ca
Teorema: Seja f uma fun¸˜o definida em uma vizinhan¸a de p ∈ R exceto
ca c
possivelmente em p. Se existe L ∈ R tal que lim f (x) = L ent˜o L ´ unico.
a e´
x→p
Demonstra¸˜o:Suponhamos que lim f (x) = M .Vamos provar que L = M.
ca
x→p
Suponhamos que L = M. Sem perda de generalidade podemos supor L < M.
−L
Tomemos ε = M 2 . Assim existe δ1 > 0 tal que
M −L M +L
0 < |x − p| < δ1 ⇒ |f (x) − L| < ⇒ f (x) < .
2 2
Por outro lado existe δ2 > 0 tal que
M −L M +L
0 < |x − p| < δ2 ⇒ |f (x) − M | < ⇒ f (x) > .
2 2
Tomando δ = min{δ1 , δ2 } temos que
M +L M +L
0 < |x − p| < δ ⇒ < f (x) <
2 2
e isto ´ um absurdo.
e
Logo L = M.
A seguir provaremos que a existˆncia de lim f (x) implicar´ na limita¸˜o da
e a ca
x→p
fun¸˜o em uma vizinhan¸a do ponto p.
ca c
13

14. Teorema: Seja f uma fun¸˜o definida em uma vizinhan¸a de p ∈ R exceto
ca c
possivelmente em p. Se existe L ∈ R tal que lim f (x) = L ent˜o existem δ > 0
a
x→p
e M > 0 tais que
0 < |x − p| < δ ⇒ |f (x)| < M.
Demonstra¸˜o: Tomando ε = 1 na defini¸˜o de limite temos que
ca ca
∃δ > 0, 0 < |x − p| < δ ⇒ |f (x) − L| < 1
Da desigualdade triangular temos
|f (x)| − |L| ≤ |f (x) − L|
e portanto
|f (x)| ≤ 1 + |L| .
Logo basta tomarmos M = 1 + |L| e δ como acima.
Vamos provar agora o teorema da conserva¸˜o do sinal. Em suma o teorema
ca
ir´ nos dizer que o limite tem que ter o mesmo sinal da fun¸˜o em uma vizinhan¸a
a ca c
do ponto ou ser nulo.
Teorema: Sejam f uma fun¸˜o definida em uma vizinhan¸a de p ∈ R,
ca c
exceto possivelmente em p, e L ∈ R tais que lim f (x) = L.
x→p
a) Se L > 0 ent˜o existe δ > 0 tal que
a
0 < |x − p| < δ ⇒ f (x) > 0.
b) Se L < 0 ent˜o existe δ > 0 tal que
a
0 < |x − p| < δ ⇒ f (x) < 0.
Demonstra¸˜o: Vamos provar a) e deixaremos como exerc´ a prova de
ca ıcio
b).
L
Tomamos ε = 2 e temos que existe δ > 0 tal que
L
0 < |x − p| < δ ⇒ |f (x) − L| < .
2
L
Segue que f (x) > 2 > 0.
14

15. 2.4 C´lculo de Limites
a
Nesta se¸˜o demonstraremos algumas propriedades operacionais que facilitar˜o
ca a
o c´lculo de limites.
a
Teorema: Sejam f e g fun¸˜es definidas em uma vizinhan¸a de um ponto
co c
p ∈ R , exceto possivelmente em p;L , M ∈ R tais que lim f (x) = L e
x→p
lim g(x) = M e k uma constante real.
x→p
Ent˜o:
a
a) Existe lim (f (x) + g(x)) e lim (f (x) + g(x)) = L + M.
x→p x→p
b) Existe lim (f (x) − g(x)) e lim (f (x) − g(x)) = L − M.
x→p x→p
c) Existe lim (f (x).g(x)) e lim (f (x).g(x)) = L.M .
x→p x→p
d) Existe lim kf (x) e lim kf (x) = kL.
x→p x→p
e) Se M = 0, existe lim f (x) e lim f (x)
= L
M.
x→p g(x) x→p g(x)
Demonstra¸˜o:ca
a) Seja ε > 0. De acordo com nossa hip´tese temos que existem δ1 > 0 e
o
δ2 > 0 tais que
ε
0 < |x − p| < δ1 ⇒ |f (x) − L| < ,
2
ε
0 < |x − p| < δ2 ⇒ |g(x) − M | < .
2
Tomando δ = min{δ1 , δ2 } temos que
0 < |x − p| < δ ⇒ |f (x) + g(x) − (L + M )| <
ε ε
< |f (x) − L| + |g(x) − M | < + = ε.
2 2
b) Deixamos como exerc´ ıcio.
d) Se k = 0 ent˜o ´ trivial. Suponhamos k = 0. Seja ε > 0. Da nossa hip´tese
a e o
temos que existem δ > 0 tal que
ε
0 < |x − p| < δ ⇒ |f (x) − L| < .
|k|
Assim temos
∃δ1 = δ > 0 tal que
ε
0 < |x − p| < δ1 ⇒ |kf (x) − kL| = |k| |f (x) − L| < |k| = ε.
|k|
15

16. 1
c) Inicialmente observemos que f (x).g(x) = 4 [(f (x)+g(x))2 −(f (x)−g(x))2 ].
Provemos que, dada uma fun¸˜o h definida em uma vizinhan¸a de p, exceto
ca c
possivelmente em p, e satisfazendo lim h(x) = N temos lim h(x)2 = N 2 . De
x→p x→p
fato, de acordo com o teorema da limita¸˜o, temos
ca
∃δ1 > 0, ∃K > 0 tais que
0 < |x − p| < δ1 ⇒ |h(x)| < K.
Al´m disso, dado ε > 0, temos
e
∃δ2 > 0 tal que
ε
0 < |x − p| < δ2 ⇒ |h(x) − N | < .
K + |N |
Tomamos δ satisfazendo δ = min{δ1 , δ2 } temos
0 < |x − p| < δ ⇒ h(x) − N 2 = |h(x) − N | |h(x) + N | <
ε ε
< (|h(x)| + |N |) < (K + |N |) = ε.
K + |N | K + |N |
Desta forma
1
lim (f (x).g(x)) = lim [(f (x) + g(x))2 − (f (x) − g(x))2 ] = ∗
x→p x→p 4
Pela propriedade d) temos
1
∗= lim [(f (x) + g(x))2 − (f (x) − g(x))2 ] = ∗∗
4 x→p
e pela propriedade b)
1 1
∗∗ = lim (f (x) + g(x))2 − lim (f (x) − g(x))2 = ∗ ∗ ∗
4 x→p 4 x→p
e aplicando o que acabamos de provar
1 1
∗∗∗= ( lim (f (x) + g(x)))2 − ( lim (f (x) − g(x)))2 = ∗ ∗ ∗∗
4 x→p 4 x→p
e voltando a aplicar a) e b) finalmente temos
1
∗ ∗ ∗∗ = [(L + M )2 − (L − M )2 ] = LM.
4
1 1
e) Para provarmos e) ´ suficiente provarmos que lim
e = M. De fato
x→p g(x)
f (x) 1
g(x) = f (x). g(x) e sabemos operar o produto por d).
Seja ε > 0. Como lim g(x) = M = 0 temos que
x→p
∃δ1 > 0 tal que
|M | |M |
0 < |x − p| < δ1 ⇒ |g(x) − M | < ⇒ |g(x)| >
2 2
16

17. Por outro lado
∃δ2 > 0 tal que
2
|M |
0 < |x − p| < δ2 ⇒ |g(x) − M | < ε
2
Tomando δ = min{δ1 , δ2 } temos
1 1 |g(x) − M |
0 < |x − p| < δ ⇒ − = <
g(x) M |g(x)| |M |
2
2 2 |M |
< 2 |g(x) − M | < 2 ε=ε
|M | |M | 2
O Teorema do Confronto (” Teorema do Sandu´ ıche”): Sejam f, g, h
fun¸˜es definidas em uma vizinhan¸a de p, exceto possivelmente em p, satis-
co c
fazendo:
a) f (x) ≤ g(x) ≤ h(x), para todo x nesta vizinhan¸a,
c
b) Existem os limites lim f (x), lim h(x) e
x→p x→p
c) lim f (x) = lim h(x) = L.
x→p x→p
Ent˜o existe lim g(x) e lim g(x) = L.
a
x→p x→p
Demonstra¸˜o: Seja ε > 0. Por c) temos:
ca
∃δ1 > 0 tal que
0 < |x − p| < δ1 ⇒ |f (x) − L| < ε
e
∃δ2 > 0 tal que
0 < |x − p| < δ2 ⇒ |h(x) − L| < ε
Tomamos δ = min{δ1 , δ2 } e temos
0 < |x − p| < δ ⇒ L − ε < f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) < L + ε ⇒
⇒ |g(x) − L| < ε
Exerc´
ıcio: Prove que
lim f (x) = 0 ⇔ lim |f (x)| = 0.
x→p x→p
Exemplo: lim x cos x = 0.
x→0
De fato, vamos mostrar que lim |x cos x| = 0.
x→0
Temos que
0 ≤ |x cos x| ≤ |x|
e pelo teorema do confronto segue o resultado.
17

18. 2.5 Limites Laterais
Nesta se¸˜o iremos estudar limites quando x aproxima-se de um ponto p assu-
ca
mindo somente valores maiores (ou menores) que p.
Defini¸˜o:
ca
a)Dizemos que f : I → R est´ definida em uma vizinhan¸a ` direita de p,
a c a
exceto possivelmente em p, se existir algum r > 0 tal que (p, p + r) ⊂ I.
b)Dizemos que f : I → R est´ definida em uma vizinhan¸a ` esquerda de p,
a c a
exceto possivelmente em p, se existir algum r > 0 tal que (p − r, p) ⊂ I.
Exemplos:
1) Uma fun¸˜o definida em um intervalo aberto f : (a, b) → R est´ definida
ca a
em uma vizinhan¸a ` direita de p e em uma vizinhan¸a ` esquerda de p, qualquer
c a c a
que seja p ∈ (a, b).
2) Uma fun¸˜o definida em um intervalo fechado f : [a, b] → R est´ definida
ca a
em uma vizinhan¸a ` direita de p, qualquer que seja p ∈ [a, b) e est´ definida
c a a
em uma vizinhan¸a ` esquerda de p, qualquer que seja p ∈ (a, b]. Note que f
c a
n˜o est´ definida em uma vizinhan¸a ` esquerda de a e nem em uma vizinhan¸a
a a c a c
a
` direita de b. O mesmo permanece v´lido para qualquer outra combina¸˜o de
a ca
( ou [.(verifique isso).
´
3) E imediato verificarmos que uma fun¸˜o f est´ definida
ca a em uma
vizinhan¸a de p se e somente se est´ definida em uma vizinhan¸a ` esquerda de
c a c a
p e em uma vizinhan¸a ` direita de p.
c a
Defini¸˜o:
ca
a) Seja f : I → R uma fun¸˜o definida em uma vizinhan¸a ` direita de
ca c a
p, exceto possivelmente em p. Dizemos que o limite de f (x) ao x tender a p
pela direita ´ igual a L ∈ R se para qualquer ε > 0 existir δ > 0 tal que para
e
x ∈ (p, p + δ) tem-se |f (x) − L| < ε. Denotamos lim f (x) = L.
x→p+
b) Seja f : I → R uma fun¸˜o definida em uma vizinhan¸a ` esquerda de
ca c a
p, exceto possivelmente em p. Dizemos que o limite de f (x) ao x tender a p
pela esquerda ´ igual a L ∈ R se para qualquer ε > 0 existir δ > 0 tal que para
e
x ∈ (p − δ, p) tem-se |f (x) − L| < ε. Denotamos limx→p− f (x) = L.
Observa¸˜o: Todas as propriedades provadas nas se¸˜es anteriores com
ca co
rela¸˜o a unicidade, conserva¸˜o de sinal e limita¸˜o permanecem v´lidas para
ca ca ca a
limites laterais, com as devidas altera¸˜es.Tamb´m permanecem v´lidas as pro-
co e a
priedades operacionais provadas na se¸˜o anterior.
ca
18

19. Teorema: Seja f : I → R uma fun¸˜o definida em uma vizinhan¸a de um
ca c
ponto p exceto possivelmente em p. Vale que
∃ lim f (x) ⇔ ∃ lim+ f (x), ∃ lim− f (x) e lim− f (x) = lim+ f (x).
x→p x→p x→p x→p x→p
Deixamos a prova do resultado acima como exerc´
ıcio.
2.6 Limites no Infinito
Nesta se¸˜o iremos estudar o comportamento de algumas fun¸˜es quando a
ca co
vari´vel assume valores arbitrariamente grandes.
a
Defini¸˜o:
ca
a) Dizemos que uma fun¸˜o f : I → R est´ definida em uma vizinhan¸a de
ca a c
+∞ se existir a ∈ R tal que (a, +∞) ⊂ I.
b) Dizemos que uma fun¸˜o f : I → R est´ definida em uma vizinhan¸a de
ca a c
−∞ se existir a ∈ R tal que (−∞, a) ⊂ I.
Exemplos:
a) Qualquer fun¸˜o f : R → R est´ definida em vizinhan¸as de +∞ e de
ca a c
−∞.
b) Qualquer fun¸˜o f : [b, +∞) → R ou f : (b, +∞) → R est´ definida em
ca a
uma vizinhan¸a de +∞ mas n˜o est´ definida em uma vizinhan¸a de −∞.
c a a c
c) Qualquer fun¸˜o f : (−∞, b] → R ou f : (−∞, b) → R est´ definida em
ca a
uma vizinhan¸a de −∞ mas n˜o est´ definida em uma vizinhan¸a de +∞.
c a a c
Defini¸˜o:
ca
a) Seja f : I → R uma fun¸˜o definida em uma vizinhan¸a de +∞. Dizemos
ca c
que o limite de f (x) ao x tender a +∞ ´ L ∈ R e denotamos lim f (x) = L
e
x→+∞
se para todo ε > 0 existir x0 > 0 tal que
x > x0 ⇒ |f (x) − L| < ε.
b) Seja f : I → R uma fun¸˜o definida em uma vizinhan¸a de −∞. Dizemos
ca c
que o limite de f (x) ao x tender a −∞ ´ L ∈ R e denotamos lim f (x) = L
e
x→−∞
se para todo ε > 0 existir x0 < 0 tal que
x < x0 ⇒ |f (x) − L| < ε.
1
Exemplo: Vamos provar que lim = 0.
x→+∞ x
De fato, dado ε > 0 tomamos x0 = 1 e
ε temos
1 1 1
x > x0 ⇒ x > ⇒0< <ε⇒ < ε.
ε x x
19

20. ıcio: Sejam f : I → R uma fun¸˜o definida em uma vizinhan¸a de
Exerc´ ca c
+∞ e L ∈ R tal que lim f (x) = L. Prove que existem x0 > 0 e M > 0 tais
x→+∞
que
x > x0 ⇒ |f (x)| < M.
A seguir estabelecemos algumas propriedades operacionais dos limites no
infinito.
Teorema: Sejam f e g fun¸˜es definidas em uma vizinhan¸a de +∞ ; L ,
co c
M ∈ R tais que lim f (x) = L e lim g(x) = M e k uma constante real.
x→+∞ x→+∞
Ent˜o:
a
a) Existe lim (f (x) + g(x)) e lim (f (x) + g(x)) = L + M.
x→+∞ x→+∞
b) Existe lim (f (x) − g(x)) e lim (f (x) − g(x)) = L − M.
x→+∞ x→+∞
c) Existe lim (f (x).g(x)) e lim (f (x).g(x)) = L.M .
x→+∞ x→+∞
d) Existe lim kf (x) e lim kf (x) = kL.
x→+∞ x→+∞
e) Se M = 0, existe lim f (x) e lim f (x) = L
M.
x→+∞ g(x) x→+∞ g(x)
Demonstra¸˜o:ca
a) Seja ε > 0. De acordo com nossa hip´tese temos que existem x1 > 0 e
o
x2 > 0 tais que
ε
x > x1 ⇒ |f (x) − L| <
2
ε
x > x2 ⇒ |g(x) − M | <
2
Tomando x0 = max{x1 , x2 } temos que
x > x0 ⇒ |f (x) + g(x) − (L + M )| <
ε ε
< |f (x) − L| + |g(x) − M | < + = ε.
2 2
b) Deixamos como exerc´ ıcio.
d) Se k = 0 ent˜o ´ trivial. Suponhamos k = 0.
a e
Seja ε > 0. Da nossa hip´tese temos que existem x0 > 0 tal que
o
ε
x > x0 ⇒ |f (x) − L| < .
|k|
Assim temos
ε
x > x0 ⇒ |kf (x) − kL| = |k| |f (x) − L| < |k| = ε.
|k|
1
c) Inicialmente observemos que f (x).g(x) = 4 [(f (x)+g(x))2 −(f (x)−g(x))2 ].
20

21. Provemos que, dada uma fun¸˜o h definida em uma vizinhan¸a de +∞, e
ca c
satisfazendo lim h(x) = N temos lim h(x)2 = N 2 . De fato, pelo exerc´
ıcio
x→+∞ x→+∞
acima,
∃x1 > 0, ∃K > 0 tais que
x > x1 ⇒ |h(x)| < K
Al´m disso, dado ε > 0, temos
e
∃x2 > 0 tal que
ε
x > x2 ⇒ |h(x) − N | <
K + |N |
Tomamos x0 satisfazendo x0 = max{x1 , x2 } temos
x > x0 ⇒ h(x) − N 2 = |h(x) − N | |h(x) + N | <
ε ε
< (|h(x)| + |N |) < (K + |N |) = ε.
K + |N | K + |N |
Desta forma
1
lim (f (x).g(x)) = lim [(f (x) + g(x))2 − (f (x) − g(x))2 ] = ∗
x→+∞ x→+∞ 4
Pela propriedade d) temos
1
∗= lim [(f (x) + g(x))2 − (f (x) − g(x))2 ] = ∗∗
4 x→+∞
e pela propriedade b)
1 1
∗∗ = lim (f (x) + g(x))2 − lim (f (x) − g(x))2 = ∗ ∗ ∗
4 x→+∞ 4 x→+∞
e aplicando o que acabamos de provar
1 1
∗∗∗= ( lim (f (x) + g(x)))2 − ( lim (f (x) − g(x)))2 = ∗ ∗ ∗∗
4 x→+∞ 4 x→+∞
e voltando a aplicar a) e b) finalmente temos
1
∗ ∗ ∗∗ = [(L + M )2 − (L − M )2 ] = LM
4
e) Para provarmos e) ´ suficiente provarmos que
e lim 1 = 1
M. De fato
x→+∞ g(x)
f (x) 1
g(x) = f (x). g(x) e sabemos operar o produto por d).
Seja ε > 0.
Como lim g(x) = M = 0 temos que
x→+∞
∃x1 > 0 tal que
|M | |M |
x > x1 ⇒ |g(x) − M | < ⇒ |g(x)| >
2 2
21

22. Por outro lado
∃x2 > 0 tal que
2
|M |
x > x2 ⇒ |g(x) − M | < ε
2
Tomando x0 = max{x1 , x2 } temos
1 1 |g(x) − M |
x > x0 ⇒ − = <
g(x) M |g(x)| |M |
2
2 2 |M |
< 2 |g(x) − M | < 2 ε=ε
|M | |M | 2
Observe que o resultado acima continua v´lido se considerarmos x → −∞.
a
2.7 Limites Infinitos
Nesta se¸˜o estudaremos os limites infinitos. Neste caso os valores de f (x) ´
ca e
que assumem valores arbitrariamente grandes a medida que x aproxima-se de
algum ponto p ou de ±∞.
Defini¸˜o:
ca
a) Seja f : I → R uma fun¸˜o definida em uma vizinhan¸a ` direita de
ca c a
p ∈ R. Dizemos que o limite de f (x) ao x tender ` p pela direita ´ igual a +∞
a e
e denotamos
lim+ f (x) = +∞
x→p
se para todo M > 0 existir um δ > 0 tal que
x ∈ (p, p + δ) ⇒ f (x) > M.
b) Seja f : I → R uma fun¸˜o definida em uma vizinhan¸a ` direita de
ca c a
p ∈ R. Dizemos que o limite de f (x) ao x tender ` p pela direita ´ igual a −∞
a e
e denotamos
lim+ f (x) = −∞
x→p
se para todo M > 0 existir um δ > 0 tal que
x ∈ (p, p + δ) ⇒ f (x) < −M.
c) Seja f : I → R uma fun¸˜o definida em uma vizinhan¸a ` esquerda de
ca c a
p ∈ R. Dizemos que o limite de f (x) ao x tender ` p pela esquerda ´ igual a
a e
+∞ e denotamos
lim f (x) = +∞
x→p−
se para todo M > 0 existir um δ > 0 tal que
x ∈ (p − δ, p) ⇒ f (x) > M.
22

23. d) Seja f : I → R uma fun¸˜o definida em uma vizinhan¸a ` esquerda de
ca c a
p ∈ R. Dizemos que o limite de f (x) ao x tender ` p pela esquerda ´ igual a
a e
−∞ e denotamos
lim f (x) = −∞
x→p−
se para todo M > 0 existir um δ > 0 tal que
x ∈ (p − δ, p) ⇒ f (x) < −M.
e) Seja f : I → R uma fun¸˜o definida em uma vizinhan¸a de +∞. Dizemos
ca c
que o limite de f (x) ao x tender ` +∞ ´ igual a +∞ e denotamos
a e
lim f (x) = +∞
x→+∞
se para todo M > 0 existir um N > 0 tal que
x > N ⇒ f (x) > M.
f ) Seja f : I → R uma fun¸˜o definida em uma vizinhan¸a de +∞. Dizemos
ca c
que o limite de f (x) ao x tender ` +∞ ´ igual a −∞ e denotamos
a e
lim f (x) = −∞
x→+∞
se para todo M > 0 existir um N > 0 tal que
x > N ⇒ f (x) < −M.
g) Seja f : I → R uma fun¸˜o definida em uma vizinhan¸a de −∞. Dizemos
ca c
que o limite de f (x) ao x tender ` −∞ ´ igual a +∞ e denotamos
a e
lim f (x) = +∞
x→−∞
se para todo M > 0 existir um N > 0 tal que
x < −N ⇒ f (x) > M.
h) Seja f : I → R uma fun¸˜o definida em uma vizinhan¸a de −∞. Dizemos
ca c
que o limite de f (x) ao x tender ` −∞ ´ igual a −∞ e denotamos
a e
lim f (x) = −∞
x→−∞
se para todo M > 0 existir um N > 0 tal que
x < −N ⇒ f (x) < −M.
Exemplos:
1
1) Provemos que lim+ x = +∞.
x→0
23

24. 1
De fato, dado M > 0 existe δ = M tal que
1 1
x ∈ (0, ) ⇒ > M.
M x
1
2) Provemos que lim x−1 = −∞. De fato, dado M > 0 tomamos
x→1−
1
δ = min{ , 1}
M
e temos
1 1
x ∈ (1 − δ, 1) ⇒ x − 1 ∈ (−δ, 0) ⇒ < − < −M.
x−1 δ
A seguir apresentamos a ”aritm´tica do infinito” isto ´ , estabelecemos as
e e
rela¸˜es entre os limites infinitos e as opera¸˜es. Deixamos a prova do teorema
co co
como exerc´ıcio.
Teorema: Sejam f, g : I → R definidas numa vizinhan¸a de p ∈ R , exceto
c
possivelmente em p . Valem as seguintes tabelas:
TABELA I
lim f (x ) lim g(x ) lim (f (x ) + g(x )
x→p x→p x→p
+∞ +∞ +∞
−∞ −∞ −∞
+∞ −∞ indetermina¸˜o
ca
α∈R +∞ +∞
α∈R −∞ −∞
TABELA II
lim f (x ) lim g(x ) lim f (x ).g(x )
x→p x→p x→p
+∞ +∞ +∞
+∞ −∞ −∞
−∞ −∞ +∞
0 +∞ indetermina¸˜o
ca
0 −∞ indetermina¸˜o
ca
α>0 +∞ +∞
α>0 −∞ −∞
α<0 −∞ +∞
TABELA III
lim f (x ) lim g(x ) lim f (x)
g(x)
x→p x→p x→p
α∈R +∞ 0
α∈R −∞ 0
+∞ +∞ indetermina¸˜o
ca
+∞ −∞ indetermina¸˜o
ca
α>0 0+ +∞
α>0 0− −∞
α<0 0+ −∞
α<0 0− +∞
24

25. Observa¸˜o: Indetermina¸˜o significa que nada se pode afirmar sobre o
ca ca
limite em quest˜o. Depende de f e g em cada caso particular.
a
O teorema continua v´lido para
a
vizinhan¸a
c a
` direita de p x → p+
vizinhan¸a
c a
` esquerda de p x → p−
vizinhan¸a
c de +∞ x → +∞
vizinhan¸a
c de −∞ x → −∞
2.8 Limite de Fun¸˜es Compostas
co
Para encerrarmos este cap´
ıtulo veremos como procedermos o calculo de limite
de compostas de fun¸˜es.
co
Teorema: Sejam f : I1 → R e g : I2 → R fun¸˜es definidas em uma
co
vizinhan¸a de p ∈ R e a ∈ R , respectivamente, satisfazendo:
c
a) f (I1 ) ⊂ I2 ;
b) lim f (x) = a;
x→p
c) lim g(u) = L;
u→a
d) Existe r > 0 tal que f (x) = a para 0 < |x − p| < r.
Ent˜o lim g(f (x)) = lim g(u) = L.
a
x→p u→a
Demonstra¸˜o: Seja ε > 0. Como lim g(u) = L temos que existe δ1 > 0
ca
u→a
tal que
0 < |u − a| < δ1 ⇒ |g(u) − L| < ε.
Al´m disso, como lim f (x) = a existe δ2 > 0 tal que
e
x→p
0 < |x − p| < δ2 ⇒ |f (x) − a| < δ1 .
Tomando δ = min{δ2 , r} temos
0 < |x − p| < δ ⇒ 0 < |f (x) − a| < δ1 ⇒ |g(f (x)) − L| < ε.
O teorema acima permanece v´lido para limites laterais, com as devidas
a
adapta¸˜es. Fa¸a isso como exerc´
co c ıcio.
Exemplo: Observe a importˆncia da hip´tese d). Consideremos o seguinte
a o
exemplo:
f (x) = 1, ∀x ∈ R
u + 1, u = 1
g(u) =
3, u = 1
25

26. Temos
lim f (x) = 1
x→1
lim g(u) = 2
u→1
e no entanto
lim g(f (x)) = 3 = lim g(u).
x→1 u→1
Teorema: Sejam f : I1 → R e g : I2 → R fun¸˜es definidas em uma
co
vizinhan¸a do +∞ e em uma vizinhan¸a de a ∈ R (exceto possivelmente em a),
c c
respectivamente, e L ∈ R satisfazendo:
a) f (I1 ) ⊂ I2 ;
b) lim f (x) = a;
x→+∞
c) Existe N1 > 0 tal que para x > N1 tem-se f (x) = a.
d) lim g(u) = L.
u→a
Ent˜o
a lim g(f (x)) = lim g(u) = L.
x→+∞ u→a
Demonstra¸˜o: Seja ε > 0. Como lim g(u) = L temos que existe δ > 0
ca
u→a
tal que
0 < |u − a| < δ ⇒ |g(u) − L| < ε.
Como lim f (x) = a existe N2 > 0 tal que
x→+∞
x > N2 ⇒ |f (x) − a| < δ.
Tomando N = max{N1 , N2 } temos
x > N ⇒ 0 < |f (x) − a| < δ ⇒ |g(f (x)) − L| < ε.
O teorema permanece v´lido considerarmos x → −∞.
a
3 Continuidade de Fun¸˜es Reais de Vari´vel
co a
Real
3.1 Defini¸˜o de Continuidade
ca
Neste cap´
ıtulo introduziremos o conceito de continuidade. Restringiremos nosso
estudo para as fun¸˜es reais definidas em intervalos. Deixaremos para o curso de
co
An´lise Matem´tica o estudo da continuidade quando as fun¸˜es est˜o definidas
a a co a
em um subconjunto qualquer da reta.
Todas as fun¸˜es que consideraremos neste cap´
co ıtulo s˜o do tipo f : I → R
a
onde I ´ uma uni˜o de intervalos.
e a
26

27. Defini¸˜o:
ca
a) Uma fun¸˜o f : I → R ´ dita cont´
ca e ınua em p ∈ I se para todo ε > 0
existir δ > 0 tal que
x ∈ I ∩ (p − δ, p + δ) ⇒ |f (x) − f (p)| < ε.
b) Uma fun¸˜o f : I → R ´ dita cont´
ca e ınua se o for em todos os pontos de
seu dom´
ınio.
c) Uma fun¸˜o f : I → R ´ dita descont´
ca e ınua em p ∈ I se f n˜o ´ cont´
a e ınua
em p.
Observa¸˜es: A verifica¸˜o da continuidade de fun¸˜es definidas em inter-
co ca co
valos (a, b) ou [a, b] ´ um pouco mais simples:
e
1) De acordo com a defini¸˜o acima , temos que f : (a, b) → R ´ cont´
ca e ınua se
existir lim f (x) , para todo p ∈ (a, b) e ainda lim f (x) = f (p). Em particular,
x→p x→p
usando a caracteriza¸˜o de limites por sequˆncias ter´
ca e ıamos que f ´ cont´
e ınua em
p se e somente se
∀ (xn ) tal que xn → p tem-se f (xn ) → f (p) .
2) De acordo com a defini¸˜o acima , temos que f : [a, b] → R ´ cont´
ca e ınua se:
a) Existe lim f (x) , para todo p ∈ (a, b) e lim f (x) = f (p);
x→p x→p
b) Existe lim+ f (x) e lim+ f (x) = f (a);
x→a x→a
c) Existe lim− f (x) e lim− f (x) = f (b).
x→b x→b
3.2 Opera¸˜es com Fun¸˜es e Continuidade
co co
Os resultados que obteremos nesta se¸˜o s˜o demonstrados da mesma forma
ca a
que os an´logos para limites.
a
Teorema: Sejam f : I → R, g : I → R fun¸˜es cont´
co ınuas em p ∈ I e k ∈ R
uma constante. Ent˜o:
a
a) f + g ´ cont´
e ınua em p.
b) f − g ´ cont´
e ınua em p.
c) f.g ´ cont´
e ınua em p.
d) Se g(p) = 0 ent˜o f ´ cont´
a g e ınua em p.
e) kf ´ cont´
e ınua em p.
Uma consequˆncia imediata do resultado acima ´:
e e
Corol´rio:
a
a) Toda fun¸˜o polinomial ´ cont´
ca e ınua.
b) Toda fun¸˜o racional ´ cont´
ca e ınua.
Demonstra¸˜o:
ca
27

28. a) De fato, se f ´ polinomial ent˜o existe um polinˆmio
e a o
p(x) = a0 + a1 x + ... + an xn
tal que f (x) = p(x), para todo x ∈ R.
Como as fun¸˜es dadas por xm , m ∈ N, s˜o cont´
co a ınuas, segue do teorema
acima que as fun¸˜es dadas por aj xj , j ∈ {0, 1, ..., n}, tamb´m o s˜o. Como
co e a
soma de fun¸˜es cont´
co ınuas ´ cont´
e ınua , segue que toda fun¸˜o polinomial ´
ca e
cont´ınua.
b) De fato, se f ´ uma fun¸˜o racional , ent˜o existem polinˆmios p, q tais
e ca a o
que f (x) = p(x) .
q(x)
Como o quociente de fun¸˜es cont´
co ınuas ´ cont´
e ınua, desde que o polinˆmio
o
do denominador n˜o se anule, segue que toda fun¸˜o racional ´ cont´
a ca e ınua pois o
´ em todos os pontos de seu dom´
e ınio.
Teorema: Sejam f : I1 → R e g : I2 → R satisfazendo que f (I1 ) ⊂ I2 , f
ınua em p ∈ I1 e que g ´ cont´
´ cont´
e e ınua em f (p). Ent˜o g ◦ f ´ cont´
a e ınua em p.
Demonstra¸˜o: Seja ε > 0. Como g ´ cont´
ca e ınua em f (p) temos que existe
δ1 > 0 tal que
u ∈ I2 ∩ (f (p) − δ1 , f (p) + δ1 ) ⇒ |g(u) − g(f (p))| < ε.
Como f ´ cont´
e ınua em p temos que existe δ > 0 tal que
x ∈ I1 ∩ (p − δ, p + δ) ⇒ f (x) ∈ I2 , |f (x) − f (p)| < δ1 ⇒
⇒ f (x) ∈ I2 ∩ (f (p) − δ1 , f (p) + δ1 ) ⇒ |g(f (x)) − g(f (p))| < ε.
3.3 Algumas Propriedades das Fun¸˜es Cont´
co ınuas
Nesta se¸˜o provaremos alguns resultados sobre a conserva¸˜o de sinal e sobre
ca ca
a continuidade de fun¸˜es mon´tonas .
co o
Teorema: Seja f : I → R uma fun¸˜o cont´
ca ınua em p ∈ I . Se f (p) > 0
ent˜o existe δ > 0 tal que
a
x ∈ I ∩ (p − δ, p + δ) ⇒ f (x) > 0.
f (p)
Demonstra¸˜o: Como f (p) > 0, tomamos ε =
ca 2 e temos que existe
δ > 0 tal que
f (p) f (p)
x ∈ I ∩ (p − δ, p + δ) ⇒ |f (x) − f (p)| < ⇒ f (x) > > 0.
2 2
28

29. Teorema: Seja f : I → R uma fun¸˜o cont´
ca ınua em p ∈ I . Se f (p) < 0
ent˜o existe δ > 0 tal que
a
x ∈ I ∩ (p − δ, p + δ) ⇒ f (x) < 0.
Demonstra¸˜o: Como f (p) < 0, tomamos ε = − f (p) e temos que existe
ca 2
δ > 0 tal que
f (p) f (p) f (p)
x ∈ I ∩(p−δ, p+δ) ⇒ |f (x) − f (p)| < − ⇒ f (x) < f (p)− = < 0.
2 2 2
Teorema: Se f : I → R for crescente (ou decrescente) e al´m disso tanto
e
a imagem quanto o dom´ ınio de f forem intervalos ent˜o f ´ cont´
a e ınua.
Demonstra¸˜o: Sem perda de generalidade vamos supor que f ´ crescente.
ca e
Dado p ∈ I, provemos a continuidade de f em p.
Seja ε > 0. Suponhamos tamb´m que f (p) n˜o seja extremidade do intervalo
e a
que ´ a imagem.
e
Como f (I) ´ um intervalo ent˜o existem x1 , x2 ∈ I tais que f (x1 ) = f (p) − ε
e a
e f (x2 ) = f (p) + ε .
Assim basta tomarmos δ = min{p − x1 , x2 − p} e temos
|x − p| < δ ⇒ f (p) − ε = f (x1 ) < f (x) < f (x2 ) = f (p) + ε.
Deixamos como exerc´ o caso geral.
ıcio
Corol´rio: As fun¸˜es trigonom´tricas inversas s˜o cont´
a co e a ınuas.
ca ´
Demonstra¸˜o: E imediato pelo teorema acima, visto que localmente todas
as trigonom´tricas inversas s˜o crescentes ou decrescentes e seus dom´
e a ınios e
imagens s˜o intervalos.
a
3.4 O Teorema do Valor Intermedi´rio
a
Nesta se¸˜o estudaremos o principal teorema relativo a continuidade. O seu
ca
enunciado ´ bastante simples mas as consequˆncias s˜o extremamente impor-
e e a
tantes.
Imagine uma fun¸˜o que seja cont´
ca ınua em um intervalo [a, b]. Suponhamos
que d est´ entre f (a) e f (b). Como a fun¸˜o ´ cont´
a ca e ınua o seu gr´fico pode
a
ser desenhado sem que soltemos o l´pis. De fato, a continuidade impede que
a
o gr´fico apresente saltos. Desta forma n˜o tem como sairmos de (a, f (a)) e
a a
chegarmos em (b, f (b)) sem que no caminho passemos por um ponto que tenha
ordenada d. Logo conclu´ ımos que deve existir algum ponto c em [a, b] tal que
f (c) = d. Esta ´ a conclus˜o do Teorema do Valor Intermedi´rio.
e a a
Vamos enunciar este teorema.
Teorema do Valor Intermedi´rio: Sejam f : [a, b] → R cont´
a ınua e d
entre f (a) e f (b). Ent˜o existe c ∈ [a, b] tal que f (c) = d.
a
29

30. Demonstra¸˜o : Dividiremos a prova em dois casos.
ca
1o Caso:
Suponhamos que f (a) < 0 e que f (b) > 0 e mostremos que existe c ∈ [a, b]
tal que f (c) = 0.
Fa¸amos a0 = a e b0 = b. Consideremos c0 o ponto m´dio de [a0 , b0 ]. Calcu-
c e
lamos f (c0 ). Se f (c0 ) < 0 ent˜o definimos a1 = c0 e b1 = b0 ( se f (c0 ) = 0 n˜o
a a
temos mais o que provar e se f (c0 ) > 0 ent˜o definimos a1 = a0 e b1 = c0 ).
a
Em seguida consideramos c1 o ponto m´dio de [a1 , b1 ] e repetimos o processo
e
acima.
Prosseguindo com este racioc´ ınio, construiremos uma sequˆncia de intervalos
e
encaixantes
[a0 , b0 ] ⊃ [a1 , b1 ] ⊃ ... ⊃ [an , bn ] ⊃ ...
tais que f (an ) < 0 e f (bn ) > 0.
Al´m disso bn − an aproxima-se de zero quando n cresce indefinidamente.
e
O Teorema dos Intervalos Encaixantes nos que diz que existe um unico ´
c ∈ R tal que , para todo n, an ≤ c ≤ bn .
A continuidade da f nos garante que f (c) = 0 pois se fosse diferente de zero
o teorema da conserva¸˜o do sinal implicaria que f (an ) e f (bn ) teriam o mesmo
ca
sinal para n suficientemente grande, j´ que a distˆncia de an a bn tende a zero.
a a
Da mesma forma, se f (a) > 0 e f (b) < 0 existe c ∈ [a, b] tal que f (c) = 0.
Logo, se f for cont´ ınua em [a, b] e se f (a) e f (b) tiverem sinais contr´rios,
a
ent˜o existir´ pelo menos um c em [a, b] tal que f (c) = 0.
a a
2o Caso: Caso Geral.
Sem perda de generalidade, suponhamos que f (a) < d < f (b).
Consideremos a fun¸˜o g(x) = f (x) − d.
ca
Obviamente g ´ cont´
e ınua e g(a) < 0, g(b) > 0.
Pelo 1o caso existe c ∈ [a, b] tal que g(c) = 0. Logo f (c) = d.
Exemplos:
1) Prove que x3 − 4x + 8 = 0 tem pelo menos uma raiz real.
Considere f : [−3, 0] → R dada por f (x) = x3 − 4x + 8.
Como f ´ polinomial segue que f ´ cont´
e e ınua. Al´m disso, f (−3) = −7 < 0,
e
f (0) = 8 > 0.
Logo pelo Teorema do Valor Intermedi´rio,
a
∃c ∈ [−3, 0] tal que f (c) = 0.
Logo o polinˆmio acima admite uma raiz real.
o
2) Todo polinˆmio de grau ´
o ımpar admite uma raiz real. De fato, seja
p(x) = an xn + an−1 xn−1 + ... + a1 x + a0
com n ´
ımpar. Suponhamos, sem perda de generalidade, que an > 0.
Provemos inicialmente que lim p(x) = +∞ e lim p(x) = −∞.
x→+∞ x→−∞
30

31. Temos
lim p(x) = lim (an xn + an−1 xn−1 + ... + a1 x + a0 ) =
x→±∞ x→±∞
an−1 a1 a0
= lim an xn (1 + + .... + + )=
x→±∞ an x an xn−1 an xn
= ±∞.
Logo existem a e b tais que p(a) < 0, p(b) > 0.
Aplicando o TVI em [a, b] segue o resultado.
3.5 O Teorema de Weierstrass
Nesta se¸˜o demonstraremos outra importante propriedade das fun¸˜es cont´
ca co ınuas.
Provaremos que se uma fun¸˜o for cont´
ca ınua em um intervalo fechado [a, b] ent˜o
a
ela assumir´ um valor m´ximo e um valor m´
a a ınimo.
Teorema da Limita¸˜o: Se f : [a, b] → R ´ cont´
ca e ınua ent˜o existe M > 0
a
tal que
|f (x)| < M, ∀x ∈ [a, b].
Demonstra¸˜o: Suponhamos que n˜o exista um M > 0 satisfazendo o
ca a
que ´ desejado.
e
Chamamos a1 = a, b1 = b.
Deve ent˜o existir x1 ∈ [a1 , b1 ] tal que |f (x1 )| > 1.
a
Seja c1 o ponto m´dio de [a1 , b1 ].
e
Como f n˜o ´ limitada em [a1 , b1 ] ent˜o f n˜o ser´ limitada em [a1 , c1 ] ou
a e a a a
em [c1 , b1 ].
Sem perda de generalidade, suponhamos que f n˜o ´ limitada em [c1 , b1 ].
a e
Chamamos a2 = c1 , b2 = b1 .
Como f n˜o ´ limitada em em [a2 , b2 ] existe x2 ∈ [a2 , b2 ] tal que |f (x2 )| > 2.
a e
Prosseguindo com este racioc´ ınio constru´ ımos uma sequˆncia
e
[a1 , b1 ] ⊃ ... ⊃ [an , bn ] ⊃ ...
satisfazendo que a distˆncia bn −an est´ se aproximando de zero quando n cresce
a a
e que, para todo natural n, existe xn ∈ [an , bn ] com |f (xn )| > n.
Pelo T. I. Encaixantes, existe c, o unico real tal que c ∈ [an , bn ], para todo
´
n ∈ N.
´
E claro que xn est´ convergindo para c e que |f (xn )| est´ divergindo para
a a
o infinito. Pela continuidade de f ter´ ıamos que lim |f (x)| = +∞. Observemos
x→c
que isto ´ um absurdo. Logo existe M > 0 tal que
e
|f (x)| < M, ∀x ∈ [a, b].
31

32. Teorema de Weierstrass: Se f : [a, b] → R ´ cont´ e ınua existem x1 e x2
em [a, b] tais que f (x1 ) ≤ f (x) ≤ f (x2 ), para qualquer x ∈ [a, b].
Demonstra¸˜o : Sendo f cont´
ca ınua em [a, b], pelo teorema anterior f ser´
a
limitada em [a, b]. Assim o conjunto A = {f (x)|x ∈ [a, b]} admite supremo e
´
ınfimo.
Sejam M = sup A, m = inf A.
Est´ claro que m ≤ f (x) ≤ M.
a
Resta-nos provar que existem x1 e x2 tais que f (x1 ) = m e f (x2 ) = M.
Observe que se f (x) < M para todo x ent˜o a fun¸˜o dada por
a ca
1
g(x) = , x ∈ [a, b]
M − f (x)
seria cont´
ınua mas n˜o seria limitada. Logo existe x2 tal que f (x2 ) = M.
a
Analogamente provamos a existˆncia de x1 .
e
3.6 Potˆncias Irracionais
e
Na se¸˜o 1.3 lembramos algumas propriedades das potˆncias racionais.
ca e
Dado m ∈ Q, a > 0 definimos
n
m √
m
b = an ⇔ bn = a.
O objetivo desta se¸˜o ´ definirmos ax , x ∈ R.
ca e
√
O que significa 3 2 ?
Sabemos que os racionais n˜o ocupam todo o espa¸o da reta mas mesmo
a c
assim eles est˜o presentes em√
a qualquer intervalo, por menor que seja. Assim em
qualquer intervalo contendo 2 existem racionais e nestes sabemos calcular as
√
potˆncias. Seria natural ent˜o definirmos 3 2 como o limite de 3r , r ∈ Q, ao r
e √ a
tender a 2.
A d´vida que sobra ´ se esse limite realmente existe.
u e
O teorema que iremos enunciar a seguir nos garantir´ que existe uma unica
a ´
fun¸˜o cont´
ca ınua em R tal que f (r) = 3r , para qualquer r ∈ Q. Em outras
palavras, existe uma unica maneira de completarmos o pontilhado do gr´fico
´ a
acima e obtermos uma fun¸˜o cont´
ca ınua. Assim iremos definir
√ √
3 2 = f ( 2) = lim f (x).
√
x→ 2
Teorema: Dado a > 0, a = 1 temos que existe uma unica fun¸˜o cont´
´ ca ınua
definida em R tal que
f (r) = ar , ∀r ∈ Q.
Para provarmos o teorema acima precisaremos de 3 resultados preliminares.
32

33. Lema 1: Seja a > 1 um real dado. Ent˜o para todo ε > 0, existe um natural
a
n tal que
1
an − 1 < ε
Demonstra¸˜o: Pela desigualdade de Bernoulli
ca
n
(1 + ε) ≥ 1 + nε.
a−1
Basta tomarmos n > ε .
Lema 2: Sejam a > 1 e x dois reais dados. Para todo ε > 0 existem
racionais r e s , com r < x < s tais que
as − as < ε.
Demonstra¸˜o: Tomamos t > x, racional; assim, para qualquer racional
ca
r < x, tem-se ar < at .Pelo lema 1, existe n natural tal que
1
at a n − 1 < ε.
1
Se escolhermos racionais r e s com r < x < s e satisfazendo s − r < n teremos
1
as − ar = ar (as−r − 1) < at a n − 1 < ε.
Lema 3: Seja a > 1 um real dado. Ent˜o , para todo x real dado , existe
a
um unico real γ tal que
´
ar < γ < as
para quaisquer que sejam os racionais r e s, com r < x < s.
Demonstra¸˜o: Como o conjunto
ca
{ar |r racional , r < x}
´ n˜o vazio e limitado superiormente por todo as , s racional, tal conjunto admite
e a
um supremo que indicamos por γ. Segue que
ar < γ < as .
Falta provarmos que tal γ ´ unico. De fato, se γ1 for tal que
e´
ar < γ1 < as
quaisquer que sejam os racionais r e s, com r < x < s ter´
ıamos
|γ − γ1 | < as − ar
e pelo lema 2 ter´
ıamos que
|γ − γ1 | < ε, ∀ε > 0
33

34. e da´ γ = γ1 .
ı
Prova do Teorema: Inicialmente vamos supor a > 1. Com rela¸˜o ao lema
ca
anterior , se x for racional ent˜o γ = ax . O unico γ ser´ indicado por f (x) . Fica
a ´ a
constru´ıda, assim, uma fun¸˜o f definida em R, e tal que f (r) = ar para todo
ca
racional r. Antes de provarmos a continuidade de f provemos que f ´ crescente.
e
Sejam x1 < x2 . Temos
ar1 < f (x1 ) < as1
e
ar2 < f (x2 ) < as2
quaisquer que sejam os racionais r1 , s1 , r2 e s2 tais que
r1 < x1 < s1 e r2 < x2 < s2 .
Assim , sendo s um racional com x1 < s < x2 temos
f (x1 ) < as < f (x2 )
o que prova que f ´ crescente.
e
Vamos provar a continuidade de f . Seja p ∈ R. Pelo lema 2 dado ε > 0
existem racionais r e s com r < p < s tais que
as − ar < ε.
Para todo x ∈ (r, s) temos
|f (x) − f (p)| < as − ar < ε
o que prova a continuidade da f em p. Segue que f ´ cont´
e ınua em R.
Finalmente se 0 < a < 1 basta considerarmos a fun¸˜o dada por
ca
−x
1
f (x) = .
a
A fun¸˜o f : R → R dada por f (x) = ax , a > 0, a = 1 ´ chamada de
ca e
¸˜
FUNCAO EXPONENCIAL.
4 Derivadas de Fun¸˜es Reais de Vari´vel Real
co a
4.1 Introdu¸˜o e Defini¸˜o de Derivada
ca ca
Defini¸˜o: Seja f : I → R, uma fun¸˜o definida em I ⊂ R uma uni˜o de
ca ca a
intervalos abertos.
a) Dizemos que f ´ deriv´vel em p ∈ I se existe o limite
e a
f (p + h) − f (p)
lim .
h→0 h
34

35. Neste caso chamamos tal limite de derivada da f em p e denotamos:
f (p + h) − f (p)
f (p) = lim .
h→0 h
b) Dizemos que f ´ deriv´vel em I se o for em todos os pontos de I.
e a
Observa¸˜es:
co
1) Dizer que existe a derivada de uma fun¸˜o f em um ponto p significa geo-
ca
metricamente que seu gr´fico apresenta uma reta tangente no ponto (p, f (p)) .
a
Isto significa que o gr´fico n˜o pode apresentar uma quina neste ponto.
a a
2) Observe que
f (p + h) − f (p) f (x) − f (p)
f (p) = lim = lim .
h→0 h x→p x−p
De fato basta considerarmos a mudan¸a de vari´vel x = p + h. Assim para o
c a
c´lculo da derivada podemos escolher um dos limites acima.
a
Defini¸˜o: Dado uma fun¸˜o deriv´vel f : I → R definimos a fun¸˜o
ca ca a ca
derivada f : I → R por
f (x + h) − f (x)
f (x) = lim .
h→0 h
Teorema: Seja f : I → R, uma fun¸˜o definida em I ⊂ R uma uni˜o
ca a
de intervalos abertos. Se f ´ deriv´vel em p ∈ I ent˜o f ´ cont´
e a a e ınua em p.
Demonstra¸˜o: Basta provarmos que
ca
lim f (x) = f (p).
x→p
De fato, temos
lim f (x) = f (p) ⇔ lim (f (x) − f (p)) = 0
x→p x→p
e
(f (x) − f (p))
lim (f (x) − f (p)) = lim . (x − p) =
x→p x→p (x − p)
= f (p) .0 = 0.
Observa¸˜o: Ser deriv´vel ´ condi¸˜o suficiente para ser cont´
ca a e ca ınua e ser
cont´
ınua ´ condi¸˜o necess´ria para ser deriv´vel isto ´
e ca a a e
deriv´vel ⇒ cont´nua.
a ı
A rec´ıproca ´ falsa, isto ´, ser deriv´vel n˜o ´ necess´rio para ser cont´
e e a a e a ınua e ser
cont´
ınua n˜o ´ suficiente para ser deriv´vel isto ´
a e a e
cont´nua
ı deriv´vel.
a
De fato, considere por exemplo a fun¸˜o f : R → R dada por f (x) = |x| . Temos
ca
que f ´ cont´
e ınua em x = 0 mas n˜o ´ deriv´vel em x = 0.
a e a
35

36. 4.2 Regras de Deriva¸˜o
ca
Nesta se¸˜o calcularemos a derivada da soma, da diferen¸a, do produto e do
ca c
quociente de fun¸˜es. Em seguida estudaremos a derivada da composta de duas
co
fun¸˜es.
co
Teorema : Sejam I ⊂ R, uma uni˜o de intervalos abertos, f, g : I → R
a
fun¸˜es deriv´veis em p ∈ I e k ∈ R uma constante real. Temos:
co a
a) (f ± g) ´ deriv´vel em p e (f ± g) (p) = f (p) ± g (p) .
e a
b) (kf ) ´ deriv´vel em p e (kf ) (p) = kf (p) .
e a
c) (f g) ´ deriv´vel em p e (f g) (p) = f (p)g (p) + f (p) g (p) .
e a
f f g(p)f (p)−f (p)g (p)
d) Se g (p) = 0 ent˜o
a g ´ deriv´vel em p e
e a g (p) = g(p)2
.
Demonstra¸˜o:
ca
a) A prova se reduz ao c´lculo do limite
a
(f ± g) (p + h) − (f ± g) (p)
(f ± g) (p) = lim =
h→0 h
f (p + h) ± g (p + h) − f (p) g (p)
= lim =
h→0 h
f (p + h) − f (p) g (p + h) − g (p)
= lim ± =
h→0 h h
= f (p) ± g (p) .
b) Deixamos como exerc´ ıcio.
c) A prova se reduz ao c´lculo do limite
a
(f.g) (p + h) − (f.g) (p)
(f.g) (p) = lim =
h→0 h
f (p + h) .g (p + h) − f (p) .g (p)
= lim =
h→0 h
f (p + h) .g (p + h) − f (p) g (p + h) + f (p) g (p + h) − f (p) .g (p)
= lim =
h→0 h
f (p + h) − f (p) g (p + h) − g (p)
= lim g (p + h) + f (p) =∗
h→0 h h
Como g ´ deriv´vel em p ent˜o g ´ cont´
e a a e ınua em p e portanto
lim g (p + h) = g (p) .
h→0
Assim temos
∗ = f (p)g (p) + f (p) g (p) .
d) Vamos inicialmente provar que
1 −g (p)
(p) = 2 .
g g (p)
36

37. De fato, calculemos o limite
1 1
1 g (p + h) − g (p)
(p) = lim =
g h→0 h
1 1
g(p+h) − g(p)
= lim =
h→0 h
g(p)−g(p+h)
g(p+h)g(p)
= lim =
h→0 h
−1 g (p + h) − g (p)
= lim =
h→0 g (p + h) g (p) h
−g (p)
= 2 .
g (p)
Para obtermos o caso geral basta aplicarmos c) e o que provamos acima.
Teorema (REGRA DA CADEIA):Sejam f : I → R e g : J → R
satisfazendo que f (I) ⊂ J. Se f ´ deriv´vel em p e g ´ deriv´vel em f (p) ent˜o
e a e a a
g ◦ f : I → R ´ deriv´vel em p e (g ◦ f ) (p) = g (f (p)) .f (p) .
e a
Demonstra¸˜o:
ca
Calculemos o limite
(g ◦ f ) (p + h) − (g ◦ f ) (p)
(g ◦ f ) (p) = lim =
h→0 h
g (f (p + h)) − g (f (p))
= lim =∗
h→0 h
Para simplificarmos nosso c´lculo vamos supor que existe δ > 0 tal que
a
0 < |h| < δ ⇒ f (p + h) = f (p) .
Assim temos
k = f (p + h) − f (p)
g(f (p) + k) − g (f (p)) f (p + h) − f (p)
∗ = lim . =
h→0 k h
= g (f (p)) .f (p) .
4.3 Derivada da Fun¸˜o Inversa
ca
Nesta se¸˜o aprenderemos como derivar a inversa de uma dada fun¸˜o.
ca ca
Teorema: Seja f : I → R uma fun¸˜o invers´
ca ıvel , com fun¸˜o inversa
ca
f −1 : f (I) → R. Se f for deriv´vel em q = f −1 (p) , com f (q) = 0 e se f −1
a
37

38. ınua em p, ent˜o f −1 ser´ deriv´vel em p e
for cont´ a a a
1
f −1 (p) = .
f (q)
Demonstra¸˜o: Temos
ca
f −1 (x) − f −1 (p) f −1 (x) − f −1 (p)
= =
x−p f (f −1 (x)) − f (f −1 (p))
1
= f (f −1 (x))−f (f −1 (p)) , para x = p.
f −1 (x)−f −1 (p)
Fazendo u = f −1 (x), pela continuidade de f −1 em p temos que u → q para
x→pe
f −1 (x) − f −1 (p) 1 1
lim = lim f (u)−f (q) = .
x→p x−p u→q f (q)
u−q
5 O Teorema do Valor M´dio e Aplica¸˜es
e co
Estudaremos um dos principais teoremas do C´lculo: O Teorema do Valor
a
M´dio. A partir deste teorema poderemos fazer uma an´lise detalhada do gr´fico
e a a
de fun¸˜es reais de vari´vel real. Para provarmos este teorema precisamos ini-
co a
cialmente estudar m´ximos e m´
a ınimos.
5.1 M´ximos e M´
a ınimos: O Teorema de Fermat
Lembremos que o Teorema de Weierstrass garante que se f : I → R for cont´ ınua,
e I for um intervalo fechado [a, b] ent˜o existem x1 e x2 em [a, b] tais que
a
f (x1 ) ≤ f (x) ≤ f (x2 ) , ∀x ∈ [a, b] .
f (x1 ) ´ chamado de m´
e ınimo e f (x2 ) de m´ximo de f.
a
Nesta se¸˜o estudaremos m´ximos e m´
ca a ınimos de fun¸˜es f : I → R onde I
co
´ um intervalo qualquer da reta. Utilizaremos a derivada para tal estudo.
e
Proposi¸˜o: Sejam f : I → R e c ∈ I um ponto onde f ´ deriv´vel.
ca e a
a) Se f (c) > 0 ent˜o existe δ > 0 tal que para
a
c − δ < x1 < c < x2 < c + δ
tem-se
f (x1 ) < f (c) < f (x2 ) .
b) Se f (c) < 0 ent˜o existe δ > 0 tal que para
a
c − δ < x1 < c < x2 < c + δ
38

39. tem-se
f (x1 ) > f (c) > f (x2 ) .
Demonstra¸˜o:
ca
Vamos provar a) e deixaremos b) como exerc´
ıcio.
Se f (c) > 0 ent˜o temos
a
f (x) − f (c)
lim > 0.
x→c x−c
Logo existe δ1 > 0 tal que
f (x) − f (c)
c < x < c + δ1 ⇒ > 0 ⇒ f (c) < f (x) .
x−c
Da mesma forma, existe δ2 > 0 tal que
f (x) − f (c)
c − δ2 < x < c ⇒ > 0 ⇒ f (x) < f (c) .
x−c
Tomando δ = min{δ1 , δ2 } temos
c − δ < x1 < c < x2 < c + δ ⇒ c − δ2 < x1 < c e c < x2 < c + δ1 ⇒
⇒ f (x1 ) < f (c) < f (x2 ) .
Defini¸˜o: Seja f : I → R.
ca
a) Dizemos que c ∈ I ´ um ponto de m´ximo de f
e a e f (c) ´ um valor
e
m´ximo de f se
a
f (x) ≤ f (c) , ∀x ∈ I.
b) Dizemos que c ∈ I ´ um ponto de m´
e ınimo de f e f (c) ´ um valor m´
e ınimo
de f se
f (x) ≥ f (c) , ∀x ∈ I.
c) Dizemos que c ∈ I ´ um ponto de m´ximo local de f se existir δ > 0 tal
e a
que
|x − c| < δ ⇒ f (x) ≤ f (c) .
d) Dizemos que c ∈ I ´ um ponto de m´
e ınimo local de f se existir δ > 0 tal
que
|x − c| < δ ⇒ f (c) ≤ f (x) .
Teorema de Fermat: Seja f : I → R uma fun¸˜o deriv´vel em c ∈ I,
ca a
um ponto interior de I. Se c ´ ponto de m´ximo ou m´
e a ınimo local de f ent˜o
a
f (c) = 0.
Demonstra¸˜o:ca
Suponhamos que f (c) = 0. Sem perda de generalidade podemos supor
f (c) > 0 e que c ´ ponto de m´ximo local.
e a
39

40. Pela proposi¸˜o anterior, existe δ1 > 0 tal que para
ca
c − δ1 < x1 < c < x2 < c + δ1
tem-se
f (x1 ) < f (c) < f (x2 ) .
Como c ´ ponto de m´ximo local, existe δ2 > 0 tal que
e a
|x − c| < δ2 ⇒ f (x) ≤ f (c) .
Tomando δ = min{δ1 , δ2 } e x2 satifazendo c < x2 < c + δ segue que
c < x2 < c + δ1 e |x2 − c| < δ2
e portanto
f (c) < f (x2 ) e f (x2 ) ≤ f (c) .
Esta contradi¸˜o implica que f (c) = 0.
ca
Observa¸˜es:
co
1) Observe que o teorema de Fermat d´ uma condi¸˜o necess´ria aos pontos
a ca a
de m´ximo e m´
a ınimo locais de f. A condi¸˜o n˜o ´ suficiente. Considere por
ca a e
exemplo f (x) = x3 .
Temos que f (0) = 0 e no entanto 0 n˜o ´ ponto de m´ximo local nem de
a e a
m´ınimo local.
2) Dada uma fun¸˜o f : I → R, podem ocorrer pontos de m´ximo e m´
ca a ınimo
em pontos onde f n˜o ´ deriv´vel. Considere por exemplo f (x) = |x| .
a e a
Observe que 0 ´ um ponto de m´
e ınimo local e no entanto n˜o existe f (0) .
a
Defini¸˜o:c ´ um ponto cr´
ca e ıtico de f : I → R se f (c) = 0 ou se n˜o existe
a
f (c) .
Teorema: Seja f : [a, b] → R cont´ ınua. Os valores m´ximo e m´
a ınimo de f
s˜o assumidos ou nos pontos cr´
a ıticos de f ou nos extremos do intervalo.
Demonstra¸˜o: O Teorema de Weierstrass garante a existˆncia de x1 e x2
ca e
pontos de m´ximo e m´
a ınimo de f.
Se x1 e x2 ∈ {a, b} nada temos a provar. Se um deles pertencer a (a, b)
ent˜o em tal ponto f ´ ou n˜o deriv´vel. Se n˜o for deriv´vel ent˜o o ponto
a e a a a a a
ser´ cr´
a ıtico e se for deriv´vel ent˜o o teorema de Fermat garante que a derivada
a a
em tal ponto se anular´, ou seja o ponto ser´ cr´
a a ıtico.
Teorema: Sejam f : I → R deriv´vel e a, b ∈ I, a < b. Se f (a) .f (b) < 0
a
ent˜o existe x0 ∈ (a, b) tal que f (x0 ) = 0.
a
Demonstra¸˜o: Pelo teorema de Weierstrass existem α, β ∈ [a, b] tais que
ca
f (α) e f (β) s˜o os valores m´ximo e m´
a a ınimo de f em [a, b] .
Se α = β ent˜o f ´ constante em [a, b] e o teorema ´ trivialmente satisfeito.
a e e
Se α = β ent˜o temos 3 possibilidades:
a
40

41. a) Se pelo menos um dos dois est´ em (a, b) ent˜o o Teorema de Fermat
a a
aplica-se a tal ponto e o teorema est´ provado.
a
b) Se α = a e β = b ent˜o
a
f (x) − f (a)
f a+ = lim+ ≤0
x→a x−a
f (x) − f (b)
f b− = lim− ≤0
x→b x−b
e isto contraria a hip´tese que f (a) .f (b) < 0.
o
c) Se α = b e β = a ent˜o
a
f (x) − f (a)
f a+ = lim ≥0
x→a+ x−a
f (x) − f (b)
f b− = lim− ≥0
x→b x−b
e isto contraria a hip´tese que f (a) .f (b) < 0.
o
Teorema (Propriedade do Valor Intermedi´rio para Derivadas):
a
Sejam f : I → R deriv´vel e a < b ∈ I. Se k ∈ R satisfaz f (a) < k < f (b)
a
ent˜o existe x0 ∈ (a, b) tal que f (x0 ) = k.
a
Demonstra¸˜o: Basta aplicar o teorema anterior para
ca
F (x) = f (x) − kx.
Corol´rio: Sejam f : I → R deriv´vel e a < b ∈ I. Se f (x) = 0 em [a, b]
a a
ent˜o f tem sinal constante em [a, b] .
a
Demonstra¸˜o: Se existissem x1 e x2 tais que f (x1 ) < 0 e f (x2 ) > 0
ca
ent˜o existiria x0 tal que f (x0 ) = 0.
a
5.2 Os Teoremas de Rolle e do Valor M´dio
e
Nesta se¸˜o provaremos o TVM (Teorema do Valor M´dio) a partir da prova de
ca e
um caso particular (Teorema de Rolle).
Teorema (Teorema de Rolle): Seja f : [a, b] → R cont´ ınua em [a, b] e
deriv´vel em (a, b) . Se f (a) = f (b) ent˜o existe c ∈ (a, b) tal que f (c) = 0.
a a
Demonstra¸˜o: Se f for constante em [a, b] ent˜o f (x) = 0, para todo
ca a
x ∈ (a, b) e neste caso nada temos para provar. Se f n˜o for constante ent˜o, pelo
a a
Teorema de Weierstass, existem x1 e x2 em [a, b] , x1 = x2 , tais que x1 ´ ponto
e
de m´ximo e x2 ´ ponto de m´
a e ınimo. Como f (a) = f (b) ent˜o necessariamente
a
um dos dois est´ em (a, b) . De fato, caso contr´rio f seria constante. Sem perda
a a
de generalidade, suponhamos que x1 ∈ (a, b) . Como f ´ deriv´vel em x1 segue,
e a
pela proposi¸˜o anterior que f (x1 ) = 0 e portanto basta tomarmos c = x1 .
ca
41

42. Teorema (Teorema do Valor M´dio): Seja f : [a, b] → R cont´
e ınua em
f (b)−f (a)
[a, b] e deriv´vel em (a, b) . Ent˜o existe c ∈ (a, b) tal que f (c) = b−a .
a a
Demonstra¸˜o:Basta considerarmos a fun¸˜o g : [a, b] → R dada por
ca ca
f (b) − f (a)
g(x) = f (x) − f (a) − (x − a) .
b−a
´
E claro que g satisfaz as hip´teses do teorema de Rolle
o
g ´ cont´
e ınua em [a, b]
g ´ diferenci´vel em (a, b)
e a
g (b) = g (a) = 0
e portanto existe c ∈ (a, b) tal que
g (c) = 0.
Como
f (b) − f (a)
g (x) = f (x) −
b−a
segue que
f (b) − f (a)
f (c) = .
b−a
5.3 Intervalos de Crescimento e Decrescimento
Teorema: Seja f : I → R deriv´vel.
a
a) Se f (x) > 0, para todo x ∈ I, ent˜o f ´ crescente em I.
a e
b) Se f (x) < 0,para todo x ∈ I, ent˜o f ´ decrescente em I.
a e
Demonstra¸˜o:ca
Vamos provar a) e deixaremos b) como exerc´ ıcio.
Sejam x1 , x2 ∈ I, satisfazendo x1 < x2 . Vamos aplicar o TVM em [x1 , x2 ] .
Assim existe c ∈ (x1 , x2 ) tal que
f (x2 ) − f (x1 )
f (c) = .
x2 − x1
Como f (x) > 0 em I segue que
f (x2 ) − f (x1 )
>0
x2 − x1
e portanto
f (x2 ) > f (x1 )
j´ que x2 > x1 .
a
42

43. Logo f ´ crescente em I.
e
Teorema (Teste da Derivada Primeira): Seja f uma fun¸˜o cont´
ca ınua ,
deriv´vel em uma vizinhan¸a V de x0 , exceto possivelmente em x0 . Vale que:
a c
a) Se f (x) < 0 para x ∈ V, x < x0 e f (x) > 0 para x ∈ V, x > x0 ent˜o a
x0 ´ ponto de m´
e ınimo local;
b) Se f (x) > 0 para x ∈ V, x < x0 e f (x) < 0 para x ∈ V, x > x0 ent˜o a
x0 ´ ponto de m´ximo local.
e a
Demonstra¸˜o:Vamos provar a) e deixaremos b) como exerc´
ca ıcio. Se f (x) <
0 para x ∈ V, x < x0 e f (x) > 0 para x ∈ V, x > x0 ent˜o f ´ decrescente para
a e
x ∈ V, x < x0 e crescente para x ∈ V, x > x0 . Logo f (x0 ) ≤ f (x) , para x ∈ V.
5.4 Aplica¸˜es Geom´tricas da Derivada Segunda
co e
Nesta se¸˜o utilizaremos a derivada segunda para avaliar a concavidade do
ca
gr´fico de fun¸˜es reais de vari´vel real e para decidirmos se um ponto cr´
a co a ıtico ´
e
ponto de m´ximo ou m´
a ınimo local.
Defini¸˜o:Seja f : I → R uma fun¸˜o deriv´vel definida em uma vizinhan¸a
ca ca a c
de p ∈ I.
a)Dizemos que f ´ convexa em p se existir δ > 0 tal que em (p − δ, p + δ)∩I
e
tem-se
f (p) + f (p) (x − p) < f (x) .
b)Dizemos que f ´ cˆncava em p se existir δ > 0 tal que em (p − δ, p + δ)∩I
e o
tem-se
f (p) + f (p) (x − p) > f (x) .
Observa¸˜o: Dizer que uma fun¸˜o ´ convexa em um ponto p significa,
ca ca e
geometricamente, que o gr´fico de f, para x suficientemente pr´ximo de p, est´
a o a
acima da reta tangente ao gr´fico de f em (p, f (p)) . Dizer que uma fun¸˜o ´
a ca e
cˆncava em um ponto p significa, geometricamente, que o gr´fico de f, para x
o a
suficientemente pr´ximo de p, est´ abaixo da reta tangente ao gr´fico de f em
o a a
(p, f (p)) .
Teorema : Seja f : I → R uma fun¸˜o duas vezes deriv´vel, definida em
ca a
uma vizinhan¸a de p ∈ I.
c
a) Se f (p) > 0 ent˜o f ´ convexa em p.
a e
b) Se f (p) < 0 ent˜o f ´ cˆncava em p.
a e o
Demonstra¸˜o:
ca
Vamos provar a) e deixaremos b) como exerc´
ıcio.
Queremos provar que
f (x) − f (p) − f (p) (x − p) > 0
para x suficientemente pr´ximo de p.
o
43

44. Como f (p) > 0, do teorema da conserva¸˜o do sinal segue que
ca
f (x) − f (p)
>0
x−p
para x suficientemente pr´ximo de p. Utilizando o teorema do valor m´dio,
o e
temos que existe a entre x e p tal que
f (x) − f (p)
f (a) = .
x−p
Assim ´ suficiente mostrarmos que
e
f (a) (x − p) − f (p) (x − p) > 0. (*)
Como a est´ entre x e p ent˜o , para x suficientemente pr´ximo de p temos
a a o
f (a) − f (p)
> 0.
a−p
Assim, se x > p ent˜o a > p e f (a) > f (p) . Logo ∗ ocorre. Da mesma
a
forma, se x < p ent˜o a < p e f (a) < f (p) . Logo ∗ ocorre.
a
Defini¸˜o: Seja f : I → R uma fun¸˜o definida em uma vizinhan¸a de
ca ca c
p ∈ I. Dizemos que p ´ ponto de inflex˜o do gr´fico de f se p ´ ponto de troca
e a a e
de concavidade.
Teorema: Seja f : I → R uma fun¸˜o duas vezes deriv´vel, definida em
ca a
uma vizinhan¸a de p ∈ I. Se p for ponto de inflex˜o do gr´fico de f ent˜o
c a a a
f (p) = 0.
Demonstra¸˜o: Basta observarmos que se f (p) n˜o fosse zero ent˜o f
ca a a
seria convexa ou cˆncava em p.
o
Observa¸˜o: A rec´
ca ıproca ´ falsa. Basta considerar por exemplo a fun¸˜o
e ca
dada por f (x) = x4 e p = 0.
Teorema ( Teste da Derivada Segunda) Seja f : I → R uma fun¸˜o ca
ınua e p ∈ I.
duas vezes deriv´vel, com f cont´
a
a) Se f (p) = 0 e f (p) > 0 ent˜o p ´ um ponto de m´
a e ınimo local.
b) Se f (p) = 0 e f (p) < 0 ent˜o p ´ um ponto de m´ximo local.
a e a
Demonstra¸˜o:Provemos a) e deixemos b) como exerc´
ca ıcio.
Como f (p) > 0 e f ´ cont´
e ınua ent˜o f (x) > 0 para x em uma vizinhan¸a
a c
de p. Logo f ´ crescente em uma vizinhan¸a de p. Desta forma f (x) < 0 `
e c a
direita de p e f (x) > 0 ` esquerda de p. Pelo teste da derivada primeira segue
a
que p ´ ponto de m´
e ınimo local.
44

45. 6 O Teorema de Cauchy, A Regra de L’Hospital
e A F´rmula de Taylor
o
6.1 O Teorema de Cauchy
Nesta se¸˜o provamos duas generaliza¸˜es do Teorema do Valor M´dio:
ca co e
1) O Teorema de Cauchy. Este teorema nos dar´ a ferramenta necess´ria
a a
para estudarmos a famosa regra de L’Hospital para o c´lculo de limites envol-
a
vendo indetermina¸˜es e
co
2) A F´rmula de Taylor para aproximarmos fun¸˜es por polinˆmios.
o co o
Teorema de Cauchy: Sejam f, g fun¸˜es tais que :
co
a) f, g s˜o cont´
a ınuas em [a, b] ;
b) f, g s˜o deriv´veis em (a, b) ;
a a
Ent˜o existe x0 ∈ (a, b) tal que
a
f (x0 ) [g (b) − g (a)] = g (x0 ) [f (b) − f (a)] .
Demonstra¸˜o: Basta aplicarmos o Teorema de Rolle para a fun¸˜o dada
ca ca
por
F (x) = [f (x) − f (a)] [g (b) − g (a)] − [g (x) − g (a)] [f (b) − f (a)] .
Observa¸˜es:
co
1) Se g (x) = 0 em (a, b) e g (b) = g (a) ent˜o existe x0 ∈ (a, b) tal que
a
f (b) − f (a) f (x0 )
= .
g (b) − g (a) g (x0 )
2)O TVM ´ um caso particular do Teorema de Cauchy. De fato, basta
e
considerar g (x) = x.
6.2 A Regra de L’Hospital
Teorema: Sejam f, g fun¸oes definidas em algum intervalo aberto contendo a,
c˜
exceto possivelmente em a,e satisfazendo
lim f (x) = lim g (x) = 0 (ou ∞) .
x→a x→a
Se
a) f, g s˜o deriv´veis nesse intervalo, exceto possivelmente em a, com g (x) =
a a
0 e g (x) = 0 e
b) Existe
f (x)
lim =L∈R
x→a g (x)
45

46. ou
f (x)
lim = ∞.
x→a g (x)
Ent˜o
a
f (x) f (x)
lim = lim .
x→a g (x) x→a g (x)
Demonstra¸˜o: Provaremos apenas um caso particular. Vamos provar que
ca
0
se a indetermina¸˜o for do tipo 0 ent˜o
ca a
f (x) f (x)
lim = lim .
x→a+ g (x) x→a+ g (x)
Vamos tamb´m supor que f e g s˜o cont´
e a ınuas em a.
Neste caso a conclus˜o do teorema ´ uma consequˆncia direta do Teorema
a e e
de Cauchy. De fato, temos
f (x) f (x) − f (a) f (cx )
lim = lim = lim =∗
x→a g (x) x→a g (x) − g (a) x→a g (cx )
onde cx est´ entre a e x. Obviamente ao x → a temos cx → a e portanto
a
f (x)
∗ = lim .
x→a g (x)
6.3 Aproxima¸˜o de Fun¸˜es por Polinˆmios: A F´rmula
ca co o o
de Taylor
Vamos provar mais uma generaliza¸˜o do TVM:
ca
Teorema ( Teorema Estendido da M´dia): Seja f uma fun¸˜o definida
e ca
em um intervalo aberto I satisfazendo:
1) f ´ n vezes deriv´vel em I com f (n) cont´
e a ınua em I;
2) Existe f (n+1) em I.
46

47. Ent˜o dados a, b em I, existe x0 ∈ (a, b) tal que
a
f (n) (a) n f (n+1) (x0 ) n+1
f (b) = f (a) + f (a) (b − a) + ... + (b − a) + (b − a) .
n! (n + 1)!
Demonstra¸˜o: Seja k a constante dada por
ca
f (n) (a) n k n+1
f (b) = f (a) + f (a) (b − a) + ... + (b − a) + (b − a)
n! (n + 1)!
Vamos aplicar o Teorema de Rolle para a fun¸˜o
ca
f (n) (a) n k n+1
φ (x) = f (b)−f (x)−f (a) (b − x)−...− (b − x) − (b − x) .
n! (n + 1)!
Temos
a) φ ´ cont´
e ınua em [a, b] ,
b) φ ´ deriv´vel em (a, b) e
e a
c) φ (a) = φ (b) = 0.
Logo, pelo Teorema de Rolle, existe x0 ∈ (a, b) tal que φ (x0 ) = 0. Calcu-
lando φ (x0 ) obtemos
f (n+1) (x0 ) n k n
− (b − x0 ) + (b − x0 ) = 0
n! n!
e portanto
k = f (n+1) (x0 ) .
Defini¸˜o: A f´rmula
ca o
f (n) (a) n f (n+1) (x0 ) n+1
f (x) = f (a) + f (a) (x − a) + ... + (x − a) + (x − a)
n! (n + 1)!
´
obtida do teorema na troca de b por x ´ dita FORMULA DE TAYLOR de
e
ordem n de f com RESTO DE LAGRANGE.
Defini¸˜o: O polinˆmio
ca o
n
f (i) (a) i
pn,a (x) = (x − a)
i=0
i!
e ˆ
´ dito POLINOMIO DE TAYLOR de grau n de f em potˆncias de (x − a) .
e
Nota¸˜o: Denotamos
ca
f (n+1) (x0 ) n+1
Rn,a (x) = (x − a)
(n + 1)!
47

48. a diferen¸a entre f (x) e pn,a (x) . Chamamos tal diferen¸a de Resto de Lagrange.
c c
Proposi¸˜o: Vale que
ca
Rn,a (x)
lim n = 0.
x→a (x − a)
Demonstra¸˜o: Basta efetuarmos o c´lculo
ca a
f (n) (a) n
Rn,a (x) f (x) − f (a) − f (a) (x − a) − ... − n! (x − a)
lim n = lim n =
x→a (x − a) x→a (x − a)
f (n) (a) n−1
f (x) − f (a) − f (a) (x − a) − ... − (n−1)! (x − a)
= lim n−1 =
x→a n (x − a)
f (n) (a) − f (n) (a)
= ... = lim = 0.
x→a n!
A proposi¸˜o acima nos motiva a utilizarmos a seguinte nota¸˜o
ca ca
f (n) (a) n n
f (x) = f (a) + f (a) (x − a) + ... + (x − a) + o (x − a) (*)
n!
onde
n
o (x − a)
n
denota uma fun¸˜o que tende a zero mais r´pido que (x − a) ao x tender a a.
ca a
n
Dizemos que Rn,a (x) ´ ”o pequeno” de (x − a) .
e
Proposi¸˜o:
ca
1) O polinˆmio pn,a (x) ´ o unico polinˆmio de grau n que satisfaz a igual-
o e ´ o
(k) (k)
dade pn,a (a) = f (a) , k = 0, 1, ..., n.
2) Se f (x) = qn (x) + E (x) com qn (x) sendo um polinˆmio de ordem n e
o
n
E (x) = o (x − a) ent˜o qn (x) = pn,a (x) .
a
Demonstra¸˜o:
ca
1) Suponhamos que
n
p (x) = a0 + a1 (x − a) + ... + an (x − a)
´ um polinˆmio que satisfaz p(k) (a) = f (k) (a) , k = 0, 1, ..., n.
e o
48

49. f (k) (a)
Para provarmos que p (x) = pn,a (x) basta provarmos que ak = k! , k =
0, 1, ..., n. De fato,
p(k) (a) = k!ak
e portanto
f (k) (a)
ak = .
k!
2) Suponhamos que
n
qn (x) = a0 + a1 (x − a) + ... + an (x − a)
n
´ um polinˆmio que satisfaz E (x) = f (x) − qn (x) = o (x − a) . Provemos que
e o
f (k) (a)
qn (x) = pn,a (x) . Para isso ´ suficiente mostrarmos que ak =
e k! . De fato
temos
n f (n) (a) n
f (x) − a0 − ... − an (x − a) f (x) − f (a) − ... − n! (x − a)
0 = lim n − lim n =
x→a (x − a) x→a (x − a)
f (n) (a) n
(f (a) − a0 ) + (f (a) − a1 ) (x − a) + ... + n! − an (x − a)
= lim n
x→a (x − a)
f (k) (a)
e isto s´ ´ poss´ se ak =
oe ıvel k! para k = 0, 1, ..., n.
6.4 Desenvolvimentos Assint´ticos Limitados
o
Defini¸˜o: Seja f uma fun¸˜o definida em um intervalo aberto I, contendo a,
ca ca
satisfazendo:
1) f ´ n vezes deriv´vel em I com f (n) cont´
e a ınua em I;
2) Existe f (n+1) em I.
A express˜o
a
f (n) (a) n n
f (x) = f (a) + f (a) (x − a) + ... + (x − a) + o (x − a)
n!
´ dita DAL (Desenvolvimento Assint´tico Limitado) de ordem n de f em a.
e o
Observa¸˜o: De acordo com o que vimos na se¸˜o anteior o DAL de ordem
ca ca
n de f em a ´ unico.
e´
´ ´
TABELA BASICA DE DESENVOLVIMENTOS ASSINTOTICOS
LIMITADOS
1 1 1
1) exp (x) = 1 + x + 2 x2 + 6 x3 + 24 x4 + o x4 ; ∀x ∈ R.
1 2 1 3 1 4
2) ln(1 + x) = x − 2 x + 3 x − 4 x + o x4 ; ∀x, −1 < x ≤ 1.
3) sin (x) = x − 6 x3 + 120 x5 − 5040 x7 + 3621880 x9 + o x9 ; ∀x ∈ R.
1 1 1
49

50. 4) cos (x) = 1 − 1 x2 + 24 x4 − 720 x6 + 40 1 x8 + o x8 ; ∀x ∈ R.
2
1 1
320
a 1 1
5) (1 + x) = 1 + ax + 2 a (a − 1) x2 + 6 a (a − 1) (a − 2) x3 + o x3 ; ∀x, |x| <
1.
6) tan (x) = x + 3 x3 + 15 x5 + 315 x7 + 2835 x9 + o(x9 ); ∀x, |x| < π .
1 2 17 62
2
−1
7) cot (x) = x − 3 x − 45 x − 945 x − 4725 x7 − 93 2 x9 + o x9 ; ∀x =
1 1 3 2 5 1
555
0, |x| < π.
8) sec (x) = 1 + 2 x2 + 24 x4 + 720 x6 + 8064 x8 + o x8 ; ∀x, |x| < π .
1 5 61 277
2
9) csc (x) = x−1 + 1 x + 360 x3 + 1531 x5 + 604 800 x7 + o x7 ; ∀x = 0, |x| < π.
6
7
120
127
1 3 5 35
10)arcsin (x) = x + 6 x3 + 40 x5 + 112 x7 + 1152 x9 + o x9 ; ∀x, |x| < 1.
1 1 3 3 5 5 35
11)arccos (x) = 2 π − x − 6 x − 40 x − 112 x7 − 1152 x9 + o x9 ; ∀x, |x| < 1.
1 3 1 5 1 7 1 9
12)arctan (x) = x − 3 x + 5 x − 7 x + 9 x + o x9 ; ∀x ∈ R.
Observa¸˜o: Com os desenvolvimentos assint´ticos acima podemos deduzir
ca o
uma s´rie de outros. Considere os seguintes exemplos:
e
1) f (x) = sin (3x) para x em uma vizinhan¸a de 0 :
c
9
sin (3x) = 3x − x3 + o x3 .
2
π
2) f (x) = sin (x) para x em uma vizinhan¸a de
c 2 :
π
y = x−
2
π
sin (x) = sin y + = cos (y)
2
1 1
cos (y) = 1 − y2 + y4 + o y4
2 24
e assim
2 4 4
1 1 1 1 1
sin (x) = 1 − x− π + x− π +o x− π .
2 2 24 2 2
√
3) f (x) = a2 + x para x em uma vizinhan¸a de 0 :
c
1
x 2
a2 + x = |a| 1 +
a2
1
x 2 1 1 1 3 5
1+ = 1+ x+ − 4 x2 + x + − x4 + o x4
a2 2a 2 8a 16a6 128a8
e assim
1 1 1 3 5
a2 + x = |a| + x + − 4 x2 + x + − x4 + o x4 .
2a2 8a 16a6 128a8
√
4) f (x) = x2 − x4 − x3 para x em uma vizinhan¸a do ∞ :
c
1
2 2 1 2
x − x4 − x3 =x 1− 1−
x
50

51. e assim
x 1 1.3 1 1.3..... (2n − 1) 1 1
x2 − x4 − x3 = + 2 + 3 + ... + +o .
2 2 2! 2 3! x 2n n! xn−2 xn−2
´ ¸˜
O CALCULO OPERACIONAL DA RELACAO o :
Seja f, g, h definidas em um intervalo aberto contendo x0 . Utilizando as
propriedades operacionais de limites prova-se com facilidade as seguintes pro-
priedades:
f (x)+g(x)
1) f = o (g) ⇒ f + g ∼ g, isto ´ lim
e g(x) = 1.
x→x0
2) g = o (f ) , h = o(f ) ⇒ (g ± h) = o (f ) .
3) h = o (f ) , f = o (g) ⇒ h = o (g) .
4) g = o (f ) ⇒ kg = o (f ) , ∀k ∈ R, k = 0.
5) g = o (f ) ⇒ gh = o (f h) , h = o f .
g
h
6) g = o (f ) , h limitada ⇒ gh = o (f ) .
Deixamos como exerc´ a prova das propriedades acima.
ıcio
¸˜ ´
OPERACOES COM DESENVOLVIMENTOS ASSINTOTICOS
SOMA: Adiciona-se as parcelas conhecidas, como a adi¸˜o de polinˆmios,
ca o
e utiliza-se o c´lculo operacional da rela¸˜o o. Por exemplo:
a ca
1 1 5 1 7 1
sin x = x − x3 + x − x + x9 + o x9
6 120 5040 362 880
1 1 1 6 1
cos x = 1 − x2 + x4 − x + x8 + o x8
2 24 720 40 320
1 1 1 1 5 1 6
sin x + cos x = 1 + x − x2 − x3 + x4 + x − x + o x6
2 6 24 120 720
PRODUTO: Para ilustrar como operamos com o produto considere o
seguinte exemplo:
f (x) = sin x cos x
1 1 5 1 7 1
sin x = x − x3 + x − x + x9 + o x9
6 120 5040 362 880
1 1 1 6 1
cos x = 1 − x2 + x4 − x + x8 + o x8
2 24 720 40 320
51

52. Montamos uma tabela colocando na horizontal os coeficientes do desenvolvi-
mento do sin x e na vertical os coeficientes de cos x. Em seguida efetuamos os
produtos dos coeficientes
1 1
0 1 0 −6 0 120 0
1 1
1 0 1 0 −6 0 120 0
0 0 0 0 0 0 0 0
−1
2 0 −1 2 0 1
12 0 1
− 240 0
0 0 0 0 0 0 0 0
1 1 1 1
24 0 24 0 − 144 0 2880 0
0 0 0 0 0 0 0 0
1 1 1 1
− 720 0 − 720 0 4320 0 − 86400 0
Assim temos
1 1
sin x cos x = 0 + (1 + 0) x + (0 + 0 + 0) x2 + − + 0 − + 0 x3
6 2
1 1 1
+ (0 + 0 + 0 + 0 + 0) x4 + +0+ +0+ + 0 x5 + o x5
120 12 24
e assim
2 2
sin x cos x = x − x3 + x5 + o x5 .
3 15
˜
DIVISAO: Fazemos a divis˜o dos desenvolvimentos assint´ticos utilizando
a o
o processo de divis˜o de polinˆmios mas com ordem crescente das potˆncias de
a o e
x, truncando-se a divis˜o quando atingida o ordem pedida. Por exemplo vamos
a
obter o desenvolvimento de f (x) = tan x :
sin x 6
1
x − 1 x3 + 120 x5 − 1 7
5040 x + o x
7
tan x = = =
cos x 2
1
1 − 1 x2 + 24 x4 − 1 6 6
720 x + o (x )
1 2
= x + x3 + x5 + O x6
3 15
Exemplos:
1
1) Determine f (4) (0) de f (x) = 1−3x+x2 . Podemos resolver este problema
utilizando o processo acima, isto ´ efetuando a divis˜o dos DAL’s:
e a
1
= 1 + 3x + 8x2 + 21x3 + 55x4 + o x4
1 − 3x + x2
e assim temos que
f (4) (0)
= 55
4!
e portanto
f (4) (0) = 1320.
2) Podemos utilizar DAL’s para calcularmos limites. Calculemos por exem-
plo lim sinx3 .
x−x
x→0
52

53. Temos
x3 3
sin x − x x− 6 + o x3 − x − x + o x3
6 1
lim = lim = lim =− .
x→0 x3 x→0 x3 x→0 x3 6
7 Primitiva¸˜o
ca
7.1 Introdu¸˜o e Opera¸˜es Elementares
ca co
Nesta se¸˜o vamos introduzir o conceito de primitiva.
ca
Encontrar uma primitiva de uma fun¸˜o f ´ encontrar uma fun¸˜o F que
ca e ca
tenha como derivada a fun¸˜o f.
ca
Defini¸˜o:Sejam f : I → R, F : I → R fun¸˜es definidas em uma uni˜o de
ca co a
intervalos abertos. Dizemos que F ´ uma PRIMITIVA de f se F for deriv´vel
e a
e
F (x) = f (x) , ∀x ∈ I.
Teorema: Se F : I → R e G : I → R s˜o primitivas de f : I → R ent˜o
a a
existe k ∈ R tal que
F (x) = G (x) + k, ∀x ∈ I.
Demonstra¸˜o: Provemos inicialmente que
ca
h (x) = 0, ∀x ∈ I ⇒ h ´ constante.
e
De fato, dados x1 < x2 em I, aplicando o TVM em [x1 , x2 ] temos que
h (x2 ) − h (x1 )
=0
x2 − x1
e portanto h (x1 ) = h (x2 ) . Logo h ´ constante em I.
e
Para provarmos o teorema basta aplicarmos o que acabamos de provar para
h = F − G.
Defini¸˜o: Dada f : I → R, o processo de determinar todas as suas primi-
ca
e ¸˜
tivas ´ dito PRIMITIVACAO e a fun¸˜o dada por
ca
F (x) + k,
onde F ´ uma primitiva de f e k ´ uma constante, ´ dita PRIMITIVA GERAL
e e e
de f . Denotamos
f (x) dx = F (x) + k
Teorema: Sejam F e G primitivas de f e g , respectivamente, em I. Vale:
a) F ± G ´ primitiva de f ± g.
e
b) kF ´ primitiva de kf , onde k ∈ R.
e
Demonstra¸˜o: Imediato.
ca
53

54. 7.2 Primeiro M´todo de Substitui¸˜o
e ca
Teorema: Sejam f, g, F fun¸˜es tais que :
co
a) Im(g) ⊆Dom(f ) ;
b) g ´ deriv´vel;
e a
b) F ´ primitiva de f.
e
Ent˜o F (g (x)) ´ primitiva de f (g (x)) g (x) .
a e
Demonstra¸˜o: Basta calcularmos (F (g (x))) :
ca
(F (g (x))) = F (g (x)) .g (x) = f (g (x)) .g (x) .
ca ´
Observa¸˜o: E usual a ado¸˜o do seguinte esquema pr´tico
ca a
u = g (x)
du
= g (x)
dx
g (x) dx = du
f (g (x)) g (x) dx = f (u) du = F (u) + k = F (g (x)) + k.
7.3 Primitiva¸˜o por Partes
ca
Teorema: Sejam f, g fun¸˜es deriv´veis. Se existirem as primitivas
co a
f (x) g (x) dx
e
f (x) g (x) dx
ent˜o
a
f (x) g (x) dx = f (x) g (x) − f (x) g (x) dx.
ca ´
Demonstra¸˜o: E imediato. Basta lembrarmos da derivada do produto de
duas fun¸˜es
co
(f (x) g (x)) = f (x) g (x) + f (x) g (x) .
ca ´
Observa¸˜o: E usual a ado¸˜o do seguinte esquema pr´tico
ca a
u = f (x) , v = g (x)
du = f (x) dx, dv = g (x)dx
fornecendo a f´rmula
o
udv = uv − vdu.
54

55. 7.4 Primitiva¸˜o de Fun¸˜es Racionais
ca co
Antes de apresentarmos a t´cnica vamos falar um pouco sobre os polinˆmios.
e o
Qualquer polinˆmio
o
q (x) = xm + bm−1 xm−1 + ... + b1 x + b0
pode ser escrito como
r rk s1 sj
q (x) = (x − α1 ) 1 ... (x − αk ) x2 + β1 x + γ1 ... x2 + βj x + γj
onde
k j
ri +2 si =m
i=1 i=1
e os fatores s˜o distintos entre si. Al´m disso
a e
2
(βi ) − 4γi < 0, i = 1, ...., j.
Os fatores
x2 + βi x + γi , i = 1, ...., j
s˜o chamadas de fatores quadr´ticos irredut´
a a ıveis.
O problema que queremos resolver nesta se¸˜o ´ o c´lculo de primitivas de
ca e a
fun¸˜es racionais
co
p (x)
dx.
q (x)
Vamos supor que o grau do polinˆmio p (x) ´ menor que o grau do polinˆmio
o e o
q (x) . Caso isso n˜o ocorra, efetuamos a divis˜o de p por q e obtemos :
a a
p (x) r (x)
= t (x) +
q (x) q (x)
onde t (x) , r(x) s˜o polinˆmios e o grau de r (x) ´ menor que o grau de q (x) .
a o e
Sendo p (x) e q (x) polinˆmios com
o
r rk s1 sj
q (x) = (x − α1 ) 1 ... (x − αk ) x2 + β1 x + γ1 ... x2 + βj x + γj ,
p(x)
grau de q (x) igual a m e grau de p (x) menor que m, temos que q(x) pode ser
decomposto em fra¸˜es simples
co
p (x) a11 a1r1 ak1 akrk
= + ... + r1 + ... + + ... + r +
q (x) (x − α1 ) (x − α1 ) (x − αk ) (x − αk ) k
b11 x + c11 b1s x + c1s1
+ 2 + ... + 2 1 s + ... +
x + β1 x + γ1 (x + β1 x + γ1 ) 1
bj1 x + cj1 bjs x + cjsj
+ 2 + ... + 2 j s
x + βj x + γj (x + βj x + γj ) j
onde al,m , bp,q e cr,s s˜o coeficientes que devem ser determinados algebricamente.
a
Desta forma o c´lculo da primitiva reduz-se ao c´lculo das primitivas das
a a
fra¸˜es parciais.
co
55

56. Resolu¸˜o das Primitivas que aparecem nas Fra¸˜es Parciais
ca co
CASO I
dx
x−α
Nas se¸˜es anteriores j´ vimos que a substitui¸˜o
co a ca
u=x−α
resolve
dx
= ln |x − α| + k.
x−α
CASO II
dx
n
(x − α)
Da mesma forma que o anterior obtemos
dx 1
n = n−1 + k.
(x − α) (n − 1) (x − α)
CASO III
bx + c
dx.
x2 + βx + γ
Inicialmente fazemos
bx + c 1 x
dx = c dx + b dx =
x2 + βx + γ x2 + βx + γ x2 + βx + γ
= b (TIPO A) + c ( TIPO B)
Vejamos como calcular as primitivas dos tipos A e B:
TIPO A: Inicialmente completamos o quadrado
2 2
β β
x2 + βx + γ = x2 + βx + − +γ =
2 2
2
β 4γ − β 2
= x+ + .
2 4
56

57. Assim
1 1
dx = 2 dx =
x2 + βx + γ β 4γ−β 2
x+ 2 + 4
1
= (2x+β)2
dx =
4γ−β 2
4 + 4
1
= 4 2
dx =
√2x+β
(4γ − β2) 2
+1
4γ−β
4 1
= dx = ∗
4γ − β 2 2
√2x+β
+1
4γ−β 2
Fazemos a substitui¸˜o
ca
2x + β
u =
4γ − β 2
2
du = dx
4γ − β 2
e obtemos
4 1 4γ − β 2
∗ = du =
4γ − β 2 u2 +1 2
2
= arctan u + k =
4γ − β 2
2 2x + β
= arctan + k1 .
4γ − β2 4γ − β 2
TIPO B: Temos
x 2x + β − β
dx = dx =
x2 + βx + γ 2 (x2 + βx + γ)
1 2x + β β 1
= 2 + βx + γ
dx − 2 + βx + γ
dx =
2 x 2 x
1 2x + β β 2x + β
= dx − arctan .
2 x2 + βx + γ 4γ − β 2 4γ − β 2
Resta calcularmos
2x + β
dx.
x2 + βx + γ
Temos
u = x2 + βx + γ
du = (2x + β) dx
57

58. e assim
2x + β 1
dx = du = ln |u| + k2 =
x2 + βx + γ u
= ln x2 + βx + γ + k2 .
Assim
x 1 β 2x + β
dx = ln x2 + βx + γ − arctan + k2
x2 + βx + γ 2 4γ − β2 4γ − β 2
e finalmente temos a f´rmula
o
bx + c 2 2x + β
dx = c arctan +
x2 + βx + γ 4γ − β 2 4γ − β 2
1 β 2x + β
+b ln x2 + βx + γ − arctan +k =
2 4γ − β2 4γ − β 2
b 2c β 2x + β
= ln x2 + βx + γ + (−b + ) arctan +k =
2 β 4γ − β2 4γ − β 2
b (2c − bβ) 2x + β
= ln x2 + βx + γ + arctan + k.
2 4γ − β 2 4γ − β 2
CASO IV:
bx + c
n dx.
(x2 + βx + γ)
Inicialmente fazemos
bx + c x 1
n dx = b n dx + c n dx
(x2 + βx + γ) (x2 + βx + γ) (x2 + βx + γ)
Temos
x 2x + β β 1
n dx = n dx − n dx
(x2 + βx + γ) 2 (x2 + βx + γ) 2 (x2 + βx + γ)
Assim
bx + c b 2x + β bβ 1
n dx = 2 + βx + γ)n
dx + c − n dx =
(x2 + βx + γ) 2 (x 2 (x2 + βx + γ)
b bβ
= (TIPO C) + c − (TIPO D) .
2 2
TIPO C: Fazemos
u = x2 + βx + γ
du = (2x + β) dx
58

59. e assim
2x + β 1 1
n dx = du = + k1 =
(x2 + βx + γ) un (1 − n) un−1
1
= + k1 .
(1 − n) (x2 + βx + γ)n−1
TIPO D: Inicialmente escrevemos
2
2x + β
x2 + βx + γ = − √ +1
4 −
e assim
n
1 4 1
2 + βx + γ)n
dx = − n dx.
(x 2x+β
2
√
−
+1
Fazemos
2x + β
u = √
−
2
du = √ dx
−
e obtemos
n √
1 4 − 1
2 + βx + γ)n
dx = − n du =
(x 2 (u2 + 1)
2n−1
2 1
= √ n du.
− (u2 + 1)
Para o c´lculo desta ultima usamos uma f´rmula de redu¸˜o
a ´ o ca
1 1 u 3 − 2n 1
n du = + n−1 du.
(u2 + 1) 2n − 2 (u2 + 1)n−1 2 − 2n (u2 + 1)
7.5 Segundo M´todo de Substitui¸˜o
e ca
Teorema: Sejam f : I → R e g : J → I tais que g ´ invers´ e deriv´vel. Se
e ıvel a
F (t) ´ uma primitiva de
e
f (g (t)) .g (t)
em J ent˜o F g −1 (x) ´ uma primitiva de f em I.
a e
Demonstra¸˜o: Basta calcularmos a derivada de F g −1 (x) :
ca
F ◦ g −1 (x) = F g −1 (x) g −1 (x) =
1
= f g g −1 (x) g g −1 (x) =
g (t)
1
= f (x) g (t) =
g (t)
= f (x) .
59

60. ca ´
Observa¸˜o: E usual a ado¸˜o do seguinte esquema pr´tico
ca a
PROBLEMA: f (x) dx
x = g (t) , conveniente
dx = g (t) dt
f (x) dx = f (g (t)) g (t) dt = F (t) + k
f (x) dx = F g −1 (x) + k
Primitivas de Fun¸˜es Irracionais
co
Sendo R (x, y) uma fun¸˜o racional nas vari´veis x,y e pn (x) um polinˆmio
ca a o
de grau n ent˜o vale que
a
R x, pn (x) dx
´ elementar se e somente se n = 0, 1 ou 2. Este resultado ´ conhecido como
e e
Teorema de Hermite.
1o Caso: Se n = 0 ent˜o a fun¸˜o ´ uma fun¸˜o racional.
a ca e ca
2o Caso: Se n = 1 ent˜o
a
√
R x, p1 (x) = R x, ax + b .
Neste caso o segundo m´todo de substitui¸˜o pode ajudar:
e ca
t2 = ax + b.
3o Caso: Se n = 2 e f envolve radicais do tipo
a2 − x2
a dica ´ fazer a substitui¸˜o
e ca
x = a sin t.
Neste caso quando voltarmos para a vari´vel x usamos que
a
x
sin t =
2
√
a2 − x2
cos t = .
a
4o Caso: Se n = 2 e f envolve radicais do tipo
a2 + x2
60

61. a dica ´ fazer a substitui¸˜o
e ca
x = a tan t.
Neste caso quando voltarmos para a vari´vel x usamos que
a
√
a2 + x2
sec t =
a
x
tan t =
a
5o Caso: Se n = 2 e f envolve radicais do tipo
x2 − a2
a dica ´ fazer a substitui¸˜o
e ca
x = a sec t.
Neste caso quando voltarmos para a vari´vel x usamos que
a
x
sec t =
a
√
x2 − a2
tan t =
a
p
Primitivas do Tipo xm (a + bxn ) dx
Uma primitiva do tipo
p
xm (a + bxn ) dx; m, n, p ∈ Q; a, b ∈ R
´ elementar se
e
m+1 m+1
{p, , + p} ∩ Z = ∅.
n n
Este resultado ´ conhecido como Teorema de Chebyshev.
e
1o Caso: Se p ∈ Z ent˜o usamos a substitui¸˜o
a ca
x = tN
onde N ´ o m´
e ınimo m´ltiplo comum dos denominadores de m e n.
u
m+1
2o Caso: Se n ∈ Z ent˜o usamos a substitui¸˜o
a ca
a + bxn = xN
onde N ´ o denominador de p.
e
61

62. m+1
3o Caso: Se n + p ∈ Z ent˜o usamos a substitui¸˜o
a ca
a
+ b = tN
xn
onde N ´ o denominador de p.
e
Primitivas de Fun¸˜es Racionais que envolvem ex
co
A dica que damos para este tipo de primitiva ´ a substitui¸˜o
e ca
x = ln t.
Primitivas com fra¸˜es envolvendo potˆncias de seno e co-seno:
co e
A dica ´ considerar a substitui¸˜o
e ca
x = 2 arctan t.
Alguns casos particulares:
1) Se
R (− sin x, cos x) = −R(sin x, cos x)
ou
R (sin x, − cos x) = −R(sin x, cos x)
pode-se usar
t = cos x ou t = sin x.
2) Se
R (− sin x, − cos x) = R(sin x, cos x)
pode-se usar
x = arctan t.
8 A Integral de Riemann
8.1 Introdu¸˜o e Defini¸˜o
ca ca
As no¸˜es de derivada e integral constituem o par de conceitos mais importantes
co
do C´lculo Diferencial e Integral. A derivada est´ relacionada com a no¸˜o
a a ca
geom´trica de tangente e com a no¸˜o f´
e ca ısica de velocidade.
Veremos nas pr´ximas se¸˜es que a integral est´ relacionada a no¸˜o geom´trica
o co a ca e
de ´rea e com a id´ia f´
a e ısica de trabalho.
62

63. No final deste cap´ıtulo provaremos o Teorema Fundamental do C´lculo que
a
relaciona estes dois conceitos aparentemente diversos.
Defini¸˜o: Uma parti¸˜o de um intervalo [a, b] ´ um conjunto de pontos
ca ca e
P = {x0 , x1 , ..., xn } ⊂ [a, b]
satisfazendo
a = x0 < x1 < ... < xn = b.
Observa¸˜o:
ca
n
(xi − xi−1 ) = b − a.
i=1
Nota¸˜es: Dada f : [a, b] → R limitada denotamos:
co
m = inf{f (x) |x ∈ [a, b]}
M = sup{f (x) |x ∈ [a, b]}
mi = inf{f (x) |x ∈ [xi−1 , xi ]}
Mi = sup{f (x) |x ∈ [xi−1 , xi ]}
A soma inferior de f relativamente a parti¸˜o P ´
ca e
n
s (f, P ) = mi (xi − xi−1 ) .
i=1
A soma superior de f relativamente a parti¸˜o P ´
ca e
n
S (f, P ) = Mi (xi − xi−1 ) .
i=1
´
E imediato que
m (b − a) ≤ s (f, P ) ≤ S (f, P ) ≤ M (b − a)
seja qual for a parti¸˜o de [a, b] .
ca
Se f (x) ≥ 0 para todo x ∈ [a, b] ent˜o as somas inferior e superior s˜o
a a
valores aproximados, respectivamente por falta e por excesso, da ´rea da regi˜o
a a
limitada pelo gr´fico de f, pelo intervalo [a, b] e pelas retas x = a e x = b.
a
Defini¸˜o: A integral inferior e a integral superior de uma fun¸˜o limitada
ca ca
f : [a, b] → R s˜o definidas por
a
b
f (x) dx = sup s (f, P )
a P
−
−
b
f (x) dx = inf S(f, P )
a P
63

64. Observa¸˜es:
co
A seguir listamos algumas propriedades que s˜o naturais do ponto de vista
a
geom´trico. Deixaremos as demonstra¸˜es para o curso de An´lise Matem´tica.
e co a a
1) Quando refinamos uma parti¸˜o a soma inferior n˜o diminui e a soma
ca a
superior n˜o aumenta:
a
P ⊂ Q ⇒ s (f, P ) ≤ s (f, Q)
P ⊂ Q ⇒ S (f, Q) ≤ S (f, P ) .
2) A observa¸˜o anterior implica que para quaisquer parti¸˜es P, Q do inter-
ca co
valo [a, b] e qualquer fun¸˜o limitada f : [a, b] → R tem-se
ca
s (f, P ) ≤ s (f, P ∪ Q) ≤ S(f, P ∪ Q) ≤ S (f, Q)
e portanto
s (f, P ) ≤ S (f, Q) .
3) Dada f : [a, b] → R , se
m ≤ f (x) ≤ M
para todo x ∈ [a, b] ent˜o
a
−
b b
m (b − a) ≤ f (x) dx ≤ f (x) dx ≤ M (b − a) .
a a
−
De fato, as desigualdades externas s˜o ´bvias e a do meio segue das ob-
a o
serva¸˜es anteriores.
co
Defini¸˜o: Uma fun¸˜o limitada f : [a, b] → R diz-se integr´vel quando sua
ca ca a
integral inferior e sua integral superior s˜o iguais. Esse valor comum chama-se
a
integral de f e ´ indicado por
e
b
f (x) dx.
a
Interpreta¸˜o Geom´trica:
ca e
Quando f ´ integr´vel , sua integral
e a
b
f (x) dx
a
´ o n´mero real cujas aproxima¸˜es por falta s˜o as somas inferiores s (f, P ) e
e u co a
cujas aproxima¸˜es por excesso s˜o as somas superiores S (f, P ) .
co a
As aproxima¸˜es melhoram quando se refina a parti¸˜o P. Quando f (x) ≥ 0
co ca
b
para todo x ∈ [a, b] , a existˆncia de a f (x) dx significa que a regi˜o limitada
e a
pelo gr´fico de f, pelo segmento [a, b] e pelas retas verticais x = a e x = b tem
a
a
´rea e o valor da integral ´ por defini¸˜o a ´rea dessa regi˜o.
e ca a a
64

65. Exemplos:
1) Seja f : [0, 1] → R definida por
0, x ∈ Q
f (x) = .
1, x ∈ Qc
Temos, para qualquer parti¸˜o P de [0, 1] :
ca
s(f, P ) = 0
e
S(f, P ) = 1.
Assim
1
f (x) dx = 0
0
−
e
−
1
f (x) dx = 1.
0
Logo f n˜o ´ integr´vel.
a e a
2) Seja f : [a, b] → R definida por f (x) = k.
Temos, para qualquer parti¸˜o P de [a, b] :
ca
s(f, P ) = k (b − a)
e
S(f, P ) = k (b − a) .
Assim
b
kdx = k (b − a)
a
−
e
−
b
kdx = k (b − a) .
a
Logo f ´ integr´vel e
e a
b
kdx = k (b − a) .
a
Defini¸˜o: Dizemos que um conjunto E ´ enumer´vel se existir uma bije¸˜o
ca e a ca
entre E e um subconjunto dos n´meros naturais. Em outras palavras os elemen-
u
tos de E podem ser listados:
E = {e1 , e2 , ...}.
65

66. Alguns exemplos de conjuntos enumer´veis: vazio, qualquer conjunto finito,
a
N, Z, Q.
Teorema: Seja f : [a, b] → R limitada. Se D (f ) , conjunto dos pontos de
descontinuidade de f, for enumer´vel ent˜o f ´ integr´vel.
a a e a
O Teorema acima, cuja demonstra¸˜o ser´ omitida, ´ um caso particular
ca a e
do Teorema de Riemann-Lebesgue que afirma que uma fun¸˜o ´ integr´vel se e
ca e a
somente se o conjunto dos pontos de descontinuidade tem medida nula.
Em particular,
Corol´rio:Todas as fun¸˜es cont´
a co ınuas em um intervalo fechado s˜o in-
a
tegr´veis.
a
8.2 Primeiras Tentativas de C´lculo de Integrais
a
A seguir enunciaremos um teorema que nos auxiliar´ no c´lculo de integrais.
a a
Teorema: Sejam f : [a, b] → R limitada e integr´vel ` Riemann e
a a
(b − a) (b − a) (b − a)
P = {x0 = a, x1 = a + , x2 = a + 2 , ..., xn = a + n }
n n n
uma parti¸˜o de [a, b] . Vale que
ca
b n
b−a
f (x) dx = lim f (ti )
a n→+∞
i=1
n
onde ti ∈ [xi−1 , xi ] ´ um ponto qualquer.
e
Exemplos:
1) Sabemos que
f : [a, b] → R
dada por f (x) = x2 ´ limitada e integr´vel em [a, b] . De fato, isto segue direto
e a
do fato de ser cont´
ınua.
Calculemos
b
x2 dx.
a
66

67. i(b−a)
Temos, pelo teorema anterior, usando ti = a + n , que
b n 2
i (b − a) b−a
x2 dx = lim a+ =
a n→+∞
i=0
n n
n n n 3
a2 (b − a) 2ai(b − a)2 i2 (b − a)
= lim + 2
+ =
n→+∞
i=0
n i=0
n i=0
n3
n n 3 n
a2 (b − a) 2a(b − a)2 (b − a)
= lim 1+ i+ i2 =
n→+∞ n i=0
n2 i=0
n3 i=0
3
a2 (b − a) 2a(b − a)2 n (n − 1) (b − a) n (n + 1) (2n + 1)
= lim n+ + =
n→+∞ n n2 2 n3 6
3
2 (b − a)
= a2 (b − a) + a (b − a) + =
3
1 3 1 3
= b − a .
3 3
2) Sabemos que
f : [a, b] → R
dada por f (x) = ex ´ limitada e integr´vel em [a, b] . De fato, isto segue direto
e a
do fato de ser cont´
ınua.
Calculemos
b
ex dx.
a
Aplicando novamente o teorema anterior, usando ti = a + (i − 1) (b−a)
n
b n
(b−a) b−a
ex dx = lim ea+(i−1) n =
a n→+∞
i=0
n
n
(b−a) b−a (b−a)
= lim ea n e(i−1) n =
n→+∞ n i=0
(b−a) n
ea n b−a (b−a)
= lim (b−a)
ei n = eb − ea .
n→+∞
e n n i=0
8.3 Propriedades das Integrais
Antes de listarmos as propriedades das integrais apresentamos algumas defini¸˜es
co
complementares.
67

68. Defini¸˜o: Dado f : [a, b] → R integr´vel definimos:
ca a
a
a) f (x) dx = 0.
a
a b
b) f (x) dx = − f (x) dx.
b a
Propriedades das Integrais
Consideremos f, g fun¸˜es integr´veis em [a, b] . Sejam c1 , c2 , c3 ∈ [a, b] e
co a
k ∈ R. Valem:
1) (f ± g) ´ integr´vel em [a, b] e
e a
b b b
(f (x) ± g (x)) dx = f (x) dx ± g (x) dx.
a a a
2) kf ´ integr´vel em [a, b] e
e a
b b
kf (x) dx = k f (x) dx.
a a
3) Se f ≥ 0 em [a, b] ent˜o
a
b
f (x) dx ≥ 0.
a
4) Se f ≤ g em [a, b] ent˜o
a
b b
f (x) dx ≤ g (x) dx.
a a
5) |f | ´ integr´vel em [a, b] e
e a
b b
f (x) dx ≤ |f (x)| dx.
a a
6) Se m ≤ f (x) ≤ M em [a, b] ent˜o
a
b
m (b − a) ≤ f (x) dx ≤ M (b − a) .
a
68

69. 7) Se f = g a menos de um conjunto finito de pontos ent˜o
a
b b
f (x) dx = g (x) dx.
a a
8)
c2 c3 c2
f (x) dx = f (x) dx + f (x) dx.
c1 c1 c3
N˜o iremos provar nenhuma das afirma¸˜es acima. Do ponto de vista
a co
geom´trico elas s˜o bem naturais. Para prov´-las precisar´
e a a ıamos estudar as pro-
priedades de supremo e ´ınfimo e isso nos tomaria um bom tempo. Deixamos
para o curso de An´lise Matem´tica estas quest˜es.
a a o
Exemplos:
1) Provemos que
2
1 1 1
≤ dx ≤ .
11 1 x2 + 3x + 1 5
Observe que para x ∈ [1, 2] temos que
5 ≤ x2 + 3x + 1 ≤ 11
e assim
1 1 1
≤ 2 ≤ .
11 x + 3x + 1 5
Integrando os trˆs lados obtemos a desigualdade desejada.
e
2) Qual o erro de aproximar-se
100
e−x sin2 xdx
0
por
10
e−x sin2 xdx?
0
Temos
100 10 100
e−x sin2 xdx = e−x sin2 xdx + e−x sin2 xdx.
0 0 10
Assim o erro que precisa ser estimado ´
e
100
e−x sin2 xdx.
10
69

70. Temos
0 sin2 x ≤ 1
≤
0 e−x sin2 x ≤ e−x
≤
1 1
x ∈ [10, 100] ⇒ 100 ≤ e−x ≤ 10 ⇒
e e
−x 2 1
⇒ 0 ≤ e sin x ≤ 10 .
e
Assim
100 100
90
e−x sin2 xdx ≤ e−10 dx = .
10 10 e10
Teorema do Valor M´dio Integral: Se f ´ uma fun¸˜o cont´
e e ca ınua em
[a, b] ent˜o existe c ∈ [a, b] tal que
a
b
f (x) dx = f (c) (b − a) .
a
Demonstra¸˜o: Como f ´ cont´
ca e ınua em [a, b] ent˜o, pelo Teorema de
a
Weierstrass, existem x1 e x2 tais que
f (x1 ) ≤ f (x) ≤ f (x2 ) , ∀x ∈ [a, b] .
Utilizando a propriedade 6) temos que
b
f (x1 ) (b − a) ≤ f (x) dx ≤ f (x2 ) (b − a) .
a
Assim
b
a
f (x) dx
f (x1 ) ≤ ≤ f (x2 ) .
b−a
Pelo Teorema do Valor Intermedi´rio segue que existe c ∈ [a, b] tal que
a
b
a
f (x) dx
f (c) = .
b−a
8.4 O Teorema Fundamental do C´lculo
a
Nesta se¸˜o faremos a conex˜o entre os conceitos de integral e de derivada.
ca a
Defini¸˜o: Seja f : [a, b] → R uma fun¸˜o integr´vel. A fun¸˜o F : [a, b] →
ca ca a ca
R dada por
x
F (x) = f (t) dt
a
70

71. ¸˜ ´
´ chamada de INTEGRAL INDEFINIDA ou de FUNCAO AREA.
e
Teorema: F ´ uma fun¸˜o cont´
e ca ınua em [a, b] .
Demonstra¸˜o: Sejam x, x0 ∈ [a, b] . Temos que
ca
x
F (x) − F (x0 ) = f (t) dt.
x0
Como f ´ integr´vel ent˜o em particular f ´ limitada. Assim existem m, M ∈
e a a e
R tais que
m (x − x0 ) ≤ F (x) − F (x0 ) ≤ M (x − x0 ) .
Assim aplicando o Teorema do Sandu´
ıche temos que
lim F (x) = F (x0 ) .
x→x0
Observe que se x0 for extremo de intervalo ent˜o o limite ´ lateral.
a e
Teorema Fundamental do C´lculo: Seja f : I → R cont´
a ınua, I intervalo
aberto contendo um ponto a. Ent˜o
a
F :I→R
dada por
x
F (x) = f (t) dt
a
´ deriv´vel e
e a
F (x) = f (x) , ∀x ∈ I.
Demonstra¸˜o: Basta mostrarmos que existe o limite
ca
F (x + h) − F (x)
lim .
h→0 h
Temos
x+h
F (x + h) − F (x) f (t) dt
lim = lim x =∗
h→0 h h→0 h
Aplicando o Teorema do Valor M´dio Integral temos que
e
x+h
f (t) dt = f (cx ) h
x
onde cx est´ entre x e x + h. Logo
a
f (cx ) h
∗ = lim = f (x)
h→0 h
j´ que f ´ cont´
a e ınua em I.
71

72. Corol´rio:Sejam
a
a) I ⊃ [a, b] um intervalo aberto;
b) f : I → R uma fun¸ao cont´
c˜ ınua e
c) g : I → R uma fun¸˜o deriv´vel satisfazendo
ca a
g (x) = f (x) , ∀x ∈ [a, b] .
Vale que
b
f (t) dt = g (b) − g (a) .
a
Demonstra¸˜o: O Teorema Fundamental do C´lculo nos fornece uma
ca a
primitiva de f :
x
F (x) = f (t) dt.
a
Como
F (x) = g (x) , ∀x ∈ I
segue que existe k ∈ R tal que
g (x) = F (x) + k.
Assim
b
g (b) − g (a) = F (b) − F (a) = f (t) dt.
a
Observa¸˜o:
ca
1) Muitas vezes o teorema acima ´ chamado de 2o Teorema Fundamental do
e
C´lculo. N˜o achamos muito conveniente esta nota¸˜o. O teorema acima ´ uma
a a ca e
consequˆncia do Teorema Fundamental do C´lculo. Mais que isso ´ a principal
e a e
consequˆncia.
e
2) O corol´rio acima nos fornece um importante instrumento de c´lculo de
a a
integrais. De fato, para calcularmos uma integral de uma fun¸˜o que possua
ca
primitiva elementar basta avaliarmos esta primitiva nos extremos do intervalo.
72