SlideShare uma empresa Scribd logo
matematicaconcursos.blogspot.com

Professor: Rômulo Garcia
Email: machadogarcia@gmail.com
Conteúdo Programático: Teoria dos Números – Exercícios e alguns conceitos importantes

Números Perfeitos

Um inteiro positivo n diz-se perfeito se e somente se é igual à soma de todos os seus divisores positivos, exceto o
divisor trivial n. A soma de todos os divisores positivos de n, com exceção do divisor n, é igual a s(n) – n e, portanto, n
é um número perfeito se e somente se a seguinte condição se verifica: n = s(n) – n ou s(n) = 2n.
Isto é, um inteiro positivo n é um número perfeito se e somente se a soma de todos os seus divisores positivos é igual ao
seu dobro (2n).
Assim, por exemplo, para n = 6 e n = 28, temos:
s(6) = 1 = 2 + 3 + 6 = 12 = 2.6     e     s(28) = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 + 28 = 56 = 2.28
de modo que os inteiros positivos 6 e 28 são ambos números perfeitos.

Teorema (de Euclides): Se 2k – 1 é primo (k > 1), então o inteiro positivo n = 2k – 1(2k – 1) é um número perfeito.

Teorema (de Euler): Se n é um número perfeito par, então n = 2k – 1(2k – 1) onde 2k – 1 é primo.

Exemplo: Mostrar que, se n é número perfeito par, então 8n + 1 é um quadrado perfeito.
Solução:
Pelo Teorema de Euler, se n é um número perfeito par         n = 2k – 1(2k – 1), onde 2k – 1 é primo.
              3 k–1 k
x = 8n + 1 = 2 [2 (2 – 1)] + 1 = 2 2k + 2
                                          –2 k+2
                                                 +1=2 2(k + 1)
                                                               – 2.2k + 1 + 1 = (2k + 1 – 1)2

Números Multiperfeitos

Um inteiro positivo n diz-se um número multiperfeito de ordem k ou um k-número perfeito se e somente se a soma dos
divisores naturais de n for um múltiplo de k (k 3),ou seja, s(n) = kn, onde k 3 é um inteiro. Designa-se um número
multiperfeito de ordem k por Pk.
Assim, por exemplo, o inteiro positivo 30240 = 25.33.5.7 é um número multiperfeito de ordem 4 (ou um número P4),
                            2 6 1 34 1 5 2 1 7 2 1
pois, temos: s(30240 )           .    .     .      63 .40.6.8 120960                  4.30240
                             2 1 3 1 5 1 7 1

Teorema (de Descartes) (mencionado em uma carta enviada a Mersenne em 15 novembro de 1638):

1o: Se n é um número P3 e não é divisível por 3, então 3n é um número P4.
2o: Se um número n é divisível por 3 mas não é divisível nem por 5 ou por 9, e se é um número P 3, então 45n é P4.
3o: Se um número n não é divisível por 3 e se 3n é um número P4k, então n é um número P3k.
Exemplo 6.17: Mostrar que nenhum inteiro da forma n = 2a.3b é um 3-número perfeito.
Solução:
Suponhamos, por absurdo, que exista um n = 2a.3b tal que s(n) = 3n = 2a.3b + 1
  [(2a + 1 – 1)/(2 – 1)][(3b + 1 – 1)/(3 – 1)] = 2a.3b + 1 (2a + 1 – 1)(3b + 1 – 1) = 2a + 1.3b + 1
obviamente esta expressão não possui resposta., pois a expressão do lado direito da igualdade é estritamente maior que
a expressão do lado esquerdo.

Números Amigos

Dois inteiros positivo m e n dizem-se números amigos se e somente se a soma dos divisores positivos de m, exceto o
divisor m, é igual a n, e a soma dos divisores positivos de n, exceto o divisor n, é igual a m.
Em outras palavras, dois inteiros positivos m e n dizem-se amigos se e somente se s(m) – m = n e s(n) – n = m
ou seja, o que é equivalente a s(m) = m + n = s(n).
matematicaconcursos.blogspot.com
Exemplo: Mostrar que os inteiros 220 e 284 são números amigos.
Solução:
220 = 22.5.11         s(220) – 220 = s(22).s(5).s(11) – 220 = 7.6.12 – 220 = 504 – 220 = 284
284 = 22.71       s(284) – 284 = s(22).s(71) – 284 = 7.72 – 284 = 504 – 284 = 220
Logo, por definição, os inteiros 220 e 284 são números amigos.

Números Deficientes e Abundantes

Um inteiro positivo n diz-se um número deficiente se e somente se s(n) – n < n ou s(n) < 2n
e diz-se um número abundante se e somente se s(n) – n > n ou s(n) > 2n.
Assim, por exemplo, os inteiros 15 e 18 são respectivamente um número deficiente ou abundante, pois, temos:
s(15) = s(3.5) = s(3).s(5) = 4.6 = 24 < 2.15
s(18) = s(2.32) = s(2).s(32) = 3.13 = 39 > 2.18

Números Pseudoprimos

Já sabemos que, pelo Teorema de Fermat, se n é primo então n | 2 n – 2.
Números compostos n para os quais n | 2n – 2 são denominados pseudoprimos. Os pseudoprimos                       2000 são 341 =
11.31,
561 = 3.11.17, 645 = 3.5.43, 1105 = 5.13.17, 1387 = 19.73, 1729 = 7.13.19, 1905 = 3.5.127.

Teorema: “Se n é um número ímpar pseudoprimo, então o número m = 2 n – 1 também é um número ímpar
pseudoprimo.”

Teorema Simples de Fermat

Teorema (de Fermat): “Se p é um primo e se p não divide o inteiro a, então ap – 1                1 (mod. p).”

Exemplo: Verificar o Teorema de Fermat com a = 3 e p = 7.
Solução:
O inteiro 7 é primo e 7 não divide 3. Temos: 37 – 1 = 36 = 729 e como 7 | (729 – 1), segue-se que
729 1 (mod. 7), isto é: 37 – 1 1 (mod. 7)

Função e Teorema de Euler

Função de Euler é uma função aritmética simbolizada por (n), definida para todo inteiro positivo n de tal modo que
 (n) é igual ao número de inteiros positivos que não superam n e que são primos com n.

Exemplo: Se n = 30, então os inteiros positivos menores que 30 e primos com 30 são 1, 7, 11, 13, 17, 19, 23 e 29, de
modo que (30) = 8.

Teorema: “Se o inteiro n > 1, então (n) = n – 1 se e somente se n é primo.”
Teorema: “Se n        p1 1 p k 2 ...p k r é a decomposição canônica do inteiro positivo n > 1, então:
                       k
                             2        r

 (n )    k
        p1 1    k
               p1 1   1
                          p k2   p k2   1
                                            ... p k r   p kr   1
                                                                   n 1   1    1   1 ... 1 1 .”
                            2      2              r       r
                                                                         p1       p2      pr
Exemplo: Calcular (7865).
Solução:
Sendo 7865 = 5.112.13, temos: (7865) = (5 – 1)(112 – 11)(13 – 1) = 4.110.12 = 5280.

                                                                                          (n )
Teorema (de Euler): “Se n é um inteiro positivo e se o mdc (a, n) = 1, então a                    1 (mod. n).”
matematicaconcursos.blogspot.com
Exemplo: Determine os dois últimos dígitos de 3121.
Solução:
I) (100) = (100)(1 – 1/2)(1 – 1/5) = (10)(4) = 40
II) Pelo Teorema de Euler: 3 (100) 1 (mod. 100)          340 1 (mod. 100)      3120   1 (mod. 100)
   120                          121
(3 ).3 3 (mod. 100)           3      3 (mod. 100)
III) Ou seja, os dois últimos dígitos (dezenas e unidades) de 3121 são 03

Exemplo: Quais os possíveis resultados para os restos quando n 100 é dividido por 125, quando n assume todos os valores
inteiros positivos.
Solução:
I) Se n = 5k        125 | n100  resto = 0
II) Se mdc (n, 125) = 1 temos que (125) = (53) = 53(1 – 1/5)            (125) = 100
Assim, pelo Teorema de Euler, n100 1 (mod. 125)        resto = 1

1) Resolver a equação y3 – x3 = 91, para x e y inteiros.


2) Prove que N    5125 1 é um número composto.
                  5 25 1
3) Determine (com prova) todos os pares de inteiros (x, y) satisfazendo a equação: 1 + 1996x + 1998y = xy

4) Sejam a, b, c, d, e, números naturais consecutivos tais que a + b + c + d + e é um cubo perfeito e b + c + d é um
quadrado perfeito. Achar o mínimo valor possível de c.

5) Iniciando de um certo inteiro positivo, é permitido fazer apenas uma operação: o dígito das unidades é separado e
multiplicado por 4, e então este valor é somado ao restante do número. Por exemplo, o número 1997 é transformado
para 7.4 + 199 = 227. A operação é feita repetidamente. Prove que se a seqüência de números obtida contem 1001,
então nenhum dos números na seqüência pode ser um número primo.

6) Qual é o maior divisor primo de 216 – 16?
a) 7
b) 11
c) 13
d) 17
e) 23

7) O menor inteiro positivo x para os quais 1260x = N3, onde N é um inteiro, é:
a) 1050
b) 1260
c) 7350
d) 44100
e) nda

8) Assuma que x2 – y2 = 63, com x, y     N. Quantos valores distintos de x2 + y2 podem ser obtidos?
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) nenhum dos anteriores

9) O menor número primo que divide 311 + 512 é:
a) 2
b) 3
c) 5
matematicaconcursos.blogspot.com
d) 311 + 512
e) nda

10) Determine o maior natural n para o qual existe uma reordenação (a, b, c, d) de (3, 6, 9, 12) (isto é, {a, b, c, d} = {3,
                              n
6, 9, 12}) tal que o número       3a 6b9c12 d seja inteiro. Justifique sua resposta.

11) Determine o produto entre o mdc e o mmc de {12, 24, 72, 120, 288}
a) 8640 b) 17280 c) 34560 d) 11520 e) nda

12) Determinar a quantidade de pares de números naturais (a, b) que verificam simultaneamente as seguintes duas
condições: o máximo divisor comum entre a e b é igual ao produto dos 5 primeiros números naturais; o mínimo
múltiplo comum entre a e b é igual ao produto dos 15 primeiros números naturais. Ou seja, mdc (a, b) = 1.2.3.4.5 e
mmc (a, b) = 1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.

13) Achar o inteiro positivo da forma 2.15m.7n e que admite 36 divisores positivos.

14) Um número natural N que é múltiplo de 83 é tal que N2 possui 63 divisores. Calcular N, sabendo que é o menor
número possível que cumpre tais condições.

15) Determine todos os inteiros positivos n que possuem exatamente 16 divisores inteiros positivos d1, d2, …, d16 tais
que 1 = d1 < d2 < … < d16 = n, d6 = 18 e d9 – d8 = 17.

16) Determinar todos os números inteiros n tais que (n + 98)/(n + 19) é um número inteiro.

17) Quantas soluções inteiras e positivas possui a equação 2x + 3y = 1997?

18) Assuma que m e n são inteiros tais que 5m + 6n = 100. Então, o maior valor possível de m.n é:
a) 60
b) 70
c) 80
d) 90
e) nda

19) Determinar o menor inteiro positivo que dividido por 8 e por 15 deixa os restos 6 e 13, respectivamente.

20) Exprimir 100 como soma de dois inteiros positivos de modo que o primeiro seja divisível por 7 e o segundo seja
divisível por 11.

21) Determinar as duas menores frações positivas que tenham 13 e 17 para denominadores e cuja soma seja igual a
305/221.

22) Demonstrar que, se a e b são inteiros positivos primos entre si, então a equação diofantina ax – by = c tem um
número infinito de soluções inteiras e positivas.

23) Um rapaz recebeu R$ 100,00 da sua mãe para comprar alguns itens A, preço R$ 13,00 alguns B, preço R$ 7,00 e
outros C, preço R$ 18,00, em um supermercado, mas esqueceu a quantidade exata de cada item, lembrando-se apenas
que não haveria troco. Encontre a probabilidade de que acerte o pedido de sua mãe.
Encontre o menor inteiro positivo a para o qual a equação 1001x + 770y = 106 + a tem solução inteira. Neste caso,
quantas soluções inteiras positivas (x > 0 e y > 0) existem?

24) Uma das soluções inteiras e positivas da equação 19x + 97y = 1997 é, evidentemente, (x0,y0) = (100,1). Além desse,
há apenas mais um par de números inteiros e positivos, (x1, y1), satisfazendo a equação. O valor de x1 + y1 é:
matematicaconcursos.blogspot.com
a) 23
b) 52
c) 54
d) 101
e) 1997

25) Quantos são os pares (x, y) de inteiros positivos que satisfazem a equação 2x + 3y = 101 ?
a) 13
b) 14
c) 15
d) 16
e) 17

26) Quantos pares de inteiros (n, k) possuem a propriedade que 1 = 3n + 5k?
a) 0
b) 7
c) 8
d) 15
e) infinitos

27) Se x e y são inteiros positivos tais que 13x + 4y = 1000, então x + y vale:
a) 10
b) 12
c) 14
d) 16
e) 18

28) Demonstrar que 270 + 370 é divisível por 13.

29) Mostre que 22225555 + 55552222 é divisível por 7.

30) Mostrar que 1110     1 (mod. 100)

31) Determine o dígito das centenas de 21999 + 22000 + 22001.

32) Mostre que o número N       760 1998   201998 1910 1998    652 1998 é divisível por 1998.
                                              9           14
33) Achar os dois últimos algarismos de 9 9 e de 14 14 .

34) Achar o algarismo das unidades de 7355.

35) Calcular o resto da divisão por 8 de 436543 x 793767.

36) Achar o resto da divisão de (1237156 + 34)28 por 111.

37) Determine os três últimos dígitos de 79999.


38) Demostrar que para todo n natural verifica-se: 32n 2        2 6n   1
                                                                           0 (mod. 11).

39) Prove que 3636 + 4141 é divisível por 77.

40) Prove que 2015 – 1 é divisível por 11.31.61.

41) Prove que:
a) 1919 + 6969 é divisível por 44;
b) 270 + 370 é divisível por 13.
matematicaconcursos.blogspot.com

42) Prove que o número 55k + 1 + 45k + 2 + 35k é divisível por 11, para todo número natural k.

43) Prove que se um inteiro n é primo com 10, a 101a potência de n termina com os mesmo 3 dígitos de n. Por exemplo,
1233101 termina com os dígitos 233, e 37101 termina com os dígitos 037.

44) Prove que 21997.1996 – 1 é divisível por 19972.

45) Prove que 2147 – 1 é divisível por 343.

46) Prove que para todo inteiro n, n30 – n14 – n18 + n2 é divisível por 46410.

47) Mostrar que 2340     1 (mod. 341)

48) Se n é inteiro não divisível por 5, demonstre que ao dividir n 4 – 1991 por 5, o resto é zero.

49) Mostrar:
a) 561 | (2561 – 2);   b) 561 | (3561 – 3).

50) Usando o Teorema de Fermat, achar o algarismo das unidades de 3 100.

51) Achar o algarismo das unidades de 7355.

52) Achar o resto quando 314162 é dividido por 163.

53) Mostre que 1981 | (441980 – 441776)

54) Qual é o resto quando 13 + 23 + 33 + 43 + … + 19903 é dividido por 7?

55) Calcule o resto da divisão de 22002 por 101.

56) Determine o resto das divisões de:
a) 41234 por 3
b) 20100 por 17
c) 2000.22000 – 1 por 3

57) Entre o resto da divisão de 520 por 26.

58) Mostre que (8355 + 6)18 – 1 é divisível por 112.

59) Encontre os dois últimos dígitos de:
a) 71000
b) 22000
c) 5600 + 19200
d) 72000 . 2300

60) Prove que, para todo n natural, 37n + 2 + 16n + 1 + 23n é divisível por 7.
matematicaconcursos.blogspot.com
Solução de várias questões:

1) Análise inicial:
Podemos decompor y3 – x3 da forma: y3 – x3 = (y – x)(y2 + xy + x2) = 91 = 7.13
Como y2 + xy + x2 é uma equação de segundo grau em y, que possui < 0, então y2 + xy + x2 > 0
Assim, podemos ter as seguintes situações:
(y – x) (y2 + xy + x2) =
1        91               91
91       1                91
13       7                91
7        13               91
Assim, analisando cada situação:
1) y – x = 1
   y2 + xy + x2 = 91      (y – x)2 + 3xy = 91     1 + 3xy = 91        xy = 30 e y = x + 1
   x = 5 e y = 6 ou x = – 6 e y = – 5
2) y – x = 91
   y2 + xy + x2 = 1     xy = – 2760 e y = x + 91         não existem inteiros x e y
3) y – x = 7
   y2 + xy + x2 = 13      xy = – 12 e y = x + 7       x = – 3 e y = 4 ou x = – 4 e y = 3
4) y – x = 13
   y2 + xy + x2 = 7     xy = – 53 e y = x + 13        não existem inteiros x e y


2) Inicialmente notemos que fazendo x = 525 temos N         x 5 1 = x4 + x3 + x2 + x + 1.
                                                             x 1
Então:
N = x4 + x3 + x2 + x + 1
N = (x2 + 3x + 1)2 – 5x(x + 1)2 [( x 2 3x 1)        5x (x 1)][( x 2 3x 1) 5x (x 1)] .
Como x = 5 temos: N = [(5 + 3.5 + 1) – 5 (5 + 1)][(550 + 3.525 + 1) + 513(525 + 1)], ou seja, N é a multiplicação
             25               50      25       13 25

de dois inteiros maiores que 1, implicando que N é composto.

3) Podemos escrever a equação da seguinte forma:
xy – 1996x – 1998y = 1        (x – 1996)(y – 1998) – 1996.1998 = 1     (x – 1996)(x – 1998) = 1 + 1996.1998
(x – 1996)(x – 1998) = 1 + (1997 – 1)(1997 + 1) = 1 + 19972 – 1    (x – 1996)(x – 1998) = 19972
Assim temos as possibilidades:
  i) x – 1996 = 1997 e y – 1998 = 1997         x = 3993 e y = 3995
 ii) x – 1996 = – 1997 e y – 1998 = – 1997         x=–1 e y=1
                     2
iii) x – 1996 = 1997 e y – 1998 = 1         x = 19972 – 1996 e y = 1999
                       2
iv) x – 1996 = – 1997 e y – 1998 = – 1          x = 1996 – 19972 e y = 1997
 v) x – 1996 = 1 e y – 1998 = 19972         x = 1997 e y = 19972 + 1998
vi) x – 1996 = – 1 e y – 1998 = – 1997   2
                                                x = 1996 e y = 1998 – 19972

4) Podemos escrever os números da seguinte forma: c – 2, c – 1, c, c + 1, c + 2
Assim, temos que a + b + c + d + e = 5c = x3 e b + c + d = 3c = y2         3x3 = 5y2       5|x e 3|y
                        2 3       2
x = 5x1 e y = 3y1      5 x1 = 3y1         3 | x1 e 5 | y1   x1 = 3x2 e y1 = 5y2          32x23 = y22
x2 = 1 e y2 = 3     x1 = 3 e y1 = 15         x = 15 e y = 45
Como 5c = x3       5c = 33.53       c = 33.52

5) Se n = 10a + b, sendo b é dígito das unidades, então a operação transforma n para n’ = a + 4b.
Notemos que 10n’ = 10a + 40b = (10a + b) + 39b           n = 10n’ – 39b       n = 10.n’ – 3.13.b.
Assim, se n é divisível por 13 então n’ é divisível por 13, reciprocamente, se n’ é divisível por 13, n também é divisível
por 13.
Desta forma, se a seqüência contem 1001 = 13.77, então todo termo da seqüência deve ser divisível por 13.
matematicaconcursos.blogspot.com
Ou seja, se existe um número primo na seqüência, então este número deve ser 13.
Note que o número 13 não pode vir antes de 1001 porque a operação transforma 13 para 4.3 + 1 = 13, implicando que
todo termo subsequente de 13 na seqüência é igual a 13.
Por outro lado, 13 não pode vir depois de 1001 pois a operação transforma 1001 para 4.1 + 100 = 104, e depois 4.4 +
10 = 26, e depois 4.6 + 2 = 26, e assim todo termo depois de 26 é igual a 26.
Concluímos, portanto, que se a seqüência contem 1001, então não contem 13, implicando que não existe nenhum
número primo na seqüência.

10) Temos:
3a 6 b 9c 12 d      2b   2d
                              3a   b 2c d
                                            .
Para (a, b, c, d) dados, o maior n possível é mdc{b 2d, a        b 2c d} b 2d. Note que b + 2d é máximo (com b e
d elementos distintos de {3, 6, 9, 12}) quando d = 12 e b = 9. Neste caso, b + 2d = 33, e a + b + 2c + d = 21 + a + 2c.
Tomando a = 6 e c = 3, temos também a + b + 2c + d = 33, que é obviamente o maior valor possível para n, obtido para
(a, b, c, d) = (6, 9, 3, 12).

13) Sendo x = 2.3m.5m.7n temos que d(x) = 2.(m + 1)2(n + 1)
Como d(x)= 36       (m + 1)2(n + 1) = 2.32    m=2 e n=1                    x = 2.152.7       x = 210

14) Como d(n2) = 63 = (8 + 1)(6 + 1) = (20 + 1)(2 + 1) = (62 + 1) = (2 + 1)(2 + 1)(6 + 1), podemos ter as seguintes
possibilidades:
n2 = (83)6.28 ou n2 = (83)2.(2)20 ou n2 = (83)62 ou n2 = 26.32.832
Assim, o menor valor de n é n = 23.3.83

15) I) d(n) = 16 = 24 = (1 + 1)4 = (3 + 1).(3 + 1) = (3 + 1)(1 + 1)(1 + 1)
Assim o números n pode ser das formas:
i) n = a.b.c.d, com a, b, c e d primos.
Entretanto, d6 = 18 = 2.32, implicando que 32 divide n, que é impossível para esta caso.
ii) n = a3.b3, a e b primos, a > b.
Como um divisor é d6 = 2.32, temos que a = 2 e b = 3, implicando que n = 23.33 = 216:
Conferindo os divisores temos: a1 = 1, a2 = 2, a3 = 3, a4 = 4, a5 = 6, a6 = 8 que é impossível.
iii) n = a3.b.c, com a, b e c primos:
Como um divisor é d6 = 2.32, temos que a = 3 e b = 2. Assim, temos n = 2.33.c
Escrevendo os divisores de n temos:
1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54, c, 2c, 3c, 6c, 9c, 18c, 27c, 54c
Notemos que para 18 ser o d6, então c deve ser maior que 18, e primo com 2 e 3.
I) 19 c 26: 1, 2, 3, 6, 9, 18, c, 27, 2c, 54, 3c, 6c, 9c, 18c, 27c, 54c
Assim, d9 – d8 = 17         2c – 27 = 17        2c = 44       c = 22, impossível pois 22 é múltiplo de 2.
II) 28 c 53: 1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, c, 54, 2c, 3c, 6c, 9c, 18c, 27c, 54c
Assim, d9 – d8 = 17         54 – c = 17        c = 37       n = 2.33.37     n = 1998.
III) c 55: 1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54, c, 2c, 3c, 6c, 9c, 18c, 27c, 54c
Assim, d9 – d8 = 17         c – 54 = 17        c = 71       n = 2.33.71     n = 3834.

16) Como (n + 98)/(n + 19) = 1 + 79/(n + 19) então este valor vai ser inteiro se n + 19 dividir 79, que vai acontecer ara
os casos:
i) n + 19 = 79    n = 60 ii) n + 19 = – 79        n = 98 iii) n + 19 = 1           n = – 18 iv) n + 19 = – 1       n=–
20

17) Seja a equação diofantina 2x + 3y = 1997. Como d = mdc (2, 3) = 1        d | 1997       existe solução para a
equação diofantina.
Como x0 = 1000 e y0 = – 1 é uma solução, pois (2)(1000) + (3)(– 1) = 2000 – 3 = 1997, então todas as soluções são
dadas por:
x = x0 + (b/d)t y = y0 – (a/d)t    x = 1000 + 3t y = – 1 – 2t
Assim, y será positivo somente para valores negativos de t    t – 1.
matematicaconcursos.blogspot.com
Desta forma: 1000 + 3t > 0   3t > – 1000      t – 333.
Assim, temos: – 333 t – 1, que corresponde a 333 soluções inteiras e positivas.

18) Como mdc (5, 6) = 1, e m0 = 20 e n0 = 0 é uma solução, temos que todas as soluções são dadas por:
m = 20 + 6t e n = – 5t
Assim, m.n = (20 + 6t)(– 5t)         m.n = – 30t2 – 100t       30t2 + 100t + m.n = 0
m.nmax = – (10000)/(4(– 30))         m.nmax = 83,33333
que não é inteiro, mais já dá uma dica do maior valor inteiro de m.n, pois m.n 83.
Para que t seja inteiro, devemos ter o discriminante igual a um quadrado perfeito:
1002 – 120mn = x2          1002 – x2 = 120mn        (100 – x)(100 + x) = 120mn
Podemos ter x = 20          120mnmax = 10000 – 400 = 9600          mnmax = 80
Conferindo: 30t2 + 100t + 80 = 0         3t2 + 10t + 8 = 0      (3t + 4)(t + 2) = 0  t = – 2.

28) I) 26 = 64 = 65 – 1 = 5.13 – 1       26 – 1 (mod. 13)      (26)11 (– 1)11 (mod. 13)       266 – 1 (mod. 13)
(266)24 (– 1)24 (mod. 13)         270 – 16 (mod. 13)      270 – 3 (mod. 13)
     3                                 3
II) 3 = 27 = 26 + 1 = 2.13 + 1        3 1 (mod. 13)       (33)23 (1)23 (mod. 13)       369 1 (mod. 13)
(369)3 1.3 (mod. 13)         370 3 (mod. 13)
III) Somando as duas congruências temos 270 + 370 – 3 + 3 (mod. 13)          270 + 370 0 (mod. 13)
Outra solução: 22 + 32 0 (mod. 13)          22 – 32 (mod. 13)       (22)35 (– 32)35 (mod. 13)
  70
2         70
       – 3 (mod. 13)         70
                            2 +3   70
                                       0 (mod. 13)

29) I) 2222 3 (mod. 7)          22225555 35555 (mod. 7)          33 – 1 (mod. 7)         (33)1851 (– 1)1851 (mod. 7)
35553 – 1 (mod. 7)        35553.32 (– 1).32 (mod. 7)           35555 – 9 (mod. 7)         22225555 – 9 (mod. 7)
                                 2222    2222                  3                     3 740
II) 5555 4 (mod. 7)         5555       4      (mod. 7)        4 1 (mod. 7)         (4 )      (1)740 (mod. 7)
42220 1 (mod. 7)        42220.42 1.42 (mod. 7)           42222 16 (mod. 7)        55552222 16 (mod. 7)
                                        5555        2222
Somando as duas congruências: 2222           + 5555         – 9 +16 (mod. 7)      22225555 + 55552222 7 (mod. 7)
Ou seja, 7 | 22225555 + 55552222

30) 1110 – 1 = (11 – 1)(119 + 118 + 117 + ... + 112 + 11 + 1)      1110 – 1 = 10.(119 + 118 + 117 + ... + 112 + 11 + 1)
                       9     8     7          2
Basta provar que (11 + 11 + 11 + ... + 11 + 11 + 1) é divisível por 10.
  11 1 (mod. 10)          1 11 112 113 114 ... 118 119 1 (mod. 10)
Somando temos: 119 + 118 + 117 + ... + 112 + 11 + 1 1 + 1 + 1 + ... + 1 (mod. 10)
119 + 118 + 117 + ... + 112 + 11 + 1 10 (mod. 10)          119 + 118 + 117 + ... + 112 + 11 + 1 0 (mod. 10)

31) Notemos que 21999 + 22000 + 22001 = 21999(1 + 2 + 4) = 21999.7
   210 = 1024       210 24 (mod. 100)         220 76 (mod. 100)           (220)99 (76)99 (mod. 100)   21980 76 (mod.
100)
(210)(21980) (24)(76) (mod. 100)        21990 24 (mod. 100)          (29)(21990) (512)(24) (mod. 100)
  1999                       1999
2       88 (mod. 100)       2 .7 16 (mod. 100)
Desde modo concluímos que os dois últimos dígitos de 2 1999.7 são 16. Como 21999.7 é divisível por 8, e um número é
divisível por 8 se e somente se o número formado pelos seus três últimos algarismos é divisível por 8, os últimos 3
dígitos de 21999.7 podem ser 216, 416, 616 ou 816, ou seja, o algarismo das centenas é par.

32) Notemos inicialmente que 1998 = 2.33.37
  760 – 20 = 740 = 22.5.37      760 20 (mod. 2.37)         7601998 201998 (mod. 2.37)         7601998 – 201998         0 (mod.
2.37)
  1910 – 652 = 1258 = 2.17.37        1910 652 (mod. 2.37)         19101998 6521998 (mod. 2.37)
     1998
1910      – 6521998
                    0 (mod. 2.37)
Assim: 7601998 – 201998 + 19101998 – 6521998 0 (mod. 2.37)       2.37 | 7601998 – 201998 + 19101998 – 6521998
                       2 3
  760 – 652 = 108 = 2 .3        760 652 (mod. 3 )3
                                                         760 1998
                                                                    6521998 (mod. 33)        7601998 – 6521998         0 (mod.
33)
matematicaconcursos.blogspot.com
  1910 – 20 = 1890 = 2.33.5.7           1910 20 (mod. 33)        19101998 201998 (mod. 33)           19101998 – 201998   0
(mod. 33)
Assim: 7601998 – 201998 + 19101998 – 6521998 0 (mod. 33)        33 | 7601998 – 201998 + 19101998 – 6521998
Como 2.37 | 7601998 – 201998 + 19101998 – 6521998 e 33 | 7601998 – 201998 + 19101998 – 6521998
2.33.37 | 7601998 – 201998 + 19101998 – 6521998   1998 | 7601998 – 201998 + 19101998 – 6521998

43) Se mdc (n, 10) = 1 podemos aplicar o Teorema de Euler:
 (1000) = 400         n400 1 (mod. 1000)       n400 – 1 = 1000k       (n200 – 1)(n200 + 1) = 1000k
  200       100      100
(n + 1)(n – 1)(n + 1) = 1000k
    (10) = 4      n4 1 (mod. 10)       n200 1 (mod. 10)         n200 + 1 2 (mod. 10)
Analogamente: n 100 1 (mod. 10)         n100 + 1 2 (mod. 10)
Desde que (n + 1)(n – 1)(n + 1) = 1000k e n 100 + 1 e n 200 + 1 não são divisíveis por 1000, temos que n 100 – 1
              200       100    100

é divisível por 1000.
Deste modo n100 – 1 0 (mod. 1000)            n100 1 (mod. 100)          n101 n (mod. 1000)         n101 termina com os
mesmos 3 dígitos de n.

44) Como mdc (2, 19972) = 1 podemos aplicar o Teorema de Euler.
Desde que (19972) = 19972(1 – 1/997) = 1996.1997       2 (n) 1 (mod. n)              21996.1997   1 (mod. 19972)

46) Notemos inicialmente que X = n 30 – n14 – n18 + n2 = n2(n12 – 1)(n16 – 1) e que 46410 = 2.3.5.7.13.17.
É suficiente mostrar que p divide n30 – n14 – n18 + n2 para p = 2, 3, 5, 7, 13 e 17.
Como n2 ou n12 – 1 é par, então 2 | X. (1)
Se p divide n, a conclusão é direta, para p = 2, 3, 5, 7, 13 ou 17.
Se mdc (n, p) = 1, pelo Teorema de Fermat temos que np – 1 1 (mod. p).
Assim: n12 1 (mod. 13) e n16 1 (mod. 17)                 13.17 | (n12 – 1)(n16 – 1)  13.17 | X (2)
Como n – n – n + n = n (n – 1)(n – 1) = n (n – 1)(n6 + 1)(n4 – 1)(n4 + 1)(n8 + 1).
         30    14    18    2     2 12      16         2 6

Analogamente, sendo mdc (n, p) = 1, temos pelo Teorema de Fermat: n6 1 (mod. 7) e n4 1 (mod. 5)
Deste modo 5.7 | (n4 – 1)(n6 – 1)        5.7 | X (3)
Finalmente, notemos que n – n – n + n2 = n2(n12 – 1)(n16 – 1) = n2(n3 – 1)(n3 + 1)(n6 + 1)(n4 – 1)(n4 + 1)(n8 + 1).
                              30    14  18

Pelo Teorema de Fermat n 2 1 (mod. 3)            3 | (n2 – 1)        3 | X (4)
De (1), (2), (3) e (4) concluímos que 2.3.5.7.13.17 | n – n – n18 + n2.
                                                         30    14



47) Notemos que: 341 = 11.31 e 210 = 1024 = 31.33 + 1 = 11.93 + 1, o que implica:
210 1 (mod. 31) e 210 1 (mod. 11)            231 = 2(210)3 2.13 2 (mod. 11)
Os inteiros 11 e 31 são primos, de modo que, pelo teorema acima temos:
211.31 2 (mod. 11.31) ou 2341 2 (mod. 341), ou seja, cancelando o fator comum 2: 2340              1 (mod. 341)

48) Como mdc (n, 5) = 1, pelo Teorema de Fermat temos que n 4       1 (mod. 5) (1)
Como 1991 1 (mod. 5)          – 1991 – 1 (mod. 5) (2)
                              4
Somando (1) e (2) temos que n – 1991 0 (mod. 5)

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados

Plano de Aula Progressão Geométrica - 1a. Parte.
Plano de Aula Progressão Geométrica - 1a. Parte.Plano de Aula Progressão Geométrica - 1a. Parte.
Plano de Aula Progressão Geométrica - 1a. Parte.
Luiz Antonio Claro NT
 
Atividades de matriz 2
Atividades de matriz 2Atividades de matriz 2
Atividades de matriz 2
Fabiana Gonçalves
 
Retas paralelas transversal
Retas paralelas transversalRetas paralelas transversal
Retas paralelas transversal
tioheraclito
 
Função quadrática resumo teórico e exercícios - celso brasil
Função quadrática   resumo teórico e exercícios - celso brasilFunção quadrática   resumo teórico e exercícios - celso brasil
Função quadrática resumo teórico e exercícios - celso brasil
Celso do Rozário Brasil Gonçalves
 
I lista de exercícios de matemática 7ano - gabarito
I lista de exercícios de matemática   7ano - gabaritoI lista de exercícios de matemática   7ano - gabarito
I lista de exercícios de matemática 7ano - gabarito
jonihson
 
Mat utfrs 21. quadrilateros exercicios
Mat utfrs 21. quadrilateros exerciciosMat utfrs 21. quadrilateros exercicios
Mat utfrs 21. quadrilateros exercicios
trigono_metria
 
Atividades sobre grau - minutos - segundos
Atividades sobre   grau - minutos - segundosAtividades sobre   grau - minutos - segundos
Atividades sobre grau - minutos - segundos
Claudiana Watanabe Vargas
 
Operações com frações algébricas
Operações com frações algébricasOperações com frações algébricas
Operações com frações algébricas
azuljunior
 
Quadriláteros
QuadriláterosQuadriláteros
Quadriláteros
Helena Borralho
 
Desafio#5 : Qual o valor desconhecido?
Desafio#5 : Qual o valor desconhecido? Desafio#5 : Qual o valor desconhecido?
Desafio#5 : Qual o valor desconhecido?
O Bichinho do Saber
 
Multiplicação
MultiplicaçãoMultiplicação
Multiplicação
MariaJoão Agualuza
 
Aula2 equação 1º_
Aula2 equação 1º_Aula2 equação 1º_
Aula2 equação 1º_
Marcia Roberto
 
Potenciacao e radiciacao
Potenciacao e radiciacaoPotenciacao e radiciacao
Potenciacao e radiciacao
Fulano Silva
 
Lista com gabarito Equações fracionárias, biquadradas e irracionais
Lista com gabarito Equações fracionárias, biquadradas e irracionaisLista com gabarito Equações fracionárias, biquadradas e irracionais
Lista com gabarito Equações fracionárias, biquadradas e irracionais
Andréia Rodrigues
 
Probabilidade Exercícios
Probabilidade Exercícios Probabilidade Exercícios
Probabilidade Exercícios
Willian Sérgio
 
Regras expressoes numericas
Regras expressoes numericasRegras expressoes numericas
Regras expressoes numericas
Ana Maria Silva
 
Radiciaçâo
RadiciaçâoRadiciaçâo
Medidas de capacidade
Medidas de capacidadeMedidas de capacidade
Medidas de capacidade
Joao Ferreira
 
Radiciação
RadiciaçãoRadiciação
Lista de Exercícios 2 – Números Inteiros
Lista de Exercícios 2 – Números InteirosLista de Exercícios 2 – Números Inteiros
Lista de Exercícios 2 – Números Inteiros
Everton Moraes
 

Mais procurados (20)

Plano de Aula Progressão Geométrica - 1a. Parte.
Plano de Aula Progressão Geométrica - 1a. Parte.Plano de Aula Progressão Geométrica - 1a. Parte.
Plano de Aula Progressão Geométrica - 1a. Parte.
 
Atividades de matriz 2
Atividades de matriz 2Atividades de matriz 2
Atividades de matriz 2
 
Retas paralelas transversal
Retas paralelas transversalRetas paralelas transversal
Retas paralelas transversal
 
Função quadrática resumo teórico e exercícios - celso brasil
Função quadrática   resumo teórico e exercícios - celso brasilFunção quadrática   resumo teórico e exercícios - celso brasil
Função quadrática resumo teórico e exercícios - celso brasil
 
I lista de exercícios de matemática 7ano - gabarito
I lista de exercícios de matemática   7ano - gabaritoI lista de exercícios de matemática   7ano - gabarito
I lista de exercícios de matemática 7ano - gabarito
 
Mat utfrs 21. quadrilateros exercicios
Mat utfrs 21. quadrilateros exerciciosMat utfrs 21. quadrilateros exercicios
Mat utfrs 21. quadrilateros exercicios
 
Atividades sobre grau - minutos - segundos
Atividades sobre   grau - minutos - segundosAtividades sobre   grau - minutos - segundos
Atividades sobre grau - minutos - segundos
 
Operações com frações algébricas
Operações com frações algébricasOperações com frações algébricas
Operações com frações algébricas
 
Quadriláteros
QuadriláterosQuadriláteros
Quadriláteros
 
Desafio#5 : Qual o valor desconhecido?
Desafio#5 : Qual o valor desconhecido? Desafio#5 : Qual o valor desconhecido?
Desafio#5 : Qual o valor desconhecido?
 
Multiplicação
MultiplicaçãoMultiplicação
Multiplicação
 
Aula2 equação 1º_
Aula2 equação 1º_Aula2 equação 1º_
Aula2 equação 1º_
 
Potenciacao e radiciacao
Potenciacao e radiciacaoPotenciacao e radiciacao
Potenciacao e radiciacao
 
Lista com gabarito Equações fracionárias, biquadradas e irracionais
Lista com gabarito Equações fracionárias, biquadradas e irracionaisLista com gabarito Equações fracionárias, biquadradas e irracionais
Lista com gabarito Equações fracionárias, biquadradas e irracionais
 
Probabilidade Exercícios
Probabilidade Exercícios Probabilidade Exercícios
Probabilidade Exercícios
 
Regras expressoes numericas
Regras expressoes numericasRegras expressoes numericas
Regras expressoes numericas
 
Radiciaçâo
RadiciaçâoRadiciaçâo
Radiciaçâo
 
Medidas de capacidade
Medidas de capacidadeMedidas de capacidade
Medidas de capacidade
 
Radiciação
RadiciaçãoRadiciação
Radiciação
 
Lista de Exercícios 2 – Números Inteiros
Lista de Exercícios 2 – Números InteirosLista de Exercícios 2 – Números Inteiros
Lista de Exercícios 2 – Números Inteiros
 

Destaque

Mat 140 questoes resolvidas vol i
Mat 140 questoes resolvidas vol iMat 140 questoes resolvidas vol i
Mat 140 questoes resolvidas vol i
trigono_metrico
 
Teorema chinês do resto
Teorema chinês do restoTeorema chinês do resto
Teorema chinês do resto
Universidade Federal de Pernambuco
 
Geometria - Aula 0 primeiro contato com a geometria olímpica
Geometria - Aula 0   primeiro contato com a geometria olímpicaGeometria - Aula 0   primeiro contato com a geometria olímpica
Geometria - Aula 0 primeiro contato com a geometria olímpica
vinicius196
 
Horários 2015/2
Horários 2015/2Horários 2015/2
Horários 2015/2
ufescaenq
 
Formulas para numeros primos 1ed - Eric Campos Bastos Guedes
Formulas para numeros primos 1ed - Eric Campos Bastos GuedesFormulas para numeros primos 1ed - Eric Campos Bastos Guedes
Formulas para numeros primos 1ed - Eric Campos Bastos Guedes
ericnalanhouse2
 
Lista de exercícios 7º ano
Lista de exercícios 7º anoLista de exercícios 7º ano
Lista de exercícios 7º ano
Eduardo Garcia
 
Logaritmos
LogaritmosLogaritmos
Logaritmos
Rodrigues Fonseca
 
Apostila de matrizes determinantes e sistemas 2008
Apostila de matrizes determinantes e sistemas 2008Apostila de matrizes determinantes e sistemas 2008
Apostila de matrizes determinantes e sistemas 2008
Jussileno Souza
 
Relatório de física resistência e resistividade
Relatório de física   resistência e resistividadeRelatório de física   resistência e resistividade
Relatório de física resistência e resistividade
Victor Said
 
Geometria Analítica - Exercícios
Geometria Analítica - ExercíciosGeometria Analítica - Exercícios
Geometria Analítica - Exercícios
Everton Moraes
 
Teoria dos conjuntos 1º ANO - Ensino Médio
Teoria dos conjuntos 1º ANO - Ensino MédioTeoria dos conjuntos 1º ANO - Ensino Médio
Teoria dos conjuntos 1º ANO - Ensino Médio
Rosana Santos Quirino
 
340 questões de raciocínio lógico
340 questões de raciocínio lógico340 questões de raciocínio lógico
340 questões de raciocínio lógico
MARIOJR2013
 
Matemática exercícios resolvidos - 01 m1 geometria métrica plana
Matemática   exercícios resolvidos - 01 m1 geometria métrica planaMatemática   exercícios resolvidos - 01 m1 geometria métrica plana
Matemática exercícios resolvidos - 01 m1 geometria métrica plana
evandrovv
 
Questões de provas e simulados probabilidade e estatística junho 2014
Questões de provas e simulados probabilidade e estatística junho 2014Questões de provas e simulados probabilidade e estatística junho 2014
Questões de provas e simulados probabilidade e estatística junho 2014
Nina Silva
 
Matematica questões resolvidas i
Matematica questões resolvidas iMatematica questões resolvidas i
Matematica questões resolvidas i
con_seguir
 
MATEMATICA .:. FINANCEIRA .:. www.tc58n.wordpress.com
MATEMATICA .:. FINANCEIRA .:. www.tc58n.wordpress.comMATEMATICA .:. FINANCEIRA .:. www.tc58n.wordpress.com
MATEMATICA .:. FINANCEIRA .:. www.tc58n.wordpress.com
Claudio Parra
 

Destaque (16)

Mat 140 questoes resolvidas vol i
Mat 140 questoes resolvidas vol iMat 140 questoes resolvidas vol i
Mat 140 questoes resolvidas vol i
 
Teorema chinês do resto
Teorema chinês do restoTeorema chinês do resto
Teorema chinês do resto
 
Geometria - Aula 0 primeiro contato com a geometria olímpica
Geometria - Aula 0   primeiro contato com a geometria olímpicaGeometria - Aula 0   primeiro contato com a geometria olímpica
Geometria - Aula 0 primeiro contato com a geometria olímpica
 
Horários 2015/2
Horários 2015/2Horários 2015/2
Horários 2015/2
 
Formulas para numeros primos 1ed - Eric Campos Bastos Guedes
Formulas para numeros primos 1ed - Eric Campos Bastos GuedesFormulas para numeros primos 1ed - Eric Campos Bastos Guedes
Formulas para numeros primos 1ed - Eric Campos Bastos Guedes
 
Lista de exercícios 7º ano
Lista de exercícios 7º anoLista de exercícios 7º ano
Lista de exercícios 7º ano
 
Logaritmos
LogaritmosLogaritmos
Logaritmos
 
Apostila de matrizes determinantes e sistemas 2008
Apostila de matrizes determinantes e sistemas 2008Apostila de matrizes determinantes e sistemas 2008
Apostila de matrizes determinantes e sistemas 2008
 
Relatório de física resistência e resistividade
Relatório de física   resistência e resistividadeRelatório de física   resistência e resistividade
Relatório de física resistência e resistividade
 
Geometria Analítica - Exercícios
Geometria Analítica - ExercíciosGeometria Analítica - Exercícios
Geometria Analítica - Exercícios
 
Teoria dos conjuntos 1º ANO - Ensino Médio
Teoria dos conjuntos 1º ANO - Ensino MédioTeoria dos conjuntos 1º ANO - Ensino Médio
Teoria dos conjuntos 1º ANO - Ensino Médio
 
340 questões de raciocínio lógico
340 questões de raciocínio lógico340 questões de raciocínio lógico
340 questões de raciocínio lógico
 
Matemática exercícios resolvidos - 01 m1 geometria métrica plana
Matemática   exercícios resolvidos - 01 m1 geometria métrica planaMatemática   exercícios resolvidos - 01 m1 geometria métrica plana
Matemática exercícios resolvidos - 01 m1 geometria métrica plana
 
Questões de provas e simulados probabilidade e estatística junho 2014
Questões de provas e simulados probabilidade e estatística junho 2014Questões de provas e simulados probabilidade e estatística junho 2014
Questões de provas e simulados probabilidade e estatística junho 2014
 
Matematica questões resolvidas i
Matematica questões resolvidas iMatematica questões resolvidas i
Matematica questões resolvidas i
 
MATEMATICA .:. FINANCEIRA .:. www.tc58n.wordpress.com
MATEMATICA .:. FINANCEIRA .:. www.tc58n.wordpress.comMATEMATICA .:. FINANCEIRA .:. www.tc58n.wordpress.com
MATEMATICA .:. FINANCEIRA .:. www.tc58n.wordpress.com
 

Semelhante a Teoria do números - Classificações especiais

94204719 teoria-dos-numeros
94204719 teoria-dos-numeros94204719 teoria-dos-numeros
94204719 teoria-dos-numeros
John Mark Veronica
 
Matemática – conjuntos numéricos 03 – 2014
Matemática – conjuntos numéricos 03 – 2014Matemática – conjuntos numéricos 03 – 2014
Matemática – conjuntos numéricos 03 – 2014
Jakson Raphael Pereira Barbosa
 
Exercicios resolvidos
Exercicios resolvidosExercicios resolvidos
Exercicios resolvidos
Brunna Vilar
 
57701066 matematica-discreta-exercicios-resolvidos
57701066 matematica-discreta-exercicios-resolvidos57701066 matematica-discreta-exercicios-resolvidos
57701066 matematica-discreta-exercicios-resolvidos
HAROLDO MIRANDA DA COSTA JR
 
Gabarito pa
Gabarito paGabarito pa
Gabarito pa
resolvidos
 
Gerando triângulos pitagóricos
Gerando triângulos pitagóricosGerando triângulos pitagóricos
Gerando triângulos pitagóricos
Sandro de Macedo
 
Binômio de newton
Binômio de newtonBinômio de newton
Binômio de newton
Ariosvaldo Carvalho
 
PDF PA e PG.pptx
PDF PA e PG.pptxPDF PA e PG.pptx
PDF PA e PG.pptx
RonaldoAlves153492
 
Resumo Matemática 3º Ciclo
Resumo Matemática 3º CicloResumo Matemática 3º Ciclo
Resumo Matemática 3º Ciclo
Alexandra Rodrigues
 
Ufba11mat2
Ufba11mat2Ufba11mat2
Progressões
ProgressõesProgressões
Progressões
Romulo Garcia
 
Gabarito 1ª Fase - Nível 3 - 2012
Gabarito 1ª Fase - Nível 3 - 2012Gabarito 1ª Fase - Nível 3 - 2012
Gabarito 1ª Fase - Nível 3 - 2012
oim_matematica
 
22032014
2203201422032014
Lista de exercícios 1
Lista de exercícios 1Lista de exercícios 1
Lista de exercícios 1
Carlos Campani
 
15022014
1502201415022014
Lista de exercícios 1 - Cálculo
Lista de exercícios 1 - CálculoLista de exercícios 1 - Cálculo
Lista de exercícios 1 - Cálculo
Carlos Campani
 
Pa
PaPa
24052014
2405201424052014
Apostila de matematica para concursos
Apostila de matematica para concursosApostila de matematica para concursos
Apostila de matematica para concursos
Salomao Severo da Silva
 
Matematica 2015
Matematica 2015Matematica 2015
Matematica 2015
Eduardo Araujo
 

Semelhante a Teoria do números - Classificações especiais (20)

94204719 teoria-dos-numeros
94204719 teoria-dos-numeros94204719 teoria-dos-numeros
94204719 teoria-dos-numeros
 
Matemática – conjuntos numéricos 03 – 2014
Matemática – conjuntos numéricos 03 – 2014Matemática – conjuntos numéricos 03 – 2014
Matemática – conjuntos numéricos 03 – 2014
 
Exercicios resolvidos
Exercicios resolvidosExercicios resolvidos
Exercicios resolvidos
 
57701066 matematica-discreta-exercicios-resolvidos
57701066 matematica-discreta-exercicios-resolvidos57701066 matematica-discreta-exercicios-resolvidos
57701066 matematica-discreta-exercicios-resolvidos
 
Gabarito pa
Gabarito paGabarito pa
Gabarito pa
 
Gerando triângulos pitagóricos
Gerando triângulos pitagóricosGerando triângulos pitagóricos
Gerando triângulos pitagóricos
 
Binômio de newton
Binômio de newtonBinômio de newton
Binômio de newton
 
PDF PA e PG.pptx
PDF PA e PG.pptxPDF PA e PG.pptx
PDF PA e PG.pptx
 
Resumo Matemática 3º Ciclo
Resumo Matemática 3º CicloResumo Matemática 3º Ciclo
Resumo Matemática 3º Ciclo
 
Ufba11mat2
Ufba11mat2Ufba11mat2
Ufba11mat2
 
Progressões
ProgressõesProgressões
Progressões
 
Gabarito 1ª Fase - Nível 3 - 2012
Gabarito 1ª Fase - Nível 3 - 2012Gabarito 1ª Fase - Nível 3 - 2012
Gabarito 1ª Fase - Nível 3 - 2012
 
22032014
2203201422032014
22032014
 
Lista de exercícios 1
Lista de exercícios 1Lista de exercícios 1
Lista de exercícios 1
 
15022014
1502201415022014
15022014
 
Lista de exercícios 1 - Cálculo
Lista de exercícios 1 - CálculoLista de exercícios 1 - Cálculo
Lista de exercícios 1 - Cálculo
 
Pa
PaPa
Pa
 
24052014
2405201424052014
24052014
 
Apostila de matematica para concursos
Apostila de matematica para concursosApostila de matematica para concursos
Apostila de matematica para concursos
 
Matematica 2015
Matematica 2015Matematica 2015
Matematica 2015
 

Mais de Romulo Garcia

Conjuntos numéricos, mdc e mmc
Conjuntos numéricos, mdc e mmcConjuntos numéricos, mdc e mmc
Conjuntos numéricos, mdc e mmc
Romulo Garcia
 
Problemas envolvendo torneiras e misturas
Problemas envolvendo torneiras e misturasProblemas envolvendo torneiras e misturas
Problemas envolvendo torneiras e misturas
Romulo Garcia
 
Razões e proporções, divisão proporcional, regras de três simples e compostas...
Razões e proporções, divisão proporcional, regras de três simples e compostas...Razões e proporções, divisão proporcional, regras de três simples e compostas...
Razões e proporções, divisão proporcional, regras de três simples e compostas...
Romulo Garcia
 
Lógica (para concursos públicos)
Lógica (para concursos públicos)Lógica (para concursos públicos)
Lógica (para concursos públicos)
Romulo Garcia
 
Raciocínio lógico (para enem e concursos públicos em geral)
Raciocínio lógico (para enem e concursos públicos em geral)Raciocínio lógico (para enem e concursos públicos em geral)
Raciocínio lógico (para enem e concursos públicos em geral)
Romulo Garcia
 
Probabilidade
ProbabilidadeProbabilidade
Probabilidade
Romulo Garcia
 

Mais de Romulo Garcia (6)

Conjuntos numéricos, mdc e mmc
Conjuntos numéricos, mdc e mmcConjuntos numéricos, mdc e mmc
Conjuntos numéricos, mdc e mmc
 
Problemas envolvendo torneiras e misturas
Problemas envolvendo torneiras e misturasProblemas envolvendo torneiras e misturas
Problemas envolvendo torneiras e misturas
 
Razões e proporções, divisão proporcional, regras de três simples e compostas...
Razões e proporções, divisão proporcional, regras de três simples e compostas...Razões e proporções, divisão proporcional, regras de três simples e compostas...
Razões e proporções, divisão proporcional, regras de três simples e compostas...
 
Lógica (para concursos públicos)
Lógica (para concursos públicos)Lógica (para concursos públicos)
Lógica (para concursos públicos)
 
Raciocínio lógico (para enem e concursos públicos em geral)
Raciocínio lógico (para enem e concursos públicos em geral)Raciocínio lógico (para enem e concursos públicos em geral)
Raciocínio lógico (para enem e concursos públicos em geral)
 
Probabilidade
ProbabilidadeProbabilidade
Probabilidade
 

Último

Organograma do Centro Gestor e Operacional do Sistema de Proteção da Amazônia...
Organograma do Centro Gestor e Operacional do Sistema de Proteção da Amazônia...Organograma do Centro Gestor e Operacional do Sistema de Proteção da Amazônia...
Organograma do Centro Gestor e Operacional do Sistema de Proteção da Amazônia...
Falcão Brasil
 
Slide para aplicação da AVAL. FLUÊNCIA.pptx
Slide para aplicação  da AVAL. FLUÊNCIA.pptxSlide para aplicação  da AVAL. FLUÊNCIA.pptx
Slide para aplicação da AVAL. FLUÊNCIA.pptx
LeilaVilasboas
 
Infografia | Presidência húngara do Conselho da UE
Infografia | Presidência húngara do Conselho da UEInfografia | Presidência húngara do Conselho da UE
Infografia | Presidência húngara do Conselho da UE
Centro Jacques Delors
 
Aviação de Asas Rotativas. Aos Rotores, o Sabre!.pdf
Aviação de Asas Rotativas. Aos Rotores, o Sabre!.pdfAviação de Asas Rotativas. Aos Rotores, o Sabre!.pdf
Aviação de Asas Rotativas. Aos Rotores, o Sabre!.pdf
Falcão Brasil
 
Caderno 1 - Módulo Água JMS 2024 (1).pdf
Caderno 1 -  Módulo Água JMS 2024 (1).pdfCaderno 1 -  Módulo Água JMS 2024 (1).pdf
Caderno 1 - Módulo Água JMS 2024 (1).pdf
SupervisoEMAC
 
Temática – Projeto para Empreendedores Locais
Temática – Projeto para Empreendedores LocaisTemática – Projeto para Empreendedores Locais
Temática – Projeto para Empreendedores Locais
Colaborar Educacional
 
reconquista sobre a guerra de ibérica.docx
reconquista sobre a guerra de ibérica.docxreconquista sobre a guerra de ibérica.docx
reconquista sobre a guerra de ibérica.docx
felipescherner
 
Alfabetização de adultos.pdf
Alfabetização de             adultos.pdfAlfabetização de             adultos.pdf
Alfabetização de adultos.pdf
arodatos81
 
Apresentação Institucional do Centro Gestor e Operacional do Sistema de Prote...
Apresentação Institucional do Centro Gestor e Operacional do Sistema de Prote...Apresentação Institucional do Centro Gestor e Operacional do Sistema de Prote...
Apresentação Institucional do Centro Gestor e Operacional do Sistema de Prote...
Falcão Brasil
 
Marinha do Brasil (MB) Politíca Naval.pdf
Marinha do Brasil (MB) Politíca Naval.pdfMarinha do Brasil (MB) Politíca Naval.pdf
Marinha do Brasil (MB) Politíca Naval.pdf
Falcão Brasil
 
Desafio matemático - multiplicação e divisão.
Desafio matemático -  multiplicação e divisão.Desafio matemático -  multiplicação e divisão.
Desafio matemático - multiplicação e divisão.
Mary Alvarenga
 
Manual de Identidade Visual do Centro Gestor e Operacional do Sistema de Prot...
Manual de Identidade Visual do Centro Gestor e Operacional do Sistema de Prot...Manual de Identidade Visual do Centro Gestor e Operacional do Sistema de Prot...
Manual de Identidade Visual do Centro Gestor e Operacional do Sistema de Prot...
Falcão Brasil
 
Slides Lição 2, Betel, A Igreja e a relevância, para a adoração verdadeira no...
Slides Lição 2, Betel, A Igreja e a relevância, para a adoração verdadeira no...Slides Lição 2, Betel, A Igreja e a relevância, para a adoração verdadeira no...
Slides Lição 2, Betel, A Igreja e a relevância, para a adoração verdadeira no...
LuizHenriquedeAlmeid6
 
Guerra de reconquista da Península ibérica
Guerra de reconquista da Península ibéricaGuerra de reconquista da Península ibérica
Guerra de reconquista da Península ibérica
felipescherner
 
Noite Alva! José Ernesto Ferraresso.ppsx
Noite Alva! José Ernesto Ferraresso.ppsxNoite Alva! José Ernesto Ferraresso.ppsx
Noite Alva! José Ernesto Ferraresso.ppsx
Luzia Gabriele
 
EBOOK_HORA DO CONTO_O MONSTRO DAS CORES_ANGELINA & MÓNICA_22_23
EBOOK_HORA DO CONTO_O MONSTRO DAS CORES_ANGELINA & MÓNICA_22_23EBOOK_HORA DO CONTO_O MONSTRO DAS CORES_ANGELINA & MÓNICA_22_23
EBOOK_HORA DO CONTO_O MONSTRO DAS CORES_ANGELINA & MÓNICA_22_23
Sandra Pratas
 
Oceano, Fonte de Vida e Beleza Maria Inês Aroeira Braga.ppsx
Oceano, Fonte de Vida e Beleza Maria Inês Aroeira Braga.ppsxOceano, Fonte de Vida e Beleza Maria Inês Aroeira Braga.ppsx
Oceano, Fonte de Vida e Beleza Maria Inês Aroeira Braga.ppsx
Luzia Gabriele
 
Conhecimento sobre Vestimenta Anti chamas
Conhecimento sobre Vestimenta Anti chamasConhecimento sobre Vestimenta Anti chamas
Conhecimento sobre Vestimenta Anti chamas
edusegtrab
 
EBOOK_HORA DO CONTO_O SONHO DO EVARISTO_RITA E CLÁUDIA_22_23
EBOOK_HORA DO CONTO_O SONHO DO EVARISTO_RITA E CLÁUDIA_22_23EBOOK_HORA DO CONTO_O SONHO DO EVARISTO_RITA E CLÁUDIA_22_23
EBOOK_HORA DO CONTO_O SONHO DO EVARISTO_RITA E CLÁUDIA_22_23
Sandra Pratas
 

Último (20)

Organograma do Centro Gestor e Operacional do Sistema de Proteção da Amazônia...
Organograma do Centro Gestor e Operacional do Sistema de Proteção da Amazônia...Organograma do Centro Gestor e Operacional do Sistema de Proteção da Amazônia...
Organograma do Centro Gestor e Operacional do Sistema de Proteção da Amazônia...
 
Slide para aplicação da AVAL. FLUÊNCIA.pptx
Slide para aplicação  da AVAL. FLUÊNCIA.pptxSlide para aplicação  da AVAL. FLUÊNCIA.pptx
Slide para aplicação da AVAL. FLUÊNCIA.pptx
 
Infografia | Presidência húngara do Conselho da UE
Infografia | Presidência húngara do Conselho da UEInfografia | Presidência húngara do Conselho da UE
Infografia | Presidência húngara do Conselho da UE
 
Aviação de Asas Rotativas. Aos Rotores, o Sabre!.pdf
Aviação de Asas Rotativas. Aos Rotores, o Sabre!.pdfAviação de Asas Rotativas. Aos Rotores, o Sabre!.pdf
Aviação de Asas Rotativas. Aos Rotores, o Sabre!.pdf
 
Caderno 1 - Módulo Água JMS 2024 (1).pdf
Caderno 1 -  Módulo Água JMS 2024 (1).pdfCaderno 1 -  Módulo Água JMS 2024 (1).pdf
Caderno 1 - Módulo Água JMS 2024 (1).pdf
 
Temática – Projeto para Empreendedores Locais
Temática – Projeto para Empreendedores LocaisTemática – Projeto para Empreendedores Locais
Temática – Projeto para Empreendedores Locais
 
reconquista sobre a guerra de ibérica.docx
reconquista sobre a guerra de ibérica.docxreconquista sobre a guerra de ibérica.docx
reconquista sobre a guerra de ibérica.docx
 
Alfabetização de adultos.pdf
Alfabetização de             adultos.pdfAlfabetização de             adultos.pdf
Alfabetização de adultos.pdf
 
Apresentação Institucional do Centro Gestor e Operacional do Sistema de Prote...
Apresentação Institucional do Centro Gestor e Operacional do Sistema de Prote...Apresentação Institucional do Centro Gestor e Operacional do Sistema de Prote...
Apresentação Institucional do Centro Gestor e Operacional do Sistema de Prote...
 
Marinha do Brasil (MB) Politíca Naval.pdf
Marinha do Brasil (MB) Politíca Naval.pdfMarinha do Brasil (MB) Politíca Naval.pdf
Marinha do Brasil (MB) Politíca Naval.pdf
 
Desafio matemático - multiplicação e divisão.
Desafio matemático -  multiplicação e divisão.Desafio matemático -  multiplicação e divisão.
Desafio matemático - multiplicação e divisão.
 
Manual de Identidade Visual do Centro Gestor e Operacional do Sistema de Prot...
Manual de Identidade Visual do Centro Gestor e Operacional do Sistema de Prot...Manual de Identidade Visual do Centro Gestor e Operacional do Sistema de Prot...
Manual de Identidade Visual do Centro Gestor e Operacional do Sistema de Prot...
 
Slides Lição 2, Betel, A Igreja e a relevância, para a adoração verdadeira no...
Slides Lição 2, Betel, A Igreja e a relevância, para a adoração verdadeira no...Slides Lição 2, Betel, A Igreja e a relevância, para a adoração verdadeira no...
Slides Lição 2, Betel, A Igreja e a relevância, para a adoração verdadeira no...
 
TALENTOS DA NOSSA ESCOLA .
TALENTOS DA NOSSA ESCOLA                .TALENTOS DA NOSSA ESCOLA                .
TALENTOS DA NOSSA ESCOLA .
 
Guerra de reconquista da Península ibérica
Guerra de reconquista da Península ibéricaGuerra de reconquista da Península ibérica
Guerra de reconquista da Península ibérica
 
Noite Alva! José Ernesto Ferraresso.ppsx
Noite Alva! José Ernesto Ferraresso.ppsxNoite Alva! José Ernesto Ferraresso.ppsx
Noite Alva! José Ernesto Ferraresso.ppsx
 
EBOOK_HORA DO CONTO_O MONSTRO DAS CORES_ANGELINA & MÓNICA_22_23
EBOOK_HORA DO CONTO_O MONSTRO DAS CORES_ANGELINA & MÓNICA_22_23EBOOK_HORA DO CONTO_O MONSTRO DAS CORES_ANGELINA & MÓNICA_22_23
EBOOK_HORA DO CONTO_O MONSTRO DAS CORES_ANGELINA & MÓNICA_22_23
 
Oceano, Fonte de Vida e Beleza Maria Inês Aroeira Braga.ppsx
Oceano, Fonte de Vida e Beleza Maria Inês Aroeira Braga.ppsxOceano, Fonte de Vida e Beleza Maria Inês Aroeira Braga.ppsx
Oceano, Fonte de Vida e Beleza Maria Inês Aroeira Braga.ppsx
 
Conhecimento sobre Vestimenta Anti chamas
Conhecimento sobre Vestimenta Anti chamasConhecimento sobre Vestimenta Anti chamas
Conhecimento sobre Vestimenta Anti chamas
 
EBOOK_HORA DO CONTO_O SONHO DO EVARISTO_RITA E CLÁUDIA_22_23
EBOOK_HORA DO CONTO_O SONHO DO EVARISTO_RITA E CLÁUDIA_22_23EBOOK_HORA DO CONTO_O SONHO DO EVARISTO_RITA E CLÁUDIA_22_23
EBOOK_HORA DO CONTO_O SONHO DO EVARISTO_RITA E CLÁUDIA_22_23
 

Teoria do números - Classificações especiais

  • 1. matematicaconcursos.blogspot.com Professor: Rômulo Garcia Email: machadogarcia@gmail.com Conteúdo Programático: Teoria dos Números – Exercícios e alguns conceitos importantes Números Perfeitos Um inteiro positivo n diz-se perfeito se e somente se é igual à soma de todos os seus divisores positivos, exceto o divisor trivial n. A soma de todos os divisores positivos de n, com exceção do divisor n, é igual a s(n) – n e, portanto, n é um número perfeito se e somente se a seguinte condição se verifica: n = s(n) – n ou s(n) = 2n. Isto é, um inteiro positivo n é um número perfeito se e somente se a soma de todos os seus divisores positivos é igual ao seu dobro (2n). Assim, por exemplo, para n = 6 e n = 28, temos: s(6) = 1 = 2 + 3 + 6 = 12 = 2.6 e s(28) = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 + 28 = 56 = 2.28 de modo que os inteiros positivos 6 e 28 são ambos números perfeitos. Teorema (de Euclides): Se 2k – 1 é primo (k > 1), então o inteiro positivo n = 2k – 1(2k – 1) é um número perfeito. Teorema (de Euler): Se n é um número perfeito par, então n = 2k – 1(2k – 1) onde 2k – 1 é primo. Exemplo: Mostrar que, se n é número perfeito par, então 8n + 1 é um quadrado perfeito. Solução: Pelo Teorema de Euler, se n é um número perfeito par n = 2k – 1(2k – 1), onde 2k – 1 é primo. 3 k–1 k x = 8n + 1 = 2 [2 (2 – 1)] + 1 = 2 2k + 2 –2 k+2 +1=2 2(k + 1) – 2.2k + 1 + 1 = (2k + 1 – 1)2 Números Multiperfeitos Um inteiro positivo n diz-se um número multiperfeito de ordem k ou um k-número perfeito se e somente se a soma dos divisores naturais de n for um múltiplo de k (k 3),ou seja, s(n) = kn, onde k 3 é um inteiro. Designa-se um número multiperfeito de ordem k por Pk. Assim, por exemplo, o inteiro positivo 30240 = 25.33.5.7 é um número multiperfeito de ordem 4 (ou um número P4), 2 6 1 34 1 5 2 1 7 2 1 pois, temos: s(30240 ) . . . 63 .40.6.8 120960 4.30240 2 1 3 1 5 1 7 1 Teorema (de Descartes) (mencionado em uma carta enviada a Mersenne em 15 novembro de 1638): 1o: Se n é um número P3 e não é divisível por 3, então 3n é um número P4. 2o: Se um número n é divisível por 3 mas não é divisível nem por 5 ou por 9, e se é um número P 3, então 45n é P4. 3o: Se um número n não é divisível por 3 e se 3n é um número P4k, então n é um número P3k. Exemplo 6.17: Mostrar que nenhum inteiro da forma n = 2a.3b é um 3-número perfeito. Solução: Suponhamos, por absurdo, que exista um n = 2a.3b tal que s(n) = 3n = 2a.3b + 1 [(2a + 1 – 1)/(2 – 1)][(3b + 1 – 1)/(3 – 1)] = 2a.3b + 1 (2a + 1 – 1)(3b + 1 – 1) = 2a + 1.3b + 1 obviamente esta expressão não possui resposta., pois a expressão do lado direito da igualdade é estritamente maior que a expressão do lado esquerdo. Números Amigos Dois inteiros positivo m e n dizem-se números amigos se e somente se a soma dos divisores positivos de m, exceto o divisor m, é igual a n, e a soma dos divisores positivos de n, exceto o divisor n, é igual a m. Em outras palavras, dois inteiros positivos m e n dizem-se amigos se e somente se s(m) – m = n e s(n) – n = m ou seja, o que é equivalente a s(m) = m + n = s(n).
  • 2. matematicaconcursos.blogspot.com Exemplo: Mostrar que os inteiros 220 e 284 são números amigos. Solução: 220 = 22.5.11 s(220) – 220 = s(22).s(5).s(11) – 220 = 7.6.12 – 220 = 504 – 220 = 284 284 = 22.71 s(284) – 284 = s(22).s(71) – 284 = 7.72 – 284 = 504 – 284 = 220 Logo, por definição, os inteiros 220 e 284 são números amigos. Números Deficientes e Abundantes Um inteiro positivo n diz-se um número deficiente se e somente se s(n) – n < n ou s(n) < 2n e diz-se um número abundante se e somente se s(n) – n > n ou s(n) > 2n. Assim, por exemplo, os inteiros 15 e 18 são respectivamente um número deficiente ou abundante, pois, temos: s(15) = s(3.5) = s(3).s(5) = 4.6 = 24 < 2.15 s(18) = s(2.32) = s(2).s(32) = 3.13 = 39 > 2.18 Números Pseudoprimos Já sabemos que, pelo Teorema de Fermat, se n é primo então n | 2 n – 2. Números compostos n para os quais n | 2n – 2 são denominados pseudoprimos. Os pseudoprimos 2000 são 341 = 11.31, 561 = 3.11.17, 645 = 3.5.43, 1105 = 5.13.17, 1387 = 19.73, 1729 = 7.13.19, 1905 = 3.5.127. Teorema: “Se n é um número ímpar pseudoprimo, então o número m = 2 n – 1 também é um número ímpar pseudoprimo.” Teorema Simples de Fermat Teorema (de Fermat): “Se p é um primo e se p não divide o inteiro a, então ap – 1 1 (mod. p).” Exemplo: Verificar o Teorema de Fermat com a = 3 e p = 7. Solução: O inteiro 7 é primo e 7 não divide 3. Temos: 37 – 1 = 36 = 729 e como 7 | (729 – 1), segue-se que 729 1 (mod. 7), isto é: 37 – 1 1 (mod. 7) Função e Teorema de Euler Função de Euler é uma função aritmética simbolizada por (n), definida para todo inteiro positivo n de tal modo que (n) é igual ao número de inteiros positivos que não superam n e que são primos com n. Exemplo: Se n = 30, então os inteiros positivos menores que 30 e primos com 30 são 1, 7, 11, 13, 17, 19, 23 e 29, de modo que (30) = 8. Teorema: “Se o inteiro n > 1, então (n) = n – 1 se e somente se n é primo.” Teorema: “Se n p1 1 p k 2 ...p k r é a decomposição canônica do inteiro positivo n > 1, então: k 2 r (n ) k p1 1 k p1 1 1 p k2 p k2 1 ... p k r p kr 1 n 1 1 1 1 ... 1 1 .” 2 2 r r p1 p2 pr Exemplo: Calcular (7865). Solução: Sendo 7865 = 5.112.13, temos: (7865) = (5 – 1)(112 – 11)(13 – 1) = 4.110.12 = 5280. (n ) Teorema (de Euler): “Se n é um inteiro positivo e se o mdc (a, n) = 1, então a 1 (mod. n).”
  • 3. matematicaconcursos.blogspot.com Exemplo: Determine os dois últimos dígitos de 3121. Solução: I) (100) = (100)(1 – 1/2)(1 – 1/5) = (10)(4) = 40 II) Pelo Teorema de Euler: 3 (100) 1 (mod. 100) 340 1 (mod. 100) 3120 1 (mod. 100) 120 121 (3 ).3 3 (mod. 100) 3 3 (mod. 100) III) Ou seja, os dois últimos dígitos (dezenas e unidades) de 3121 são 03 Exemplo: Quais os possíveis resultados para os restos quando n 100 é dividido por 125, quando n assume todos os valores inteiros positivos. Solução: I) Se n = 5k 125 | n100 resto = 0 II) Se mdc (n, 125) = 1 temos que (125) = (53) = 53(1 – 1/5) (125) = 100 Assim, pelo Teorema de Euler, n100 1 (mod. 125) resto = 1 1) Resolver a equação y3 – x3 = 91, para x e y inteiros. 2) Prove que N 5125 1 é um número composto. 5 25 1 3) Determine (com prova) todos os pares de inteiros (x, y) satisfazendo a equação: 1 + 1996x + 1998y = xy 4) Sejam a, b, c, d, e, números naturais consecutivos tais que a + b + c + d + e é um cubo perfeito e b + c + d é um quadrado perfeito. Achar o mínimo valor possível de c. 5) Iniciando de um certo inteiro positivo, é permitido fazer apenas uma operação: o dígito das unidades é separado e multiplicado por 4, e então este valor é somado ao restante do número. Por exemplo, o número 1997 é transformado para 7.4 + 199 = 227. A operação é feita repetidamente. Prove que se a seqüência de números obtida contem 1001, então nenhum dos números na seqüência pode ser um número primo. 6) Qual é o maior divisor primo de 216 – 16? a) 7 b) 11 c) 13 d) 17 e) 23 7) O menor inteiro positivo x para os quais 1260x = N3, onde N é um inteiro, é: a) 1050 b) 1260 c) 7350 d) 44100 e) nda 8) Assuma que x2 – y2 = 63, com x, y N. Quantos valores distintos de x2 + y2 podem ser obtidos? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) nenhum dos anteriores 9) O menor número primo que divide 311 + 512 é: a) 2 b) 3 c) 5
  • 4. matematicaconcursos.blogspot.com d) 311 + 512 e) nda 10) Determine o maior natural n para o qual existe uma reordenação (a, b, c, d) de (3, 6, 9, 12) (isto é, {a, b, c, d} = {3, n 6, 9, 12}) tal que o número 3a 6b9c12 d seja inteiro. Justifique sua resposta. 11) Determine o produto entre o mdc e o mmc de {12, 24, 72, 120, 288} a) 8640 b) 17280 c) 34560 d) 11520 e) nda 12) Determinar a quantidade de pares de números naturais (a, b) que verificam simultaneamente as seguintes duas condições: o máximo divisor comum entre a e b é igual ao produto dos 5 primeiros números naturais; o mínimo múltiplo comum entre a e b é igual ao produto dos 15 primeiros números naturais. Ou seja, mdc (a, b) = 1.2.3.4.5 e mmc (a, b) = 1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15. 13) Achar o inteiro positivo da forma 2.15m.7n e que admite 36 divisores positivos. 14) Um número natural N que é múltiplo de 83 é tal que N2 possui 63 divisores. Calcular N, sabendo que é o menor número possível que cumpre tais condições. 15) Determine todos os inteiros positivos n que possuem exatamente 16 divisores inteiros positivos d1, d2, …, d16 tais que 1 = d1 < d2 < … < d16 = n, d6 = 18 e d9 – d8 = 17. 16) Determinar todos os números inteiros n tais que (n + 98)/(n + 19) é um número inteiro. 17) Quantas soluções inteiras e positivas possui a equação 2x + 3y = 1997? 18) Assuma que m e n são inteiros tais que 5m + 6n = 100. Então, o maior valor possível de m.n é: a) 60 b) 70 c) 80 d) 90 e) nda 19) Determinar o menor inteiro positivo que dividido por 8 e por 15 deixa os restos 6 e 13, respectivamente. 20) Exprimir 100 como soma de dois inteiros positivos de modo que o primeiro seja divisível por 7 e o segundo seja divisível por 11. 21) Determinar as duas menores frações positivas que tenham 13 e 17 para denominadores e cuja soma seja igual a 305/221. 22) Demonstrar que, se a e b são inteiros positivos primos entre si, então a equação diofantina ax – by = c tem um número infinito de soluções inteiras e positivas. 23) Um rapaz recebeu R$ 100,00 da sua mãe para comprar alguns itens A, preço R$ 13,00 alguns B, preço R$ 7,00 e outros C, preço R$ 18,00, em um supermercado, mas esqueceu a quantidade exata de cada item, lembrando-se apenas que não haveria troco. Encontre a probabilidade de que acerte o pedido de sua mãe. Encontre o menor inteiro positivo a para o qual a equação 1001x + 770y = 106 + a tem solução inteira. Neste caso, quantas soluções inteiras positivas (x > 0 e y > 0) existem? 24) Uma das soluções inteiras e positivas da equação 19x + 97y = 1997 é, evidentemente, (x0,y0) = (100,1). Além desse, há apenas mais um par de números inteiros e positivos, (x1, y1), satisfazendo a equação. O valor de x1 + y1 é:
  • 5. matematicaconcursos.blogspot.com a) 23 b) 52 c) 54 d) 101 e) 1997 25) Quantos são os pares (x, y) de inteiros positivos que satisfazem a equação 2x + 3y = 101 ? a) 13 b) 14 c) 15 d) 16 e) 17 26) Quantos pares de inteiros (n, k) possuem a propriedade que 1 = 3n + 5k? a) 0 b) 7 c) 8 d) 15 e) infinitos 27) Se x e y são inteiros positivos tais que 13x + 4y = 1000, então x + y vale: a) 10 b) 12 c) 14 d) 16 e) 18 28) Demonstrar que 270 + 370 é divisível por 13. 29) Mostre que 22225555 + 55552222 é divisível por 7. 30) Mostrar que 1110 1 (mod. 100) 31) Determine o dígito das centenas de 21999 + 22000 + 22001. 32) Mostre que o número N 760 1998 201998 1910 1998 652 1998 é divisível por 1998. 9 14 33) Achar os dois últimos algarismos de 9 9 e de 14 14 . 34) Achar o algarismo das unidades de 7355. 35) Calcular o resto da divisão por 8 de 436543 x 793767. 36) Achar o resto da divisão de (1237156 + 34)28 por 111. 37) Determine os três últimos dígitos de 79999. 38) Demostrar que para todo n natural verifica-se: 32n 2 2 6n 1 0 (mod. 11). 39) Prove que 3636 + 4141 é divisível por 77. 40) Prove que 2015 – 1 é divisível por 11.31.61. 41) Prove que: a) 1919 + 6969 é divisível por 44; b) 270 + 370 é divisível por 13.
  • 6. matematicaconcursos.blogspot.com 42) Prove que o número 55k + 1 + 45k + 2 + 35k é divisível por 11, para todo número natural k. 43) Prove que se um inteiro n é primo com 10, a 101a potência de n termina com os mesmo 3 dígitos de n. Por exemplo, 1233101 termina com os dígitos 233, e 37101 termina com os dígitos 037. 44) Prove que 21997.1996 – 1 é divisível por 19972. 45) Prove que 2147 – 1 é divisível por 343. 46) Prove que para todo inteiro n, n30 – n14 – n18 + n2 é divisível por 46410. 47) Mostrar que 2340 1 (mod. 341) 48) Se n é inteiro não divisível por 5, demonstre que ao dividir n 4 – 1991 por 5, o resto é zero. 49) Mostrar: a) 561 | (2561 – 2); b) 561 | (3561 – 3). 50) Usando o Teorema de Fermat, achar o algarismo das unidades de 3 100. 51) Achar o algarismo das unidades de 7355. 52) Achar o resto quando 314162 é dividido por 163. 53) Mostre que 1981 | (441980 – 441776) 54) Qual é o resto quando 13 + 23 + 33 + 43 + … + 19903 é dividido por 7? 55) Calcule o resto da divisão de 22002 por 101. 56) Determine o resto das divisões de: a) 41234 por 3 b) 20100 por 17 c) 2000.22000 – 1 por 3 57) Entre o resto da divisão de 520 por 26. 58) Mostre que (8355 + 6)18 – 1 é divisível por 112. 59) Encontre os dois últimos dígitos de: a) 71000 b) 22000 c) 5600 + 19200 d) 72000 . 2300 60) Prove que, para todo n natural, 37n + 2 + 16n + 1 + 23n é divisível por 7.
  • 7. matematicaconcursos.blogspot.com Solução de várias questões: 1) Análise inicial: Podemos decompor y3 – x3 da forma: y3 – x3 = (y – x)(y2 + xy + x2) = 91 = 7.13 Como y2 + xy + x2 é uma equação de segundo grau em y, que possui < 0, então y2 + xy + x2 > 0 Assim, podemos ter as seguintes situações: (y – x) (y2 + xy + x2) = 1 91 91 91 1 91 13 7 91 7 13 91 Assim, analisando cada situação: 1) y – x = 1 y2 + xy + x2 = 91 (y – x)2 + 3xy = 91 1 + 3xy = 91 xy = 30 e y = x + 1 x = 5 e y = 6 ou x = – 6 e y = – 5 2) y – x = 91 y2 + xy + x2 = 1 xy = – 2760 e y = x + 91 não existem inteiros x e y 3) y – x = 7 y2 + xy + x2 = 13 xy = – 12 e y = x + 7 x = – 3 e y = 4 ou x = – 4 e y = 3 4) y – x = 13 y2 + xy + x2 = 7 xy = – 53 e y = x + 13 não existem inteiros x e y 2) Inicialmente notemos que fazendo x = 525 temos N x 5 1 = x4 + x3 + x2 + x + 1. x 1 Então: N = x4 + x3 + x2 + x + 1 N = (x2 + 3x + 1)2 – 5x(x + 1)2 [( x 2 3x 1) 5x (x 1)][( x 2 3x 1) 5x (x 1)] . Como x = 5 temos: N = [(5 + 3.5 + 1) – 5 (5 + 1)][(550 + 3.525 + 1) + 513(525 + 1)], ou seja, N é a multiplicação 25 50 25 13 25 de dois inteiros maiores que 1, implicando que N é composto. 3) Podemos escrever a equação da seguinte forma: xy – 1996x – 1998y = 1 (x – 1996)(y – 1998) – 1996.1998 = 1 (x – 1996)(x – 1998) = 1 + 1996.1998 (x – 1996)(x – 1998) = 1 + (1997 – 1)(1997 + 1) = 1 + 19972 – 1 (x – 1996)(x – 1998) = 19972 Assim temos as possibilidades: i) x – 1996 = 1997 e y – 1998 = 1997 x = 3993 e y = 3995 ii) x – 1996 = – 1997 e y – 1998 = – 1997 x=–1 e y=1 2 iii) x – 1996 = 1997 e y – 1998 = 1 x = 19972 – 1996 e y = 1999 2 iv) x – 1996 = – 1997 e y – 1998 = – 1 x = 1996 – 19972 e y = 1997 v) x – 1996 = 1 e y – 1998 = 19972 x = 1997 e y = 19972 + 1998 vi) x – 1996 = – 1 e y – 1998 = – 1997 2 x = 1996 e y = 1998 – 19972 4) Podemos escrever os números da seguinte forma: c – 2, c – 1, c, c + 1, c + 2 Assim, temos que a + b + c + d + e = 5c = x3 e b + c + d = 3c = y2 3x3 = 5y2 5|x e 3|y 2 3 2 x = 5x1 e y = 3y1 5 x1 = 3y1 3 | x1 e 5 | y1 x1 = 3x2 e y1 = 5y2 32x23 = y22 x2 = 1 e y2 = 3 x1 = 3 e y1 = 15 x = 15 e y = 45 Como 5c = x3 5c = 33.53 c = 33.52 5) Se n = 10a + b, sendo b é dígito das unidades, então a operação transforma n para n’ = a + 4b. Notemos que 10n’ = 10a + 40b = (10a + b) + 39b n = 10n’ – 39b n = 10.n’ – 3.13.b. Assim, se n é divisível por 13 então n’ é divisível por 13, reciprocamente, se n’ é divisível por 13, n também é divisível por 13. Desta forma, se a seqüência contem 1001 = 13.77, então todo termo da seqüência deve ser divisível por 13.
  • 8. matematicaconcursos.blogspot.com Ou seja, se existe um número primo na seqüência, então este número deve ser 13. Note que o número 13 não pode vir antes de 1001 porque a operação transforma 13 para 4.3 + 1 = 13, implicando que todo termo subsequente de 13 na seqüência é igual a 13. Por outro lado, 13 não pode vir depois de 1001 pois a operação transforma 1001 para 4.1 + 100 = 104, e depois 4.4 + 10 = 26, e depois 4.6 + 2 = 26, e assim todo termo depois de 26 é igual a 26. Concluímos, portanto, que se a seqüência contem 1001, então não contem 13, implicando que não existe nenhum número primo na seqüência. 10) Temos: 3a 6 b 9c 12 d 2b 2d 3a b 2c d . Para (a, b, c, d) dados, o maior n possível é mdc{b 2d, a b 2c d} b 2d. Note que b + 2d é máximo (com b e d elementos distintos de {3, 6, 9, 12}) quando d = 12 e b = 9. Neste caso, b + 2d = 33, e a + b + 2c + d = 21 + a + 2c. Tomando a = 6 e c = 3, temos também a + b + 2c + d = 33, que é obviamente o maior valor possível para n, obtido para (a, b, c, d) = (6, 9, 3, 12). 13) Sendo x = 2.3m.5m.7n temos que d(x) = 2.(m + 1)2(n + 1) Como d(x)= 36 (m + 1)2(n + 1) = 2.32 m=2 e n=1 x = 2.152.7 x = 210 14) Como d(n2) = 63 = (8 + 1)(6 + 1) = (20 + 1)(2 + 1) = (62 + 1) = (2 + 1)(2 + 1)(6 + 1), podemos ter as seguintes possibilidades: n2 = (83)6.28 ou n2 = (83)2.(2)20 ou n2 = (83)62 ou n2 = 26.32.832 Assim, o menor valor de n é n = 23.3.83 15) I) d(n) = 16 = 24 = (1 + 1)4 = (3 + 1).(3 + 1) = (3 + 1)(1 + 1)(1 + 1) Assim o números n pode ser das formas: i) n = a.b.c.d, com a, b, c e d primos. Entretanto, d6 = 18 = 2.32, implicando que 32 divide n, que é impossível para esta caso. ii) n = a3.b3, a e b primos, a > b. Como um divisor é d6 = 2.32, temos que a = 2 e b = 3, implicando que n = 23.33 = 216: Conferindo os divisores temos: a1 = 1, a2 = 2, a3 = 3, a4 = 4, a5 = 6, a6 = 8 que é impossível. iii) n = a3.b.c, com a, b e c primos: Como um divisor é d6 = 2.32, temos que a = 3 e b = 2. Assim, temos n = 2.33.c Escrevendo os divisores de n temos: 1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54, c, 2c, 3c, 6c, 9c, 18c, 27c, 54c Notemos que para 18 ser o d6, então c deve ser maior que 18, e primo com 2 e 3. I) 19 c 26: 1, 2, 3, 6, 9, 18, c, 27, 2c, 54, 3c, 6c, 9c, 18c, 27c, 54c Assim, d9 – d8 = 17 2c – 27 = 17 2c = 44 c = 22, impossível pois 22 é múltiplo de 2. II) 28 c 53: 1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, c, 54, 2c, 3c, 6c, 9c, 18c, 27c, 54c Assim, d9 – d8 = 17 54 – c = 17 c = 37 n = 2.33.37 n = 1998. III) c 55: 1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54, c, 2c, 3c, 6c, 9c, 18c, 27c, 54c Assim, d9 – d8 = 17 c – 54 = 17 c = 71 n = 2.33.71 n = 3834. 16) Como (n + 98)/(n + 19) = 1 + 79/(n + 19) então este valor vai ser inteiro se n + 19 dividir 79, que vai acontecer ara os casos: i) n + 19 = 79 n = 60 ii) n + 19 = – 79 n = 98 iii) n + 19 = 1 n = – 18 iv) n + 19 = – 1 n=– 20 17) Seja a equação diofantina 2x + 3y = 1997. Como d = mdc (2, 3) = 1 d | 1997 existe solução para a equação diofantina. Como x0 = 1000 e y0 = – 1 é uma solução, pois (2)(1000) + (3)(– 1) = 2000 – 3 = 1997, então todas as soluções são dadas por: x = x0 + (b/d)t y = y0 – (a/d)t x = 1000 + 3t y = – 1 – 2t Assim, y será positivo somente para valores negativos de t t – 1.
  • 9. matematicaconcursos.blogspot.com Desta forma: 1000 + 3t > 0 3t > – 1000 t – 333. Assim, temos: – 333 t – 1, que corresponde a 333 soluções inteiras e positivas. 18) Como mdc (5, 6) = 1, e m0 = 20 e n0 = 0 é uma solução, temos que todas as soluções são dadas por: m = 20 + 6t e n = – 5t Assim, m.n = (20 + 6t)(– 5t) m.n = – 30t2 – 100t 30t2 + 100t + m.n = 0 m.nmax = – (10000)/(4(– 30)) m.nmax = 83,33333 que não é inteiro, mais já dá uma dica do maior valor inteiro de m.n, pois m.n 83. Para que t seja inteiro, devemos ter o discriminante igual a um quadrado perfeito: 1002 – 120mn = x2 1002 – x2 = 120mn (100 – x)(100 + x) = 120mn Podemos ter x = 20 120mnmax = 10000 – 400 = 9600 mnmax = 80 Conferindo: 30t2 + 100t + 80 = 0 3t2 + 10t + 8 = 0 (3t + 4)(t + 2) = 0 t = – 2. 28) I) 26 = 64 = 65 – 1 = 5.13 – 1 26 – 1 (mod. 13) (26)11 (– 1)11 (mod. 13) 266 – 1 (mod. 13) (266)24 (– 1)24 (mod. 13) 270 – 16 (mod. 13) 270 – 3 (mod. 13) 3 3 II) 3 = 27 = 26 + 1 = 2.13 + 1 3 1 (mod. 13) (33)23 (1)23 (mod. 13) 369 1 (mod. 13) (369)3 1.3 (mod. 13) 370 3 (mod. 13) III) Somando as duas congruências temos 270 + 370 – 3 + 3 (mod. 13) 270 + 370 0 (mod. 13) Outra solução: 22 + 32 0 (mod. 13) 22 – 32 (mod. 13) (22)35 (– 32)35 (mod. 13) 70 2 70 – 3 (mod. 13) 70 2 +3 70 0 (mod. 13) 29) I) 2222 3 (mod. 7) 22225555 35555 (mod. 7) 33 – 1 (mod. 7) (33)1851 (– 1)1851 (mod. 7) 35553 – 1 (mod. 7) 35553.32 (– 1).32 (mod. 7) 35555 – 9 (mod. 7) 22225555 – 9 (mod. 7) 2222 2222 3 3 740 II) 5555 4 (mod. 7) 5555 4 (mod. 7) 4 1 (mod. 7) (4 ) (1)740 (mod. 7) 42220 1 (mod. 7) 42220.42 1.42 (mod. 7) 42222 16 (mod. 7) 55552222 16 (mod. 7) 5555 2222 Somando as duas congruências: 2222 + 5555 – 9 +16 (mod. 7) 22225555 + 55552222 7 (mod. 7) Ou seja, 7 | 22225555 + 55552222 30) 1110 – 1 = (11 – 1)(119 + 118 + 117 + ... + 112 + 11 + 1) 1110 – 1 = 10.(119 + 118 + 117 + ... + 112 + 11 + 1) 9 8 7 2 Basta provar que (11 + 11 + 11 + ... + 11 + 11 + 1) é divisível por 10. 11 1 (mod. 10) 1 11 112 113 114 ... 118 119 1 (mod. 10) Somando temos: 119 + 118 + 117 + ... + 112 + 11 + 1 1 + 1 + 1 + ... + 1 (mod. 10) 119 + 118 + 117 + ... + 112 + 11 + 1 10 (mod. 10) 119 + 118 + 117 + ... + 112 + 11 + 1 0 (mod. 10) 31) Notemos que 21999 + 22000 + 22001 = 21999(1 + 2 + 4) = 21999.7 210 = 1024 210 24 (mod. 100) 220 76 (mod. 100) (220)99 (76)99 (mod. 100) 21980 76 (mod. 100) (210)(21980) (24)(76) (mod. 100) 21990 24 (mod. 100) (29)(21990) (512)(24) (mod. 100) 1999 1999 2 88 (mod. 100) 2 .7 16 (mod. 100) Desde modo concluímos que os dois últimos dígitos de 2 1999.7 são 16. Como 21999.7 é divisível por 8, e um número é divisível por 8 se e somente se o número formado pelos seus três últimos algarismos é divisível por 8, os últimos 3 dígitos de 21999.7 podem ser 216, 416, 616 ou 816, ou seja, o algarismo das centenas é par. 32) Notemos inicialmente que 1998 = 2.33.37 760 – 20 = 740 = 22.5.37 760 20 (mod. 2.37) 7601998 201998 (mod. 2.37) 7601998 – 201998 0 (mod. 2.37) 1910 – 652 = 1258 = 2.17.37 1910 652 (mod. 2.37) 19101998 6521998 (mod. 2.37) 1998 1910 – 6521998 0 (mod. 2.37) Assim: 7601998 – 201998 + 19101998 – 6521998 0 (mod. 2.37) 2.37 | 7601998 – 201998 + 19101998 – 6521998 2 3 760 – 652 = 108 = 2 .3 760 652 (mod. 3 )3 760 1998 6521998 (mod. 33) 7601998 – 6521998 0 (mod. 33)
  • 10. matematicaconcursos.blogspot.com 1910 – 20 = 1890 = 2.33.5.7 1910 20 (mod. 33) 19101998 201998 (mod. 33) 19101998 – 201998 0 (mod. 33) Assim: 7601998 – 201998 + 19101998 – 6521998 0 (mod. 33) 33 | 7601998 – 201998 + 19101998 – 6521998 Como 2.37 | 7601998 – 201998 + 19101998 – 6521998 e 33 | 7601998 – 201998 + 19101998 – 6521998 2.33.37 | 7601998 – 201998 + 19101998 – 6521998 1998 | 7601998 – 201998 + 19101998 – 6521998 43) Se mdc (n, 10) = 1 podemos aplicar o Teorema de Euler: (1000) = 400 n400 1 (mod. 1000) n400 – 1 = 1000k (n200 – 1)(n200 + 1) = 1000k 200 100 100 (n + 1)(n – 1)(n + 1) = 1000k (10) = 4 n4 1 (mod. 10) n200 1 (mod. 10) n200 + 1 2 (mod. 10) Analogamente: n 100 1 (mod. 10) n100 + 1 2 (mod. 10) Desde que (n + 1)(n – 1)(n + 1) = 1000k e n 100 + 1 e n 200 + 1 não são divisíveis por 1000, temos que n 100 – 1 200 100 100 é divisível por 1000. Deste modo n100 – 1 0 (mod. 1000) n100 1 (mod. 100) n101 n (mod. 1000) n101 termina com os mesmos 3 dígitos de n. 44) Como mdc (2, 19972) = 1 podemos aplicar o Teorema de Euler. Desde que (19972) = 19972(1 – 1/997) = 1996.1997 2 (n) 1 (mod. n) 21996.1997 1 (mod. 19972) 46) Notemos inicialmente que X = n 30 – n14 – n18 + n2 = n2(n12 – 1)(n16 – 1) e que 46410 = 2.3.5.7.13.17. É suficiente mostrar que p divide n30 – n14 – n18 + n2 para p = 2, 3, 5, 7, 13 e 17. Como n2 ou n12 – 1 é par, então 2 | X. (1) Se p divide n, a conclusão é direta, para p = 2, 3, 5, 7, 13 ou 17. Se mdc (n, p) = 1, pelo Teorema de Fermat temos que np – 1 1 (mod. p). Assim: n12 1 (mod. 13) e n16 1 (mod. 17) 13.17 | (n12 – 1)(n16 – 1) 13.17 | X (2) Como n – n – n + n = n (n – 1)(n – 1) = n (n – 1)(n6 + 1)(n4 – 1)(n4 + 1)(n8 + 1). 30 14 18 2 2 12 16 2 6 Analogamente, sendo mdc (n, p) = 1, temos pelo Teorema de Fermat: n6 1 (mod. 7) e n4 1 (mod. 5) Deste modo 5.7 | (n4 – 1)(n6 – 1) 5.7 | X (3) Finalmente, notemos que n – n – n + n2 = n2(n12 – 1)(n16 – 1) = n2(n3 – 1)(n3 + 1)(n6 + 1)(n4 – 1)(n4 + 1)(n8 + 1). 30 14 18 Pelo Teorema de Fermat n 2 1 (mod. 3) 3 | (n2 – 1) 3 | X (4) De (1), (2), (3) e (4) concluímos que 2.3.5.7.13.17 | n – n – n18 + n2. 30 14 47) Notemos que: 341 = 11.31 e 210 = 1024 = 31.33 + 1 = 11.93 + 1, o que implica: 210 1 (mod. 31) e 210 1 (mod. 11) 231 = 2(210)3 2.13 2 (mod. 11) Os inteiros 11 e 31 são primos, de modo que, pelo teorema acima temos: 211.31 2 (mod. 11.31) ou 2341 2 (mod. 341), ou seja, cancelando o fator comum 2: 2340 1 (mod. 341) 48) Como mdc (n, 5) = 1, pelo Teorema de Fermat temos que n 4 1 (mod. 5) (1) Como 1991 1 (mod. 5) – 1991 – 1 (mod. 5) (2) 4 Somando (1) e (2) temos que n – 1991 0 (mod. 5)