5. nic~ao 1 (Defini¸c˜ao de limite). Sejam A ⊂ R um conjunto de n´umeros reais, f de
A em R uma fun¸c˜ao real cujo dom´ınio ´e A e a ∈ A′ um ponto de acumula¸c˜ao do conjunto
A. Definimos
lim
x→a
f(x) = L
sse
∀ 0; ∃ 0|x ∈ A; 0 |x − a| ⇒ |f(x) − L| :
Dizemos que L ´e o limite de f quando x tende para a ou que limite de f(x) com x
tendendo para a ´e L.
0 |x − a| significa que x ∈ (a − ; a) ∪ (a; a + ), ou x ∈ (a − ; a + ); x̸= a:
Pela defini¸c˜ao dada, n˜ao ´e necess´ario que a ∈ A em lim
x→a
f(x), precisamos apenas que
a ∈ A′; isto ´e, todo intervalo (a−; a+) possua pontos de A distintos de a. A fun¸c˜ao f
pode mesmo n˜ao estar definida em a e quando est´a definida em a, n˜ao vale necessariamente
lim
x→a
f(x) = f(a):
Quando falarmos de limites usaremos sempre que a ∈ A′ onde A ´e o dom´ınio da fun¸c˜ao
da qual queremos estudar lim
x→a
f(x):
3
6. CAPITULO 1. LIMITE DE FUNC ~ OES 4
b Propriedade 1 (Unicidade do limite). Sejam A ⊂ R, f de A em R. Se lim
x→a
f(x) = L1
e lim
f(x) = L2 ent˜ao L1 = L2:
ê Demonstrac~ao. ∀ 0 existem (1; 2)( 0) tais que para x ∈ A vale 0
x→a
|x−a| 1 implica |f(x)−L1|
2
e 0 |x−a| 2 implica |f(x)−L2|
2
, usando a
desigualdade triangular para = min{1; 2} segue |L1−L2| ≤ |L1−f(x)|+|f(x)−L2|
o que significa que L1 = L2:
b Propriedade 2 (Limite da fun¸cao ˜constante). Se g(x) = c para todo x ∈ A entao
˜lim
g(x) = c:
x→a
ê Demonstrac~ao. Tem-se que g(x)−c = 0 logo |g(x)−c| = 0 ∀x ∈ A ent˜ao ∀ 0
∃ 0| x ∈ A, 0 |x − a| ⇒ |g(x) − c| = 0 :
Z Exemplo 1. Seja f : R∗ → R dada por f(x) = x⌊ 1
x
⌋ ent˜ao f(x) = 0 para x 1,
pois 0
1
x
1 e da´ı ⌊ 1
x
⌋ = 0, isso implica que
lim
x→∞
x⌊ 1
x
⌋ = 0:
b Propriedade 3 (Limite da fun¸c˜ao identidade). Seja g : A → R dada por g(x) = x
ent˜ao vale
lim
x→a
g(x) = a:
Lembrando que a n˜ao necessariamente pertence ao conjunto A, ent˜ao a princ´ıpio n˜ao
tem-se g(a) = a:
ê Demonstrac~ao. Tomamos = e da´ı Para 0 |x − a| tem-se |g(x) − a| =
|x − a| = :
ZExemplo 2. Dada uma fun¸c˜ao r : R → R tal que lim
h→0
r(h)
h
= 0 pode n˜ao vale que
lim
h→0
r(h)
h2 = 0, por exemplo, r(h) = h2, tem-se
r(h)
h
= h e
r(h)
h2 = 1:
1.1.1 Limite e sequ^encias
⋆ Teorema 1 (Crit´erio de sequˆencias para limite). lim
x→a
f(x) = L ⇔ lim
n→∞
f(xn) = L
para toda sequˆencia de pontos xn ∈ A {a} tal que lim xn = a:
7. CAPITULO 1. LIMITE DE FUNC ~ OES 5
ê Demonstrac~ao. ⇒.Suponhamos que lim
x→a
f(x) = L e lim xn = a com xn ∈ A{a}.
Pela defini¸c˜ao de limite tem-se que ∀ 0 ,∃ 0 tal que
0 |x − a| ; x ∈ A ⇒ |f(x) − L|
e pelo limite da sequˆencia ∀1 0; ∃n0 ∈ N|n n0 ⇒ 0 |xn−a| 1, como ´e garantida
a rela¸c˜ao para qualquer 1 0, tomamos 1 = de onde segue 0 |xn − a| , usando
essa desigualdade com a defini¸c˜ao do limite de f(x) segue |f(xn) − L| que implica
lim f(xn) = L:
⇐ Agora para provar a rec´ıproca, vamos usar a contrapositiva que ´e
lim
x→a
f(x)̸= L ⇒ lim f(xn)̸= L:
∃ 0 tal que ∀n ∈ N podemos obter xn ∈ A com 0 |xn − a|
1
n
e |f(xn) − L)| ≥ :
Ent˜ao xn → a; mas n˜ao se tem lim f(xn) = L:
$Corolario 1 (Crit´erio de divergˆencia por sequˆencias). Dadas duas sequˆencias (xn); (yn) ∈
A {a} com lim xn = lim yn = a ent˜ao se lim f(xn)̸= lim f(yn) ou um deles n˜ao existir,
ent˜ao lim
x→a
f(x) n˜ao existe.
ZExemplo 3. Sejam f : gR → R definidas como
ˆ f(x) = 0 se x ∈ R Q, f(x) = x se x ∈ Q:
ˆ g(0) = 1 e g(x) = 0 se x̸= 0:
Nessas condi¸c˜oes vale lim
x→0
f(x) = lim
x→0
g(x) = 0 e n˜ao existe lim
x→0
g(f(x)):
Vale lim
x→0
f(x) = 0, pois tomamos = ent˜ao par 0 |x| vale |f(x)| = ,
tanto para x irracional, pois no caso vale |f(x)| = 0 , tanto no caso de x racional pois
nesse caso vale |f(x)| = |x| = , ent˜ao em qualquer desses casos temos |f(x)| :
Tamb´em vale que lim
x→0
g(x) = 0, pois tomando = , 0 |x| implica x n˜ao nulo,
portanto g(x) = 0 e da´ı |g(x)| = 0 = :
N˜ao existe lim
x→0
g(f(x)):
Seja xn → 0 por valores racionais, ent˜ao f(xn) = xn e da´ı lim g(f(xn)) = lim g(xn) = 0.
Tomando yn → 0 por valores irracionais temos f(yn) = 0 e lim g(f(yn)) = lim g(0) = 1;
8. CAPITULO 1. LIMITE DE FUNC ~ OES 6
logo n˜ao pode existir lim
x→0
g(f(x)), pois o limite depende de como se aproxima de zero
(usamos o crit´erio de divergˆencia por meio de sequˆencias).
b Propriedade 4. Se ∀(xn) em A {a} com lim xn = a implicar (f(xn)) convergente
ent˜ao lim
x→a
f(x) existe.
ê Demonstrac~ao. Usaremos que lim
x→a
f(x) = L ⇔ ∀ (zn) ∈ A {a} com lim zn = a
vale lim f(zn) = L: Por isso vamos tomar duas sequˆencias arbitr´arias (xn) e (yn) com
lim xn = lim yn = a em A {a} e vamos mostrar que lim f(xn) = lim f(yn): Tomamos
(zn) definida como z2n = xn e z2n−1 = yn, da´ı lim zn = a, portanto lim f(zn) existe, como
(f(xn)) e (f(yn)) s˜ao subsequˆencias de (f(zn)) entao ˜elas convergem para o mesmo limite
L, da´ı provamos que ∀ (zn) ∈ A {a} com lim zn = a vale lim f(zn) = L que implica
lim
f(x) = L.
x→a
b Propriedade 5. Seja f : A → R; a ∈ A′, B = f(A {a}): Se lim
x→a
f(x) = L ent˜ao
L ∈ B:
Tal propriedade significa que o limite L pertence ao fecho da imagem f(A {a}), isto
´e, existem pontos de f(A {a}) arbitrariamente pr´oximos de L.
ê Demonstrac~ao. Usaremos o crit´erio de sequˆencias. Como lim
x→a
f(x) = L, ent˜ao
existe sequˆencia (xn) em A {a} tal que lim f(xn) = L, da´ı tome f(xn) = yn; (yn) ´e uma
sequˆencia em f(A {a}) tal que lim yn = L, portanto L ∈ B:
ZExemplo 4. lim
x→0
sen(
1
x
) n˜ao existe.
Tomamos as sequˆencias xn =
1
2n
e yn =
1
2n +
2
vale lim xn = 0 = lim yn e
sen(
1
xn
) = sen(2n) = 0 e sen(2n+
2
) = 1 logo os limites s˜ao distintos ent˜ao lim
x→0
sen(
1
x
)
n˜ao existe.
Em geral, existe t ∈ R tal que sen(t) = v ∈ [−1; 1], tomando xn =
1
t + 2n
vale
lim xn = 0 e sen(
1
xn
) = sen(t + 2n) = sen(t) = v:
ZExemplo 5. lim
x→0
1
x
n˜ao existe, pois se existisse seria um n´umero real a e tomando
a sequˆencia xn =
1
n
, ter´ıamos que ter lim n = a o que n˜ao acontece, pois vale lim n = ∞:
9. CAPITULO 1. LIMITE DE FUNC ~ OES 7
ZExemplo 6. lim
x→a
⌊x⌋ n˜ao existe se a ∈ Z:
Tomamos as sequˆencias que convergem para a, xn = a − 1
n + 1
e yn = a +
1
n + 1
, da´ı
⌊xn⌋ = a − 1 e ⌊yn⌋ = a, logo essas sequˆencias n˜ao tem o mesmo limite, implicando que
n˜ao existe lim
x→a
⌊x⌋.
Z Exemplo 7. Seja f : R {0} dada por f(x) =
|x|
x
, ent˜ao lim
x→0
|x|
x
n˜ao existe. Se
x 0 ent˜ao
|x|
x
=
x
x
= 1 se x 0,
|x|
x
=
−x
x
= −1, tomamos uma sequˆencia xn =
1
n
da´ı
f(xn) = 1 e tomando yn =
−1
n
tem-se f(yn) = −1, os limites s˜ao distintos, logo lim
x→0
|x|
x
n˜ao existe.
ZExemplo 8. Se a n˜ao ´e inteiro, ent˜ao lim
⌊x⌋ = ⌊a⌋:
x→a
Dado a n˜ao inteiro, tem-se que a ∈ (m;m+1) onde m ´e inteiro, logo podemos escolher
0 tal que (a − ; a + ) ⊂ (m;m + 1) e da´ı para esses valores, vale ⌊x⌋ = m = ⌊a⌋,
implicando que ⌊x⌋ − ⌊a⌋ para qualquer 0:
b Propriedade 6. (ver isso depois) Sejam f; gA → R: Se g(x) ´e limitada numa vizi-nhan
¸ca de a e lim
x→a
f(x) = 0 ent˜ao lim
x→a
f(x):g(x) = 0:
ê Demonstrac~ao. Tomamos uma sequˆencia (xn) em A tal que lim xn = a, temos
que (g(xn)) ´e limitada e lim f(xn) = 0, logo lim f(xn)g(xn) = 0, por propriedade de
sequˆencias, como a sequˆencia (xn) ´e arbitr´aria, segue que lim
x→a
f(x):g(x) = 0:
ZExemplo 9. lim
x→0
x⌊ 1
x
⌋ = 1 pois escrevemos
1
x
= ⌊ 1
x
⌋ + { 1
x
} da´ı
x⌊ 1
x
⌋ = 1 − x{ 1
x
}
como { 1
x
} ´e limitada, segue que lim
x→0
x⌊ 1
x
⌋ = 1:
1.2 Propriedades aritmeticas dos limites
b Propriedade 7 (Limite da soma). Se lim
x→a
f(x) = L e lim
x→a
g(x) = M ent˜ao lim
x→a
f(x)+
g(x) = L +M:
10. CAPITULO 1. LIMITE DE FUNC ~ OES 8
ê Demonstrac~ao. Tomamos uma sequˆencia (xn) em A com lim xn = a, da´ı temos
lim f(xn) = L e lim g(xn) = M, e por propriedade de limite de sequˆencias lim f(xn) +
g(xn) = L +M, pela arbitrariedade da sequˆencia (xn) conclu´ımos que lim
x→a
f(x) + g(x) =
L +M:
b Propriedade 8. Se lim
x→a
fk(x) = Lk ent˜ao
lim
x→a
Σn
k=1
fk(x) =
Σn
k=1
Lk:
ê Demonstrac~ao.
b Propriedade 9 (Limite do quociente). Se lim
x→a
f(x) = L e lim
x→a
g(x) = M̸= 0 ent˜ao
lim
x→a
f(x)
g(x)
=
L
M
:
ê Demonstrac~ao. Tomamos uma sequˆencia (xn) em A com lim xn = a, da´ı temos
lim f(xn) = L e lim g(xn) = M, e por propriedade de limite de sequˆencias
lim
f(xn)
g(xn)
=
L
M
pela arbitrariedade da sequˆencia (xn) conclu´ımos que lim
x→a
f(x)
g(x)
=
L
M
:
b Propriedade 10 (Limite do produto). Se lim
x→a
f(x) = L e lim
x→a
g(x) = M̸= 0 ent˜ao
lim
x→a
f(x)g(x) = L:M
ê Demonstrac~ao. Tomamos uma sequˆencia (xn) em A com lim xn = a, da´ı temos
lim f(xn) = L e lim g(xn) = M, e por propriedade de limite de sequˆencias
lim f(xn)g(xn) = LM
pela arbitrariedade da sequˆencia (xn) conclu´ımos que lim
x→a
f(x)g(x) = L:M
b Propriedade 11. Se lim
x→a
fk(x) = Lk ent˜ao
lim
x→a
Πn
k=1
fk(x) =
Πn
k=1
Lk:
$ Corolario 2. Se p ∈ N, f : A → R dada por f(x) = xp ent˜ao
lim
x→a
xp = ap:
11. CAPITULO 1. LIMITE DE FUNC ~ OES 9
$ Corolario 3. Se f : A → R ´e polinomial f(x) =
Σn
k=0
akxk ent˜ao
lim
x→c
Σn
k=0
akxk =
Σn
k=0
akck:
ê Demonstrac~ao.
1.2.1 Func~ao de Dirichlet
m De
12. nic~ao 2 (Fun¸c˜ao de Dirichlet). ´E
a fun¸c˜ao g : R → R definida como
g(x) =
=∈
1 se x ∈ Q
0 se x Q
b Propriedade 12. Para qualquer a ∈ R n˜ao existe lim
x→a
g(x):
ê Demonstrac~ao. Como Q e R Q s˜ao ambos densos em R, podemos tomar uma
sequˆencia de racionais (xn) que converge para a e da´ı g(xn) = 1, ent˜ao lim g(xn) = 1,
por´em tomando uma sequˆencia (yn) de irracionais tais que lim(yn) = a, temos g(yn) = 0
e lim g(yn) = 0, como os limites s˜ao diferentes segue que lim
x→a
g(x) n˜ao existe.
1.2.2 Limite da composic~ao de func~oes
⋆ Teorema 2 (Limite da composi¸c˜ao de fun¸c˜oes). Sejam A;B ⊂ R, f de A em R e g
de B em R com f(A) ⊂ B. Se lim
x→a
f(x) = b e lim
y→b
g(y) = c ainda com c = g(b), tem-se
lim
x→a
g(f(x)) = c:
ê Demonstrac~ao. Da existˆencia do limite de g(x) temos que para todo 0
existe 1 0 tal que y ∈ B, |y − b| 1 ⇒ |g(y) − c| , onde tiramos a restri¸c˜ao
de y̸= b, pois no caso y = b a propriedade vale. Agora usando a existˆencia do limite
de f tomando 1 como f , para f, temos que para 1 existe 2 0 tal que x ∈ A,
0 |x − a| 2 ⇒ |f(x) − b| 1 como f(x) ∈ B, podemos tomar y = f(x) de onde do
primeiro limite que |g(f(x)) − c| implicando que lim
x→a
g(f(x)) = c:
Se x̸= a implicar f(x)̸= b ainda teremos a propriedade pois , repetindo o argumento
com pequenas altera¸c˜oes:
13. CAPITULO 1. LIMITE DE FUNC ~ OES 10
Da existˆencia do limite de g(x) temos que para todo 0 existe 1 0 tal que y ∈ B,
0 |y − b| 1 ⇒ |g(y) − c| , onde agora mantemos a restri¸c˜ao de y̸= b. Usando a
existˆencia do limite de f tomando 1 como f , para f, temos que para 1 existe 2 0
tal que x ∈ A, 0 |x − a| 2 ⇒ 0 |f(x) − b| 1 ( aqui usamos que x̸= a implica
f(x)̸= b) como f(x) ∈ B, podemos tomar y = f(x) de onde do primeiro limite que
|g(f(x)) − c| implicando que lim
x→a
g(f(x)) = c:
ZExemplo 10. Nesse exemplo mostramos que ´e necess´ario supor g(b) = c. Suponha
que g(x) = x; ∀x̸= 1 e g(1) = 0: Temos que
lim
x→1
g(x) = 1̸= g(1) = 0:
Tomando f(x) = 1; ∀x, segue que
lim
x→a
f(x) = 1;
por´em
lim
x→a
g(f(x)) = lim
x→a
g(1) = 0̸= lim
x→1
g(x) = 1:
1.3 Limites e desigualdades
1.3.1 Teorema do sanduche
⋆ Teorema 3 (Teorema do sandu´ıche). Sejam f; g; h de A em R, a ∈ A′ e lim
x→a
f(x) =
lim
x→a
g(x) = L. Se f(x) ≤ h(x) ≤ g(x) para todo x ∈ A {a} ent˜ao lim
x→a
h(x) = L:
ê Demonstrac~ao. ∀ 0 ∃(1; 2)( 0) tais que x ∈ A;
0 |x − a| 1 ⇒ L − f(x) L +
e
0 |x − a| 2 ⇒ L − g(x) L +
, tomando = min{1; 2} tem-se L − f(x) ≤ h(x) ≤ g(x) L +
que implica lim
x→a
h(x) = L:
14. CAPITULO 1. LIMITE DE FUNC ~ OES 11
b Propriedade 13. Sejam f; g de A em R, a ∈ A′,se lim
x→a
f(x) = L e lim
x→a
g(x) = M com
M L ent˜ao existe 0 tal que g(x) f(x) para todo x ∈ A com 0 |x − a| :
ê Demonstrac~ao. Pela defini¸c˜ao de limite temos ∀ 0, ∃1 0 tal que x ∈ A ,
0 |x−a| 1 implica f(x) ∈ (L−;L+) e o mesmo para g(x) , ∃2 0 tal que x ∈ A
, 0 |x − a| 2 implica g(x) ∈ (M − ;M + ), podemos tentar tomar M − = L + ,
M − L
com isso
2
= , como M L tal cumpre a condi¸c˜ao 0, tomando =
M − L
2
e = min{1; 2} tem-se f(x) L − = M − g(x), isto ´e, f(x) g(x) para x ∈ A,
0 |x − a| :
$ Corolario 4. Se lim
x→a
f(x) = L M ent˜ao existe 0 tal que f(x) M para todo
x ∈ A com 0 |x − a| :
Tome g(x) = M para todo x ∈ A, assim lim
x→a
g(x) = M e aplicamos a propriedade
anterior.
$ Corolario 5. Sejam lim
x→a
f(x) = L e lim
x→a
g(x) = M. Se g(x) ≥ f(x) para todo
x ∈ A − {a} ent˜ao M ≥ L:
Pois se fosse L M, existiria 0 tal que f(x) g(x) para 0 |x − a| o que
entra em contradi¸c˜ao com g(x) ≥ f(x):
$ Corolario 6 (Conserva¸c˜ao de sinal). Se lim
x→a
g(x) = M 0 ent˜ao existe 0 tal que
g(x) 0 para todo x ∈ A com 0 |x−a| , tomamos f(x) = 0 e usamos a propriedade
j´a demonstrada.
b Propriedade 14 (Existˆencia de limite e limita¸c˜ao da fun¸c˜ao). Sejam X ⊂ R, f :
X → R, a ∈ X′: Se existe lim
x→a
f(x) ent˜ao f ´e limitada numa vizinhan¸ca de a, isto ´e,
existem A 0, 0 tais que 0 |x − a| , x ∈ X ⇒ |f(x)| A:
Seja L = lim
x→a
f(x) e = 1 na defini¸c˜ao de limite, ent˜ao existe
0|x ∈ X; 0 |x − a| ⇒ |f(x) − L| 1
L − 1 f(x) L + 1 multiplicando por −1 segue e invertendo as desigualdades tem-se
−L − 1 −f(x) −L + 1
15. CAPITULO 1. LIMITE DE FUNC ~ OES 12
como temos L ≤ |L| e −L ≤ |L| segue L + 1 ≤ |L| + 1 e −L + 1 ≤ |L| + 1 e
−f(x) ≤ |L| + 1; f(x) ≤ |L| + 1 ⇒ |f(x)| ≤ |L| + 1
tomando A = |L| + 1 segue a propriedade.
1.3.2 Criterio de Cauchy para limites
b Propriedade 15. lim
x→a
f(x) existe sse
∀ 0 ∃ 0 |0 |x − a| ; 0 |y − a| ⇒ |f(x) − f(y)| :
ê Demonstrac~ao. Se lim
x→a
f(x) = L ent˜ao
∀ 0; ∃ 0 | x; y ∈ A; |x − a| ; |y − a| ⇒ |f(x) − b|
2
; |f(y) − b|
2
tomando a desigualdade triangular segue
|f(x) − f(y)| ≤ |f(y) − b| + |f(x) − b|
2
+
2
=
logo nessas condi¸c˜oes |f(x) − f(y)| :
Para toda sequˆencia de pontos (xn) em A com lim xn = a, com as condi¸c˜oes dadas a
sequˆencia (f(xn)) ´e de Cauchy em R como R ´e completo ela converge o que implica que
existe o limite lim
x→a
f(x):
1.4 Limites laterais
m De
16. nic~ao 3 (Limite `a direita). Seja a ponto de acumula¸c˜ao `a direita de A, isto ´e,
∀ 0 vale A ∩ (a; a + )̸= ∅ ent˜ao
lim
x→a+
f(x) = L ⇔ ∀ 0 ∃ 0; x ∈ A; 0 x − a ⇒ |f(x) − L| :
Podemos escrever 0 x − a como a x a + :
m De
17. nic~ao 4 (Limite `a esquerda). Seja a ponto de acumula¸c˜ao `a esquerda de A; isto
´e,∀ 0 vale A ∩ (a − ; a)̸= ∅ ent˜ao
lim
x→a− f(x) = L ⇔ ∀ 0 ∃ 0; x ∈ A; 0 a − x ⇒ |f(x) − L| :
18. CAPITULO 1. LIMITE DE FUNC ~ OES 13
Podemos denotar os limites laterais como
lim
x→a− f(x) = f(a−)
lim
x→a+
f(x) = f(a+):
b Propriedade 16. Sejam X ⊂ R; f : X → R, a ∈ X
′
+: Tomando Y = X ∩ (a;+∞) e
g = f|Y ent˜ao
lim
x→a+
f(x) = L ⇔ lim
x→a
g(x) = L:
ê Demonstrac~ao. Se x ∈ Y temos x ∈ (a;+∞), de onde segue a x; 0 x − a:
Se lim
x→a+
f(x) = L ⇒
∀ 0; ∃ 0 | x ∈ X; 0 x − a ⇒ f(x) ∈ (L − ; L + )
de x ∈ X e 0 x − a, implica x ∈ Y e nesse intervalo g = f logo f(x) ∈ (L − ;L + )
que implica lim
x→a
g(x) = L:
Se lim
x→a
g(x) = L ent˜ao
∀ 0; ∃ 0 | x ∈ Y; 0 x − a ⇒ |g(x) − L|
mas em Y , g = f ent˜ao |f(x) − L| que implica lim
x→a+
f(x) = L:
b Propriedade 17. Seja A ⊂ R, f : A → R e a ∈ A
′
+
′
− ent˜ao lim
∩ A
x→a
f(x) = L sse
existem e s˜ao iguais os limites laterais
lim
x→a+
x→a− f(x)
f(x) = L = lim
ê Demonstrac~ao. Se lim
x→a+
x→a− f(x) ent˜ao ∀ 0; ∃(1; 2)( 0) tais
f(x) = L = lim
que x ∈ X ∩(a; a+1) implica |f(x)−L| e x ∈ X ∩(a−2; a) implica |f(x)−L| .
Tomando = min{1; 2} ent˜ao x ∈ (a − ; a) ∪ (a; a + ) implica |f(x) − L| e
lim
f(x) = L. Falta a outra parte.
x→a
b Propriedade 18. Sejam A ⊂ R, f : A → R uma fun¸c˜ao mon´otona limitada, a ∈ A′
+
e b ∈ A′
−: Ent˜ao existem os limites laterais
lim
x→a+
f(x) = L; lim
x→b− f(x) = M:
19. CAPITULO 1. LIMITE DE FUNC ~ OES 14
ê Demonstrac~ao. Seja B = inf{f(x); x ∈ A; x a}, tal conjunto ´e n˜ao vazio pois a
´e ponto de acumula¸c˜ao `a direita e limitado inferiormente , pois f ´e limitada inferiormente,
logo ele possui ´ınfimo L . L+ n˜ao ´e cota inferior de B , logo existe 0 tal que a+ ∈ A
e vale L ≤ f(a + ) L + , como f ´e n˜ao-decrescente tem-se com a x a + que
L ≤ f(x) f(a + ) L + da´ı lim
x→a+
f(x) = L.
ZExemplo 11. Vale lim
x→a+
⌊x⌋ = a e lim
x→a−
⌊x⌋ = a − 1 logo n˜ao existe o limite lim
⌊x⌋
x→a
se a ´e inteiro. Podemos tomar 1 com a x a + a + 1 e nesse intervalo vale
⌊x⌋ = a logo lim
x→a+
⌊x⌋ = a, da mesma maneira tem-se a − 1 a − x a, logo nesse
intervalo vale ⌊x⌋ = a − 1 de onde tem-se lim
x→a−
⌊x⌋ = a − 1 .
b Propriedade 19. lim
x→a+
x→a− f(x) = L) ⇔ ∀(xn) em A decrescente (cres-cente)
f(x) = L ( lim
com lim xn = a tem-se lim f(xn) = L:
ê Demonstrac~ao. Vale que lim
x→a+
f(x) = L ⇔ lim
x→a
g(x) = L onde g : B → R onde
B = A ∩ (a;∞): Por´em lim
x→a
g(x) = L ⇔ ∀(xn) em B com lim xn = a vale lim g(xn) = L:
Vamos ent˜ao provar a propriedade.
⇒): Se lim
x→a+
f(x) = L ent˜ao lim
x→a
g(x) = L que implica ∀(xn) em B com lim xn = a
vale lim g(xn) = L, em especial para as sequˆencias (xn) que sejam decrescentes.
⇐): Vamos usar a contrapositiva que ´e se lim
x→a
g(x)̸= L ent˜ao existe (xn) em A decres-cente
com lim xn = a tal que lim g(xn)̸= L: Supondo que temos lim
x→a
g(x)̸= L ent˜ao existe
sequˆencia (yn) em B com lim yn = a tal que lim g(yn)̸= L, como (yn) ∈ (a; a + ) ∩ A,
podemos tomar (xn) subsequˆencia de (yn) tal que lim xn = a e lim g(xn)̸= L (pois as
subsequˆencias devem convergir para o mesmo valor das sequˆencias), assim fica provado o
resultado.
ZExemplo 12. Tomamos f : R {0} → 1
R definida como f(x) =
1 + a
1
x
com a 1,
vamos analisar os limites laterais lim
x→0+
f(x) e lim
x→0− f(x):
Seja (xn) em R {0} tal que lim xn = 0 ent˜ao vale lim a
1
xn = ∞, pois como lim xn = 0
podemos tomar c 0 tal que ac M 0 arbitr´ario e 0 xn0
1
c
1 da´ı axn0 a
1
c ⇒
M ac a
1
xn0 e como xn ´e decrescente para n0 n vale xn xn0 portanto axn axn0 ⇒
M a
1
xn0 a
1
xn logo lim a
1
xn = ∞ de onde segue que lim f(xn) = lim
1
1 + a
1
xn
= 0 que
por sua vez implica lim
x→0+
f(x) = 0:
20. CAPITULO 1. LIMITE DE FUNC ~ OES 15
Admitimos agora (yn) crescente em R {0} tal que lim yn = 0: a
1
yn =
1
a
1
−yn
, como
yn+1 yn segue que −yn −yn+1, (−yn) ´e decrescente e tende a zero logo pelo resultado
1
1
anterior lim a
−yn = ∞ ⇒ lim a
yn = lim
1
a
1
−yn
= 0, portanto lim 1+a
1
yn = 1 e lim f(xn) =
lim
1
1 + a
1
xn
= 1 da´ı vale lim
x→0− f(x) = 1:
b Propriedade 20. Seja f : A → R mon´otona. Se existe (xn) em A com xn a,
lim xn = a e lim f(xn) = L ent˜ao lim
x→a+
f(x) = L:
ê Demonstrac~ao. Suponha f n˜ao decrescente, vamos mostrar que
B = {f(x); x ∈ R; x a}
´e um conjunto limitado inferiormente. Dado x arbitr´ario e fixo tal que x a existe xn a
que satisfaz x xn a, pois lim xn = a, f n˜ao decrescente implica f(x) ≥ f(xn), como
(f(xn)) ´e convergente, vale que tal sequˆencia ´e limitada inferiormente, portanto existe M
tal que f(xn) M ∀n ∈ N da´ı f(x) ≥ f(xn) M para f(x) ∈ B arbitr´ario, logo B ´e
limitado inferiormente. Por B ser limitado inferiormente ele possui ´ınfimo .
Seja L′ = inf B = inf{f(x); x ∈ R; x a}, vale que lim
x→a
f(x) = L′ (resultado j´a
demonstrado), disso segue pelo crit´erio de sequˆencias para limite lateral que lim f(xn) =
L′ = L, pela unicidade de limite, portanto lim
x→a
f(x) = L:
ZExemplo 13. Seja f : R{0} dada por f(x) = sen(
1
x
)
1
1 + 2
1
x
. Determine o conjunto
dos pontos L tais que lim f(xn) = L, com lim xn = 0; xn̸= 0:
Tomando o m´odulo da express˜ao
28. =
1
1 + 2
1
x
1
pois 0 2
1
x , da´ı n˜ao podemos ter limites dessa express˜ao fora do intervalo [−1; 1], vamos
mostrar que temos limites em cada ponto desse intervalo .
Existe −t ∈ R tal que sen(−t) = v ∈ [−1; 1]:, Tomando xn =
−1
t + 2n
vale sen(
1
xn
) =
sen(−t) = v, al´em disso (xn) ´e decrescente com lim xn = 0, portanto vale lim f(xn) =
v
lim
1 + 2
1
xn
= v, pois o limite no denominador resulta em 1 (limite j´a calculado).
33. nic~ao 5. Seja A ⊂ R ilimitado superiormente e f : A → R, dizemos que
lim
x→∞
f(x) = L ⇔ ∀ 0 ∃A 0; x A ⇒ |f(x) − L| :
Tal defini¸c˜ao abrange a defini¸c˜ao para limite de sequˆencias, que ´e tomada como o caso
A = N:
m De
34. nic~ao 6. lim
x→∞
f(x) = ∞ ⇔
∀A 0; ∃B 0 | x B ⇒ f(x) A:
b Propriedade 21. Se lim
x→∞
f(x) = ∞ ent˜ao lim
x→∞
1
f(x)
= 0:
ê Demonstrac~ao. Pela primeira propriedade temos ∀B 0; ∃A 0 | x A ⇒
f(x) B ent˜ao a fun¸c˜ao assume apenas valores positivos a partir de certo valor de x, se
f(x) 0 ent˜ao 0
1
f(x)
1
f(x)
1
B
=
logo vale lim
x→∞
1
f(x)
= 0:
ZExemplo 14. Pode acontecer de lim
x→∞
1
f(x)
= 0 por´em lim
x→∞
f(x)̸= ∞, como o caso
de f(x) = −x vale
lim
x→∞
1
−x
= 0
e
lim
x→∞
−x = −∞:
m De
35. nic~ao 7. lim
x→∞
f(x) = −∞ ⇔
∀A 0; ∃B 0 | x B ⇒ f(x) −A:
36. CAPITULO 1. LIMITE DE FUNC ~ OES 17
b Propriedade 22. Seja f : B → R limitada superiormente e n˜ao-decrescente, B
ilimitado superiormente ent˜ao
lim
x→∞
f(x) = sup{f(x); x ∈ B}:
ê Demonstrac~ao.
f ´e limitada superiormente logo existe sup{f(x); x ∈ B} = L. Como L ´e o supremo,
dado 0, existe xA ∈ B tal que f(xA) ∈ (L − ;L], como f ´e n˜ao-decrescente temos
para x xA, L ≥ f(x) ≥ f(xA), logo f(x) ∈ (L − ;L] o que implica
lim
x→∞
f(x) = L:
b Propriedade 23 (Limite da soma). Sejam g; f definidas em B ⊂ R ilimitado. Se
lim
f(x) = L1 e lim
g(x) = L2 ent˜ao
x→∞
x→∞
lim
x→∞
f(x) + g(x) = L1 + L2:
ê Demonstrac~ao. Dado 0 arbitr´ario existe A1 0 tal que x ∈ B; x A1
implica |f(x) − L1| e existe A2 0 tal que x ∈ B; x A2 implica |f(x) − L1|
2
|g(x)−L2|
2
pela existˆencia de lim
x→∞
f(x) = L1 e lim
x→∞
g(x) = L2, tomando A A1+A2
valem ambas propriedades descritas e da´ı temos por desigualdade triangular
|f(x) + g(x) − (L1 + L2)| ≤ |f(x) − L1| + |g(x) − L2|
2
+
2
= :
1.5.2 De
44. nic~ao 11. Dizemos que lim
x→a+
f(x) = ∞ quando
∀A 0; ∃ 0 | 0 x − a ⇒ f(x) A:
m De
45. nic~ao 12. Dizemos que lim
x→a− f(x) = ∞ quando
∀A 0; ∃ 0 | 0 a − x ⇒ f(x) A:
m De
46. nic~ao 13. Dizemos que lim
x→a
f(x) = ∞ quando
∀A 0; ∃ 0 | 0 |x − a| ⇒ f(x) A:
Negar que lim
x→a
f(x) = ∞ significa dizer
∃A 0; ∀ 0 | ∃x ∈ A com 0 |x − a| e f(x) A:
b Propriedade 24. Se lim
x→a
f(x) = ∞ e lim
x→a
g(x) = ∞ ent˜ao
lim
x→a
(f(x) + g(x)) = ∞:
Intuitivamente, temos que se f(x) e g(x) assumem valores arbitrariamente grandes
com x pr´oximo de a, ent˜ao f(x) + g(x) tamb´em assume valor arbitrariamente grande
nessas condi¸c˜oes. Por isso dizemos que ∞ + ∞ n˜ao ´e uma forma indeterminada, ela ´e
determinada com valor ∞:
ê Demonstrac~ao. Seja A 0 arbitr´ario , temos por condi¸c˜oes de que lim
x→a
f(x) = ∞
e lim
x→a
g(x) = ∞ , existem 1 0 e 2 0 tais que
0 |x − a| 1 ⇒ f(x) A;
0 |x − a| 2 ⇒ g(x) A;
tomando ent˜ao = min{1; 2} segue que tanto f(x) A e g(x) A para |x − a|
, por isso tamb´em temos f(x) + g(x) 2A A com |x − a| e da´ı segue que
lim
(f(x) + g(x)) = ∞ , por defini¸cao ˜de limite infinito .
x→a
47. CAPITULO 1. LIMITE DE FUNC ~ OES 19
b Propriedade 25. Se lim
x→a
f(x) = ∞ e g(x) c 0 numa vizinhan¸ca de a ent˜ao
lim
x→a
f(x):g(x) = ∞:
ê Demonstrac~ao. Para todo A 0 existe 0 tal que x ∈ (a − ; a + ) implica
g(x) c e f(x)
A
c
, da´ı g(x):f (x) A o que implica lim
x→a
f(x):g(x) = ∞:
ZExemplo 15.
lim
x→0
1
x2 (2 + sen(
1
x
)) = ∞
pois o limite da primeira fun¸c˜ao ´e infinito e a segunda fun¸c˜ao ´e limitada inferiormente
por 1 .
1.5.4 De
50. nic~ao 14. Dizemos que lim
x→a+
f(x) = −∞ quando
∀A 0; ∃ 0 | 0 x − a ⇒ f(x) −A:
m De
51. nic~ao 15. Dizemos que lim
x→a− f(x) = −∞ quando
∀A 0; ∃ 0 | 0 a − x ⇒ f(x) −A:
m De
52. nic~ao 16. Dizemos que lim
x→a
f(x) = −∞ quando
∀A 0; ∃ 0 | 0 |x − a| ⇒ f(x) −A:
$ Corolario 7. Se lim
x→a
f(x) = ∞ ent˜ao f ´e ilimitada numa vizinhan¸ca de a. Pois para
qualquer A 0 que escolhermos, ir´a existir 0 tal que |x − a| implique f(x) A,
logo f n˜ao ´e limitada.
$ Corolario 8. Se lim
x→a
f(x) = −∞ ent˜ao f ´e ilimitada numa vizinhan¸ca de a. Pois para
qualquer A 0 que escolhermos, ir´a existir 0 tal que |x−a| implique f(x) −A,
logo f n˜ao ´e limitada.
b Propriedade 26 (Unicidade do limite). Se lim
x→a
f(x) = ∞ ent˜ao n˜ao acontece de
lim
x→a
f(x) = L para algum L real ou lim
x→a
f(x) = −∞:
53. CAPITULO 1. LIMITE DE FUNC ~ OES 20
ê Demonstrac~ao. Se lim
x→a
f(x) = L ent˜ao f seria limitada numa vizinhan¸ca de a,
o que n˜ao pode acontecer. Se lim
x→a
f(x) = −∞ ent˜ao existiria 0 tal que |x − a|
implicaria f(x) −A e por lim
x→a
f(x) = ∞ implicaria existir 1 0 tal que |x − a| 1
implica f(x) A, tomando 2 min{; 1} ter´ıamos que ter f(x) A e f(x) −A, logo
f(x) 0 e f(x) 0 o que ´e absurdo.
1.5.5 Criterio de comparac~ao
bPropriedade 27 (Crit´erio de compara¸c˜ao). Se g(x) ≥ f(x) numa vizinhan¸ca qualquer
de a, ent˜ao lim
x→a
f(x) = ∞ implica lim
x→a
g(x) = ∞, isto ´e, se a fun¸c˜ao ”menor”tende ao
infinito a ”maior”tamb´em tende ao infinito.
ê Demonstrac~ao. Existe 0 tal que x ∈ A; |x − a| implica g(x) ≥ f(x),
como lim
x→a
f(x) = ∞ ent˜ao para todo A 0 existe 1 0 tal que |x − a| 1 implica
f(x) A, tomando 2 min{1; } tem-se que g(x) ≥ f(x) e f(x) A da´ı g(x) A o
que implica lim
x→a
g(x) = ∞:
$ Corolario 9. Se lim
x→a
f(x) existe e lim
x→a
g(x) = ∞ ent˜ao g(x) f(x) numa vizinhan¸ca
de a, pois f ´e limitada valendo f(x) ≥ |f(x)| A e g ´e ilimitada numa vizinhan¸ca de a
valendo g(x) A f(x):
Z Exemplo 16. lim
x→0
1
|x| = ∞ pois para qualquer A 0 tomando =
1
A
tem-se de
0 |x|
1
A
que A
1
|x| logo lim
x→0
1
|x| = ∞.
ZExemplo 17. Tomando −1 x 1; x̸= 0 tem-se 0 |x| 1 e da´ı |x|2 |x|, isto
´e, x2 |x| logo
1
x2
1
|x| isso implica que lim
x→0
1
x2 = 0 pelo crit´erio de compara¸c˜ao.
b Propriedade 28 (Teorema do sandu´ıche). Se vale f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) para x sufici-entemente
grande, se lim
x→∞
f(x) = lim
x→∞
h(x) = L ent˜ao lim
x→∞
g(x) = L:
ê Demonstrac~ao. Existem A1;A2 0 tais que para x A1 vale
L − ≤ f(x) ≤ L +
para x A2 vale
L − ≤ g(x) ≤ L +
54. CAPITULO 1. LIMITE DE FUNC ~ OES 21
e para x A3 vale f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) , tomando B A1 + A2 + A3 e x B segue que
L − ≤ f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) ≤ L +
que implica lim
x→∞
g(x) = L.
1.5.6 lim
x→a
f(x) = ∞ e sequ^encias.
b Propriedade 29. lim
x→a
f(x) = ∞ sse lim f(xn) = ∞ com xn ∈ B {a} e lim xn = a:
ê Demonstrac~ao. ⇒. Do limite da fun¸c˜ao tem-se ∀A 0; ∃ 0 tal que
0 |x−a| implica f(x) A, do limite da sequˆencia temos que existe n0 ∈ N tal que
n n0 implica |xn − a| e da´ı f(xn) A que significa lim f(xn) = ∞:
⇐. Usaremos a contrapositiva. Existe A 0 tal que podemos construir uma sequˆencia
xn que satisfaz 0 |xn − a|
1
n
e f(xn) A, da´ı lim xn = a e lim f(xn)̸= ∞:
b Propriedade 30. Seja P : R → R com P(x) =
Σn
k=0
akxk com an̸= 0; n ≥ 1. Se n ´e
par ent˜ao lim
x→∞
P(x) = lim
x→−∞
P(x) sendo ∞ se an 0 e −∞ se an 0. Se n ´e ´ımpar ent˜ao
lim
x→∞
P(x) = ∞ e lim
x→−∞
P(x) = −∞ com an 0 e lim
x→∞
P(x) = −∞ e lim
x→−∞
P(x) = ∞ se
an 0.
ê Demonstrac~ao. Escrevemos P(x) = anxn
→1 z }| {
Σn−1
(
k=0
ak
anxn−k
| {z }
→0
+1). Se n ´e par lim
x→∞
xnan =
∞ = lim
x→−∞
xnan com an 0 e lim
x→∞
xnan = −∞ = lim
x→−∞
xnan se an 0; portanto o mesmo
segue para P(x).
Se n ´e ´ımpar, lim
x→∞
xnan = ∞ e lim
x→−∞
xnan = −∞ com an 0, caso an 0 tem-se
lim
x→∞
xnan = −∞ e lim
x→−∞
xnan = ∞.
b Propriedade 31. Seja f : [a;∞) → R limitada. Para cada t ≥ a definimos
Mt = sup{f(x) | x ∈ [t;∞)} = supAt
mt = inf{f(x) | x ∈ [t;∞)} = supAt
55. CAPITULO 1. LIMITE DE FUNC ~ OES 22
wt = Mt − mt, chamada de oscila¸c˜ao de f em I = [t;∞): Nessas condi¸c˜oes, existem
lim
Mt e lim
mt:
t→∞
t→∞
∃ lim
t→∞
f(t) ⇔ lim
t→∞
wt = 0:
ê Demonstrac~ao. Mt ´e n˜ao-crescente e mt ´e n˜ao-decrescente. Se s t vale
que {f(x) | x ∈ [s;∞} = As ⊂ {f(x) | x ∈ [t;∞)} = At, portanto supAt ≥ supAs,
implicando Mt ≥ Ms logo mt ´e n˜ao-crescente. Da mesma maneira mt ´e n˜ao-decrescente,
pois de As ⊂ At segue inf As ≥ inf At e da´ı ms ≥ mt que significa que mt ´e n˜ao-decrescente.
Ambas fun¸c˜oes s˜ao limitadas logo os limites lim
t→∞
Mt e lim
t→∞
mt existem.
lim
t→∞
Mt = L; lim
t→∞
mt = l ⇒ lim
t→∞
wt = L − l:
Agora provamos a equivalˆencia enunciada. ⇐): Se lim
t→∞
wt = 0 ent˜ao ⇒ lim
t→∞
f(t)
existe. Vale que mt ≤ f(t) ≤ Mt (pois mt e Mt s˜ao ´ınfimo e supremo respectivamente),
se ⇒ lim
t→∞
wt = 0 ent˜ao L − l = 0 ⇒ L = l; da´ı por teorema do sandu´ıche tem-se
L = lim
t→∞
mt ≤ lim
t→∞
f(t) ≤ lim
t→∞
Mt = L
de onde segue lim
t→∞
f(t) = L:
⇒): Se lim
t→∞
f(t) = L ent˜ao ∀ 0 ∃x ≥ a tal que para t ≥ a vale L− f(t) L+,
logo L − ≤ mt ≤ f(t) ≤ Mt ≤ L + pois mt ´e ´ınfimo e Mt ´e supremo, portanto
Mt − mt ≤ 2 (pois ambos pertencem ao intervalo (L − ;L + )) e isso implica que
lim
Mt = lim
mt = L da´ı limwt = 0.
t→∞
t→∞
1.6 Limites de func~oes em espacos metricos
m De
56. nic~ao 17. Sejam A ⊂ M, a ∈ A e f : A → N, b ∈ N ´e o limite de f(x) quando
x tende a a quando
∀ 0; ∃ 0 | d(x; a) ⇒ d(f(x); b) :
57. CAPITULO 1. LIMITE DE FUNC ~ OES 23
1.7 Stolz-Cesaro para limite de func~oes
b Propriedade 32 (Stolz-Ces`aro para limite de fun¸c˜oes). Sejam f; g : R+ → R limita-das
em cada intervalo limitado, g crescente, com
lim
x→∞
Δf(x)
Δg(x)
= L lim
x→∞
g(x) = ∞
ent˜ao
lim
x→∞
f(x)
g(x)
= L:
ê Demonstrac~ao. Dado 0 existe, tal que para x M vale
− L
Δf(x)
Δg(x)
+ L
como g ´e crescente vale Δg(x) 0 ent˜ao podemos multiplicar a desigualdade por tal
termo, substituir x por x + k onde k natural e aplicar a soma
Σn−1
k=0
, que resulta em
( − L)(g(x + n) − g(x)) + f(x) f(x + n) ( + L)(g(x + n) − g(x)) + f(x)
por soma telesc´opica, dividimos por g(x + n), que pode ser considerado positivo pois
g → ∞
( − L)(1 − g(x)
g(x + n)
) +
f(x)
g(x + n)
f(x + n)
g(x + n)
( + L)(1 − g(x)
g(x + n)
) +
f(x)
g(x + n)
agora passamos as sequˆencias, tomamos x = yn em [M;M + 1] e xn = n + yn ´e uma
sequˆencia arbitr´aria que tende a infinito, g e f s˜ao limitadas em [M;M + 1] da´ı
( − L)(1 − g(yn)
g(xn)
) +
f(yn)
g(xn)
f(xn)
g(xn)
( + L)(1 − g(yn)
g(xn)
) +
f(yn)
g(xn)
a passagem do limite nos garante que lim
f(xn)
g(xn)
= L pois g(yn) e f(yn) s˜ao limitadas e
lim g(xn) = ∞ .
