O documento apresenta uma aula sobre espaços vetoriais. Define espaço vetorial como um conjunto não vazio com duas operações definidas: soma e multiplicação por escalar, que devem satisfazer propriedades como comutatividade, associatividade e existência de elementos neutros. Em seguida, lista as propriedades que devem ser verificadas para que um conjunto seja considerado um espaço vetorial. Por fim, propõe um exercício para verificar se um conjunto dado satisfaz as propriedades e portanto é um espaço vetorial.

1. AULA 27
GEOMETRIAANALÍTICA E
ÁLGEBRA LINEAR
Professor: João Alessandro
ESPAÇOS VETORIAIS

2. Definição:
Espaço vetorial é um conjunto V, não vazio, no qual estão
definidas duas operações
Soma:
Multiplicação por escalar:
VvuVvu ∈+=>∈,
VkvRkVv ∈=>∈∈ ,
ESPAÇO VETORIAL - 1

3. Devem satisfazer, para quaisquer RbaVwvu ∈∈ ,e,,
As seguintes propriedades:
V∈0
Vu∈−
ESPAÇO VETORIAL - 2
DA ADIÇÃO:
A1) u + v = v + u (comutativa)
A2) (u + v) + w = u + (v+w) (associativa)
A3) Existe tal que u+0 = u (elemento neutro)
A4) Existe tal que u+(-u) = 0 (elemento oposto)
DA MULTIPLICAÇÃO:
M1) (ab).u = a(bu) (comutativa)
M2) (a+b).u = a.u +b.u (distributiva - vetor)
M3) a.(u+v) = a.u + a.v (distributiva - escalar)
M4) 1.u = u (elemento neutro)

4. EXERCÍCIO - EXEMPLO
PROBLEMA PROPOSTO
Apresenta-se um conjunto com as operações de adição e
multiplicação por escalar nele definidos. Verifique quais deles são
Espaços Vetoriais. Para aqueles que não são espaços vetoriais,
citar os axiomas que não verificam.

5. Com as propriedades abaixo, vamos verificar no quadro branco:
DA ADIÇÃO:
A1) u + v = v + u (comutativa)
A2) (u + v) + w = u + (v+w) (associativa)
A3) u+0 = u (elemento neutro)
A4) u+(-u) = 0 (elemento oposto)
EXERCÍCIO - EXEMPLO
( ){ }
( ) ( ) ( )32,3xw22,2xv12,1xu
:vetoresosdefinirVamos
ADAPTADO-usuaisoperaçõesascom;2,)2
xxx
Rxxx
===
∈
DA MULTIPLICAÇÃO:
M1) (ab).u = a(bu) (comutativa)
M2) (a+b).u = a.u +b.u (distributiva - vetor)
M3) a.(u+v) = a.u + a.v (distributiva - escalar)
M4) 1.u = u (elemento neutro)

6. DÚVIDAS?
joaoalessandro.luz@gmail.com

7. DÚVIDAS?
joaoalessandro.luz@gmail.com