A derivada de uma função constante é zero. A derivada de uma função potência é o expoente multiplicado pelo termo com o expoente subtraído um. A derivada de uma função multiplicada por uma constante é igual a essa constante multiplicada pela derivada da função.

1. Ensino Superior
Cálculo 1
2.1- Regras de Derivação
Amintas Paiva Afonso

2. 1. REGRAS DE DERIVAÇÃO
Considere u e v funções deriváveis de x, com k  IR
e n  IR.
As principais regras de derivação e derivadas das
principais funções elementares segundo a Regra
da Cadeia são:

3. Regras de derivação
R1 - Derivada de uma função constante
Se k é uma constante e f(x) = k para todo x, então f’(x) = 0.
Exemplo
Seja f(x) = 5  f’(x) = 0.
Se aplicarmos a definição:
x
x
f
x
x
f
x
f
x 






)
(
)
(
lim
)
(
' 1
1
0
1
0
0
lim
5
5
lim
)
(
'
0
0
1 







 x
x x
x
f
Cálculo 1 - Derivadas

4. Cálculo 1 - Derivadas
R2 - Derivada de uma função potência
Se n é um número inteiro positivo e f(x) = xn, então:
f’(x) = n. xn-1
Exemplo: Seja f(x) = x5  f’(x) = 5x4.
R3 - Derivada de uma função multiplicada por k
Sejam f uma função, k uma constante e g a função
definida por g(x) = k.f(x), então:
g’(x) = k.f’(x).
Exemplo: f(x) = 8x2  f’(x) = 8.(2x) = 16x

5. Exemplos
Exemplo 1 – Determinar a equação da reta tangente ao gráfico de f(x) = x2,
no ponto de abscissa 1/2.
)
).(
(
'
)
( 0
0 x
x
x
f
x
f
y 


y(ºC)
x0 = 1
2
y
y
x(h)
1/4
x

2
)
(
'
2
1
'
x
x
f
f
de
Cálculo




























2
1
.
2
1
'
2
1
x
f
f
y
4
1
2
1
2
1
:
2














f
onde
2
1
.
1
4
1
:
tan














 x
y
to
Por
0
1
-
4y
-
4x 

1
2
1
.
2
2
1
' 













f

6. Exemplos
Exemplo 2 – Determinar a equação da reta normal ao gráfico de f(x) = x2 + 1,
no ponto de abscissa 1.
 
2
.1
2
m
:
teremos
(1),
f'
m
e
2x
0
2x
(x)
f'
como
m,
s
calcularmo
para
Assim,
(2)
m
1
-
m
1
.
m
:
temos
tangente,
da
angular
e
coeficient
o
m
de
chamando
tangente,
reta
à
lar
perpendicu
é
normal
reta
a
Como
:
m
em
Cálculo
2
1
1
1
:
(1)
)
1
.(
)
1
(
:
é
equação
sua
n,
normal
reta
da
angular
e
coeficient
o
m
de
Chamando
1
1
1
2
1
1
















m
f
onde
x
m
f
y
y
x0 = 1
f(1) = 2
x
0
0
5
-
2y
x
)
1
(
2
1
2
:
(1)
em
m
de
valor
este
Levando
2
1
-
:
(2)
em
valor
este
do
Substituin
1
1








x
y
m

7. Cálculo 1 - Derivadas
R4 - Derivada da Soma
• Sejam f e g duas funções e h a função definida por
h(x) = f(x) + g(x).
A derivada da soma é: h’(x) = f’(x) + g’(x).
Exemplo: f(x) = 3x4 + 8x + 5
f’(x) = 3.(4x3) + 8.1 + 0 = f’(x) = 12x3 + 8
R5 - Derivada do Produto
• Sejam f e g duas funções e h a função definida por
h(x) = f(x) . g(x). A derivada do produto é:
h’(x) = f (x) . g’(x) + f’(x).g(x)  y’ = u.v’ + u’.v
Exemplo f(x) = (2x3 - 1)(x4 + x2)
f’(x) = (2x3 - 1).(4x3 + 2x) + (x4 + x2).6x2

8. Cálculo 1 - Derivadas
R6 - Derivada do quociente
– Sejam f e g duas funções e h a função definida por
h(x) = f(x) / g(x). A derivada do quociente é:
Exemplo:
2
)]
(
[
)
(
'
).
(
)
(
'
).
(
)
(
'
x
g
x
g
x
f
x
f
x
g
x
h


3
5
3
2
)
( 2
4




x
x
x
x
f 2
2
4
3
2
)
3
5
(
)
5
2
)(
3
2
(
)
0
4
.
2
).(
3
5
(
)
(
'









x
x
x
x
x
x
x
x
f
2
2
4
3
2
)
3
5
(
)
5
2
)(
3
2
(
)
8
).(
3
5
(
)
(
'








x
x
x
x
x
x
x
x
f
2
'
.
'
.
'
v
v
u
u
v
y




9. Exercícios de Fixação
R1 - Derivada de uma função constante
Se c é uma constante e f(x) = c para todo x, então f’(x) = 0.
a)
b)
c)
8

y


 3
y
5


y
a) 
b)
c)
cos

y
)
3
( 

 sen
y
e
y 
R2 - Derivada de uma função potência
Se n é um número inteiro positivo e f(x) = xn, então
f’(x) = n. xn-1.
a)
b)
c)
8
x
y 
3

 x
y
2
/
1
x
y 

10. Cálculo 1 - Derivadas
R3 - Derivada de uma função multiplicada por uma constante
Sejam f uma função, k uma constante e g a função definida
por g(x) = k.f(x) g’(x) = k.f’(x).
a)
b)
c)
8
2x
y 
3
6 
 x
y
2
/
1
4x
y 
d)
e)
f)
3
5 

 x
y
3
/
2
3
8 

 x
y
b
a
ex
y /

g)
h)
i)
3
/
5 

 x
y
3
/
2
/
1 
 x
y
b
a
x
e
y /
/


11. Cálculo 1 - Derivadas
R4 - Derivada da Soma e da Diferença
Sejam f e g duas funções e h a função definida por h(x) = f(x) + g(x).
A derivada da soma é: h’(x) = f ’(x) + g’(x)
A derivada da diferença é: h’(x) = f ’(x) - g’(x)
x
x
y 
 8
2
x
x
y 2
6 3

 
2
3
4 2
/
1


 x
x
y
4
5 3


 
x
y
3
/
1
3
/
2
3
8 x
x
y 
 

2
3
3
/
5 



 x
x
y
x
x
y 2
/
1 3
/
2

 
2
3
2
3
x
x
y 
 x
b
a
x
b
a
x
y 




2
5

12. Cálculo 1 - Derivadas
R5 - Derivada do Produto
Sejam f e g duas funções e h a função definida por h(x) = f(x).g(x).
A derivada do produto é h’(x) = f(x) . g’(x) + f ’(x) . g(x).
a)
b)
c)
x
x
y 8
2

x
x
y 2
.
6 3


x
x
y 3
.
4 2
/
1

d)
e)
f)
x
x
y 4
.
5 3



3
/
1
3
/
2
3
.
8 x
x
y 


g)
h)
i)
2
3
3
.
/
5 


 x
x
y
x
x
y 2
.
/
1 3
/
2


 
1
6
1
3 








 x
x
x
y   
2
3
1
2 

 x
x
x
y

13. Cálculo 1 - Derivadas
R6 - Derivada do quociente
Sejam f e g duas funções e h a função definida por h(x) = f(x)/g(x)
A derivada do quociente é:
2
)]
(
[
)
(
'
).
(
)
(
'
).
(
)
(
'
x
g
x
g
x
f
x
f
x
g
x
h


a)
b)
c)
)
1
/(
)
2
( 8


 x
x
x
y
 
3
2
/
6 3

 
x
x
y
d)
e)
f)
)
2
3
/(
5 3


 
x
x
y
3
/
1
3
/
2
3
/
8 x
x
y 


g)
h)
i)
x
x
x
y 2
/
)
2
( 3
/
2

 
   
2
3
/
1
2 

 x
x
x
y
 
2
3
3
1
x
x
y


2
2
4
2
x
b
x
y


x
a
x
a
y




14. Cálculo 1 - Derivadas
R7 - Seja f(x) = sen x, a derivada do seno é f’(x) = cos x.
R8 - Seja f(x) = cos x, a derivada do cosseno é f’(x) = - sen x.
R9 - Seja f(x) = cotg x, a derivada da cotangente é f’(x) = - cosec2 x.
R10 - f(x) = sec x, a derivada da secante é f’(x) = sec x . tg x.
R11 - f(x) = cosec x, a derivada da cosec é f’(x) = -cosec x . cotg x.

15. Cálculo 1 - Derivadas
Exemplo
– Calcule a derivada de h(x) = (2x + 1)10.
A função h(x) é composta, f(x) = x10 e g(x) = 2x + 1.
Pela regra da cadeia, temos
h’(x) = f‘(g(x)) . g’(x) = 10.(2x + 1)9.2 = 20(2x + 1)9
R12 - Regra da Cadeia
Se f e g são funções diferenciáveis, então a derivada da
função composta f(g(x)) é dada por:
[f(g(x))]’ = f’(g(x)) . g’(x)

16. Cálculo 1 - Derivadas
R12) Regra da Cadeia
Se f e g são funções diferenciáveis, então a derivada da função
composta f(g(x)) é dada por:
[f(g(x)]’ = f’(g(x)) . g’(x)
a)
b)
c)
8
)
3
2
( 
 x
y
d)
e)
f)
 5
2
2
a
x
y 

 3
3
1 x
y 

3









x
a
x
a
y
x
x
y



1
1
 2
2
3
2 
 x
y

17. Cálculo 1 - Derivadas
R13 - Derivada da função logarítmica neperiano ou natural
Seja f(x) = lnx, sua derivada é; f’(x) = 1/x.
Exemplo:
x
x
x
x
x
x
x
f
então
x
x
x
f








2
2
2
3
1
6
)
1
6
.(
3
1
)
(
'
),
3
ln(
)
(
10
ln
.
1
)
(
'
,
log
)
( 10
x
x
f
então
x
x
f


R14 - Derivada da função logarítmica de base a
Seja f(x) = loga(x), sua derivada é; f’(x) = 1/x . lna
Exemplo:

18. Cálculo 1 - Derivadas
R15 - Derivada da função exponencial de base “e”
Seja f(x) = ex, sua derivada é a própria f’(x) = ex.
R16 - Derivada da função exponencial de base “a”
Seja f(x) = ax, sua derivada é: f’(x) = ax . lna

19. (u + v) = +
+
DERIVADAS DIFERENCIAIS NOTAÇÃO
DE LAGRANGE
= 0 dk = 0 (k)´= 0
d(ku) = 0 (ku)´= 0
d(u+v) = du+dv (u+v)´= u´+ v´
d(u.v) = vdu + udv (uv)´= u´v+v´u
d(u/v) = (vdu –udv)/v2 (u/v)´= (u’v – v’u)/v2
d(un) = n.un-1.du (un)´= n.un-1.u´
d(eu) = eu.du (eu)´= eu.u´

20. DERIVADAS DIFERENCIAIS NOTAÇÃO
DE LAGRANGE
d(au) = au.lna.du (au)’ = au.lna.u’
d(senu) = cosu.du (senu)’ = cosu.u’
d(cosu) = - senu.du (cosu)’ = -senu.u’
d(lnu) = (1/u).du (lnu)´= (1/u).u’
d(arctgu) =
du/(1+u2)
(arctgu)’ = u’/(1+u2)