1) O documento apresenta uma análise de sensibilidade de um problema de programação linear resolvido graficamente e no Excel. 2) A análise examina o efeito de alterações nos coeficientes da função objetivo e nas constantes das restrições, mostrando que pequenas variações não alteram a solução ótima. 3) O relatório no Excel fornece informações sobre a solução ótima, variáveis, restrições e uma análise de sensibilidade dos parâmetros do problema.

1. Faculdades Integradas Ipitanga (Unibahia)
Graduação em Engenharia de Produção Mecânica
Pesquisa Operacional
Professora: Janaina
2012.2

2. Pesquisa Operacional
Análise de Sensibilidade

3. Equipe:
 André Quadros
 Eduardo Souza
 Luciana Baptista
 Messias Argolo
 Ricardo Pereira
 Viviane Fernandes

4. Introdução
 O principal objetivo do nosso trabalho é apresentar
a Análise de Sensibilidade mostrando a sua
definição, como pode ser utilizada, dar exemplos
práticos e mostrar qual a importância desta
ferramenta na engenharia e ou em qualquer outro
seguimento, para isso mostraremos o passo a
passo da Programação Linear com resolução
gráfica e também o Modelo no Solver (Excel).

5. Análise de Sensibilidade
 Ao realizarmos uma analise pós otimização
verificamos as possíveis variações, para cima e para
baixo, dos valores dos coeficientes da função-objetivo,
dos coeficientes e das constantes das restrições sem
que a solução ótima seja alterada. Este estudo se
denomina Análise de Sensibilidade.

6. Análise de Sensibilidade
 Em uma análise de sensibilidade deveremos
responder basicamente a três perguntas:
 Qual o efeito de uma mudança num coeficiente da
função-objetivo?
 Qual o efeito de uma mudança numa constante de
uma restrição?
 Qual o efeito de uma mudança num coeficiente de
uma restrição?

7. Alteração em um dos
coeficientes da Função-Objetivo:
 Consideremos o problema abaixo e sua solução gráfica:
Max Z = 5x1 + 2x2
s.r. 4x1 + x2 ≤ 10
x1 + 2x2 ≤ 9
x1≥ 0 e x2 ≥ 0

8. Alteração em um dos coeficientes da
Função-Objetivo:
 A reta que define a função-objetivo deste problema é dada por:
 Resolvendo o sistema de equações poderemos encontrar
a solução ótima:

9. Alteração em um dos
coeficientes da Função-Objetivo:
 A alteração em um dos coeficientes provoca uma
alteração no coeficiente angular (inclinação) da
reta que define a função-objetivo. Visualmente
podemos notar que se a variação na inclinação for
pequena a solução ótima não sofrerá alteração
porém o valor máximo (Z) a ser produzido pela
solução ótima será diferente, independente da
solução ótima.

10. Alteração em um dos coeficientes da
Função-Objetivo:
 Como podemos perceber as retas A, B e a função-objetivo
pertencem a uma família de retas,pois têm o ponto (11/7;
26/7) em comum e a diferença entre elas está no
coeficiente angular. Assim enquanto o coeficiente angular
estiver entre os coeficientes das retas que determinam a
solução ótima,esta não se alterará.

11. Alteração em um dos coeficientes da
Função-Objetivo:
 Representando matematicamente:
Declividade ≤ Declividade ≤ Declividade
da Linha A da Função da Linha B
Objetivo
4x1 + x2 = 10 x1 + 2x2 = 9
x2 = -4x1 + 10 x2 = (-1/2)x1 + 9/2
-4 ≤ Declividade ≤ -0,5
da Função
Objetivo
 De uma forma geral podemos obter o valor do
coeficiente angular de uma função-objetivo por
ou por
Isto é, o coeficiente angular é dado por:

12. Alteração em um dos coeficientes da
Função-Objetivo:
 E no nosso caso queremos:
 A análise que faremos a seguir supõe que apenas um dos
coeficientes da função-objetivo pode sofrer alteração de
cada vez. Supondo primeiramente que apenas C1 sofrerá
alteração, este poderá variar de
1 ≤ c1 ≤ 8.
 Obteremos estes limites da seguinte maneira:

13. Alteração em um dos coeficientes da
Função-Objetivo:
 Agora apenas C2 sofrerá alteração, este poderá variar de
 Logo:
 Neste caso tivemos a nossa tarefa facilitada,pois existiam
limites bem claros para a alteração do coeficiente angular,
dado pelas duas retas das restrições.

14. Alteração do valor da constante
da restrição:
 Uma mudança em qualquer das constantes das
restrições pode também alterar a solução ótima de um
problema. Esta mudança geralmente acarreta uma
alteração no conjunto de soluções viáveis,
aumentando ou diminuindo o mesmo. A alteração
resultante no valor da função-objetivo devida ao
incremento de uma unidade na constante de uma
restrição é denominada preço-sombra (shadow-price).
A interpretação do preço-sombra é feita as
vezes de custos ou receitas marginais, dependendo
das variáveis envolvidas.

15. Alteração do valor da constante
da restrição:
 Consideramos o problema abaixo, onde alteramos o
nosso problema inicial modificando o valor da
constante da segunda restrição de 9(original) para
15.

16. Alteração do valor da constante
da restrição:
 O gráfico abaixo mostra esta modificação graficamente,
bem como a diferença no conjunto das soluções viáveis.
Vale notar que esta mudança não alterou a solução ótima. A
razão está no fato desta restrição não limitar a solução
ótima. Neste caso as duas restrições que limitam a solução
ótima são

17. Alteração do valor da constante
da restrição:
 Agora veremos como a solução ótima terá seu valor
alterado quando alteramos a constante da primeira
restrição de 10 (valor original) para 15. Como esta
restrição limita a solução ótima seu valor será alterado.

18. Alteração do valor da constante da
restrição:
 No gráfico abaixo vemos a alteração do conjunto
de soluções viáveis e da solução ótima.
nova solução ótima

19. Alteração do valor da constante
da restrição:
 A alteração de cinco unidades da constante da primeira restrição
(10 para 15) provocou uma alteração no valor máximo da função-objetivo
e 37,5 para 56,25.Logo, o preço-sombra deste recurso
pode ser obtido como:
Preço-sombra = 56,25 – 37,50 = 3,75
5
 Uma alteração de 26 unidades da constante da primeira restrição
(10 para 36) provocou uma alteração no valor máximo da função-objetivo
e 37,5 para 135.Logo, o preço-sombra deste recurso pode
ser obtido como:
Preço-sombra = 135 – 37,50 = 3,75
5

20. Alteração do valor da constante
da restrição:
 Assim pudemos perceber que o valor do preço-sombra é o
mesmo. Isto acontece dentro de um intervalo de valores
apenas. Vejamos a solução gráfica desta segunda alteração:

21. Alteração do valor da constante
da restrição:
 Agora faremos uma nova alteração aumentando o valor da
constante para 37 (qualquer numero maior que 36). Reparem
que o valor da função objetivo continuou o mesmo (135).
Max Z = 15x1 + 2x2
s.r. 4x1 + x2 ≤ 37
x1 + 2x2 ≤ 9
x1≥ 0 e x2 ≥ 0

22. Alteração do valor da constante
da restrição:
 Logo:
Preço-sombra = 135-135 = 0,00
1
 Assim percebemos que a primeira restrição deixou
de ser limitante da solução ótima. As restrições
limitantes são agora
 Sendo assim enquanto a restrição continuar como
limitante da solução ótima, o preço-sombra
permanece o mesmo, tornando-se zero quando ela
deixa de ser limitante da solução ótima.

23. Relatórios do Excel (Utilizando o
Solver)
 Como já vimos o Excel realiza um tipo de analise
sensibilidade que considera apenas a alteração de um
único valor (coeficiente ou constante) de cada vez.
Consideremos o problema abaixo(realizado
anteriormente graficamente), sua modelagem no Excel
e sua resolução no solver.

24. Relatórios do Excel
 Modelagem

25. Relatórios do Excel
 Resolução

26. Relatórios do Excel
Relatório de Resposta
 O relatório de resposta é simples, é de fácil
compreensão e possui 3 partes distintas:

27. Relatórios do Excel
1. A primeira indica o tipo de problema tratado (maximização
ou minimização), o valor original e final da função objetivo,
bem como a célula utilizada para representá-la. A célula B5
do relatório apresenta o valor otimizado da função-objetivo,
isto é, o valor da função-objetivo considerando os valores de
x1 e x2 na solução ótima;
2. A segunda parte é relativo às variáveis de decisão. Ela
apresenta os valores iniciais e finais das variáveis de decisão
e as células utilizadas para defini-las;

28. Relatórios do Excel
3. Já a terceira parte diz respeito às restrições:
o A coluna das células indica as células utilizadas pelos LHS de cada uma das
restrições.
o A coluna das constantes(RHS) de cada uma das restrições.
o A coluna Formulas indica cada uma das formulas utilizadas nas restrições.
o As colunas de status pode apresentar dois valores: binding (agrupar) e not
binding (não agrupar). O mais importante está na interpretação desta
igualdade, quando ela existe, o lado direito e esquerdo da restrição são iguais
na solução ótima significando que todo recurso disponível (RHS) foi consumido,
isto é, a variável de folga ou excesso (slack - transigência) tem valor zero.
o A coluna transigência indica a diferença entre o LHS e o RHS de cada uma das
restrições. Logo as restrições que tenham o status binding devem apresentar
valor na coluna transigência (slack) igual a zero e as restrições com valor not
binding apresentam algum valor positivo;

29. Relatórios do Excel
 Relatório de Sensibilidade

30. Relatórios do Excel
 Relatório de Sensibilidade
 É dividido em duas partes:
1. A primeira refere-se às mudanças que possam ocorrer
nos coeficientes das variáveis de decisão da função-objetivo;
2. A segunda mostra as possíveis alterações que as
constantes das restrições podem sofrer;

31. Relatórios do Excel
 Relatório de Sensibilidade
Reduzido custo - Existem duas interpretações básicas:
1. A quantidade que o coeficiente da função-objetivo de uma
variável original deve melhorar antes desta variável se
tornar básica;
2. A penalização que deverá ser paga para tornar uma
variável básica;
 Observemos que o reduzido custo são as variáveis de folga
ou excesso do problema, porém se uma variável do
problema original for maior que zero, o valor da variável
do problema relacionado será zero, isto é, o valor do
reduzido custo será zero;

32. Relatórios do Excel
 Relatório de sensibilidade
Acréscimo/Decréscimo Permissível:
 indica o quanto cada coeficiente pode
aumentar/diminuir, permanecendo todas as
demais variáveis constantes, sem que se altere a
solução ótima.
 Pode ser verificado reprocessando o Solver
 Acréscimo/decréscimo permissível = 0
indica que pode haver outra solução
ótima

33. Relatórios do Excel
 Relatório de sensibilidade
Preço-sombra:
 Indica o quanto irá mudar o valor da função objetivo
se houver a alteração de uma unidade no fator de
restrição indicado, permanecendo todos os demais
coeficientes constantes
 Representa a relação Margem de Contribuição/fator
limitativo
• Preço-sombra positivo: indica que o aumento de 1
unidade na restrição provocará aumento no valor
da função-objetivo
• Preço-sombra negativo: indica que o aumento de
1 unidade na restrição provocará redução no valor
da função-objetivo

34. Relatórios do Excel
 Relatórios de Limites

35. Relatórios do Excel
 Relatórios de Limites
 A coluna Inferior Limite indica o menor valor que cada variável
pode assumir, considerando, que todas as outras não se alterem,
para que a solução continue viável. A coluna ao lado mostra o
valor que a função-objetivo assume nessa solução.
 A coluna Superior Limite indica o maior valor que cada variável
pode assumir, considerando, que todas as outras não se alterem,
para que a solução continue viável. A coluna ao lado mostra o
valor que a função-objetivo assume nessa solução.

36. Conclusão
 Pudemos perceber que a Análise de Sensibilidade é uma
ferramenta na qual nos permite comparar resultados da
empresa a partir de simulações. Compreender o que é
uma Análise de Sensibilidade e saber usá-la a favor da
empresa aumenta muito nossa capacidade de gestão,
dando segurança e percepção na hora de decidir.