O documento apresenta os conceitos fundamentais de limites de funções, incluindo: (1) noção intuitiva de limites, (2) limites laterais, (3) definição formal de limite, (4) propriedades dos limites e (5) continuidade de funções.

1. 1
U N I V E R S I D A D E D O G R A N D E R I O
Apostila de Cálculo I
Profª Cristiane Leitão
Unidade I – Limites:
1) Noção Intuitiva
Vamos fazer algumas considerações para conhecermos a noção de limite:
Analisando os exemplos:
,....
6
7
,5,
4
5
,3,
2
3
,14)
-3,......1,0,-1,-2,)3
,....
6
5
,
5
4
,
4
3
,
3
2
,
2
1
)2
,....5,4,3,2,1)1
No exemplo (1), os termos tornam-se cada vez maiores sem atingir um limite. Dado um
número real, por maior que seja, podemos sempre encontrar um maior.
Dizemos então que os termos tendem para o infinito ou que o limite é infinito.
Denota-se: +∞→x
No exemplo (2), os termos crescem, mas não ilimitadamente. Os números aproximam-se cada
vez mais do valor 1,sem atingir esse valor. Dizemos que 1→x .
Assim, no exemplo (3), dizemos que −∞→x .
Em (4) os termos não tendem para um limite.
Vamos ampliar o conceito de limites para funções:
Ex1: Seja
x
y
1
1−= . Essa função tende para 1 quando x tende para o infinito. Basta
observar o gráfico, vemos que 1→y quando ±∞→x .
Denotamos 1
1
1lim =





−
∞±→ xx
Ex2: Seja 2
3 2y x x= − + , tende para ∞+ quando ∞±→x .
Denotamos
2
lim ( 3 2)
x
x x
→ ±∞
− + = +∞ .
2) Limites Laterais
Se x se aproxima de a através de valores maiores que a ou pela sua direita, escrevemos:

2. 2
lim ( )
x a
f x b+
→
=
Esse limite é chamado de limite lateral à direita de a.
Se x se aproxima de a através de valores menores que a ou pela sua esquerda, escrevemos:
lim ( )
x a
f x c−
→
=
Esse limite é chamado de limite lateral à esquerda de a.
Ex3: Seja
1
12
−
+
=
x
x
y .
Essa função tende para 2 quando ±∞→x .
Agora, observamos que +∞→y quando 1→x através de valores maiores que 1 e −∞→y
quando 1→x através de valores menores que 1. Neste caso, estamos nos referindo aos limites
laterais, denotamos por:
negativos)spor valore1sejaouesquerda,àlateral(limite
1
12
lim
positivos)spor valore1sejaoudireita,àlateral(limite
1
12
lim
1
1
→−∞=
−
+
→+∞=
−
+
−
+
→
→
x
x
x
x
x
x
x
x
Ex4: A função 2
)1(
1
+
=
x
y tende para o infinito quando 1−→x .
+∞=
+
=
+
+∞=
+
−+
−→−→
−→
2
1
2
1
21
)1(
1
lim
)1(
1
lim
aindaou
)1(
1
lim
xx
x
xx
x
1
2
-1

3. 3
Ex5: Seja a função 13 −= xy , então podemos escrever que
2)13(lim
aindaou
2)13(lim)13(lim
1
11
=−
=−=−
→
→→ −+
x
xx
x
xx
Observamos que é possível fazer o valor de y tão perto de 2 quanto quisermos, tornando x
suficientemente próximo de 1, mas não necessariamente igual a 1.
3) Definição Limite
Seja f(x) uma função definida para todo número em algum intervalo aberto contendo a,
exceto possivelmente no próprio a. O limite de f(x) quando x tende a a será L escrito como:
Lxf
ax
=
→
)(lim
Se dado 0>ε , existe 0>δ tal que se δ<−< ax0 então ε<−Lxf )( .
Ex1: Prove que 2)13(lim
1
=−
→
x
x
, usando a definição:
Devemos mostrar que, para todo 0>ε , existe 0>δ tal que se δ<−< ax0 então
ε<−Lxf )( . O exame da desigualdade envolvendo ε proporciona uma chave para a escolha
de δ .
.deescolhaasugerededesigualdaessa
3
1
13
)1(3
33
213
δ
ε
ε
ε
ε
ε
<−
<−
<−
<−
<−−
x
x
x
x
x
Tomando
3
ε
δ = , vem que ε<−− 2)13( x sempre que δ<−< 10 x .
Sem usar a definição, temos: 2113)13(lim
1
=−⋅=−
→
x
x
-1
1
2
δδ +− aaa
ε
ε
−
+
L
L
L
)(xf
É importante observar que na definição nada é
dito sobre o valor da função quando x = a . Isto é,
não é necessário que a função esteja definida em x =
a para que )(lim xf
ax→
exista, e mesmo que a função
esteja definida em x = a, é possível que )(lim xf
ax→
exista, sem ter o mesmo valor de )(af .

4. 4
Observe que o valor sugerido para δ não é o único valor que garante a relação pretendida.
Poderíamos por exemplo tomar
4
ε
δ = ou qualquer outro valor
3
ε
δ < .
Ex2: Usando a definição de limite, demonstre que 11)14(lim
3
=−
→
x
x
.
Ex3: Usando a definição de limite, demonstre que
2
4
lim 16
x
x
→
= .
Ex4: Usando a definição de limite, demonstre que
2
3
lim 9
x
x
→
= .
Ex5: Usando a definição de limite, demonstre que
7
8
lim 2
3x x→
=
−
.
Ex6: Usando a definição de limite, demonstre que
2
9
lim 3
1x x→
=
+
.
3.1) Definição de Limites Laterais
- Limite Lateral à Direita:
Seja f(x) uma função definida para todo número em algum intervalo aberto (a, c) Dizemos
que um número L é o limite lateral à direita da função f , quando x tende para a, e escrevemos:
lim ( )
x a
f x L+
→
=
Se para todo 0ε > , existe um 0>δ tal que:
( )f x L ε− < sempre que a x a δ< < + .
Se lim ( )
x a
f x L+
→
= , dizemos que f(x) tende a L, quando x tende para a pela direita (ou por
valores de x maiores que a).
- Limite Lateral à Esquerda:
Seja f(x) uma função definida para todo número em algum intervalo aberto (d, a) Dizemos
que um número L é o limite lateral à esquerda da função f , quando x tende para a, e escrevemos:
lim ( )
x a
f x L−
→
=
Se para todo 0ε > , existe um 0>δ tal que:
( )f x L ε− < sempre que a x aδ− < < .
Se lim ( )
x a
f x L−
→
= , dizemos que f(x) tende a L, quando x tende para a pela esquerda (ou por
valores de x menores que a).
Proposição: (Unicidade do Limite)
Se 21 )(lime)(lim LxfLxf
axax
==
→→
, então 21 LL = . Ou seja, se Lxf
ax
=
→
)(lim existe,
ele é único.
Dem: Seja 0ε > arbitrário.
Como 1lim ( )
x a
f x L
→
= , existe 1 0δ > tal que: 1( )
2
f x L
ε
− < sempre que 10 x a δ< − <

5. 5
Como 2lim ( )
x a
f x L
→
= , existe 2 0δ > tal que: 2( )
2
f x L
ε
− < sempre que 20 x a δ< − <
Seja ( )1 2min ,δ δ δ= então 1( )
2
f x L
ε
− < e 2( )
2
f x L
ε
− < sempre que 0 x a δ< − < . Então
podemos escrever:
1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )L L L f x f x L f x L f x L− = − + − ≤ − + − <
2 2
ε ε
ε+ =
Como ε é arbitrário 1 2 0L L− = e portanto 1 2L L= .
c.q.d.
Teorema Limites Laterais:
O )(lim xf
ax→
existe e será igual a L, se e somente se )(lim xf
ax +
→
e )(lim xf
ax −
→
existirem e
forem iguais a L.
Dem: ( )⇒ É imediata devido a condição de existência de limite.
( )⇐ Suponha que )(lim xf
ax +
→
= L e )(lim xf
ax −
→
= L
Então dado 0ε > arbitrário, existe 1 0δ > tal que:
( )f x L ε− < sempre que 1a x a δ< < + e existe 2 0δ > tal que:
( )f x L ε− < sempre que 2a x aδ− < < .
Seja ( )1 2min ,δ δ δ= .Então: 2a aδ δ− ≤ − e 1a aδ δ+ ≤ + , e, portanto se x a≠ e
a x aδ δ− < < + , temos que ( )f x L ε− < .
De forma equivalente:
( )f x L ε− < sempre que δ<−< ax0 e assim:
lim ( )
x a
f x L
→
= . c.q.d.
4) Propriedades dos Limites
1) Sejam a, m, n números reais, então:
namnmx
ax
+⋅=+
→
)(lim
2) ax
ax
=
→
lim .
4.1) Propriedades Operatórias dos Limites:
Seja Lxfxfxf
axaxax
=== −+
→→→
)(lim)(lim)(lim
1) O limite de uma constante é a própria constante (ou seja, f(x) = c):
=
→
)(lim xf
ax
cc
ax
=
→
lim
2) O limite de uma soma (ou diferença) é dado pela soma (ou diferença) dos limites:

6. 6
)(lim)(lim)]()([lim xgxfxgxf
axaxax →→→
±=±
3) O limite de um produto é igual ao produto dos limites:
)(lim)(lim)]()([lim xgxfxgxf
axaxax →→→
⋅=⋅
Caso Particular:
Se f(x) = c tem-se )(lim)]([lim)]()([lim xgcxgcxgxf
axaxax →→→
⋅=⋅=⋅
4) O limite de um quociente é igual ao quociente dos limites:
ax→
lim
)(lim
)(lim
)(
)(
xg
xf
xg
xf
ax
ax
→
→
=





5) lim[ ( )] lim ( )
n
n
x a x a
f x f x
→ →
 =
 
para qualquer inteiro positivo n.
6) n
ax
n
ax
xfxf )(lim)(lim
→→
=
7) limln[ ( )] ln lim ( ) , se lim ( ) 0
x a x a x a
f x f x f x
→ → →
 = >
 
8) limcos[ ( )] cos lim ( )
x a x a
f x f x
→ →
 =
 
9) lim [ ( )] lim ( )
x a x a
sen f x sen f x
→ →
 =
 
10)
lim ( )( )
lim x a
f xf x
x a
e e →
→
=
5) Limite e Continuidade
Def: Dizemos que uma função f é contínua no ponto a se as seguintes condições são
satisfeitas:
i) f é definida no ponto a
ii) )(lim xf
ax→
existe
iii) )()(lim afxf
ax
=
→
Ex1: A função 2
( ) 3f x x= − é contínua no ponto 0?
i) f é definida no ponto a?
f(0)= −3 . Sim

7. 7
ii) )(lim xf
ax→
existe?
2
0
lim 3 3
x
x
→
− = − . Sim
iii) )()(lim afxf
ax
=
→
?
0
lim ( ) (0)
x
f x f
→
= . Sim
Como são satisfeitas as 3 condições, a função é contínua em 0.
Exercícios:
1) Verifique se a função f definida por:
2 1 , se 3
( )
10- , se 3
x x
f x
x x
+ <
= 
≥
é contínua no ponto 3.
2) Verifique se a função f definida por:
2 , se 2
( )
1 , se 2
x x
f x
x
 − ≠
= 
=
é contínua no ponto 2.
3) Verifique se a função f definida por:
2
2
3 , se 1
( )
1 , se 1
x x
f x
x x
 − ≤
= 
+ >
é contínua no ponto 1.
4) Verifique se a função f definida por:
2
9
, se 3
( ) 3
2 , se 3
x
x
f x x
x
 −
≠
= −
 =
é contínua no ponto 3.
5) Verifique se a função f definida por:
2
+3 , se 2
( )
10 , se 2
x x
f x
x
 ≠
= 
=
é contínua no ponto 2.
6) Verifique se a função f definida por:

8. 8
, se 0
( )
1 , se 0
x
x
f x x
x
−
≠
= 
 =
é contínua no ponto 0.
7) Verifique se a função f(x) = 1 3x+ − é contínua no ponto 3.
6) Como calcular limites e Indeterminações
Ex: 1552325lim3limlim)53(lim 2
22
2
2
2
2
=+⋅+=++=++
→→→→ xxxx
xxxx
Ex: 5251)2(4)2(14lim14lim 44
2
4
2
==+−⋅−−=+−=+−
−→−→
xxxx
xx
Ex:
1
1
lim
2
1 −
−
→ x
x
x
Como vimos calcular o limite da função é simplesmente substituir os valores de x, porém em
alguns casos não é possível pois o quociente da função 0)1(lim
1
=−
→
x
x
. Assim teremos que tomar
posse de alguns métodos para resolver casos deste tipo:
Esses casos onde caímos em expressões do tipo:
∞
∞∞×∞−∞
∞
∞
1,,0,0,,,
0
0 00
são chamadas expressões indeterminadas ou indeterminações. Nesses casos necessitamos de alguns
artifícios algébricos. Artifícios esses que veremos mais adiante.
7) Limites no Infinito
Limites no Infinito são limites da forma:
Dada uma função f definida em um intervalo aberto ( )+∞,a , temos: Lxf
x
=
+∞→
)(lim
ou quando f é definida em um intervalo aberto ( )a,∞− , temos: Lxf
x
=
−∞→
)(lim .
Obs: Todas as propriedades dos limites permanecem inalteradas quando substituímos
−∞→+∞→→ xxax oupor .
Teorema: Se n é um número inteiro positivo, então:
1) 0
1
lim =
+∞→ nx x
2) 0
1
lim =
−∞→ nx x

9. 9
8) Limites Infinitos
São limites da forma:
+∞=
→
)(lim xf
ax
ou −∞=
→
)(lim xf
ax
Teorema: Se n é um número inteiro positivo qualquer, então:
1) +∞=+
→
n
x x
1
lim
0
2)



∞−
∞+
=−
→ ímparése,
parése,1
lim
0 n
n
xnx
Teorema: Se a for um número real qualquer e se 0)(lim =
→
xf
ax
e cxg
ax
=
→
)(lim , onde c é
uma constante não nula, então:
i) se c > 0 e se 0)( →xf por valores positivos, teremos:
+∞=
→ )(
)(
lim
xf
xg
ax
ii) se c > 0 e se 0)( →xf por valores negativos, teremos:
−∞=
→ )(
)(
lim
xf
xg
ax
iii) se c < 0 e se 0)( →xf por valores positivos, teremos:
−∞=
→ )(
)(
lim
xf
xg
ax
iv) se c < 0 e se 0)( →xf por valores negativos, teremos:
+∞=
→ )(
)(
lim
xf
xg
ax
Ex1: +∞==
−−
++
+→ +
0
14
32
2
lim 2
2
3 xx
xx
x
Ex2: −∞==
−−
++
−→ −
0
14
32
2
lim 2
2
3 xx
xx
x
Ex3: −∞=
−
=
−
−
+
→ +
0
2
2
4
lim 2
2 xx
x
x
Ex4: +∞=
−
=
−
−
−
→ −
0
2
2
4
lim 2
2 xx
x
x
9) Como calcular limites

10. 10
Agora podemos fazer um apanhado geral de todos os casos de Limites que estudamos:
I – O numerador se aproxima de um número real e o denominador tende a um número real
não nulo.
Solução: Substituição
Ex:
13
8
3
2
lim 24
=
−→ x
x
x
II – O numerador e o denominador tendem a zero.
Solução: Fatore o numerador e o denominador e escolha o método para calcular o limite.
Ex: 211)1(lim
)1(
)1)(1(
lim
1
1
lim
11
2
1
=+=+=
−
−+
=
−
−
→→→
x
x
xx
x
x
xxx
Ex: 033)3(lim
)3(
)3(
lim
3
96
lim
3
2
3
2
3
=+−=+=
+
+
=
+
++
−→−→−→
x
x
x
x
xx
xxx
Ex: 12225)25(lim
)2(
)2)(25(
lim
2
485
lim
22
2
2
=+⋅=+=
−
−+
=
−
−−
→→→
x
x
xx
x
xx
xxx
Obs: Quando tivermos indeterminação do tipo
0
0
com radical como no exemplo abaixo,
temos que racionalizar:
3
lim
→x
( )
( ) ( )
2 2
( 3) 33 3
3 3 3
x xx x
x x x
− +− +
× =
− + −
=
( )( 3) 3
( 3)
x x
x
− +
−
= 2 3
III – O numerador se aproxima de um número real não nulo e o denominador tende a zero.
Solução: Como o denominador se aproxima de zero, a fração cresce ou decresce sem
limitações e a resposta será ∞−∞+ ou de acordo com o Teorema 4.
Ex: −∞=
−
=
− +
−→ +
0
2
4
lim 2
2 x
x
x
IV – O numerador tende a um número real e o denominador tende para ∞−∞+ ou .
Solução: A resposta é sempre zero.
Ex: 0
3
5
lim 2
=
−+∞→ xx
V – O numerador e o denominador tendem para ∞−∞+ ou .
Solução: Divida o numerador e o denominador pela maior potência da variável presente e
escolha o método apropriado para calcular o limite.
0
0 0

11. 11
Ex: =
−+
−
+∞→ 100103
27
lim 2
2
xx
x
x
2
2
222
2
22
2
100
lim
10
lim3lim
2
lim7lim
100103
27
lim
xx
x
xx
x
x
x
xx
x
xxx
xx
x
+∞→+∞→+∞→
+∞→+∞→
+∞→
−+
−
=
−+
−
=
=
3
7
3lim
7lim
=
+∞→
+∞→
x
x
Ex: =
++
−∞→ 2
2
13
lim
x
xx
x
1
1
1
1lim
1lim
13
lim
2
2
222
2
===
++
−∞→
−∞→
−∞→
x
x
x
x
x
xx
x
x
x
Ex: +∞==
+
+
=
+
+
++∞→+∞→ 0
1
2
3
lim
2
3
lim
22
22
2
2
xx
x
xx
x
x
x
xx
Ex: +∞=
−
=
+
−
=
+
−
−−∞→−∞→ 0
1
28
5
lim
28
5
lim
33
3
3
33
xx
x
x
x
x
x
x
xx
Ex: −∞=
−
=
+
−
=
+
−
++∞→+∞→ 0
1
28
5
lim
28
5
lim
33
3
3
33
xx
x
x
x
x
x
x
xx
Temos que observar alguns exemplos importantes:
a)
52
52
lim
2
−
+
+∞→
x
x
x
Neste caso dividimos o numerador e o denominador por x. No denominador tomamos
2
xx = , já que os valores de x podem ser considerados positivos ( +∞→x ). Temos:
xxxxxx =>+∞→= então0Como.2
52
52
lim
2
−
+
+∞→
x
x
x
= 2
2
22
2
2
52
2
lim
52
52
lim
22
2
2
2
===
−
=
−
+
+∞→+∞→
xx
x
x
x
xx
x
xx
0 0

12. 12
b)
52
52
lim
2
−
+
−∞→
x
x
x
Neste caso dividimos o numerador e o denominador por x e como −∞→x , os valores de x
podem ser considerados negativos. Assim para o denominador devemos tomar 2
xx −= , pois
xxxxxx −=<−∞→= então0Como.2
.
2
2 5
lim
2 5x
x
x→−∞
+
−
= 2 2
2 2 2
2 5
2 2 2 2
lim lim 2
222 5 2 5x x
x
x x
x x
x x x
→−∞ →−∞
+
= = = − = −
−−
− − −
c)
2
4
lim
2
2 −
−
+
→ x
x
x
( )2
22então022Como −=−>−→ +
xxxx . Assim
2
4
lim
2
2 −
−
+
→ x
x
x
=
+∞==
−
+
=
−⋅−
−⋅+
=
−−
−+
=
−
−+
+→→→→ ++++
0
2
2
2
lim
22
22
lim
)2)(2(
)2)(2(
lim
)2(
)2)(2(
lim
22222 x
x
xx
xx
xx
xx
x
xx
xxxx
d)
2
4
lim
2
2 −
−
−
→ x
x
x
( ) 22
)2(22então022Como xxxxx −−=−−=−<−→ −
. Assim
2
4
lim
2
2 −
−
−
→ x
x
x
=
−∞==
−−
+
=
−⋅−−
+⋅−
=
−−
+−
−→→→ −−−
0
2
2
2
lim
22
22
lim
)2(
)2)(2(
lim
2222 x
x
xx
xx
x
xx
xxx
10) Alguns Teoremas importantes sobre limites
Teorema 1: i) Se +∞=
→
)(lim xf
ax
e cxg
ax
=
→
)(lim , onde c é uma constante qualquer,
então: +∞=+
→
)]()([lim xgxf
ax
.
ii) Se −∞=
→
)(lim xf
ax
e cxg
ax
=
→
)(lim , onde c é uma constante qualquer,
então: −∞=+
→
)]()([lim xgxf
ax
.
O teorema continua valendo se ax → for substituído por +
→ ax ou −
→ ax .
Ex1: +∞=++∞=
+
+
−
=



+
+
− +++
→→→ 4
1
2
1
lim
2
1
lim
2
1
2
1
lim
222 xxxx xxx

13. 13
Teorema 2: Se +∞=
→
)(lim xf
ax
e cxg
ax
=
→
)(lim , onde c é uma constante não nula, então:
i) se ,0>c +∞=⋅
→
)()(lim xgxf
ax
ii) se ,0<c −∞=⋅
→
)()(lim xgxf
ax
Teorema 3: Se −∞=
→
)(lim xf
ax
e cxg
ax
=
→
)(lim , onde c é uma constante não nula, então:
i) se ,0>c −∞=⋅
→
)()(lim xgxf
ax
ii) se ,0<c +∞=⋅
→
)()(lim xgxf
ax
Ex1: −∞=−⋅+∞=−⋅=
−
+
⋅
−
=





−
+
⋅
− +→→→
)7()7(
0
5
4
4
lim
)3(
5
lim
4
4
)3(
5
lim
32323 x
x
xx
x
x xxx
Ex2: −∞=⋅−∞=⋅
−
=
+
+
⋅
−
−
=





+
+
⋅
−
−
+→→→ 5
4
5
4
0
7
2
1
lim
)3(
7
lim
2
1
)3(
7
lim
32323 x
x
xx
x
x xxx

14. 14
11) Limites Fundamentais
Daremos a seguir três proposições que caracterizam os chamados limites fundamentais.
Estaremos tratando de casos particulares de indeterminações do tipo
00
, 1 e
0
∞
∞ .
Proposição 1:
0
lim 1
x
sen x
x→
=
Proposição 2:
1
lim 1
x
x
e
x→±∞
 
+ = ÷
 
Proposição 3:
0
1
lim ln ( 0 , 1)
x
x
a
a a a
x→
−
= > ≠
Dem: Fazendo 1x
t a= − temos: 1x
a t= + (1)
Aplicando ln na igualdade (1)
( )
( )
( )
ln ln 1
ln ln 1
ln 1
ln
x
a t
x a t
t
x
a
= +
= +
+
=
Quando 0, 0x x→ ≠ temos que 0, t 0t → ≠ e então podemos escrever:
0 0 0 0
0 0
1 ln
lim lim lim . ln .lim =
ln( 1) ln( 1) ln( 1)
ln
1
ln .lim = ln .lim ln .1 ln
ln( 1) ln( 1)
x
x t t t
t t
a t a t
t a
tx t t
a
t
ta a a a
t t
t t
→ → → →
→ →
−
= = =
+ + +
= =
+ +
c.q.d.
Exercícios
1)
0
2
lim
x
sen x
x→
2)
0
3
lim
4x
sen x
sen x→
3)
0
lim
x
tg x
x→
4)
0
lim
x
tg ax
x→
5)
0
9
lim
x
sen x
x→
6)
0
4
lim
3x
sen x
x→
7)
3
30
2lim
x
xsen
x→
8)
3
31
1
4lim
( 1)x
xtg
x→−
+
+
9)
0
1 cos
lim
x
x
x→
−
10) 20
1 cos
lim
x
x
x→
−
11) 20
sec cos
lim
x
x x
x→
−
12)
0
lim
x
tg x sen x
x→
−
13) ( )
1
0
lim 1 x
x
x
→
+ 14) ( )( )1
0
limln 1 t
t
t
→
+ 15)
1
lim 1
3
x
x x→−∞
 
+ ÷
 
16)
_
3
lim 1
x
x x→ ∞
 
− ÷
 
17)
2
lim 1
x
x x→−∞
 
+ ÷
 
18)
2
2
10 1
lim
2
x
x x
−
→
−
−
19)
3
5
3
4 1
lim
3
x
x x
+
→−
−
+
20)
0
lim
x x
x
a b
x→
−

15. 15
Unidade II – Derivadas
Nesta unidade, estudaremos a Derivada. Veremos, inicialmente, que ela representa a
inclinação de uma curva num ponto.
1) A Reta Tangente
Vamos definir a inclinação de uma curva )(xfy = para, em seguida, encontrar a equação
da reta tangente à curva num determinado ponto.
Seja )(xfy = uma curva definida no intervalo (a, b).
Sejam ),(e),( 2211 yxQyxP dois pontos distintos da curva )(xfy = .
Seja s a reta secante que passa pelos pontos P e Q. Temos que a inclinação da reta s (ou
coeficiente angular de s) é:
x
y
xx
yy
∆
∆
=
−
−
==
12
12
cat.adj.
cat.opt.
tg α .
Suponhamos que mantendo P fixo, Q se mova sobre a curva em direção a P. Diante disto, a
inclinação da reta secante s variará. À medida que Q vai se aproximando cada vez mais de P, a
inclinação da secante varia cada vez menos, tendendo para um valor limite constante. Esse limite é
chamado inclinação da reta tangente à curva no ponto P, ou também inclinação da curva em P.
Definição: Dado uma curva )(xfy = , seja ),( 11 yxP um ponto sobre ela. A inclinação
da reta tangente no ponto P é dada por:
12
12
1
)()(
limlim)(
12 xx
xfxf
x
y
xm
xxPQ −
−
=
∆
∆
=
→→
quando o limite existe.
Fazendo xxx ∆+= 12 podemos reescrever o limite como:
x
xfxxf
xm
x ∆
−∆+
=
→∆
)()(
lim)( 11
0
1 .
Conhecendo a inclinação da reta tangente à curva no ponto P podemos encontrar a equação
da reta tangente à curva em P.
a 1x 2x b
s
1
2
y
y
P
Q
12 xx −
12 yy −



α
Q
P
P

16. 16
1.1) Equação da Reta Tangente
Se a função )(xf é contínua em 1x , então a reta tangente à curva )(xfy = em
))(,( 11 xfxP é:
i) A reta que passa por P tendo inclinação
x
xfxxf
xm
x ∆
−∆+
=
→∆
)()(
lim)( 11
0
1 , se o limite
existe. Teremos a equação:
)()( 11 xxmxfy −=−
ii) A reta 1xx = se
x
xfxxf
x ∆
−∆+
→∆
)()(
lim 11
0
for infinito.
Ex1: Encontre a inclinação da reta tangente à curva 122
+−= xxy no ponto ),( 11 yx .
12)( 2
+−= xxxf
12)( 1
2
11 +−= xxxf
.12221)(2)()( 1
2
1
2
11
2
11 +∆−−∆+∆+=+∆+−∆+=∆+ xxxxxxxxxxxxf
x
xfxxf
xm
x ∆
−∆+
=
→∆
)()(
lim)( 11
0
1
x
xxxxxxxx
xm
x ∆
−+−+∆−−∆+∆+
=
→∆
121222
lim)( 1
2
11
2
1
2
1
0
1
22202
)22(
lim
22
lim)( 11
1
0
2
1
0
1 −=−+=
∆
−∆+⋅∆
=
∆
∆−∆+∆
=
→∆→∆
xx
x
xxx
x
xxxx
xm
xx
Assim, a inclinação da reta tangente à curva 122
+−= xxy no ponto ),( 11 yx é:
)( 1xm = 22 1 −x .
Ex2: Encontre a inclinação da reta tangente à curva 342
+−= xxy no ponto ),( 11 yx .
Ex3: Encontre a equação da reta tangente à curva 32 2
+= xy no ponto cuja abscissa é 2.
Ex4: Encontre a equação da reta tangente à curva 342
+−= xxy no ponto (4, 3).
Ex5: Encontre a equação da reta tangente à curva xy = , que seja paralela á reta
0148 =+− yx .
Obs: Duas retas paralelas têm o mesmo coeficiente angular (ou seja, mesma inclinação).
x
xfxxf
xm
x ∆
−∆+
=
→∆
)()(
lim)( 11
0
1
=
+∆+⋅
+∆+⋅
∆
−∆+
=
→∆
11
1111
0
lim
xxx
xxx
x
xxx
x
=
( ) ( )
( ) ( ) =
+∆+⋅∆
−∆+
=
+∆+⋅∆
−∆+
→∆
11
11
11
2
1
2
1
0
lim
xxxx
xxx
xxxx
xxx
x ( )11 xxxx
x
+∆+⋅∆
∆
11111
0
1
2
1
0
11
lim)(
xxxxxx
xm
x
=
++
=
+∆+
=
→∆
.
Então: =)( 1xm
12
1
x

17. 17
Como a reta que queremos deve ser paralela à 0148 =+− yx , devemos encontrar a sua
inclinação. 0148 =+− yx
184 += xy
4
1
2 += xy . Assim a inclinação da reta é 2.
Com isso: =)( 1xm
12
1
x
= 2 141 x=⇒
16
1
4
1
11 =⇒=⇒ xx
Portanto a reta que queremos é a reta tangente à curva =y x no ponto






=











4
1
,
16
1
16
1
,
16
1
f . Assim )()( 11 xxmxfy −=−






−=−
16
1
2
4
1
xy ⇒ 021632232416 =+−⇒−=− yxxy
⇒ 01816 =+− yx
Def: A reta normal a uma curva num ponto dado é a reta perpendicular à reta tangente nesse
ponto.
Duas retas m e n são perpendiculares se: 1−=⋅ nt mm , tm = inclinação de t
nm = inclinação de n.
Ex6: Encontre a equação para a reta normal à curva 2
xy = no ponto P(2, 4).
Vamos calcular a inclinação da reta tangente:
x
xfxxf
xm
x ∆
−∆+
=
→∆
)()(
lim)( 11
0
1 11 2)( xxm =⇒ . Como 21 =x então 4)2( =m .
Assim podemos achar a inclinação da reta normal:
1−=⋅ nt mm
4
1
14
−
=
−=⋅
n
n
m
m
Assim a equação da reta normal à curva em (2, 4) será:
)2(
4
1
4
)()( 11
−
−
=−
−=−
xy
xxmxfy
4
2
4
4 +
−
=−
x
y
0184
01624
=−+
=−−+
yx
xy
Ex7: Encontre a equação da reta normal à curva 3−= xy que seja paralela à reta
0436 =−+ yx .
2) Definição Derivada
2.1) A Derivada de uma função num ponto

18. 18
A derivada de uma função )(xf no ponto 1x , denotada por )( 1xf ′ (lê-se f linha de x no
ponto 1x ) é definida pelo limite:
1 1
1
0
( ) ( )
( ) lim
x
f x x f x
f x
x∆ →
+ ∆ −
′ =
∆
, quando esse limite existe.
Também podemos escrever:
2 1
1
0
2 1
( ) ( )
( ) lim
x
f x f x
f x
x x∆ →
−
′ =
−
Assim como vimos, a derivada, geometricamente representa a inclinação da curva no ponto
1x .
2.2) A Derivada de uma função
A derivada de uma função y = f(x) é a função denotada por ( )f x′ (lê-se f linha de x), tal que
seu valor em qualquer ( )x D f∈ é dado por:
0
( ) ( )
( ) lim
x
f x x f x
f x
x∆ →
+ ∆ −
′ =
∆
, se este limite existir.
Dizemos que uma função é derivável quando existe a derivada em todos os pontos de seu
domínio.
Outras notações:
( )xD f x - derivada de f(x) em relação a x.
xD y - derivada de y em relação a x.
dy
dx
- derivada de y em relação a x.
Exemplos:
1) Dada 2
( ) 5 6 1,f x x x= + − encontre (2)f ′ .
2) Dada
2
( )
3
x
f x
x
−
=
+
, encontre ( )f x′ .
3) Dada 2
( ) 3 12,f x x= + encontre ( )f x′ .
4) Dada
2
3
( )f x x= , encontre ( )f x′ .
3) Diferenciabilidade de Funções
Def: Uma função f é dita diferenciável ou derivável no ponto 1x se existe a derivada da
função no ponto 1x , ou seja, se 1( )f x′ existe.

19. 19
Para verificarmos se a derivada de uma função f diferenciável ou derivável no ponto 1x ,
precisamos conhecer a idéia de Derivadas Laterais ( o raciocínio é análogo ao de Limites Laterais).
3.1) Derivadas Laterais:
Como sabemos a derivada de uma função f no ponto 1x , denotada por )( 1xf ′ é definida
pelo limite:
1 1
1
0
( ) ( )
( ) lim
x
f x x f x
f x
x∆ →
+ ∆ −
′ =
∆
, quando esse limite existe.
Assim quando esse limite existe, sabemos que os Limites Laterais existem e são iguais,
devido às propriedades de Limites estudadas. Da mesma forma, podemos dizer que a derivada da
função existe, se e somente se, as derivadas laterais são iguais. E são elas:
Derivada Lateral à direita: 1 1
1
0
( ) ( )
( ) lim
x
f x x f x
f x
x++
∆ →
+ ∆ −
′ =
∆
Derivada Lateral à esquerda: 1 1
1
0
( ) ( )
( ) lim
x
f x x f x
f x
x−−
∆ →
+ ∆ −
′ =
∆
Ex: Seja a função
5 2 , se 3
( )
4 13 , se 3
x x
f x
x x
− <
= 
− ≥
Desde que 3
lim ( ) (3)
x
f x f
→
= , segue que f é contínua em 3.
3
lim ( ) 4.3 13 1
x
f x+
→
= − = − e 3
lim ( ) 5 2.3 1
x
f x−
→
= − = − Assim o limite existe e é igual a -1.
Vamos agora calcular as derivadas laterais da função f no ponto 3:
0 0 0 0
(3 ) 1 4(3 ) 13 1 12 4 12 4
(3) lim lim lim lim 4
x x x x
f x x x x
f
x x x x+ + + ++
∆ → ∆ → ∆ → ∆ →
+ ∆ + + ∆ − + + ∆ − ∆
′ = = = = =
∆ ∆ ∆ ∆
0 0 0 0
(3 ) 1 5 2(3 ) 1 5 6 2 1 2
(3) lim lim lim lim 2
x x x x
f x x x x
f
x x x x− − − −−
∆ → ∆ → ∆ → ∆ →
+ ∆ + − + ∆ + − − ∆ + − ∆
′ = = = = = −
∆ ∆ ∆ ∆
Como 1 1( ) ( )f x f x+ −
′ ′≠ , para 1 3x = . A função f não é diferenciável no ponto 3.
Exercícios:
1) Verifique se a função f definida por:
2
, se 1
( )
2 1 , se 1
x x
f x
x x
 <
= 
− ≥
é diferenciável no ponto 1.
2) Verifique se a função f definida por:
3 2 , se 3
( )
10 , se 3
x x
f x
x x
− ≤
= 
− >
é diferenciável no ponto 3.
3) Verifique se a função f definida por:

20. 20
2
, se 2
( )
6 , se 2
x x
f x
x x
 ≤
= 
− >
é diferenciável no ponto 2.
4) Verifique se a função f definida por:
3
2
( 1) , se 0
( ) 3
3 1 , se 0
2
x x
f x
x x x
 − >

= 
+ − ≤

é diferenciável no ponto 0.
5) Verifique se a função f definida por:
2 +9 , se 1
( )
5 2 , se 1
x x
f x
x x
≤ −
= 
− > −
é diferenciável no ponto 1− .
6) Mostrar que a função f definida por:
2
2
, se 2
( )
8 , se 2
x x
f x
x x
 ≤
= 
− >
é contínua, mas não é diferenciável no ponto 2.
7) Verifique se a função f definida por:
5 , se 3
( )
9 , se 3
x x
f x
x x
+ ≤
= 
− >
é diferenciável no ponto 3.
4) Regras de Derivação:
1) Derivada de uma constante:
Se c é uma constante e ( )f x c= , então ( ) 0f x′ = .
Ex: ( ) 5f x =
( ) 0f x′ =
2) Derivada de uma potência:
Se n é um número real qualquer e ( ) n
f x x= , então 1
( ) n
f x n x −
′ = × .
Ex: 4
( )f x x=
4 1 3
( ) 4 4f x x x−
′ = × =
3) Derivada do produto de uma constante por uma função:
Sejam f uma função, c uma constante e ( ) ( )g x c f x= × , então ( ) ( )g x c f x′ ′= × .
Ex: 4
( ) 3f x x=
4 1 3
( ) 3 4 12f x x x−
′ = × × =

21. 21
4) Derivada da Soma:
Seja ( ) ( ) ( )h x f x g x= + , então ( ) ( ) ( )h x f x g x′ ′ ′= + .
(Ou seja, a derivada da soma é a soma das derivadas)
Ex: 5
( ) 2 3 1f x x x= + −
4
( ) 10 3f x x′ = +
5) Derivada do Produto:
Seja ( ) ( ) ( )h x f x g x= × , então ( ) ( ) ( ) ( ) ( )h x f x g x f x g x′ ′ ′= × + × .
Ex: ( ) ( )3 2 4
( ) 3 2f x x x x x= + × −
( ) ( ) ( ) ( )2 4 3 2 3
( ) 9 4 3 2 4 1f x x x x x x x x′ = + × − + + × −
6 5 3 2
( ) 21 12 12 6f x x x x x′ = + − −
6) Derivada do Quociente:
Seja
( )
( )
( )
f x
h x
g x
= , então
[ ]
2
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
f x g x f x g x
h x
g x
′ ′× − ×
′ = .
Ex:
2
3
( )
x x
f x
x
+
=
2
2
(2 3) ( 3 ) 1
( )
x x x x
f x
x
+ × + + ×
′ = =
2
2
3 6x x
x
+
5) Derivada de uma função composta
Consideremos duas funções deriváveis f e g onde y = g(u) e u = f(x).
Para todo x tal que f(x) está no domínio de g, podemos escrever y = g(u) = g(f(x)), isto é,
consideremos a função composta ( ) ( )g f xo .
Ex: ( )
7
2
5 2y x x= + + essa função pode ser vista como 7
y u= e 2
5 2 ( )u x x f x= + + =
Vamos então apresentar a Regra da Cadeia que nos dá a derivada da função composta
( ) ( )g f xo em termos das derivadas de f e g.
5.1) Regra da Cadeia
Se y = g(u) e u = f(x) e as derivadas e
dy du
du dx
existem então a função composta
y = g(u) = g(f(x)) tem derivada que é dada por:

22. 22
dy dy du
dx du dx
= × ou ( ) ( ) ( )y x g u f x′ ′ ′= ×
Ex: ( )
7
2
5 2y x x= + + determinar
dy
y
dx
′ =
2
5 2u x x= + + . Então ( ) 7
y g u u= =
dy dy du
dx du dx
= ×
dy
dx
= 6
7u (2 5)x× + = 7( ) ( )
6
2
5 2 2 5x x x+ + × +
Proposição: Se u = f(x) é uma função derivável e n é um número inteiro não nulo, então:
[ ] [ ]
1
( ) ( ) ( )
n nd
f x n f x f x
dx
−
′= ×
Ex1: 2
( ) 5 3f x x= +
Ex2:
2
3 3
( )
1
t
f t
t
=
+
Ex3: 2
1
3
x
y
x
+
=
−
6) Derivada da função inversa
Seja y = f (x) uma função definida em um intervalo (a,b).Suponha que f (x) admita inversa x
= g (y) contínua. Se ( )f x′ existe e é diferente de zero para qualquer ( , )x a b∈ , então 1
g f −
= é
derivável, e:
1
( )
( )
g y
f x
′ =
′
Ex: Seja y = f (x) = 4x – 3 . A sua inversa é dada por
1
( ) ( 3)
4
x g y y= = +
1
( ) 4 e ( )
4
f x g y′ ′= = , são inversas uma da outra.
7) Derivadas de Funções elementares
1) Derivada da Função Exponencial:
Se ( 0 e 1)x
y a a a= > ≠ . Então:
lnx
y a a′ = ×
ln - logaritmo natural ou logaritmo
neperiano , base e (número de Euller)
e = 2,71828....

23. 23
Obs: Se x
y e= , então lnx x
y e e e′ = × =
2) Derivada da Função Logarítmica:
Se log ( 0 e 1)ay x a a= > ≠ . Então:
1
logay e
x
′ = ×
Obs: Se lny x= , então
1 1
logey e
x x
′ = × =
3) Derivada da Função Exponencial Composta:
Seja v
y u= , onde ( ) e ( )u u x v v x− =
1
lnv v
y v u u u u v−
′ ′ ′= × × + × ×
Obs: ( 0 e 1)u
y a a a= > ≠ ⇒ lnx
y a a u′ ′= × ×
u
y e= ⇒ u
y e u′ ′= ×
log ( 0 e 1)ay u a a= > ≠ ⇒ loga
u
y e
u
′
′ = ×
lny u= ⇒
u
y
u
′
′ =
8) Derivadas das Funções Trigonométricas
1) sen cosy x y x′= ⇒ =
2) cos seny x y x′= ⇒ = −
3) 2
tg secy x y x′= ⇒ =
4) 2
cotg cosecy x y x′= ⇒ = −
5) sec sec tgy x y x x′= ⇒ = ×
6) cosec cosec cotgy x y x x′= ⇒ = − ×
Assim:
sen cosy u y u u′ ′= ⇒ = ×
cos seny u y u u′ ′= ⇒ = − ×
2
tg secy u y u u′ ′= ⇒ = ×
2
cotg cosecy u y u u′ ′= ⇒ = − ×
sec sec tgy u y u u u′ ′= ⇒ = × ×
cosec cosec cotgy u y u u u′ ′= ⇒ = − × ×
9) Derivadas das Funções Trigonométricas Inversas

24. 24
1) 2
1
arcsen
1
y x y
x
′= ⇒ =
−
2) 2
1
arccos
1
y x y
x
−
′= ⇒ =
−
3) 2
1
arctg
1
y x y
x
′= ⇒ =
+
4) 2
1
arccotg
1
y x y
x
−
′= ⇒ =
+
5) 2
1
arcsec , 1
1
y x y x
x x
′= ⇒ = >
−
6) 2
1
arccosec , 1
1
y x y x
x x
−
′= ⇒ = >
−
Obs: Funções Compostas
1) 2
arcsen
1
u
y u y
u
′
′= ⇒ =
−
2) 2
arccos
1
u
y u y
u
′−
′= ⇒ =
−
3) 2
arctg
1
u
y u y
u
′
′= ⇒ =
+
4) 2
arccotg
1
u
y u y
u
′−
′= ⇒ =
+
5) 2
arcsec
1
u
y u y
u u
′
′= ⇒ =
−
6) 2
arccosec
1
u
y u y
u u
′−
′= ⇒ =
−
10) Derivadas Sucessivas
Seja f uma função derivável definida em um certo intervalo. A sua derivada f ′ é também
uma função, definida no mesmo intervalo. Podemos, portanto, pensar na derivada da função f ′ .

25. 25
Def: Seja f uma função derivável. Se f ′ também for derivável, então a sua derivada é
chamada derivada segunda de f e é representada por ( )f x′′ (lê-se: f duas linhas de x) ou
2
2
d y
dx
(lê-
se: derivada segunda de y em relação a x).
E assim por diante podemos ter ( )f x′′′ , ( )iv
f x até ( )n
f x (derivada de ordem n).
Ex1: 5 2
( ) 3 8f x x x= +
4
( ) 15 16f x x x′ = +
3
( ) 60 16f x x′′ = +
M
Ex2: ( )
1
2 2 2
( ) 1 1f x x x= + = +
( )
1
2 21
( ) 1 2
2
f x x x
−
′ = + × = ( )
1
2 2
( ) 1f x x x
−
′ = + × , então:
( ) ( )
3 1
2 22 21
( ) 1 2 1
2
f x x x x x
− −− 
′′ = + × × + + ÷
 
11) Derivada Implícita
As funções estudadas até aqui são da forma ( )y f x= , ou seja, y é dado explicitamente
como função de x. Entretanto, há expressões que não são dadas nesta forma, exemplos:
1) 3 4 0y x+ − =
2) 5
2x y =
3) 2 4
1x y+ =
4)
3 5
3 0
x
x y y
y
− + − =
Dizemos nestes que y está dado implicitamente em função de x. Nos três primeiros
exemplos podemos reescrever de maneira a tornar y como função explícita de x, o que não acontece
no 4º exemplo. Mesmo assim, podemos determinar y′ implicitamente, da seguinte forma:
Consideremos y como uma função de x desconhecida e derivamos normalmente, usando as regras
de derivação estudadas.
Ex1: 3 2
2y x xy− =
Ex2: 5 2 3
7x x y y− + =
Ex3:
2
3 x y
y
x y
−
=
+
Ex4: 2 3
2 2xy y x y− = −
12) Regra de L´Hospital

26. 26
É um método geral para calcular indeterminações do tipo
0
ou
0
∞
∞
.
Def: Sejam f e g funções deriváveis em um intervalo aberto. Suponhamos que ( ) 0g x′ ≠ .
i) Se lim ( ) lim ( ) 0
x a x a
f x g x
→ →
= = e
'( )
lim
'( )x a
f x
L
g x→
= . Então,
( )
lim
( )x a
f x
g x→
=
'( )
lim
'( )x a
f x
L
g x→
= .
ii) Se lim ( ) lim ( )
x a x a
f x g x
→ →
= = ∞ e
'( )
lim
'( )x a
f x
L
g x→
= . Então,
( )
lim
( )x a
f x
g x→
=
'( )
lim
'( )x a
f x
L
g x→
= .
Exemplos:
1)
0
sen
lim
x
x
x→
2)
2
22
6
lim
3 2x
x x
x x→
+ −
− +
3)
0
sen
lim
2x xx
x x
e e−→
−
+ −
4) 31
1 ln
lim
3 2x
x x
x x→
− +
− +
5)
2
lim xx
x
e→+∞
6)
ln
lim
lnx
x x
x x→+∞
×
+
13) Aplicações de Derivadas
13.1) Estudo das Funções utilizando derivada:
Def: Função Crescente e Decrescente:
Seja f(x) uma função definida em um intervalo I qualquer, dizemos que:
i) f(x) é crescente se 1 2 1 2( ) ( )x x f x f x∀ < ⇒ <
ii) f(x) é decrescente se 1 2 1 2( ) ( )x x f x f x∀ < ⇒ >
Def: Máximo e Mínimo:
Seja f(x) uma função definida em um intervalo I qualquer, dizemos que um ponto
c ∈ dom f é:
i) Máximo absoluto se ( ) ( )f x f c x I≤ ∀ ∈
ii) Mínimo absoluto se ( ) ( )f x f c x I≥ ∀ ∈

27. 27
Podemos falar também em máximo e mínimo relativo, quando acontece em apenas um
pedaço do domínio.
Se a função tiver um máximo absoluto em c ou mínimo absoluto em c dizemos que f tem um
extremo absoluto em c. Da mesma maneira para extremo relativo.
Obs: Se f(x) tiver um extremo relativo em c, onde c I∈ , então ( ) 0f c′ = , se ( )f c′ existir.
Def: Ponto Crítico:
Se c for um número do domínio da função f e se ( ) 0f c′ = ou ( )f c′ não existir, então c será
chamado de ponto crítico ou número crítico.
Teorema: Se a função f é contínua no intervalo fechado [a,b] e derivável no intervalo (a,b).
i) se ( ) 0 para todo ( , ),f x x a b′ > ∈ então f será crescente em [a,b].
ii) se ( ) 0 para todo ( , ),f x x a b′ < ∈ então f será decrescente em [a,b].
- Teste da Derivada Primeira para extremos relativos:
Seja c um ponto crítico de uma função f , se existir um intervalo (a,b) contendo c, tal que:
i) ( ) 0 para todof x a x c′ > < < e ( ) 0 para todof x c x b′ < < < , então c é um ponto de
máximo relativo da função.
ii) ( ) 0 para todof x a x c′ < < < e ( ) 0 para todof x c x b′ > < < , então c é um ponto de
mínimo relativo da função.
- Estudo da Concavidade:
i) Se ( ) 0 para todo ( , ),f x x a b′′ > ∈ diremos que f(x) é côncava para cima em [a,b].
ii) Se ( ) 0 para todo ( , ),f x x a b′′ < ∈ diremos que f(x) é côncava para baixo em [a,b].
Def: Ponto de Inflexão:
Um ponto 0x é dito ponto de inflexão de f(x) se a concavidade da curva f(x) mudar em 0x .
Obs: Assim no ponto de inflexão 0x , o sinal de ( )f x′′ muda, isto ocorre quando 0( ) 0f x′′ =
ou quando 0( )f x′′ não existe.
Então:
Se 0x é ponto de inflexão 0( ) 0f x′′⇒ = , se existir.
- Teste da Derivada Segunda para extremos relativos:
Seja c um ponto crítico de uma função f , no qual ( ) 0f c′ = . Se ( )f c′′ existe e;
i) se ( ) 0f c′′ < então c é um ponto de máximo relativo da função.
ii) se ( ) 0f c′′ > então c é um ponto de mínimo relativo da função.
iii) se ( ) 0f c′′ = não podemos concluir nada.
- Roteiro para traçar um gráfico:
1º) Encontrar o Domínio da função
2º) Procurar as assíntotas, se existirem.
3º) Encontrar os pontos onde ( ) 0f x′ = e classificá-los
4º) Localizar pontos críticos
5º) Classificar os pontos

28. 28
Exercício: Estude as funções abaixo e esboce o gráfico:
1) 4 2
( ) 2f x x x= −
2) 2
( ) 6 2f x x x= − −
3) 3 2
( ) 6 9 1f x x x x= − + +
4) 3
( ) 3 4f x x x= − + +
5)
3 2
( ) 6 2
3 2
x x
f x x= − − +
Exercícios Aplicações de Derivadas:
1) Suponha 2
( ) 1y f x x x= = + + , 1 23, 3,5x x= = . Calcule:
a) a taxa de variação média de y em relação a x quando se varia de x1 para x2 Resp: 7,5
b) a taxa de variação instantânea de y em relação a x quando x = x1 Resp: 7
2) Um cubo de metal com aresta x é expandido uniformemente como conseqüência de ter sido
aquecido. Calcule:
a) a taxa de variação média de seu volume em relação à aresta quando x aumenta de 2 para 2,01 cm
b) a taxa de variação instantânea de seu volume em relação à aresta no instante em que x = 2cm
Resp: a) 12,0601 b) 12
3) Uma partícula se move sobre uma linha reta de acordo com a equação 2
s t t= + , onde s é a
distância em metros da partícula ao seu ponto de partida no final de t segundos. Calcule a
velocidade média da partícula durante o intervalo de tempo desde t1 =3 até t2 = 4.
4) Suponha que uma bola é solta a partir do ponto de observação no alto de uma torre, 450m
acima do solo. Sabendo que a distância percorrida por qualquer objeto em queda livre é
proporcional ao quadrado do tempo em que ele estiver caindo. Se a distância percorrida após t
segundos for chamada s(t) e medida em metros, então a Lei de Galileu pode ser expressa pela
equação 2
( ) 4,9s t t= . Pergunta-se:
a) Qual a velocidade da bola após 5 segundos? Resp: 49 m/s
b) Depois de quanto tempo a bola chega ao solo? Resp: 9,6 s
5) Suponha que o volume em metros cúbico de uma amostra do ar a 25° C está relacionado
com a pressão em quilopascals pela equação
5,3
V
P
= . Determine a taxa de variação de V em
relação a P, quando P = 50kPa. Resp: – 0,00212 m3
/kPa
6) Uma rede de água potável ligará uma central de abastecimento situada na margem de um
rio de 500 metros de largura a um conjunto habitacional situado na outra margem do rio, 2.000
metros abaixo da central. O custo da obra através do rio é de R$ 640,00 por metro, enquanto, em
terra, custa R$ 312,00. Qual é a forma mais econômica de se instalar água potável? Resp:
279,17m

29. 29
7) Um galpão deve ser construído tendo uma área retangular de 12.100m2
. A prefeitura exige
que exista um espaço livre de 25m na frente, 20m atrás e 12m em cada lado. Encontre as dimensões
do lote que tenha a área mínima na qual possa ser construído este galpão. Resp: 104,33m e
195,62m
14) Derivadas Parciais
14.1) Definição de função real f de n variáveis
Uma função real de n variáveis é simplesmente uma função do tipo f(x1, x2, ... , y . xn) . Onde x1,
x2, ... , xn, y são números reais. Se o domínio da função é subconjunto de R2
, então teremos z =
f(x,y) e dizemos que z é uma função de duas variáveis.
Ex1: Z = x3
.y – 3xy + x2
– 5 Ex2: f(x,y) = x1/2
+ x.y – 4x5
Uma aplicação de funções de duas variáveis em economia/administração é a função demanda.
Considere duas mercadorias relacionadas para as quais p é o preço unitário quando x unidades da
mercadoria A são demandadas e q o preço unitário da mercadoria B quando y unidades são
demandadas. Assim, as funções demandas serão:
x = f(p, q) e y = g(p, q)
14.2) Representação gráfica
A função de uma variável y = f(x) é uma curva em R2
, pois o domínio tem dimensão 1 e a imagem
tem dimensão 1, logo esta função precisa de um espaço de bidimensional para ser representada.
Portanto, o gráfico de uma função com domínio em R2
é uma superfície em R3
, pois o domínio tem
dimensão 2 e a imagem tem dimensão 1. No caso da função demanda, a representação gráfica
recebe o nome de superfícies de demanda. Através da análise dessa superfície duas mercadorias
podem ser classificadas em concorrentes ou complementares.
a) concorrentes: para q constante, se p cresce (x decresce), y cresce;
b) complementares: para q constante, se p cresce (x decresce), y decresce.

30. 30
Ex3: Suponha que x unidades da mercadoria A e y unidades da mercadoria B sejam demandadas
quando os preços por unidades são p e q, respectivamente, e as equações de demanda são:
x = –2p + 3q + 12 e y = – 4q + p + 8
Determine se as mercadorias são concorrentes ou complementares.
2
x
p
∂
= −
∂
e 1
y
p
∂
=
∂
Ou seja, quando p cresce 1 unidade, x decresce 2 unidades e y cresce 2 unidades, sendo assim as
mercadorias são concorrentes.
14.3) Derivadas parciais:
A análise da diferenciação de uma função de várias variáveis (nosso caso duas variáveis) reduz-se
ao caso de uma variável tratando esta função como apenas de uma de cada vez e mantendo-se as
demais fixas (constantes).
Definição: Seja f(x,y) uma função de duas variáveis x e y.
x
yxfyxxf
x
f
x ∆
−∆+
=
∂
∂
→∆
),(),(
lim
0
y
yxfyyxf
y
f
y ∆
−∆+
=
∂
∂
→∆
),(),(
lim
0
Onde:
x
f
∂
∂
- derivada parcial de f(x,y) em relação a x e
y
f
∂
∂
- derivada parcial de f(x,y) em relação a y
Exemplo: Seja f(x,y) = x2
- 2xy + 2y2
x
yxfyxxf
x
f
x ∆
−∆+
=
∂
∂
→∆
),(),(
lim
0
f(x+∆x, y) = (x+∆x)2
– 2.( x+∆x).y + 2y2
Assim,
x
yxyxxx
x
f
x ∆
+−−+∆++∆+
=
∂
∂
→∆
)22(2y.y)x2.()(x
lim
2222
0
yx
x
xyxx
x
f
x
22
22x
lim
2
0
−=
∆
∆−∆+∆
=
∂
∂
→∆
Analogamente encontramos, yx
y
f
42 +−=
∂
∂
É lógico que encontrar a derivada parcial através de sua definição não é prático. O cálculo de
x
f
∂
∂
é feito considerando y constante e,
y
f
∂
∂
é realizado considerando-se x constante.

31. 31
Exercícios. Encontre as derivadas parciais das funções abaixo.
a) f(x,y) = 6x + 3y – 7
b) f(x,y) = 4x2
– 6xy
c) f(x,y) = xy + 6x – y2
d) f(x,y,z) = x2
y + yz2
+ z3
e) f(x,y) = x4
– 2x2
y + 3xy2
+ x2
y
14.4) Interpretação econômica
Exemplo – Suponha que o custo de produção (Z) de certa mercadoria dependa apenas de duas
variáveis.
x – custo da mão de obra por hora
y – custo da matéria-prima por quilo.
Z = 600 + 30x + 8y
x
Z
∂
∂
= 30. Quando o custo da matéria-prima (y) permanece fixo, um aumento de R$ 1,00 no custo
por hora da mão de obra (x) resulta em um aumento de R$ 30,00 no custo da produção (Z)
y
Z
∂
∂
= 8. Quando o custo da mão de obra (x) permanece fixo, um aumento de R$ 1,00 no custo da
matéria-prima (y) resulta em um aumento de R$ 8,00 no custo da produção (Z)
Exercícios Resolvidos:
1) A empresa ETC & TAL produz pneus. O gerente de produção realizou um estudo sobre o número
de pneus do tipo I produzidos por dia em seu pátio fabril. Neste estudo, o gerente concluiu que a
produção P depende do número de operários envolvidos na produção (x) e da quantidade de máquinas
ligadas (y). A equação que relaciona essas variáveis é dada por:
P(x,y) = 30x + 40y .
a) Determine
P P
e
x y
∂ ∂
∂ ∂
Resp: 30 40
P P
x y
∂ ∂
= =
∂ ∂
b) Dê a interpretação econômica para o item anterior

32. 32
Resp: 30
P
x
∂
=
∂
. Quando a quantidade de máquinas ligadas (y) permanece fixo, um aumento de 1
operário resulta em um aumento de 30 unidades na produção.
40
P
y
∂
=
∂
. Quando o número de operários permanece fixo, um aumento de 1 máquina ligada resulta
em um aumento de 40 unidades na produção.
c) A produção é mais sensível a uma variação absoluta no número de operários ou no número de
máquinas? Justifique.
Resp: Números de máquinas, pois resulta em um aumento maior na produção.
d) Se uma das 5 máquinas utilizadas na produção tiver que ser desligada para manutenção corretiva
durante dois dias, qual será, aproximadamente a queda no número de unidades produzidas neste
intervalo.
Resp: 1 máquina desligada→ queda de 40 unidades na produção por dia, em 2 dias 80 unidades.
2) Para um certo mercado varejista está determinado que se x for o número diário de comerciais na
televisão, y for o número de minutos de duração de cada comercial, o número de unidades vendidas
diariamente (Z) será dado pela expressão:
Z = 2xy2
+ x2
+ 9000
Suponha que existam 12 comerciais, cada um com 1 minuto de duração.
a) encontre a taxa de variação instantânea de Z por unidade de variação em x se y permanecer fixo
em 1.
Resp:
2
2 2
Z
y x
x
∂
= +
∂
= 2.1+ 2 .12 = 26
b) use o item (a) para encontrar a variação (aproximada) nas vendas diárias, se o número de
comerciais com 1 minuto for aumentado em 25%.
2
2 2
Z
y x
x
∂
= +
∂
= 2.1+ 2 .15 = 32
c) encontre a taxa de variação instantânea de Z por unidade de variação em y se x permanecer fixo
em 12.
2 .2 4 4.12.1 48
Z
x y xy
y
∂
= = = =
∂
d) use o item (c) para encontrar a variação (aproximada) nas vendas diárias, se a duração de cada
um dos 12 comerciais for aumentada em 25%.
2 .2 4 4.12.1,25 60
Z
x y xy
y
∂
= = = =
∂
14.5) Aplicações
a - Demanda marginal parcial

33. 33
Seja p o preço unitário de X unidades de uma primeira mercadoria e q o preço unitário de Y
unidades de uma segunda mercadoria. Suponha que f e g sejam, respectivamente, as funções de
demanda para a primeira e segunda mercadorias, tais que:
X = f(p, q) e Y = g(p, q)
As derivadas parciais de X e Y em relação às variáveis p e q tem as seguintes denominações:
p
X
∂
∂
- demanda marginal parcial de X em relação a p
q
X
∂
∂
- demanda marginal parcial de X em relação a q
p
Y
∂
∂
- demanda marginal parcial de Y em relação a p
q
Y
∂
∂
- demanda marginal parcial de Y em relação a q
Interpretação: 4−=
∂
∂
p
X
. Se o preço q é mantido constante, um acréscimo de R$ 1,00 no preço
p acarreta uma diminuição (aproximadamente) de 4 unidades na demanda X pela primeira
mercadoria.
b - Elasticidade parcial de demanda
Seja a função demanda dependendo dos preços p e q de duas mercadorias. A elasticidade parcial de
demanda de x em relação a p (
p
x
E
E
) é a variação relativa de x por unidade de variação relativa em
p, quando q permanece constante. Assim:
p
x
x
p
E
E
p
x
∂
∂
= . ;
q
x
x
q
E
E
q
x
∂
∂
= . ;
p
y
y
p
E
E
p
y
∂
∂
= .
q
y
y
q
E
E
q
y
∂
∂
= .
Exemplo
Suponha que x represente a demanda por manteiga e y a demanda por margarina quando o preço por
quilo de manteiga é p e o de margarina é q. Além disso, as equações da demanda são:
3,02,0
.qpx −
= e 2,15,0
. −
= qpy . Ache as quatro elasticidades de demanda e interprete.
Resp:
x = demanda por manteiga

34. 34
y = demanda por margarina
p = preço por quilo de manteiga
q = preço por quilo de margarina
1,2 0,3
0,2 0,3
1,2 1,2
. . 0,2 .
.
. 0,2 0,2 20%
x
p
E p x p
p q
E x p p q
p p
−
−
−
∂
= = − =
∂
− = − = −
Quando o preço por quilo de margarina permanece fixo, um aumento de 1 real no preço por quilo
de manteiga acarreta em uma queda de 20% na demanda por manteiga. Faça as outra analogamente.
Exercícios
1) Sejam duas mercadorias A e B. Se X é a quantidade demandada da mercadoria A quando seu
preço unitário é p e o preço unitário de B é q e Y a quantidade demandada da mercadoria B quando
seu preço unitário é q e o de A é p, tal que:
X = -2p + 3q + 12 e Y = -4q + p + 8
a) determine as demandas marginais parciais
b) interprete o item anterior
c) conclua se as mercadorias A e B são concorrentes ou complementares.
2) Suponha que x unidades da mercadoria 1 e y unidades da mercadoria 2 sejam demandadas
mensalmente num dado comércio regional do Brasil quando os preços unitários de 1 e 2 são p e q,
respectivamente. As equações de demanda para essas mercadorias são:
X = 5q2
– 3pq e Y = 4p2
– 4pq
Suponha que no mês de novembro p = R$ 120,00 e q = R$ 100,00.
a) Encontre as quantidades demandadas de cada mercadoria no mês de novembro;
b) Encontre as quatro demandas marginais parciais;
c) Use o item (b) para determinar como as quantidades demandadas de cada uma das mercadorias
são afetadas quando o preço de 1 é aumentado de R$ 120,00 para R$ 121,00 e o preço de 2 fica fixo
em R$ 100,00;
d) Use o item (b) para determinar como as quantidades demandadas de cada uma das mercadorias
são afetadas quando o preço de 2 é diminuído de R$ 100,00 para R$ 98,00 e o preço de 1 fica fixo
em R$ 120,00;
Exercícios
1) Determine a equação da reta tangente ao gráfico de 643 2
−+= xxy no ponto x = 2.
2) Derive as funções abaixo:
a) xxxxxf 752)( 357
−+−= f)
12
13
−
+
=
x
x
y

35. 35
b) 3 21
)( xx
x
xf −+= g)
72
2
3






−
−
=
x
xx
y
c) 322
−+= xxy h)
3
2
2
( ) ln
1
x x
f x
x
 +
=  ÷
− 
d) 3 2
9
1
−
=
x
y i)
1
1
)(
+
−
=
x
x
e
e
xf
e) ( ) ( )
8 35 3 2
4 7 . 1y x x x
−
= − − + j) ( ) ( )( )
3
2 3 2
( ) 3 7 3 2f x x x x x= − + × +
3) No mercado de “Big Field” existem dois bens A e B que foram estudados pelos universitários da
Universidade Letradinhos. Nestes estudos, as equações das demandas um dos produtos foram
determinadas.
Bem A x = 120 – 5p – 2q
Bem B y = 80 – 3p – 4q
Onde x e y representam as quantidades demandas dos bens A e B, respectivamente e p e q os preços
unitários dos bens A e B respectivamente. Determine, justificando através dos cálculos e sua
interpretação econômica, se as mercadorias são complementares ou concorrentes.
4) Seja x o valor do estoque de uma loja, y o número de empregados e L o lucro diário desta loja.
L(x,y) = 3xy2
+ x2
+ 4000
No momento, o estoque é de R$10,00 e há 2 empregados.
a) Encontre a taxa de variação instantânea de P por unidade de variação em x se y for mantido fixo em
2;
b) Use o resultado do item (a) para achar a variação aproximada no lucro semanal se o estoque
variar de R$10,00 para R$11,00 e o número de empregados permanecer fixo em 2;
c) Encontre a taxa de variação instantânea de P por unidade de variação em y se x for mantido fixo
em R$ 10,00;
d) Utilize o item (c) para encontrar a variação aproximada no lucro semanal se o número de
empregados for aumentado de 2 para 4, com o estoque fixo em R$ 10,00.