O documento discute a Série de Fibonacci e o Número de Ouro. Apresenta como a Série de Fibonacci gera o Número de Ouro e como este está presente em muitos aspectos da natureza, arte, arquitetura e outros. Explica também como construir o Retângulo de Ouro geometricamente.

1. SÉRIE DE FIBONACCI
E O
NÚMERO DE OURO
P OR D IOGO F ERNANDES

2. “Qualquer fórmula que expressa
uma lei da natureza
é um hino de louvor a Deus.”
Maria Mitchell
astrónoma americana
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3. SÉRIE DE FIBONACCI
EO
NÚMERO DE OURO
Índice
I
A Marca............................................5
II
A Série de Fibonacci........................12
Phi o Número de Ouro......................15
Proporção Áurea.............................20
III
Proporção Áurea na Geometria..............21
Proporção Áurea na Arte.......................25
Proporção Áurea na Arquitectura..........32
Proporção Áurea na Música..................39
Proporção Áurea na Literatura..............41
Proporção Áurea no Cinema..................42
Proporção Áurea na Psicologia..............42
Proporção Áurea na Bolsa.....................43
Proporção Áurea na Bíblia....................44
IV
Proporção Áurea no Universo................52
Proporção Áurea na Natureza................61
Proporção Áurea no Ser Humano...........77
Nota de autor........................................87
4

4. I
A Marca
A individualidade é a marca de qualquer artista,
designer e arquitecto. Para cada criação, deseja-se
uma ideia e construção com qualidade que o faça
reconhecer e influenciar futuros desenvolvimentos.
Exemplo de vários projectos do arquitecto Tomás Taveira
O mesmo aplica-se a todos os Seres Humanos,
individualidade essa, que poderá ser num âmbito
filosófico e espiritual. Porém todos nós temos uma
característica única que nos separa dos demais...As
Impressões Digitais.
Existem mais de 6 mil milhões
de Seres Humanos no planeta
Terra, e nenhuma impressão
digital é igual a outra.
Em cada objecto que temos
contacto manual, é marcado
com uma impressão digital,
"revelando" quem esteve ali.
5

5. No nosso universo existe uma "marca" conhecida
como um Fenómeno Simétrico da Natureza, tam-
bém retractada como a Mão de Deus...
Esta "marca", é dirigida à Proporção Áurea, prove-
niente da Série de Fibonacci.
Nesta sucessão matemática, cada número é obtido
somando os dois últimos dígitos, ou seja, 1, 1, (1+1)
2, (2+1) 3, (3+2) 5, (5+3) 8, (8+5) 13... continuan-
do numa sequência infinita.
Utilizando este sistema numérico para construir
um rectângulo com dois números desta sequência
interligados, formam o chamado Rectângulo de
Ouro .
O Rectângulo de Ouro é considerado o formato
rectangular mais belo e apropriado de todos, exem-
plo disso é o uso do seu formato nas folhas A4 ou
cartão de crédito...
O Rectângulo de Ouro
é dividido por quadra-
dos proporcionais à
sequência de Fibonacci,
começando com dois
quadrados iguais alin-
hados, alargando o seu
conjunto consoante a sucessão de Fibonacci.
6

6. Construindo estes quadrados e desenhando um
arco, este padrão começa a construir formas, for-
mas essas denominadas como a espiral de
Fibonacci.
Esta simetria pode ser insignificante, mas a ver-
dade é que ela constitui grande parte das harmo-
nias da natureza.
7

7. O nome Rectângulo de Ouro, provém da desig-
nação, Proporção Áurea ou Número de Ouro.
Através das medidas da Série de Fibonacci, se
analisarmos o coeficiente de duas medidas sucessi-
vas, obtemos um número irracional denominado de
Phi, conhecido como o Número de Ouro.
{1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89...}
1/2= 0,5; 2/1= 2
2/3= 0,66666666... 3/2= 1.5
3/5= 0,6... 5/3= 1.666...
5/ 8= 0,625... 8/5=1.6...
8/13= 0,6153846... 13/8=1,625...
13/21= 0,6190476... 21/13=1,615...
21/34= 0,617647 ... 34/21=1,619...
34/55=0,6181818... 55/34=1,61764...
55/89=0,6179775... 89/55=1,6181818...
89/144=0,618055... 144/89=1,6179775...
Notar que 0,618..é equivalente a 61,8 % apr. ou 2/3
de um todo qualquer.
8

8. Esta conjuntura de medidas baseada no número
phi, chama-se Proporção Dourada.
Esta proporção encontra-se nas articulações
ósseas e nas feições dos seres humanos, como será
aqui demonstrado:
9

9. Resumindo a relação da Série de Fibonacci e o
número de Ouro, Phi, encontra-se presente em
toda a Natureza, incluindo flores, árvores, ondas,
furacões, conchas, nas articulações, nas simetrias
dos rostos dos seres humanos, nos batimentos
cardíacos, no ADN, na refracção da luz propor-
cionada pelos electrões dos átomos, nas vibrações
sonoras, nos chifres dos animais...
Mas no maior exemplo de todos encontra-se ao
nosso redor, atravessando uma média de 100 mil
anos-Luz, as galáxias são formadas com o mesmo
Design.
Esta sequência numérica e geométrica parece, de
um modo semântico, ser a "marca" de um
Designer, uma prova de uma criação, assim como
uma "Impressão Digital"...
10

10. “[...]e YHWH fez o Homem à sua imagem e
semelhança. Fez o homem e a mulher[...]”
Genêsis 1:27
11

11. II
A Série de Fibonacci
Um matemático Italiano que se pensa ter nascido
em Pisa, embora tivesse o nome de Leonardo de
Pisa, no século XIX, o seu editor deu-lhe o nome de
Fibonacci por ser filho de Bonacci.
Escreveu em 1202 um livro denominado Liber
Abacci, nele contém uma grande quantidade de
assuntos relacionados com a Aritmética e Álgebra
da época e realizou um papel importante no desen-
volvimento matemático na Europa nos séculos
seguintes.
Esta série de números tem uma característica
especial denominada regressividade:
-1o.termo somado com o 2o.termo gera o 3o.termo
-2o.termo somado com o 3o.termo gera o 4o.termo
-3o.termo somado com o 4o.termo gera o 5o.termo
continua ...
Denotando a sequência por u=u(n) podemos escr-
ever:
u(1) + u(2) = u(3)
u(2) + u(3) = u(4)
u(3) + u(4) = u(5)
u(4) + u(5) = u(6)
... ... ...
12

12. Ou seja, cada termo pode ser obtido em função dos
termos anteriores. Em geral, temos:
u(n+1) = u(n-1) + u(n)
ou
Esta Sequência foi utilizada para descrever o
crescimento de uma população de coelhos. Os
números descrevem o número de casais em uma
população de coelhos depois de n meses se for
suposto que:
-no primeiro mês nasce apenas um casal,
-casais amadurecem sexualmente (e reproduzem-
se) apenas após o segundo mês de vida.
-não há problemas genéticos no cruzamento con-
sanguíneo.
-todos os meses, cada casal fértil dá a luz um novo
casal.
-os coelhos nunca morrem.
O termo sequência de Fibonacci é também aplica-
do mais genericamente a qualquer função g onde
g(n + 2) = g(n) + g(n + 1). Estas funções são pre-
cisamente as de formato g(n) = aF(n) + bF(n + 1)
para alguns números a e b, então as sequências de
Fibonacci formam um espaço vectorial com as
funções F(n) e F(n + 1) como base.
13

13. Em particular, a sequência de Fibonacci com F(1)
= 1 + F(2) = 3 é conhecida como os números de
Lucas.
Os números de Lucas relacionam-se com os de
Fibonacci pela fórmula:
L(n) = F(n - 1) + F(n + 1)
Com estes números podemos transpor para a for-
mação crescente de um rectângulo com as medidas
regressivas dos números da sucessão de fibonacci.
Através desta con-
junção podemos criar
uma espiral através
dos pontos intermé-
dios de cada segmento,
como é expresso na
figura de baixo:
14

14. Phi o Número de Ouro
A Série de Fibonacci não é limitada mas existe um
facto interessante: Tomando as razões (divisões)
de cada termo pelo seu antecessor, obtemos uma
outra sequência numérica cujo termo geral é dado
por:
Se considerarmos a sequência de Fibonacci como
um conjunto da forma {1,1,2,3,5,8,13,...) e a divisão
de cada número pelo seu antecessor, obteremos
outra sequência: 1/1=1, 2/1=2, 3/2=1.5,
5/3=1.666..., 8/5=1.6, ...
As razões vão se aproximando de um valor partic-
ular, conhecido como Número de Ouro (Número
Áureo), que é frequentemente representado pela
letra grega Phi
Como é um número extraído da sequência de
Fibonacci, o Número de Ouro representa directa-
mente uma constante de crescimento.
O número irracional Phi, resulta no quociente da
divisão de dois números seguidos em forma cres-
cente da Série de Fibonacci, como aqui será
demonstrado:
15

15. {1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89...}
1/2= 0,5 2/1= 2
2/3= 0,66666666... 3/2= 1.5
3/5= 0,6... 5/3= 1.666...
5/ 8= 0,625... 8/5=1.6...
8/13= 0,6153846... 13/8=1,625...
13/21= 0,6190476... 21/13=1,615...
21/34= 0,617647 ... 34/21=1,619...
34/55=0,6181818... 55/34=1,61764...
55/89=0,6179775... 89/55=1,6181818...
89/144=0,618055... 144/89=1,6179775...
Quando n tende para o infinito, o limite é exacta-
mente Phi, o Número de Ouro.
Como podemos analisar neste gráfico, encon-
tramos um “sustento” nesta divisão de números.
16

16. A escola grega de Pitágoras estudou e observou
muitas relações e modelos numéricos que apareci-
am na natureza, beleza, estética, harmonia musical
e outros.
Mas provavelmente a mais importante é a razão
áurea, razão divina ou proporção divina também
chamado de Phi (F ou ), o número de ouro, razão
esta que foi muito usada por Phidias, um escultor
grego que deu as primeiras letras do seu nome, Phi,
para representar este valor numérico.
O Número de Ouro pode ser obtido por meio de um
segmento, seguindo a seguinte definição: se um
ponto divide um segmento da recta em média e
extrema razão, se o mais longo dos segmentos é
uma média geométrica entre o menor e o segmento
todo, então a razão do segmento menor com o seg-
mento maior é a razão áurea.
Isto pode ser exemplificado a partir da figura
abaixo:
u/v=
17

17. O Número de Ouro é um número irracional, miste-
rioso e enigmático que nos surge numa infinidade
de elementos da natureza na forma de uma razão.
Não confundir Pi com Phi, onde:
Pi=3,14159265... (é uma constante que relaciona área e
o perímetro de um círculo com o seu diâmetro)
Phi=1,61803399... (é uma constante que se repete
inúmeras vezes na Natureza)
Esta equação apresenta duas raízes reais, que são :
Outra forma de representar phi é:
A construção do segmento áureo por meio de régua
e compasso, pode ser feita da seguinte maneira:
18

18. Seja dado um segmento AB qualquer, obtendo o
ponto médio de AB, colocando a ponta central do
compasso num extremo, abra-o até o outro extremo
e trace um arco para cima e para baixo do segmen-
to da recta AB.
Repita este procedimento com o outro extremo da
recta, sem alterar a abertura do compasso.
Os pontos onde os
arcos se cruzam devem
ser unidos por um seg-
mento de recta (visto
em vermelho) e posto
onde este segmento
cruza o primeiro seg-
mento AB, é o ponto
médio de AB.
No Rectângulo de Ouro, em que a razão entre o
lado maior e o lado menor é o número Phi, a razão
entre a largura e o comprimento do rectângulo de
Ouro foi considerada a mais agradável à visão para
construirmos um rectângulo que apresente entre os
seus lados a razão de ouro procedemos da seguinte
forma:
1) Constrói-se um quadrado ABCD
2) Divide-se esse quadrado ao meio, obtendo os
rectângulos ABEF e CDEF
3) Constrói-se uma diagonal CF no rectângulo
CDEF
19

19. 4) Prolonga-se a base do quadrado e, com a ponta
central do compasso no ponto F e a outra ponta em
C constrói-se um arco até à recta suporte da base
do quadrado, criando assim o ponto G
5) Pelo ponto G levanta-se uma recta perpendicular
à base, que será o lado do rectângulo de Ouro.
Proporção Áurea
A Proporção áurea, é a designação das medidas
resultantes da sucessão dos números de Fibonacci,
em que a divisão
de duas medidas
seguidas resulta
no Número Phi.
20

20. III
Proporção Áurea
na Geometria
Muito frequente é a utilização do número Phi em
pinturas renascentistas ou construções simbólicas.
Este número está envolvido com a natureza do
crescimento
Justamente por estar envolvida no crescimento,
este número torna-se tão frequente em con-
struções e representações geométricas.
Devido a isso o número Phi ganhou um status de
"quase mágico", sendo alvo de pesquisadores,
artistas e escritores.
Apesar deste status, o Número de Ouro é apenas
atribuído ao que está envolvido: em crescimentos
biológicos e astronómicos.
Aqui ficará representado figuras geométricas lig-
adas a este número mágico:
Triangulo: Inserindo um
triangulo equilátero dentro
de uma circunferência e
assinalando os pontos cen-
trais A-B e estendendo a
linha recta até cruzar com o
círculo (G), iremos encon-
trar o número Phi nas medi-
das do raio AB:BG
21

21. Quadrado:Inserindo um
quadrado dentro de um
semi-círculo e assinalando
os pontos centrais (AB)do
quadrado em contacto com a
recta no centro da circunfer-
ência e prolongar até cruzar
com o círculo (G), iremos ),
iremos encontrar o número
Phi nas medidas do raio AB:BG.
Pentágono: Inserindo um
Pentágono ou pentagrama den-
tro de um semi-círculo e assi-
nalando os pontos assinalados
A-B e marcar uma recta até à
circunferência (G), iremos
encontrar o número Phi nas
medidas do raio AB:BG
O pentagrama é obtido traçando-se as diagonais de
um pentágono regular.
O pentágono menor, formado pelas intersecções
das diagonais, está em proporção com o pentágono
maior, de onde se originou o pentagrama.
A razão entre as medidas dos lados dos dois pentá-
gonos é igual ao quadrado da razão áurea.
22

22. Quando Pitágoras
descobriu que as pro-
porções no pentagra-
ma eram a proporção
áurea, tornou este
símbolo estrelado
como a representação
d a I r m a n d a d e
Pitagórica. Este era
um dos motivos que
levava Pitágoras a
dizer que "tudo é número", ou seja, que a natureza
segue padrões matemáticos.
É sabido que na Grécia antiga e monoteísta,
acreditava-se que todo o mundo e todo o cosmo era
composto de apenas quatro elementos: ar, água,
terra e fogo.
Os Pitagóricos (uma sociedade secreta cujos mem-
bros se dedicavam ao estudo da Matemática e da
Filosofia) conheciam a existência de quatro sólidos
geométricos perfeitos envolvidos na proporção
áurea: tetraedro, hexaedro, octaedro e icosaedro.
Aos quais associavam, segundo eles, cada um dos
elementos componentes da natureza:
Terra - Cubo
Fogo - Tetraedro
Ar - Octaedro
Água - Icosaedro
23

23. Quando os Pitagóricos descobriram o quinto e últi-
mo sólido geométrico perfeito associaram a algum
outro elemento do universo, neste caso, a energia
da Entidade Criadora, o 5º Elemento.
Este último sólido descoberto foi o Dodecaedro, a
quem Platão chamou de "o mais nobre corpo entre
todos os outros".
Dodecaedro Icosaedro
O Phi pode ser representado em 3D, como por
exemplo, criando três rectângulos baseados no
Número de Ouro ( folha A4 por exemplo) e
transpondo-a como mostra esta seguinte figura:
Após os cortes assinalados e
encaixando como mostra a
seguinte figura, obtemos um
plano geométrico do rectângulo
de Ouro numa perspectiva de 90º em 3D com 12
lados.
24

24. Proporção Áurea
na Arte
É bastante frequente encontrar a Proporção Áurea
em pinturas renascentistas ou em grandes obras de
arte, como por exemplo:
Sacramento da Última Ceia, de Salvador Dalí, as
dimensões do quadro (aproximadamente 270 cm ×
167 cm) estão numa Razão Áurea entre si.
No nascimento de Vénus de Boticceli:
25

25. Na MonaLisa ou Auto-retracto de Leonardo
DaVinci:
O Homem Vitruviano é um desenho famoso que
acompanhava as notas que Leonardo DaVinci fez
em 1490 num dos seus diários.
Descreve uma figura mas-
culina nua separadamente
e simultaneamente em
duas posições sobrepostas
com os braços inscritos
num círculo e num
quadrado.
Às vezes, o desenho e o
texto são chamados de
Cânone das Proporções.
26

26. O desenho actualmente faz parte da colecção da
Gallerie dell'Accademia em Veneza, Itália.
O Homem Vitruviano é baseado numa famosa pas-
sagem do arquitecto romano Marcus Vitruvius
Pollio na sua série de dez livros intitulados de De
Architectura, um tratado de arquitectura em que,
no terceiro livro, ele descreve as proporções do
corpo humano:
-Um palmo é a largura de quatro dedos;
-Um pé é a largura de quatro palmos;
-Um antebraço é a largura de seis palmos;
-A altura de um homem é quatro antebraços
-Um passo é quatro antebraços;
-A longitude dos braços estendidos de um
homem é igual à altura dele;
-A distância do topo da cabeça para os mami-
los é um quarto da altura de um homem;
-A distância do cotovelo para o fim da mão é
um quinto da altura de um homem;
-A distância do cotovelo para a axila é um oita-
vo da altura de um homem;
-O comprimento da mão é um décimo da altura
de um homem;
-A distância do fundo do queixo para o nariz é
um terço da longitude da face;
-A distância do nascimento do cabelo para as
sobrancelhas é um terço da longitude da face;
-A altura da orelha é um terço da longitude da
face.
27

27. A Série de Fibonacci e o Número de Ouro estão
presentes nas simetrias deste desenho e o que ele
retracta.
O desenho também é considerado frequentemente
como um símbolo da simetria básica do corpo
humano e, para extensão, para o universo como um
todo.
É interessante observar que a área total do círculo
é idêntica à área total do quadrado e este desenho
pode ser considerado um algoritmo matemático
para calcular o valor do número irracional phi
(=1,618).
28

28. Nos muitos e poucos conhecidos Crop Circles, é
muito comum encontrar geometrias Áureas.
Estas enigmáticas fig-
uras, sempre foram
bastante especuladas,
sabe-se que desde o
séc. XVI já havia
escritos sobre as suas
existências, ao qual
associavam a criações
de entidades espiritu-
ais.
Hoje sabemos tanto,
ou, quase nada acerca
dos seus autores.
Ao redor do nosso
planeta sempre apareceram centenas destes “bura-
cos” em campos de trigo da noite para o dia...
Muitos associam as suas autorias a “extrater-
restres” com alta tecnologia...
Apesar de ser um relato lunático, sabe-se que
existe pessoas que os fazem.
John Lundberg fundou um grupo britânico de
artistas responsável pelo site Circlemakers.org que
tem criado círculos em plantações com padrões
complexos desde os anos 1990, porém nem todos
até hoje, e principalmente os mais complexos e
maiores, continuam a ter uma autoria enigmática.
29

29. Em 21 Agosto de 2002, apareceram 420 círculos
em colheitas à volta do globo, com formas
geométricas super complexas, e segundo consta,
nenhum Ser Humano abdicou uma autoria.
Conspiradores, que acreditam que grande parte
destas obras “mágicas”, devem-se a seres “extra-
terrestres”, é pelo facto, de quando as plantações
sofrem estes feitos, elas não voltam a crescer, e
estranhos acontecimentos acontecem no seu interi-
or, como por exemplo, uma bússola perder o efeito
magnético e as plantações serem devastadas sem
levarem cortes com marcas de pegadas ou outros
tipos de materiais, e ficarem num estado de Ph
neutro.
30

30. Ainda dentro deste contexto, pessoas crentes que
alguns círculos não tem mão humana, acusam o
governo americano de arranjar “bodes-expi-
atórios”, para disfarçar ou arranjar falsos teste-
munhos para pressuadir a acreditarem,que todos
eles são obras do Homem.
Independentemente da crença de cada um, há cer-
tos factos que não tem uma possibilidade de terem
mão humana tendo em conta factores de tempo e
espaço.
31

31. Proporção Áurea
na Arquitectura
Grandes projectos Arquitectónicos utilizaram a
Proporção Áurea para as suas modelações deco-
rações.
O Rectângulo de Ouro, proveniente da montagem
sucessiva das medidas da Série de Fibonacci, foi
apropriada em grandes construções desde as eras
primórdias até as cidades de hoje.
Exemplo disso é a Pirâmide de Queóps, centrada
nas 3 Pirâmides designadas de Gize no Cairo, capi-
tal do Egipto.
Cada bloco da pirâmide
era 1,618 vezes maior
que o bloco do nível
logo acima.
As câmaras no interior
das pirâmides também
seguiam essa proporção,
de forma que os compri-
mentos das salas são
1,618 vezes maiores que as larguras.
O Parthenom, con-
strução grega que resis-
tiu parcialmente ao
tempo e onde são
notadas inúmeras pre-
senças da razão áurea.
32

32. Le Corbusier foi um arquitecto que constituiu um
marco muito importante no desenvolvimento da
arquitectura moderna.
Viajou pela Europa e na sua passagem pela
Alemanha trocou com Peter Behrens alguns con-
hecimentos sobre a razão de ouro. Depois disso, Le
Corbusier foi para Atenas estudar o Partenon e out-
ros edifícios da Grécia Antiga.
Entre 1942 e 1948, Le Corbusier desenvolveu um
sistema de medição que ficou conhecido por
Modulor. Baseado na razão de ouro e nos números
de Fibonacci e usando também as dimensões
médias humanas (dentro das quais considerou 183
cm como altura standard), o Modulor é uma
sequência de medidas que Le Corbusier usou para
encontrar harmonia nas suas composições arqui-
tecturais. O Modulor foi publicado em 1950 e
depois do grande sucesso, Le Corbusier veio a pub-
licar, em 1955, o Modulor 2.
33

33. Podemos encontrar em inúmeros edifícios sim-
bólicos à Proporção Áurea, como Notre Damme ou
Taj Mahal:
Na sociedade deísta e elitista Maçonaria, o
Número Phi está presente nas suas Lojas e sim-
bologias.
Nas medidas rectangulares
no interior dos seus templos
ou lojas encontra-se a
Proporção Áurea.
O principal símbolo da
Maçonaria é um esquadro e
compasso, objectos gerais
da arquitectura, facto prin-
cipal que as sociedades
maçons são responsáveis por grandes projectos nas
sociedades de todo o mundo, como por exemplo em
Portugal, Marquês de Pombal ou na implantação da
republica, apesar de nos livros escolares
atribuirem a “anarquistas”, a verdade é que a
maçonaria portuguesa foi a responsável por esse
sucedido.
34

34. Os Estados Unidos da América,
são o maior exemplo de todos,
os seus fundadores eram
maçons, e grande parte de todos
os seus presidentes foram e são.
George Washington além de ter
sido o primeiro presidente era
maçon de 33º de um rito
escocês.
A cidade de Washington D.C está repleta de símbo-
los maçons nas suas ruas num panorama topológi-
co, como o pentagrama com principal ponto na
casa branca, ou grandes monumentos com inter-
cessões e ligações como esquadro, compasso ou a
estrela de David:
35

35. 36

36. As formas áureas sempre foram utilizadas e ado-
radas por grandes artistas, e podemos encontra-las
desde grandes monumentos até às varandas das
ruas vizinhas...
37

37. A espiral de Fibonacci sempre foi muito utilizada
para escadas e formas decorativas.
Nos Estados Unidos
da América, a cidade
de Nova Orleães apre-
senta uma forma de
Fibonacci na sua
planta metropolitana.
O mega projecto Eden é todo ele baseado na pro-
porção áurea:
38

38. Proporção Áurea
na Música
Os amantes da música podem ficar, a saber, que
mesmo Stradivarius utilizava o número de Ouro na
construção dos seus famosos violinos.
A Banda TOOL tem uma música toda ela projecta-
da com a sucessão de Fibonacci, designada de
Lateralus.
39

39. O Número de Ouro está presente nas famosas sin-
fonias n.º 5 e na Sinfonia n.º 9, de Ludwig van
Beethoven.
O baterista de jazz Max Roach, incorporou a
Proporção Áurea nas suas músicas.
As escalas musicais são baseadas em números de
Fibonacci.
Há 13 notas em cada oitava no piano.
Uma escala compreende 8 notas, das quais a 1ª, a
3ª e a 5ª são a base dos acordes.
No caso do piano, são 8 teclas brancas e 5 pretas
separadas em grupos de 3 e de 2.
40

40. Proporção Áurea
na Literatura
Na literatura, o Número de
Ouro encontra a sua apli-
cação mais notável no poema
épico grego Ilíada, de
Homero, que narra os acon-
tecimentos dos últimos dias
da Guerra de Tróia.
Quem o ler notará que a pro-
porção entre as estrofes
maiores e as menores dá um
número próximo a 1,618, o número de ouro.
Luís de Camões na sua obra Os Lusíadas, colocou
a chegada à Índia no ponto que divide a obra na
Proporção Áurea.
Virgílio na obra Eneida, construiu a razão áurea
com as estrofes maiores e menores.
41

41. Proporção Áurea
no Cinema
O director e cineasta russo Sergei Eisenstein uti-
lizou o Número de Ouro no filme O Encouraçado
Potemkin para marcar os inícios de cenas impor-
tantes da película, medindo a razão pelo tamanho
das fitas.
No filme 21, o bolo de aniversário do personagem
principal, aparece com os números de Fibonacci.
Proporção Áurea
na Psicologia
Algumas correntes místicas acreditam que objec-
tos cujas dimensões sejam relacionadas a Phi, har-
monizam-se com a glândula pineal, o que provo-
caria ou estimularia uma sensação de beleza e har-
monia no ser humano.
É certo que nas sociedades de hoje, zonas de mora-
dias em que as suas plantas apresentam irregulari-
dades geométricas ou ausência de planificações de
“beleza” não produz apreciação pelo seu habitat,
tanto que até pode levar a sua degradação.
42

42. Proporção Áurea
na Bolsa
Em The Wave Principal, Elliot defende a ideia que
as flutuações do mercado seguem um padrão de
crescimento e decrescimento que pode ser analisa-
do segundo os números de Fibonacci.
Uma vez determinada a escala de observação, as
relações entre picos e vales do gráfico da flutuação
de bolsa tendem a seguir razões numéricas aproxi-
madas das razões de dois números consecutivos da
sequência de Fibonacci.
Se tomarmos o valor entre o início do ciclo e o
primeiro pico, e o compararmos com o valor entre
este pico e o pico máximo, encontraremos também
o Número de Ouro.
O ciclo, naturalmente, pode estar invertido, e os
momentos do pico podem se tornar momentos de
vale, e vice-versa.
43

43. Proporção Áurea
na Bíblia
Em Êxodo 25:10, YHWH comanda a Moisés para
fabricar uma arca de madeira de acácia com 2,5
cúbitos de comprimento e 1,5 cúbitos de largura e
altura.
Notar que:
2.5 cúbitos = 125cm
1.5 cúbitos = 75cm
Analisando as números encontramos uma razão
áurea:
2.5/1.5 = 1.666...
125/75 = 1.666...
equivalente ao raio 5 por 3, números de Fibonacci:
5/3 = 1.666...
Em Êxodo 27:1-2 YHWH comanda a Moisés para
construir um altar de madeira de acácia quadrado
com 3 cúbitos de altura e 5 cúbitos de lado.
Notar que:
5 cúbitos = 2,5m
3 cúbitos = 1,5m
44

44. Mais uma vez a presença áurea encontra-se nestas
medidas.
5/3 = 1,666...
2,5/1,5 = 1,666...
Em Genêsis 6:15 YHWH comanda a Nóe para con-
struir uma arca marítima com 300 cúbitos de com-
primento, 50 cúbitos de de largura e 30 cúbitos de
altura.
Notar que:
300 cúbitos = 150 m
50 cúbitos = 25m
30 cúbitos = 15m
analisando mais uma vez encontramos a Proporção
Áurea:
50/300 ou 25/150 =0,1666...
50/30 ou 25/15 = 1,666...
Em Apocalipse 13:18, é feita a profecia do “Anti-
Cristo” ou a Besta como sendo 666.
Este número foi bastante analisado, utilizado, con-
spirado e temido.
Nos dias de hoje existe inúmeros factos adjacentes
a este número, como por exemplo:
45

45. Código de Barras, que têm como números
omnipresentes 6, no extremo esquerdo, central e
extremo direito.
A Fox corp. que tem grande poder na sociedade, a
nível cinematográfico e televisivo, que os quais são
caracterizados de apelarem ao consumo capitalista
e materialismos profanos.
A palavra F O X é obti-
da através do quadro
alfanúmerico, em que
cada letra corresponde
a um número.
O nome completo de Bill Gates, é equivalente a
666, através da correspondência de letras com os
números informáticos da ASCII (American
Standard Code for Information Interchange).
46

46. O controverso VERY-CHIP, que poderá entrar em
vigor nos E.U.A ao qual é bastante similar à
descrição da marca da Besta.
A marca de cartão de crédito VISA, em que VI é equiva-
lente a 6 em numeração romana, S é equivalente a 6 em
númerais gregos e A é similar ao 6 da númeração da já
extinta Babilónia.
Entre muitas outras, como as quais o nome BARACK
HUSSEIN OBAMA na cabala, respectivo ao alfabeto
hebraico em que cada letra também é correspondente a
um número ou o “WWW”( World Wide Web) usual na
navegação da internet, onde W é similar a VI, ou seja, 6
em numeração romana, facto conhecido que a internet
está completa de conteúdos materialistas e maliciosos.
47

47. De certa forma este número tem ligação à
Proporção Áurea.
É certo e sabido que o Número de Ouro está pre-
sente no Ser Humano, nas articulações e feições.
Curiosamente pegando no seno de 666 obtemos -
0.80901699...
Este número -0.80901699... é conhecido como o
Anti-Phi, equivalente a metade do número Phi.
Podemos obter -0.80901699... através do Coseno
de 216º.
O número 216 pode ser obtido através de 6x6x6.
A relação do Phi com o Anti-Phi, pode ser comparável ao
positivo vs negativo, luz vs escuridão, beleza vs aber-
ração ou bem vs mal...
Na trigonometria a relação do seno de 666º com o
Phi é baseado num triangulo isósceles, facto com-
parável e correspondente ao símbolo maçom da
pirâmide inacabada e do olho que tudo vê incorpo-
rado no verso da nota de 1 dolár, como será aqui
exposto:
48

48. Aqui ficou uma amostra destas curiosidades
numéricas com a ligação similar a trechos da
Bíblia Sagrada, contudo não querendo afirmar que
os factos aqui referidos são os verdadeiros em
relação a este enigmático número.
O símbolo de o Número de Ouro é similar ao inicio
da Bíblia em relação à criação do Universo.
Em todo o Universo a proporção Áurea encontra-
sse presente, como a propagação dos átomos em
forma de espiral de Fibonacci, a refracção da luz,
correntes magnéticas geradas pelos buracos
negros, etc...
49

49. Segundo a Teoria do Big Bang, toda a Matéria,
Energia, Espaço e Tempo provavelmente teve um
início, com uma criação inexplicável, denominada
de Big Bang, que após a sua explosão foram criadas
matérias com polaridade, ao qual a Energia
Positiva e a Energia Negativa ou Matéria e Anti-
Matéria aniquilavam-se mutuamente...
Mas em 10 partículas positivas contra 10 partícu-
las negativas, sobrava uma partícula positiva, por
isso “tudo” o que existe deve-se a este aconteci-
mento teórico.
Algo compatível ao que a Bíblia retracta, que o
Bem ganhará sempre ao Mal.
O significado do símbolo Áureo pode ser compara-
vél ao que descreve Genêsis...
-Zero
-Nada
-Caos
-Inexistência
-Irregularidade
-Um/Uno
-Tudo
-Ordem
-Existência
-Regularidade
-Um sobre Zero
-Criação através do Nada
-Ordem a partir do Caos
-Existência a partir da Inexistência
-Regularidade sobre a Irregularidade
50

50. Em Genêsis 1:3 YHWH disse “Faça-se Luz”...
Este trecho pode ser comparável à teoria do Big
Bang, e que segundo o Velho Testamento, Deus
antes de fazer a criação, inexplicavelmente já exis-
tia, retractado como os 4 elementos Vitais:
Elemento Terra: Terra
Elemento Água: Águas
Elemento Ar: Céus
Elemento Fogo: Faça-se Luz
No pergaminho designado de João presente no
Novo Testamento, começa da seguinte forma:
No principio já existia o Verbo
O Verbo estava com YHWH
O Verbo é YHWH
Tudo começou a existir através Dele
E sem Ele nada foi criado
Esta designação de Verbo, quando adjacente à des-
ignação de que a Proporção Áurea é a imagem e
semelhança física de Deus, tem sentido em ser car-
acterizado com as harmonias da natureza, as quais
estão inteiramente relacionadas com a Série de
Fibonacci e o Número de Ouro.
51

51. IV
Proporção Áurea
no Universo
Em todo o Universo, a Proporção Áurea está
Omnipresente, as ondas cósmicas propagam-se em
todas as dimensões seguindo como a espiral de
Fibonacci, como por exemplo as formas das galáxi-
as.
No nosso sistema Solar encontramos a presença do
Número de Ouro ao fazer as seguintes análises:
Venús e Terra encontram-se anualmente com uma
ligação do número Phi tendo como órbita central a
partir de Mercúrio.
Vênus completa uma órbita em torno do Sol em
224,695 dias terrestres e a Terra em 365,242 dias.
Reparemos: 224,695/365,242=0,615... o Número
Phi.
Quando Vênus completa 8 voltas ao Sol, a Terra
tem 5 voltas sucedidas.
52

52. Quando Vênus completa 13 voltas ao Sol, a Terra
tem 8 voltas sucedidas.
Mais uma vez encontramos os números de
Fibonacci.
Analisando os raios:
8/5 temos: 1,6...O Número Phi.
13/8=1,625... O Número Phi.
Mercúrio completa uma volta em torno do Sol em
cada 87,968 dias terrestres, fazendo uma inter-
cessão mais próxima com a Terra a cada 115,88
dias.
Analisando:
115,88/365,242=3,15... ou seja o número Pi.
Em todo o Sistema Solar encontramos o Phi nas
distâncias dos planetas em órbita à volta do sol
centrando-se apartir de Mercúrio:
53

53. Distância do Sol Raio centrado em
Planeta Km Mercúrio
Mercúrio 57.91 1.00
Vênus 108.21 1.86859
Terra 149.60 1.38250
Marte 227.92 1.52353
Ceres 413.79 1.81552
Júpiter 778.57 1.88154
Saturno 1,443.53 1.84123
Urano 2,872.46 2.00377
Neptuno 4,495.06 1.56488
Plutão 5,869.66 1.30580
Total 16.18736
Média 1.61874
Phi mais próximo 1.61803
Diferença (0.00043)
54

54. O planeta Terra, tem uma característica bastante
interessante em relação à proporção Áurea.
Se analisarmos uma constituição periférica do
globo e marcarmos uma diagonal e assinalar uma
posição equivalente à razão áurea (2/3 de um todo
qualquer), encontramos esse ponto na cidade de
Meca:
Correspondendo nesse mesmo ponto e assinalar-
mos agora numa linha horizontal, incrivelmente
encontramos mais uma vez a mesma cidade a obe-
decer aos parâmetros da Proporção Áurea.
55

55. A cidade de Meca, é bastante conhecida pelo seu
carisma ligado ao Islamismo.
Apesar de ser uma cidade bastante importante da
religião islâmica, Jerusalém é considerada a capi-
tal desta vertente ligada ao Deus YHWH, o mesmo
do Cristianismo e Judaísmo.
Sabe-se que Meca se encontra no ponto bastante
energético terrestre designado de Vortex ou
Vórtice, o mesmo acontece nas Pirâmides de Gizé,
Triangulo das Bermudas ou Stonehenge.
56

56. Nos aneis de Saturno,
podemos encontrar a
Proporção Áurea nas
diferenças de coloração
que as poeiras e mini
astróides proporcionam
visualmente.
Em marte, existe um enorme rochedo que devido
às sombras possibilitadas pelo Sol e o posiciona-
mento da Terra, temos um ponto de vista
equiparável a um rosto, junto à zona designada de
Cydonia, relativamente perto de um rochedo em
forma de pirâmide:
57

57. A empresa americana
NASA, afirma que é tudo
uma ilusão de óptica,
analisando este rochedo
de vários ângulos, até é
credível ao que afirmam.
Porém encontramos fac-
tos bastante curiosos,
ligados à Proporção
Áurea:
Ao analisarmos os principais pontos extremos e
centrais, encontramos medidas baseadas no
Número de Ouro, assim como o encaixe de várias
formas geométricas correspondentes à Proporção
Áurea.
58

58. Mais interessante, é que se prestarmos atenção ao
redor deste “ponto”, encontramos rochedos simi-
lares a formas geométricas, e que por “coincidên-
cia”, têm ligações mútuas à espiral de Fibonacci
através de uma visão topológica:
59

59. Interessante e algo semelhante às nossas
pirâmides de Gizé, que além de terem sido con-
struídos com base no Número de Ouro e baseadas
na constelação de Orion, ou as “Três Marias”, elas
também apresentam uma conectividade com a
espiral de Fibonacci, como pode ser aqui visualiza-
60

60. Pode apenas ser mera coincidência, porém, nota-
se a regularidade matemática ligada à Proporção
Áurea e a semelhanças astronómicas.
Terá sido obra da nossa Natureza...
Ou “obra” de um das grandiosas obras da
Natureza?
Proporção Áurea
na Natureza.
Os números de Fibonacci estão presentes na vege-
tação.
É possível encontrá-los no arranjo das folhas de
um ramo de uma planta, nas copas das árvores ou
até mesmo no número de pétalas das flores.
Podemos também encontrar a espiral de Fibonacci
nas sementes das flores, em frutos e pinhas.
A espiral de Fibonacci é um segmento crescente a
partir das medidas Áureas sucessivas.
61

61. Analisando estas imagens notamos a presença da
espiral de Fibonacci e os seus números correspon-
dentes nas pétalas, como por exemplo:
62

62. -3 pétalas: lírio, açucena, íris, trandescância.
-5 pétalas: botão de ouro, rosa selvagem,
columbine, esporas, capuchinha.
- 8 pétalas: delphiniums, anémona.
-13 pétalas: malmequer, cineraria, ragwort.
- 21 pétalas: áster, olhado preto, susana, chicória.
-34 pétalas: tanchagem, píretro, dália.
-55, 89, etc pétalas: margaridas(várias), a família
asteraceae.
Nos arranjos das folhas de algumas plantas em
torno do caule são números de Fibonacci.
Com este arranjo, todas as folhas conseguem apan-
har os raios solares de igual forma. Quando chove,
o escoamento da água torna-se também mais fácil
Na figura à esquerda,
podemos contar as
folhas, seguindo-as
pela ordem que apare-
cem, até encontrar
uma folha exacta-
mente na vertical da
primeira.
Na planta do topo
contamos três
rotações no sentido
dos ponteiros do reló-
gio, antes de encon-
trarmos a folha na
mesma direcção da primeira. Passamos por cinco
folhas, até que isso aconteça.
63

63. Se contarmos no sentido contrário aos ponteiros
do relógio, precisamos de duas rotações. Os algar-
ismos 2, 3 e 5 são como vimos, números da
sucessão de Fibonacci. Podemos escrever então 35
de volta por folha.
Na outra planta, para encontrarmos a folha na
mesma direcção da primeira tem de se fazer
cinco rotações no sentido dos ponteiros do reló-
gio . Passamos por oito folhas até que isso acon-
teça. Se contarmos no sentido contrário aos pon-
teiros do relógio, precisamos de três rotações. Os
algarismos 3, 5 e 8 são como vimos, números da
sucessão de Fibonacci. De igual modo podemos
escrever 58 de volta por folha.
Podemos agora ver alguns exemplos de plantas em
que isto acontece:
12 :olmo, tília, limeira
13 :faia, aveleira, amora silvestre
25 :carvalho, cerejeira, macieira, azevinho, ameix-
ieira, cardo-morto
38 :choupo, álamo, roseira, pereira, salgueiro
513 :amendoeira
Tomando partido destes
conhecimentos, aprecebe-
mo-nos que toda a
Natureza por mais difer-
ente que seja, segue um
Design Omnipresente.
64

64. Da mesma forma, o número de espirais de
Fibonacci pode ser encontrado em muitas outras
formas vegetais como as folhas das cabeças das
alfaces, a couve-flor, aloé-vera, camadas das cebo-
las ou os padrões de saliências dos ananases e das
pinhas, como se pode ver nestas figuras:
65

65. Uma planta em particular, mostra os números da
sucessão de Fibonacci nos seus "pontos de cresci-
mento". Quando a planta tem um novo rebento,
leva dois meses a crescer até que as ramificações
fiquem suficientemente fortes. Se a planta ramifica
todos os meses, depois disso, no ponto de ramifi-
cação, obtemos uma figura semelhante às de baixo:
Na fruta também encontra-se presente este fenó-
meno.
Se cortarmos uma maçã ao meio, iremos deparar-
nos com 5 caroços em forma de um pentagrama,
mais uma vez os números de Fibonacci e um figura
geométrica adjacente ao Número de Ouro.
66

66. 67

67. Na vida Animal, tanto a nível selvagem e marítima
encontra-se presente, tanto nas medidas das artic-
ulações, número de ossos e feições faciais o mesmo
"design"...
Comecemos pelos fósseis:
68

68. 69

69. Prosseguindo nos Vertebrados, répteis, insectos e
carnívoros...
70

70. 71

71. Nas colmeias de todo o mundo os números pre-
sentes são os de Fibonacci.
A proporção entre abelhas fêmeas e machos em
qualquer colmeia é 1,618...
É sabido que existem muito mais abelhas fêmeas
do que machos em cada colméia, mas se fizermos a
relação equacional entre machos e fêmeas veremos
que o número é Phi também.
Nos animais marítimos também iremos encontrar
os valores de Fibonacci e Phi, tanto nas medidas de
articulações, número de ossos, diferenças nas pro-
porções simétricas ou no número de escamas.
72

72. A espiral de Fibonacci pode ser visualizada nos chifres
dos animais:
73

73. Nos casos mais especiais da nossa natureza, o mar
e as suas ondas estão inseridos na Proporção Áurea
seguindo a espiral de Fibonacci, como podemos
constatar:
74

74. Nos movimentos ciclónicos também a espiral de
Fibonacci e o Número de Ouro encontram-se pre-
sentes.
Nos ramos e raízes das árvores podemos constatar
uma grande adjacência visual, tal modo que se
tivermos em conta as divisões dos ramos por cada
nível de separação e crescimento, constatamos
mais uma vez os números de Fibonacci e o Número
de Ouro nas suas divisões sucessivas.
75

75. Facto bastante interessante é que os raios prove-
nientes das tempestades, também seguem o mesmo
padrão:
Após estas análises, constatamos cada vez mais
que apesar de considerarmos muitas vezes a nossa
natureza de ser desordenada e caótica, a verdade
segundo estes factos demonstrados, é que toda ela
segue um Elo ordenado, regulado e inteligente.
A sabedoria é mais ágil que qualquer
movimento, atravessa e penetra tudo
graças à sua pureza.
A sabedoria é a exaltação de YHWH.
Ela estende-se vigorosamente de um
extremo ao outro e governa
rectamente o Universo.
Sabedoria 7:24,25 8:1
76

76. Proporção Áurea
no Ser Humano
Neste tópico será demonstrado a qualidade e regu-
lação inteligente móvel e simétrica do Ser Humano.
Em toda a Natureza, seja ela cósmica, biológica ou
catalizadora, segue um só padrão.
Padrão esse que é a Proporção Áurea, resultante
da série de Fibonacci e o Número de Ouro, Phi.
As medidas das nossas articulações, resultam no
número Phi, já o número de ossos segue o padrão
de números de Fibonacci.
Se medirmos os ossos de forma crescente e dividirmos
uma medida pela sua antecessora, iremos encontrar o
número Phi, algo em redor de 1,618...
77

77. O número de dedos e o
número de ossos serão
sempre os números de
Fibonacci.
Se pegarmos na medida
do nosso braço e dividir
pela medida antebraço o
número é Phi.
Se medirmos a altura da cabeça aos pés e dividir
pela medida da cintura ao pés, o número é Phi.
Se medirmos a medida do ombro à ponta do dedo
e a medida do cotovelo à ponta do dedo e
dividirmos esses valores, o número será Phi.
78

78. No Homem Vitruviano de Leonardo DaVinci é o
Modelo base para compreendermos todos estes
mecanismos.
Qualquer, diferença comparável de um mecanismo
móvel no nosso corpo terá sempre presente o
Número de Ouro inserido.
79

79. 80

80. Todos os limites dos mecanismos móveis do nosso
corpo, estarão sempre enquadrados numa pro-
porção 2/3 de um todo qualquer.
Tal como os ossos, os nossos dentes enquadram na
Proporção Áurea.
81

81. A espiral de propagação capilar ou as medidas de
largura e comprimento das nossas unhas assimila-
do à ponta do dedo dará o Número de Ouro.
A nossa orelha e tímpano segue um formato idên-
tico à da espiral de Fibonacci, tal e qual como as
medidas comparativas entre as divisões físicas de
cada elemento auditivo.
Os elementos faciais estão enquadrados na
Proporção Áurea, se medirmos o eixo horizontal
de um olho comparado com o espaço da zona supe-
rior do nariz ou até à orelha, o número será o Phi.
82

82. Tanto em visualização frontal ou de perfil os mod-
elos podem alternar, mas as medidas médias serão
correspondentes aos números de Ouro.
As proporções estabelecidas no Rectângulo de
Ouro, podem-se ajustar aos pontos das caracterís-
ticas faciais no nosso rosto, como será aqui repre-
sentado, utilizando como modelo standard,
Albert Einstein:
83

83. -
84

84. No interior do nosso corpo, a composição orgâni-
ca não foge a esta regra “Divina”.
Os vasos sanguíneos, como por exemplo, nos pul-
mões, seguem o mesmo procedimento que os
ramos ou raízes das árvores, dividindo em números
da Série de Fibonacci.
Os batimentos cardíacos estão também estabelecidos
nesta “regra” da natureza:
85

85. O A.D.N. responsável pelo nosso desenvolvimento
genético, segue um modelo de espiral de Fibonacci.
Ficamos assim com-
preendidos que este fenó-
meno da natureza, Série
de Fibonacci, Phi que
resultam na Proporção
Áurea, fazem parte de
toda a composição e
estrutura do Ser Humano,
desde as medidas dos cor-
pos móveis até à sua com-
posição molecular.
No principio YHWH criou as suas obras,
depois colocou cada uma no seu lugar,
Fixou uma ordem eterna para as suas
obras,
desde a sua origem até a um futuro
longínquo.
Eclesiástico 16: 26,27
86

86. Nota de autor
Este artigo não tem objectivos, como fins lucra-
tivos ou gerar controvérsias.
Toda a sua elaboração, tem o intuito de expandir
este conhecimento, que poderá ser uma prova
cientifica da existência de uma Entidade com
Controlo, Inteligência Superior e Energia ilimita-
da , a que na língua portuguesa é conhecida como,
Deus...
Os temas aqui apresentados, foram refutados, de
inúmeras enciclopédias e documentários de insti-
tuições credíveis.
Para mais informações, consulte por temas como:
Série de Fibonacci, Números de Lucas, Phi,
Número de Ouro, Número Áureo, Razão de Ouro,
Razão Divina, Razão Áurea, Proporção de Ouro,
Proporção Divina, Proporção Áurea, Anti-Phi,
Divisão de Extrema Razão, Espiral de Fibonacci,
Rectângulo de Ouro Rectângulo Áureo, ou
Rectângulo Dourado.
87

87. Dedicado a DEUS
à sua Ciência
a Única e a Verdadeira
e a todos VOCÊS
Diogo José
Matos de Fernandes
88