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![– Acréscimo de tensão vertical
ou
onde
Para pontos na vertical abaixo da carga (z/r = 0)
– Acréscimo de tensão horizontal radial
– Acréscimo de tensão transversal
TENSÕES NOS SOLOS
θ⋅
⋅π⋅
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=σ 5
2
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2
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1
1
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![• Solução de Love para carga uniforme sobre superfície
circular
A fórmula de Love (Love, 1929) obtida a partir da integração da solução
de Boussinesq permite o cálculo do acréscimo de tensão vertical ao
longo da vertical que passa pelo centro de uma placa circular
uniformemente carregada:
Soluções gráficas (para ν = 0,45)
TENSÕES NOS SOLOS
[ ]
+
−⋅σ=σ
2
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![• Soluções para carga uniforme sobre superfície retangular
– Solução de Newmark
Newmark (1933) → a partir da integração da equação de
Boussinesq, solução para o cálculo das tensões provocadas no
interior do semi-espaço infinito de superfície horizontal por
carregamento uniformemente distribuído numa área retangular.
Equação:
Solução gráfica:
entrada: m e n → tem-se Iσ
Com base no Princípio da Superposição dos Efeitos é possível determinar
as tensões em qualquer outro ponto sob a placa ou fora dela.
TENSÕES NOS SOLOS
σ⋅σ=σ I0z
z
a
m =
z
b
n =
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++⋅++⋅⋅⋅
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Carregado porCarla Barbosa
10 tensoes no-solo
1) O documento discute os conceitos de tensões nos solos, incluindo tensões devido ao peso próprio do solo, tensões efetivas de acordo com o princípio de Terzaghi, e tensões devido a cargas externas. 2) É apresentado o conceito de bulbos de tensões para descrever a propagação e distribuição de tensões em solos devido a cargas aplicadas. 3) São descritas soluções baseadas na teoria da elasticidade, como a solução de Boussinesq para carga concentrada, para estimar tensões em solos.
10 tensoes no-solo
- 1. TENSÕES NOS SOLOS qCONCEITO DE TENSÕES NO SOLO Aplicação da Mecânica dos Sólidos Deformáveis aos solos → conceito de tensões num meio particulado ⇒ os solos são constituídos por partículas e as forças são transmitidas de partícula a partícula e suportadas pela água dos vazios. Transmissão de esforços entre as partículas – Partículas granulares → transmissão de forças através do contato direto grão a grão; – Partículas de argila → pode ocorrer através da água adsorvida A transmissão se dá por áreas muito reduzidas. Ao longo de um plano horizontal no solo tem-se esforços decompostos em componentes normais e tangenciais. Conceito de tensão total em um meio contínuo – Conceito de tensão normal: – Conceito de tensão tangencial: Tensões de contato (> 700MPa) >>>> tensões totais assim definidas (< 1 MPa) → áreas de contato muito pequenas (< 1% da área total) área N∑=σ área T∑=τ
- 2. q TENSÕES NAMASSA DE SOLO – Tensões devido ao peso próprio – Tensões devido a propagação de cargas externas aplicadas ao terreno. Tensões devido ao peso próprio do solo Caso geral - terreno inclinado Semi-espaço infinito, solo homogêneo acima do NA, elemento de solo de espessura unitária. Por equilíbrio: Σ FH= 0 ⇒ Ee = Ed Σ FV= 0 ⇒ W = R W = peso do elemento unitário de solo σv = tensão atuante na base do elemento de solo Caso particular - terreno horizontal e plano, com constância horizontal nas camadas e ausência de cargas externas - tensões geostáticas →→→→ tensões cisalhantes nos planos horizontal e vertical são nulas solo estratificado → camadas uniformes de espessuras z1, z2, ..., com pesos específicos γ1, γ2, ... TENSÕES NOS SOLOS γ⋅⋅⋅=γ⋅⋅⋅= zicosb1zbW o icosz b R v ⋅⋅γ==σ zv ⋅γ=σ nn2211v z...zz ⋅γ++⋅γ+⋅γ=σ σv
- 3. TENSÕES NOS SOLOS –Exemplo de cálculo – Pressão neutra (ou poropressão) - u ou uw Pressão na água dos vazios dos solos → corresponde a carga piezométrica da lei de Bernoulli. Zw = altura da coluna d’água – Tensões efetivas - σ’ Terzaghi → estabeleceu que abaixo do NA a tensão normal total em um plano qualquer → soma de duas parcelas: • Tensão transmitida pelos contatos entre as partículas → tensão efetiva (σσσσ’) - extremamente difícil mensuração ! • Pressão na água dos poros (uw) Num caso mais genérico (solo não saturado): • Pressão no ar dos poros (ua) ww zu ⋅γ=
- 4. TENSÕES NOS SOLOS Paraum elemento de solo tem-se a seguinte condição de equilíbrio: para solo saturado: σ = tensão total A = área total σ’= tensão efetiva Ac = área de contato uw = poropressão na água Aw = área de água (pressão neutra) ua = poropressão no ar Aa = área de ar Como Ac A impossível mensuração → σ’ definido pelo Princípio das tensões efetivas • Princípio das tensões efetivas: • A tensão efetiva (solos saturados) pode ser expressa por: • Todos os efeitos mensuráveis das variações de tensões (deformações e resistência ao cisalhamento) são devido a variações na tensão efetiva - associados ao deslocamento relativo das partículas de solo. • Experiência que ilustra o conceito de tensão efetiva aawwc AuAuA'A ⋅+⋅+⋅σ=⋅σ wwc AuA'A ⋅+⋅σ=⋅σ u' −σ=σ
- 5. • Implicações doconceito de tensões efetivas – Na prática da Mecânica dos Solos define-se tensão efetiva como a tensão que efetivamente atua nos contatos grão a grão, respondendo pelas características de deformabilidade e resistência ao cisalhamento dos solos. A tensão deixa de ser calculada pela equação equilíbrio de esforços, mas continua sendo conceitualmente considerada a tensão no esqueleto mineral; – Ao passo que, com poucas exceções, toda a deformação nos solos está relacionada a variação na tensão efetiva, o solo pode sofrer deformação sem sofrer acréscimo de tensão total, basta que haja variação da pressão neutra; – Solos argilosos podem apresentar comportamento viscoso, sujeitos a creep (adensamento secundário), manifestando deformações lentas a tensão efetiva constante; – A resistência ao cisalhamento dos solos é em parte devido ao atrito entre as partículas, função das tensões de contato entre as partículas. • Cálculo da tensão efetiva TENSÕES NOS SOLOS
- 6. • Exemplo decálculo No caso geostático, as tensões horizontais associadas às tensões verticais são definidas em função do coeficiente de empuxo no repouso (K0). • Relação entre tensões efetivas horizontal (σ’h) e vertical (σ’v) No caso geostático as tensões horizontais associadas às tensões verticais são definidas em função do coeficiente de empuxo no repouso (K0). O valor de K0 varia entre 0,3 e 3 dependendo do tipo de solo, história de tensões, plasticidade, ... VALORES TÍPICOS: Tipo de solo K0 areia fofa 0,50 areia densa 0,40 argila de baixa plasticidade 0,50 argila muito plástica 0,65 argila pré-adensada 1 solos compactados 1 TENSÕES NOS SOLOS v h 0 ' ' K σ σ =
- 7. – Efeito dacapilaridade Por efeito da tensão superficial entre a água e a superfície das partículas → a água consegue subir acima do nível freático a uma altura maior quanto menor forem os vazios. • Tensão superficial da água e tensões capilares • Distribuição das poropressões Exemplo de cálculo TENSÕES NOS SOLOS w c r T2 h γ⋅ ⋅ = T (água a 20oC)= 0,073 N/m2 uw=γw z uw= - (γw z) u= uw(?) + ua(?) z z
- 8. TENSÕES NOS SOLOS Tensõesdevido a cargas externas - propagação e distribuição – Tensões devido a cargas externas Além do peso próprio da massa de solo, as tensões no solo podem ser originadas por carregamentos externos. A determinação das tensões devido a cargas externas e sua distribuição no subsolo é muito importante na avaliação de deformações e da capacidade de carga dos terrenos onde são instaladas obras de engenharia. – Distribuição das tensões Experiências dos primórdios da Mecânica dos Solos: • os acréscimos de tensões a uma certa profundidade excedem a área de projeção da área carregada; • o somatório dos acréscimos de tensões verticais é constante em profundidade; • como a área de atuação aumenta o valor das tensões verticais diminuem com a profundidade. – DMC/FURG - Mecânica dos Solos - Prof. Cezar Bastos
- 9. – Bulbos detensões Bulbos de tensões ou isóbaras são superfícies unindo pontos de mesmo acréscimo de tensões. Para efeito de projetos convenciona-se ∆σ = 0,1 σ0 como o bulbo de tensões mais afastado → superfície mais distante sob efeito da carga externa. – Método do espraiamento das tensões Simplificadamente o método considera as tensões verticais uniformemente distribuídas com a profundidade, com umângulo de espraiamento de 30o. Ex: para um carregamento ao longo de uma faixa de carregamento infinito: TENSÕES NOS SOLOS o 0v 30tgz2L2 L2 ⋅⋅+⋅ ⋅ ⋅σ=σ DMC/FURG - Mecânica dos Solos - Prof. Cezar Bastos
- 10. TENSÕES NOS SOLOS Ométodo do espraiamento não satisfaz o princípio da superposição dos efeitos. – Método empírico de Kögler e Scheidig para a propagação e distribuição das tensões Kögler e Scheidig (1927-1929) → experimentos com o carregamento de placas de diferentes formas e medindo-se por instrumentação as tensões verticais no interior de substratos de areia compactada. Soluções propostas: • Para cargas em faixas de largura 2B • Para cargas aplicadas em placas circulares de raio R • Para cargas aplicadas em placas quadradas de lado A • Para cargas aplicadas em placas retangulares de lados A e B θ = 30o para solos predominantemente argilosos e pouco rígidos θ = 45o para solos predominantemente granulares e compactos θ⋅+ ⋅ ⋅σ=σ tgzB B2 0z 2 2 0z )tgzR( R θ⋅+ ⋅σ=σ 2 2 0z )tgzA( A θ⋅+ ⋅σ=σ )tgzB()tgzA( BA 0z θ⋅+⋅θ⋅+ ⋅ ⋅σ=σ DMC/FURG - Mecânica dos Solos - Prof. Cezar Bastos
- 11. TENSÕES NOS SOLOS –Aplicação da Teoria da Elasticidade Para a estimativa das tensões atuantes no interior da massa de solo em virtude de diferentes tipos de carregamento externo são muito utilizadas soluções baseadas na Teoria da Elasticidade → relação tensão-deformação do solo é dada pela Lei de Hooke (material de comportamento linear elástico, homogêneo e isótropo). • Considerações sobre hipóteses da teoria da elasticidade A aplicação de soluções mais simples da Teoria da Elasticidade aos solos é questionável, pois os mesmos não satisfazem os requisitos das hipóteses: – Comportamento linear (relação tensão-deformação linear) e elástico (deformações reversíveis) → para que seja válida os acréscimos de tensão devem ser pequenos (pequenas deformações) tal que o estado de tensões seja muito distante da ruptura. Resulta válido o Princípio da Superposição dos Efeitos; – Homogeneidade (mesmas propriedades em todos os pontos) → foge a realidade na maioria dos casos. O solo é heterogêneo pela sua natureza e também apresenta relações tensão- deformação variáveis com a tensão de confinamento, logo variável com a profundidade; – Isotropia → O solo é em muitos casos anisotrópico pela natureza e arranjo de suas partículas. Entretanto, a condição de isotropia é válida para em terrenos onde o solo mantém constituição uniforme por distâncias da ordem de algumas vezes a menor dimensão da área carregada. Para estas soluções baseadas na Teoria da Elasticidade é também válido o Princípio de Saint-Venant → “Desde que as resultantes de dois carregamentos sejam as mesmas, o estado de tensões numa região suficientemente afastada da aplicação do carregamento independe da forma com que o carregamento é aplicado”. – Soluções com base na Teoria da Elasticidade • Solução de Boussinesq para carga concentrada Boussinesq → determinou tensões, deformações e deslocamentos no interior de uma massa elástica, homogênea e isotrópica, num semi-espaço infinito de superfície horizontal, devido a uma carga puntual aplicada na superfície deste semi-espaço. DMC/FURG - Mecânica dos Solos - Prof. Cezar Bastos
- 12. – Acréscimo detensão vertical ou onde Para pontos na vertical abaixo da carga (z/r = 0) – Acréscimo de tensão horizontal radial – Acréscimo de tensão transversal TENSÕES NOS SOLOS θ⋅ ⋅π⋅ ⋅ =σ 5 2 z cos z2 P3 B 2 z N z P ⋅=σ 2 z z P48,0 ⋅ =σ ] cos1 cos 21(sencos3[ z2 P 2 3 2 r θ+ θ ⋅)ν⋅−−θ⋅θ⋅⋅ ⋅π⋅ =σ ] cos1 cos [cos z2 P 21( 2 3 2 t θ+ θ −θ⋅ ⋅π⋅ ⋅)ν⋅−−=σ 2 5 2 B z r 1 1 2 3 N + ⋅ π⋅ = DMC/FURG - Mecânica dos Solos - Prof. Cezar Bastos
- 13. – Tensão cisalhante Ocoeficiente de Poisson → se relaciona ao coeficiente de empuxo no repouso • Solução de Melan para carga ao longo de uma linha de extensão infinita Melan (1932) → integração em linha da equação de Boussinesq ou de outra forma Q em kN/m • Solução de Carothers-Terzaghi para carga uniformemente distribuída ao longo de uma faixa de extensão infinita A partir da equação de Melan. β = ângulo entre a vertical e a bissetriz de 2α 2α =ψ - θ β = θ + α onde ν: coeficiente de Poisson e α é expresso em radianos Q em kN/m2 TENSÕES NOS SOLOS θ⋅θ⋅ ⋅π⋅ ⋅ =τ sencos z2 P3 4 2 z x ε ε −=ν ν− ν = 1 K0 222 3 z )xz( zQ2 + ⋅ π ⋅ =σ 222 2 x )xz( zxQ2 + ⋅ ⋅ π ⋅ =σ θ⋅ ⋅π ⋅ =σ 4 z cos z Q2 )22cos2(sen Q z α+β⋅α⋅ π =σ )22cos2sen( Q x α+β⋅α−⋅ π =σ α⋅ν⋅ π ⋅ =σ Q4 y DMC/FURG - Mecânica dos Solos - Prof. Cezar Bastos
- 14. Solução gráfica TENSÕES NOSSOLOS DMC/FURG - Mecânica dos Solos - Prof. Cezar Bastos
- 15. • Solução deOsterberg para carga distribuída na forma de trapézio retangular em uma faixa de extensão infinita Solução gráfica para σz sob a faixa de carregamento: A solução apresenta o efeito da semi-largura do carregamento. Por sobreposição dos efeitos: onde no caso de um aterro: Para pontos situados fora da projeção da faixa de carregamento usar a solução para carga uniformemente distribuída de Carothers-Terzaghi. TENSÕES NOS SOLOS )II( direitoladoesquerdolado0z σ+σσ=σ ⋅ aterrodoespessuraaterro0 ⋅γ=σ DMC/FURG - Mecânica dos Solos - Prof. Cezar Bastos
- 16. • Solução deCarothers para carga distribuída na forma de triângulo em uma faixa de extensão infinita Solução gráfica (ν = 0,45) para acréscimos de tensão vertical (σz= ∆σ1) e de tensão horizontal (σx= ∆σ3): TENSÕES NOS SOLOS DMC/FURG - Mecânica dos Solos - Prof. Cezar Bastos
- 17. • Solução deLove para carga uniforme sobre superfície circular A fórmula de Love (Love, 1929) obtida a partir da integração da solução de Boussinesq permite o cálculo do acréscimo de tensão vertical ao longo da vertical que passa pelo centro de uma placa circular uniformemente carregada: Soluções gráficas (para ν = 0,45) TENSÕES NOS SOLOS [ ] + −⋅σ=σ 2 3 2 0z ) z R(1 1 1 DMC/FURG - Mecânica dos Solos - Prof. Cezar Bastos
- 18. TENSÕES NOS SOLOS DMC/FURG- Mecânica dos Solos - Prof. Cezar Bastos
- 19. • Soluções paracarga uniforme sobre superfície retangular – Solução de Newmark Newmark (1933) → a partir da integração da equação de Boussinesq, solução para o cálculo das tensões provocadas no interior do semi-espaço infinito de superfície horizontal por carregamento uniformemente distribuído numa área retangular. Equação: Solução gráfica: entrada: m e n → tem-se Iσ Com base no Princípio da Superposição dos Efeitos é possível determinar as tensões em qualquer outro ponto sob a placa ou fora dela. TENSÕES NOS SOLOS σ⋅σ=σ I0z z a m = z b n = [ ] ⋅−++ ++⋅⋅⋅ + ++⋅⋅+++ ++⋅++⋅⋅⋅ ⋅ π⋅ σ =σ 2222 5,022 222222 225,022 0 z nm1nm )1nm(nm2 arctg )1nm()nm1nm( )2nm()1nm(nm2 4 DMC/FURG - Mecânica dos Solos - Prof. Cezar Bastos
- 20. – Solução deSteinbrenner Tensões no vértice do retângulo a uma profundidade z. Equação: onde: e a b Solucão gráfica: entrada z/b e a/b → saída TENSÕES NOS SOLOS ⋅+ +⋅ ⋅ + ⋅ + −⋅−−⋅+ −⋅⋅⋅−+⋅ ⋅⋅ π⋅ σ =σ R)za( )zR(a zb zb )zR(z)zR()ba( )zR(za2)ba(a z b arctg 2 22 22 22222 22 0 z 222 zbaR ++= 0 z i σ σ = DMC/FURG - Mecânica dos Solos - Prof. Cezar Bastos
- 21. • Solução paracarga uniforme sobre superfície qualquer - Método dos “quadradinhos” (Ábaco circular de Newmark) Esta solução tem por base a equação de Love e o Princípio da Superposição dos Efeitos. Quando é aplicada uma carga uniformemente distribuída sobre uma superfície, a tensão gerada a uma dada profundidade é igual ao somatório dos efeitos dos carregamentos em áreas parciais Para a construção do ábaco são traçados 10 círculos concêntricos cujo acréscimo de carga a um ponto do centro dos círculos situado a uma profundidade z corresponde a 10%, 20%, 30%,.... da carga total aplicada. Logo, cada um dos anéis apresenta Iσ= 0,1. Da equação de Love: Como Iσ = f(R/z) o traçado dos círculos segue a seguinte tabela: O ábaco é ainda dividido em 20 setores de igual área, originando trapézios circulares (“quadradinhos”) cuja unidade de influência Iσ=0,005 TENSÕES NOS SOLOS ( ) 2 3 2 0 z z R1 1 1I + −= σ σ =σ ( ) + −⋅σ=σ 2 3 2 0z z R1 1 1 DMC/FURG - Mecânica dos Solos - Prof. Cezar Bastos
- 22. Uso do ábaco –É desenhada a planta da área carregada na mesma escala de construção do ábaco (AB= z), sendo este centrado no ponto onde deseja-se determinar o acréscimo de tensões; – Conta-se o número de “quadradinhos” n abrangidos pela área de carregamento (devem ser contabilizadas de maneira fracionada os “quadradinhos” ocupados parcialmente); – O acréscimo de tensão vertical será dado por: sendo Iσ= 0,005 – É necessário repetir os procedimentos para cada profundidade que se deseja conhecer as tensões porque modifica a escala do desenho. Exemplo: TENSÕES NOS SOLOS σ⋅⋅σ=σ In0z DMC/FURG - Mecânica dos Solos - Prof. Cezar Bastos
- 23. • Soluções deMindlin (1936) e Antunes Martins (1945) para carga distribuída ao longo de um elemento vertical inserido na massa de solo As soluções consideram a transmissão de carga por uma estaca através do atrito ao longo do fuste e pela ponta para uma massa de solo homogênea, isotrópica e semi-infinita. Mindlin (1936) → parcela de acréscimo de tensão transmitida pela ponta Pp - parcela da carga transmitida pela ponta Kp - coeficiente de influência (ábaco - lado direito) Antunes Martins (1945) → parcela de acréscimo de tensão transmitida pelo fuste, admitindo atrito uniforme ao longo do comprimento da estaca. Pa - parcela da carga transmitida pelo fuste Ka - coeficiente de influência (ábaco - lado esquerdo) TENSÕES NOS SOLOS p 2 p z K C P ⋅=σ a 2 a z K C P ⋅=σ DMC/FURG - Mecânica dos Solos - Prof. Cezar Bastos
- 24. • Outras soluções Soluçõeselásticas específicas ou soluções numéricas (p.ex. método dos elementos finitos). Bibliografia: Poulos e Davis “Elastic solutions for soil and rock mechanics”. • Simplificações práticas com base na aplicação do Princípio de Saint-Venant – Para uma área retangular carregada, para cotas z 3 b, a influência pode ser considerada igual a de uma carga puntual aplicada no centro de gravidade da área; – A simplificação acima também é válida quando o raio vetor R da equação de Boussinesq é maior que 5x o lado menor b da superfície retangular; – Para uma superfície retangular de lado maior que 10x o lado menor, pode-se aplicar soluções para carga em faixa (p.ex. formulação de Carothers - Terzaghi). – Considerações sobre o emprego da Teoria da Elasticidade a solos não homogêneos As soluções apresentadas, baseadas na Teoria da Elasticidade, indicam acréscimos de tensões verticais que independem do Módulo de Elasticidade (E) e Coeficiente de Piosson (ν), visto as simplificações quanto a isotropia e principalmente homogeneidade. Na verdade o subsolo se apresenta em estratos constituídos por solos de variados módulos ou mesmo quando formados por um único material apresentam tendência natural a valores de módulos crescentes com profundidade → necessidade de soluções mais elaboradas ou uso de soluções numéricas (métodos computacionais) ⇒ uso difundido em Mecânica dos Pavimentos. Entretanto, apesar das reconhecidas limitações da Teoria da Elasticidade, as soluções aqui apresentadas ainda têm sido empregadas (mesmo para solos não homogêneos). A justificativa para tal é o fato de conduzirem a resultados com razoável aproximação às medições experimentais. TENSÕES NOS SOLOS DMC/FURG - Mecânica dos Solos - Prof. Cezar Bastos