O documento discute distribuições de probabilidade e experimentos aleatórios. Ele apresenta exemplos de variáveis aleatórias discretas e contínuas e explica como construir distribuições de probabilidade a partir de dados. Também explica experimentos binomiais e como calcular probabilidades usando a distribuição binomial.

2. Faremos a combinação dos P(x)
métodos da estatística 0.50
Números de dias com chuva
descritiva apresentada nas 0.45
primeiras aulas com os métodos 0.40
de probabilidade. Através de 0.35
uma distribuição de 0.30
Probabilidade
probabilidades será possível 0.25
prever qual é a probabilidade de 0.20
obter um dado evento após um 0.15
particular número de 0.10
ocorrências. Exemplo: 0.05
Determinar a probabilidade de 0.00 x
0 1 2 3 4 5
que não haja chuva ou chova Dias de chuva
em um, dois ou nos três dias.

4.  O resultado do lançamento de uma moeda pode
ser utilizado para tomar decisões, por exemplo:
 O árbitro de uma partida de futebol sorteia
quem inicia o primeiro tempo do jogo e ainda
o ganhador do sorteio escolhe a metade do
campo onde sua equipe iniciará o jogo.
 Outras vezes, o resultado da moeda é para
realizar uma tarefa agradável ou não etc.
 Embora o resultado do sorteio possa ser
utilizado com diferentes finalidades, o
experimento aleatório lançamento de uma moeda
permanece o mesmo, mantendo os mesmos
resultados.

5.  Cada vez que o experimento for repetido, seu
resultado pertencerá a esse espaço amostral, sendo
cada resultado denominando ponto amostral
 Em vez de operar com o espaço amostral, agora
utilizaremos um conceito mais amplo denominado
variável aleatória, que adota valores de acordo com
os resultados de um experimento aleatório.
 Um experimento é aleatório se não for possível
antecipar seu resultado, apesar de conhecer todos os
resultados possíveis que definem o espaço amostral
do experimento.

6. Variáveis aleatórias
Uma variável aleatória, x, é o resultado
numérico de um experimento probabilístico.
x = o número de pessoas num carro.
x = quantos metros cúbicos de gás são comprados
numa semana.
x = o tempo que leva para ir de carro de casa até a
escola.
x = o número de vezes que você vai à escola por
semana.

7. Tipos de variáveis aleatórias
Uma variável aleatória é discreta se o número de
resultados possíveis é finito ou pode ser contado.
Variáveis aleatórias discretas são determinadas por uma
contagem. Por exemplo, o número de peças rejeitadas por
lote numa linha de produção é uma VA discreta.
-2 -1 0 1 2
Uma variável aleatória é contínua se pode assumir
qualquer valor dentro de determinado intervalo. O número
de resultados possíveis não pode ser listado. Variáveis
aleatórias contínuas são determinadas por uma medição.
Por exemplo, o lucro líquido mensal de uma empresa é uma
VA contínua.
Número de resultados infinitos

8. Tipos de variável aleatória
Identifique cada variável aleatória como discreta ou contínua.
x = o número de pessoas em um carro.
Discreta – você conta o número de pessoas: 0, 1, 2, 3… Os
valores possíveis podem ser enumerados.
x = quantos metros cúbicos de gás são comprados numa
semana.
Contínua – você mede os metros cúbicos de gás. Você não
pode enumerar todos os valores possíveis.
x = o tempo que leva para ir de carro de casa até a escola.
Contínua – você mede a quantidade de tempo. Os valores
possíveis não podem ser enumerados.
x = o número de vezes que você vai à escola por semana.
Discreta – você conta o número de vezes que vai. Os valores
possíveis podem ser enumerados.

9. Distribuições discretas de probabilidade
Uma distribuição discreta de probabilidade enumera
cada valor possível da variável aleatória, bem como sua
probabilidade.
x P (x )
Em um levantamento,
perguntou-se a uma número de 0 0,004
veículos 1 0,435
amostra de famílias
quantos veículos elas 2 0,355
possuíam. 3 0,206
Propriedades de uma distribuição de probabilidade
• Cada probabilidade precisa estar entre 0 e 1, inclusive.
• A soma de todas as probabilidades é 1.

10. Histograma de probabilidade
(similar ao histrograma de frequência relativa)
Número de veículos
0,435
0,40 0,355
0,30
P(x)
0,206
0,20
0,10
0,004
0
00 11 22 3
3 x
• A altura de cada barra corresponde à probabilidade de x.
• Se a largura da barra é 1, sua área corresponde à
probabilidade de que o valor de x ocorra.

11. Valor esperado pela distribuição de probabilidade – similar
aos determinados pelas tabelas de frequências
A média de uma distribuição discreta de probabilidade é:
A variância de uma distribuição discreta de
probabilidade é:
O desvio padrão de uma distribuição discreta
de probabilidade é:

12. Média (valor esperado)
Procedimento para o cálculo da média:
Multiplique cada valor por sua probabilidade. Some
os produtos.
x P (x ) xP (x )
0 0,004 0
1 0,435 0,435
2 0,355 0,71
3 0,206 0,618
Soma dos Produtos = 1,763
O valor esperado (a média) é de 1,763 veículo.

14. Cálculo da variância e o desvio padrão
A média é de 1,763 veículo.
Tabela de Determinação da Variância
x P (x ) x- μ (x - μ ) P(x)(xP(x)
- )
0 0,004 -1,763 3,108 0,012
1 0,435 -0,763 0,582 0,253
2 0,355 0,237 0,056 0,020
3 0,206 1,237 1,530 0,315
0,601
= 0,661 0,775 variância
O desvio padrão é de 0,775 veículo.

15. Construindo uma distribuição de
probabilidades
Da tabela abaixo, construir uma distribuição de probabilidade e, a partir
desta, determinar a média, variância e desvio padrão.
Número de computadores por família
em uma pequena cidade
Computadores 0 1 2 3
Famílias 300 280 95 20
Gerando a distribuição de probabilidades
N. Computadores = x Fi P
0 300 300/695 = 0.43165
1 280 280/695 = 0.40288
2 95 95/695 = 0.13670
3 20 20/695 = 0.02878
Total 695 1

16. Cálculo da variância e o desvio padrão
Tabela de Determinação da Variância
x P(x) x . P(x) x-μ (x- μ)2 P(x)
0 0.43165 0 -0.76262 0.251043
1 0.40288 0.40288 0.23738 0.022702
2 0.13670 0.27340 1.23738 0.209303
3 0.02878 0.08634 1.23738 0.044065
Total 1 0.76262 ----- 0.527113
Média
Variância
Desvio Padrão σ = σ 2 = 0.527113 = 0.7260

17. Distribuições
Binomiais
n = número de vezes que uma tentativa é repetida.
p = prob. de sucesso de uma única tentativa.
q = prob. de fracasso de uma única tentativa.
x = contagem do número de sucessos em n tentativas.

18. Experimentos binomiais
Características de um experimento binomial
• O número de tentativas é fixo (n).
• As n tentativas são independentes e repetidas em condições
idênticas.
• Para cada tentativa há dois resultados possíveis,
S = sucesso ou F = fracasso.
• A probabilidade de sucesso numa tentativa única é p. P(S) = p
A probabilidade de fracasso é q. P(F) =q, onde p + q = 1
• O problema central está em determinar a probabilidade de x
sucessos em n tentativas, sendo x = 0 ou 1 ou 2 … n.
A variável aleatória x é uma CONTAGEM (ñ probabilidade)
do número de sucessos em n tentativas.

19. Tente adivinhar as respostas
1. Qual é o 11o dígito depois do ponto decimal de um número irracional e?
(a) 2 (b) 7 (c) 4 (d) 5
e = 2.718281828459045
2. Qual foi o Índice Dow Jones em 27 de fevereiro de 1993?
(a) 3.265 (b) 3.174 (c) 3.285 (d) 3.327
3. Quantos jovens do Sri Lanka estudaram em universidades norte-
americanas entre 1990 e 1991?
(a) 2.320 (b) 2.350 (c) 2.360 (d) 2.240
4. Quantos transplantes de rins foram feitos em 1991?
(a) 2.946 (b) 8.972 (c) 9.943 (d) 7.341
5. Quantos verbetes há no dicionário Aurélio?
(a) 60.000 (b) 80.000 (c) 75.000 (d) 83.000

20. Resultados do teste
As respostas corretas são:
1. d 2. a 3. b 4. c 5. b
Conte o número de questões a que você
respondeu corretamente. Chamemos esse número
de x.
Por que esse foi um experimento
binomial?
Quais são os valores de n, p e q?
Quais são os valores possíveis de x?

21. Experimentos binomiais
Um teste de múltipla escolha tem oito questões, cada qual com
três alternativas, uma delas correta. Você quer saber qual a
probabilidade de ‘chutar’ certo em exatamente cinco questões.
Determine n, p, q e x.
n=8 p = 1/3 q = 2/3 x=5
Prob. de acerto Prob. de errar
Um médico lhe diz que certa cirurgia é bem-sucedida em 80% das
vezes. Se a cirurgia for realizada sete vezes, determine a
probabilidade de ser bem-sucedida em exatamente seis.
Determine n, p, q e x.
n=7 p = 0,80 q = 0,20 x=6
Prob. de ser Prob. de ser
bem-sucedida mal-sucedida

22. Probabilidades binomiais
Determine a probabilidade de acertar exatamente 3 questões num
teste de 5 questões de múltipla escolha, sendo cada questão
composta de 4 alternativas
Escreva as primeiras três corretas e as últimas duas erradas como AAAEE
Como são eventos independentes temos a prob. de um possível resultado:
P(A ∩ A ∩ A ∩ E ∩E) = P(A).P(A).P(A).P(E).P(E)
P(A ∩ A ∩ A ∩ E ∩ E) =(0,25)(0,25)(0,25)(0,75)(0,75) = (0,25)3(0,75)2 = 0,00879
Uma vez que a ordem não importa, qualquer combinação de três
questões corretas entre cinco servirá. Enumere essas combinações.
AAAEE AAEAE AAEEA AEEAA AEAEA
EEAAA EAEAA EAAEA AEAAE EEAAE

23. AAAEE AAEAE AAEEA AEEAA AEAEA
EEAAA EAEAA EAAEA AEAAE EEAAE
Cada uma dessas dez maneiras tem uma
probabilidade de 0,00879.
num. De questões certas num. De questões erradas
P(x = 3) = 10 (0,25)3(0,75)2 = 10(0,00879) = 0,0879
Prob. de errar uma questão
n. de combinações
Prob. de acertar uma questão

24. Combinação de n valores, escolhendo-se x
Há maneiras.
Determine a probabilidade de alguém acertar exatamente três
questões naquele teste.
Cada uma dessas dez maneiras tem uma probabilidade de 0,00879.
P(x = 3) = 10(0,25)3(0,75)2= 10(0,00879)= 0,0879

25. Probabilidades binomiais
Em um experimento binomial, a probabilidade de ocorrerem
exatamente x sucessos em n tentativas é de
Use a fórmula para calcular a probabilidade de alguém não acertar
nenhuma questão, exatamente uma, duas, três, quatro ou todas as
cinco questões do teste.
(0,25)0 (0,75)5 = 0,237
(0,25)1 (0,75)4 = 0,396
(0,25)2 (0,75)3 = 0,264
P(3) = 0,088 P(4) = 0,015 P(5) = 0,001

26. Distribuição binomial
x P(x)
0 0,237
1 0,396
2 0,264
Histograma binomial 3 0,088
0,40 0,396 4 0,015
5 0,001
0,30 0,294
0,237
0,20
0,10 0,088
0,015 0,001
0
0 1 2 3 4 5
x

27. Probabilidades binomiais
x P(x)
0 0,237
1 0,396
2 0,264
1. Qual é a probabilidade de se responder 3 0,088
a duas ou quatro questões corretamente? 4 0,015
P(x = 2 ou x = 4) = 0,264 + 0,015 = 0,279 5 0,001
2. Qual é a probabilidade de se responder corretamente a pelo menos três questões?
P(x ≥ 3) = P(x = 3 ou x = 4 ou x = 5) = 0,088 + 0,015 + 0,001 = 0,104
3. Qual é a probabilidade de se responder corretamente a pelo menos uma questão?
P(x ≥ 1) = 1 – P(x = 0) = 1 – 0,237 = 0,763

28. Parâmetros para um
experimento binomial
Média:
Variância:
Desvio padrão:
Use as fórmulas binomiais para determinar a média, a variância e
o desvio padrão da distribuição de respostas corretas no teste.
5(0,25) 1,25
5(0,25)(0,75) 0,9375
0,9375 0,968

29. A distribuição geométrica
Segundo uma pesquisa de mercado, a probabilidade de que cada
pessoa que entra em determinada loja faça uma compra é de 0,30.
• A probabilidade de que a primeira compra seja feita pela primeira
pessoa que entrar na loja é de 0,30. Ou seja: P(1) = 0,30.
• A probabilidade de que a primeira compra seja feita pela segunda
pessoa que entrar na loja é de (0,70) (0,30).
Logo, P(2) = (0,70) (0,30) = 0,21.
• A probabilidade de que a primeira compra seja feita pela terceira
pessoa que entrar na loja é de (0,70)(0,70)(0,30).
Logo, P(3) = (0,70) (0,70) (0,30) = 0,147.
A probabilidade de que a primeira compra seja feita pela pessoa
número x é de
P(x) = (0,70)x – 1(0,30)

30. A distribuição geométrica
Uma distribuição geométrica é uma distribuição discreta
de probabilidade da variável aleatória x que satisfaz as
seguintes condições.
1. A tentativa é repetida até que o sucesso ocorra.
2. As sucessivas tentativas são independentes entre si.
3. A probabilidade de sucesso, p, é a mesma a cada tentativa.
A probabilidade de que o primeiro sucesso ocorra na
tentativa número x é: P(x) = (q)x – 1p , onde q = 1 – p.

31. Aplicação da distribuição Geométrica
Um fabricante de cereais colocou uma peça premiada nas
embalagens de seu produto. A probabilidade de ganhar um
prêmio é de um para quatro. Determine a probabilidade de que
você:
a) ganhe seu primeiro prêmio na quarta compra;
P(4) = (0,75)3 . (0,25) = 0,1055
b) ganhe seu primeiro prêmio na segunda ou terceira compra;
P(2) = (0,75)1(0,25) = 0,1875 e
P(3) = (0,75)2(0,25) = 0,1406
Logo, P(2 ou 3) = 0,1875 + 0,1406 = 0,3281
c) não ganhe nenhum prêmio nas quatro primeiras compras.
1 – (P(1) + P(2) + P(3) + P(4))
1 – ( 0,25 + 0,1875 + 0,1406 + 0,1055)
= 1 – 0,6836 = 0,3164

32. A distribuição de Poisson
A distribuição de Poisson é uma distribuição discreta de
probabilidade de uma variável aleatória x que satisfaz as
seguintes condições:
1. O experimento consiste em contar o número de vezes, x, que um
evento ocorre num intervalo de tempo, área ou espaço.
2. A probabilidade de que o evento ocorra é a mesma em cada
intervalo.
3. O número de ocorrências em um intervalo independe do número
de ocorrências em outro.
A probabilidade de exatamente x ocorrências em um intervalo é
e é um número irracional aproximadamente igual a 2,71828.
µ é o número médio de ocorrências por intervalo.

33. Aplicação
Estima-se que, em todo o mundo, os tubarões matem
dez pessoas por ano. Determine a probabilidade:
a) de que três pessoas sejam mortas por tubarões este ano
(2,71828)–10
0,0076
b) de que duas ou três pessoas sejam mortas por tubarões este
ano
(2,71828)–10
0,0023
P(3) = 0,0076
P(2 ou 3) = 0,0023 + 0,0076 = 0,0099

34. Aplicação
O número médio de acidentes mensais em um
determinado cruzamento é três. Qual é a probabilidade
de que em um determinado mês ocorram quatro
acidentes no cruzamento:
X=4 e µ=3 4 −3
3 (2,71828)
P ( 4) = ≈ 0,168
4!
Qual é a probabilidade de que ocorram mais do que quatro
acidentes em um determinado mês no cruzamento?
a. Use a distribuição de Poisson para obter P(0), P(1), P(2), P(3)
e P(4).
b. Obtenha a soma de P(0), P(1), P(2), P(3) e P(4).
c. Subtraia a soma de 1
d. Interprete os resultados

35. 0.25
(2,71828) −3 ≈ 0.05 0.20
Probabilidade
30 0.05 0.15
P (0) = ≈ 0,05
0!
0.10
31 0.05
P (1) = ≈ 0,15
1!
0.05
32 0.05
P ( 2) = ≈ 0,112
2! 0.00
0 1 2 3 4
33 0.05 Número de Acidentes
P (3) = ≈ 0,225
3!
P (+4) = 1 − (0,05 + 0,15 + 0,112 + 0,225 + 0,169)
34 0.05 P (+4) = 0,294
P ( 4) = ≈ 0,169
4!