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Faremos a combinação dos                            P(x)
métodos da estatística                             0.50
                                                               Números de dias com chuva
descritiva apresentada nas                         0.45

primeiras aulas com os métodos                     0.40

de probabilidade. Através de                       0.35

uma distribuição de                                0.30




                                   Probabilidade
probabilidades será possível                       0.25

prever qual é a probabilidade de                   0.20

obter um dado evento após um                       0.15

particular número de                               0.10

ocorrências. Exemplo:                              0.05

Determinar a probabilidade de                      0.00                                        x
                                                           0     1      2    3       4     5
que não haja chuva ou chova                                          Dias de chuva
em um, dois ou nos três dias.
   O resultado do lançamento de uma moeda pode
    ser utilizado para tomar decisões, por exemplo:

     O árbitro de uma partida de futebol sorteia
      quem inicia o primeiro tempo do jogo e ainda
      o ganhador do sorteio escolhe a metade do
      campo onde sua equipe iniciará o jogo.
     Outras vezes, o resultado da moeda é para
      realizar uma tarefa agradável ou não etc.
   Embora o resultado do sorteio possa ser
    utilizado com diferentes finalidades, o
    experimento aleatório lançamento de uma moeda
    permanece o mesmo, mantendo os mesmos
    resultados.
   Cada vez que o experimento for repetido, seu
    resultado pertencerá a esse espaço amostral, sendo
    cada resultado denominando ponto amostral

   Em vez de operar com o espaço amostral, agora
    utilizaremos um conceito mais amplo denominado
    variável aleatória, que adota valores de acordo com
    os resultados de um experimento aleatório.

   Um experimento é aleatório se não for possível
    antecipar seu resultado, apesar de conhecer todos os
    resultados possíveis que definem o espaço amostral
    do experimento.
Variáveis aleatórias
Uma variável aleatória, x, é o resultado
numérico de um experimento probabilístico.
x = o número de pessoas num carro.

x = quantos metros cúbicos de gás são comprados
    numa semana.

x = o tempo que leva para ir de carro de casa até a
    escola.

x = o número de vezes que você vai à escola por
    semana.
Tipos de variáveis aleatórias
Uma variável aleatória é discreta se o número de
resultados possíveis é finito ou pode ser contado.
Variáveis aleatórias discretas são determinadas por uma
contagem. Por exemplo, o número de peças rejeitadas por
lote numa linha de produção é uma VA discreta.


                -2   -1      0      1        2

Uma variável aleatória é contínua se pode assumir
qualquer valor dentro de determinado intervalo. O número
de resultados possíveis não pode ser listado. Variáveis
aleatórias contínuas são determinadas por uma medição.
Por exemplo, o lucro líquido mensal de uma empresa é uma
VA contínua.

                          Número de resultados infinitos
Tipos de variável aleatória
Identifique cada variável aleatória como discreta ou contínua.
x = o número de pessoas em um carro.
  Discreta – você conta o número de pessoas: 0, 1, 2, 3… Os
  valores possíveis podem ser enumerados.
x = quantos metros cúbicos de gás são comprados numa
    semana.
  Contínua – você mede os metros cúbicos de gás. Você não
  pode enumerar todos os valores possíveis.
x = o tempo que leva para ir de carro de casa até a escola.
  Contínua – você mede a quantidade de tempo. Os valores
  possíveis não podem ser enumerados.
x = o número de vezes que você vai à escola por semana.
  Discreta – você conta o número de vezes que vai. Os valores
  possíveis podem ser enumerados.
Distribuições discretas de probabilidade
   Uma distribuição discreta de probabilidade enumera
   cada valor possível da variável aleatória, bem como sua
   probabilidade.
                                  x       P (x )
  Em um levantamento,
  perguntou-se a uma número de    0       0,004
                        veículos  1       0,435
  amostra de famílias
  quantos veículos elas           2       0,355
  possuíam.                       3       0,206
Propriedades de uma distribuição de probabilidade
• Cada probabilidade precisa estar entre 0 e 1, inclusive.

• A soma de todas as probabilidades é 1.
Histograma de probabilidade
                    (similar ao histrograma de frequência relativa)
                       Número de veículos
                       0,435
    0,40                         0,355

    0,30
 P(x)




                                            0,206
    0,20

    0,10
            0,004
        0
             00         11        22         3
                                             3      x
• A altura de cada barra corresponde à probabilidade de x.

• Se a largura da barra é 1, sua área corresponde à
probabilidade de que o valor de x ocorra.
Valor esperado pela distribuição de probabilidade – similar
aos determinados pelas tabelas de frequências

A média de uma distribuição discreta de probabilidade é:


 A variância de uma distribuição discreta de
 probabilidade é:



 O desvio padrão de uma distribuição discreta
 de probabilidade é:
Média (valor esperado)
Procedimento para o cálculo da média:

Multiplique cada valor por sua probabilidade. Some
os produtos.
          x             P (x )           xP (x )
          0             0,004               0
          1             0,435            0,435
          2             0,355             0,71
          3             0,206            0,618
                  Soma dos Produtos =    1,763


O valor esperado (a média) é de 1,763 veículo.
Cálculo da variância e o desvio padrão

A média é de 1,763 veículo.

            Tabela de Determinação da Variância
       x       P (x )        x- μ      (x - μ )    P(x)(xP(x)
                                                         - )
       0       0,004          -1,763    3,108       0,012
       1       0,435          -0,763    0,582       0,253
       2       0,355           0,237    0,056       0,020
       3       0,206           1,237    1,530       0,315
                                                    0,601

   =            0,661    0,775                    variância
  O desvio padrão é de 0,775 veículo.
Construindo uma distribuição de
                                     probabilidades
Da tabela abaixo, construir uma distribuição de probabilidade e, a partir
desta, determinar a média, variância e desvio padrão.

                          Número de computadores por família
                               em uma pequena cidade
                  Computadores            0         1        2   3
                        Famílias         300       280      95   20

             Gerando a distribuição de probabilidades
          N. Computadores = x       Fi               P
                    0              300    300/695 = 0.43165
                    1              280    280/695 = 0.40288
                    2               95        95/695 = 0.13670
                    3               20        20/695 = 0.02878
                  Total            695               1
Cálculo da variância e o desvio padrão


         Tabela de Determinação da Variância
          x      P(x)      x . P(x)    x-μ      (x- μ)2 P(x)
          0     0.43165       0       -0.76262 0.251043
          1     0.40288    0.40288    0.23738   0.022702
          2     0.13670    0.27340    1.23738   0.209303
          3     0.02878    0.08634    1.23738   0.044065
        Total     1        0.76262      -----   0.527113

        Média
                                                           Variância

Desvio Padrão             σ = σ 2 = 0.527113 = 0.7260
Distribuições
     Binomiais


n = número de vezes que uma tentativa é repetida.
p = prob. de sucesso de uma única tentativa.
q = prob. de fracasso de uma única tentativa.
x = contagem do número de sucessos em n tentativas.
Experimentos binomiais
Características de um experimento binomial
• O número de tentativas é fixo (n).
• As n tentativas são independentes e repetidas em condições
  idênticas.
• Para cada tentativa há dois resultados possíveis,
  S = sucesso ou F = fracasso.
• A probabilidade de sucesso numa tentativa única é p. P(S) = p
  A probabilidade de fracasso é q. P(F) =q, onde p + q = 1
• O problema central está em determinar a probabilidade de x
  sucessos em n tentativas, sendo x = 0 ou 1 ou 2 … n.

A variável aleatória x é uma CONTAGEM (ñ probabilidade)
        do número de sucessos em n tentativas.
Tente adivinhar as respostas

1. Qual é o 11o dígito depois do ponto decimal de um número irracional e?
(a) 2                    (b) 7           (c) 4         (d) 5

                  e = 2.718281828459045

2. Qual foi o Índice Dow Jones em 27 de fevereiro de 1993?
(a) 3.265         (b) 3.174     (c) 3.285       (d) 3.327

3. Quantos jovens do Sri Lanka estudaram em universidades norte-
americanas entre 1990 e 1991?
(a) 2.320      (b) 2.350       (c) 2.360     (d) 2.240

4. Quantos transplantes de rins foram feitos em 1991?
(a) 2.946       (b) 8.972        (c) 9.943      (d) 7.341

5. Quantos verbetes há no dicionário Aurélio?
(a) 60.000     (b) 80.000      (c) 75.000       (d) 83.000
Resultados do teste
    As respostas corretas são:
    1. d   2. a   3. b     4. c   5. b

Conte o número de questões a que você
respondeu corretamente. Chamemos esse número
de x.

    Por que esse foi um experimento
    binomial?
    Quais são os valores de n, p e q?
    Quais são os valores possíveis de x?
Experimentos binomiais
 Um teste de múltipla escolha tem oito questões, cada qual com
 três alternativas, uma delas correta. Você quer saber qual a
 probabilidade de ‘chutar’ certo em exatamente cinco questões.
 Determine n, p, q e x.
         n=8          p = 1/3            q = 2/3           x=5
                   Prob. de acerto      Prob. de errar


Um médico lhe diz que certa cirurgia é bem-sucedida em 80% das
vezes. Se a cirurgia for realizada sete vezes, determine a
probabilidade de ser bem-sucedida em exatamente seis.
Determine n, p, q e x.
     n=7        p = 0,80             q = 0,20            x=6
                Prob. de ser         Prob. de ser
                bem-sucedida         mal-sucedida
Probabilidades binomiais
  Determine a probabilidade de acertar exatamente 3 questões num
  teste de 5 questões de múltipla escolha, sendo cada questão
  composta de 4 alternativas

 Escreva as primeiras três corretas e as últimas duas erradas como AAAEE


   Como são eventos independentes temos a prob. de um possível resultado:
   P(A ∩ A ∩ A ∩ E ∩E) = P(A).P(A).P(A).P(E).P(E)
   P(A ∩ A ∩ A ∩ E ∩ E) =(0,25)(0,25)(0,25)(0,75)(0,75) = (0,25)3(0,75)2 = 0,00879


Uma vez que a ordem não importa, qualquer combinação de três
questões corretas entre cinco servirá. Enumere essas combinações.

         AAAEE    AAEAE AAEEA AEEAA AEAEA
       EEAAA EAEAA EAAEA AEAAE EEAAE
AAAEE    AAEAE AAEEA AEEAA AEAEA
EEAAA EAEAA EAAEA AEAAE EEAAE




 Cada uma dessas dez maneiras tem uma
 probabilidade de 0,00879.




  num. De questões certas                num. De questões erradas
    P(x = 3) = 10 (0,25)3(0,75)2 = 10(0,00879) = 0,0879
                                          Prob. de errar uma questão
     n. de combinações
                            Prob. de acertar uma questão
Combinação de n valores, escolhendo-se x




     Há                                                       maneiras.


Determine a probabilidade de alguém acertar exatamente três
questões naquele teste.


Cada uma dessas dez maneiras tem uma probabilidade de 0,00879.


P(x = 3) = 10(0,25)3(0,75)2= 10(0,00879)= 0,0879
Probabilidades binomiais
Em um experimento binomial, a probabilidade de ocorrerem
exatamente x sucessos em n tentativas é de



  Use a fórmula para calcular a probabilidade de alguém não acertar
  nenhuma questão, exatamente uma, duas, três, quatro ou todas as
  cinco questões do teste.

                                       (0,25)0 (0,75)5 = 0,237

                                       (0,25)1 (0,75)4 = 0,396

                                       (0,25)2 (0,75)3 = 0,264

    P(3) = 0,088          P(4) = 0,015             P(5) = 0,001
Distribuição binomial
                                                x         P(x)
                                                0         0,237
                                                1         0,396
                                                2         0,264
 Histograma binomial                            3         0,088
0,40           0,396                            4         0,015
                                                5         0,001
0,30                    0,294
       0,237
0,20

0,10                            0,088
                                        0,015       0,001
  0
          0       1        2      3       4           5
                                                                  x
Probabilidades binomiais
                                                              x       P(x)
                                                              0       0,237
                                                              1       0,396
                                                              2       0,264
1. Qual é a probabilidade de se responder                     3       0,088
 a duas ou quatro questões corretamente?                      4       0,015
   P(x = 2 ou x = 4) = 0,264 + 0,015 = 0,279                  5       0,001
2. Qual é a probabilidade de se responder corretamente a pelo menos três questões?

  P(x ≥ 3) = P(x = 3 ou x = 4 ou x = 5) = 0,088 + 0,015 + 0,001 = 0,104
3. Qual é a probabilidade de se responder corretamente a pelo menos uma questão?

  P(x ≥ 1) = 1 – P(x = 0) = 1 – 0,237 = 0,763
Parâmetros para um
                                  experimento binomial
 Média:

 Variância:

 Desvio padrão:
Use as fórmulas binomiais para determinar a média, a variância e
o desvio padrão da distribuição de respostas corretas no teste.

                        5(0,25)     1,25

                         5(0,25)(0,75)     0,9375

                                       0,9375    0,968
A distribuição geométrica
Segundo uma pesquisa de mercado, a probabilidade de que cada
pessoa que entra em determinada loja faça uma compra é de 0,30.
• A probabilidade de que a primeira compra seja feita pela primeira
pessoa que entrar na loja é de 0,30. Ou seja: P(1) = 0,30.

• A probabilidade de que a primeira compra seja feita pela segunda
pessoa que entrar na loja é de (0,70) (0,30).
Logo, P(2) = (0,70) (0,30) = 0,21.

• A probabilidade de que a primeira compra seja feita pela terceira
pessoa que entrar na loja é de (0,70)(0,70)(0,30).
Logo, P(3) = (0,70) (0,70) (0,30) = 0,147.

A probabilidade de que a primeira compra seja feita pela pessoa
número x é de
P(x) = (0,70)x – 1(0,30)
A distribuição geométrica
     Uma distribuição geométrica é uma distribuição discreta
     de probabilidade da variável aleatória x que satisfaz as
     seguintes condições.

 1. A tentativa é repetida até que o sucesso ocorra.
 2. As sucessivas tentativas são independentes entre si.
 3. A probabilidade de sucesso, p, é a mesma a cada tentativa.



A probabilidade de que o primeiro sucesso ocorra na
tentativa número x é: P(x) = (q)x – 1p , onde q = 1 – p.
Aplicação da distribuição Geométrica
Um fabricante de cereais colocou uma peça premiada nas
embalagens de seu produto. A probabilidade de ganhar um
prêmio é de um para quatro. Determine a probabilidade de que
você:
a) ganhe seu primeiro prêmio na quarta compra;
        P(4) = (0,75)3 . (0,25) = 0,1055
b) ganhe seu primeiro prêmio na segunda ou terceira compra;
         P(2) = (0,75)1(0,25) = 0,1875 e
         P(3) = (0,75)2(0,25) = 0,1406
         Logo, P(2 ou 3) = 0,1875 + 0,1406 = 0,3281
c) não ganhe nenhum prêmio nas quatro primeiras compras.

              1 – (P(1) + P(2) + P(3) + P(4))
              1 – ( 0,25 + 0,1875 + 0,1406 + 0,1055)
              = 1 – 0,6836 = 0,3164
A distribuição de Poisson
 A distribuição de Poisson é uma distribuição discreta de
 probabilidade de uma variável aleatória x que satisfaz as
 seguintes condições:
1. O experimento consiste em contar o número de vezes, x, que um
   evento ocorre num intervalo de tempo, área ou espaço.
2. A probabilidade de que o evento ocorra é a mesma em cada
   intervalo.
3. O número de ocorrências em um intervalo independe do número
   de ocorrências em outro.
A probabilidade de exatamente x ocorrências em um intervalo é




          e é um número irracional aproximadamente igual a 2,71828.
          µ é o número médio de ocorrências por intervalo.
Aplicação
Estima-se que, em todo o mundo, os tubarões matem
dez pessoas por ano. Determine a probabilidade:

a) de que três pessoas sejam mortas por tubarões este ano

                            (2,71828)–10
                                                 0,0076

b) de que duas ou três pessoas sejam mortas por tubarões este
   ano
                              (2,71828)–10
                                                  0,0023

  P(3) = 0,0076
  P(2 ou 3) = 0,0023 + 0,0076 = 0,0099
Aplicação
O número médio de acidentes mensais em um
determinado cruzamento é três. Qual é a probabilidade
de que em um determinado mês ocorram quatro
acidentes no cruzamento:
 X=4 e µ=3                  4          −3
                                 3 (2,71828)
                        P ( 4) =                    ≈ 0,168
                                       4!
Qual é a probabilidade de que ocorram mais do que quatro
acidentes em um determinado mês no cruzamento?
 a. Use a distribuição de Poisson para obter P(0), P(1), P(2), P(3)
    e P(4).
 b. Obtenha a soma de P(0), P(1), P(2), P(3) e P(4).
 c. Subtraia a soma de 1
 d. Interprete os resultados
0.25




(2,71828) −3 ≈ 0.05                        0.20




                           Probabilidade
        30 0.05                            0.15
P (0) =         ≈ 0,05
           0!
                                           0.10
        31 0.05
P (1) =         ≈ 0,15
           1!
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         32 0.05
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            2!                             0.00
                                                   0         1         2         3         4


        33 0.05                                            Número de Acidentes
P (3) =         ≈ 0,225
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                                           P (+4) = 1 − (0,05 + 0,15 + 0,112 + 0,225 + 0,169)
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  • 1.
  • 2. Faremos a combinação dos P(x) métodos da estatística 0.50 Números de dias com chuva descritiva apresentada nas 0.45 primeiras aulas com os métodos 0.40 de probabilidade. Através de 0.35 uma distribuição de 0.30 Probabilidade probabilidades será possível 0.25 prever qual é a probabilidade de 0.20 obter um dado evento após um 0.15 particular número de 0.10 ocorrências. Exemplo: 0.05 Determinar a probabilidade de 0.00 x 0 1 2 3 4 5 que não haja chuva ou chova Dias de chuva em um, dois ou nos três dias.
  • 3.
  • 4. O resultado do lançamento de uma moeda pode ser utilizado para tomar decisões, por exemplo:  O árbitro de uma partida de futebol sorteia quem inicia o primeiro tempo do jogo e ainda o ganhador do sorteio escolhe a metade do campo onde sua equipe iniciará o jogo.  Outras vezes, o resultado da moeda é para realizar uma tarefa agradável ou não etc.  Embora o resultado do sorteio possa ser utilizado com diferentes finalidades, o experimento aleatório lançamento de uma moeda permanece o mesmo, mantendo os mesmos resultados.
  • 5. Cada vez que o experimento for repetido, seu resultado pertencerá a esse espaço amostral, sendo cada resultado denominando ponto amostral  Em vez de operar com o espaço amostral, agora utilizaremos um conceito mais amplo denominado variável aleatória, que adota valores de acordo com os resultados de um experimento aleatório.  Um experimento é aleatório se não for possível antecipar seu resultado, apesar de conhecer todos os resultados possíveis que definem o espaço amostral do experimento.
  • 6. Variáveis aleatórias Uma variável aleatória, x, é o resultado numérico de um experimento probabilístico. x = o número de pessoas num carro. x = quantos metros cúbicos de gás são comprados numa semana. x = o tempo que leva para ir de carro de casa até a escola. x = o número de vezes que você vai à escola por semana.
  • 7. Tipos de variáveis aleatórias Uma variável aleatória é discreta se o número de resultados possíveis é finito ou pode ser contado. Variáveis aleatórias discretas são determinadas por uma contagem. Por exemplo, o número de peças rejeitadas por lote numa linha de produção é uma VA discreta. -2 -1 0 1 2 Uma variável aleatória é contínua se pode assumir qualquer valor dentro de determinado intervalo. O número de resultados possíveis não pode ser listado. Variáveis aleatórias contínuas são determinadas por uma medição. Por exemplo, o lucro líquido mensal de uma empresa é uma VA contínua. Número de resultados infinitos
  • 8. Tipos de variável aleatória Identifique cada variável aleatória como discreta ou contínua. x = o número de pessoas em um carro. Discreta – você conta o número de pessoas: 0, 1, 2, 3… Os valores possíveis podem ser enumerados. x = quantos metros cúbicos de gás são comprados numa semana. Contínua – você mede os metros cúbicos de gás. Você não pode enumerar todos os valores possíveis. x = o tempo que leva para ir de carro de casa até a escola. Contínua – você mede a quantidade de tempo. Os valores possíveis não podem ser enumerados. x = o número de vezes que você vai à escola por semana. Discreta – você conta o número de vezes que vai. Os valores possíveis podem ser enumerados.
  • 9. Distribuições discretas de probabilidade Uma distribuição discreta de probabilidade enumera cada valor possível da variável aleatória, bem como sua probabilidade. x P (x ) Em um levantamento, perguntou-se a uma número de 0 0,004 veículos 1 0,435 amostra de famílias quantos veículos elas 2 0,355 possuíam. 3 0,206 Propriedades de uma distribuição de probabilidade • Cada probabilidade precisa estar entre 0 e 1, inclusive. • A soma de todas as probabilidades é 1.
  • 10. Histograma de probabilidade (similar ao histrograma de frequência relativa) Número de veículos 0,435 0,40 0,355 0,30 P(x) 0,206 0,20 0,10 0,004 0 00 11 22 3 3 x • A altura de cada barra corresponde à probabilidade de x. • Se a largura da barra é 1, sua área corresponde à probabilidade de que o valor de x ocorra.
  • 11. Valor esperado pela distribuição de probabilidade – similar aos determinados pelas tabelas de frequências A média de uma distribuição discreta de probabilidade é: A variância de uma distribuição discreta de probabilidade é: O desvio padrão de uma distribuição discreta de probabilidade é:
  • 12. Média (valor esperado) Procedimento para o cálculo da média: Multiplique cada valor por sua probabilidade. Some os produtos. x P (x ) xP (x ) 0 0,004 0 1 0,435 0,435 2 0,355 0,71 3 0,206 0,618 Soma dos Produtos = 1,763 O valor esperado (a média) é de 1,763 veículo.
  • 13.
  • 14. Cálculo da variância e o desvio padrão A média é de 1,763 veículo. Tabela de Determinação da Variância x P (x ) x- μ (x - μ ) P(x)(xP(x) - ) 0 0,004 -1,763 3,108 0,012 1 0,435 -0,763 0,582 0,253 2 0,355 0,237 0,056 0,020 3 0,206 1,237 1,530 0,315 0,601 = 0,661 0,775 variância O desvio padrão é de 0,775 veículo.
  • 15. Construindo uma distribuição de probabilidades Da tabela abaixo, construir uma distribuição de probabilidade e, a partir desta, determinar a média, variância e desvio padrão. Número de computadores por família em uma pequena cidade Computadores 0 1 2 3 Famílias 300 280 95 20 Gerando a distribuição de probabilidades N. Computadores = x Fi P 0 300 300/695 = 0.43165 1 280 280/695 = 0.40288 2 95 95/695 = 0.13670 3 20 20/695 = 0.02878 Total 695 1
  • 16. Cálculo da variância e o desvio padrão Tabela de Determinação da Variância x P(x) x . P(x) x-μ (x- μ)2 P(x) 0 0.43165 0 -0.76262 0.251043 1 0.40288 0.40288 0.23738 0.022702 2 0.13670 0.27340 1.23738 0.209303 3 0.02878 0.08634 1.23738 0.044065 Total 1 0.76262 ----- 0.527113 Média Variância Desvio Padrão σ = σ 2 = 0.527113 = 0.7260
  • 17. Distribuições Binomiais n = número de vezes que uma tentativa é repetida. p = prob. de sucesso de uma única tentativa. q = prob. de fracasso de uma única tentativa. x = contagem do número de sucessos em n tentativas.
  • 18. Experimentos binomiais Características de um experimento binomial • O número de tentativas é fixo (n). • As n tentativas são independentes e repetidas em condições idênticas. • Para cada tentativa há dois resultados possíveis, S = sucesso ou F = fracasso. • A probabilidade de sucesso numa tentativa única é p. P(S) = p A probabilidade de fracasso é q. P(F) =q, onde p + q = 1 • O problema central está em determinar a probabilidade de x sucessos em n tentativas, sendo x = 0 ou 1 ou 2 … n. A variável aleatória x é uma CONTAGEM (ñ probabilidade) do número de sucessos em n tentativas.
  • 19. Tente adivinhar as respostas 1. Qual é o 11o dígito depois do ponto decimal de um número irracional e? (a) 2 (b) 7 (c) 4 (d) 5 e = 2.718281828459045 2. Qual foi o Índice Dow Jones em 27 de fevereiro de 1993? (a) 3.265 (b) 3.174 (c) 3.285 (d) 3.327 3. Quantos jovens do Sri Lanka estudaram em universidades norte- americanas entre 1990 e 1991? (a) 2.320 (b) 2.350 (c) 2.360 (d) 2.240 4. Quantos transplantes de rins foram feitos em 1991? (a) 2.946 (b) 8.972 (c) 9.943 (d) 7.341 5. Quantos verbetes há no dicionário Aurélio? (a) 60.000 (b) 80.000 (c) 75.000 (d) 83.000
  • 20. Resultados do teste As respostas corretas são: 1. d 2. a 3. b 4. c 5. b Conte o número de questões a que você respondeu corretamente. Chamemos esse número de x. Por que esse foi um experimento binomial? Quais são os valores de n, p e q? Quais são os valores possíveis de x?
  • 21. Experimentos binomiais Um teste de múltipla escolha tem oito questões, cada qual com três alternativas, uma delas correta. Você quer saber qual a probabilidade de ‘chutar’ certo em exatamente cinco questões. Determine n, p, q e x. n=8 p = 1/3 q = 2/3 x=5 Prob. de acerto Prob. de errar Um médico lhe diz que certa cirurgia é bem-sucedida em 80% das vezes. Se a cirurgia for realizada sete vezes, determine a probabilidade de ser bem-sucedida em exatamente seis. Determine n, p, q e x. n=7 p = 0,80 q = 0,20 x=6 Prob. de ser Prob. de ser bem-sucedida mal-sucedida
  • 22. Probabilidades binomiais Determine a probabilidade de acertar exatamente 3 questões num teste de 5 questões de múltipla escolha, sendo cada questão composta de 4 alternativas Escreva as primeiras três corretas e as últimas duas erradas como AAAEE Como são eventos independentes temos a prob. de um possível resultado: P(A ∩ A ∩ A ∩ E ∩E) = P(A).P(A).P(A).P(E).P(E) P(A ∩ A ∩ A ∩ E ∩ E) =(0,25)(0,25)(0,25)(0,75)(0,75) = (0,25)3(0,75)2 = 0,00879 Uma vez que a ordem não importa, qualquer combinação de três questões corretas entre cinco servirá. Enumere essas combinações. AAAEE AAEAE AAEEA AEEAA AEAEA EEAAA EAEAA EAAEA AEAAE EEAAE
  • 23. AAAEE AAEAE AAEEA AEEAA AEAEA EEAAA EAEAA EAAEA AEAAE EEAAE Cada uma dessas dez maneiras tem uma probabilidade de 0,00879. num. De questões certas num. De questões erradas P(x = 3) = 10 (0,25)3(0,75)2 = 10(0,00879) = 0,0879 Prob. de errar uma questão n. de combinações Prob. de acertar uma questão
  • 24. Combinação de n valores, escolhendo-se x Há maneiras. Determine a probabilidade de alguém acertar exatamente três questões naquele teste. Cada uma dessas dez maneiras tem uma probabilidade de 0,00879. P(x = 3) = 10(0,25)3(0,75)2= 10(0,00879)= 0,0879
  • 25. Probabilidades binomiais Em um experimento binomial, a probabilidade de ocorrerem exatamente x sucessos em n tentativas é de Use a fórmula para calcular a probabilidade de alguém não acertar nenhuma questão, exatamente uma, duas, três, quatro ou todas as cinco questões do teste. (0,25)0 (0,75)5 = 0,237 (0,25)1 (0,75)4 = 0,396 (0,25)2 (0,75)3 = 0,264 P(3) = 0,088 P(4) = 0,015 P(5) = 0,001
  • 26. Distribuição binomial x P(x) 0 0,237 1 0,396 2 0,264 Histograma binomial 3 0,088 0,40 0,396 4 0,015 5 0,001 0,30 0,294 0,237 0,20 0,10 0,088 0,015 0,001 0 0 1 2 3 4 5 x
  • 27. Probabilidades binomiais x P(x) 0 0,237 1 0,396 2 0,264 1. Qual é a probabilidade de se responder 3 0,088 a duas ou quatro questões corretamente? 4 0,015 P(x = 2 ou x = 4) = 0,264 + 0,015 = 0,279 5 0,001 2. Qual é a probabilidade de se responder corretamente a pelo menos três questões? P(x ≥ 3) = P(x = 3 ou x = 4 ou x = 5) = 0,088 + 0,015 + 0,001 = 0,104 3. Qual é a probabilidade de se responder corretamente a pelo menos uma questão? P(x ≥ 1) = 1 – P(x = 0) = 1 – 0,237 = 0,763
  • 28. Parâmetros para um experimento binomial Média: Variância: Desvio padrão: Use as fórmulas binomiais para determinar a média, a variância e o desvio padrão da distribuição de respostas corretas no teste. 5(0,25) 1,25 5(0,25)(0,75) 0,9375 0,9375 0,968
  • 29. A distribuição geométrica Segundo uma pesquisa de mercado, a probabilidade de que cada pessoa que entra em determinada loja faça uma compra é de 0,30. • A probabilidade de que a primeira compra seja feita pela primeira pessoa que entrar na loja é de 0,30. Ou seja: P(1) = 0,30. • A probabilidade de que a primeira compra seja feita pela segunda pessoa que entrar na loja é de (0,70) (0,30). Logo, P(2) = (0,70) (0,30) = 0,21. • A probabilidade de que a primeira compra seja feita pela terceira pessoa que entrar na loja é de (0,70)(0,70)(0,30). Logo, P(3) = (0,70) (0,70) (0,30) = 0,147. A probabilidade de que a primeira compra seja feita pela pessoa número x é de P(x) = (0,70)x – 1(0,30)
  • 30. A distribuição geométrica Uma distribuição geométrica é uma distribuição discreta de probabilidade da variável aleatória x que satisfaz as seguintes condições. 1. A tentativa é repetida até que o sucesso ocorra. 2. As sucessivas tentativas são independentes entre si. 3. A probabilidade de sucesso, p, é a mesma a cada tentativa. A probabilidade de que o primeiro sucesso ocorra na tentativa número x é: P(x) = (q)x – 1p , onde q = 1 – p.
  • 31. Aplicação da distribuição Geométrica Um fabricante de cereais colocou uma peça premiada nas embalagens de seu produto. A probabilidade de ganhar um prêmio é de um para quatro. Determine a probabilidade de que você: a) ganhe seu primeiro prêmio na quarta compra; P(4) = (0,75)3 . (0,25) = 0,1055 b) ganhe seu primeiro prêmio na segunda ou terceira compra; P(2) = (0,75)1(0,25) = 0,1875 e P(3) = (0,75)2(0,25) = 0,1406 Logo, P(2 ou 3) = 0,1875 + 0,1406 = 0,3281 c) não ganhe nenhum prêmio nas quatro primeiras compras. 1 – (P(1) + P(2) + P(3) + P(4)) 1 – ( 0,25 + 0,1875 + 0,1406 + 0,1055) = 1 – 0,6836 = 0,3164
  • 32. A distribuição de Poisson A distribuição de Poisson é uma distribuição discreta de probabilidade de uma variável aleatória x que satisfaz as seguintes condições: 1. O experimento consiste em contar o número de vezes, x, que um evento ocorre num intervalo de tempo, área ou espaço. 2. A probabilidade de que o evento ocorra é a mesma em cada intervalo. 3. O número de ocorrências em um intervalo independe do número de ocorrências em outro. A probabilidade de exatamente x ocorrências em um intervalo é e é um número irracional aproximadamente igual a 2,71828. µ é o número médio de ocorrências por intervalo.
  • 33. Aplicação Estima-se que, em todo o mundo, os tubarões matem dez pessoas por ano. Determine a probabilidade: a) de que três pessoas sejam mortas por tubarões este ano (2,71828)–10 0,0076 b) de que duas ou três pessoas sejam mortas por tubarões este ano (2,71828)–10 0,0023 P(3) = 0,0076 P(2 ou 3) = 0,0023 + 0,0076 = 0,0099
  • 34. Aplicação O número médio de acidentes mensais em um determinado cruzamento é três. Qual é a probabilidade de que em um determinado mês ocorram quatro acidentes no cruzamento: X=4 e µ=3 4 −3 3 (2,71828) P ( 4) = ≈ 0,168 4! Qual é a probabilidade de que ocorram mais do que quatro acidentes em um determinado mês no cruzamento? a. Use a distribuição de Poisson para obter P(0), P(1), P(2), P(3) e P(4). b. Obtenha a soma de P(0), P(1), P(2), P(3) e P(4). c. Subtraia a soma de 1 d. Interprete os resultados
  • 35. 0.25 (2,71828) −3 ≈ 0.05 0.20 Probabilidade 30 0.05 0.15 P (0) = ≈ 0,05 0! 0.10 31 0.05 P (1) = ≈ 0,15 1! 0.05 32 0.05 P ( 2) = ≈ 0,112 2! 0.00 0 1 2 3 4 33 0.05 Número de Acidentes P (3) = ≈ 0,225 3! P (+4) = 1 − (0,05 + 0,15 + 0,112 + 0,225 + 0,169) 34 0.05 P (+4) = 0,294 P ( 4) = ≈ 0,169 4!