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Estatística 
amintas paiva afonso
Distribuição de Probabilidades 
A distribuição de probabilidades indica a percentagem de 
vezes que, em grande quantidade de observações, 
podemos esperar a ocorrência de vários resultados de uma 
variável aleatória. 
Em uma distribuição de probabilidades é necessário: 
å P(x) = 1, onde x toma todos valores possíveis 
0 £ P(x) £ 1 para todo o x. 
Distribuições de 
probabilidade 
Distribuições 
descontínuas ou 
discretas 
Distribuições 
contínuas
Distribuições Descontínuas ou Discretas 
Envolvem distribuições de probabilidades de variáveis aleatórias 
relativas a dados que podem ser contados. 
Exemplos: 
 Número de ocorrências por amostras 
 Número de ocorrências por unidade num intervalo de tempo 
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Uniforme ou Retangular 
Binomial 
Binomial Negativa ou de Pascal 
Geométrica 
Poisson 
Multinomial ou Polinomial 
Hipergeométrica 
Formas da 
distribuição 
descontínua
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Quando se usa as distribuições contínuas? 
 A variável aleatória discreta apresenta um grande número de resultados; 
A variável aleatória em questão é contínua. 
Os ponteiros de um relógio podem parar em qualquer dos infinitos 
pontos do círculo 
logo A probabilidade de parar em um ponto definido é zero 
Nas distribuições contínuas utilizam-se a probabilidade da ocorrência 
em um intervalo P(a < x < b); 
Em uma distribuição contínua, a probabilidade é dada pela área 
contida no intervalo considerado.
Distribuições Contínuas 
DISTRIBUIÇÕES 
CONTÍNUAS 
UNIFORME OU RETANGULAR 
NORMAL 
BIVARIADA NORMAL 
EXPONENCIAL 
LOGNORMAL 
WEIBULL 
QUI-QUADRADO c2 
t DE STUDENT 
F DE SNEDECOR 
GAMA 
BETA 
ERLANG 
( formas)
Um pouco de história 
No século XVIII, astrônomos e outros 
cientistas observaram que medidas 
repetidas de mensurações como a 
distância à lua variavam como na figura, 
quando coletadas em grande número. 
Esta forma gráfica era associada aos 
erros de mensuração, daí o nome de 
“Distribuição normal dos erros” e depois 
“Distribuição normal” 
Também é conhecida por “Distribuição 
Gaussiana”, em função do modelo 
matemático desenvolvido por Karl F. 
Gauss para este comportamento. 
Distribuição Normal
Distribuição Normal - Exemplos 
0,20 
0,15 
0,10 
0,05 
0,00 
Peso da população adulta 
n = 5000 μ = 75 kg s = 12 kg 
25 
40 
55 
70 
85 
100 
115 
0,20 
0,15 
0,10 
0,05 
0,00 
Altura de universitários 
n = 3000 μ = 152 cm s = 5 cm 
133 
137 
141 
145 
149 
153 
157 
161 
165 
169 
0,15 
0,10 
0,05 
0,00 
Comprimento de uma régua 
n = 1000 μ = 30cm s = 0,15cm 
29,5 
29,6 
29,7 
29,8 
29,9 
30 
30,1 
30,2 
30,3 
30,4 
30,5 
0,2 
0,15 
0,1 
0,05 
0 
Pessoas num restaurante 
μ = 250 por dia s = 20 por dia 
197 
215 
233 
251 
269 
287 
305
Distribuição Normal 
IMPORTÂNCIA DA DISTRIBUIÇÃO NORMAL 
Retrata com boa aproximação, as distribuições de freqüência de 
muitos fenômenos naturais e físicos 
Serve como aproximação das probabilidades binomiais (sim ou 
não) quando n é grande 
Representa a distribuição das médias e proporções em grandes 
amostras, o que tem relevante implicação na amostragem (a mais 
importante)
Distribuição Normal 
Curva normal típica 
50% 50% 
¥ média ¥ 
Forma de uma boca de sino 
Área sob a curva = 1 (0,5 + 0,5) 
Média = μ 
Desvio padrão = s
Distribuição Normal - Características 
1. A curva normal tem a forma de sino 
2. É simétrica em relação a média 
3. Prolonga-se de -¥ a +¥ (apenas em teoria) (assintótica) 
4. Fica completamente especificada por sua média e seu desvio padrão; 
há uma distribuição normal para cada par (média e desvio padrão) 
5. A área total sob a curva é considerada 100% ou igual a 1 
6. A área sob a curva entre dois pontos é a probabilidade de uma 
variável normalmente distribuída tomar um valor entre esses pontos 
7. A probabilidade de uma variável aleatória normalmente distribuída 
tomar exatamente determinado valor (pontual) é zero (característica 
da distribuição contínua) 
8. A área sob a curva entre a média e um ponto arbitrário é função do 
número de desvios padrões entre a média e aquele ponto
Distribuição Normal 
A probabilidade de uma variável aleatória tomar um valor entre dois 
pontos quaisquer é igual à área sob a curva normal entre aqueles pontos 
μ 
a b 
P (a < x < b) = área hachurada sob a curva
Distribuição Normal 
1 
f(x) = e 
x – ponto considerado da distrib. 
μ - média da distribuição 
s - desvio padrão da distribuição 
-1 
( x - μ)2 
2 s 
2p s 
OBSERVAÇÃO: 
x - μ = distância do ponto considerado à média 
x - μ 
s 
z = 
número de desvios padrões a contar da média. Ex.: 2,5 
desvios padrões 
z = valor z ou score z. Pode-se obter valores negativos de z para 
valores de x inferiores à média
Distribuição Normal 
A distância entre a média e um ponto 
qualquer é dado em número de desvios 
padrões (z) 
Normal 
padronizada 
Normal não 
padronizada 
z = x - μ 
s 
P P 
μ x 0 z
Distribuição Normal 
Escala efetiva X Escala padronizada 
70 80 90 100 110 120 130 
-3 -2 -1 0 +1 +2 +3 
μ = 100,0 
s = 10,0 
escala efetiva 
escala padronizada
Distribuição Normal 
(42 – 40)/1 = 2 S = 1 
37 38 39 escala efetiva 40 41 42 43 
Como calcular Z ? 
-3 -2 -1 0 +1 +2 +3 
μ s x x - μ (x - μ)/ s = z 
média desvio padrão valor considerado diferença diferença relativa 
40 1 42 2 2 
25 2 23 -2 -1 
30 2,5 37,5 7,5 3 
18 3 13,5 -4,5 -1,5 
22 4 22 0 0
Distribuição Normal 
Como calcular o valor efetivo 
Passando do valor z para o valor efetivo 
μ s z μ + z s resultado 
média desvio padrão valor z cálculo valor efetivo 
20 1 3 20 + 3(1) 23 
50 3 -1 50 + 3(-1) 47 
60 2 -2 60 + 2(-2) 56 
72 5 0,3 72 + 5(0,3) 73,5
-3s -2s -1s 0 +1s +2s +3s 
68% 
95,5% 
99,7% 
Distribuição Normal
Distribuição Normal - Consultando a tabela 
.. . 
1,25 
1,0 
1,2 
00 01 02 03 04 05 06 ... 
1,1 
.. . 
0,3944 olhando 
a tabela
Distribuição Normal - Consultando a tabela 
Probabilidade de uma 
variável aleatória normal 
tomar um valor z entre a 
média e o ponto situado a 
z desvios padrões 
z área entre a média e z 
1,00 0,3413 
1,50 0,4332 
2,13 0,4834 
2,77 0,4972 
área tabelada = área desejada 
0 z
Distribuição Normal - Consultando a tabela 
z P(0 < x < z) P(x > z) = 0,5 – P(0 < x < z) 
0 z
0 z 
Distribuição Normal - Tabela
Distribuição Normal - Cálculo da probabilidade 
Exemplos 
Determinando a área (probabilidade) 
sob a curva entre dois pontos 
entorno da média 
Determinando a área entre dois 
pontos quaisquer 
0,1359 
0,3413 0,3413 
-1s 0 +1s 
0 +1 +2 
0,3413 
0,4772
Distribuição Normal - Exemplos 
1) Após 28 dias de curagem, o cimento de uma certa marca tem uma resistência 
compressiva média de 4000psi. Suponha que a resistência tem uma distribuição normal 
com desvio-padrão de 120psi. Qual a probabilidade de se comprar um pacote de 
cimento com resistência compressiva de 28 dias menor que 3850psi? 
N(m;s) = N(4000,120) psi X = 3850psi 
z X m 
P(z ≤ -1,25) 
= - = 3850 - 4000 = - 
1,25 
Área em vermelho = z = -1,25 = 0,3944 
120 
s 
P(Z £ -1,25) = 0,1056 =10,56% 
3850 4000 
-1,25 
Área desejada = 0,50 – 0,3944 = 0,1056 = 10,56%
2) Uma grande empresa faz uso de milhares de lâmpadas elétricas que permanecem 
acessas continuamente. A vida de uma lâmpada pode ser considerada como uma 
variável aleatória normal com vida média de 50 dias e desvio-padrão de 15 dias. 
Se no dia 1º de agosto foram instaladas 8000 lâmpadas novas, aproximadamente 
quantas deverão ser substituídas no dia 1º de setembro? 
N(m,s) = N(50;15) dias X = 31 dias 
z X m 
= - = 31-50 = - 
1,27 
15 
s 
Consultando tabela: 
20 35 
P(Z £ -1,27) = 0,3980 log o 0,5000 - 0,3980 = 0,1020 =10,20% 
Deverão ser substituídas um total de (0,1020x 8.000) = 816 lâmpadas 
X 
Z 
f(x) 
m = 50 
0 
31 
-1,27 
Distribuição Normal - Exemplos
Distribuição Normal - Exemplos 
3) Uma indústria siderúrgica produz tubos de aço cujo 
comprimento pode ser considerado uma variável normalmente 
distribuída com média m=10,00 metros, e desvio padrão igual a 
s = 0,09 metros. Quanto refugo a indústria espera produzir se o 
comprimento dos tubos de aço tiver que ser no máximo, igual a 
10,20 m? 
N(m,s) = N(10;0,09) metros 
X = 10,20m 
2,22 
z X m 
= - = 10,20 -10 = 
0,09 
s 
f(x) 
m = 10 
10,20 X 
0 2,22 Z 
Consultando tabela 
temos: 
P(Z ³2,22) =P(Z £-2,22) =0,5-0,4868 =0,0132 =1,32%
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CASO PRÁTICO DO USO DA ESTATÍSTICA 
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4) O tempo médio que demora para uma viatura de uma determinada cia da PMMG 
de Ipatinga atender a uma chamada de emergência é de 8 minutos com desvio-padrão 
de 3 minutos. Considere o tempo médio como uma variável normalmente 
distribuída para calcular a probabilidade de uma chamada esperar menos de 4 
minutos. 
N(m,s) = N(8;3) minutos 
X < 4 minutos 
z X m 
= - = 4 -8 = - 
s 
Consultando 
a tabela: 
1,33 
3 
f(x) 
8 X 
-1,33 0 
Z 
4 
P(x £ 4) = P(Z £ -1,33) = 0,5- 0,4082 = 0,0918 = 9,18%
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ESTATÍSTICA NO CONTROLE DA PRODUÇÃO INDUSTRIAL 
5) Um máquina produz peças com o diâmetro médio de 2,00” e o desvio-padrão 
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defeituosas. Qual é a percentagem de peças defeituosa? 
z X m 
1 = - = - = + 
3 
2,03 2 
0,01 
1,97 2,03 
z X m 
= - = 1,97 - 2 
= - 
2 P(x > 2,03)ouP(x <1,97) = P(Z > 3) + P(Z < -3) 
s 
f(x) 
m = 2 
2 X 
0 3 Z 
-3 
N(m,s) = N(2,00;0,01) 
X1 = 2,03 e X2=1,97 
3 
0,01 
s 
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tabela: P(Z > 3) + P(Z < -3) = 0,0014 + 0,0014 = 0,28%
ESTATÍSTICA E A ASSISTÊNCIA TÉCNICA 
6) A vida média de uma marca de televisão é de 8 anos com desvio-padrão de 1,8 
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produção, qual seria o tempo de garantia que você especificaria para ter no máximo 
5% de trocas. 
- - - Zx 
1,65 ( ) 
0,049471 0,05 
1,65 ( 1,64) 
0,049471 0,050503 
- 
= - - 
- 
1,6449 0,05 Z = - 
z = X -m 
s 
-1,6449 = X -8 
1,8 
N(m,s) = N(8;1,8) anos 
X=? 
z 
f ( Z 
o ) -1,65 0,049471 
? 0,05 
-1,64 0,050503 
X = 5,04anos 
Distribuição Normal - Exemplos
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  • 2. Distribuição de Probabilidades A distribuição de probabilidades indica a percentagem de vezes que, em grande quantidade de observações, podemos esperar a ocorrência de vários resultados de uma variável aleatória. Em uma distribuição de probabilidades é necessário: å P(x) = 1, onde x toma todos valores possíveis 0 £ P(x) £ 1 para todo o x. Distribuições de probabilidade Distribuições descontínuas ou discretas Distribuições contínuas
  • 3. Distribuições Descontínuas ou Discretas Envolvem distribuições de probabilidades de variáveis aleatórias relativas a dados que podem ser contados. Exemplos:  Número de ocorrências por amostras  Número de ocorrências por unidade num intervalo de tempo  Número de fumantes presentes em eventos esportivos Uniforme ou Retangular Binomial Binomial Negativa ou de Pascal Geométrica Poisson Multinomial ou Polinomial Hipergeométrica Formas da distribuição descontínua
  • 4. Distribuições Contínuas Quando se usa as distribuições contínuas?  A variável aleatória discreta apresenta um grande número de resultados; A variável aleatória em questão é contínua. Os ponteiros de um relógio podem parar em qualquer dos infinitos pontos do círculo logo A probabilidade de parar em um ponto definido é zero Nas distribuições contínuas utilizam-se a probabilidade da ocorrência em um intervalo P(a < x < b); Em uma distribuição contínua, a probabilidade é dada pela área contida no intervalo considerado.
  • 5. Distribuições Contínuas DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS UNIFORME OU RETANGULAR NORMAL BIVARIADA NORMAL EXPONENCIAL LOGNORMAL WEIBULL QUI-QUADRADO c2 t DE STUDENT F DE SNEDECOR GAMA BETA ERLANG ( formas)
  • 6. Um pouco de história No século XVIII, astrônomos e outros cientistas observaram que medidas repetidas de mensurações como a distância à lua variavam como na figura, quando coletadas em grande número. Esta forma gráfica era associada aos erros de mensuração, daí o nome de “Distribuição normal dos erros” e depois “Distribuição normal” Também é conhecida por “Distribuição Gaussiana”, em função do modelo matemático desenvolvido por Karl F. Gauss para este comportamento. Distribuição Normal
  • 7. Distribuição Normal - Exemplos 0,20 0,15 0,10 0,05 0,00 Peso da população adulta n = 5000 μ = 75 kg s = 12 kg 25 40 55 70 85 100 115 0,20 0,15 0,10 0,05 0,00 Altura de universitários n = 3000 μ = 152 cm s = 5 cm 133 137 141 145 149 153 157 161 165 169 0,15 0,10 0,05 0,00 Comprimento de uma régua n = 1000 μ = 30cm s = 0,15cm 29,5 29,6 29,7 29,8 29,9 30 30,1 30,2 30,3 30,4 30,5 0,2 0,15 0,1 0,05 0 Pessoas num restaurante μ = 250 por dia s = 20 por dia 197 215 233 251 269 287 305
  • 8. Distribuição Normal IMPORTÂNCIA DA DISTRIBUIÇÃO NORMAL Retrata com boa aproximação, as distribuições de freqüência de muitos fenômenos naturais e físicos Serve como aproximação das probabilidades binomiais (sim ou não) quando n é grande Representa a distribuição das médias e proporções em grandes amostras, o que tem relevante implicação na amostragem (a mais importante)
  • 9. Distribuição Normal Curva normal típica 50% 50% ¥ média ¥ Forma de uma boca de sino Área sob a curva = 1 (0,5 + 0,5) Média = μ Desvio padrão = s
  • 10. Distribuição Normal - Características 1. A curva normal tem a forma de sino 2. É simétrica em relação a média 3. Prolonga-se de -¥ a +¥ (apenas em teoria) (assintótica) 4. Fica completamente especificada por sua média e seu desvio padrão; há uma distribuição normal para cada par (média e desvio padrão) 5. A área total sob a curva é considerada 100% ou igual a 1 6. A área sob a curva entre dois pontos é a probabilidade de uma variável normalmente distribuída tomar um valor entre esses pontos 7. A probabilidade de uma variável aleatória normalmente distribuída tomar exatamente determinado valor (pontual) é zero (característica da distribuição contínua) 8. A área sob a curva entre a média e um ponto arbitrário é função do número de desvios padrões entre a média e aquele ponto
  • 11. Distribuição Normal A probabilidade de uma variável aleatória tomar um valor entre dois pontos quaisquer é igual à área sob a curva normal entre aqueles pontos μ a b P (a < x < b) = área hachurada sob a curva
  • 12. Distribuição Normal 1 f(x) = e x – ponto considerado da distrib. μ - média da distribuição s - desvio padrão da distribuição -1 ( x - μ)2 2 s 2p s OBSERVAÇÃO: x - μ = distância do ponto considerado à média x - μ s z = número de desvios padrões a contar da média. Ex.: 2,5 desvios padrões z = valor z ou score z. Pode-se obter valores negativos de z para valores de x inferiores à média
  • 13. Distribuição Normal A distância entre a média e um ponto qualquer é dado em número de desvios padrões (z) Normal padronizada Normal não padronizada z = x - μ s P P μ x 0 z
  • 14. Distribuição Normal Escala efetiva X Escala padronizada 70 80 90 100 110 120 130 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 μ = 100,0 s = 10,0 escala efetiva escala padronizada
  • 15. Distribuição Normal (42 – 40)/1 = 2 S = 1 37 38 39 escala efetiva 40 41 42 43 Como calcular Z ? -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 μ s x x - μ (x - μ)/ s = z média desvio padrão valor considerado diferença diferença relativa 40 1 42 2 2 25 2 23 -2 -1 30 2,5 37,5 7,5 3 18 3 13,5 -4,5 -1,5 22 4 22 0 0
  • 16. Distribuição Normal Como calcular o valor efetivo Passando do valor z para o valor efetivo μ s z μ + z s resultado média desvio padrão valor z cálculo valor efetivo 20 1 3 20 + 3(1) 23 50 3 -1 50 + 3(-1) 47 60 2 -2 60 + 2(-2) 56 72 5 0,3 72 + 5(0,3) 73,5
  • 17. -3s -2s -1s 0 +1s +2s +3s 68% 95,5% 99,7% Distribuição Normal
  • 18. Distribuição Normal - Consultando a tabela .. . 1,25 1,0 1,2 00 01 02 03 04 05 06 ... 1,1 .. . 0,3944 olhando a tabela
  • 19. Distribuição Normal - Consultando a tabela Probabilidade de uma variável aleatória normal tomar um valor z entre a média e o ponto situado a z desvios padrões z área entre a média e z 1,00 0,3413 1,50 0,4332 2,13 0,4834 2,77 0,4972 área tabelada = área desejada 0 z
  • 20. Distribuição Normal - Consultando a tabela z P(0 < x < z) P(x > z) = 0,5 – P(0 < x < z) 0 z
  • 21. 0 z Distribuição Normal - Tabela
  • 22. Distribuição Normal - Cálculo da probabilidade Exemplos Determinando a área (probabilidade) sob a curva entre dois pontos entorno da média Determinando a área entre dois pontos quaisquer 0,1359 0,3413 0,3413 -1s 0 +1s 0 +1 +2 0,3413 0,4772
  • 23. Distribuição Normal - Exemplos 1) Após 28 dias de curagem, o cimento de uma certa marca tem uma resistência compressiva média de 4000psi. Suponha que a resistência tem uma distribuição normal com desvio-padrão de 120psi. Qual a probabilidade de se comprar um pacote de cimento com resistência compressiva de 28 dias menor que 3850psi? N(m;s) = N(4000,120) psi X = 3850psi z X m P(z ≤ -1,25) = - = 3850 - 4000 = - 1,25 Área em vermelho = z = -1,25 = 0,3944 120 s P(Z £ -1,25) = 0,1056 =10,56% 3850 4000 -1,25 Área desejada = 0,50 – 0,3944 = 0,1056 = 10,56%
  • 24. 2) Uma grande empresa faz uso de milhares de lâmpadas elétricas que permanecem acessas continuamente. A vida de uma lâmpada pode ser considerada como uma variável aleatória normal com vida média de 50 dias e desvio-padrão de 15 dias. Se no dia 1º de agosto foram instaladas 8000 lâmpadas novas, aproximadamente quantas deverão ser substituídas no dia 1º de setembro? N(m,s) = N(50;15) dias X = 31 dias z X m = - = 31-50 = - 1,27 15 s Consultando tabela: 20 35 P(Z £ -1,27) = 0,3980 log o 0,5000 - 0,3980 = 0,1020 =10,20% Deverão ser substituídas um total de (0,1020x 8.000) = 816 lâmpadas X Z f(x) m = 50 0 31 -1,27 Distribuição Normal - Exemplos
  • 25. Distribuição Normal - Exemplos 3) Uma indústria siderúrgica produz tubos de aço cujo comprimento pode ser considerado uma variável normalmente distribuída com média m=10,00 metros, e desvio padrão igual a s = 0,09 metros. Quanto refugo a indústria espera produzir se o comprimento dos tubos de aço tiver que ser no máximo, igual a 10,20 m? N(m,s) = N(10;0,09) metros X = 10,20m 2,22 z X m = - = 10,20 -10 = 0,09 s f(x) m = 10 10,20 X 0 2,22 Z Consultando tabela temos: P(Z ³2,22) =P(Z £-2,22) =0,5-0,4868 =0,0132 =1,32%
  • 26. Distribuição Normal - Exemplos CASO PRÁTICO DO USO DA ESTATÍSTICA NA QUESTÃO LOGÍSTICA DA PRESTAÇÃO DE SERVIÇOS 4) O tempo médio que demora para uma viatura de uma determinada cia da PMMG de Ipatinga atender a uma chamada de emergência é de 8 minutos com desvio-padrão de 3 minutos. Considere o tempo médio como uma variável normalmente distribuída para calcular a probabilidade de uma chamada esperar menos de 4 minutos. N(m,s) = N(8;3) minutos X < 4 minutos z X m = - = 4 -8 = - s Consultando a tabela: 1,33 3 f(x) 8 X -1,33 0 Z 4 P(x £ 4) = P(Z £ -1,33) = 0,5- 0,4082 = 0,0918 = 9,18%
  • 27. Distribuição Normal - Exemplos ESTATÍSTICA NO CONTROLE DA PRODUÇÃO INDUSTRIAL 5) Um máquina produz peças com o diâmetro médio de 2,00” e o desvio-padrão de 0,01”. As peças que se afastam da média por mais de 0,03” são consideradas defeituosas. Qual é a percentagem de peças defeituosa? z X m 1 = - = - = + 3 2,03 2 0,01 1,97 2,03 z X m = - = 1,97 - 2 = - 2 P(x > 2,03)ouP(x <1,97) = P(Z > 3) + P(Z < -3) s f(x) m = 2 2 X 0 3 Z -3 N(m,s) = N(2,00;0,01) X1 = 2,03 e X2=1,97 3 0,01 s Consultando tabela: P(Z > 3) + P(Z < -3) = 0,0014 + 0,0014 = 0,28%
  • 28. ESTATÍSTICA E A ASSISTÊNCIA TÉCNICA 6) A vida média de uma marca de televisão é de 8 anos com desvio-padrão de 1,8 anos. A campanha de lançamento diz que todos os produtos que tiverem defeito dentro do prazo de garantia serão substituídos por novos. Se você fosse o gerente de produção, qual seria o tempo de garantia que você especificaria para ter no máximo 5% de trocas. - - - Zx 1,65 ( ) 0,049471 0,05 1,65 ( 1,64) 0,049471 0,050503 - = - - - 1,6449 0,05 Z = - z = X -m s -1,6449 = X -8 1,8 N(m,s) = N(8;1,8) anos X=? z f ( Z o ) -1,65 0,049471 ? 0,05 -1,64 0,050503 X = 5,04anos Distribuição Normal - Exemplos