Exercícios - Distribuições de Probabilidade

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Exercícios - Distribuições de Probabilidade

  1. 1. CE075-Probabilidade e Estatística AplicadaLista de Exercicios 5Aluno: Cleibson Aparecido de Almeida1. Uma urna contém 16 bolas brancas e 14 pretas. Calcular a probabilidade de ao seremretiradas 5 bolas, 3 serem brancas, quando a amostragem for feita:a) com reposição ������Solução: Aplicando a distribuição binomial com n=5 e p=8/15 P(X=x)= � � ������ � (1 − ������)��� ������ 5 8 8 ��� � P(X=3)= � � �1 − � = 0,33 3 15 15b) sem reposição ������ ������ − ������Solução: Aplicando a distribuição hipergeométrica com N=30, n=5 e K=16 � �� � ������(������ = ������) = ������ ������ − ������ ������ � � ������ 16 30 − 16 � �� � ������(������ = 3) = 3 5 − 3 = 0,35 30 � � 52. A probabilidade de que um presumível cliente aleatoriamente escolhido faça uma compraé 20%. Se um vendedor visita seis presumíveis clientes, qual a probabilidade de que ele façano mínimo quatro vendas? ������Solução: Aplicando a distribuição binomial com n=6 e p=0,2 P(X=x)= � � ������ � (1 − ������)��� ������ P(X≥4)=P(X=4)+P(X=5)+P(X=6) 6 6 6P(X≥4)= � � 0,2� (1 − 0,8)� + � � 0,2� (1 − 0,8)� + � � 0,2� (1 − 0,8)� = 0,01696 4 5 63. De 6 empregados, 3 estão na companhia há cinco anos ou mais. Se quatro empregadossão aleatoriamente escolhidos deste grupo de seis, qual a probabilidade de que dois estejamna companhia há cinco ou mais anos?
  2. 2. ������ ������ − ������Solução: Aplicando a distribuição Hipergeométrica 3 6−3 � �� � � �� � ������(������ = ������) = ������ ������ − ������ = ������(������ = 2) = 2 4 − 2 = 0,6 ������ 6 � � � � ������ 44. Uma moeda é lançada sucessivamente, qual a probabilidade de que a face cara apareça 2vezes na 3ª jogada?Solução: Aplicando a distribuição Pascal com r=2 e p=0,5 ������ − 1 � P(X=x)= � � ������ (1 − ������)��� ������ − 1 3−1 P(X=3)= � � 0,5� (1 − 0,5)��� = 0,25 2−15. Se a probabilidade de um indivíduo acusar reação negativa a injeção de determinado soroé 0,1%. Determine a probabilidade de que, em 1000 indivíduos, exatamente 3 acusaremreação.Solução: Aplicando a distribuição Poisson, sendo n=1000 e p=0,001. Então ������ = ������������ = 1 ������� ������ �� ������(������ = ������) = ������! 1� ������ �� ������(������ = 3) = = 0,061 3!6. Numa central telefônica, o número médio de chamadas é de 8 por minuto. Determinarqual a probabilidade de que num minuto se tenha:Solução: Aplicando a distribuição Poisson com λ=8 ������� ������ �� ������(������ = ������) = ������!a)10 ou mais chamadas ������(������ ≥ 10) = 1 − ������(������ < 10)= 1 − [������(������ = 9) + ������(������ = 8) + ������(������ = 7) + ������(������ = 6) + ������(������ = 5) + ������(������ = 4) + ������(������ = 3) + ������(������ = 2) + ������(������ = 1) + ������(������ = 0)] = 0,28412b)Menos de 9 chamadas
  3. 3. ������(������ < 9) = ������(������ = 8) + ������(������ = 7) + ������(������ = 6) + ������(������ = 5) + ������(������ = 4) + ������(������ = 3) + ������(������ = 2) + ������(������ = 1) + ������(������ = 0) = 0,59188c)Entre 7 (inclusive) e 9 (exclusive) chamadas ������(7 ≤ ������ < 9) = ������(������ = 8) + ������(������ = 7) = 0,27927. Uma caixa contém 5 bolas vermelhas, 4 brancas e 3 azuis. Extrai-se uma bola ao acaso,anota-se a cor, repondo-se em seguida a bola na caixa. Determine a probabilidade de que,de 6 bolas assim escolhidas, 3 sejam vermelhas, 2 brancas e 1 azul.Solução: Aplicando a distribuição multinomial com n=6, n1=3, n2=2, n3=1, p1=5/12, p2=4/12 e ������!p3=3/12 ������(������� = ������� , ������� = ������� , ������� = ������� ) = ������ ������ ������ ������� ! ������� ! ������� ! � � � 6! 5 4 3 ������(������� = 3, ������� = 2, ������� = 1) = = 0,1205 3! 2! 1! 12 12 128. Suponha que o conteúdo de bactérias de um tipo particular, presentes em um recipientede água de 1 milímetro, tenha distribuição aproximadamente normal, com média de 85bactérias e desvio padrão de 9. Qual é a probabilidade de uma dada amostra de 1ml contermais de 100 bactérias? ������ − ������Solução: Aplicando a distribuição normal com μ=85 e σ²=81 ������(������ = ������) = ������(������ = ) ������ 100 − 85 ������(������ > 100) = 1 − ������ ������� ≤ � = 1 − ������(������ ≤ 1,66) = 0,0485 99. Um novo modelo de rádio portátil foi desenvolvido com base no fato de que 50% de todosos consumidores são mulheres. Se uma amostra de 400 compradores for selecionadaaleatoriamente, qual é a probabilidade de o número de mulheres dessa amostra ser maiorque 175?Solução: Temos n=400, p=0,5 e q=0,5. Fazendo aproximação da binomial pela normal, temos ������ − ������μ=np=200 e σ²=npq=100 ������(������ = ������) = ������(������ = ) ������ 175 − 200 ������(������ > 175) = 1 − ������ ������� ≤ � = 1 − ������(������ ≤ −2,5) = 0,9938 10
  4. 4. 10. Sabe-se que 30% de todas as chamadas destinadas a uma mesa telefônica são chamadasDDD. Se 1200 chamadas chegarem a essa mesa, qual é a probabilidade de pelo menos 50serem DDD?Solução: Temos p=3/10, q=7/10 e n=1200. Fazendo aproximação da binomial pela normal, ������ − ������temos μ=np=360 e σ²=npq=252 ������(������ = ������) = ������(������ = ) ������ 50 − 360 ������(������ > 50) = 1 − ������ ������� ≤ � = 1 − ������(������ ≤ −19,52) = 1 √25211. Em média, um navio atraca em certo porto a cada dois dias. Qual a probabilidade de que,a partir da partida de um navio, se passem 4 dias antes da chegada do próximo navio?Solução: Aplicando a distribuição exponencial com λ=0,5 ������(������ = ������) = ������ ��� � ������(������ > 4) = ������ ��� = ������ �� = 0,1353

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