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                            DISTRIBUIÇÃO DE
                            PROBABILIDADES

As distribuições de probabilidades mais conhecidas e utilizadas
na maioria das aplicações são:
-Distribuição binomial - π e n (variável discreta)

-Distribuição normal - µ e σ2 (variável contínua)

     Uma função f(x) é quem define o comportamento das
     variáveis em termos de resultados de probabilidade
                        (distribuição).

Função de probabilidade – f(x) – variável discreta
Função densidade de probabilidade – f(x) – variável contínua
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                            DISTRIBUIÇÃO DE
                            PROBABILIDADES

Uma diferença fundamental separa as variáveis aleatórias
discretas e as contínuas em termos de como as probabilidades
são calculadas.
Quanto a variável aleatória discreta, f(x) produz a probabili-
dade de a variável aleatória assumir um valor em particular.
Quanto a variável aleatória contínua, f(x) não produz probabili-
dade diretamente; associa a área sob o gráfico de f(x) corres-
pondente a determinado intervalo.
Então, quando se calculam probabilidades de variáveis aleató-
rias contínuas, calcula-se a probabilidade de a variável aleató-
ria assumir qualquer valor nesse intervalo.
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                            DISTRIBUIÇÃO DE
                            PROBABILIDADES

FUNÇÃO DE PROBABILIDADE DISCRETA → f(x) ≥ 0
                                   Σf(x) = 1

VALOR ESPERADO DE UMA V.A.D. → E(x)=µ=Σxf(x)

VARIÂNCIA DE UMA V.A.D. → Var(x)=σ2=Σ(x-µ)2f(x)
No. Chamadas    Probabilidades   No. Chamadas   Probabilidades
      0              0,10             3              0,20
      1              0,15             4              0,15
      2              0,30             5              0,10

1) No. esperado de chamadas: E(x)=µ=2,05
2) Variância: σ2=2,05              Desvio Padrão: σ=1,43
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                           DISTRIBUIÇÃO DE
                           PROBABILIDADES

                   DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL

VALOR ESPERADO: E(x)=µ=np
VARIÂNCIA: Var(x)=σ2=np(1-p)

Exemplo:

Considere um experimento binomial com n=10 e p=0,10
a) Calcular f(0)= 0,3487
b) Calcular f(2)= 0,1937
c) Calcular P(x≤2)= 0,9298
d) Calcular P(x≥1)= 0,6513
e) Calcular E(x)= 1,0
f) Calcular Var(x)=σ2= 0,9
g) Calcular o desvio padrão - σ= 0,95
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                               DISTRIBUIÇÃO DE
                               PROBABILIDADES
Aplicação:

Os sistemas militares de radar e de mísseis são concebidos para um
país precaver-se de ataques inimigos. Uma questão de confiabilidade é
saber se um sistema de detecção será capaz de identificar um ataque
inimigo e disparar um alarme. Considere que determinado sistema de
detecção tenha 90% de probabilidade de detectar um ataque de
mísseis. Use a distribuição binomial para responder as questões a
seguir:
a) Qual a probabilidade de um único sistema de detecção detectar um
   ataque? R: 0,90
b) Se dois sistemas são instalados na área e operam independentes,
   qual é a probabilidade de pelo menos um deles detectar o ataque? R:
   0,99
c) Se três sistemas ... De pelo menos um detectar? R: 0,999
d) Você recomendaria o uso de múltiplos sistemas? R: sim
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                             DISTRIBUIÇÃO DE
                             PROBABILIDADES
A DISTRIBUIÇÃO NORMAL DE PROBABILIDADES

                                                       1    − ( x − µ ) 2 / 2σ 2
Função Densidade Normal de Probabilidade:   f ( x) =      e
                                                     σ 2π
onde:
        µ = média
        σ = desvio padrão
        π = número pi – 3,141596259
        e = 2,7182
                                                                1 − z2 / 2
Função Densidade Normal Padrão de Probabilidade:       f ( x) =    e
                                                                2π
Com z = (x - µ)/σ
06A/17



                         DISTRIBUIÇÃO DE
                         PROBABILIDADES

Curva em forma de sino
correspondente a
distribuição normal de
probabilidade.




Três distribuições
normais com o mesmo
desvio padrão (σ), mas
com três diferentes
médias (-10, 0 e 20).
06B/17



                             DISTRIBUIÇÃO DE
                             PROBABILIDADES




Duas distribuições normais       Áreas sob a curva de uma
com a mesma média (µ), mas       distribuição normal qualquer.
com desvios padrão (σ)
diferentes.
06C/17



                          DISTRIBUIÇÃO DE
                          PROBABILIDADES


Área sob a curva normal
padrão = probabilidade




                              A distribuição normal padrão:
                              - Média µ=0
                              - Desvio padrão σ=1
07/17



                              DISTRIBUIÇÃO DE
                              PROBABILIDADES

CARACTERÍSTICAS DA DISTRIBUIÇÃO NORMAL

1. Possui dois parâmetros: a média µ e o desvio padrão σ;
2. Ponto máximo da curva é a média = mediana = moda;
3. A média da distribuição pode ser qualquer valor: negativo, zero ou
   positivo;
4. A distribuição normal é simétrica em relação a média;
5. O desvio padrão determina quanto uma curva é achatada ou larga;
6. As probabilidades da va são dadas por área sob a curva; a área
   total é igual a 1; como a curva é simétrica, a área, a direita e a
   esquerda da média valem 0,5;
7. As porcentagens dos valores de alguns intervalos:
   a) 68,3% dos valores de uma va estão dentro de ±1σ da média;
   b) 95,4% dos valores de uma va estão dentro de ±2σ da média;
   c) 99,7% dos valores de uma va estão dentro de ±3σ da média.
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                              DISTRIBUIÇÃO DE
                              PROBABILIDADES

DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRÃO DE PROBABILIDADES

Uma variável aleatória que tem uma distribuição normal com média
igual a zero e desvio padrão igual a um, diz-se que esta variável
tem distribuição normal padrão de probabilidade.

Para encontrar a probabilidade de uma va estar contida em um
intervalo específico, deve-se calcular a área sob a curva normal ao
longo deste intervalo.

Existem tabelas que podem ser usadas para o cálculo das
probabilidades; estas tabelas foram geradas para uma va com
distribuição normal padrão de µ=0 e σ=1
09/17



                             DISTRIBUIÇÃO DE
                             PROBABILIDADES
DISTRIBUIÇÃO NORMAL – APLICAÇÃO

Uma empresa desenvolveu um novo pneu radial com cinturão de
aço que será vendido por meio de uma cadeia nacional. Uma vez
que este tipo de pneu é um produto novo, os gerentes da empresa
acreditam que a durabilidade (em termos de km rodados) oferecida
com o pneu será um fator importante na aceitação do produto.
Antes de fechar os termos do contrato de garantia de durabilidade
do pneu, os gerentes desejam obter informações de probabilidade a
respeito do número de km que os pneus durarão. Dos testes reais
de estrada com os pneus, a equipe de engenharia da empresa
estima que a durabilidade média dos pneus é 36500km e que o
desvio padrão é 5000. Além disso, os dados coletados indicam que a
distribuição normal é uma hipótese razoável.
a) Qual percentagem dos pneus duraria mais de 40 mil km? Ou,
qual é a probabilidade de a durabilidade do pneu ultrapassar 40 mil
km?
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                                  DISTRIBUIÇÃO DE
                                  PROBABILIDADES

       x−µ     40000 − 36500
  z=         =               = 0, 70
       σ           5000

Consultando a tabela de dis-
tribuição normal padrão com
z=0,70 observamos que a
área para valores iguais ou
maior que z=0,70 é 0,2420.

Esta é a probabilidade de x
ultrapassar o valor 40000.
Conclui-se que 24,2% dos
pneus terão uma durabili-
dade maior que 40000 km.
11/17



                             DISTRIBUIÇÃO DE
                             PROBABILIDADES
b)    A    empresa    está
considerando a possibi-
lidade    de     dar  uma
garantia que concede um
desconto na troca de
pneus se os originais não
resistirem ao número de
km       estipulados    na
garantia. Qual deve ser o
número de km coberto
pela garantia levando-se
em conta que a empresa
quer que não mais de
10%      dos    pneus   se
habilitem à garantia do
desconto?
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                               DISTRIBUIÇÃO DE
                               PROBABILIDADES

Agora, usando a tabela normal padrão, devemos determinar o valor
de z que produz uma área de 0,10 (10%) sob a curva normal. Este
valor é 1,28; por simetria o valor de z procurado encontra-se a
esquerda da média; z=-1,28.

Para encontrar o valor de x correspondente a z=-1,28 calculamos a

expressão z = x − µ   com µ=36500 e σ=5000. Encontra-se x=30100.
                σ

Assim, a empresa poderá fixar a garantia de durabilidade de seus
pneus em 30.000km, uma vez que este valor garante que apenas
10% dos pneus produzidos se habilitarão à garantia.
13/17



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                               PROBABILIDADES
APROXIMAÇÃO NORMAL ÀS PROBABILIDADES BINOMIAIS

Adota-se a aproximação normal às probabilidades binomiais quando
o número de ensaios torna-se grande.

É lícito usar a aproximação quando: a) np ≥ 5; b) n(1-p) ≥ 5.

Ao usar a aproximação normal às probabilidades binomiais ajusta-se
uma curva normal da seguinte maneira:
        µ = np        e              σ2 = np(1-p)

A distribuição normal trabalha com va contínua e a probabilidade é
obtida a partir da área sob a curva normal. A distribuição binomial
trabalha com va discreta e a probabilidade é obtida para cada valor
assumido por x.

Truque: P(x=12) da binomial é igual a P(11,5 ≤ x ≤ 12,5) da normal.
14/17



   DISTRIBUIÇÃO DE
   PROBABILIDADES




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Distribuicao de probabilidades

  • 1. 01/17 DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES As distribuições de probabilidades mais conhecidas e utilizadas na maioria das aplicações são: -Distribuição binomial - π e n (variável discreta) -Distribuição normal - µ e σ2 (variável contínua) Uma função f(x) é quem define o comportamento das variáveis em termos de resultados de probabilidade (distribuição). Função de probabilidade – f(x) – variável discreta Função densidade de probabilidade – f(x) – variável contínua
  • 2. 02/17 DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES Uma diferença fundamental separa as variáveis aleatórias discretas e as contínuas em termos de como as probabilidades são calculadas. Quanto a variável aleatória discreta, f(x) produz a probabili- dade de a variável aleatória assumir um valor em particular. Quanto a variável aleatória contínua, f(x) não produz probabili- dade diretamente; associa a área sob o gráfico de f(x) corres- pondente a determinado intervalo. Então, quando se calculam probabilidades de variáveis aleató- rias contínuas, calcula-se a probabilidade de a variável aleató- ria assumir qualquer valor nesse intervalo.
  • 3. 03/17 DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES FUNÇÃO DE PROBABILIDADE DISCRETA → f(x) ≥ 0 Σf(x) = 1 VALOR ESPERADO DE UMA V.A.D. → E(x)=µ=Σxf(x) VARIÂNCIA DE UMA V.A.D. → Var(x)=σ2=Σ(x-µ)2f(x) No. Chamadas Probabilidades No. Chamadas Probabilidades 0 0,10 3 0,20 1 0,15 4 0,15 2 0,30 5 0,10 1) No. esperado de chamadas: E(x)=µ=2,05 2) Variância: σ2=2,05 Desvio Padrão: σ=1,43
  • 4. 04/17 DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL VALOR ESPERADO: E(x)=µ=np VARIÂNCIA: Var(x)=σ2=np(1-p) Exemplo: Considere um experimento binomial com n=10 e p=0,10 a) Calcular f(0)= 0,3487 b) Calcular f(2)= 0,1937 c) Calcular P(x≤2)= 0,9298 d) Calcular P(x≥1)= 0,6513 e) Calcular E(x)= 1,0 f) Calcular Var(x)=σ2= 0,9 g) Calcular o desvio padrão - σ= 0,95
  • 5. 05/17 DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES Aplicação: Os sistemas militares de radar e de mísseis são concebidos para um país precaver-se de ataques inimigos. Uma questão de confiabilidade é saber se um sistema de detecção será capaz de identificar um ataque inimigo e disparar um alarme. Considere que determinado sistema de detecção tenha 90% de probabilidade de detectar um ataque de mísseis. Use a distribuição binomial para responder as questões a seguir: a) Qual a probabilidade de um único sistema de detecção detectar um ataque? R: 0,90 b) Se dois sistemas são instalados na área e operam independentes, qual é a probabilidade de pelo menos um deles detectar o ataque? R: 0,99 c) Se três sistemas ... De pelo menos um detectar? R: 0,999 d) Você recomendaria o uso de múltiplos sistemas? R: sim
  • 6. 06/17 DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES A DISTRIBUIÇÃO NORMAL DE PROBABILIDADES 1 − ( x − µ ) 2 / 2σ 2 Função Densidade Normal de Probabilidade: f ( x) = e σ 2π onde: µ = média σ = desvio padrão π = número pi – 3,141596259 e = 2,7182 1 − z2 / 2 Função Densidade Normal Padrão de Probabilidade: f ( x) = e 2π Com z = (x - µ)/σ
  • 7. 06A/17 DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES Curva em forma de sino correspondente a distribuição normal de probabilidade. Três distribuições normais com o mesmo desvio padrão (σ), mas com três diferentes médias (-10, 0 e 20).
  • 8. 06B/17 DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES Duas distribuições normais Áreas sob a curva de uma com a mesma média (µ), mas distribuição normal qualquer. com desvios padrão (σ) diferentes.
  • 9. 06C/17 DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES Área sob a curva normal padrão = probabilidade A distribuição normal padrão: - Média µ=0 - Desvio padrão σ=1
  • 10. 07/17 DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES CARACTERÍSTICAS DA DISTRIBUIÇÃO NORMAL 1. Possui dois parâmetros: a média µ e o desvio padrão σ; 2. Ponto máximo da curva é a média = mediana = moda; 3. A média da distribuição pode ser qualquer valor: negativo, zero ou positivo; 4. A distribuição normal é simétrica em relação a média; 5. O desvio padrão determina quanto uma curva é achatada ou larga; 6. As probabilidades da va são dadas por área sob a curva; a área total é igual a 1; como a curva é simétrica, a área, a direita e a esquerda da média valem 0,5; 7. As porcentagens dos valores de alguns intervalos: a) 68,3% dos valores de uma va estão dentro de ±1σ da média; b) 95,4% dos valores de uma va estão dentro de ±2σ da média; c) 99,7% dos valores de uma va estão dentro de ±3σ da média.
  • 11. 08/17 DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRÃO DE PROBABILIDADES Uma variável aleatória que tem uma distribuição normal com média igual a zero e desvio padrão igual a um, diz-se que esta variável tem distribuição normal padrão de probabilidade. Para encontrar a probabilidade de uma va estar contida em um intervalo específico, deve-se calcular a área sob a curva normal ao longo deste intervalo. Existem tabelas que podem ser usadas para o cálculo das probabilidades; estas tabelas foram geradas para uma va com distribuição normal padrão de µ=0 e σ=1
  • 12. 09/17 DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES DISTRIBUIÇÃO NORMAL – APLICAÇÃO Uma empresa desenvolveu um novo pneu radial com cinturão de aço que será vendido por meio de uma cadeia nacional. Uma vez que este tipo de pneu é um produto novo, os gerentes da empresa acreditam que a durabilidade (em termos de km rodados) oferecida com o pneu será um fator importante na aceitação do produto. Antes de fechar os termos do contrato de garantia de durabilidade do pneu, os gerentes desejam obter informações de probabilidade a respeito do número de km que os pneus durarão. Dos testes reais de estrada com os pneus, a equipe de engenharia da empresa estima que a durabilidade média dos pneus é 36500km e que o desvio padrão é 5000. Além disso, os dados coletados indicam que a distribuição normal é uma hipótese razoável. a) Qual percentagem dos pneus duraria mais de 40 mil km? Ou, qual é a probabilidade de a durabilidade do pneu ultrapassar 40 mil km?
  • 13. 10/17 DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES x−µ 40000 − 36500 z= = = 0, 70 σ 5000 Consultando a tabela de dis- tribuição normal padrão com z=0,70 observamos que a área para valores iguais ou maior que z=0,70 é 0,2420. Esta é a probabilidade de x ultrapassar o valor 40000. Conclui-se que 24,2% dos pneus terão uma durabili- dade maior que 40000 km.
  • 14. 11/17 DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES b) A empresa está considerando a possibi- lidade de dar uma garantia que concede um desconto na troca de pneus se os originais não resistirem ao número de km estipulados na garantia. Qual deve ser o número de km coberto pela garantia levando-se em conta que a empresa quer que não mais de 10% dos pneus se habilitem à garantia do desconto?
  • 15. 12/17 DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES Agora, usando a tabela normal padrão, devemos determinar o valor de z que produz uma área de 0,10 (10%) sob a curva normal. Este valor é 1,28; por simetria o valor de z procurado encontra-se a esquerda da média; z=-1,28. Para encontrar o valor de x correspondente a z=-1,28 calculamos a expressão z = x − µ com µ=36500 e σ=5000. Encontra-se x=30100. σ Assim, a empresa poderá fixar a garantia de durabilidade de seus pneus em 30.000km, uma vez que este valor garante que apenas 10% dos pneus produzidos se habilitarão à garantia.
  • 16. 13/17 DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES APROXIMAÇÃO NORMAL ÀS PROBABILIDADES BINOMIAIS Adota-se a aproximação normal às probabilidades binomiais quando o número de ensaios torna-se grande. É lícito usar a aproximação quando: a) np ≥ 5; b) n(1-p) ≥ 5. Ao usar a aproximação normal às probabilidades binomiais ajusta-se uma curva normal da seguinte maneira: µ = np e σ2 = np(1-p) A distribuição normal trabalha com va contínua e a probabilidade é obtida a partir da área sob a curva normal. A distribuição binomial trabalha com va discreta e a probabilidade é obtida para cada valor assumido por x. Truque: P(x=12) da binomial é igual a P(11,5 ≤ x ≤ 12,5) da normal.
  • 17. 14/17 DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES EXERCÍCIOS