1) A distribuição normal descreve variáveis aleatórias contínuas e simétricas, tendo como parâmetros a média e o desvio padrão. 2) A distribuição normal é representada graficamente por uma curva em forma de sino, onde a maioria dos valores está próxima da média e menos valores estão distantes da média. 3) A distribuição normal é amplamente usada em estatística para modelar muitos fenômenos naturais e sociais.

1. Estatística
Profª Josefa A . Alvarez 1
1Gauss
Distribuição Normal
(D´Moivre) 2
Distribuição Normal
 1. Curva em forma de “sino”
2. Média =Moda=Mediana
3. A variável aleatória assume
infinitos valores
4. A distribuição normal de de
dois parâmetros que são média
e desvio padrão
Média
Mediana
Moda
x
f(x)
3
12 15 1810 11 13 14 16 17 19 20
Média e Desvio Padrão
Curvas com médias
diferentes e mesmo
desvio padrão
Curvas com médias e desvios
padrões diferentes
4
Efeitos Modificando
a Média e o Desvio Padrão ( e )
f(x)
x
CA
B
5
68% da área está
compreendia entre um
desvio padrão da média
95% da área está compreendia
entre dois desvio padrão da média
99,7% da área está compreendia
entre três desvio padrão da média
68%
 2       2  3 3
6

2. Estatística
Profª Josefa A . Alvarez 2
7 8
9
μ  3σ μ + σμ  2σ μ  σ μ μ + 2σ μ + 3σ
x
Pontos de Infleção
10
Probabilidade na Distribuição Normal
Probabilidade
é a área sob a
curva
a b x
f(x)
?

b
a
dx)x(f)bXa(P
11
Tabelas da Distribuição Normal
Distribuição Normal
Diferentes médias e
diferentes desvios padrões
Cada distribuição
normal requer uma
tabela.
Existem infinitos valores!
x
f(x)
12



x
padrãodesvio
média-valor
z
A variável z- escores z
A variável Z equivale à distância entre X e a média
medida em desvios padrões. Valores positivos de Z
indicarão que X está à direita da média; valores
negativos indicarão que X está à esquerda da média.

3. Estatística
Profª Josefa A . Alvarez 3
13
TABELA DA NORMAL PADRÃO z
P(Zz)=A(z)
z
P(Zz)
probabilidade
2º decimal
Parte
inteira e 1º
decimal
14
 = 0 Z
Distribuição Normal Padrão
tabela
Distribuição Normal
Distribuição Normal
Padrão
x




x
Z
1
15
1 - F(z)=1-A(z)
z
Propriedade para uso da tabela:
A(-z)=F(-z)
F(-z) = ?
0-z
16
Z
=0
0,12
Distribuição Normal
Distribuição
Normal Padrão
80,6
X


)5,80(n:X Seja
Exemplo
=80
Determine P(X<80,6)?
12,0
5
806,80x
z 






17
0,12
Z 0 1
0,0 0,5000 0,5040 0,5080
0,5398 0,5438
0,2 0,5793 0,5832 0,5871
0,3 0,6179 0,6217 0,6255
Tabela da Distribuição Normal Padrão
2
0,1 0,5478
Probabilidades
Z


0,5478
Área a esquerda
18
Distribuição Normal Padrão
Determine P(80,6<X<81)
P(x1<X< x2)=P(X< x2)-P(X< x1)
P(80,6<X<81)=P(X<81)-P(X<80,6)
20,0
5
8081x
z 






12,0
5
806,80x
z 







4. Estatística
Profª Josefa A . Alvarez 4
19
0,12
Distribuição
Normal
Z

Distribuição Normal
Padrão
80,6
0,20
X
81

0,0315



x
Z
20
0,20
Z
0,5793
Z
0,12
0,5478
0,0315
0,12
0,20
Z
Distribuição Normal Padrão
21
Z


0,32
Distribuição Normal
Distribuição Normal
Padrão
=80

X
81,6
Determine P( X  81,6)
0,3745
P(X  81,6)=1-(X<81,6)=
22
Distribuição
Normal
80
x
81,6
Determine P(X81,6)
P(X  81,6)=1-(X<81,6)=

z
0,32
,
,
X
Z
Z
Z







81 6 80
5
0 32
23
0,32
Z
0,6255
Daí temos
P(X  81,6)=1-(X<81,6)=1-(Z<0,32)=
1-0,6255=0,3745
6255,0)32,0Z(P 
24
TABELA DA DISTRIBUIÇÃO
NORMAL PADRÃO INVERSA
prob
z abscissa
Parte
inteira
1ºe 2º
decimal
3º decimal

5. Estatística
Profª Josefa A . Alvarez 5
25
Z=0
=1
-3,0902
Distribuição normal padrão inversa
0,001
Determine z tal que
P(Z<z) = 0,001?
Tabela
p 0 2
0,00 -3,0902 -2,8782
0,01 -2,3263
0,02
1
0,03 -1,8663
-2,2904 -2,2571
-2,0537 -2,0335 -2,0141
-1,8808 -1,8522

26
z
=1
x
=80

?
Determine o valor de x para uma determinada
probabilidade
Distribuição
Normal
Distribuição
Normal Padrão
inversa
549,645)0902,3(80
zx

 
=0
0,001
0,001
-3,0902
270z
7
152152
z



29,1z
7
152161
z



57,0z
7
152148
z



Exemplo
Em uma empresa o salário semanal dos funcionários pode ser
considerado uma variável normalmente distribuída, com média
$152,00 e desvio padrão $7,00. Determine a probabilidade do
salário ser: a) inferior a $161,00; b) superior a $148,00; c)
entre $152,00 e $161,00
a) P(X<161)=P(Z<1,29)=A(1,29)=0,9015
b) P(X<148)=P(Z<-0,57)=A(-0,57)=0,2843
c) P(152<X<161)= P(X<161)-P(X<152)=
P(Z<1,29)- P(Z<0)= =A(1,29)-A(0)=0,9015-0,5000=0,4015
28



x
padrãodesvio
média-valor
z
A variável z- escores z
A variável Z equivale à distância entre X e a média
medida em desvios padrões. Valores positivos de Z
indicarão que X está à direita da média; valores
negativos indicarão que X está à esquerda da média.
29
TABELA DA NORMAL PADRÃO z
P(Zz)=A(z)
z
P(Zz)
probabilidade
2º decimal
Parte
inteira e 1º
decimal
30
TABELA DA DISTRIBUIÇÃO
NORMAL PADRÃO INVERSA
prob
z abscissa
Parte
inteira
1ºe 2º
decimal
3º decimal

6. Estatística
Profª Josefa A . Alvarez 6
31
Z=0
=1
-3,0902
Distribuição normal padrão inversa
0,001
Determine z tal que
P(Z<z) = 0,001?
Tabela
p 0 2
0,00 -3,0902 -2,8782
0,01 -2,3263
0,02
1
0,03 -1,8663
-2,2904 -2,2571
-2,0537 -2,0335 -2,0141
-1,8808 -1,8522

32
Probabilidades e distribuições normais
115100
Pontuações de QI são normalmente distribuídas, com uma média de 100 e um
desvio padrão de 15. Determine a probabilidade de que uma pessoa selecionada
aleatoriamente tenha uma pontuação de QI inferior a 115.
Para determinar a área nesse intervalo, primeiro encontre o escore z
correspondente a x = 115.
10
P(z < 1) = 0,8413, logo P(x < 115) = 0,8413
P(x < 115) = P(z < 1)
1
15
100115


z
33
As contas mensais de serviços públicos em determinada cidade são normalmente distribuídas,
com média de US$ 100 e desvio padrão de US$ 12. Uma conta é escolhida aleatoriamente.
Determine a probabilidade de ela estar entre US$ 80 e US$ 115.
P(80 < x < 115)
Distribuição normal
P(80<X<115)=P(–1,67 < z < 1,25)=P(Z<1,25)-P(Z<_1,67)
=0,8944-0,0475= 0,8469
A probabilidade de uma conta estar entre US$ 80 e US$ 115
é 0,8469.
Aplicação
67,1
12
10080


z 25,1
12
100150


z
34
z
Da área ao escore z
Localize 0,980 na tabela. Leia os valores no início da linha e no
alto da coluna correspondentes. O escore z será 2,054.
Determine o escore z correspondente a uma área acumulada de 0,980.
z = 2,054 corresponde
mais ou menos ao
98%.
–4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4
35
Determinando escores z
a partir de áreas
Determine o escore z correspondente a área
acumulada de 90%.
z0
0,90
Na tabela, isso corresponde a z = 1,282.
Um escore z de 1,282 corresponde a área acumulada
de 90%.
36
Determinando percentis
ou valores de corte
As contas mensais de serviços públicos em determinada cidade são
normalmente distribuídas, com média de US$ 100 e desvio padrão de
US$ 12. Qual é o valor mais baixo entre os 10% mais altos?
10%
90%
Determine, na tabela, (o 90º percentil); 90%corresponde a um
escore z de 1,286.
x = 100 + 1,28(12) = 115,36.
US$ 115,36 é o valor
mais baixo entre os
10% mais altos.
z
Para determinar o valor x correspondente, use:

7. Estatística
Profª Josefa A . Alvarez 7
37
De escores z a escores brutos
As pontuações em um concurso público estão normalmente
distribuídas, com média de 152 e desvio padrão de 7.
Determine a pontuação de um candidato com escore z:
i) P 99% ii) P 3% iii) P 50%
Para determinar um valor x a partir de um escore z:



x
z
i) x = 152 + (2,326)(7) = 168,282
ii) x = 152 + ( -1,881)(7) = 138,833
iii) x = 152 + (0)(7) = 152
 zx   zx 
38
Exemplo:
Calcule a probabilidade de um variável aleatória com
distribuição normal com  = 3 e  = 2 apresentar
valores entre 2 e 5.
 = 2
 = 3
30 2 5
50,0
2
32
z 


5328,03085,08413,0
)5,0(A)1(A
)2X(P)5X(P
)5X2(P




00,1
2
35
z 


39
Um teste psicológico (introvertido x extrovertido)
mostra que as notas possuem n(80; 10). Conclui-se
que 10% daqueles que tem maiores notas são
extrovertidos. Qual é a nota a partir da qual a pessoa
pode ser considerada extrovertido?
Exemplo


10)282,1(80
 zx
X Z

0,90

0,90
z0,90
0,10
40
O salário semanal dos operários industriais são distribuídos normalmente em
torno de uma média de R$1800,00 com desvio padrão de R$200,00. Pede-se:
a) encontre a probabilidade de um operário ter salário semanal situado entre
R$1500,00 e R$1900,00.
b) determine o intervalo simétrico que cairão 96% dos salários?
P(x1X  x2)=P(X  x2)-P(X  x1)
P(1500 X  1900)=P(X1900)-P(X 1500)
=0,6915-0,0668=0,6247
Exemplo
41
6915,0)50,0Z(P)1900X(P 
0668,0)50,1Z(P)1500X(P 
50,0
200
18001900x
z 





50,1
200
18001500x
z 





42


Z
0,96
Z0,98Z0,02
P(1389,26X 2210,74)=0,96
74,2210200.054,21800
2
26,1389200.054,21800
1






zX
zX

8. Estatística
Profª Josefa A . Alvarez 8
43
A distribuição dos pesos de coelhos criados em uma
granja pode muito bem ser representada por uma
distribuição normal, com média de 5 kg e desvio
padrão de 0,8 kg. Um abatedouro comprará 5000
coelhos e pretende classifica-los de acordo com o
peso, do seguinte modo: 20% dos leves como
pequenos, os 55% seguintes como médios, os 15%
seguintes como grandes e os 10% mais pesados como
extras. Quais os limites de pesos para cada
classificação?
Exemplo
44
0,55
z0,20 z0,75 z0,90
0,20
0,10
0,15
Z
33,48,0).842,0(520,0   za
53,58,0).675,0(575,0   zb
03,68,0)282,1(5
90,0
  zc
45
Os depósitos mensais na caderneta de poupança tem
distribuição normal com média igual a R$ 500,00 e
desvio padrão R$ 150,00. Se um depositante
realizar um depósito, pede-se calcular as seguintes
probabilidades:
a) de que esse depósito seja: a1) igual ou menor
que R$ 650,00. a2) igual ou maior que R$ 650,00.
a3) seja um valor entre R$ 250,00 e R$ 650,00.
b) Determine os quartis: Q1 Q2 e Q3
interprete. c) Calcule P(-  X  + )
d) determine o intervalo simétrico para o qual
corresponda a probabilidade de 0,90
46
Solução:a1) P(X 650)= P(Z<1)=0,8413
1
150
500650






x
z
a2) P(X> 650)= 1-0,8413=0,1587
a3) P(250 X 650)= P(Z<1)=0,8413
0,8413-0,0475=0,7938
P(X 250)= P(Z<-1,67)=0,0475
67,1
150
500250






x
z
47
b) Q1 =+z 0,25  = 500 -0,675.150=398,825
Q2 =+z 0,50  =500
Q3 =+z 0,75  =500+0,675.150=601,175
c) P(-  X  + )= P(X  + ) -P(X  - )
= P(Z  1 ) -P(Z  -1 )
=0,8413-0,1587=0,6826
48
1
x
z 








1
x
z 








d) a=+z 0,05  = 500 -1,645.150=253,265
b =+z 0,95  =500+1,645.150=746,735