1) A distribuição normal é uma distribuição simétrica em forma de sino que é especificada pelos parâmetros média (μ ou x) e desvio padrão (σ ou s).
2) A distribuição normal padronizada tem média 0 e desvio padrão 1 e facilita os cálculos de probabilidade usando tabelas.
3) Para distribuições normais não-padronizadas, valores são convertidos para valores padronizados usando a fórmula z = (x - μ)/σ antes de usar as tabelas.
Aula de Métodos e Técnicas de Análise da Informação para Planejamento, julho de 2016, UFABC
Gravação de aula disponivel em: https://youtu.be/uoZqwLDlJb0
Bases de dados disponíveis em: https://app.box.com/s/4yl70hj73c9mqyh1jb0l8skics4xf8i1
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Solução é toda mistura homogênea de moléculas, átomos, ou íons de duas ou mais substâncias, sendo que na maior parte das vezes as misturas se encontram como soluções aquosas. As soluções são constituídas por dois componentes, o solvente e o soluto. O solvente é o meio no qual o soluto está dissolvido. E o soluto é o componente que se encontra em menor quantidade numa solução.
As informações da solução são obtidas através da concentração do soluto no solvente que pode ser calculada dividindo o número de mols do soluto em mols pelo volume de solução em litros, as vezes é preciso calcular o número de mols do soluto caso esse não seja dado.
Solução é toda mistura homogênea de moléculas, átomos, ou íons de duas ou mais substâncias, sendo que na maior parte das vezes as misturas se encontram como soluções aquosas. As soluções são constituídas por dois componentes, o solvente e o soluto. O solvente é o meio no qual o soluto está dissolvido. E o soluto é o componente que se encontra em menor quantidade numa solução.
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2. Distribuição Normal
Uma variável aleatória contínua tem uma
distribuição normal se sua distribuição é:
simétrica
apresenta (num gráfico) forma de um sino
4. Distribuição Normal
Quando uma distribuição é contínua, o gráfico
de distribuição é uma linha contínua
Não se visualiza as barras de um histograma,
mas freqüências de ocorrências de cada valor
de x em intervalos infinitesimais
Forma uma Curva de Densidade de
Probabilidade (função pdf – Probability Density
Function)
5. Função Densidade da
Distribuição Normal
A função densidade da normal (e de qualquer outra
variável aleatória contínua) pode ser compreendida
como uma extensão natural de um histograma
A probabilidade é a
+∞
área sob a curva de
∫ P( x)dx = 1
−∞
densidade. Portanto,
para qualquer P(x):
0 ≤ P (x) ≤ 1 P ( x) ≥ 0
6. Distribuição Normal
Note que a distribuição normal é especificada por dois
parâmetros:
μ representa a média populacional, e
σ representa o desvio-padrão populacional
1 ⎛ x−μ ⎞2
− ⎜ ⎟
2⎝ σ ⎠
e
f ( x) =
σ 2π
7.
8.
9. Distribuição Normal Padronizada
Cada par de parâmetros (μ, σ) define uma distribuição
normal distinta!
A figura mostra as curvas de densidade para alturas de
mulheres e homens adultos nos EUA
10. Distribuição Normal Padronizada
A distribuição normal padronizada tem
média e desvio padrão iguais a:
μ =0 σ =1
A distribuição normal padronizada facilita os cálculos de
probabilidade, evitando o uso da fórmula e projetando
qualquer análise mediante utilização de ESCORES (Z)
x −μ
z =
σ
11. Distribuição Normal Padronizada
Se x é uma observação de uma distribuição que tem
média μ e desvio-padrão σ, o valor padronizado de x
é
x −μ
z =
σ
Note que o valor padronizado representa o número de
desvios-padrão pelo qual um valor x dista da média
(para mais ou para menos)
12. Distribuição Normal Padronizada
Ou seja, como a distribuição normal padronizada é
aquela que tem média 0 e desvio-padrão 1, ou seja N(0,
1)
Se uma variável aleatória x tem distribuição normal
qualquer N(μ, σ), então a variável padronizada
x −μ
z =
σ
tem distribuição normal
13.
14. Exemplo
Um professor de cálculo aplica dois testes
diferentes a duas turmas do seu curso. Os
resultados foram:
Turma 1: média = 75 desvio = 14
Turma 2: média = 40 desvio = 8
Que nota é relativamente melhor: 82 na turma
1, ou 46 na turma 2?
15. Distribuição Normal Padronizada
A estimativa de probabilidades associadas a variáveis
aleatórias contínuas envolve o cálculo de áreas sob a
curva da densidade.
O uso da distribuição normal padronizada nos permite
calcular áreas sob a curva de uma distribuição normal
qualquer, pois as áreas associadas com a normal
padronizadas são tabeladas.
A Tabela A-2 será usada para os cálculos de
probabilidade envolvendo distribuições normais.
16. Exemplo
Uma empresa fabrica termômetros que devem acusar a leitura de 0 °C
no ponto de congelamento da água. Testes feitos em uma grande
amostra desses termômetros revelaram que alguns acusavam valores
inferiores a 0 °C e alguns acusavam valores superiores.
Supondo que a leitura média seja 0°C e que o desvio-padrão das
leituras seja 1,00 °C, qual a probabilidade de que, no ponto de
congelamento, um termômetro escolhido aleatoriamente marque entre
0 e 1,58 °C ?
Admita que a freqüência de erros se assemelhe a uma distribuição
normal.
17. Exemplo
A distribuição de probabilidade das leituras é uma
normal padronizada porque as leituras têm μ = 0 e
σ = 1.
A área da região sombreada, delimitada pela média 0 e
pelo número positivo z, pode ser lida na Tabela A-2
18. Distribuição Normal
Padronizada
EXEMPLO
Portanto, a probabilidade de se escolher aleatoriamente um
termômetro com erro entre 0 e 1,58 °C é 44,29 %
Outra maneira de interpretar este resultado é concluir que
44,29% dos termômetros terão erros entre 0 e 1,58 °C
19. Distribuição Normal
Padronizada
EXEMPLO
Com os termômetros do exemplo anterior,
determine a probabilidade de se selecionar
aleatoriamente um termômetro que acuse (no
ponto de congelamento da água), uma leitura
entre -2,43 °C e 0 °C?
20. Distribuição Normal
Padronizada
Estamos interessados na região sombreada da Figura
(a), mas a Tabela A-2 se aplica apenas a regiões à
direita da média (0), como a da Figura (b)
Podemos ver que ambas as áreas são idênticas porque
a curva de densidade é simétrica !
21. Distribuição Normal
Padronizada
EXEMPLO
Portanto, a probabilidade de se escolher
aleatoriamente um termômetro com erro entre -
2,43°C e 0°C é 49,25 %
Em outras palavras, 49,25% dos termômetros terão
erros entre -2,43 °C e 0 °C
22. Distribuição Normal
Padronizada
EXEMPLO
Mais uma vez, faremos uma escolha aleatória da
mesma amostra de termômetros.
Qual a probabilidade de que o termômetro escolhido
acuse (no ponto de congelamento da água), uma leitura
superior a +1,27 °C ?
23. Distribuição Normal
Padronizada
A probabilidade de escolher um termômetro que acuse
leitura superior a 1,27 °C corresponde à área
sombreada da figura
Se a área total sob a curva da densidade é igual a 1, a
área à direita de zero vale metade, isto é, 0,5. Assim,
podemos calcular facilmente a área sombreada !
24. Distribuição Normal
Padronizada
EXEMPLO
Podemos concluir que há uma probabilidade de
10,20% de escolher aleatoriamente um termômetro
com leitura superior a +1,27 °C.
Podemos dizer, ainda, que, em um grande lote de
termômetros escolhidos aleatoriamente e testados,
10,20% deles acusarão leitura superior a +1,27 °C
25. Distribuição Normal
Padronizada
EXEMPLO
De novo, faremos uma escolha aleatória da mesma
amostra de termômetros.
Qual a probabilidade de que o termômetro escolhido
acuse (no ponto de congelamento da água), uma leitura
entre 1,20 e 2,30 °C ?
26. Distribuição Normal
Padronizada
A probabilidade de escolher um termômetro que acuse leitura
entre 1,20 e 2,30 °C corresponde à área ombreada da figura
É fácil perceber que podemos calcular esta área, subtraindo-
se a área de 0 até o maior valor (2,30), da área de 0 até o
menor valor (1,20), que são lidas na Tabela A-2 !
27. Distribuição Normal
Padronizada
Dos exemplos anteriores, podemos expressar as probabilidades
calculadas com a notação seguinte:
P (a < z < b) denota a probabilidade de o valor
de z estar entre a e b
P (z > a) denota a probabilidade de o valor
de z ser maior do que a
P (z < a) denota a probabilidade de o valor
de z ser menor do que a
28. As figuras abaixo ajudam na interpretação das expressões mais
comuns no cálculo de probabilidades:
29. Distribuição Normal Não
Padronizada
Os exemplos feitos com o termômetro não são muito
realistas porque a maioria das populações distribuídas
normalmente têm média diferente de 0, desvio diferente
de 1, ou ambos.
Como proceder, então, para calcular probabilidades
de distribuições normais não-padronizadas ?
30. Distribuição Normal Não
Padronizada
A idéia é utilizar a fórmula dos valores padronizados e
TRANSFORMAR qualquer distribuição normal dada na
normal padronizada, como mostrado abaixo.
31. Distribuição Normal Não
Padronizada
EXEMPLO
As alturas das mulheres americanas segue uma distribuição
normal com média de 63,6” e desvio-padrão de 2,5”.
Selecionada uma mulher americana ao acaso, qual a
probabilidade da sua altura estar entre 63,6 e 68,6 polegadas ?
32. Distribuição Normal Não
Padronizada
Devemos proceder da maneira descrita a
seguir:
Trace uma curva normal, assinale a média e outros valores de
interesse, e sombreie a região que representa a probabilidade desejada
Para cada valor x da fronteira da região sombreada, aplique a fórmula
para achar o valor padronizado z
Utilize a Tabela A-2 para
achar a área da região sombreada
33. Distribuição Normal Não
Padronizada
EXEMPLO
Há, portanto, uma probabilidade de 0,4772 de
escolher uma mulher com altura entre 63,6 pol.
e 68,6 pol. Usando a notação, teríamos:
P (63,6 < x < 68,6) = P (0 < z < 2,00) =
47,72%
Outra forma de interpretar este resultado
consiste em concluir que 47,72% das mulheres
americanas têm altura entre 63,6 pol. e 68,6
pol.