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Probabilidade

Distribuição Normal
Distribuição Normal

 Uma variável aleatória contínua tem uma

 distribuição normal se sua distribuição é:

   simétrica

   apresenta (num gráfico) forma de um sino
Função Densidade da
Distribuição Normal




                                 1 ⎛ x −μ ⎞ 2
                                − ⎜       ⎟
                                 2⎝ σ ⎠
                                e
                      f (x) =
                                σ 2π
Distribuição Normal

 Quando uma distribuição é contínua, o gráfico
 de distribuição é uma linha contínua
 Não se visualiza as barras de um histograma,
 mas freqüências de ocorrências de cada valor
 de x em intervalos infinitesimais
 Forma uma Curva de Densidade de
 Probabilidade (função pdf – Probability Density
 Function)
Função Densidade da
     Distribuição Normal
A função densidade da normal (e de qualquer outra
variável aleatória contínua) pode ser compreendida
como uma extensão natural de um histograma

                                    A probabilidade é a
+∞
                                    área sob a curva de
 ∫ P( x)dx = 1
−∞
                                    densidade. Portanto,
                                    para qualquer P(x):
 0 ≤ P (x) ≤ 1                            P ( x) ≥ 0
Distribuição Normal

Note que a distribuição normal é especificada por dois
parâmetros:
μ representa a média populacional, e
σ representa o desvio-padrão populacional

                                   1 ⎛ x−μ   ⎞2
                                  − ⎜        ⎟
                                   2⎝ σ      ⎠
                              e
                   f ( x) =
                              σ 2π
Função de densidade normal   bom
Função de densidade normal   bom
Distribuição Normal Padronizada

 Cada par de parâmetros (μ, σ) define uma distribuição
 normal distinta!
 A figura mostra as curvas de densidade para alturas de
 mulheres e homens adultos nos EUA
Distribuição Normal Padronizada

        A distribuição normal padronizada tem
        média e desvio padrão iguais a:

               μ =0              σ =1
A distribuição normal padronizada facilita os cálculos de
probabilidade, evitando o uso da fórmula e projetando
qualquer análise mediante utilização de ESCORES (Z)
                               x −μ
                        z =
                                  σ
Distribuição Normal Padronizada
Se x é uma observação de uma distribuição que tem
média μ e desvio-padrão σ, o valor padronizado de x
é

                      x −μ
                z =
                         σ
Note que o valor padronizado representa o número de
desvios-padrão pelo qual um valor x dista da média
(para mais ou para menos)
Distribuição Normal Padronizada

Ou seja, como a distribuição normal padronizada é
aquela que tem média 0 e desvio-padrão 1, ou seja N(0,
1)

Se uma variável aleatória x tem distribuição normal
qualquer N(μ, σ), então a variável padronizada
                                x −μ
                          z =
                                 σ
tem distribuição normal
Função de densidade normal   bom
Exemplo

 Um professor de cálculo aplica dois testes
 diferentes a duas turmas do seu curso. Os
 resultados foram:
    Turma 1:   média = 75   desvio = 14
    Turma 2:   média = 40   desvio = 8


 Que nota é relativamente melhor: 82 na turma
 1, ou 46 na turma 2?
Distribuição Normal Padronizada

A estimativa de probabilidades associadas a variáveis
aleatórias contínuas envolve o cálculo de áreas sob a
curva da densidade.

O uso da distribuição normal padronizada nos permite
calcular áreas sob a curva de uma distribuição normal
qualquer, pois as áreas associadas com a normal
padronizadas são tabeladas.

A Tabela A-2 será usada para os cálculos de
probabilidade envolvendo distribuições normais.
Exemplo

Uma empresa fabrica termômetros que devem acusar a leitura de 0 °C
no ponto de congelamento da água. Testes feitos em uma grande
amostra desses termômetros revelaram que alguns acusavam valores
inferiores a 0 °C e alguns acusavam valores superiores.

Supondo que a leitura média seja 0°C e que o desvio-padrão das
leituras seja 1,00 °C, qual a probabilidade de que, no ponto de
congelamento, um termômetro escolhido aleatoriamente marque entre
0 e 1,58 °C ?

Admita que a freqüência de erros se assemelhe a uma distribuição
normal.
Exemplo

 A distribuição de probabilidade das leituras é uma
 normal padronizada porque as leituras têm μ = 0 e
 σ = 1.
 A área da região sombreada, delimitada pela média 0 e
 pelo número positivo z, pode ser lida na Tabela A-2
Distribuição Normal
    Padronizada
                    EXEMPLO
Portanto, a probabilidade de se escolher aleatoriamente um
termômetro com erro entre 0 e 1,58 °C é 44,29 %


Outra maneira de interpretar este resultado é concluir que
44,29% dos termômetros terão erros entre 0 e 1,58 °C
Distribuição Normal
Padronizada
               EXEMPLO

 Com os termômetros do exemplo anterior,
 determine a probabilidade de se selecionar
 aleatoriamente um termômetro que acuse (no
 ponto de congelamento da água), uma leitura
 entre -2,43 °C e 0 °C?
Distribuição Normal
Padronizada
 Estamos interessados na região sombreada da Figura
 (a), mas a Tabela A-2 se aplica apenas a regiões à
 direita da média (0), como a da Figura (b)
 Podemos ver que ambas as áreas são idênticas porque
 a curva de densidade é simétrica !
Distribuição Normal
  Padronizada
                 EXEMPLO
Portanto, a probabilidade de se escolher
aleatoriamente um termômetro com erro entre -
2,43°C e 0°C é 49,25 %


Em outras palavras, 49,25% dos termômetros terão
erros entre -2,43 °C e 0 °C
Distribuição Normal
Padronizada
                   EXEMPLO

 Mais uma vez, faremos uma escolha aleatória da
 mesma amostra de termômetros.

 Qual a probabilidade de que o termômetro escolhido
 acuse (no ponto de congelamento da água), uma leitura
 superior a +1,27 °C ?
Distribuição Normal
Padronizada
 A probabilidade de escolher um termômetro que acuse
 leitura superior a 1,27 °C corresponde à área
 sombreada da figura
 Se a área total sob a curva da densidade é igual a 1, a
 área à direita de zero vale metade, isto é, 0,5. Assim,
 podemos calcular facilmente a área sombreada !
Distribuição Normal
   Padronizada
                 EXEMPLO
Podemos concluir que há uma probabilidade de
10,20% de escolher aleatoriamente um termômetro
com leitura superior a +1,27 °C.

Podemos dizer, ainda, que, em um grande lote de
termômetros escolhidos aleatoriamente e testados,
10,20% deles acusarão leitura superior a +1,27 °C
Distribuição Normal
Padronizada
                   EXEMPLO

 De novo, faremos uma escolha aleatória da mesma
 amostra de termômetros.

 Qual a probabilidade de que o termômetro escolhido
 acuse (no ponto de congelamento da água), uma leitura
 entre 1,20 e 2,30 °C ?
Distribuição Normal
Padronizada
 A probabilidade de escolher um termômetro que acuse leitura
 entre 1,20 e 2,30 °C corresponde à área ombreada da figura
 É fácil perceber que podemos calcular esta área, subtraindo-
 se a área de 0 até o maior valor (2,30), da área de 0 até o
 menor valor (1,20), que são lidas na Tabela A-2 !
Distribuição Normal
   Padronizada
Dos exemplos anteriores, podemos expressar as probabilidades
calculadas com a notação seguinte:

P (a < z < b)     denota a probabilidade de o valor
                  de z estar entre a e b


P (z > a)         denota a probabilidade de o valor
                  de z ser maior do que a


P (z < a)         denota a probabilidade de o valor
                  de z ser menor do que a
As figuras abaixo ajudam na interpretação das expressões mais
comuns no cálculo de probabilidades:
Distribuição Normal Não
  Padronizada
Os exemplos feitos com o termômetro não são muito
realistas porque a maioria das populações distribuídas
normalmente têm média diferente de 0, desvio diferente
de 1, ou ambos.
Como proceder, então, para calcular probabilidades
de distribuições normais não-padronizadas ?
Distribuição Normal Não
     Padronizada
A idéia é utilizar a fórmula dos valores padronizados e
TRANSFORMAR qualquer distribuição normal dada na
normal padronizada, como mostrado abaixo.
Distribuição Normal Não
      Padronizada
                        EXEMPLO
As alturas das mulheres americanas segue uma distribuição
normal com média de 63,6” e desvio-padrão de 2,5”.

Selecionada uma mulher americana ao acaso, qual                   a
probabilidade da sua altura estar entre 63,6 e 68,6 polegadas ?
Distribuição Normal Não
  Padronizada
Devemos proceder da maneira descrita a
seguir:
  Trace uma curva normal, assinale a média e outros valores de
  interesse, e sombreie a região que representa a probabilidade desejada
  Para cada valor x da fronteira da região sombreada, aplique a fórmula
  para achar o valor padronizado z
  Utilize a Tabela A-2 para
  achar a área da região sombreada
Distribuição Normal Não
Padronizada
               EXEMPLO
 Há, portanto, uma probabilidade de 0,4772 de
 escolher uma mulher com altura entre 63,6 pol.
 e 68,6 pol. Usando a notação, teríamos:
   P (63,6 < x < 68,6) = P (0 < z < 2,00) =
   47,72%
 Outra forma de interpretar este resultado
 consiste em concluir que 47,72% das mulheres
 americanas têm altura entre 63,6 pol. e 68,6
 pol.
Regra 68-95-99,7
   Numa distribuição normal N(μ, σ) ou N(x, s)
Função de densidade normal   bom
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Função de densidade normal bom

  • 2. Distribuição Normal Uma variável aleatória contínua tem uma distribuição normal se sua distribuição é: simétrica apresenta (num gráfico) forma de um sino
  • 3. Função Densidade da Distribuição Normal 1 ⎛ x −μ ⎞ 2 − ⎜ ⎟ 2⎝ σ ⎠ e f (x) = σ 2π
  • 4. Distribuição Normal Quando uma distribuição é contínua, o gráfico de distribuição é uma linha contínua Não se visualiza as barras de um histograma, mas freqüências de ocorrências de cada valor de x em intervalos infinitesimais Forma uma Curva de Densidade de Probabilidade (função pdf – Probability Density Function)
  • 5. Função Densidade da Distribuição Normal A função densidade da normal (e de qualquer outra variável aleatória contínua) pode ser compreendida como uma extensão natural de um histograma A probabilidade é a +∞ área sob a curva de ∫ P( x)dx = 1 −∞ densidade. Portanto, para qualquer P(x): 0 ≤ P (x) ≤ 1 P ( x) ≥ 0
  • 6. Distribuição Normal Note que a distribuição normal é especificada por dois parâmetros: μ representa a média populacional, e σ representa o desvio-padrão populacional 1 ⎛ x−μ ⎞2 − ⎜ ⎟ 2⎝ σ ⎠ e f ( x) = σ 2π
  • 9. Distribuição Normal Padronizada Cada par de parâmetros (μ, σ) define uma distribuição normal distinta! A figura mostra as curvas de densidade para alturas de mulheres e homens adultos nos EUA
  • 10. Distribuição Normal Padronizada A distribuição normal padronizada tem média e desvio padrão iguais a: μ =0 σ =1 A distribuição normal padronizada facilita os cálculos de probabilidade, evitando o uso da fórmula e projetando qualquer análise mediante utilização de ESCORES (Z) x −μ z = σ
  • 11. Distribuição Normal Padronizada Se x é uma observação de uma distribuição que tem média μ e desvio-padrão σ, o valor padronizado de x é x −μ z = σ Note que o valor padronizado representa o número de desvios-padrão pelo qual um valor x dista da média (para mais ou para menos)
  • 12. Distribuição Normal Padronizada Ou seja, como a distribuição normal padronizada é aquela que tem média 0 e desvio-padrão 1, ou seja N(0, 1) Se uma variável aleatória x tem distribuição normal qualquer N(μ, σ), então a variável padronizada x −μ z = σ tem distribuição normal
  • 14. Exemplo Um professor de cálculo aplica dois testes diferentes a duas turmas do seu curso. Os resultados foram: Turma 1: média = 75 desvio = 14 Turma 2: média = 40 desvio = 8 Que nota é relativamente melhor: 82 na turma 1, ou 46 na turma 2?
  • 15. Distribuição Normal Padronizada A estimativa de probabilidades associadas a variáveis aleatórias contínuas envolve o cálculo de áreas sob a curva da densidade. O uso da distribuição normal padronizada nos permite calcular áreas sob a curva de uma distribuição normal qualquer, pois as áreas associadas com a normal padronizadas são tabeladas. A Tabela A-2 será usada para os cálculos de probabilidade envolvendo distribuições normais.
  • 16. Exemplo Uma empresa fabrica termômetros que devem acusar a leitura de 0 °C no ponto de congelamento da água. Testes feitos em uma grande amostra desses termômetros revelaram que alguns acusavam valores inferiores a 0 °C e alguns acusavam valores superiores. Supondo que a leitura média seja 0°C e que o desvio-padrão das leituras seja 1,00 °C, qual a probabilidade de que, no ponto de congelamento, um termômetro escolhido aleatoriamente marque entre 0 e 1,58 °C ? Admita que a freqüência de erros se assemelhe a uma distribuição normal.
  • 17. Exemplo A distribuição de probabilidade das leituras é uma normal padronizada porque as leituras têm μ = 0 e σ = 1. A área da região sombreada, delimitada pela média 0 e pelo número positivo z, pode ser lida na Tabela A-2
  • 18. Distribuição Normal Padronizada EXEMPLO Portanto, a probabilidade de se escolher aleatoriamente um termômetro com erro entre 0 e 1,58 °C é 44,29 % Outra maneira de interpretar este resultado é concluir que 44,29% dos termômetros terão erros entre 0 e 1,58 °C
  • 19. Distribuição Normal Padronizada EXEMPLO Com os termômetros do exemplo anterior, determine a probabilidade de se selecionar aleatoriamente um termômetro que acuse (no ponto de congelamento da água), uma leitura entre -2,43 °C e 0 °C?
  • 20. Distribuição Normal Padronizada Estamos interessados na região sombreada da Figura (a), mas a Tabela A-2 se aplica apenas a regiões à direita da média (0), como a da Figura (b) Podemos ver que ambas as áreas são idênticas porque a curva de densidade é simétrica !
  • 21. Distribuição Normal Padronizada EXEMPLO Portanto, a probabilidade de se escolher aleatoriamente um termômetro com erro entre - 2,43°C e 0°C é 49,25 % Em outras palavras, 49,25% dos termômetros terão erros entre -2,43 °C e 0 °C
  • 22. Distribuição Normal Padronizada EXEMPLO Mais uma vez, faremos uma escolha aleatória da mesma amostra de termômetros. Qual a probabilidade de que o termômetro escolhido acuse (no ponto de congelamento da água), uma leitura superior a +1,27 °C ?
  • 23. Distribuição Normal Padronizada A probabilidade de escolher um termômetro que acuse leitura superior a 1,27 °C corresponde à área sombreada da figura Se a área total sob a curva da densidade é igual a 1, a área à direita de zero vale metade, isto é, 0,5. Assim, podemos calcular facilmente a área sombreada !
  • 24. Distribuição Normal Padronizada EXEMPLO Podemos concluir que há uma probabilidade de 10,20% de escolher aleatoriamente um termômetro com leitura superior a +1,27 °C. Podemos dizer, ainda, que, em um grande lote de termômetros escolhidos aleatoriamente e testados, 10,20% deles acusarão leitura superior a +1,27 °C
  • 25. Distribuição Normal Padronizada EXEMPLO De novo, faremos uma escolha aleatória da mesma amostra de termômetros. Qual a probabilidade de que o termômetro escolhido acuse (no ponto de congelamento da água), uma leitura entre 1,20 e 2,30 °C ?
  • 26. Distribuição Normal Padronizada A probabilidade de escolher um termômetro que acuse leitura entre 1,20 e 2,30 °C corresponde à área ombreada da figura É fácil perceber que podemos calcular esta área, subtraindo- se a área de 0 até o maior valor (2,30), da área de 0 até o menor valor (1,20), que são lidas na Tabela A-2 !
  • 27. Distribuição Normal Padronizada Dos exemplos anteriores, podemos expressar as probabilidades calculadas com a notação seguinte: P (a < z < b) denota a probabilidade de o valor de z estar entre a e b P (z > a) denota a probabilidade de o valor de z ser maior do que a P (z < a) denota a probabilidade de o valor de z ser menor do que a
  • 28. As figuras abaixo ajudam na interpretação das expressões mais comuns no cálculo de probabilidades:
  • 29. Distribuição Normal Não Padronizada Os exemplos feitos com o termômetro não são muito realistas porque a maioria das populações distribuídas normalmente têm média diferente de 0, desvio diferente de 1, ou ambos. Como proceder, então, para calcular probabilidades de distribuições normais não-padronizadas ?
  • 30. Distribuição Normal Não Padronizada A idéia é utilizar a fórmula dos valores padronizados e TRANSFORMAR qualquer distribuição normal dada na normal padronizada, como mostrado abaixo.
  • 31. Distribuição Normal Não Padronizada EXEMPLO As alturas das mulheres americanas segue uma distribuição normal com média de 63,6” e desvio-padrão de 2,5”. Selecionada uma mulher americana ao acaso, qual a probabilidade da sua altura estar entre 63,6 e 68,6 polegadas ?
  • 32. Distribuição Normal Não Padronizada Devemos proceder da maneira descrita a seguir: Trace uma curva normal, assinale a média e outros valores de interesse, e sombreie a região que representa a probabilidade desejada Para cada valor x da fronteira da região sombreada, aplique a fórmula para achar o valor padronizado z Utilize a Tabela A-2 para achar a área da região sombreada
  • 33. Distribuição Normal Não Padronizada EXEMPLO Há, portanto, uma probabilidade de 0,4772 de escolher uma mulher com altura entre 63,6 pol. e 68,6 pol. Usando a notação, teríamos: P (63,6 < x < 68,6) = P (0 < z < 2,00) = 47,72% Outra forma de interpretar este resultado consiste em concluir que 47,72% das mulheres americanas têm altura entre 63,6 pol. e 68,6 pol.
  • 34. Regra 68-95-99,7 Numa distribuição normal N(μ, σ) ou N(x, s)