Este documento discute conceitos estatísticos como distribuições de probabilidade normal e medidas de posição. Ele fornece exemplos de como calcular probabilidades, quartis, z-scores e transformar entre valores x e z-scores usando fórmulas de distribuição normal. O documento conclui que a estatística é uma ferramenta importante para análise de dados e conclusões com base em pesquisas.

1. Introdução
Estatística é a ciência das probabilidades, na qual seu desenvolvimento nos permite
fazer previsões sobre determinado universo estudado, a partir de uma amostragem
significativa. Ainda, suas fórmulas são utilizadas para defender conclusões suspeitas.
Dessa forma, seu desenvolvimento contem coleta de dados, análises e informações diversas,
além de conter gráficos ou tabelas.
Portanto a seguir constam alguns exemplos de probabilidade com seus subtemas e
respectivos significados.

2. Semana 12ª: Medidas de Posição
Definição:
Os três quartis Q1, Q2 e Q3 dividem aproximadamente em conjunto de dados
ordenados em quatro partes iguais. Aproximadamente ¼ dos dados está acima ou abaixo do
primeiro quartil Q1. Aproximadamente metade dos dados acima ou abaixo do segundo quartil
Q2. Aproximadamente 3/4dos dados acima estão acima ou abaixo do terceiro quartil Q3.
Exemplo:
Amostra: 6, 47, 49, 15, 42, 41, 7, 39, 43, 40, 36
Amostra ordenada: 6, 7, 15, 36, 39, 40, 41, 42, 43, 47, 49
Q1/4 = 15 → 11/2 = 5,5/2 ≈ 3
Q2/4 = 40
Q3/4 = 43
13ª Semana: Distribuição de Probabilidades Normais
Definição:
Existe uma infinidade de distribuição normal, cada uma com sua própria media
e desvio padrão. A distribuição normal com media de 0 e um desvio padrão de 1 é chamada
de distribuição normal padrão.Onde, a escala horizontal do gráfico da distribuição normal
padrão corresponde ao z-escore(medida de posição que indica o numero de desvios padrão de
um valor a partir da média.
Sendo assim é uma distribuição normal com uma média de 0 e um desvio padrão de 1.
Exemplo
Suponha que o tempo necessário para atendimento de clientes em uma central de
atendimento telefônico siga uma distribuição normal de média de 8 minutos e desvio padrão
de 2 minutos.
(a) Qual é a probabilidade de que um atendimento dure menos de 5 minutos?
(b) E mais do que 9,5 minutos?
(c) E entre 7 e 10 minutos?
(d)75% das chamadas telefônicas requerem pelo menos quanto tempo de atendimento?
Resolução
Seja X: tempo necessário para atendimento de clientes em uma central de atendimento
telefônico X~N(8, 22
)
(a) Qual é a probabilidade de que um atendimento dure menos de 5 minutos?

3. =≤−=>=−<=




 −
<=< )5,1(1)5,1()5,1(
2
85
)5( ZPZPZPZPXP 1-0,9332 = 0,0668
Portanto, a probabilidade de que um atendimento dure menos de 5 minutos é 6,68%.
(b) E mais do que 9,5 minutos?
2266,07734,01)75,0(1)75,0(
2
85,9
)5,9( =−=≤−=>=




 −
>=> ZPZPZPXP .
Portanto, a probabilidade de que um atendimento dure mais do que 9,5 minutos é
22,66%.
(c) E entre 7 e 10 minutos?
=−<−<=<<−=




 −
<<
−
=<< )5,0()1()15,0(
2
810
2
87
)107( ZPZPZPZPXP
[ ] 5328,0)6915,01(8413,0)5,0(1)1()5,0()1( =−−=≤−−<=>−<= ZPZPZPZP
Portanto, a probabilidade de que um atendimento dure entre 7 e 10 minutos é
53,28%.
(d)75% das chamadas telefônicas requerem pelo menos quanto tempo de
atendimento?
8
( ) 0,75 0,75
2
x
P X x P Z
− 
> = ⇒ > = 
 
x é tal que
( 8)
0,75
2
x
A
− 
− = 
 
.
Então,
8
0,67 8 0,67*2 6,7
2
x
x
−
− = ⇒ = − ≅
Portanto, 75% das chamadas telefônicas requerem pelo menos 6,7 minutos de
atendimento.
14ª Semana: Distribuições Normais: Encontrando Probabilidades
Para encontrar a área sob qualquer curva normal, primeiro, converta os limites
superiores e inferiores do intervalo para z-escore. Em seguida, usar a distribuição normal
padrão para encontrar a área.
Exemplo:

4. Para achar a área sob a curva normal devemos conhecer dois valores numéricos, a
média e o desvio padrão .
Quando e são desconhecidos (caso mais comum), estes valores serão estimados por
.
Para cada valor de e/ou temos uma curva de distribuição de probabilidade. Porém,
para se calcular áreas específicas fazem-se uso de uma distribuição particular: a "distribuição
normal padronizada", também chamada de Standartizada ou reduzida, o qual é a distribuição
normal com e . Para obter tal distribuição, isto é, quando se tem uma variável
com distribuição normal com média diferente de (zero) e/ou desvio padrão diferente de
(um), devemos reduzi-la a uma variável , efetuando o seguinte cálculo:
Z= X – μ
σ
Exemplo:
Suponha que a espessura média de arruelas produzidas em uma fábrica tenha
distribuição normal com média mm e desvio padrão mm. Qual a porcentagem de
arruelas que tem espessura entre mm e mm?
Para encontrar a porcentagem de arruelas com a espessura desejada devemos encontrar
a área abaixo da curva normal, compreendida entre os pontos e mm.
Para isso, temos que encontrar dois pontos da distribuição normal padronizada.
O primeiro ponto é:
Resolução
Z¹ = 8,70 – 11,5 = -1,09
2,238
A área para valores maiores do que é , ou seja, . Portanto, a área
para valores menores do que é de .
O segundo ponto é:
Z = 14,70 – 11,15 = 1,58
2,238
A área para valores maiores do que é , ou seja, . Logo, o que
procuramos é a área entre e , que é dada por
1 – ( 0,1379 + 0,0571 ) = 1- 0,195 = 0,8050
Logo, a porcentagem de arruelas com espessura entre e (limites de
tolerância da especificação) é de .

5. 15ª Semana: Distribuições Normais: Encontrando Valores
Encontrando z-escore; Transformando um z- escore em um valor x; Encontrando um
dado de valor especifico para uma dada probabilidade.
Contudo, o que devemos aprender para encontrar valores, é encontrar um z-escore
dado à área sob a curva normal e como transformar um z-escore em um valor x e ainda, como
encontrar o valor de um dado específico de uma distribuição normal dada a probabilidade.
Exemplo: Encontrando um z-escore
Em estatística, o z-escore (ou escore padrão) é usado para comparar médias de
conjuntos de dados diferentes homogeneamente distribuídos. O escore indica quantos desvios
padrões uma observação está acima ou abaixo da média. O z-escore é útil em pesquisas
utilizando análise estatística porque permite a comparação de valores de observações de
diferentes distribuições normais. De fato, quando itens de diferentes conjuntos de dados são
transformados em z-escores, eles tornam-se passíveis de serem comparados. Este artigo
mostrará como se calcular um z-escore.
1. A fórmula para se calcular o z-escore (ou escore padrão) é: z = (x - μ) / σ
2. As variáveis na fórmula do z-escore são: z = z-escore x = escore bruto ou
observação a ser padronizada μ = média da população σ = desvio padrão da população
Exemplo de cálculo de z-escore:
Você tem uma observação de 14,75; uma média populacional de 12,2 e um desvio
padrão de 1,75. Agora, o z-escore ficaria da seguinte forma:
z = (14,75 - 12,2)/1,75 z-escore = 1,46
Exemplo: Encontrando um z-escore, dado um percentil
Um percentil indica que há x% de dados inferiores
Ou seja, os percentis dividem o conjunto de dados em 100 partes iguais. Há, portanto,
99 percentis
Ex.: o P92 (92o percentil) indica que há 92% de dados inferiores.
Semana 16ª: Transformando um z-escore para um valor x
Veja para transformar valor x para um z-escore, devemos usar a fórmula:
Transformar um z-escore padrão em um dado de valor x em uma dada população use a
fórmula
z = x-µ

6. σ
Essa fórmula dá z em termos de x. Se resolvermos essa fórmula para x, obteremos uma
nova fórmula que dá x em termos de z.
z = x-µ Fórmula para z em termos de x.
σ
z.σ = x - µ Multiplique cada lado de σ.
µ+ z.σ = x Adicione µ para cada lado
x = µ + z.σ Troque os lados.
Transforme um z-escore em um valor x
Para transformar um z-escore padrão em um dado de valor x em uma dada população,
use a fórmula:
X = µ + z.σ
Exemplo 01:
As pontuações em um concurso público estão normalmente distribuídas, com média de
152 e desvio padrão de 7. Determine a pontuação de um candidato com escore z:
(a) 2,33 (b) –1,75 (c) 0
(a) x = 152 + (2,33)(7) = 168,31
(b) x = 152 + (–1,75)(7) = 139,75
(c) x = 152 + (0)(7) = 152
Exemplo 02:
As contas mensais de serviços públicos em determinada cidade são normalmente
distribuídas, com média de US$100 e desvio padrão de US$12. Qual é o valor mais baixo
entre os 10% mais altos?
Determine, na tabela, a área acumulada mais próxima a 0,9000 (o 90º percentil). A
área 0,8997 corresponde a um escore z de 1,28.
Para determinar o valor x correspondente, use: X = µ + z.
x = 100 + 1,28(12) = 115,36.
Conclusão

7. Como visto anteriormente, o tema e palavra chave deste trabalho é distribuições de
probabilidade, que por sua vez, é indispensável, por exemplo, em diversas área do
conhecimento,em prol de um único objetivo,coleta de dados para posterior analise.
Contudo, é um instrumento matemático, que nos auxilia para tirar devidas
conclusões com base nos dados colhidos conforme a pesquisa realizada, ou seja,é um
processo de obtenção,organização e analise de dados de uma população,ou ser qualquer, para
fazer levantamento ou trazer melhorias,por exemplo.
Portanto, a resolução e ou conclusão do estudo ou pesquisa realizada, os dados
ali expostos poderá ter como um instrumento complementar ilustrativo, uma representação
gráfica de desenho ou figura geométrica, ou ate mesmo uma tabela.
Sendo assim, a questão agora é saber colher corretamente os dados, para assim
saber, qual das formulas usar. Os vários exemplos citados acima é apenas um resumo da
distribuição de probabilidade.

8. Referencias Bibliográficas
DANTAS, Carlos A. B. Probabilidade: um curso introdutório. 3 ed. São Paulo:
EDUSP, 2008;
MEYER, P.L. - Probabilidade, aplicações à estatística. Rio de Janeiro: LTC,
1972
http://pt.wikipedia.org/wiki/Quartil