O documento discute o cálculo e interpretação da variância e desvio padrão. Apresenta três casos: 1) dados brutos ou rol, 2) variável discreta, 3) variável contínua. Fornece fórmulas para calcular a variância e desvio padrão para populações e amostras, e exemplos ilustrativos para cada caso.
O documento introduz conceitos sobre medidas de dispersão e descreve o cálculo da amplitude total e do desvio médio simples. Apresenta três casos para o cálculo destas medidas: 1) variável discreta com dados brutos, 2) variável discreta, e 3) variável contínua. Fornece exemplos detalhados para cada caso.
O documento explica o conceito e cálculo de medidas separatrizes como quartis, quintis, decis e percentis. Descreve três casos para o cálculo: 1) dados brutos ou rol, 2) variável discreta, 3) variável contínua. Fornece fórmulas e exemplos para ilustrar o cálculo destas medidas a partir de diferentes tipos de dados.
O documento discute o cálculo e interpretação da variância e desvio padrão. Apresenta três casos: 1) dados brutos ou rol, onde calcula a variância e desvio padrão de uma série de dados; 2) variável discreta, onde mostra como calcular essas medidas para dados com repetições; 3) variável contínua, explicando o cálculo para dados agrupados em classes.
MEDIDAS DE DISPERSÃO introduz medidas de dispersão absoluta como amplitude total e desvio médio simples. A amplitude total é a diferença entre o maior e menor valor da série. O desvio médio simples é a média aritmética dos desvios de cada elemento em relação à média da série. O documento explica o cálculo destas medidas para variáveis discretas e contínuas.
Aula de distribuição de probabilidade[1] cópiaTuane Paixão
O documento discute distribuições de probabilidade e experimentos aleatórios. Ele apresenta exemplos de variáveis aleatórias discretas e contínuas e explica como construir distribuições de probabilidade a partir de dados. Também explica experimentos binomiais e como calcular probabilidades usando a distribuição binomial.
O documento discute conceitos estatísticos como distribuição de probabilidades, distribuições discretas e contínuas. Explica que distribuições discretas envolvem variáveis aleatórias que podem ser contadas, como número de ocorrências, e fornece exemplos de formas de distribuição discreta. Também descreve características gerais de distribuições contínuas e exemplos como uniforme e normal.
1) A distribuição normal é uma distribuição simétrica em forma de sino que é especificada pelos parâmetros média (μ ou x) e desvio padrão (σ ou s).
2) A distribuição normal padronizada tem média 0 e desvio padrão 1 e facilita os cálculos de probabilidade usando tabelas.
3) Para distribuições normais não-padronizadas, valores são convertidos para valores padronizados usando a fórmula z = (x - μ)/σ antes de usar as tabelas.
As três distribuições de probabilidade mais comuns são a binomial, normal e uniforme. A distribuição binomial se aplica a variáveis discretas, enquanto a normal é usada para variáveis contínuas. O documento explica como calcular medidas como esperança matemática e variância para essas distribuições e fornece exemplos de sua aplicação em problemas reais.
O documento introduz conceitos sobre medidas de dispersão e descreve o cálculo da amplitude total e do desvio médio simples. Apresenta três casos para o cálculo destas medidas: 1) variável discreta com dados brutos, 2) variável discreta, e 3) variável contínua. Fornece exemplos detalhados para cada caso.
O documento explica o conceito e cálculo de medidas separatrizes como quartis, quintis, decis e percentis. Descreve três casos para o cálculo: 1) dados brutos ou rol, 2) variável discreta, 3) variável contínua. Fornece fórmulas e exemplos para ilustrar o cálculo destas medidas a partir de diferentes tipos de dados.
O documento discute o cálculo e interpretação da variância e desvio padrão. Apresenta três casos: 1) dados brutos ou rol, onde calcula a variância e desvio padrão de uma série de dados; 2) variável discreta, onde mostra como calcular essas medidas para dados com repetições; 3) variável contínua, explicando o cálculo para dados agrupados em classes.
MEDIDAS DE DISPERSÃO introduz medidas de dispersão absoluta como amplitude total e desvio médio simples. A amplitude total é a diferença entre o maior e menor valor da série. O desvio médio simples é a média aritmética dos desvios de cada elemento em relação à média da série. O documento explica o cálculo destas medidas para variáveis discretas e contínuas.
Aula de distribuição de probabilidade[1] cópiaTuane Paixão
O documento discute distribuições de probabilidade e experimentos aleatórios. Ele apresenta exemplos de variáveis aleatórias discretas e contínuas e explica como construir distribuições de probabilidade a partir de dados. Também explica experimentos binomiais e como calcular probabilidades usando a distribuição binomial.
O documento discute conceitos estatísticos como distribuição de probabilidades, distribuições discretas e contínuas. Explica que distribuições discretas envolvem variáveis aleatórias que podem ser contadas, como número de ocorrências, e fornece exemplos de formas de distribuição discreta. Também descreve características gerais de distribuições contínuas e exemplos como uniforme e normal.
1) A distribuição normal é uma distribuição simétrica em forma de sino que é especificada pelos parâmetros média (μ ou x) e desvio padrão (σ ou s).
2) A distribuição normal padronizada tem média 0 e desvio padrão 1 e facilita os cálculos de probabilidade usando tabelas.
3) Para distribuições normais não-padronizadas, valores são convertidos para valores padronizados usando a fórmula z = (x - μ)/σ antes de usar as tabelas.
As três distribuições de probabilidade mais comuns são a binomial, normal e uniforme. A distribuição binomial se aplica a variáveis discretas, enquanto a normal é usada para variáveis contínuas. O documento explica como calcular medidas como esperança matemática e variância para essas distribuições e fornece exemplos de sua aplicação em problemas reais.
O documento descreve as distribuições de probabilidade contínuas, incluindo a distribuição uniforme e a distribuição normal. A distribuição uniforme possui função densidade constante dentro de um intervalo, enquanto a distribuição normal tem forma de sino simétrico em torno da média. O documento fornece fórmulas para calcular média, variância e probabilidades nestas distribuições.
O documento descreve as características da distribuição normal de probabilidades. Explica que a distribuição normal tem forma de sino, é simétrica em relação à média e é caracterizada pela média e desvio padrão. Também fornece exemplos de como calcular probabilidades usando a distribuição normal.
O documento descreve os principais conceitos da distribuição normal, incluindo: (1) sua função de densidade de probabilidade e padronização; (2) análise gráfica mostrando como a curva é simétrica em torno da média e a porcentagem de área sob a curva em cada intervalo de desvios padrão; (3) um exemplo ilustrando como calcular probabilidades a partir da transformação de variáveis e consulta à tabela.
A distribuição T de Student é uma distribuição estatística usada para testar hipóteses quando a variância da população é desconhecida. O documento explica que a distribuição T é similar à distribuição normal padrão, mas com variação maior devido à estimativa da variância amostral. Também fornece exemplos de como calcular valores T e interpretar resultados em termos de probabilidade com base nas tabelas da distribuição T.
Este documento fornece informações sobre estatística descritiva e técnicas de descrição gráfica. Ele discute conceitos como população, amostra, variáveis, frequências, medidas de tendência central e dispersão. O documento também apresenta exemplos de tabelas, gráficos e cálculos estatísticos como média, mediana e quantis.
O documento descreve as variáveis aleatórias contínuas e a distribuição normal. Discutem-se a função de densidade de probabilidade, a distribuição normal padrão N(0,1) e como usar a tabela de valores desta distribuição para calcular probabilidades. Dois exemplos ilustram como aplicar a distribuição normal para resolver problemas reais envolvendo peso ao nascer.
Este documento descreve como construir intervalos de confiança para a média de uma população normal quando a variância é desconhecida. Explica que se deve estimar a variância com S2 e usar a distribuição t de Student em vez da normal. Fornece exemplos de como calcular valores críticos da t de Student e construir intervalos de confiança para a média populacional com base nos dados amostrais.
O documento discute a distribuição normal, explicando suas propriedades como média, variância e desvio padrão. Também mostra como calcular probabilidades usando a tabela da distribuição normal padrão e fazendo transformações quando os parâmetros são diferentes.
Uma pesquisa de 1986 no Rio de Janeiro mostrou que a maioria dos entrevistados (29,27%) apontou segurança/violência como o problema mais grave do estado. Educação foi apontado por 13,01% e saúde por 12,36%. Os outros problemas receberam menos de 10% cada.
1) A distribuição normal é uma distribuição simétrica em forma de sino que é especificada pelos parâmetros média (μ ou x) e desvio padrão (σ ou s).
2) A distribuição normal padronizada tem média 0 e desvio padrão 1 e facilita os cálculos de probabilidade ao transformar outras distribuições normais nesta distribuição de referência.
3) As probabilidades em distribuições normais são calculadas usando a área sob a curva da densidade de probabilidade ou a tabela da distribuição normal padronizada.
O documento descreve os principais modelos de probabilidade. Apresenta os conceitos de modelo discreto, contínuo, finito e infinito. Explica como calcular a média e variância populacional para modelos de probabilidade e fornece exemplos de modelos discretos como o uniforme, de Poisson, geométrico e binomial. Também explica modelos contínuos como o uniforme, exponencial e normal.
1) O documento discute conceitos estatísticos como distribuição normal, uniforme e probabilidades. 2) A distribuição normal é descrita como uma das mais importantes e amplamente usadas em pesquisas, com média e desvio padrão como parâmetros. 3) Exemplos ilustram como calcular probabilidades usando a distribuição normal reduzida e tabelas Z.
a. A distribuição normal descreve variáveis aleatórias contínuas com média e desvio padrão bem definidos. Sua curva tem forma de sino e é simétrica em relação à média.
b. A área sob a curva normal entre ±1 desvio padrão é igual a 68%, entre ±2 desvios padrões é igual a 95% e entre ±3 desvios padrões é igual a 99,7%.
c. O erro padrão da média diminui com o aumento do tamanho da amostra e é dado por s/raiz(n),
O documento apresenta resoluções de exercícios que envolvem o cálculo de intervalos de confiança para médias e proporções populacionais com base em amostras. O primeiro exercício trata da obtenção de um intervalo de confiança para a média do diâmetro de esferas de rolamento produzidas por uma máquina. O segundo exercício estima um intervalo de confiança para a proporção de implantes mamários fabricados dentro de especificações de tensão.
Este capítulo discute a análise de regressão múltipla e a inferência estatística. Apresenta os testes t e intervalos de confiança para os coeficientes de regressão e discute a importância da hipótese de normalidade dos resíduos para a aplicação correta destes testes. Também introduz o teste de Jarque-Bera para avaliar a normalidade dos resíduos.
Este capítulo discute o modelo de regressão múltipla com duas variáveis explicativas e apresenta os
estimadores de mínimos quadrados ordinários. Os coeficientes parciais de regressão medem o efeito
de cada variável explicativa sobre a variável dependente quando o efeito da outra variável é
mantido constante. Os estimadores MQO são obtidos resolvendo um sistema de equações que
envolve a matriz dos dados e os vetores de parâmetros e erros. A variância dos estimadores
depende de um parâmetro que mede a variância dos
1. O documento descreve modelos de regressão com variáveis binárias, explicando como especificar corretamente variáveis qualitativas com m categorias para evitar colinearidade.
2. É apresentado um exemplo usando dados eleitorais do Rio de Janeiro para ilustrar como interpretar os coeficientes em modelos com e sem termo constante.
3. Os resultados mostram que a região da cidade influencia os percentuais de votos brancos e nulos, sendo menores nas zonas Sul e Norte.
Este documento discute conceitos estatísticos como distribuições de probabilidade normal e medidas de posição. Ele fornece exemplos de como calcular probabilidades, quartis, z-scores e transformar entre valores x e z-scores usando fórmulas de distribuição normal. O documento conclui que a estatística é uma ferramenta importante para análise de dados e conclusões com base em pesquisas.
O documento discute variáveis aleatórias contínuas, definindo-as como funções que assumem valores em um intervalo de números reais. Explica como atribuir probabilidades a variáveis contínuas usando funções de densidade de probabilidade, e como calcular medidas como média, variância e probabilidades para variáveis aleatórias contínuas usando integrais. Fornece exemplos ilustrativos sobre profundidade de lençol freático e tempo de teste.
AMD - Aula n.º 8 - regressão linear simples.pptxNunoSilva599593
Este documento discute técnicas de análise multivariada de dados, incluindo: (1) diagramas de dispersão para analisar relações entre variáveis; (2) regressão linear simples para modelar relações entre variáveis dependentes e independentes; e (3) testes estatísticos para avaliar o ajuste do modelo à população de dados.
Aula de distribuição de probabilidade[1]Tuane Paixão
O documento descreve como combinar estatística descritiva e probabilidade para prever eventos. Explica como usar uma distribuição de probabilidades para determinar a chance de não chover ou chover em um, dois ou três dias.
[1] O documento apresenta um resumo sobre cadeias de Markov, que são processos estocásticos onde a probabilidade do estado atual depende apenas do estado anterior e não dos estados anteriores. [2] É definido o que são sequências aleatórias e variáveis aleatórias discretas. [3] São apresentados exemplos de como calcular as probabilidades de transição entre estados em cadeias de Markov de primeiro e segundo passo.
O documento descreve as distribuições de probabilidade contínuas, incluindo a distribuição uniforme e a distribuição normal. A distribuição uniforme possui função densidade constante dentro de um intervalo, enquanto a distribuição normal tem forma de sino simétrico em torno da média. O documento fornece fórmulas para calcular média, variância e probabilidades nestas distribuições.
O documento descreve as características da distribuição normal de probabilidades. Explica que a distribuição normal tem forma de sino, é simétrica em relação à média e é caracterizada pela média e desvio padrão. Também fornece exemplos de como calcular probabilidades usando a distribuição normal.
O documento descreve os principais conceitos da distribuição normal, incluindo: (1) sua função de densidade de probabilidade e padronização; (2) análise gráfica mostrando como a curva é simétrica em torno da média e a porcentagem de área sob a curva em cada intervalo de desvios padrão; (3) um exemplo ilustrando como calcular probabilidades a partir da transformação de variáveis e consulta à tabela.
A distribuição T de Student é uma distribuição estatística usada para testar hipóteses quando a variância da população é desconhecida. O documento explica que a distribuição T é similar à distribuição normal padrão, mas com variação maior devido à estimativa da variância amostral. Também fornece exemplos de como calcular valores T e interpretar resultados em termos de probabilidade com base nas tabelas da distribuição T.
Este documento fornece informações sobre estatística descritiva e técnicas de descrição gráfica. Ele discute conceitos como população, amostra, variáveis, frequências, medidas de tendência central e dispersão. O documento também apresenta exemplos de tabelas, gráficos e cálculos estatísticos como média, mediana e quantis.
O documento descreve as variáveis aleatórias contínuas e a distribuição normal. Discutem-se a função de densidade de probabilidade, a distribuição normal padrão N(0,1) e como usar a tabela de valores desta distribuição para calcular probabilidades. Dois exemplos ilustram como aplicar a distribuição normal para resolver problemas reais envolvendo peso ao nascer.
Este documento descreve como construir intervalos de confiança para a média de uma população normal quando a variância é desconhecida. Explica que se deve estimar a variância com S2 e usar a distribuição t de Student em vez da normal. Fornece exemplos de como calcular valores críticos da t de Student e construir intervalos de confiança para a média populacional com base nos dados amostrais.
O documento discute a distribuição normal, explicando suas propriedades como média, variância e desvio padrão. Também mostra como calcular probabilidades usando a tabela da distribuição normal padrão e fazendo transformações quando os parâmetros são diferentes.
Uma pesquisa de 1986 no Rio de Janeiro mostrou que a maioria dos entrevistados (29,27%) apontou segurança/violência como o problema mais grave do estado. Educação foi apontado por 13,01% e saúde por 12,36%. Os outros problemas receberam menos de 10% cada.
1) A distribuição normal é uma distribuição simétrica em forma de sino que é especificada pelos parâmetros média (μ ou x) e desvio padrão (σ ou s).
2) A distribuição normal padronizada tem média 0 e desvio padrão 1 e facilita os cálculos de probabilidade ao transformar outras distribuições normais nesta distribuição de referência.
3) As probabilidades em distribuições normais são calculadas usando a área sob a curva da densidade de probabilidade ou a tabela da distribuição normal padronizada.
O documento descreve os principais modelos de probabilidade. Apresenta os conceitos de modelo discreto, contínuo, finito e infinito. Explica como calcular a média e variância populacional para modelos de probabilidade e fornece exemplos de modelos discretos como o uniforme, de Poisson, geométrico e binomial. Também explica modelos contínuos como o uniforme, exponencial e normal.
1) O documento discute conceitos estatísticos como distribuição normal, uniforme e probabilidades. 2) A distribuição normal é descrita como uma das mais importantes e amplamente usadas em pesquisas, com média e desvio padrão como parâmetros. 3) Exemplos ilustram como calcular probabilidades usando a distribuição normal reduzida e tabelas Z.
a. A distribuição normal descreve variáveis aleatórias contínuas com média e desvio padrão bem definidos. Sua curva tem forma de sino e é simétrica em relação à média.
b. A área sob a curva normal entre ±1 desvio padrão é igual a 68%, entre ±2 desvios padrões é igual a 95% e entre ±3 desvios padrões é igual a 99,7%.
c. O erro padrão da média diminui com o aumento do tamanho da amostra e é dado por s/raiz(n),
O documento apresenta resoluções de exercícios que envolvem o cálculo de intervalos de confiança para médias e proporções populacionais com base em amostras. O primeiro exercício trata da obtenção de um intervalo de confiança para a média do diâmetro de esferas de rolamento produzidas por uma máquina. O segundo exercício estima um intervalo de confiança para a proporção de implantes mamários fabricados dentro de especificações de tensão.
Este capítulo discute a análise de regressão múltipla e a inferência estatística. Apresenta os testes t e intervalos de confiança para os coeficientes de regressão e discute a importância da hipótese de normalidade dos resíduos para a aplicação correta destes testes. Também introduz o teste de Jarque-Bera para avaliar a normalidade dos resíduos.
Este capítulo discute o modelo de regressão múltipla com duas variáveis explicativas e apresenta os
estimadores de mínimos quadrados ordinários. Os coeficientes parciais de regressão medem o efeito
de cada variável explicativa sobre a variável dependente quando o efeito da outra variável é
mantido constante. Os estimadores MQO são obtidos resolvendo um sistema de equações que
envolve a matriz dos dados e os vetores de parâmetros e erros. A variância dos estimadores
depende de um parâmetro que mede a variância dos
1. O documento descreve modelos de regressão com variáveis binárias, explicando como especificar corretamente variáveis qualitativas com m categorias para evitar colinearidade.
2. É apresentado um exemplo usando dados eleitorais do Rio de Janeiro para ilustrar como interpretar os coeficientes em modelos com e sem termo constante.
3. Os resultados mostram que a região da cidade influencia os percentuais de votos brancos e nulos, sendo menores nas zonas Sul e Norte.
Este documento discute conceitos estatísticos como distribuições de probabilidade normal e medidas de posição. Ele fornece exemplos de como calcular probabilidades, quartis, z-scores e transformar entre valores x e z-scores usando fórmulas de distribuição normal. O documento conclui que a estatística é uma ferramenta importante para análise de dados e conclusões com base em pesquisas.
O documento discute variáveis aleatórias contínuas, definindo-as como funções que assumem valores em um intervalo de números reais. Explica como atribuir probabilidades a variáveis contínuas usando funções de densidade de probabilidade, e como calcular medidas como média, variância e probabilidades para variáveis aleatórias contínuas usando integrais. Fornece exemplos ilustrativos sobre profundidade de lençol freático e tempo de teste.
AMD - Aula n.º 8 - regressão linear simples.pptxNunoSilva599593
Este documento discute técnicas de análise multivariada de dados, incluindo: (1) diagramas de dispersão para analisar relações entre variáveis; (2) regressão linear simples para modelar relações entre variáveis dependentes e independentes; e (3) testes estatísticos para avaliar o ajuste do modelo à população de dados.
Aula de distribuição de probabilidade[1]Tuane Paixão
O documento descreve como combinar estatística descritiva e probabilidade para prever eventos. Explica como usar uma distribuição de probabilidades para determinar a chance de não chover ou chover em um, dois ou três dias.
[1] O documento apresenta um resumo sobre cadeias de Markov, que são processos estocásticos onde a probabilidade do estado atual depende apenas do estado anterior e não dos estados anteriores. [2] É definido o que são sequências aleatórias e variáveis aleatórias discretas. [3] São apresentados exemplos de como calcular as probabilidades de transição entre estados em cadeias de Markov de primeiro e segundo passo.
O documento discute o conceito de derivada, definindo-a matematicamente como a taxa de variação instantânea de uma função. Explica sua interpretação física e fornece exemplos para ilustrar como derivar funções e interpretar geometricamente a derivada como a inclinação da reta tangente.
O documento discute o conceito de derivada, definindo-a matematicamente como a taxa de variação instantânea de uma função. Explica sua interpretação física e fornece exemplos ilustrativos sobre sua aplicação para calcular velocidade, taxa de crescimento e equações de retas tangentes.
1) O documento discute o conceito de variável aleatória e apresenta modelos de distribuição de probabilidade para variáveis aleatórias discretas, como a distribuição binomial e de Poisson.
2) É definido o que é uma variável aleatória, valor esperado, variância, distribuição de probabilidade e função de distribuição.
3) São apresentados exemplos para ilustrar esses conceitos e propriedades matemáticas associadas.
O documento discute taxas relacionadas e diferenciais no cálculo. Aborda como derivar taxas de variação de variáveis relacionadas por equações e como usar aproximações diferenciais para estimar variações de funções. Fornece exemplos ilustrativos sobre taxas relacionadas em problemas físicos e uso de diferenciais.
Aplicações da equação de Schrödinger independente do tempoLucas Guimaraes
Equação de Schrödinger; Interpretação probabilística da função de onda; Normalização; Equação de Schrödinger independente do tempo; Poço potencial quadrado infinito; Poço potencial quadrado finito.
(apresentação publicada com autorização do autor).
Este documento apresenta os conceitos básicos de regressão linear simples, incluindo a obtenção da equação da reta de regressão por meio do método dos mínimos quadrados e a análise dos resultados, verificando pressupostos e significância estatística da regressão por meio de testes.
Este documento discute conceitos básicos de variáveis aleatórias reais e suas distribuições de probabilidade. Primeiro, define-se variável aleatória real e apresenta-se sua função distribuição de probabilidade cumulativa. Em seguida, discutem-se propriedades das variáveis aleatórias discretas, contínuas e mistas, e introduz-se a função densidade de probabilidade. Por fim, exemplificam-se distribuições como uniforme, normal e exponencial.
Este documento apresenta conceitos básicos sobre variáveis aleatórias discretas, incluindo:
1) Função de probabilidade e função de distribuição de probabilidade acumulada, que descrevem a probabilidade de valores específicos de uma variável aleatória;
2) Medidas descritivas como valor esperado e variância, que fornecem informações sobre a localização e dispersão dos valores da variável aleatória.
3) Exemplos de distribuições de probabilidade discretas como binomial, hipergeométrica e Poisson.
O documento discute modelos de regressão linear, descrevendo como eles podem ser usados para modelar a relação entre uma variável dependente (Y) e uma ou mais variáveis independentes (X). Explica como calcular os parâmetros da equação de regressão linear usando o método dos mínimos quadrados e como medir a precisão do modelo com o erro padrão da estimativa e o coeficiente de determinação.
O documento apresenta os conceitos fundamentais de derivadas matemáticas, incluindo: (1) como calcular a reta tangente a uma curva no ponto P; (2) como a derivada representa a velocidade instantânea de um objeto em movimento; e (3) como a derivada representa a taxa de variação instantânea de uma função.
Matemática, Cálculo, Análise,Integrais, Superfcie, Vetor normal, plano tangente, Integral, superfície, campo escalar, campo vetorial, Teorema da divergência, Teorema de Stokes
Se quiser a fonte em LaTeX ofereço com todo o gosto: sandra.gaspar.martins@gmail.com
Este documento apresenta um capítulo sobre funções reais de duas ou mais variáveis reais. Apresenta exemplos de funções de duas e três variáveis, define formalmente o que é uma função de n variáveis reais e explica a representação gráfica do domínio e do gráfico destas funções. Explora ainda curvas e superfícies de nível, exemplos de seções cônicas e esboços de gráficos usando curvas de nível.
Este documento discute métodos numéricos para determinar zeros reais de funções reais. É dividido em três seções: 1) Isolamento de raízes, que trata da análise teórica e gráfica da função para isolar intervalos contendo cada raiz; 2) Refinamento de raízes, que apresenta métodos iterativos como a bisseção para refinar as aproximações das raízes; e 3) Critérios de parada para os métodos iterativos.
1) O documento apresenta um resumo sobre funções e gráficos, incluindo definições de função, domínio, contradomínio e gráfico.
2) São apresentados exemplos de funções afins e quadráticas, com a explicação de como construir seus respectivos gráficos a partir de pontos escolhidos.
3) O autor explica a importância de se conhecer o gráfico de uma função para determinar completamente a função e saber se ela cresce ou decresce.
1) O documento discute inferência para cadeias de Markov, incluindo definições de processos estocásticos, propriedade de Markov e cadeias de Markov homogêneas.
2) Apresenta um exemplo de molhamento foliar em culturas de soja e como um modelo de regressão logística pode ser usado para introduzir dependência temporal.
3) Discute a estimação de parâmetros para cadeias de Markov usando máxima verossimilhança.
O documento discute medidas estatísticas de dispersão como variância, desvio padrão e coeficiente de variação. Apresenta fórmulas para calcular essas medidas e exemplos numéricos de seu cálculo. Explica como essas medidas podem ser usadas para comparar conjuntos de dados e tomar decisões com base na variabilidade dos valores em relação à média.
O documento discute os conceitos de juros compostos, incluindo:
1) A definição de juros compostos e como eles se acumulam de forma exponencial ao longo do tempo;
2) Fórmulas para calcular o montante e o valor presente a juros compostos;
3) O conceito de equivalência de capitais e a equação de valor.
O documento discute o cálculo e interpretação da variância e desvio padrão. Apresenta três casos: 1) dados brutos ou rol, onde calcula a variância e desvio padrão de uma série de dados; 2) variável discreta, onde mostra como calcular essas medidas para dados com repetições; 3) variável contínua, explicando o cálculo para dados agrupados em classes.
Este documento apresenta os conceitos e cálculos de medidas separatrizes em estatística. Explica medidas como quartis, quintis, decis e percentis, e fornece três casos para o cálculo destas medidas em dados brutos, variáveis discretas e contínuas, ilustrando com exemplos em cada caso.
Este documento trata sobre congruencias matemáticas. Explica la definición formal de congruencia y que define una relación de equivalencia. Presenta teoremas sobre operaciones con congruencias y aplicaciones como el Pequeño Teorema de Fermat. Incluye ejemplos y problemas para ilustrar los conceptos.
O documento discute sequências matemáticas, especificamente progressões aritméticas e geométricas. Apresenta definições, fórmulas e exemplos de sequências finitas e infinitas, progressões aritméticas e suas classificações, além de fornecer exercícios sobre o assunto.
O documento apresenta 4 exercícios matemáticos sobre equações modulares, determinação de valores, conjuntos solução e intervalos, que devem ser resolvidos em grupo de até 5 alunos.
O documento contém 10 exercícios de geometria sobre volumes e áreas de figuras geométricas como prisma, pirâmide, cubo e cilindro. As respostas incluem expressões algébricas e cálculos numéricos para determinar medidas como volume, área lateral, distância entre faces e altura.
Este documento descreve dois jogos matemáticos utilizando palitos de fósforo e um tabuleiro para ensinar adição e subtração de números inteiros. No primeiro jogo, os alunos resolvem enigmas movendo um ou dois palitos. No segundo jogo, eles avançam ou recuam casas em um tabuleiro lançando dois dados, aprendendo sobre os resultados das operações. O documento fornece instruções passo a passo e sugestões de perguntas para os alunos.
O documento discute diferentes formas de contar permutações circulares e combinações completas. Explica que o número de modos de colocar n objetos em um círculo é dado por (PC)n, e que (PC)n é diferente de Pn. Também mostra que o número de modos de escolher p objetos entre n é dado por nC p.
A agenda anuncia os eventos de uma greve de professores durante a semana de 22 a 26 de abril. Inclui visitas a escolas e municípios para divulgação da greve, o início da greve na terça-feira com a inauguração da sede do sindicato, e atos públicos de panfletagem e blitz nas escolas durante a semana.
O documento apresenta a agenda da greve do Núcleo Açailândia com as atividades planejadas entre os dias 22 a 26 de abril, incluindo visitas às escolas, início da greve no dia 23, inauguração da sede sindical, panfletagem no centro da cidade e blitz nas escolas.
A agenda anuncia os eventos de uma greve de professores durante a semana de 22 a 26 de abril. Inclui visitas a escolas e municípios no dia 22, início da greve e inauguração da sede sindical no dia 23, panfletagem no centro da cidade no dia 24, reunião interna no dia 25 e blitz nas escolas no dia 26.
O documento apresenta a agenda da greve do Núcleo Açailândia com as atividades planejadas entre os dias 22 a 26 de abril, incluindo visitas às escolas, início da greve no dia 23, inauguração da sede sindical, panfletagem no centro da cidade e blitz nas escolas.
O documento discute intervalos reais, definindo-os como subconjuntos da reta real delimitados por desigualdades. Intervalos podem ser fechados, abertos ou semiabertos dependendo se incluem ou não os extremos, e são representados graficamente e por notação matemática. Exemplos ilustram como realizar operações com intervalos como interseção, união e diferença.
O documento discute diferentes formas de contar permutações circulares e combinações completas. Explica que o número de modos de colocar n objetos em um círculo onde rotações são equivalentes é dado por (PC)n, e calcula (PC)n como n!. Também mostra que o número de modos de escolher 4 sorvetes de 7 sabores é dado por C(7,4).
O documento define sequências como funções entre conjuntos de números naturais e um conjunto B qualquer. Ele explica que uma sequência finita mapeia um conjunto finito de números naturais para B, enquanto uma sequência infinita mapeia todos os números naturais para B. O documento também introduz a noção de termos de uma sequência e extremos de uma sequência finita.
Uma função exponencial é definida como f(x) = ax, onde a é uma constante real diferente de zero. Se a for maior que 1, a função será crescente, se a for entre 0 e 1, a função será decrescente. Os gráficos mostram exemplos de funções exponenciais crescente (a = 2) e decrescente (a = 1/2).
O documento descreve a função exponencial como sendo f(x) = ax, onde a é a base e diferente de 1. Exemplos incluem f(x) = 2x e f(x) = 1/2x. O gráfico da função será crescente se a > 1 e decrescente se 0 < a < 1, sempre no domínio e contradomínio reais positivos.
Uma função exponencial é definida como f(x) = ax, onde a é a base e pode ser qualquer número real positivo diferente de 1. Funções exponenciais com base maior que 1 são crescentes, enquanto funções com base entre 0 e 1 são decrescentes. Exemplos incluem f(x) = 2x e f(x) = (1/2)x.
Álcoois: compostos que contêm um grupo hidroxila (-OH) ligado a um átomo de carbono saturado.
Aldeídos: possuem o grupo carbonila (C=O) no final de uma cadeia carbônica.
Cetonas: também contêm o grupo carbonila, mas no meio da cadeia carbônica.
Ácidos carboxílicos: caracterizados pelo grupo carboxila (-COOH).
Éteres: compostos com um átomo de oxigênio ligando duas cadeias carbônicas.
Ésteres: derivados dos ácidos carboxílicos, onde o hidrogênio do grupo carboxila é substituído por um radical alquila ou arila.
Aminas: contêm o grupo amino (-NH2) ligado a um ou mais átomos de carbono.
Esses são apenas alguns exemplos. Existem muitos outros grupos funcionais que definem as propriedades químicas e físicas dos compostos orgânicas.
UFCD_6580_Cuidados na saúde a populações mais vulneráveis_índice.pdfManuais Formação
Manual da UFCD_6580_Cuidados na saúde a populações mais vulneráveis_pronto para envio, via email e formato editável.
Email: formacaomanuaisplus@gmail.com
REGULAMENTO DO CONCURSO DESENHOS AFRO/2024 - 14ª edição - CEIRI /UREI (ficha...Eró Cunha
XIV Concurso de Desenhos Afro/24
TEMA: Racismo Ambiental e Direitos Humanos
PARTICIPANTES/PÚBLICO: Estudantes regularmente matriculados em escolas públicas estaduais, municipais, IEMA e IFMA (Ensino Fundamental, Médio e EJA).
CATEGORIAS: O Concurso de Desenhos Afro acontecerá em 4 categorias:
- CATEGORIA I: Ensino Fundamental I (4º e 5º ano)
- CATEGORIA II: Ensino Fundamental II (do 6º ao 9º ano)
- CATEGORIA III: Ensino Médio (1º, 2º e 3º séries)
- CATEGORIA IV: Estudantes com Deficiência (do Ensino Fundamental e Médio)
Realização: Unidade Regional de Educação de Imperatriz/MA (UREI), através da Coordenação da Educação da Igualdade Racial de Imperatriz (CEIRI) e parceiros
OBJETIVO:
- Realizar a 14ª edição do Concurso e Exposição de Desenhos Afro/24, produzidos por estudantes de escolas públicas de Imperatriz e região tocantina. Os trabalhos deverão ser produzidos a partir de estudo, pesquisas e produção, sob orientação da equipe docente das escolas. As obras devem retratar de forma crítica, criativa e positivada a população negra e os povos originários.
- Intensificar o trabalho com as Leis 10.639/2003 e 11.645/2008, buscando, através das artes visuais, a concretização das práticas pedagógicas antirracistas.
- Instigar o reconhecimento da história, ciência, tecnologia, personalidades e cultura, ressaltando a presença e contribuição da população negra e indígena na reafirmação dos Direitos Humanos, conservação e preservação do Meio Ambiente.
Imperatriz/MA, 15 de fevereiro de 2024.
Produtora Executiva e Coordenadora Geral: Eronilde dos Santos Cunha (Eró Cunha)
A festa junina é uma tradicional festividade popular que acontece durante o m...ANDRÉA FERREIRA
Os historiadores apontam que as origens da Festa Junina estão diretamente relacionadas a festividades pagãs realizadas na Europa no solstício de verão, momento em que ocorre a passagem da primavera para o verão.
A influência do comércio eletrônico no processo de gestão das livrarias e edi...AntonioLobosco3
Artigo extraído da Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Administração de Empresas, Área de Concentração: Estratégia e Inovação, da Universidade Cidade de São Paulo para obtenção do título de Mestre em Administração de Empresas, sob orientação do Prof. Dr. Denis Donaire.
Dicas de normas ABNT para trabalho de conclusão de curso
Aula 08 de estatística
1. Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao
Medidas de dispers˜ao relativa
Prof. Me. Josivaldo Nascimento dos Passos
MEDIDAS DE DISPERS˜AO
UNIVERSIDADE ESTADUAL DO MARANH˜AO
17 de outubro de 2016
Estat´ıtica B´asica
2. Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao
Medidas de dispers˜ao relativa
Sum´ario
Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Introdu¸c˜ao;
Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao;
1o Caso - DADOS BRUTOS OU ROL
2o Caso - Vari´avel Discreta
3o Caso - Vari´avel Cont´ınua
Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao
Medidas de dispers˜ao relativa
Estat´ıtica B´asica
3. Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao
Medidas de dispers˜ao relativa
Introdu¸c˜ao
Observamos no item anterior que a dificuldade em se operar com o
DMS se deve a presen¸ca do m´odulo, para que as diferen¸cas xi − x
possam ser interpretadas como distˆancias.
Outra forma de se conseguir que as diferen¸cas xi − x se tornem
sempre positivas ou nulas ´e considerar o quadrado destas diferen¸cas,
isto ´e: (xi − x)2.
Se substituirmos, nas f´ormulas do DMS a express˜ao xi − x por
(xi − x)2, obteremos nova medida de dispers˜ao chamada variˆancia.
Portanto, variˆancia ´e uma m´edia aritm´etica calculada a partir dos
quadrados dos desvios obtidos entre os elementos da s´erie e a sua
m´edia.
Estat´ıtica B´asica
4. Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao
Medidas de dispers˜ao relativa
Introdu¸c˜ao
O desvio padr˜ao ´e a raiz quadrada positiva da variˆancia.
Em particular, para estas medidas levaremos em considera¸c˜ao o fato
de a sequˆencia de dados representar toda uma popula¸c˜ao ou apenas
uma amostra de uma popula¸c˜ao.
No final desta sec¸c˜ao justificaremos esta necessidade.
Nota¸c˜oes: Quando a sequˆencia de dados representa uma Popula¸c˜ao
a variˆancia ser´a denotada por σ2(x) e o desvio padr˜ao correspon-
dente por σ(x).
Quando a sequˆencia de dados representa uma amostra, a variˆancia
ser´a denotada por s2(x) e o desvio padr˜ao correspondente por s(x).
Estat´ıtica B´asica
5. Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao
Medidas de dispers˜ao relativa
1o
Caso - DADOS BRUTOS OU ROL
a) Se a sequˆencia representa uma Popula¸c˜ao, a variˆancia ´e calcu-
lada pela f´ormula:
σ2
(x) =
(xi − x)2
n
Exemplo
Calcule a variˆancia e o desvio padr˜ao da sequˆencia: X : 4, 5, 8, 5.
A sequˆencia cont´em n = 4 elementos e tem por m´edia:
X =
xi
n
=
4 + 5 + 8 + 5
4
= 5, 5
Estat´ıtica B´asica
6. Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao
Medidas de dispers˜ao relativa
1o
Caso - DADOS BRUTOS OU ROL
Os quadrados das diferen¸cas (xi − x)2 valem:
(xi − x)2 = (4 − 5, 5)2 = 2, 25
(xi − x)2 = (5 − 5, 5)2 = 0, 25
(xi − x)2 = (8 − 5, 5)2 = 6, 25
(xi − x)2 = (5 − 5, 5)2 = 0, 25
Somando-se estes valores obtem-se (xi − x)2 = 9.
Substituindo esses valores na f´ormula da variˆancia, teremos:
σ2
(x) =
(xi − x)2
n
=
9
4
= 2, 25
Como o desvio padr˜ao ´e a raiz quadrada positiva da variˆancia,
σ(x) = σ2(x) = 2, 25 = 1, 5 unidades.
Estat´ıtica B´asica
7. Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao
Medidas de dispers˜ao relativa
1o
Caso - DADOS BRUTOS OU ROL
b) Se a sequˆencia anterior representasse apenas uma amostra, a
variˆancia seria denotada por s2(x) e o desvio padr˜ao por s(x).
Neste caso,
s2
(x) =
(xi − x)2
n − 1
e
s(x) = s2(x)
Notemos a diferen¸ca entre a f´ormula do slide 5 de σ2(x) (indi-
cado para Popula¸c˜oes) e s2(x) para amostra.
Assim,
s2(x) =
(xi − x)2
n − 1
=
9
3
= 3 e o desvio padr˜ao ´e s(x) =
√
3 = 1, 73.
Estat´ıtica B´asica
8. Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao
Medidas de dispers˜ao relativa
2o
Caso - VARI´AVEL DISCRETA
Como h´a repeti¸c˜oes de elementos na s´erie, definimos a variˆancia
como sendo uma m´edia aritm´etica ponderada dos quadrados dos
desvios dos elementos da s´erie para a m´edia da s´erie.
a) Se a vari´avel discreta ´e representativa de uma Popula¸c˜ao, ent˜ao
a variˆancia ´e dada por:
σ2
(x) =
[(xi − x)2.fi ]
fi
e o desvio padr˜ao ´e:
σ(x) = σ2(x)
Estat´ıtica B´asica
9. Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao
Medidas de dispers˜ao relativa
2o
Caso - VARI´AVEL DISCRETA
b) Se a vari´avel discreta ´e representativa de uma amostra, ent˜ao
a variˆancia ´e dada por:
s2
(x) =
[(xi − x)2.fi ]
fi − 1
e o desvio padr˜ao ´e:
s(x) = s2(x)
Estat´ıtica B´asica
10. Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao
Medidas de dispers˜ao relativa
2o
Caso - VARI´AVEL DISCRETA
Exemplo
Calcule a variˆancia e o desvio padr˜ao da s´erie abaixo, representativa
de uma popula¸c˜ao.
xi fi
2 3
3 5
4 8
5 4
O n´umero de elemento da s´erie ´e n = fi = 20.
A m´edia desta s´erie ´e X =
xi fi
fi
Estat´ıtica B´asica
11. Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao
Medidas de dispers˜ao relativa
2o
Caso - VARI´AVEL DISCRETA
xi fi xi fi
2 3 6
3 5 15
4 8 32
5 4 20
fi = 20 xi fi = 73
A m´edia desta s´erie ´e X =
xi fi
fi
=
73
20
= 3, 65
Como estamos trabalhando com uma Popula¸c˜ao a variˆancia ´e dada
por:
σ2
(x) =
[(xi − x)2.fi ]
fi
Desenvolvendo nova coluna para estes c´alculos, obt´em-se:
Estat´ıtica B´asica
12. Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao
Medidas de dispers˜ao relativa
2o
Caso - VARI´AVEL DISCRETA
xi fi xi fi (xi − x)2fi
2 3 6 8,1675
3 5 15 2,1125
4 8 32 0,9800
5 4 20 7,2900
fi = 20 xi fi = 73 [(xi − x)2fi ] = 18, 55
A variˆancia ´e:
σ2
(x) =
[(xi − x)2.fi ]
fi
=
18, 55
20
= 0, 9275
e o desvio padr˜ao correspondente ´e σ(x) =
√
0, 9275 = 0, 963
Estat´ıtica B´asica
13. Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao
Medidas de dispers˜ao relativa
2o
Caso - VARI´AVEL DISCRETA
Exemplo
Se a vari´avel discreta fosse representativa de uma amostra, a
variˆancia seria indicada por s2(x) e seria calculada por:
s2
(x) =
[(xi − x)2.fi ]
fi − 1
=
18, 55
19
= 0, 9763
O desvio padr˜ao seria calculado por s(x) =
√
0, 9763 = 0, 988.
Estat´ıtica B´asica
14. Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao
Medidas de dispers˜ao relativa
3o
Caso - VARI´AVEL CONT´INUA
Novamente, por desconhecer os particulares valores xi da s´erie, subs-
tituiremos nas f´ormulas anteriores estes valores pelos pontos m´edios
de classe.
A f´ormula da variˆancia para uma vari´avel cont´ınua representativa de
uma popula¸c˜ao ´e:
σ2
(x) =
[(xi − x)2.fi ]
fi
onde xi ´e o ponto m´edio da classe i.
Se a vari´avel cont´ınua representa uma amostra ent˜ao a variˆancia
denotada por s2(x) e sua f´ormula de c´alculo ´e:
s2
(x) =
[(xi − x)2.fi ]
fi − 1
Estat´ıtica B´asica
15. Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao
Medidas de dispers˜ao relativa
3o
Caso - VARI´AVEL CONT´INUA
Exemplo
Calcule a variˆancia e o desvio padr˜ao para a s´erie representativa de
uma Popula¸c˜ao:
Classe Int. cl. fi
1 0 4 1
2 4 8 3
3 8 12 5
4 12 16 1
O n´umero de elementos da s´erie ´e n = fi = 10.
A m´edia da s´erie ´e X =
xi fi
fi
onde xi s˜ao os pontos m´edios de
classe.
Estat´ıtica B´asica
16. Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao
Medidas de dispers˜ao relativa
3o
Caso - VARI´AVEL CONT´INUA
Classe Int. cl. fi xi fi
1 0 4 1 2
2 4 8 3 18
3 8 12 5 50
4 12 16 1 14
fi = 10 xi fi = 84
A m´edia da s´erie ´e:
X =
xi fi
fi
=
84
10
= 8, 4
Como a vari´avel cont´ınua ´e representativa de uma popula¸c˜ao,
ent˜ao a variˆancia ´e dada por:
σ2
(x) =
[(xi − x)2.fi ]
fi
Estat´ıtica B´asica
17. Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao
Medidas de dispers˜ao relativa
3o
Caso - VARI´AVEL CONT´INUA
Classe Int. cl. fi xi fi (xi − x)2fi
1 0 4 1 2 40,96
2 4 8 3 18 17,28
3 8 12 5 50 12,80
4 12 16 1 14 31,36
= 10 = 84 = 102, 4
A variˆancia ´e, portanto:
σ2
(x) =
[(xi − x)2.fi ]
fi
=
102, 4
10
= 10, 24
e o desvio padr˜ao ´e: σ(x) =
√
10, 24 = 3, 2.
Estat´ıtica B´asica
18. Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao
Medidas de dispers˜ao relativa
3o
Caso - VARI´AVEL CONT´INUA
Exemplo
Se a vari´avel cont´ınua fosse representativa de uma amostra, a
variˆancia seria indicada por s2(x) e sua f´ormula de c´alculo seria:
s2
(x) =
[(xi − x)2.fi ]
fi − 1
Dessa forma, s2(x) =
102, 4
9
= 11, 38 e o desvio padr˜ao seria
s(x) =
√
11, 38 = 3, 373
Estat´ıtica B´asica
19. Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao
Medidas de dispers˜ao relativa
Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao
Coment´arios:
1. No c´alculo da variˆancia, quando elevamos ao quadrado a di-
feren¸ca (xi − x), a unidade de medida da s´erie fica tamb´em
elevada ao quadrado.
Portanto, a variˆancia ´e dada sempre no quadrado da unidade
de medida da s´erie.
Se os dados s˜ao expressos em metros, a variˆancia ´e expressa
em metros quadrados.
Em algumas situa¸c˜oes, a unidade de medida da variˆancia nem
faz sentido.
´E o caso, por exemplo, em que os dados s˜ao expressos em litros.
A variˆancia ser´a expressa em litros quadrados.
Portanto, o valor da variˆancia n˜ao pode ser comparado dire-
tamente com os dados da s´erie, ou seja: variˆancia n˜ao tem
interpreta¸c˜ao.
Estat´ıtica B´asica
20. Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao
Medidas de dispers˜ao relativa
Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao
2. Exatamente para suprir esta deficiˆencia da variˆancia ´e que se
define o desvio padr˜ao.
Como o desvio padr˜ao ´e a raiz quadrada da variˆancia, o desvio
padr˜ao ter´a sempre a mesma unidade de medida da s´erie e
portanto admite interprcta¸c˜ao.
Estat´ıtica B´asica
21. Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao
Medidas de dispers˜ao relativa
Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao
O desvio padr˜ao ´e, sem duvida, a mais importante das medidas de
dispers˜ao.
´E fundamental que o interessado consiga relacionar o valor obtido
do desvio padr˜ao com os dados da s´erie.
Quando uma curva de frequˆencia representativa da s´erie ´e perfei-
tamente sim´etrica como a curva abaixo, podemos afirmar que o
intervalo [x − σ, x + σ] cont´em aproximadamente 68% dos valores
da s´erie.
Estat´ıtica B´asica
22. Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao
Medidas de dispers˜ao relativa
Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao
O intervalo [x − 2σ, x + 2σ] cont´em aproximadamente 95% dos
valores da s´erie.
O intervalo [x − 3σ, x + 3σ] cont´em aproximadamente 99% dos
valores da s´erie.
Estat´ıtica B´asica
23. Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao
Medidas de dispers˜ao relativa
Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao
Estes percentuais 68%, 95% e 99% que citamos na interpreta¸c˜ao
poder˜ao mais tarde ser comprovados, com maior precis˜ao, no estudo
da distribui¸c˜ao normal de probabilidades.
Estat´ıtica B´asica
24. Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao
Medidas de dispers˜ao relativa
Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao
Para uma compreens˜ao inicial do desvio padr˜ao, estas no¸c˜oes s˜ao
suficientes.
Quando a distribui¸c˜ao n˜ao ´e perfeitamente sim´etrica estes percen-
tuais apresentam pequenas varia¸c˜oes para mais ou para menos, se-
gundo o caso.
De modo que, quando se afirma que uma s´erie apresenta m´edia
x = 100 e desvio padr˜ao σ(x) = 5, podemos interpretar estes valores
da seguinte forma:
1. Os valores da s´erie est˜ao concentrados em torno de 100.
Estat´ıtica B´asica
25. Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao
Medidas de dispers˜ao relativa
Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao
2. O intervalo [95, 105] cont´em aproximadamente, 68% dos valo-
res da s´erie.
O intervalo [90, 110] cont´em aproximadamente 95% dos valores
da s´erie.
O intervalo [85, 115] cont´em aproximadamente 99% dos valores
da s´erie.
´E importante que se tenha percebido que, ao aumentar o tama-
nho do intervalo, aumenta-se o percentual de elementos contido
no intervalo.
Adiante verificaremos que ´e poss´ıvel controlar o tamanho do
intervalo de modo que contenha exatamente o percentual que
queremos.
Estat´ıtica B´asica
26. Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao
Medidas de dispers˜ao relativa
Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao
3. As medidas de dispers˜ao vistas at´e agora s˜ao medidas absolutas
e portanto avaliam a dispers˜ao absoluta da s´erie. Todas elas
s˜ao diretamente proporcionais a dispers˜ao absoluta.
Assim, se a s´erie X apresenta x = 20 e σ(x) = 3 e se a s´erie Y
apresenta y = 22 e σ(y) = 2, podemos afirmar, comparando
os desvios padr˜ao, que a s´erie X apresenta maior dispers˜ao
absoluta.
4. Para justificar que o denominador da variˆancia amostral deve
ser n − 1 e n˜ao n, usaremos o seguinte argumento:
O modelo matem´atico que calcula a variˆancia de uma amostra
n˜ao pode ser
σ2
(x) =
(xi − x)2
n
,
pois caso isto fosse verdadeiro, este modelo deveria determinar
a variˆancia para qualquer tamanho de amostra.
Estat´ıtica B´asica
27. Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao
Medidas de dispers˜ao relativa
Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao
Suponha uma amostra constitu´ıda de um ´unico elemento X1.
O valor m´edio da amostra tamb´em ´e x1.
Calculando a variˆancia pelo modelo acima, teremos:
σ2
(x) =
(xi − xi )2
1
= 0.
Ser´ıamos induzidos a afirmar que a dispers˜ao da popula¸c˜ao de onde
prov´em a amostra ´e zero, isto ´e, a popula¸c˜ao ´e constitu´ıda em sua to-
talidade por elementos idˆenticos. O que ´e, em geral, uma afirma¸c˜ao
falsa.
Para corrigir o modelo matem´atico, basta colocar no denominador
n − 1. O modelo ´e escrito ent˜ao:
s2
(x) =
(xi − x)2
n − 1
Estat´ıtica B´asica
28. Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao
Medidas de dispers˜ao relativa
Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao
Observe que agora o modelo ´e coerente. Mesmo quando a amostra
tiver apenas um elemento x1, o c´alculo de s2(x) leva-nos a uma
indetermina¸c˜ao do tipo
0
0
. O que significa que a variˆancia existe,
mas n˜ao est´a determinada.
Significa tamb´em que amostras de apenas um elemento n˜ao nos
fornece informa¸c˜oes sobre a variˆancia da s´erie.
Estat´ıtica B´asica
29. Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao
Medidas de dispers˜ao relativa
Medidas de dispers˜ao relativa
Se uma s´erie X apresenta x = 10 e σ(x) = 2 e uma s´erie Y apresenta
y = 100 e σ(y) = 5, do ponto de vista da dispers˜ao absoluta, a
s´erie Y apresenta maior dispers˜ao que a s´erie X.
No entanto, se levarmos em considera¸c˜ao as m´edias das s´eries, o
desvio padr˜ao de Y que ´e 5 em rela¸c˜ao a 100 ´e um valor menos
significativo que o desvio padr˜ao de X que ´e 2 em rela¸c˜ao a 10.
Isto nos leva a definir as medidas de dispers˜ao relativas: coeficiente
de varia¸c˜ao e variˆancia relativa.
O coeficiente de varia¸c˜ao de uma s´erie X ´e indicado por CV(x) de-
finido por:
CV(x) =
σ(x)
x
Estat´ıtica B´asica
30. Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao
Medidas de dispers˜ao relativa
Medidas de dispers˜ao relativa
A variˆancia relativa de uma s´erie X ´e indicada por V (x) e definida
por:
V (x) =
σ2(x)
(x)2
Note que o coeficiente de varia¸c˜ao, como ´e uma divis˜ao de elementos
de mesma unidade, ´e um n´umero puro. Portanto, pode ser expresso
em percentual.
Este fato justifica a utiliza¸c˜ao do denominador (x)2 na defini¸c˜ao de
V (x).
Deste modo, se calcularmos o coeficiente de varia¸c˜ao da s´erie X
citada no in´ıcio obteremos:
Estat´ıtica B´asica
31. Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao
Medidas de dispers˜ao relativa
Medidas de dispers˜ao relativa
CV(x) =
2
10
= 0, 2 ou 20%
Calculando o coeficiente de varia¸c˜ao da s´erie Y obteremos:
CV(y) =
5
100
= 0, 05 ou 5%
Comparando os valores destes dois coeficientes conclu´ımos que a
s´erie X admite maior dispers˜ao relativa.
Como a medida de dispers˜ao relativa leva em considera¸c˜ao a me-
dida de dispers˜ao absoluta e a m´edia da s´erie, ´e uma medida mais
completa que a medida de dispers˜ao absoluta.
Estat´ıtica B´asica
32. Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao
Medidas de dispers˜ao relativa
Medidas de dispers˜ao relativa
Portanto, a medida de dispers˜ao relativa prevalece sobre a medida
de dispers˜ao absoluta. Podemos afirmar que a s´erie que tem a maior
disperss˜ao relativa, tem de modo geral a maior dispers˜ao.
Concluindo o exemplo anterior:
A s´erie Y apresenta maior dispers˜ao absoluta.
A s´erie X apresenta maior dispers˜ao relativa.
Portanto, a s´erie X apresenta maior dispers˜ao.
Estat´ıtica B´asica
33. Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao
Medidas de dispers˜ao relativa
MARTINS, Gilberto de Andrade Martins, Estat´ıstica Geral e
Aplicada, 4 ed. S˜ao Paulo: Editora Atlas S.A., 2011
SILVA, Ermes Medeiros da; SILVA, Elio Medeiros da;
GONC¸ALVES, Valter; MUROLO, Afrˆanio Carlos,
ESTAT´ISTICA Para os cursos de: Economia, Administra¸c˜ao e
Ciˆencias Contabeis 3 ed. S˜ao Paulo: Editora Atlas S.A., 1999
Estat´ıtica B´asica