O documento discute o cálculo e interpretação da variância e desvio padrão. Apresenta três casos: 1) dados brutos ou rol, onde calcula a variância e desvio padrão de uma série de dados; 2) variável discreta, onde mostra como calcular essas medidas para dados com repetições; 3) variável contínua, explicando o cálculo para dados agrupados em classes.
O documento discute o cálculo e interpretação da variância e desvio padrão. Apresenta três casos: 1) dados brutos ou rol, 2) variável discreta, 3) variável contínua. Fornece fórmulas para calcular a variância e desvio padrão para populações e amostras, e exemplos ilustrativos para cada caso.
O documento introduz conceitos sobre medidas de dispersão e descreve o cálculo da amplitude total e do desvio médio simples. Apresenta três casos para o cálculo destas medidas: 1) variável discreta com dados brutos, 2) variável discreta, e 3) variável contínua. Fornece exemplos detalhados para cada caso.
As três distribuições de probabilidade mais comuns são a binomial, normal e uniforme. A distribuição binomial se aplica a variáveis discretas, enquanto a normal é usada para variáveis contínuas. O documento explica como calcular medidas como esperança matemática e variância para essas distribuições e fornece exemplos de sua aplicação em problemas reais.
Aula de distribuição de probabilidade[1] cópiaTuane Paixão
O documento discute distribuições de probabilidade e experimentos aleatórios. Ele apresenta exemplos de variáveis aleatórias discretas e contínuas e explica como construir distribuições de probabilidade a partir de dados. Também explica experimentos binomiais e como calcular probabilidades usando a distribuição binomial.
O documento descreve os principais modelos de probabilidade. Apresenta os conceitos de modelo discreto, contínuo, finito e infinito. Explica como calcular a média e variância populacional para modelos de probabilidade e fornece exemplos de modelos discretos como o uniforme, de Poisson, geométrico e binomial. Também explica modelos contínuos como o uniforme, exponencial e normal.
O documento discute conceitos estatísticos como distribuição de probabilidades, distribuições discretas e contínuas. Explica que distribuições discretas envolvem variáveis aleatórias que podem ser contadas, como número de ocorrências, e fornece exemplos de formas de distribuição discreta. Também descreve características gerais de distribuições contínuas e exemplos como uniforme e normal.
Este documento apresenta conceitos básicos de probabilidade. Em três frases, resume:
1) É introduzido o conceito de modelo probabilístico para quantificar incertezas em fenômenos aleatórios;
2) São revisados conceitos da teoria dos conjuntos como espaço amostral e eventos para definir probabilidades;
3) São apresentadas as propriedades que uma função deve satisfazer para ser considerada uma probabilidade.
Uma pesquisa de 1986 no Rio de Janeiro mostrou que a maioria dos entrevistados (29,27%) apontou segurança/violência como o problema mais grave do estado. Educação foi apontado por 13,01% e saúde por 12,36%. Os outros problemas receberam menos de 10% cada.
O documento discute o cálculo e interpretação da variância e desvio padrão. Apresenta três casos: 1) dados brutos ou rol, 2) variável discreta, 3) variável contínua. Fornece fórmulas para calcular a variância e desvio padrão para populações e amostras, e exemplos ilustrativos para cada caso.
O documento introduz conceitos sobre medidas de dispersão e descreve o cálculo da amplitude total e do desvio médio simples. Apresenta três casos para o cálculo destas medidas: 1) variável discreta com dados brutos, 2) variável discreta, e 3) variável contínua. Fornece exemplos detalhados para cada caso.
As três distribuições de probabilidade mais comuns são a binomial, normal e uniforme. A distribuição binomial se aplica a variáveis discretas, enquanto a normal é usada para variáveis contínuas. O documento explica como calcular medidas como esperança matemática e variância para essas distribuições e fornece exemplos de sua aplicação em problemas reais.
Aula de distribuição de probabilidade[1] cópiaTuane Paixão
O documento discute distribuições de probabilidade e experimentos aleatórios. Ele apresenta exemplos de variáveis aleatórias discretas e contínuas e explica como construir distribuições de probabilidade a partir de dados. Também explica experimentos binomiais e como calcular probabilidades usando a distribuição binomial.
O documento descreve os principais modelos de probabilidade. Apresenta os conceitos de modelo discreto, contínuo, finito e infinito. Explica como calcular a média e variância populacional para modelos de probabilidade e fornece exemplos de modelos discretos como o uniforme, de Poisson, geométrico e binomial. Também explica modelos contínuos como o uniforme, exponencial e normal.
O documento discute conceitos estatísticos como distribuição de probabilidades, distribuições discretas e contínuas. Explica que distribuições discretas envolvem variáveis aleatórias que podem ser contadas, como número de ocorrências, e fornece exemplos de formas de distribuição discreta. Também descreve características gerais de distribuições contínuas e exemplos como uniforme e normal.
Este documento apresenta conceitos básicos de probabilidade. Em três frases, resume:
1) É introduzido o conceito de modelo probabilístico para quantificar incertezas em fenômenos aleatórios;
2) São revisados conceitos da teoria dos conjuntos como espaço amostral e eventos para definir probabilidades;
3) São apresentadas as propriedades que uma função deve satisfazer para ser considerada uma probabilidade.
Uma pesquisa de 1986 no Rio de Janeiro mostrou que a maioria dos entrevistados (29,27%) apontou segurança/violência como o problema mais grave do estado. Educação foi apontado por 13,01% e saúde por 12,36%. Os outros problemas receberam menos de 10% cada.
Análise exploratória e modelação com r parte 3Lucas Castro
O documento discute tópicos de inferência estatística como distribuições de probabilidade, intervalos de confiança e testes de hipóteses utilizando o software R. É apresentado como gerar amostras aleatórias de distribuições normais, binomiais, plotar e resumir dados. Além disso, exemplos demonstram como realizar testes t para uma média e para duas amostras independentes no R.
O documento discute conceitos básicos de estatística como variáveis aleatórias, distribuições de probabilidade e modelos probabilísticos. Ele apresenta exemplos práticos para ilustrar esses conceitos, como um sobre a montagem de um produto e a distribuição do lucro por peça montada. Também define noções como valor médio, variância, desvio padrão e funções de distribuição para variáveis aleatórias discretas.
Probabilidade e estatística - Variáveis AleatóriasLucas Vinícius
Este documento resume os principais conceitos de variáveis aleatórias, incluindo: 1) a definição de variável aleatória e sua notação; 2) variáveis aleatórias discretas e contínuas; 3) funções de probabilidade e repartição; 4) medidas de posição como média; e 5) medidas de dispersão como variância e desvio padrão. O documento fornece exemplos para ilustrar cada um desses conceitos.
1) O documento discute testes de hipóteses, que são procedimentos estatísticos para decidir se uma hipótese é ou não suportada por dados amostrais.
2) Um teste de hipóteses envolve confrontar uma hipótese nula com uma hipótese alternativa com base em uma região crítica dos resultados amostrais.
3) Os testes de hipóteses paramétricos assumem uma forma conhecida para a distribuição dos dados e testam hipóteses sobre parâmetros desconhecidos dessa distribuição.
O documento apresenta os conceitos fundamentais de variável aleatória discreta, incluindo:
1) Definição de variável aleatória e exemplos de variáveis aleatórias discretas e contínuas;
2) Função de probabilidade discreta e função de distribuição de probabilidade;
3) Cálculo de média, mediana, moda e variância para variáveis aleatórias discretas.
O documento descreve as distribuições de probabilidade contínuas, incluindo a distribuição uniforme e a distribuição normal. A distribuição uniforme possui função densidade constante dentro de um intervalo, enquanto a distribuição normal tem forma de sino simétrico em torno da média. O documento fornece fórmulas para calcular média, variância e probabilidades nestas distribuições.
1) A distribuição normal é uma distribuição simétrica em forma de sino que é especificada pelos parâmetros média (μ ou x) e desvio padrão (σ ou s).
2) A distribuição normal padronizada tem média 0 e desvio padrão 1 e facilita os cálculos de probabilidade usando tabelas.
3) Para distribuições normais não-padronizadas, valores são convertidos para valores padronizados usando a fórmula z = (x - μ)/σ antes de usar as tabelas.
Este documento fornece informações sobre estatística descritiva e técnicas de descrição gráfica. Ele discute conceitos como população, amostra, variáveis, frequências, medidas de tendência central e dispersão. O documento também apresenta exemplos de tabelas, gráficos e cálculos estatísticos como média, mediana e quantis.
O documento discute variáveis aleatórias contínuas, definindo-as como funções que assumem valores em um intervalo de números reais. Explica como atribuir probabilidades a variáveis contínuas usando funções de densidade de probabilidade, e como calcular medidas como média, variância e probabilidades para variáveis aleatórias contínuas usando integrais. Fornece exemplos ilustrativos sobre profundidade de lençol freático e tempo de teste.
Análise exploratória e modelação com r parte 2Lucas Castro
O documento apresenta uma introdução à análise exploratória de dados com R. Discute tipos de dados, medidas de tendência central e dispersão e exemplos de resumo estatístico de variáveis usando a base de dados iris.
Este documento apresenta os conceitos básicos de regressão linear simples, incluindo a obtenção da equação da reta de regressão por meio do método dos mínimos quadrados e a análise dos resultados, verificando pressupostos e significância estatística da regressão por meio de testes.
[1] O documento apresenta conceitos básicos de probabilidade e estatística, incluindo definições de fenômenos determinísticos e aleatórios, variáveis aleatórias discretas e contínuas, e funções de probabilidade. [2] Também discute conceitos como espaço amostral, eventos, probabilidade condicional, teoremas da probabilidade total e de Bayes. [3] Por fim, exemplifica cálculos de probabilidade para lançamento de dados.
Este documento discute estimação estatística. Ele define estimador como qualquer função da amostra que estima um parâmetro populacional e destaca a importância de um estimador ser não viciado, consistente e eficiente. Exemplos ilustram como calcular a esperança e variância de estimadores para estimar a média e variância populacional.
O documento descreve as características da distribuição normal de probabilidades. Explica que a distribuição normal tem forma de sino, é simétrica em relação à média e é caracterizada pela média e desvio padrão. Também fornece exemplos de como calcular probabilidades usando a distribuição normal.
O documento apresenta resoluções de exercícios que envolvem o cálculo de intervalos de confiança para médias e proporções populacionais com base em amostras. O primeiro exercício trata da obtenção de um intervalo de confiança para a média do diâmetro de esferas de rolamento produzidas por uma máquina. O segundo exercício estima um intervalo de confiança para a proporção de implantes mamários fabricados dentro de especificações de tensão.
A distribuição T de Student é uma distribuição estatística usada para testar hipóteses quando a variância da população é desconhecida. O documento explica que a distribuição T é similar à distribuição normal padrão, mas com variação maior devido à estimativa da variância amostral. Também fornece exemplos de como calcular valores T e interpretar resultados em termos de probabilidade com base nas tabelas da distribuição T.
Este documento apresenta uma introdução à análise de regressão. Discute conceitos como natureza da regressão, conceitos de regressão para população e amostra, estimação e hipóteses. Também fornece exemplos ilustrativos sobre regressão linear.
O documento apresenta uma aula sobre bioestatística. Aborda conceitos como variáveis quantitativas e qualitativas, apresentação de dados em gráficos e tabelas, medidas de tendência central e variabilidade, noções de probabilidade e cálculo de probabilidades, incluindo espaço amostral, eventos, probabilidade de eventos e soma de probabilidades. Também introduz conceitos sobre variáveis aleatórias discretas e distribuição de Bernoulli.
O documento fornece uma introdução às noções básicas de bioestatística. Apresenta definições de estatística e bioestatística, histórico da estatística, variáveis estatísticas e medidas de tendência central como média, mediana e moda. Também aborda distribuição de frequência, elementos de uma distribuição de frequência e medidas de posição e dispersão de dados.
O documento apresenta vários modelos de distribuições de probabilidade contínuas, incluindo a distribuição gama, qui-quadrado, t-Student e F de Snedecor, definindo suas funções de densidade de probabilidade, momentos e aplicações em estatística.
The document discusses the effects of restricting university education access. It argues that restricting access can limit people's potential, decrease skilled professionals, and lower employment chances. It also asserts that allowing more people to attend university could inspire some to achieve things that change themselves or others, even if they don't complete a degree. The document claims that only the wealthy could afford an education under such restrictions, and such a system would not motivate people or develop their abilities equally. It concludes that no one should be prevented from trying to learn and that limitations restrict people's potential.
Análise exploratória e modelação com r parte 3Lucas Castro
O documento discute tópicos de inferência estatística como distribuições de probabilidade, intervalos de confiança e testes de hipóteses utilizando o software R. É apresentado como gerar amostras aleatórias de distribuições normais, binomiais, plotar e resumir dados. Além disso, exemplos demonstram como realizar testes t para uma média e para duas amostras independentes no R.
O documento discute conceitos básicos de estatística como variáveis aleatórias, distribuições de probabilidade e modelos probabilísticos. Ele apresenta exemplos práticos para ilustrar esses conceitos, como um sobre a montagem de um produto e a distribuição do lucro por peça montada. Também define noções como valor médio, variância, desvio padrão e funções de distribuição para variáveis aleatórias discretas.
Probabilidade e estatística - Variáveis AleatóriasLucas Vinícius
Este documento resume os principais conceitos de variáveis aleatórias, incluindo: 1) a definição de variável aleatória e sua notação; 2) variáveis aleatórias discretas e contínuas; 3) funções de probabilidade e repartição; 4) medidas de posição como média; e 5) medidas de dispersão como variância e desvio padrão. O documento fornece exemplos para ilustrar cada um desses conceitos.
1) O documento discute testes de hipóteses, que são procedimentos estatísticos para decidir se uma hipótese é ou não suportada por dados amostrais.
2) Um teste de hipóteses envolve confrontar uma hipótese nula com uma hipótese alternativa com base em uma região crítica dos resultados amostrais.
3) Os testes de hipóteses paramétricos assumem uma forma conhecida para a distribuição dos dados e testam hipóteses sobre parâmetros desconhecidos dessa distribuição.
O documento apresenta os conceitos fundamentais de variável aleatória discreta, incluindo:
1) Definição de variável aleatória e exemplos de variáveis aleatórias discretas e contínuas;
2) Função de probabilidade discreta e função de distribuição de probabilidade;
3) Cálculo de média, mediana, moda e variância para variáveis aleatórias discretas.
O documento descreve as distribuições de probabilidade contínuas, incluindo a distribuição uniforme e a distribuição normal. A distribuição uniforme possui função densidade constante dentro de um intervalo, enquanto a distribuição normal tem forma de sino simétrico em torno da média. O documento fornece fórmulas para calcular média, variância e probabilidades nestas distribuições.
1) A distribuição normal é uma distribuição simétrica em forma de sino que é especificada pelos parâmetros média (μ ou x) e desvio padrão (σ ou s).
2) A distribuição normal padronizada tem média 0 e desvio padrão 1 e facilita os cálculos de probabilidade usando tabelas.
3) Para distribuições normais não-padronizadas, valores são convertidos para valores padronizados usando a fórmula z = (x - μ)/σ antes de usar as tabelas.
Este documento fornece informações sobre estatística descritiva e técnicas de descrição gráfica. Ele discute conceitos como população, amostra, variáveis, frequências, medidas de tendência central e dispersão. O documento também apresenta exemplos de tabelas, gráficos e cálculos estatísticos como média, mediana e quantis.
O documento discute variáveis aleatórias contínuas, definindo-as como funções que assumem valores em um intervalo de números reais. Explica como atribuir probabilidades a variáveis contínuas usando funções de densidade de probabilidade, e como calcular medidas como média, variância e probabilidades para variáveis aleatórias contínuas usando integrais. Fornece exemplos ilustrativos sobre profundidade de lençol freático e tempo de teste.
Análise exploratória e modelação com r parte 2Lucas Castro
O documento apresenta uma introdução à análise exploratória de dados com R. Discute tipos de dados, medidas de tendência central e dispersão e exemplos de resumo estatístico de variáveis usando a base de dados iris.
Este documento apresenta os conceitos básicos de regressão linear simples, incluindo a obtenção da equação da reta de regressão por meio do método dos mínimos quadrados e a análise dos resultados, verificando pressupostos e significância estatística da regressão por meio de testes.
[1] O documento apresenta conceitos básicos de probabilidade e estatística, incluindo definições de fenômenos determinísticos e aleatórios, variáveis aleatórias discretas e contínuas, e funções de probabilidade. [2] Também discute conceitos como espaço amostral, eventos, probabilidade condicional, teoremas da probabilidade total e de Bayes. [3] Por fim, exemplifica cálculos de probabilidade para lançamento de dados.
Este documento discute estimação estatística. Ele define estimador como qualquer função da amostra que estima um parâmetro populacional e destaca a importância de um estimador ser não viciado, consistente e eficiente. Exemplos ilustram como calcular a esperança e variância de estimadores para estimar a média e variância populacional.
O documento descreve as características da distribuição normal de probabilidades. Explica que a distribuição normal tem forma de sino, é simétrica em relação à média e é caracterizada pela média e desvio padrão. Também fornece exemplos de como calcular probabilidades usando a distribuição normal.
O documento apresenta resoluções de exercícios que envolvem o cálculo de intervalos de confiança para médias e proporções populacionais com base em amostras. O primeiro exercício trata da obtenção de um intervalo de confiança para a média do diâmetro de esferas de rolamento produzidas por uma máquina. O segundo exercício estima um intervalo de confiança para a proporção de implantes mamários fabricados dentro de especificações de tensão.
A distribuição T de Student é uma distribuição estatística usada para testar hipóteses quando a variância da população é desconhecida. O documento explica que a distribuição T é similar à distribuição normal padrão, mas com variação maior devido à estimativa da variância amostral. Também fornece exemplos de como calcular valores T e interpretar resultados em termos de probabilidade com base nas tabelas da distribuição T.
Este documento apresenta uma introdução à análise de regressão. Discute conceitos como natureza da regressão, conceitos de regressão para população e amostra, estimação e hipóteses. Também fornece exemplos ilustrativos sobre regressão linear.
O documento apresenta uma aula sobre bioestatística. Aborda conceitos como variáveis quantitativas e qualitativas, apresentação de dados em gráficos e tabelas, medidas de tendência central e variabilidade, noções de probabilidade e cálculo de probabilidades, incluindo espaço amostral, eventos, probabilidade de eventos e soma de probabilidades. Também introduz conceitos sobre variáveis aleatórias discretas e distribuição de Bernoulli.
O documento fornece uma introdução às noções básicas de bioestatística. Apresenta definições de estatística e bioestatística, histórico da estatística, variáveis estatísticas e medidas de tendência central como média, mediana e moda. Também aborda distribuição de frequência, elementos de uma distribuição de frequência e medidas de posição e dispersão de dados.
O documento apresenta vários modelos de distribuições de probabilidade contínuas, incluindo a distribuição gama, qui-quadrado, t-Student e F de Snedecor, definindo suas funções de densidade de probabilidade, momentos e aplicações em estatística.
The document discusses the effects of restricting university education access. It argues that restricting access can limit people's potential, decrease skilled professionals, and lower employment chances. It also asserts that allowing more people to attend university could inspire some to achieve things that change themselves or others, even if they don't complete a degree. The document claims that only the wealthy could afford an education under such restrictions, and such a system would not motivate people or develop their abilities equally. It concludes that no one should be prevented from trying to learn and that limitations restrict people's potential.
Big data y su impacto en los Objetivos de Desarrollo Sostenible (ODS) - Unive...Joan David Baena
El camino para medir, controlar y mejoras lo Objetivos del Desarrollo Sostenible es la implementación de proyectos Big Data y la consolidación de los equipos de trabajo interdisciplinarios en el país. Una busqueda continua de casos de éxito como inspiradores a los demás sectores.
La función lineal f(x)=mx+b describe una recta donde m es la pendiente y b es el intercepto con el eje y. La pendiente determina si la recta es creciente, decreciente o constante, y la representación gráfica siempre es una línea recta.
La Unidad Educativa Municipal Quitumbe fue fundada en 1992 en Quito por iniciativa del alcalde. Inicialmente recibía solo niños de niveles iniciales, pero ha integrado otros niveles con el tiempo. Es reconocido como un centro educativo líder en el sur de Quito que fomenta aprendizajes dinámicos y cooperativos donde los estudiantes construyen sus conocimientos con la guía de los maestros.
La Unión Europea ha propuesto un nuevo paquete de sanciones contra Rusia que incluye un embargo al petróleo ruso. El embargo se aplicaría gradualmente durante seis meses para el petróleo crudo y ocho meses para los productos refinados. Este paquete de sanciones requiere la aprobación unánime de los 27 estados miembros de la UE.
1. El documento resume los principales cambios en materia tributaria para personas naturales introducidos por la Ley 1819 de 2016, incluyendo modificaciones a las tarifas del impuesto sobre la renta, depuración de la base gravable y tarifas de retención en la fuente para pagos laborales.
2. También presenta una lista extensa de artículos derogados del Estatuto Tributario y otras leyes relacionadas con diferentes impuestos.
3. Finalmente, ratifica la derogatoria de algunos impuestos como el de boletas de entrada a es
10 Hacks to Improve Traffic, Leads & Revenue for Your WebsiteLeadSquared
Mandar Marathe, Co-Founder of BriefKase Digital Communications tells you how to improve traffic, leads and revenue for your website.
Key takeaways from the webinar
• Learn tricks to improve organic traffic to your website
• Hacks to optimize your conversion funnel
• Techniques to optimize landing pages and improve conversion rates from paid media
• How to improve your mobile game
Book Speed Dating is an event where participants get three minutes to browse books and find ones they like. They are encouraged to focus solely on the book in front of them during their brief "date" and move to a new book after three minutes. The goal is to make quick connections with books and find new favorites in a fun, fast-paced environment similar to romantic speed dating. Participants are instructed to be respectful of others and not interrupt their reading during the timed sessions.
Partial Repowering of Wind Turbines: technical risks, opportunities and trendsAlex Byrne
This document discusses trends, risks, and opportunities related to partial repowering of wind turbines. Partial repowering involves replacing some portions of an existing wind turbine, such as the rotor or drivetrain components, with newer technology while keeping other portions like the tower or foundation. It can provide benefits like increased energy production and reliability but also risks regarding the structural integrity of aging components. Careful analysis of site conditions, inspections, and repair plans can help mitigate structural risks. Partial repowering also faces contractual, permitting, and electrical infrastructure challenges that require assessment. Overall, it is a site-specific decision that can extend the life of wind power facilities but involves technical and project development risks.
10 Great Quotes Explaining Simplicity In User Interface Design!UtterWeb
It is no secret that great user interface designs are those that are invisible or designed to stay out of the way. Great user interface designs engage users without distracting them. Rather, effective UIs let users complete goals. Therefore, it is essential for user interface designers to thoroughly understand the basic principle of UI design i.e. SIMPLICITY.
Simple designs are not just the most engaging designs but they are also the one that attract and retain users in the long term. Here we have listed some great quotes that explain the core concept behind the simplicity in user interface design. Checkout!
AMD - Aula n.º 8 - regressão linear simples.pptxNunoSilva599593
Este documento discute técnicas de análise multivariada de dados, incluindo: (1) diagramas de dispersão para analisar relações entre variáveis; (2) regressão linear simples para modelar relações entre variáveis dependentes e independentes; e (3) testes estatísticos para avaliar o ajuste do modelo à população de dados.
Aula de distribuição de probabilidade[1]Tuane Paixão
O documento descreve como combinar estatística descritiva e probabilidade para prever eventos. Explica como usar uma distribuição de probabilidades para determinar a chance de não chover ou chover em um, dois ou três dias.
[1] O documento apresenta um resumo sobre cadeias de Markov, que são processos estocásticos onde a probabilidade do estado atual depende apenas do estado anterior e não dos estados anteriores. [2] É definido o que são sequências aleatórias e variáveis aleatórias discretas. [3] São apresentados exemplos de como calcular as probabilidades de transição entre estados em cadeias de Markov de primeiro e segundo passo.
O documento discute o conceito de derivada, definindo-a matematicamente como a taxa de variação instantânea de uma função. Explica sua interpretação física e fornece exemplos para ilustrar como derivar funções e interpretar geometricamente a derivada como a inclinação da reta tangente.
O documento discute o conceito de derivada, definindo-a matematicamente como a taxa de variação instantânea de uma função. Explica sua interpretação física e fornece exemplos ilustrativos sobre sua aplicação para calcular velocidade, taxa de crescimento e equações de retas tangentes.
O documento discute taxas relacionadas e diferenciais no cálculo. Aborda como derivar taxas de variação de variáveis relacionadas por equações e como usar aproximações diferenciais para estimar variações de funções. Fornece exemplos ilustrativos sobre taxas relacionadas em problemas físicos e uso de diferenciais.
Aplicações da equação de Schrödinger independente do tempoLucas Guimaraes
Equação de Schrödinger; Interpretação probabilística da função de onda; Normalização; Equação de Schrödinger independente do tempo; Poço potencial quadrado infinito; Poço potencial quadrado finito.
(apresentação publicada com autorização do autor).
1) O documento discute o conceito de variável aleatória e apresenta modelos de distribuição de probabilidade para variáveis aleatórias discretas, como a distribuição binomial e de Poisson.
2) É definido o que é uma variável aleatória, valor esperado, variância, distribuição de probabilidade e função de distribuição.
3) São apresentados exemplos para ilustrar esses conceitos e propriedades matemáticas associadas.
Este documento discute conceitos básicos de variáveis aleatórias reais e suas distribuições de probabilidade. Primeiro, define-se variável aleatória real e apresenta-se sua função distribuição de probabilidade cumulativa. Em seguida, discutem-se propriedades das variáveis aleatórias discretas, contínuas e mistas, e introduz-se a função densidade de probabilidade. Por fim, exemplificam-se distribuições como uniforme, normal e exponencial.
Este documento apresenta conceitos básicos sobre variáveis aleatórias discretas, incluindo:
1) Função de probabilidade e função de distribuição de probabilidade acumulada, que descrevem a probabilidade de valores específicos de uma variável aleatória;
2) Medidas descritivas como valor esperado e variância, que fornecem informações sobre a localização e dispersão dos valores da variável aleatória.
3) Exemplos de distribuições de probabilidade discretas como binomial, hipergeométrica e Poisson.
O documento discute modelos de regressão linear, descrevendo como eles podem ser usados para modelar a relação entre uma variável dependente (Y) e uma ou mais variáveis independentes (X). Explica como calcular os parâmetros da equação de regressão linear usando o método dos mínimos quadrados e como medir a precisão do modelo com o erro padrão da estimativa e o coeficiente de determinação.
O documento apresenta os conceitos fundamentais de derivadas matemáticas, incluindo: (1) como calcular a reta tangente a uma curva no ponto P; (2) como a derivada representa a velocidade instantânea de um objeto em movimento; e (3) como a derivada representa a taxa de variação instantânea de uma função.
Matemática, Cálculo, Análise,Integrais, Superfcie, Vetor normal, plano tangente, Integral, superfície, campo escalar, campo vetorial, Teorema da divergência, Teorema de Stokes
Se quiser a fonte em LaTeX ofereço com todo o gosto: sandra.gaspar.martins@gmail.com
Este documento discute métodos numéricos para determinar zeros reais de funções reais. É dividido em três seções: 1) Isolamento de raízes, que trata da análise teórica e gráfica da função para isolar intervalos contendo cada raiz; 2) Refinamento de raízes, que apresenta métodos iterativos como a bisseção para refinar as aproximações das raízes; e 3) Critérios de parada para os métodos iterativos.
Este documento apresenta um capítulo sobre funções reais de duas ou mais variáveis reais. Apresenta exemplos de funções de duas e três variáveis, define formalmente o que é uma função de n variáveis reais e explica a representação gráfica do domínio e do gráfico destas funções. Explora ainda curvas e superfícies de nível, exemplos de seções cônicas e esboços de gráficos usando curvas de nível.
1) O documento apresenta um resumo sobre funções e gráficos, incluindo definições de função, domínio, contradomínio e gráfico.
2) São apresentados exemplos de funções afins e quadráticas, com a explicação de como construir seus respectivos gráficos a partir de pontos escolhidos.
3) O autor explica a importância de se conhecer o gráfico de uma função para determinar completamente a função e saber se ela cresce ou decresce.
O documento introduz o conceito de derivadas, explicando o que são derivadas, como calculá-las e suas aplicações. Ele fornece exemplos de como usar derivadas para calcular velocidade, inclinação de curvas e tangentes. O documento também apresenta as regras gerais para derivar funções como potências, soma, produto e quociente.
1) O documento discute inferência para cadeias de Markov, incluindo definições de processos estocásticos, propriedade de Markov e cadeias de Markov homogêneas.
2) Apresenta um exemplo de molhamento foliar em culturas de soja e como um modelo de regressão logística pode ser usado para introduzir dependência temporal.
3) Discute a estimação de parâmetros para cadeias de Markov usando máxima verossimilhança.
MEDIDAS DE DISPERSÃO introduz medidas de dispersão absoluta como amplitude total e desvio médio simples. A amplitude total é a diferença entre o maior e menor valor da série. O desvio médio simples é a média aritmética dos desvios de cada elemento em relação à média da série. O documento explica o cálculo destas medidas para variáveis discretas e contínuas.
O documento discute os conceitos de juros compostos, incluindo:
1) A definição de juros compostos e como eles se acumulam de forma exponencial ao longo do tempo;
2) Fórmulas para calcular o montante e o valor presente a juros compostos;
3) O conceito de equivalência de capitais e a equação de valor.
O documento explica o conceito e cálculo de medidas separatrizes como quartis, quintis, decis e percentis. Descreve três casos para o cálculo: 1) dados brutos ou rol, 2) variável discreta, 3) variável contínua. Fornece fórmulas e exemplos para ilustrar o cálculo destas medidas a partir de diferentes tipos de dados.
O documento discute o cálculo e interpretação da variância e desvio padrão. Apresenta três casos: 1) dados brutos ou rol, onde calcula a variância e desvio padrão de uma série de dados; 2) variável discreta, onde mostra como calcular essas medidas para dados com repetições; 3) variável contínua, explicando o cálculo para dados agrupados em classes.
Este documento apresenta os conceitos e cálculos de medidas separatrizes em estatística. Explica medidas como quartis, quintis, decis e percentis, e fornece três casos para o cálculo destas medidas em dados brutos, variáveis discretas e contínuas, ilustrando com exemplos em cada caso.
Este documento trata sobre congruencias matemáticas. Explica la definición formal de congruencia y que define una relación de equivalencia. Presenta teoremas sobre operaciones con congruencias y aplicaciones como el Pequeño Teorema de Fermat. Incluye ejemplos y problemas para ilustrar los conceptos.
O documento discute sequências matemáticas, especificamente progressões aritméticas e geométricas. Apresenta definições, fórmulas e exemplos de sequências finitas e infinitas, progressões aritméticas e suas classificações, além de fornecer exercícios sobre o assunto.
O documento apresenta 4 exercícios matemáticos sobre equações modulares, determinação de valores, conjuntos solução e intervalos, que devem ser resolvidos em grupo de até 5 alunos.
O documento contém 10 exercícios de geometria sobre volumes e áreas de figuras geométricas como prisma, pirâmide, cubo e cilindro. As respostas incluem expressões algébricas e cálculos numéricos para determinar medidas como volume, área lateral, distância entre faces e altura.
Este documento descreve dois jogos matemáticos utilizando palitos de fósforo e um tabuleiro para ensinar adição e subtração de números inteiros. No primeiro jogo, os alunos resolvem enigmas movendo um ou dois palitos. No segundo jogo, eles avançam ou recuam casas em um tabuleiro lançando dois dados, aprendendo sobre os resultados das operações. O documento fornece instruções passo a passo e sugestões de perguntas para os alunos.
O documento discute diferentes formas de contar permutações circulares e combinações completas. Explica que o número de modos de colocar n objetos em um círculo é dado por (PC)n, e que (PC)n é diferente de Pn. Também mostra que o número de modos de escolher p objetos entre n é dado por nC p.
A agenda anuncia os eventos de uma greve de professores durante a semana de 22 a 26 de abril. Inclui visitas a escolas e municípios para divulgação da greve, o início da greve na terça-feira com a inauguração da sede do sindicato, e atos públicos de panfletagem e blitz nas escolas durante a semana.
O documento apresenta a agenda da greve do Núcleo Açailândia com as atividades planejadas entre os dias 22 a 26 de abril, incluindo visitas às escolas, início da greve no dia 23, inauguração da sede sindical, panfletagem no centro da cidade e blitz nas escolas.
A agenda anuncia os eventos de uma greve de professores durante a semana de 22 a 26 de abril. Inclui visitas a escolas e municípios no dia 22, início da greve e inauguração da sede sindical no dia 23, panfletagem no centro da cidade no dia 24, reunião interna no dia 25 e blitz nas escolas no dia 26.
O documento apresenta a agenda da greve do Núcleo Açailândia com as atividades planejadas entre os dias 22 a 26 de abril, incluindo visitas às escolas, início da greve no dia 23, inauguração da sede sindical, panfletagem no centro da cidade e blitz nas escolas.
O documento discute intervalos reais, definindo-os como subconjuntos da reta real delimitados por desigualdades. Intervalos podem ser fechados, abertos ou semiabertos dependendo se incluem ou não os extremos, e são representados graficamente e por notação matemática. Exemplos ilustram como realizar operações com intervalos como interseção, união e diferença.
O documento discute diferentes formas de contar permutações circulares e combinações completas. Explica que o número de modos de colocar n objetos em um círculo onde rotações são equivalentes é dado por (PC)n, e calcula (PC)n como n!. Também mostra que o número de modos de escolher 4 sorvetes de 7 sabores é dado por C(7,4).
O documento define sequências como funções entre conjuntos de números naturais e um conjunto B qualquer. Ele explica que uma sequência finita mapeia um conjunto finito de números naturais para B, enquanto uma sequência infinita mapeia todos os números naturais para B. O documento também introduz a noção de termos de uma sequência e extremos de uma sequência finita.
Uma função exponencial é definida como f(x) = ax, onde a é uma constante real diferente de zero. Se a for maior que 1, a função será crescente, se a for entre 0 e 1, a função será decrescente. Os gráficos mostram exemplos de funções exponenciais crescente (a = 2) e decrescente (a = 1/2).
O documento descreve a função exponencial como sendo f(x) = ax, onde a é a base e diferente de 1. Exemplos incluem f(x) = 2x e f(x) = 1/2x. O gráfico da função será crescente se a > 1 e decrescente se 0 < a < 1, sempre no domínio e contradomínio reais positivos.
A festa junina é uma tradicional festividade popular que acontece durante o m...ANDRÉA FERREIRA
Os historiadores apontam que as origens da Festa Junina estão diretamente relacionadas a festividades pagãs realizadas na Europa no solstício de verão, momento em que ocorre a passagem da primavera para o verão.
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Manual da UFCD_7211_Os sistemas do corpo humano_ imunitário, circulatório, respiratório, nervoso e músculo-esquelético_pronto para envio, via email e formato editável.
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Aula 08 de estatística
1. Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao
Medidas de dispers˜ao relativa
Prof. Me. Josivaldo Nascimento dos Passos
MEDIDAS DE DISPERS˜AO
UNIVERSIADE ESTADUAL DO MARANH˜AO
17 de outubro de 2016
Estat´ıtica B´asica
2. Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao
Medidas de dispers˜ao relativa
Sum´ario
Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Introdu¸c˜ao;
Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao;
1o Caso - DADOS BRUTOS OU ROL
2o Caso - Vari´avel Discreta
3o Caso - Vari´avel Cont´ınua
Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao
Medidas de dispers˜ao relativa
Estat´ıtica B´asica
3. Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao
Medidas de dispers˜ao relativa
Introdu¸c˜ao
Observamos no item anterior que a dificuldade em se operar com o
DMS se deve a presen¸ca do m´odulo, para que as diferen¸cas xi − x
possam ser interpretadas como distˆancias.
Outra forma de se conseguir que as diferen¸cas xi − x se tornem
sempre positivas ou nulas ´e considerar o quadrado destas diferen¸cas,
isto ´e: (xi − x)2.
Se substituirmos, nas f´ormulas do DMS a express˜ao xi − x por
(xi − x)2, obteremos nova medida de dispers˜ao chamada variˆancia.
Portanto, variˆancia ´e uma m´edia aritm´etica calculada a partir dos
quadrados dos desvios obtidos entre os elementos da s´erie e a sua
m´edia.
Estat´ıtica B´asica
4. Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao
Medidas de dispers˜ao relativa
Introdu¸c˜ao
O desvio padr˜ao ´e a raiz quadrada positiva da variˆancia.
Em particular, para estas medidas levaremos em considera¸c˜ao o fato
de a sequˆencia de dados representar toda uma popula¸c˜ao ou apenas
uma amostra de uma popula¸c˜ao.
No final desta sec¸c˜ao justificaremos esta necessidade.
Nota¸c˜oes: Quando a sequˆencia de dados representa uma Popula¸c˜ao
a variˆancia ser´a denotada por σ2(x) e o desvio padr˜ao correspon-
dente por σ(x).
Quando a sequˆencia de dados representa uma amostra, a variˆancia
ser´a denotada por s2(x) e o desvio padr˜ao correspondente por s(x).
Estat´ıtica B´asica
5. Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao
Medidas de dispers˜ao relativa
1o
Caso - DADOS BRUTOS OU ROL
a) Se a sequˆencia representa uma Popula¸c˜ao, a variˆancia ´e calcu-
lada pela f´ormula:
σ2
(x) =
(xi − x)2
n
Exemplo
Calcule a variˆancia e o desvio padr˜ao da sequˆencia: X : 4, 5, 8, 5.
A sequˆencia cont´em n = 4 elementos e tem por m´edia:
X =
xi
n
=
4 + 5 + 8 + 5
4
= 5, 5
Estat´ıtica B´asica
6. Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao
Medidas de dispers˜ao relativa
1o
Caso - DADOS BRUTOS OU ROL
Os quadrados das diferen¸cas (xi − x)2 valem:
(xi − x)2 = (4 − 5, 5)2 = 2, 25
(xi − x)2 = (5 − 5, 5)2 = 0, 25
(xi − x)2 = (8 − 5, 5)2 = 6, 25
(xi − x)2 = (5 − 5, 5)2 = 0, 25
Somando-se estes valores obtem-se (xi − x)2 = 9.
Substituindo esses valores na f´ormula da variˆancia, teremos:
σ2
(x) =
(xi − x)2
n
=
9
4
= 2, 25
Como o desvio padr˜ao ´e a raiz quadrada positiva da variˆancia,
σ(x) = σ2(x) = 2, 25 = 1, 5 unidades.
Estat´ıtica B´asica
7. Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao
Medidas de dispers˜ao relativa
1o
Caso - DADOS BRUTOS OU ROL
b) Se a sequˆencia anterior representasse apenas uma amostra, a
variˆancia seria denotada por s2(x) e o desvio padr˜ao por s(x).
Neste caso,
s2
(x) =
(xi − x)2
n − 1
e
s(x) = s2(x)
Notemos a diferen¸ca entre a f´ormula do slide 5 de σ2(x) (indi-
cado para Popula¸c˜oes) e s2(x) para amostra.
Assim,
s2(x) =
(xi − x)2
n − 1
=
9
3
= 3 e o desvio padr˜ao ´e s(x) =
√
3 = 1, 73.
Estat´ıtica B´asica
8. Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao
Medidas de dispers˜ao relativa
2o
Caso - VARI´AVEL DISCRETA
Como h´a repeti¸c˜oes de elementos na s´erie, definimos a variˆancia
como sendo uma m´edia aritm´etica ponderada dos quadrados dos
desvios dos elementos da s´erie para a m´edia da s´erie.
a) Se a vari´avel discreta ´e representativa de uma Popula¸c˜ao, ent˜ao
a variˆancia ´e dada por:
σ2
(x) =
[(xi − x)2.fi ]
fi
e o desvio padr˜ao ´e:
σ(x) = σ2(x)
Estat´ıtica B´asica
9. Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao
Medidas de dispers˜ao relativa
2o
Caso - VARI´AVEL DISCRETA
b) Se a vari´avel discreta ´e representativa de uma amostra, ent˜ao
a variˆancia ´e dada por:
s2
(x) =
[(xi − x)2.fi ]
fi − 1
e o desvio padr˜ao ´e:
s(x) = s2(x)
Estat´ıtica B´asica
10. Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao
Medidas de dispers˜ao relativa
2o
Caso - VARI´AVEL DISCRETA
Exemplo
Calcule a variˆancia e o desvio padr˜ao da s´erie abaixo, representativa
de uma popula¸c˜ao.
xi fi
2 3
3 5
4 8
5 4
O n´umero de elemento da s´erie ´e n = fi = 20.
A m´edia desta s´erie ´e X =
xi fi
fi
Estat´ıtica B´asica
11. Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao
Medidas de dispers˜ao relativa
2o
Caso - VARI´AVEL DISCRETA
xi fi xi fi
2 3 6
3 5 15
4 8 32
5 4 20
fi = 20 xi fi = 73
A m´edia desta s´erie ´e X =
xi fi
fi
=
73
20
= 3, 65
Como estamos trabalhando com uma Popula¸c˜ao a variˆancia ´e dada
por:
σ2
(x) =
[(xi − x)2.fi ]
fi
Desenvolvendo nova coluna para estes c´alculos, obt´em-se:
Estat´ıtica B´asica
12. Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao
Medidas de dispers˜ao relativa
2o
Caso - VARI´AVEL DISCRETA
xi fi xi fi (xi − x)2fi
2 3 6 8,1675
3 5 15 2,1125
4 8 32 0,9800
5 4 20 7,2900
fi = 20 xi fi = 73 [(xi − x)2fi ] = 18, 55
A variˆancia ´e:
σ2
(x) =
[(xi − x)2.fi ]
fi
=
18, 55
20
= 0, 9275
e o desvio padr˜ao correspondente ´e σ(x) =
√
0, 9275 = 0, 963
Estat´ıtica B´asica
13. Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao
Medidas de dispers˜ao relativa
2o
Caso - VARI´AVEL DISCRETA
Exemplo
Se a vari´avel discreta fosse representativa de uma amostra, a
variˆancia seria indicada por s2(x) e seria calculada por:
s2
(x) =
[(xi − x)2.fi ]
fi − 1
=
18, 55
19
= 0, 9763
O desvio padr˜ao seria calculado por s(x) =
√
0, 9763 = 0, 988.
Estat´ıtica B´asica
14. Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao
Medidas de dispers˜ao relativa
3o
Caso - VARI´AVEL CONT´INUA
Novamente, por desconhecer os particulares valores xi da s´erie, subs-
tituiremos nas f´ormulas anteriores estes valores pelos pontos m´edios
de classe.
A f´ormula da variˆancia para uma vari´avel cont´ınua representativa de
uma popula¸c˜ao ´e:
σ2
(x) =
[(xi − x)2.fi ]
fi
onde xi ´e o ponto m´edio da classe i.
Se a vari´avel cont´ınua representa uma amostra ent˜ao a variˆancia
denotada por s2(x) e sua f´ormula de c´alculo ´e:
s2
(x) =
[(xi − x)2.fi ]
fi − 1
Estat´ıtica B´asica
15. Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao
Medidas de dispers˜ao relativa
3o
Caso - VARI´AVEL CONT´INUA
Exemplo
Calcule a variˆancia e o desvio padr˜ao para a s´erie representativa de
uma Popula¸c˜ao:
Classe Int. cl. fi
1 0 4 1
2 4 8 3
3 8 12 5
4 12 16 1
O n´umero de elementos da s´erie ´e n = fi = 10.
A m´edia da s´erie ´e X =
xi fi
fi
onde xi s˜ao os pontos m´edios de
classe.
Estat´ıtica B´asica
16. Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao
Medidas de dispers˜ao relativa
3o
Caso - VARI´AVEL CONT´INUA
Classe Int. cl. fi xi fi
1 0 4 1 2
2 4 8 3 18
3 8 12 5 50
4 12 16 1 14
fi = 10 xi fi = 84
A m´edia da s´erie ´e:
X =
xi fi
fi
=
84
10
= 8, 4
Como a vari´avel cont´ınua ´e representativa de uma popula¸c˜ao,
ent˜ao a variˆancia ´e dada por:
σ2
(x) =
[(xi − x)2.fi ]
fi
Estat´ıtica B´asica
17. Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao
Medidas de dispers˜ao relativa
3o
Caso - VARI´AVEL CONT´INUA
Classe Int. cl. fi xi fi (xi − x)2fi
1 0 4 1 2 40,96
2 4 8 3 18 17,28
3 8 12 5 50 12,80
4 12 16 1 14 31,36
= 10 = 84 = 102, 4
A variˆancia ´e, portanto:
σ2
(x) =
[(xi − x)2.fi ]
fi
=
102, 4
10
= 10, 24
e o desvio padr˜ao ´e: σ(x) =
√
10, 24 = 3, 2.
Estat´ıtica B´asica
18. Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao
Medidas de dispers˜ao relativa
3o
Caso - VARI´AVEL CONT´INUA
Exemplo
Se a vari´avel cont´ınua fosse representativa de uma amostra, a
variˆancia seria indicada por s2(x) e sua f´ormula de c´alculo seria:
s2
(x) =
[(xi − x)2.fi ]
fi − 1
Dessa forma, s2(x) =
102, 4
9
= 11, 38 e o desvio padr˜ao seria
s(x) =
√
11, 38 = 3, 373
Estat´ıtica B´asica
19. Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao
Medidas de dispers˜ao relativa
Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao
Coment´arios:
1. No c´alculo da variˆancia, quando elevamos ao quadrado a di-
feren¸ca (xi − x), a unidade de medida da s´erie fica tamb´em
elevada ao quadrado.
Portanto, a variˆancia ´e dada sempre no quadrado da unidade
de medida da s´erie.
Se os dados s˜ao expressos em metros, a variˆancia ´e expressa
em metros quadrados.
Em algumas situa¸c˜oes, a unidade de medida da variˆancia nem
faz sentido.
´E o caso, por exemplo, em que os dados s˜ao expressos em litros.
A variˆancia ser´a expressa em litros quadrados.
Portanto, o valor da variˆancia n˜ao pode ser comparado dire-
tamente com os dados da s´erie, ou seja: variˆancia n˜ao tem
interpreta¸c˜ao.
Estat´ıtica B´asica
20. Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao
Medidas de dispers˜ao relativa
Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao
2. Exatamente para suprir esta deficiˆencia da variˆancia ´e que se
define o desvio padr˜ao.
Como o desvio padr˜ao ´e a raiz quadrada da variˆancia, o desvio
padr˜ao ter´a sempre a mesma unidade de medida da s´erie e
portanto admite interprcta¸c˜ao.
Estat´ıtica B´asica
21. Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao
Medidas de dispers˜ao relativa
Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao
O desvio padr˜ao ´e, sem duvida, a mais importante das medidas de
dispers˜ao.
´E fundamental que o interessado consiga relacionar o valor obtido
do desvio padr˜ao com os dados da s´erie.
Quando uma curva de frequˆencia representativa da s´erie ´e perfei-
tamente sim´etrica como a curva abaixo, podemos afirmar que o
intervalo [x − σ, x + σ] cont´em aproximadamente 68% dos valores
da s´erie.
Estat´ıtica B´asica
22. Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao
Medidas de dispers˜ao relativa
Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao
O intervalo [x − 2σ, x + 2σ] cont´em aproximadamente 95% dos
valores da s´erie.
O intervalo [x − 3σ, x + 3σ] cont´em aproximadamente 99% dos
valores da s´erie.
Estat´ıtica B´asica
23. Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao
Medidas de dispers˜ao relativa
Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao
Estes percentuais 68%, 95% e 99% que citamos na interpreta¸c˜ao
poder˜ao mais tarde ser comprovados, com maior precis˜ao, no estudo
da distribui¸c˜ao normal de probabilidades.
Estat´ıtica B´asica
24. Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao
Medidas de dispers˜ao relativa
Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao
Para uma compreens˜ao inicial do desvio padr˜ao, estas no¸c˜oes s˜ao
suficientes.
Quando a distribui¸c˜ao n˜ao ´e perfeitamente sim´etrica estes percen-
tuais apresentam pequenas varia¸c˜oes para mais ou para menos, se-
gundo o caso.
De modo que, quando se afirma que uma s´erie apresenta m´edia
x = 100 e desvio padr˜ao σ(x) = 5, podemos interpretar estes valores
da seguinte forma:
1. Os valores da s´erie est˜ao concentrados em torno de 100.
Estat´ıtica B´asica
25. Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao
Medidas de dispers˜ao relativa
Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao
2. O intervalo [95, 105] cont´em aproximadamente, 68% dos valo-
res da s´erie.
O intervalo [90, 110] cont´em aproximadamente 95% dos valores
da s´erie.
O intervalo [85, 115] cont´em aproximadamente 99% dos valores
da s´erie.
´E importante que se tenha percebido que, ao aumentar o tama-
nho do intervalo, aumenta-se o percentual de elementos contido
no intervalo.
Adiante verificaremos que ´e poss´ıvel controlar o tamanho do
intervalo de modo que contenha exatamente o percentual que
queremos.
Estat´ıtica B´asica
26. Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao
Medidas de dispers˜ao relativa
Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao
3. As medidas de dispers˜ao vistas at´e agora s˜ao medidas absolutas
e portanto avaliam a dispers˜ao absoluta da s´erie. Todas elas
s˜ao diretamente proporcionais a dispers˜ao absoluta.
Assim, se a s´erie X apresenta x = 20 e σ(x) = 3 e se a s´erie Y
apresenta y = 22 e σ(y) = 2, podemos afirmar, comparando
os desvios padr˜ao, que a s´erie X apresenta maior dispers˜ao
absoluta.
4. Para justificar que o denominador da variˆancia amostral deve
ser n − 1 e n˜ao n, usaremos o seguinte argumento:
O modelo matem´atico que calcula a variˆancia de uma amostra
n˜ao pode ser
σ2
(x) =
(xi − x)2
n
,
pois caso isto fosse verdadeiro, este modelo deveria determinar
a variˆancia para qualquer tamanho de amostra.
Estat´ıtica B´asica
27. Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao
Medidas de dispers˜ao relativa
Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao
Suponha uma amostra constitu´ıda de um ´unico elemento X1.
O valor m´edio da amostra tamb´em ´e x1.
Calculando a variˆancia pelo modelo acima, teremos:
σ2
(x) =
(xi − xi )2
1
= 0.
Ser´ıamos induzidos a afirmar que a dispers˜ao da popula¸c˜ao de onde
prov´em a amostra ´e zero, isto ´e, a popula¸c˜ao ´e constitu´ıda em sua to-
talidade por elementos idˆenticos. O que ´e, em geral, uma afirma¸c˜ao
falsa.
Para corrigir o modelo matem´atico, basta colocar no denominador
n − 1. O modelo ´e escrito ent˜ao:
s2
(x) =
(xi − x)2
n − 1
Estat´ıtica B´asica
28. Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao
Medidas de dispers˜ao relativa
Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao
Observe que agora o modelo ´e coerente. Mesmo quando a amostra
tiver apenas um elemento x1, o c´alculo de s2(x) leva-nos a uma
indetermina¸c˜ao do tipo
0
0
. O que significa que a variˆancia existe,
mas n˜ao est´a determinada.
Significa tamb´em que amostras de apenas um elemento n˜ao nos
fornece informa¸c˜oes sobre a variˆancia da s´erie.
Estat´ıtica B´asica
29. Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao
Medidas de dispers˜ao relativa
Medidas de dispers˜ao relativa
Se uma s´erie X apresenta x = 10 e σ(x) = 2 e uma s´erie Y apresenta
y = 100 e σ(y) = 5, do ponto de vista da dispers˜ao absoluta, a
s´erie Y apresenta maior dispers˜ao que a s´erie X.
No entanto, se levarmos em considera¸c˜ao as m´edias das s´eries, o
desvio padr˜ao de Y que ´e 5 em rela¸c˜ao a 100 ´e um valor menos
significativo que o desvio padr˜ao de X que ´e 2 em rela¸c˜ao a 10.
Isto nos leva a definir as medidas de dispers˜ao relativas: coeficiente
de varia¸c˜ao e variˆancia relativa.
O coeficiente de varia¸c˜ao de uma s´erie X ´e indicado por CV(x) de-
finido por:
CV(x) =
σ(x)
x
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30. Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao
Medidas de dispers˜ao relativa
Medidas de dispers˜ao relativa
A variˆancia relativa de uma s´erie X ´e indicada por V (x) e definida
por:
V (x) =
σ2(x)
(x)2
Note que o coeficiente de varia¸c˜ao, como ´e uma divis˜ao de elementos
de mesma unidade, ´e um n´umero puro. Portanto, pode ser expresso
em percentual.
Este fato justifica a utiliza¸c˜ao do denominador (x)2 na defini¸c˜ao de
V (x).
Deste modo, se calcularmos o coeficiente de varia¸c˜ao da s´erie X
citada no in´ıcio obteremos:
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31. Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao
Medidas de dispers˜ao relativa
Medidas de dispers˜ao relativa
CV(x) =
2
10
= 0, 2 ou 20%
Calculando o coeficiente de varia¸c˜ao da s´erie Y obteremos:
CV(y) =
5
100
= 0, 05 ou 5%
Comparando os valores destes dois coeficientes conclu´ımos que a
s´erie X admite maior dispers˜ao relativa.
Como a medida de dispers˜ao relativa leva em considera¸c˜ao a me-
dida de dispers˜ao absoluta e a m´edia da s´erie, ´e uma medida mais
completa que a medida de dispers˜ao absoluta.
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32. Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao
Medidas de dispers˜ao relativa
Medidas de dispers˜ao relativa
Portanto, a medida de dispers˜ao relativa prevalece sobre a medida
de dispers˜ao absoluta. Podemos afirmar que a s´erie que tem a maior
disperss˜ao relativa, tem de modo geral a maior dispers˜ao.
Concluindo o exemplo anterior:
A s´erie Y apresenta maior dispers˜ao absoluta.
A s´erie X apresenta maior dispers˜ao relativa.
Portanto, a s´erie X apresenta maior dispers˜ao.
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33. Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao
Medidas de dispers˜ao relativa
MARTINS, Gilberto de Andrade Martins, Estat´ıstica Geral e
Aplicada, 4 ed. S˜ao Paulo: Editora Atlas S.A., 2011
SILVA, Ermes Medeiros da; SILVA, Elio Medeiros da;
GONC¸ALVES, Valter; MUROLO, Afrˆanio Carlos,
ESTAT´ISTICA Para os cursos de: Economia, Administra¸c˜ao e
Ciˆencias Contabeis 3 ed. S˜ao Paulo: Editora Atlas S.A., 1999
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