SlideShare uma empresa Scribd logo
Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao
Medidas de dispers˜ao relativa
Prof. Me. Josivaldo Nascimento dos Passos
MEDIDAS DE DISPERS˜AO
UNIVERSIADE ESTADUAL DO MARANH˜AO
17 de outubro de 2016
Estat´ıtica B´asica
Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao
Medidas de dispers˜ao relativa
Sum´ario
Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Introdu¸c˜ao;
Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao;
1o Caso - DADOS BRUTOS OU ROL
2o Caso - Vari´avel Discreta
3o Caso - Vari´avel Cont´ınua
Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao
Medidas de dispers˜ao relativa
Estat´ıtica B´asica
Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao
Medidas de dispers˜ao relativa
Introdu¸c˜ao
Observamos no item anterior que a dificuldade em se operar com o
DMS se deve a presen¸ca do m´odulo, para que as diferen¸cas xi − x
possam ser interpretadas como distˆancias.
Outra forma de se conseguir que as diferen¸cas xi − x se tornem
sempre positivas ou nulas ´e considerar o quadrado destas diferen¸cas,
isto ´e: (xi − x)2.
Se substituirmos, nas f´ormulas do DMS a express˜ao xi − x por
(xi − x)2, obteremos nova medida de dispers˜ao chamada variˆancia.
Portanto, variˆancia ´e uma m´edia aritm´etica calculada a partir dos
quadrados dos desvios obtidos entre os elementos da s´erie e a sua
m´edia.
Estat´ıtica B´asica
Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao
Medidas de dispers˜ao relativa
Introdu¸c˜ao
O desvio padr˜ao ´e a raiz quadrada positiva da variˆancia.
Em particular, para estas medidas levaremos em considera¸c˜ao o fato
de a sequˆencia de dados representar toda uma popula¸c˜ao ou apenas
uma amostra de uma popula¸c˜ao.
No final desta sec¸c˜ao justificaremos esta necessidade.
Nota¸c˜oes: Quando a sequˆencia de dados representa uma Popula¸c˜ao
a variˆancia ser´a denotada por σ2(x) e o desvio padr˜ao correspon-
dente por σ(x).
Quando a sequˆencia de dados representa uma amostra, a variˆancia
ser´a denotada por s2(x) e o desvio padr˜ao correspondente por s(x).
Estat´ıtica B´asica
Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao
Medidas de dispers˜ao relativa
1o
Caso - DADOS BRUTOS OU ROL
a) Se a sequˆencia representa uma Popula¸c˜ao, a variˆancia ´e calcu-
lada pela f´ormula:
σ2
(x) =
(xi − x)2
n
Exemplo
Calcule a variˆancia e o desvio padr˜ao da sequˆencia: X : 4, 5, 8, 5.
A sequˆencia cont´em n = 4 elementos e tem por m´edia:
X =
xi
n
=
4 + 5 + 8 + 5
4
= 5, 5
Estat´ıtica B´asica
Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao
Medidas de dispers˜ao relativa
1o
Caso - DADOS BRUTOS OU ROL
Os quadrados das diferen¸cas (xi − x)2 valem:
(xi − x)2 = (4 − 5, 5)2 = 2, 25
(xi − x)2 = (5 − 5, 5)2 = 0, 25
(xi − x)2 = (8 − 5, 5)2 = 6, 25
(xi − x)2 = (5 − 5, 5)2 = 0, 25
Somando-se estes valores obtem-se (xi − x)2 = 9.
Substituindo esses valores na f´ormula da variˆancia, teremos:
σ2
(x) =
(xi − x)2
n
=
9
4
= 2, 25
Como o desvio padr˜ao ´e a raiz quadrada positiva da variˆancia,
σ(x) = σ2(x) = 2, 25 = 1, 5 unidades.
Estat´ıtica B´asica
Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao
Medidas de dispers˜ao relativa
1o
Caso - DADOS BRUTOS OU ROL
b) Se a sequˆencia anterior representasse apenas uma amostra, a
variˆancia seria denotada por s2(x) e o desvio padr˜ao por s(x).
Neste caso,
s2
(x) =
(xi − x)2
n − 1
e
s(x) = s2(x)
Notemos a diferen¸ca entre a f´ormula do slide 5 de σ2(x) (indi-
cado para Popula¸c˜oes) e s2(x) para amostra.
Assim,
s2(x) =
(xi − x)2
n − 1
=
9
3
= 3 e o desvio padr˜ao ´e s(x) =
√
3 = 1, 73.
Estat´ıtica B´asica
Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao
Medidas de dispers˜ao relativa
2o
Caso - VARI´AVEL DISCRETA
Como h´a repeti¸c˜oes de elementos na s´erie, definimos a variˆancia
como sendo uma m´edia aritm´etica ponderada dos quadrados dos
desvios dos elementos da s´erie para a m´edia da s´erie.
a) Se a vari´avel discreta ´e representativa de uma Popula¸c˜ao, ent˜ao
a variˆancia ´e dada por:
σ2
(x) =
[(xi − x)2.fi ]
fi
e o desvio padr˜ao ´e:
σ(x) = σ2(x)
Estat´ıtica B´asica
Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao
Medidas de dispers˜ao relativa
2o
Caso - VARI´AVEL DISCRETA
b) Se a vari´avel discreta ´e representativa de uma amostra, ent˜ao
a variˆancia ´e dada por:
s2
(x) =
[(xi − x)2.fi ]
fi − 1
e o desvio padr˜ao ´e:
s(x) = s2(x)
Estat´ıtica B´asica
Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao
Medidas de dispers˜ao relativa
2o
Caso - VARI´AVEL DISCRETA
Exemplo
Calcule a variˆancia e o desvio padr˜ao da s´erie abaixo, representativa
de uma popula¸c˜ao.
xi fi
2 3
3 5
4 8
5 4
O n´umero de elemento da s´erie ´e n = fi = 20.
A m´edia desta s´erie ´e X =
xi fi
fi
Estat´ıtica B´asica
Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao
Medidas de dispers˜ao relativa
2o
Caso - VARI´AVEL DISCRETA
xi fi xi fi
2 3 6
3 5 15
4 8 32
5 4 20
fi = 20 xi fi = 73
A m´edia desta s´erie ´e X =
xi fi
fi
=
73
20
= 3, 65
Como estamos trabalhando com uma Popula¸c˜ao a variˆancia ´e dada
por:
σ2
(x) =
[(xi − x)2.fi ]
fi
Desenvolvendo nova coluna para estes c´alculos, obt´em-se:
Estat´ıtica B´asica
Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao
Medidas de dispers˜ao relativa
2o
Caso - VARI´AVEL DISCRETA
xi fi xi fi (xi − x)2fi
2 3 6 8,1675
3 5 15 2,1125
4 8 32 0,9800
5 4 20 7,2900
fi = 20 xi fi = 73 [(xi − x)2fi ] = 18, 55
A variˆancia ´e:
σ2
(x) =
[(xi − x)2.fi ]
fi
=
18, 55
20
= 0, 9275
e o desvio padr˜ao correspondente ´e σ(x) =
√
0, 9275 = 0, 963
Estat´ıtica B´asica
Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao
Medidas de dispers˜ao relativa
2o
Caso - VARI´AVEL DISCRETA
Exemplo
Se a vari´avel discreta fosse representativa de uma amostra, a
variˆancia seria indicada por s2(x) e seria calculada por:
s2
(x) =
[(xi − x)2.fi ]
fi − 1
=
18, 55
19
= 0, 9763
O desvio padr˜ao seria calculado por s(x) =
√
0, 9763 = 0, 988.
Estat´ıtica B´asica
Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao
Medidas de dispers˜ao relativa
3o
Caso - VARI´AVEL CONT´INUA
Novamente, por desconhecer os particulares valores xi da s´erie, subs-
tituiremos nas f´ormulas anteriores estes valores pelos pontos m´edios
de classe.
A f´ormula da variˆancia para uma vari´avel cont´ınua representativa de
uma popula¸c˜ao ´e:
σ2
(x) =
[(xi − x)2.fi ]
fi
onde xi ´e o ponto m´edio da classe i.
Se a vari´avel cont´ınua representa uma amostra ent˜ao a variˆancia
denotada por s2(x) e sua f´ormula de c´alculo ´e:
s2
(x) =
[(xi − x)2.fi ]
fi − 1
Estat´ıtica B´asica
Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao
Medidas de dispers˜ao relativa
3o
Caso - VARI´AVEL CONT´INUA
Exemplo
Calcule a variˆancia e o desvio padr˜ao para a s´erie representativa de
uma Popula¸c˜ao:
Classe Int. cl. fi
1 0 4 1
2 4 8 3
3 8 12 5
4 12 16 1
O n´umero de elementos da s´erie ´e n = fi = 10.
A m´edia da s´erie ´e X =
xi fi
fi
onde xi s˜ao os pontos m´edios de
classe.
Estat´ıtica B´asica
Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao
Medidas de dispers˜ao relativa
3o
Caso - VARI´AVEL CONT´INUA
Classe Int. cl. fi xi fi
1 0 4 1 2
2 4 8 3 18
3 8 12 5 50
4 12 16 1 14
fi = 10 xi fi = 84
A m´edia da s´erie ´e:
X =
xi fi
fi
=
84
10
= 8, 4
Como a vari´avel cont´ınua ´e representativa de uma popula¸c˜ao,
ent˜ao a variˆancia ´e dada por:
σ2
(x) =
[(xi − x)2.fi ]
fi
Estat´ıtica B´asica
Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao
Medidas de dispers˜ao relativa
3o
Caso - VARI´AVEL CONT´INUA
Classe Int. cl. fi xi fi (xi − x)2fi
1 0 4 1 2 40,96
2 4 8 3 18 17,28
3 8 12 5 50 12,80
4 12 16 1 14 31,36
= 10 = 84 = 102, 4
A variˆancia ´e, portanto:
σ2
(x) =
[(xi − x)2.fi ]
fi
=
102, 4
10
= 10, 24
e o desvio padr˜ao ´e: σ(x) =
√
10, 24 = 3, 2.
Estat´ıtica B´asica
Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao
Medidas de dispers˜ao relativa
3o
Caso - VARI´AVEL CONT´INUA
Exemplo
Se a vari´avel cont´ınua fosse representativa de uma amostra, a
variˆancia seria indicada por s2(x) e sua f´ormula de c´alculo seria:
s2
(x) =
[(xi − x)2.fi ]
fi − 1
Dessa forma, s2(x) =
102, 4
9
= 11, 38 e o desvio padr˜ao seria
s(x) =
√
11, 38 = 3, 373
Estat´ıtica B´asica
Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao
Medidas de dispers˜ao relativa
Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao
Coment´arios:
1. No c´alculo da variˆancia, quando elevamos ao quadrado a di-
feren¸ca (xi − x), a unidade de medida da s´erie fica tamb´em
elevada ao quadrado.
Portanto, a variˆancia ´e dada sempre no quadrado da unidade
de medida da s´erie.
Se os dados s˜ao expressos em metros, a variˆancia ´e expressa
em metros quadrados.
Em algumas situa¸c˜oes, a unidade de medida da variˆancia nem
faz sentido.
´E o caso, por exemplo, em que os dados s˜ao expressos em litros.
A variˆancia ser´a expressa em litros quadrados.
Portanto, o valor da variˆancia n˜ao pode ser comparado dire-
tamente com os dados da s´erie, ou seja: variˆancia n˜ao tem
interpreta¸c˜ao.
Estat´ıtica B´asica
Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao
Medidas de dispers˜ao relativa
Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao
2. Exatamente para suprir esta deficiˆencia da variˆancia ´e que se
define o desvio padr˜ao.
Como o desvio padr˜ao ´e a raiz quadrada da variˆancia, o desvio
padr˜ao ter´a sempre a mesma unidade de medida da s´erie e
portanto admite interprcta¸c˜ao.
Estat´ıtica B´asica
Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao
Medidas de dispers˜ao relativa
Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao
O desvio padr˜ao ´e, sem duvida, a mais importante das medidas de
dispers˜ao.
´E fundamental que o interessado consiga relacionar o valor obtido
do desvio padr˜ao com os dados da s´erie.
Quando uma curva de frequˆencia representativa da s´erie ´e perfei-
tamente sim´etrica como a curva abaixo, podemos afirmar que o
intervalo [x − σ, x + σ] cont´em aproximadamente 68% dos valores
da s´erie.
Estat´ıtica B´asica
Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao
Medidas de dispers˜ao relativa
Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao
O intervalo [x − 2σ, x + 2σ] cont´em aproximadamente 95% dos
valores da s´erie.
O intervalo [x − 3σ, x + 3σ] cont´em aproximadamente 99% dos
valores da s´erie.
Estat´ıtica B´asica
Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao
Medidas de dispers˜ao relativa
Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao
Estes percentuais 68%, 95% e 99% que citamos na interpreta¸c˜ao
poder˜ao mais tarde ser comprovados, com maior precis˜ao, no estudo
da distribui¸c˜ao normal de probabilidades.
Estat´ıtica B´asica
Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao
Medidas de dispers˜ao relativa
Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao
Para uma compreens˜ao inicial do desvio padr˜ao, estas no¸c˜oes s˜ao
suficientes.
Quando a distribui¸c˜ao n˜ao ´e perfeitamente sim´etrica estes percen-
tuais apresentam pequenas varia¸c˜oes para mais ou para menos, se-
gundo o caso.
De modo que, quando se afirma que uma s´erie apresenta m´edia
x = 100 e desvio padr˜ao σ(x) = 5, podemos interpretar estes valores
da seguinte forma:
1. Os valores da s´erie est˜ao concentrados em torno de 100.
Estat´ıtica B´asica
Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao
Medidas de dispers˜ao relativa
Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao
2. O intervalo [95, 105] cont´em aproximadamente, 68% dos valo-
res da s´erie.
O intervalo [90, 110] cont´em aproximadamente 95% dos valores
da s´erie.
O intervalo [85, 115] cont´em aproximadamente 99% dos valores
da s´erie.
´E importante que se tenha percebido que, ao aumentar o tama-
nho do intervalo, aumenta-se o percentual de elementos contido
no intervalo.
Adiante verificaremos que ´e poss´ıvel controlar o tamanho do
intervalo de modo que contenha exatamente o percentual que
queremos.
Estat´ıtica B´asica
Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao
Medidas de dispers˜ao relativa
Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao
3. As medidas de dispers˜ao vistas at´e agora s˜ao medidas absolutas
e portanto avaliam a dispers˜ao absoluta da s´erie. Todas elas
s˜ao diretamente proporcionais a dispers˜ao absoluta.
Assim, se a s´erie X apresenta x = 20 e σ(x) = 3 e se a s´erie Y
apresenta y = 22 e σ(y) = 2, podemos afirmar, comparando
os desvios padr˜ao, que a s´erie X apresenta maior dispers˜ao
absoluta.
4. Para justificar que o denominador da variˆancia amostral deve
ser n − 1 e n˜ao n, usaremos o seguinte argumento:
O modelo matem´atico que calcula a variˆancia de uma amostra
n˜ao pode ser
σ2
(x) =
(xi − x)2
n
,
pois caso isto fosse verdadeiro, este modelo deveria determinar
a variˆancia para qualquer tamanho de amostra.
Estat´ıtica B´asica
Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao
Medidas de dispers˜ao relativa
Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao
Suponha uma amostra constitu´ıda de um ´unico elemento X1.
O valor m´edio da amostra tamb´em ´e x1.
Calculando a variˆancia pelo modelo acima, teremos:
σ2
(x) =
(xi − xi )2
1
= 0.
Ser´ıamos induzidos a afirmar que a dispers˜ao da popula¸c˜ao de onde
prov´em a amostra ´e zero, isto ´e, a popula¸c˜ao ´e constitu´ıda em sua to-
talidade por elementos idˆenticos. O que ´e, em geral, uma afirma¸c˜ao
falsa.
Para corrigir o modelo matem´atico, basta colocar no denominador
n − 1. O modelo ´e escrito ent˜ao:
s2
(x) =
(xi − x)2
n − 1
Estat´ıtica B´asica
Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao
Medidas de dispers˜ao relativa
Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao
Observe que agora o modelo ´e coerente. Mesmo quando a amostra
tiver apenas um elemento x1, o c´alculo de s2(x) leva-nos a uma
indetermina¸c˜ao do tipo
0
0
. O que significa que a variˆancia existe,
mas n˜ao est´a determinada.
Significa tamb´em que amostras de apenas um elemento n˜ao nos
fornece informa¸c˜oes sobre a variˆancia da s´erie.
Estat´ıtica B´asica
Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao
Medidas de dispers˜ao relativa
Medidas de dispers˜ao relativa
Se uma s´erie X apresenta x = 10 e σ(x) = 2 e uma s´erie Y apresenta
y = 100 e σ(y) = 5, do ponto de vista da dispers˜ao absoluta, a
s´erie Y apresenta maior dispers˜ao que a s´erie X.
No entanto, se levarmos em considera¸c˜ao as m´edias das s´eries, o
desvio padr˜ao de Y que ´e 5 em rela¸c˜ao a 100 ´e um valor menos
significativo que o desvio padr˜ao de X que ´e 2 em rela¸c˜ao a 10.
Isto nos leva a definir as medidas de dispers˜ao relativas: coeficiente
de varia¸c˜ao e variˆancia relativa.
O coeficiente de varia¸c˜ao de uma s´erie X ´e indicado por CV(x) de-
finido por:
CV(x) =
σ(x)
x
Estat´ıtica B´asica
Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao
Medidas de dispers˜ao relativa
Medidas de dispers˜ao relativa
A variˆancia relativa de uma s´erie X ´e indicada por V (x) e definida
por:
V (x) =
σ2(x)
(x)2
Note que o coeficiente de varia¸c˜ao, como ´e uma divis˜ao de elementos
de mesma unidade, ´e um n´umero puro. Portanto, pode ser expresso
em percentual.
Este fato justifica a utiliza¸c˜ao do denominador (x)2 na defini¸c˜ao de
V (x).
Deste modo, se calcularmos o coeficiente de varia¸c˜ao da s´erie X
citada no in´ıcio obteremos:
Estat´ıtica B´asica
Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao
Medidas de dispers˜ao relativa
Medidas de dispers˜ao relativa
CV(x) =
2
10
= 0, 2 ou 20%
Calculando o coeficiente de varia¸c˜ao da s´erie Y obteremos:
CV(y) =
5
100
= 0, 05 ou 5%
Comparando os valores destes dois coeficientes conclu´ımos que a
s´erie X admite maior dispers˜ao relativa.
Como a medida de dispers˜ao relativa leva em considera¸c˜ao a me-
dida de dispers˜ao absoluta e a m´edia da s´erie, ´e uma medida mais
completa que a medida de dispers˜ao absoluta.
Estat´ıtica B´asica
Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao
Medidas de dispers˜ao relativa
Medidas de dispers˜ao relativa
Portanto, a medida de dispers˜ao relativa prevalece sobre a medida
de dispers˜ao absoluta. Podemos afirmar que a s´erie que tem a maior
disperss˜ao relativa, tem de modo geral a maior dispers˜ao.
Concluindo o exemplo anterior:
A s´erie Y apresenta maior dispers˜ao absoluta.
A s´erie X apresenta maior dispers˜ao relativa.
Portanto, a s´erie X apresenta maior dispers˜ao.
Estat´ıtica B´asica
Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao
Medidas de dispers˜ao relativa
MARTINS, Gilberto de Andrade Martins, Estat´ıstica Geral e
Aplicada, 4 ed. S˜ao Paulo: Editora Atlas S.A., 2011
SILVA, Ermes Medeiros da; SILVA, Elio Medeiros da;
GONC¸ALVES, Valter; MUROLO, Afrˆanio Carlos,
ESTAT´ISTICA Para os cursos de: Economia, Administra¸c˜ao e
Ciˆencias Contabeis 3 ed. S˜ao Paulo: Editora Atlas S.A., 1999
Estat´ıtica B´asica

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados

Análise exploratória e modelação com r parte 3
Análise exploratória e modelação com r  parte 3Análise exploratória e modelação com r  parte 3
Análise exploratória e modelação com r parte 3
Lucas Castro
 
Variáveis aleatórias discretas - Estatística II
Variáveis aleatórias discretas - Estatística IIVariáveis aleatórias discretas - Estatística II
Variáveis aleatórias discretas - Estatística II
Ricardo Bruno - Universidade Federal do Pará
 
Probabilidade e estatística - Variáveis Aleatórias
Probabilidade e estatística - Variáveis AleatóriasProbabilidade e estatística - Variáveis Aleatórias
Probabilidade e estatística - Variáveis Aleatórias
Lucas Vinícius
 
Testes de hipoteses
Testes de hipotesesTestes de hipoteses
Testes de hipoteses
Liliana Matos Pereira
 
Aula 7 variáveis aleatórias
Aula 7   variáveis aleatóriasAula 7   variáveis aleatórias
Aula 7 variáveis aleatórias
Ariel Rennó Chaves
 
Distribuicao continua
Distribuicao continuaDistribuicao continua
Distribuicao continua
carneiro62
 
Distribuição normal
Distribuição normalDistribuição normal
Distribuição normal
joseagrosa
 
Caderno - Estatítica Descritiva
Caderno - Estatítica DescritivaCaderno - Estatítica Descritiva
Caderno - Estatítica Descritiva
Cadernos PPT
 
Variáveis aleatórias contínuas - Estatística II
Variáveis aleatórias contínuas - Estatística IIVariáveis aleatórias contínuas - Estatística II
Variáveis aleatórias contínuas - Estatística II
Ricardo Bruno - Universidade Federal do Pará
 
Análise exploratória e modelação com r parte 2
Análise exploratória e modelação com r  parte 2Análise exploratória e modelação com r  parte 2
Análise exploratória e modelação com r parte 2
Lucas Castro
 
Regressão Linear Simples
Regressão Linear SimplesRegressão Linear Simples
Regressão Linear Simples
Federal University of Bahia
 
3 probabilidade
3   probabilidade3   probabilidade
3 probabilidade
Meireles01
 
Aula 11 estimação
Aula 11   estimaçãoAula 11   estimação
Aula 11 estimação
Ariel Rennó Chaves
 
Distribuição Normal
Distribuição NormalDistribuição Normal
Distribuição Normal
Universidade Paulista
 
Exercicios de estatistica resolvido.4
Exercicios de estatistica resolvido.4Exercicios de estatistica resolvido.4
Exercicios de estatistica resolvido.4
Antonio Mankumbani Chora
 
distribuição-t-student
distribuição-t-studentdistribuição-t-student
distribuição-t-student
Guilherme Marques
 
Regressão - aula 01/04
Regressão - aula 01/04Regressão - aula 01/04
Regressão - aula 01/04
Rodrigo de Sá
 
Aula 2 educação física
Aula 2   educação físicaAula 2   educação física
Aula 2 educação física
Caroline Godoy
 
Aula bioestatistica
Aula bioestatisticaAula bioestatistica
Aula bioestatistica
AleNiv
 
Aula 9 variáveis aleatória contínua - parte 2
Aula 9   variáveis aleatória contínua - parte 2Aula 9   variáveis aleatória contínua - parte 2
Aula 9 variáveis aleatória contínua - parte 2
Ariel Rennó Chaves
 

Mais procurados (20)

Análise exploratória e modelação com r parte 3
Análise exploratória e modelação com r  parte 3Análise exploratória e modelação com r  parte 3
Análise exploratória e modelação com r parte 3
 
Variáveis aleatórias discretas - Estatística II
Variáveis aleatórias discretas - Estatística IIVariáveis aleatórias discretas - Estatística II
Variáveis aleatórias discretas - Estatística II
 
Probabilidade e estatística - Variáveis Aleatórias
Probabilidade e estatística - Variáveis AleatóriasProbabilidade e estatística - Variáveis Aleatórias
Probabilidade e estatística - Variáveis Aleatórias
 
Testes de hipoteses
Testes de hipotesesTestes de hipoteses
Testes de hipoteses
 
Aula 7 variáveis aleatórias
Aula 7   variáveis aleatóriasAula 7   variáveis aleatórias
Aula 7 variáveis aleatórias
 
Distribuicao continua
Distribuicao continuaDistribuicao continua
Distribuicao continua
 
Distribuição normal
Distribuição normalDistribuição normal
Distribuição normal
 
Caderno - Estatítica Descritiva
Caderno - Estatítica DescritivaCaderno - Estatítica Descritiva
Caderno - Estatítica Descritiva
 
Variáveis aleatórias contínuas - Estatística II
Variáveis aleatórias contínuas - Estatística IIVariáveis aleatórias contínuas - Estatística II
Variáveis aleatórias contínuas - Estatística II
 
Análise exploratória e modelação com r parte 2
Análise exploratória e modelação com r  parte 2Análise exploratória e modelação com r  parte 2
Análise exploratória e modelação com r parte 2
 
Regressão Linear Simples
Regressão Linear SimplesRegressão Linear Simples
Regressão Linear Simples
 
3 probabilidade
3   probabilidade3   probabilidade
3 probabilidade
 
Aula 11 estimação
Aula 11   estimaçãoAula 11   estimação
Aula 11 estimação
 
Distribuição Normal
Distribuição NormalDistribuição Normal
Distribuição Normal
 
Exercicios de estatistica resolvido.4
Exercicios de estatistica resolvido.4Exercicios de estatistica resolvido.4
Exercicios de estatistica resolvido.4
 
distribuição-t-student
distribuição-t-studentdistribuição-t-student
distribuição-t-student
 
Regressão - aula 01/04
Regressão - aula 01/04Regressão - aula 01/04
Regressão - aula 01/04
 
Aula 2 educação física
Aula 2   educação físicaAula 2   educação física
Aula 2 educação física
 
Aula bioestatistica
Aula bioestatisticaAula bioestatistica
Aula bioestatistica
 
Aula 9 variáveis aleatória contínua - parte 2
Aula 9   variáveis aleatória contínua - parte 2Aula 9   variáveis aleatória contínua - parte 2
Aula 9 variáveis aleatória contínua - parte 2
 

Destaque

english essay
english essay english essay
english essay
Flenny Wong
 
Ազոտ
ԱզոտԱզոտ
Ազոտ
Mane Sargsyan
 
Big data y su impacto en los Objetivos de Desarrollo Sostenible (ODS) - Unive...
Big data y su impacto en los Objetivos de Desarrollo Sostenible (ODS) - Unive...Big data y su impacto en los Objetivos de Desarrollo Sostenible (ODS) - Unive...
Big data y su impacto en los Objetivos de Desarrollo Sostenible (ODS) - Unive...
Joan David Baena
 
대신리포트_대신브라우저_150401
대신리포트_대신브라우저_150401대신리포트_대신브라우저_150401
대신리포트_대신브라우저_150401
DaishinSecurities
 
Trial
TrialTrial
ecuaciones lineales
ecuaciones linealesecuaciones lineales
ecuaciones lineales
Nataly Alexandra Bautista
 
Unidad educativa municipal quitumbe
Unidad educativa municipal quitumbeUnidad educativa municipal quitumbe
Unidad educativa municipal quitumbe
genesis Gallardo
 
Presentacion de semana santa
Presentacion de semana santaPresentacion de semana santa
Presentacion de semana santa
ucp1974
 
Seminario Ley 1819
Seminario Ley 1819Seminario Ley 1819
Seminario Ley 1819
Diana García Larena
 
10 Hacks to Improve Traffic, Leads & Revenue for Your Website
10 Hacks to Improve Traffic, Leads & Revenue for Your Website10 Hacks to Improve Traffic, Leads & Revenue for Your Website
10 Hacks to Improve Traffic, Leads & Revenue for Your Website
LeadSquared
 
το καλοκαίρι
το καλοκαίριτο καλοκαίρι
Speed dating
Speed datingSpeed dating
Speed dating
Jessica Drinks
 
Partial Repowering of Wind Turbines: technical risks, opportunities and trends
Partial Repowering of Wind Turbines: technical risks, opportunities and trendsPartial Repowering of Wind Turbines: technical risks, opportunities and trends
Partial Repowering of Wind Turbines: technical risks, opportunities and trends
Alex Byrne
 
10 Great Quotes Explaining Simplicity In User Interface Design!
10 Great Quotes Explaining Simplicity In User Interface Design!10 Great Quotes Explaining Simplicity In User Interface Design!
10 Great Quotes Explaining Simplicity In User Interface Design!
UtterWeb
 

Destaque (15)

english essay
english essay english essay
english essay
 
Ազոտ
ԱզոտԱզոտ
Ազոտ
 
Big data y su impacto en los Objetivos de Desarrollo Sostenible (ODS) - Unive...
Big data y su impacto en los Objetivos de Desarrollo Sostenible (ODS) - Unive...Big data y su impacto en los Objetivos de Desarrollo Sostenible (ODS) - Unive...
Big data y su impacto en los Objetivos de Desarrollo Sostenible (ODS) - Unive...
 
대신리포트_대신브라우저_150401
대신리포트_대신브라우저_150401대신리포트_대신브라우저_150401
대신리포트_대신브라우저_150401
 
Trial
TrialTrial
Trial
 
ecuaciones lineales
ecuaciones linealesecuaciones lineales
ecuaciones lineales
 
Unidad educativa municipal quitumbe
Unidad educativa municipal quitumbeUnidad educativa municipal quitumbe
Unidad educativa municipal quitumbe
 
Presentacion de semana santa
Presentacion de semana santaPresentacion de semana santa
Presentacion de semana santa
 
χορος στ2
χορος στ2χορος στ2
χορος στ2
 
Seminario Ley 1819
Seminario Ley 1819Seminario Ley 1819
Seminario Ley 1819
 
10 Hacks to Improve Traffic, Leads & Revenue for Your Website
10 Hacks to Improve Traffic, Leads & Revenue for Your Website10 Hacks to Improve Traffic, Leads & Revenue for Your Website
10 Hacks to Improve Traffic, Leads & Revenue for Your Website
 
το καλοκαίρι
το καλοκαίριτο καλοκαίρι
το καλοκαίρι
 
Speed dating
Speed datingSpeed dating
Speed dating
 
Partial Repowering of Wind Turbines: technical risks, opportunities and trends
Partial Repowering of Wind Turbines: technical risks, opportunities and trendsPartial Repowering of Wind Turbines: technical risks, opportunities and trends
Partial Repowering of Wind Turbines: technical risks, opportunities and trends
 
10 Great Quotes Explaining Simplicity In User Interface Design!
10 Great Quotes Explaining Simplicity In User Interface Design!10 Great Quotes Explaining Simplicity In User Interface Design!
10 Great Quotes Explaining Simplicity In User Interface Design!
 

Semelhante a Aula 08 de estatística

AMD - Aula n.º 8 - regressão linear simples.pptx
AMD - Aula n.º 8 - regressão linear simples.pptxAMD - Aula n.º 8 - regressão linear simples.pptx
AMD - Aula n.º 8 - regressão linear simples.pptx
NunoSilva599593
 
Aula de distribuição de probabilidade[1]
Aula de distribuição de probabilidade[1]Aula de distribuição de probabilidade[1]
Aula de distribuição de probabilidade[1]
Tuane Paixão
 
Introdução à cadeias de markov
Introdução à cadeias de markovIntrodução à cadeias de markov
Introdução à cadeias de markov
Universidade Federal Fluminense
 
Derivadas
DerivadasDerivadas
Derivadas
Aldo Brasil
 
Derivadas
DerivadasDerivadas
Derivadas
mlthomaz
 
Calculo1 aula14
Calculo1 aula14Calculo1 aula14
Calculo1 aula14
Luiz Henrique Sa
 
Aplicações da equação de Schrödinger independente do tempo
Aplicações da equação de Schrödinger independente do tempoAplicações da equação de Schrödinger independente do tempo
Aplicações da equação de Schrödinger independente do tempo
Lucas Guimaraes
 
Variaveis+aleatorias
Variaveis+aleatoriasVariaveis+aleatorias
Variaveis+aleatorias
Fagner Talles
 
Matemática e Mídias
Matemática e MídiasMatemática e Mídias
Matemática e Mídias
iraciva
 
06 variavel-aleatoria
06 variavel-aleatoria06 variavel-aleatoria
06 variavel-aleatoria
奈莫 里玛
 
2-1_Var aleatorias discretas e distribuicoes.pdf
2-1_Var aleatorias discretas e distribuicoes.pdf2-1_Var aleatorias discretas e distribuicoes.pdf
2-1_Var aleatorias discretas e distribuicoes.pdf
Elisângela Rodrigues
 
Apostila regressao linear
Apostila regressao linearApostila regressao linear
Apostila regressao linear
coelhojmm
 
Matemática básica derivada e integral
Matemática básica   derivada e integralMatemática básica   derivada e integral
Matemática básica derivada e integral
Evandro Guilherme Miguel
 
06-integrais de superfície
06-integrais de  superfície06-integrais de  superfície
06-integrais de superfície
Sandra Gaspar Martins
 
03 raizes
03 raizes03 raizes
03 raizes
Loraydan Soares
 
[2014 2015] cap_3_funcoes_varias_variáveis
[2014 2015] cap_3_funcoes_varias_variáveis[2014 2015] cap_3_funcoes_varias_variáveis
[2014 2015] cap_3_funcoes_varias_variáveis
Nuno Bastos
 
Cursocalc1ead
Cursocalc1eadCursocalc1ead
Cursocalc1ead
Carlos Genesis
 
Apostila 2 calculo i derivadas
Apostila 2 calculo i derivadasApostila 2 calculo i derivadas
Apostila 2 calculo i derivadas
trigono_metrico
 
Inferência para cadeias de markov
Inferência para cadeias de markovInferência para cadeias de markov
Inferência para cadeias de markov
Universidade Federal Fluminense
 
Aula 07 de estatística
Aula 07 de estatísticaAula 07 de estatística
Aula 07 de estatística
josivaldopassos
 

Semelhante a Aula 08 de estatística (20)

AMD - Aula n.º 8 - regressão linear simples.pptx
AMD - Aula n.º 8 - regressão linear simples.pptxAMD - Aula n.º 8 - regressão linear simples.pptx
AMD - Aula n.º 8 - regressão linear simples.pptx
 
Aula de distribuição de probabilidade[1]
Aula de distribuição de probabilidade[1]Aula de distribuição de probabilidade[1]
Aula de distribuição de probabilidade[1]
 
Introdução à cadeias de markov
Introdução à cadeias de markovIntrodução à cadeias de markov
Introdução à cadeias de markov
 
Derivadas
DerivadasDerivadas
Derivadas
 
Derivadas
DerivadasDerivadas
Derivadas
 
Calculo1 aula14
Calculo1 aula14Calculo1 aula14
Calculo1 aula14
 
Aplicações da equação de Schrödinger independente do tempo
Aplicações da equação de Schrödinger independente do tempoAplicações da equação de Schrödinger independente do tempo
Aplicações da equação de Schrödinger independente do tempo
 
Variaveis+aleatorias
Variaveis+aleatoriasVariaveis+aleatorias
Variaveis+aleatorias
 
Matemática e Mídias
Matemática e MídiasMatemática e Mídias
Matemática e Mídias
 
06 variavel-aleatoria
06 variavel-aleatoria06 variavel-aleatoria
06 variavel-aleatoria
 
2-1_Var aleatorias discretas e distribuicoes.pdf
2-1_Var aleatorias discretas e distribuicoes.pdf2-1_Var aleatorias discretas e distribuicoes.pdf
2-1_Var aleatorias discretas e distribuicoes.pdf
 
Apostila regressao linear
Apostila regressao linearApostila regressao linear
Apostila regressao linear
 
Matemática básica derivada e integral
Matemática básica   derivada e integralMatemática básica   derivada e integral
Matemática básica derivada e integral
 
06-integrais de superfície
06-integrais de  superfície06-integrais de  superfície
06-integrais de superfície
 
03 raizes
03 raizes03 raizes
03 raizes
 
[2014 2015] cap_3_funcoes_varias_variáveis
[2014 2015] cap_3_funcoes_varias_variáveis[2014 2015] cap_3_funcoes_varias_variáveis
[2014 2015] cap_3_funcoes_varias_variáveis
 
Cursocalc1ead
Cursocalc1eadCursocalc1ead
Cursocalc1ead
 
Apostila 2 calculo i derivadas
Apostila 2 calculo i derivadasApostila 2 calculo i derivadas
Apostila 2 calculo i derivadas
 
Inferência para cadeias de markov
Inferência para cadeias de markovInferência para cadeias de markov
Inferência para cadeias de markov
 
Aula 07 de estatística
Aula 07 de estatísticaAula 07 de estatística
Aula 07 de estatística
 

Mais de josivaldopassos

Medidas de tendencia central continuação
Medidas de tendencia central continuaçãoMedidas de tendencia central continuação
Medidas de tendencia central continuação
josivaldopassos
 
Juros compostos1
Juros compostos1Juros compostos1
Juros compostos1
josivaldopassos
 
Aula 06 de estatística
Aula 06 de estatísticaAula 06 de estatística
Aula 06 de estatística
josivaldopassos
 
Aula 08 de estatística
Aula 08 de estatísticaAula 08 de estatística
Aula 08 de estatística
josivaldopassos
 
Aula 06 de estatística
Aula 06 de estatísticaAula 06 de estatística
Aula 06 de estatística
josivaldopassos
 
Congruências
CongruênciasCongruências
Congruências
josivaldopassos
 
Sequências
SequênciasSequências
Sequências
josivaldopassos
 
Atividades de funções modulares
Atividades de funções modularesAtividades de funções modulares
Atividades de funções modulares
josivaldopassos
 
Exercícios de geometria espacial
Exercícios de geometria espacialExercícios de geometria espacial
Exercícios de geometria espacial
josivaldopassos
 
Jogo dos palitos
Jogo dos palitosJogo dos palitos
Jogo dos palitos
josivaldopassos
 
Análise combinatória
Análise combinatóriaAnálise combinatória
Análise combinatória
josivaldopassos
 
Agenda de moblização
Agenda de moblizaçãoAgenda de moblização
Agenda de moblização
josivaldopassos
 
Agenda de moblização
Agenda de moblizaçãoAgenda de moblização
Agenda de moblização
josivaldopassos
 
Agenda de moblização
Agenda de moblizaçãoAgenda de moblização
Agenda de moblização
josivaldopassos
 
Agenda de moblização
Agenda de moblizaçãoAgenda de moblização
Agenda de moblização
josivaldopassos
 
Intervalos reais
Intervalos reaisIntervalos reais
Intervalos reais
josivaldopassos
 
Análise combinatória
Análise combinatóriaAnálise combinatória
Análise combinatória
josivaldopassos
 
Sequênicas
SequênicasSequênicas
Sequênicas
josivaldopassos
 
Função exponencial
Função exponencialFunção exponencial
Função exponencial
josivaldopassos
 
Função exponencial
Função exponencialFunção exponencial
Função exponencial
josivaldopassos
 

Mais de josivaldopassos (20)

Medidas de tendencia central continuação
Medidas de tendencia central continuaçãoMedidas de tendencia central continuação
Medidas de tendencia central continuação
 
Juros compostos1
Juros compostos1Juros compostos1
Juros compostos1
 
Aula 06 de estatística
Aula 06 de estatísticaAula 06 de estatística
Aula 06 de estatística
 
Aula 08 de estatística
Aula 08 de estatísticaAula 08 de estatística
Aula 08 de estatística
 
Aula 06 de estatística
Aula 06 de estatísticaAula 06 de estatística
Aula 06 de estatística
 
Congruências
CongruênciasCongruências
Congruências
 
Sequências
SequênciasSequências
Sequências
 
Atividades de funções modulares
Atividades de funções modularesAtividades de funções modulares
Atividades de funções modulares
 
Exercícios de geometria espacial
Exercícios de geometria espacialExercícios de geometria espacial
Exercícios de geometria espacial
 
Jogo dos palitos
Jogo dos palitosJogo dos palitos
Jogo dos palitos
 
Análise combinatória
Análise combinatóriaAnálise combinatória
Análise combinatória
 
Agenda de moblização
Agenda de moblizaçãoAgenda de moblização
Agenda de moblização
 
Agenda de moblização
Agenda de moblizaçãoAgenda de moblização
Agenda de moblização
 
Agenda de moblização
Agenda de moblizaçãoAgenda de moblização
Agenda de moblização
 
Agenda de moblização
Agenda de moblizaçãoAgenda de moblização
Agenda de moblização
 
Intervalos reais
Intervalos reaisIntervalos reais
Intervalos reais
 
Análise combinatória
Análise combinatóriaAnálise combinatória
Análise combinatória
 
Sequênicas
SequênicasSequênicas
Sequênicas
 
Função exponencial
Função exponencialFunção exponencial
Função exponencial
 
Função exponencial
Função exponencialFunção exponencial
Função exponencial
 

Último

Noite Alva! José Ernesto Ferraresso.ppsx
Noite Alva! José Ernesto Ferraresso.ppsxNoite Alva! José Ernesto Ferraresso.ppsx
Noite Alva! José Ernesto Ferraresso.ppsx
Luzia Gabriele
 
Caderno_de_referencias_Ocupacaohumana_IV_FlaviaCoelho_compressed.pdf
Caderno_de_referencias_Ocupacaohumana_IV_FlaviaCoelho_compressed.pdfCaderno_de_referencias_Ocupacaohumana_IV_FlaviaCoelho_compressed.pdf
Caderno_de_referencias_Ocupacaohumana_IV_FlaviaCoelho_compressed.pdf
shirleisousa9166
 
Organograma do Ministério da Defesa (MD).pdf
Organograma do Ministério da Defesa (MD).pdfOrganograma do Ministério da Defesa (MD).pdf
Organograma do Ministério da Defesa (MD).pdf
Falcão Brasil
 
Slide para aplicação da AVAL. FLUÊNCIA.pptx
Slide para aplicação  da AVAL. FLUÊNCIA.pptxSlide para aplicação  da AVAL. FLUÊNCIA.pptx
Slide para aplicação da AVAL. FLUÊNCIA.pptx
LeilaVilasboas
 
Marinha do Brasil (MB) Politíca Naval.pdf
Marinha do Brasil (MB) Politíca Naval.pdfMarinha do Brasil (MB) Politíca Naval.pdf
Marinha do Brasil (MB) Politíca Naval.pdf
Falcão Brasil
 
A experiência do professor. Publicado EM 08.07.2024
A experiência do professor. Publicado EM 08.07.2024A experiência do professor. Publicado EM 08.07.2024
A experiência do professor. Publicado EM 08.07.2024
Espanhol Online
 
Organograma do Centro Gestor e Operacional do Sistema de Proteção da Amazônia...
Organograma do Centro Gestor e Operacional do Sistema de Proteção da Amazônia...Organograma do Centro Gestor e Operacional do Sistema de Proteção da Amazônia...
Organograma do Centro Gestor e Operacional do Sistema de Proteção da Amazônia...
Falcão Brasil
 
Mini livro sanfona - Minha Escola Tem História.
Mini livro  sanfona - Minha Escola Tem História. Mini livro  sanfona - Minha Escola Tem História.
Mini livro sanfona - Minha Escola Tem História.
Mary Alvarenga
 
Introdução ao filme Divertida Mente 2 em pdf
Introdução ao filme Divertida Mente 2 em pdfIntrodução ao filme Divertida Mente 2 em pdf
Introdução ao filme Divertida Mente 2 em pdf
valdeci17
 
História das ideias pedagógicas no Brasil - Demerval Saviani.pdf
História das ideias pedagógicas no Brasil - Demerval Saviani.pdfHistória das ideias pedagógicas no Brasil - Demerval Saviani.pdf
História das ideias pedagógicas no Brasil - Demerval Saviani.pdf
LeideLauraCenturionL
 
FILMES DE ABRIL_BECRE D. CARLOS I_2023_24
FILMES DE ABRIL_BECRE D. CARLOS I_2023_24FILMES DE ABRIL_BECRE D. CARLOS I_2023_24
FILMES DE ABRIL_BECRE D. CARLOS I_2023_24
Sandra Pratas
 
Slide | Eurodeputados Portugueses (2024-2029) - Parlamento Europeu (atualiz. ...
Slide | Eurodeputados Portugueses (2024-2029) - Parlamento Europeu (atualiz. ...Slide | Eurodeputados Portugueses (2024-2029) - Parlamento Europeu (atualiz. ...
Slide | Eurodeputados Portugueses (2024-2029) - Parlamento Europeu (atualiz. ...
Centro Jacques Delors
 
UFCD_5673_Segurança nos transportes_índice.pdf
UFCD_5673_Segurança nos transportes_índice.pdfUFCD_5673_Segurança nos transportes_índice.pdf
UFCD_5673_Segurança nos transportes_índice.pdf
Manuais Formação
 
EBOOK_HORA DO CONTO_O MONSTRO DAS CORES_ANGELINA & MÓNICA_22_23
EBOOK_HORA DO CONTO_O MONSTRO DAS CORES_ANGELINA & MÓNICA_22_23EBOOK_HORA DO CONTO_O MONSTRO DAS CORES_ANGELINA & MÓNICA_22_23
EBOOK_HORA DO CONTO_O MONSTRO DAS CORES_ANGELINA & MÓNICA_22_23
Sandra Pratas
 
Folha de Atividades (Virei Super-Herói! Projeto de Edição de Fotos) com Grade...
Folha de Atividades (Virei Super-Herói! Projeto de Edição de Fotos) com Grade...Folha de Atividades (Virei Super-Herói! Projeto de Edição de Fotos) com Grade...
Folha de Atividades (Virei Super-Herói! Projeto de Edição de Fotos) com Grade...
marcos oliveira
 
Infografia | Presidência húngara do Conselho da UE
Infografia | Presidência húngara do Conselho da UEInfografia | Presidência húngara do Conselho da UE
Infografia | Presidência húngara do Conselho da UE
Centro Jacques Delors
 
Atividade Dias dos Pais - Meu Pai, Razão da Minha História.
Atividade Dias dos Pais -  Meu Pai, Razão da Minha História.Atividade Dias dos Pais -  Meu Pai, Razão da Minha História.
Atividade Dias dos Pais - Meu Pai, Razão da Minha História.
Mary Alvarenga
 
escrita criativa utilizada na arteterapia
escrita criativa   utilizada na arteterapiaescrita criativa   utilizada na arteterapia
escrita criativa utilizada na arteterapia
shirleisousa9166
 
EMOCIONES PARA TRABAJAR EN LA AREA SOCIOEMOCIONAL
EMOCIONES PARA TRABAJAR EN LA AREA SOCIOEMOCIONALEMOCIONES PARA TRABAJAR EN LA AREA SOCIOEMOCIONAL
EMOCIONES PARA TRABAJAR EN LA AREA SOCIOEMOCIONAL
JocelynNavarroBonta
 
EBBOK_HORA DO CONTO_O SONHO DO EVARISTO_PAULA FRANCISCO_22_23
EBBOK_HORA DO CONTO_O SONHO DO EVARISTO_PAULA FRANCISCO_22_23EBBOK_HORA DO CONTO_O SONHO DO EVARISTO_PAULA FRANCISCO_22_23
EBBOK_HORA DO CONTO_O SONHO DO EVARISTO_PAULA FRANCISCO_22_23
Sandra Pratas
 

Último (20)

Noite Alva! José Ernesto Ferraresso.ppsx
Noite Alva! José Ernesto Ferraresso.ppsxNoite Alva! José Ernesto Ferraresso.ppsx
Noite Alva! José Ernesto Ferraresso.ppsx
 
Caderno_de_referencias_Ocupacaohumana_IV_FlaviaCoelho_compressed.pdf
Caderno_de_referencias_Ocupacaohumana_IV_FlaviaCoelho_compressed.pdfCaderno_de_referencias_Ocupacaohumana_IV_FlaviaCoelho_compressed.pdf
Caderno_de_referencias_Ocupacaohumana_IV_FlaviaCoelho_compressed.pdf
 
Organograma do Ministério da Defesa (MD).pdf
Organograma do Ministério da Defesa (MD).pdfOrganograma do Ministério da Defesa (MD).pdf
Organograma do Ministério da Defesa (MD).pdf
 
Slide para aplicação da AVAL. FLUÊNCIA.pptx
Slide para aplicação  da AVAL. FLUÊNCIA.pptxSlide para aplicação  da AVAL. FLUÊNCIA.pptx
Slide para aplicação da AVAL. FLUÊNCIA.pptx
 
Marinha do Brasil (MB) Politíca Naval.pdf
Marinha do Brasil (MB) Politíca Naval.pdfMarinha do Brasil (MB) Politíca Naval.pdf
Marinha do Brasil (MB) Politíca Naval.pdf
 
A experiência do professor. Publicado EM 08.07.2024
A experiência do professor. Publicado EM 08.07.2024A experiência do professor. Publicado EM 08.07.2024
A experiência do professor. Publicado EM 08.07.2024
 
Organograma do Centro Gestor e Operacional do Sistema de Proteção da Amazônia...
Organograma do Centro Gestor e Operacional do Sistema de Proteção da Amazônia...Organograma do Centro Gestor e Operacional do Sistema de Proteção da Amazônia...
Organograma do Centro Gestor e Operacional do Sistema de Proteção da Amazônia...
 
Mini livro sanfona - Minha Escola Tem História.
Mini livro  sanfona - Minha Escola Tem História. Mini livro  sanfona - Minha Escola Tem História.
Mini livro sanfona - Minha Escola Tem História.
 
Introdução ao filme Divertida Mente 2 em pdf
Introdução ao filme Divertida Mente 2 em pdfIntrodução ao filme Divertida Mente 2 em pdf
Introdução ao filme Divertida Mente 2 em pdf
 
História das ideias pedagógicas no Brasil - Demerval Saviani.pdf
História das ideias pedagógicas no Brasil - Demerval Saviani.pdfHistória das ideias pedagógicas no Brasil - Demerval Saviani.pdf
História das ideias pedagógicas no Brasil - Demerval Saviani.pdf
 
FILMES DE ABRIL_BECRE D. CARLOS I_2023_24
FILMES DE ABRIL_BECRE D. CARLOS I_2023_24FILMES DE ABRIL_BECRE D. CARLOS I_2023_24
FILMES DE ABRIL_BECRE D. CARLOS I_2023_24
 
Slide | Eurodeputados Portugueses (2024-2029) - Parlamento Europeu (atualiz. ...
Slide | Eurodeputados Portugueses (2024-2029) - Parlamento Europeu (atualiz. ...Slide | Eurodeputados Portugueses (2024-2029) - Parlamento Europeu (atualiz. ...
Slide | Eurodeputados Portugueses (2024-2029) - Parlamento Europeu (atualiz. ...
 
UFCD_5673_Segurança nos transportes_índice.pdf
UFCD_5673_Segurança nos transportes_índice.pdfUFCD_5673_Segurança nos transportes_índice.pdf
UFCD_5673_Segurança nos transportes_índice.pdf
 
EBOOK_HORA DO CONTO_O MONSTRO DAS CORES_ANGELINA & MÓNICA_22_23
EBOOK_HORA DO CONTO_O MONSTRO DAS CORES_ANGELINA & MÓNICA_22_23EBOOK_HORA DO CONTO_O MONSTRO DAS CORES_ANGELINA & MÓNICA_22_23
EBOOK_HORA DO CONTO_O MONSTRO DAS CORES_ANGELINA & MÓNICA_22_23
 
Folha de Atividades (Virei Super-Herói! Projeto de Edição de Fotos) com Grade...
Folha de Atividades (Virei Super-Herói! Projeto de Edição de Fotos) com Grade...Folha de Atividades (Virei Super-Herói! Projeto de Edição de Fotos) com Grade...
Folha de Atividades (Virei Super-Herói! Projeto de Edição de Fotos) com Grade...
 
Infografia | Presidência húngara do Conselho da UE
Infografia | Presidência húngara do Conselho da UEInfografia | Presidência húngara do Conselho da UE
Infografia | Presidência húngara do Conselho da UE
 
Atividade Dias dos Pais - Meu Pai, Razão da Minha História.
Atividade Dias dos Pais -  Meu Pai, Razão da Minha História.Atividade Dias dos Pais -  Meu Pai, Razão da Minha História.
Atividade Dias dos Pais - Meu Pai, Razão da Minha História.
 
escrita criativa utilizada na arteterapia
escrita criativa   utilizada na arteterapiaescrita criativa   utilizada na arteterapia
escrita criativa utilizada na arteterapia
 
EMOCIONES PARA TRABAJAR EN LA AREA SOCIOEMOCIONAL
EMOCIONES PARA TRABAJAR EN LA AREA SOCIOEMOCIONALEMOCIONES PARA TRABAJAR EN LA AREA SOCIOEMOCIONAL
EMOCIONES PARA TRABAJAR EN LA AREA SOCIOEMOCIONAL
 
EBBOK_HORA DO CONTO_O SONHO DO EVARISTO_PAULA FRANCISCO_22_23
EBBOK_HORA DO CONTO_O SONHO DO EVARISTO_PAULA FRANCISCO_22_23EBBOK_HORA DO CONTO_O SONHO DO EVARISTO_PAULA FRANCISCO_22_23
EBBOK_HORA DO CONTO_O SONHO DO EVARISTO_PAULA FRANCISCO_22_23
 

Aula 08 de estatística

  • 1. Variˆancia e Desvio Padr˜ao Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao Medidas de dispers˜ao relativa Prof. Me. Josivaldo Nascimento dos Passos MEDIDAS DE DISPERS˜AO UNIVERSIADE ESTADUAL DO MARANH˜AO 17 de outubro de 2016 Estat´ıtica B´asica
  • 2. Variˆancia e Desvio Padr˜ao Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao Medidas de dispers˜ao relativa Sum´ario Variˆancia e Desvio Padr˜ao Introdu¸c˜ao; Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao; 1o Caso - DADOS BRUTOS OU ROL 2o Caso - Vari´avel Discreta 3o Caso - Vari´avel Cont´ınua Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao Medidas de dispers˜ao relativa Estat´ıtica B´asica
  • 3. Variˆancia e Desvio Padr˜ao Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao Medidas de dispers˜ao relativa Introdu¸c˜ao Observamos no item anterior que a dificuldade em se operar com o DMS se deve a presen¸ca do m´odulo, para que as diferen¸cas xi − x possam ser interpretadas como distˆancias. Outra forma de se conseguir que as diferen¸cas xi − x se tornem sempre positivas ou nulas ´e considerar o quadrado destas diferen¸cas, isto ´e: (xi − x)2. Se substituirmos, nas f´ormulas do DMS a express˜ao xi − x por (xi − x)2, obteremos nova medida de dispers˜ao chamada variˆancia. Portanto, variˆancia ´e uma m´edia aritm´etica calculada a partir dos quadrados dos desvios obtidos entre os elementos da s´erie e a sua m´edia. Estat´ıtica B´asica
  • 4. Variˆancia e Desvio Padr˜ao Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao Medidas de dispers˜ao relativa Introdu¸c˜ao O desvio padr˜ao ´e a raiz quadrada positiva da variˆancia. Em particular, para estas medidas levaremos em considera¸c˜ao o fato de a sequˆencia de dados representar toda uma popula¸c˜ao ou apenas uma amostra de uma popula¸c˜ao. No final desta sec¸c˜ao justificaremos esta necessidade. Nota¸c˜oes: Quando a sequˆencia de dados representa uma Popula¸c˜ao a variˆancia ser´a denotada por σ2(x) e o desvio padr˜ao correspon- dente por σ(x). Quando a sequˆencia de dados representa uma amostra, a variˆancia ser´a denotada por s2(x) e o desvio padr˜ao correspondente por s(x). Estat´ıtica B´asica
  • 5. Variˆancia e Desvio Padr˜ao Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao Medidas de dispers˜ao relativa 1o Caso - DADOS BRUTOS OU ROL a) Se a sequˆencia representa uma Popula¸c˜ao, a variˆancia ´e calcu- lada pela f´ormula: σ2 (x) = (xi − x)2 n Exemplo Calcule a variˆancia e o desvio padr˜ao da sequˆencia: X : 4, 5, 8, 5. A sequˆencia cont´em n = 4 elementos e tem por m´edia: X = xi n = 4 + 5 + 8 + 5 4 = 5, 5 Estat´ıtica B´asica
  • 6. Variˆancia e Desvio Padr˜ao Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao Medidas de dispers˜ao relativa 1o Caso - DADOS BRUTOS OU ROL Os quadrados das diferen¸cas (xi − x)2 valem: (xi − x)2 = (4 − 5, 5)2 = 2, 25 (xi − x)2 = (5 − 5, 5)2 = 0, 25 (xi − x)2 = (8 − 5, 5)2 = 6, 25 (xi − x)2 = (5 − 5, 5)2 = 0, 25 Somando-se estes valores obtem-se (xi − x)2 = 9. Substituindo esses valores na f´ormula da variˆancia, teremos: σ2 (x) = (xi − x)2 n = 9 4 = 2, 25 Como o desvio padr˜ao ´e a raiz quadrada positiva da variˆancia, σ(x) = σ2(x) = 2, 25 = 1, 5 unidades. Estat´ıtica B´asica
  • 7. Variˆancia e Desvio Padr˜ao Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao Medidas de dispers˜ao relativa 1o Caso - DADOS BRUTOS OU ROL b) Se a sequˆencia anterior representasse apenas uma amostra, a variˆancia seria denotada por s2(x) e o desvio padr˜ao por s(x). Neste caso, s2 (x) = (xi − x)2 n − 1 e s(x) = s2(x) Notemos a diferen¸ca entre a f´ormula do slide 5 de σ2(x) (indi- cado para Popula¸c˜oes) e s2(x) para amostra. Assim, s2(x) = (xi − x)2 n − 1 = 9 3 = 3 e o desvio padr˜ao ´e s(x) = √ 3 = 1, 73. Estat´ıtica B´asica
  • 8. Variˆancia e Desvio Padr˜ao Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao Medidas de dispers˜ao relativa 2o Caso - VARI´AVEL DISCRETA Como h´a repeti¸c˜oes de elementos na s´erie, definimos a variˆancia como sendo uma m´edia aritm´etica ponderada dos quadrados dos desvios dos elementos da s´erie para a m´edia da s´erie. a) Se a vari´avel discreta ´e representativa de uma Popula¸c˜ao, ent˜ao a variˆancia ´e dada por: σ2 (x) = [(xi − x)2.fi ] fi e o desvio padr˜ao ´e: σ(x) = σ2(x) Estat´ıtica B´asica
  • 9. Variˆancia e Desvio Padr˜ao Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao Medidas de dispers˜ao relativa 2o Caso - VARI´AVEL DISCRETA b) Se a vari´avel discreta ´e representativa de uma amostra, ent˜ao a variˆancia ´e dada por: s2 (x) = [(xi − x)2.fi ] fi − 1 e o desvio padr˜ao ´e: s(x) = s2(x) Estat´ıtica B´asica
  • 10. Variˆancia e Desvio Padr˜ao Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao Medidas de dispers˜ao relativa 2o Caso - VARI´AVEL DISCRETA Exemplo Calcule a variˆancia e o desvio padr˜ao da s´erie abaixo, representativa de uma popula¸c˜ao. xi fi 2 3 3 5 4 8 5 4 O n´umero de elemento da s´erie ´e n = fi = 20. A m´edia desta s´erie ´e X = xi fi fi Estat´ıtica B´asica
  • 11. Variˆancia e Desvio Padr˜ao Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao Medidas de dispers˜ao relativa 2o Caso - VARI´AVEL DISCRETA xi fi xi fi 2 3 6 3 5 15 4 8 32 5 4 20 fi = 20 xi fi = 73 A m´edia desta s´erie ´e X = xi fi fi = 73 20 = 3, 65 Como estamos trabalhando com uma Popula¸c˜ao a variˆancia ´e dada por: σ2 (x) = [(xi − x)2.fi ] fi Desenvolvendo nova coluna para estes c´alculos, obt´em-se: Estat´ıtica B´asica
  • 12. Variˆancia e Desvio Padr˜ao Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao Medidas de dispers˜ao relativa 2o Caso - VARI´AVEL DISCRETA xi fi xi fi (xi − x)2fi 2 3 6 8,1675 3 5 15 2,1125 4 8 32 0,9800 5 4 20 7,2900 fi = 20 xi fi = 73 [(xi − x)2fi ] = 18, 55 A variˆancia ´e: σ2 (x) = [(xi − x)2.fi ] fi = 18, 55 20 = 0, 9275 e o desvio padr˜ao correspondente ´e σ(x) = √ 0, 9275 = 0, 963 Estat´ıtica B´asica
  • 13. Variˆancia e Desvio Padr˜ao Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao Medidas de dispers˜ao relativa 2o Caso - VARI´AVEL DISCRETA Exemplo Se a vari´avel discreta fosse representativa de uma amostra, a variˆancia seria indicada por s2(x) e seria calculada por: s2 (x) = [(xi − x)2.fi ] fi − 1 = 18, 55 19 = 0, 9763 O desvio padr˜ao seria calculado por s(x) = √ 0, 9763 = 0, 988. Estat´ıtica B´asica
  • 14. Variˆancia e Desvio Padr˜ao Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao Medidas de dispers˜ao relativa 3o Caso - VARI´AVEL CONT´INUA Novamente, por desconhecer os particulares valores xi da s´erie, subs- tituiremos nas f´ormulas anteriores estes valores pelos pontos m´edios de classe. A f´ormula da variˆancia para uma vari´avel cont´ınua representativa de uma popula¸c˜ao ´e: σ2 (x) = [(xi − x)2.fi ] fi onde xi ´e o ponto m´edio da classe i. Se a vari´avel cont´ınua representa uma amostra ent˜ao a variˆancia denotada por s2(x) e sua f´ormula de c´alculo ´e: s2 (x) = [(xi − x)2.fi ] fi − 1 Estat´ıtica B´asica
  • 15. Variˆancia e Desvio Padr˜ao Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao Medidas de dispers˜ao relativa 3o Caso - VARI´AVEL CONT´INUA Exemplo Calcule a variˆancia e o desvio padr˜ao para a s´erie representativa de uma Popula¸c˜ao: Classe Int. cl. fi 1 0 4 1 2 4 8 3 3 8 12 5 4 12 16 1 O n´umero de elementos da s´erie ´e n = fi = 10. A m´edia da s´erie ´e X = xi fi fi onde xi s˜ao os pontos m´edios de classe. Estat´ıtica B´asica
  • 16. Variˆancia e Desvio Padr˜ao Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao Medidas de dispers˜ao relativa 3o Caso - VARI´AVEL CONT´INUA Classe Int. cl. fi xi fi 1 0 4 1 2 2 4 8 3 18 3 8 12 5 50 4 12 16 1 14 fi = 10 xi fi = 84 A m´edia da s´erie ´e: X = xi fi fi = 84 10 = 8, 4 Como a vari´avel cont´ınua ´e representativa de uma popula¸c˜ao, ent˜ao a variˆancia ´e dada por: σ2 (x) = [(xi − x)2.fi ] fi Estat´ıtica B´asica
  • 17. Variˆancia e Desvio Padr˜ao Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao Medidas de dispers˜ao relativa 3o Caso - VARI´AVEL CONT´INUA Classe Int. cl. fi xi fi (xi − x)2fi 1 0 4 1 2 40,96 2 4 8 3 18 17,28 3 8 12 5 50 12,80 4 12 16 1 14 31,36 = 10 = 84 = 102, 4 A variˆancia ´e, portanto: σ2 (x) = [(xi − x)2.fi ] fi = 102, 4 10 = 10, 24 e o desvio padr˜ao ´e: σ(x) = √ 10, 24 = 3, 2. Estat´ıtica B´asica
  • 18. Variˆancia e Desvio Padr˜ao Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao Medidas de dispers˜ao relativa 3o Caso - VARI´AVEL CONT´INUA Exemplo Se a vari´avel cont´ınua fosse representativa de uma amostra, a variˆancia seria indicada por s2(x) e sua f´ormula de c´alculo seria: s2 (x) = [(xi − x)2.fi ] fi − 1 Dessa forma, s2(x) = 102, 4 9 = 11, 38 e o desvio padr˜ao seria s(x) = √ 11, 38 = 3, 373 Estat´ıtica B´asica
  • 19. Variˆancia e Desvio Padr˜ao Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao Medidas de dispers˜ao relativa Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao Coment´arios: 1. No c´alculo da variˆancia, quando elevamos ao quadrado a di- feren¸ca (xi − x), a unidade de medida da s´erie fica tamb´em elevada ao quadrado. Portanto, a variˆancia ´e dada sempre no quadrado da unidade de medida da s´erie. Se os dados s˜ao expressos em metros, a variˆancia ´e expressa em metros quadrados. Em algumas situa¸c˜oes, a unidade de medida da variˆancia nem faz sentido. ´E o caso, por exemplo, em que os dados s˜ao expressos em litros. A variˆancia ser´a expressa em litros quadrados. Portanto, o valor da variˆancia n˜ao pode ser comparado dire- tamente com os dados da s´erie, ou seja: variˆancia n˜ao tem interpreta¸c˜ao. Estat´ıtica B´asica
  • 20. Variˆancia e Desvio Padr˜ao Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao Medidas de dispers˜ao relativa Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao 2. Exatamente para suprir esta deficiˆencia da variˆancia ´e que se define o desvio padr˜ao. Como o desvio padr˜ao ´e a raiz quadrada da variˆancia, o desvio padr˜ao ter´a sempre a mesma unidade de medida da s´erie e portanto admite interprcta¸c˜ao. Estat´ıtica B´asica
  • 21. Variˆancia e Desvio Padr˜ao Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao Medidas de dispers˜ao relativa Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao O desvio padr˜ao ´e, sem duvida, a mais importante das medidas de dispers˜ao. ´E fundamental que o interessado consiga relacionar o valor obtido do desvio padr˜ao com os dados da s´erie. Quando uma curva de frequˆencia representativa da s´erie ´e perfei- tamente sim´etrica como a curva abaixo, podemos afirmar que o intervalo [x − σ, x + σ] cont´em aproximadamente 68% dos valores da s´erie. Estat´ıtica B´asica
  • 22. Variˆancia e Desvio Padr˜ao Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao Medidas de dispers˜ao relativa Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao O intervalo [x − 2σ, x + 2σ] cont´em aproximadamente 95% dos valores da s´erie. O intervalo [x − 3σ, x + 3σ] cont´em aproximadamente 99% dos valores da s´erie. Estat´ıtica B´asica
  • 23. Variˆancia e Desvio Padr˜ao Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao Medidas de dispers˜ao relativa Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao Estes percentuais 68%, 95% e 99% que citamos na interpreta¸c˜ao poder˜ao mais tarde ser comprovados, com maior precis˜ao, no estudo da distribui¸c˜ao normal de probabilidades. Estat´ıtica B´asica
  • 24. Variˆancia e Desvio Padr˜ao Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao Medidas de dispers˜ao relativa Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao Para uma compreens˜ao inicial do desvio padr˜ao, estas no¸c˜oes s˜ao suficientes. Quando a distribui¸c˜ao n˜ao ´e perfeitamente sim´etrica estes percen- tuais apresentam pequenas varia¸c˜oes para mais ou para menos, se- gundo o caso. De modo que, quando se afirma que uma s´erie apresenta m´edia x = 100 e desvio padr˜ao σ(x) = 5, podemos interpretar estes valores da seguinte forma: 1. Os valores da s´erie est˜ao concentrados em torno de 100. Estat´ıtica B´asica
  • 25. Variˆancia e Desvio Padr˜ao Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao Medidas de dispers˜ao relativa Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao 2. O intervalo [95, 105] cont´em aproximadamente, 68% dos valo- res da s´erie. O intervalo [90, 110] cont´em aproximadamente 95% dos valores da s´erie. O intervalo [85, 115] cont´em aproximadamente 99% dos valores da s´erie. ´E importante que se tenha percebido que, ao aumentar o tama- nho do intervalo, aumenta-se o percentual de elementos contido no intervalo. Adiante verificaremos que ´e poss´ıvel controlar o tamanho do intervalo de modo que contenha exatamente o percentual que queremos. Estat´ıtica B´asica
  • 26. Variˆancia e Desvio Padr˜ao Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao Medidas de dispers˜ao relativa Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao 3. As medidas de dispers˜ao vistas at´e agora s˜ao medidas absolutas e portanto avaliam a dispers˜ao absoluta da s´erie. Todas elas s˜ao diretamente proporcionais a dispers˜ao absoluta. Assim, se a s´erie X apresenta x = 20 e σ(x) = 3 e se a s´erie Y apresenta y = 22 e σ(y) = 2, podemos afirmar, comparando os desvios padr˜ao, que a s´erie X apresenta maior dispers˜ao absoluta. 4. Para justificar que o denominador da variˆancia amostral deve ser n − 1 e n˜ao n, usaremos o seguinte argumento: O modelo matem´atico que calcula a variˆancia de uma amostra n˜ao pode ser σ2 (x) = (xi − x)2 n , pois caso isto fosse verdadeiro, este modelo deveria determinar a variˆancia para qualquer tamanho de amostra. Estat´ıtica B´asica
  • 27. Variˆancia e Desvio Padr˜ao Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao Medidas de dispers˜ao relativa Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao Suponha uma amostra constitu´ıda de um ´unico elemento X1. O valor m´edio da amostra tamb´em ´e x1. Calculando a variˆancia pelo modelo acima, teremos: σ2 (x) = (xi − xi )2 1 = 0. Ser´ıamos induzidos a afirmar que a dispers˜ao da popula¸c˜ao de onde prov´em a amostra ´e zero, isto ´e, a popula¸c˜ao ´e constitu´ıda em sua to- talidade por elementos idˆenticos. O que ´e, em geral, uma afirma¸c˜ao falsa. Para corrigir o modelo matem´atico, basta colocar no denominador n − 1. O modelo ´e escrito ent˜ao: s2 (x) = (xi − x)2 n − 1 Estat´ıtica B´asica
  • 28. Variˆancia e Desvio Padr˜ao Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao Medidas de dispers˜ao relativa Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao Observe que agora o modelo ´e coerente. Mesmo quando a amostra tiver apenas um elemento x1, o c´alculo de s2(x) leva-nos a uma indetermina¸c˜ao do tipo 0 0 . O que significa que a variˆancia existe, mas n˜ao est´a determinada. Significa tamb´em que amostras de apenas um elemento n˜ao nos fornece informa¸c˜oes sobre a variˆancia da s´erie. Estat´ıtica B´asica
  • 29. Variˆancia e Desvio Padr˜ao Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao Medidas de dispers˜ao relativa Medidas de dispers˜ao relativa Se uma s´erie X apresenta x = 10 e σ(x) = 2 e uma s´erie Y apresenta y = 100 e σ(y) = 5, do ponto de vista da dispers˜ao absoluta, a s´erie Y apresenta maior dispers˜ao que a s´erie X. No entanto, se levarmos em considera¸c˜ao as m´edias das s´eries, o desvio padr˜ao de Y que ´e 5 em rela¸c˜ao a 100 ´e um valor menos significativo que o desvio padr˜ao de X que ´e 2 em rela¸c˜ao a 10. Isto nos leva a definir as medidas de dispers˜ao relativas: coeficiente de varia¸c˜ao e variˆancia relativa. O coeficiente de varia¸c˜ao de uma s´erie X ´e indicado por CV(x) de- finido por: CV(x) = σ(x) x Estat´ıtica B´asica
  • 30. Variˆancia e Desvio Padr˜ao Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao Medidas de dispers˜ao relativa Medidas de dispers˜ao relativa A variˆancia relativa de uma s´erie X ´e indicada por V (x) e definida por: V (x) = σ2(x) (x)2 Note que o coeficiente de varia¸c˜ao, como ´e uma divis˜ao de elementos de mesma unidade, ´e um n´umero puro. Portanto, pode ser expresso em percentual. Este fato justifica a utiliza¸c˜ao do denominador (x)2 na defini¸c˜ao de V (x). Deste modo, se calcularmos o coeficiente de varia¸c˜ao da s´erie X citada no in´ıcio obteremos: Estat´ıtica B´asica
  • 31. Variˆancia e Desvio Padr˜ao Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao Medidas de dispers˜ao relativa Medidas de dispers˜ao relativa CV(x) = 2 10 = 0, 2 ou 20% Calculando o coeficiente de varia¸c˜ao da s´erie Y obteremos: CV(y) = 5 100 = 0, 05 ou 5% Comparando os valores destes dois coeficientes conclu´ımos que a s´erie X admite maior dispers˜ao relativa. Como a medida de dispers˜ao relativa leva em considera¸c˜ao a me- dida de dispers˜ao absoluta e a m´edia da s´erie, ´e uma medida mais completa que a medida de dispers˜ao absoluta. Estat´ıtica B´asica
  • 32. Variˆancia e Desvio Padr˜ao Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao Medidas de dispers˜ao relativa Medidas de dispers˜ao relativa Portanto, a medida de dispers˜ao relativa prevalece sobre a medida de dispers˜ao absoluta. Podemos afirmar que a s´erie que tem a maior disperss˜ao relativa, tem de modo geral a maior dispers˜ao. Concluindo o exemplo anterior: A s´erie Y apresenta maior dispers˜ao absoluta. A s´erie X apresenta maior dispers˜ao relativa. Portanto, a s´erie X apresenta maior dispers˜ao. Estat´ıtica B´asica
  • 33. Variˆancia e Desvio Padr˜ao Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao Medidas de dispers˜ao relativa MARTINS, Gilberto de Andrade Martins, Estat´ıstica Geral e Aplicada, 4 ed. S˜ao Paulo: Editora Atlas S.A., 2011 SILVA, Ermes Medeiros da; SILVA, Elio Medeiros da; GONC¸ALVES, Valter; MUROLO, Afrˆanio Carlos, ESTAT´ISTICA Para os cursos de: Economia, Administra¸c˜ao e Ciˆencias Contabeis 3 ed. S˜ao Paulo: Editora Atlas S.A., 1999 Estat´ıtica B´asica